传热学数值计算
传热学计算公式
Nu = 2+0.6(Re^1/2)(Pr^1/3) 。
F=Q/kK*△tm F 是换热器的有效换热面积。
Q 是总的换热量。
k 是污垢系数一般取0.8-0.9K。
是传热系数。
△tm 是对数平均温差。
传热学三种传热方式可以分开学。
传热学相较于理论力学，工程热力学，流体力学而言还是比较简单的，一般大学生掌握了高等数学完全可以自学的。
学习传热学必须有耐心，了解几种换热方式和常见的几个常数公式（努谢尔特数、格拉晓夫数、伯努利常数，傅里叶常数，而且常常推导下几个常用常数公式间的关系，你会惊奇地发现他们其实不少是远亲的），其实解决传热学问题绝大多数都是在和导热系数较劲，有时候是直接涉及。
扩展资料：
在热对流方面，英国科学家牛顿于1701年在估算烧红铁棒的温度时，提出了被后人称为牛顿冷却定律的数学表达式，不过它并没有揭示出对流换热的机理。
传热学作为学科形成于19世纪。
1804年，法国物理学家毕奥在热传导方面得出的平壁导热实验结果是导热定律的最早表述。
稍后，法国的傅里叶运用数理方法，更准确地把它表述为后来称为傅里叶定律的微分形式。
1860年，基尔霍夫通过人造空腔模拟绝对黑体，论证了在相同温度下以黑体的辐射率(黑度)为最大，并指出物体的辐射率与同温度下该物体的吸收率相等，被后人称为基尔霍夫定律。
传热学计算公式范文
传热学计算公式范文传热学是物理学的一个分支，研究能量在物体之间的传递过程。
在传热学中，有许多重要的计算公式可以用于解决热传导、对流和辐射等传热现象。
下面将介绍一些常见的传热学计算公式。
热传导是物质内部由高温区向低温区传递热量的过程。
热传导热量的大小与物体的温度差、物体的热导率以及物体的尺寸等因素有关。
下面是一些常用的热传导计算公式：1.热流密度公式:热流密度（q）是单位时间内通过单位面积的热量传递量，可以由下式计算：q = -k * (dT/dx)其中，k是物体的热导率，dT/dx是温度梯度。
2.热传导率（k）：物体的热传导率是描述物质导热能力的物理量，可以用以下公式计算：k=Q*L/(A*ΔT)其中，Q是通过物体的热量，L是物体的长度，A是传热的横截面积，ΔT是温度差。
3.热阻（R）：热阻是描述物质阻碍热传导的程度的物理量，可以用以下公式计算：R=L/(k*A)其中，L是物体的长度，k是物体的热导率，A是传热的横截面积。
对流是物体表面与流体之间的热传递方式，流体通过对流来接触物体表面并将热量带走。
对于对流传热的计算，常用的公式有：1.流体的对流换热公式:流体通过对流来接触物体表面并带走热量，可以由下式计算：q = h * A * (T - Tfluid)其中，h是对流换热系数，A是物体表面积，T是物体表面的温度，Tfluid是流体的温度。
2.对流换热系数（h）：对流换热系数描述了流体的传热能力，它可以由以下公式计算：h=(Nu*k__)/L其中，Nu是Nusselt数，k__是流体的导热系数，L是流体经过的长度。
3. Nusselt数（Nu）：Nusselt数描述了流动体系中传热性能的参数，可以通过以下公式计算：Nu=(h*L)/k__其中，h是对流换热系数，L是流体经过的长度，k__是流体的导热系数。
辐射传热是物体通过辐射来传递能量的过程，对于辐射传热的计算，常用的公式有：1.斯特藩-玻尔兹曼定律:斯特藩-玻尔兹曼定律描述了黑体辐射能量的传递率，可以用下式表示：q=σ*ε*A*(T1^4-T2^4)其中，σ是斯特藩-玻尔兹曼常数，ε是物体的辐射率，A是物体的面积，T1和T2是物体的温度。
传热学的数值解法
导热问题的数值求解方法数值解法的基本思想是用空间和时间区域内有限个离散点（称为节点）上温度的近似值，代替物体内实际的连续温度分布，然后由导热方程和边界条件推导出各节点温度间的相互关系的代数方程组（称为离散方程），求解此方程组，得到节点上的温度值，此即物体中温度场的解。
只要节点分布的足够稠密，数值解就有足够的精度。
求解导热问题的数值方法有有限差分法及有限元法，近几年又发展了边界元法和有限分析法。
数值方法适用于求解各种导热问题，不管物体的几何形状有多复杂，不管线性或非线性问题，都能使用。
由于计算机的飞速发展，计算技术软件发展也很快，数值方法的的地位越来越重要。
1 数值求解的基本思路及稳态导热内节点离散方程的建立一、 解法的基本思路1、基本思路：数值解法的求解过程可用框图4-1表示。
由此可见：1）物理模型简化成数学模型是基础；2）建立节点离散方程是关键；3）一般情况微分方程中，某一变量在某一坐标方向所需边界条件的个数等于该变量在该坐标方向最高阶导数的阶数。
二、稳态导热中位于计算区域内部的节点离散方程的建立方法1、基本方法方法：①泰勒级数展开法；②热平衡法。
1）泰勒级数展开法如图4-3所示，以节点(m,n)处的二阶偏导数为例，对节点(m+1,n)及(m-1,n)分别写出函数t 对(m,n)点的泰勒级数展开式：对(m+1,n)：+∂∂∆+∂∂∆+∂∂∆+∂∂∆+=+444333,222,,,12462x t x x t x x t x x t x t t n m n m n m n m （a ）对（m-1,n ）：+∂∂∆+∂∂∆-∂∂∆+∂∂∆-=-444333,222,,,12462x t x x t x x t x x t xt t n m n m n m n m （b ）（a ）+（b ）得： +∂∂∆+∂∂∆+=+-+444,222,,1,1122x t x x t x t t t n m n m n m n m 变形为n m x t,22∂∂的表示式得：n m x t,22∂∂)(0222,1,,1x x t t t nm n m n m ∆+∆+-=-+ 上式是用三个离散点上的值计算二阶导数n m x t ,22∂∂的严格表达式，其中：)(02x ∆―― 称截断误差，误差量级为2x ∆在数值计算时，用三个相邻节点上的值近似表示二阶导数的表达式即可，则相应的略去)(02x ∆。
第四章-传热学数值计算方法资料
Thermal
如果源项是常数，则在离散方程的建立过程中不会带 来任何困难；当源项是所求变量的函数时，源项的数 值处理十分重要，有时甚至是数值求解的关键所在。
应用较为广泛的一种处理方法是把源项局部线性化
S SC SPTP
SC常数， SP 是S 随T 而变化的曲线在P点的斜率。 表示在TP的附近以直线代替曲线。
①.对所要得到的解进行某些定性的预计，使设计得到某些指导；
②.采用粗网格进行试算,求得T～x的变化形式，再对温度变化急
剧的区域加密，最后构成一个合适的非均匀网格。
3. 先疏后密的网格划分是有前提的
采用粗网格得到的数值结果必须符合物理上的真实性，要做到 这一点，就应该确保离散方程同时满足四个基本法则。
2020-11-2
太原理工大学
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§4.2-4 非 线 性
Thermal
若离散化方程是一个线性的代数方程，式中的各项系数均为已
知数，联立求解代数方程组可得到温度场。
但实际问题中，Kp 、KE和Ke或线性化源项的系数SC、SP是温度 T的函数，这样离散化方程的系数aE、aW、aP本身也成为温度的 函数，方程非线性采用拟线性化的方法求解（迭代）。
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源项线性化方法举例：
Thermal
eg1. 已知：S=5-4T, 可能的线性化形式有：
(1) SC 5, SP 4
(2) SC 5 4TP, SP 0 相当于设S 为常数，当S 的表达式很复杂时，
这样做或许是唯一的一种选择。
(3) SC 5 7TP, SP 11
这给出了比实际S-T关系更陡的曲线，其结果使迭代
S
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1
已知曲线
传热学第五章导热问题数值解法
2 h∆y
=
h∆y 2 2 + λ t m ,n+1 + t m ,n−1 + 2(t m−1,n + Bi ⋅ t f ) 2(2 + Bi )
9
λ
tf
3）方程组的求解 ） 对应每个未知量（一个节点温度） 一条方程 一条方程（ 对应每个未知量（一个节点温度）→一条方程（一 个节点方程） 方程组有唯一解 个节点方程）→方程组有唯一解 解法：（ ：（1） 解法：（ ）矩阵法 （2）迭代法：高斯 赛德尔迭代 ）迭代法：高斯-赛德尔迭代
λ∆y
t m−1,n − t m ,n ∆x ∆x t m ,n−1 − t m ,n +λ + ∆y ⋅ h(t f − t m ,n ) = 0 2 ∆y ∆y ∆x t m ,n+1 − t m ,n +λ ∆y 2
如取正方形网络
∆x = ∆y
上式简化为： 上式简化为：
t m ,n =
2t m−1,n + t m ,n+1 + t m ,n−1 +
对于非稳态导热问题，除了空间上进行网格划分外， 对于非稳态导热问题，除了空间上进行网格划分外， 还要把时间分割成许多间隔。 还要把时间分割成许多间隔。
4
2）有限元法 ）
把整个求解域离散成为有限个子域， 把整个求解域离散成为有限个子域，每一子域内运 用变分法， 用变分法，即利用与原问题中微分方程相等价的变 分原理来进行推导，从而使原问题的微分方程组退 分原理来进行推导， 化到代数联立方程组，得到数值解。 化到代数联立方程组，得到数值解。 有限元法和差分法都是常用的数值计算方法， 有限元法和差分法都是常用的数值计算方法，差分 法计算模型对于不规则的几何形状难以应用。 法计算模型对于不规则的几何形状难以应用。有限 元法能够很好地适应复杂的几何形状、 元法能够很好地适应复杂的几何形状、复杂的材料 特性和复杂的边界条件。 特性和复杂的边界条件。
传热学nu,re,pr,gr表达式含义
传热学是研究热量如何通过传导、对流和辐射进行传递的学科。
在传热学中，有一些常用的表达式，如Nu数、Re数、Pr数和Gr数，它们分别表示不同的传热特性。
本文将对这些表达式的含义进行详细的介绍。
一、 Nu数的含义Nu数是Nusselt数的缩写，它表示流体中的对流传热能力。
Nu数的计算公式为：Nu = hL/k其中，h是对流传热系数，L是特征长度，k是流体的导热系数。
Nu 数是对流传热与导热的比值，它越大表示对流传热能力越强，反之则表示导热能力较强。
Nu数的大小与流体的性质、流动状态和流体与固体界面的情况有关。
二、 Re数的含义Re数是Reynolds数的缩写，它表示流体的流动状态。
Re数的计算公式为：Re = ρVD/μ其中，ρ是流体密度，V是流体流速，D是特征长度，μ是流体的动力黏度。
Re数反映了流体的惯性力与黏性力之间的比值，它的大小决定了流体的流动状态，当Re数较小时，流体呈现层流状态，当Re数较大时，流体呈现湍流状态。
Re数对流体的流动特性以及传热和传质过程都有重要影响。
三、 Pr数的含义Pr数是Prandtl数的缩写，它表示流体的热传导能力与动力黏度之间的比值。
Pr数的计算公式为：Pr = μCp/κ其中，μ是动力黏度，Cp是定压比热，κ是流体的导热系数。
Pr数越大，流体的热传导能力越强，而动力黏度的影响越小，反之则动力黏度的影响越大。
Pr数的大小对对流传热和边界层的发展都有重要影响。
四、 Gr数的含义Gr数是Grashof数的缩写，它表示自然对流传热的能力。
Gr数的计算公式为：Gr = gβΔTL^3/ν^2其中，g是重力加速度，β是体积膨胀系数，ΔT是温度差，L是特征长度，ν是运动黏度。
Gr数的大小决定了自然对流传热的强弱，当Gr数较大时，自然对流传热能力越强，当Gr数较小时，传热能力较弱。
总结在传热学中，Nu数、Re数、Pr数和Gr数是常用的表达式，它们分别代表了对流传热能力、流体流动状态、热传导能力与动力黏度之间的比值以及自然对流传热的能力。
传热学 数值计算
数值计算
4、一无限大平壁厚度为 0.3m，其导热系数为λ =36.4 W/ (m·K)。平壁两侧表面均给定 为第三类边界条件，即 h 1 =60W/ (m 2 ·K)，t f 1 =25℃；h 2 =300W/ (m 2 ·K)，t f 2 =215℃。 当平壁中具有均匀的内热源 q v =2 10 W / m 时，试计算沿平壁厚度的稳态温度分布。
k
0
k k 1
11
k 2Fo (t 10 t f Bi ) (1 2Fo 2Bi Fo) t11 t11
0
四、
计算过程
⑴ 设定初值：
t (1~11) 35 ℃;
36W / m k ;
Bi h / ;
根据不同的 Fo 计算Δ τ ：
qv x 2
)/2
h2 x
h2 x TRB
qv x 2
) /(1
)
|T[i]-t[i]|<=EPS
NO
IT=IT+1
YES
打印“t[i]” ， “IT”
YES
IT>K
NO
停止
⑷ 程序与计算结果 #include"iostream.h" #include"iomanip.h" #include"math.h" #include"stdio.h" #define N 16 void main() { int M,i,IT,flag; //定义节点个数
计算结果：
各节点温度： 节点 1 2 411.24 10 422.65 3 420.33 11 414.23 4 427.22 12 403.62 5
传热与流动的数值计算
1.2 传热与流动问题数值计算的基本思想及应用举例
1.2.1 数值解基本思想（基于连续介质假设）
把原来在空间与时间坐标中连续的物理量的场 （如速度场、温度场、浓度场等），用一系列有限 个离散点（称为节点，node)上的值的集合来代替； 通过一定的原则建立起这些离散点上变量值之间关 系的代数方程(称为离散方程，discretization equation)；求解所建立起来的代数方程以获得所求 解变量的近似值。
u v w 0 x y z
div( U ) 0 t
称为流动无散（度）条件 (Zero divergence)。
2. 动量守恒方程
对上图所示的微元体分别在三个坐标方向上应用 Newton第2定律（F=ma)在流体中的表现形式： [微元体内动量的增加率]=[作用在微元体上各种力之和] 假设流体中切应力与正应力满足Stokes假定：应 力与应变成线性关系，可得u-动量方程如下：
为流体的动力粘度 ， 称为流体的第2分子粘度。
上式右端部分可进一步转化：
v u p u u w (divU 2 ) [ ( )] [ ( )] Fx x x y x y z z x x
u u u u v w ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (divU ) x x y y z z x x y x z x x p Fx u u u x div( gradu ) Su grad (u ) i j k x y z
Elliptic
的函数。 椭圆型 （回流型） 抛物型 （边界层）
0,
b 4ac
2
0, 0,
Parabolic
暖通常用设计计算公式
暖通常用设计计算公式暖通设计中常用的计算公式有很多，下面我将介绍其中的一些。
1.传热计算公式传热是暖通设计中非常重要的一个问题，常用的传热计算公式包括：-内外表面传热阻力计算公式：R=(1/h1)+R1+(1/h2)+R2，其中h1、h2分别为内外表面的对流传热系数，R1、R2分别为内外表面的传热阻力。
-热传导计算公式：Q=(T1-T2)/(R1+R2+R3)，其中T1、T2分别为两侧的温度，R1、R2、R3分别为热传导的阻力。
-辐射传热计算公式：Q=σ*ε*A*(T1^4-T2^4)，其中σ为斯特藩-玻尔兹曼常数，ε为表面的辐射系数，A为表面积，T1、T2为两侧的温度。
2.水负荷计算公式暖通设计中常需要计算水负荷，以下是常用的公式：-冷却水负荷：Qc=m*Cp*δT，其中m为水的质量流量，Cp为水的比热容，δT为供回水温差。
-加湿负荷：Qh=m*Cp*δH，其中m为空气的质量流量，Cp为空气的比热容，δH为空气的含湿量差。
-蒸汽负荷：Qv=m*Hv，其中m为蒸汽的质量流量，Hv为蒸汽的焓值。
3.空气换气量计算公式空气换气量是暖通设计中的另一个重要参数，以下是常用的计算公式：-负荷法：V=Q/(ρ*Cp*δT)，其中V为换气量，Q为负荷，ρ为空气密度，Cp为空气的比热容，δT为温度差。
-权值法：V=Σ(Vi*Ti)/ΣTi，其中Vi为每个房间的换气量，Ti为每个房间的权重。
4.管道水力计算公式暖通系统中的管道水力计算也很重要-流量公式：Q=A*v，其中Q为流量，A为管道的横截面积，v为流速。
-压降公式：ΔP=f*(L/D)*(v^2/2g)，其中ΔP为压降，f为摩阻系数，L为管道长度，D为管道直径，v为流速，g为重力加速度。
-功率公式：P=Q*H*ρ*g，其中P为功率，Q为流量，H为扬程，ρ为水的密度，g为重力加速度。
以上只是暖通设计中常用的一些计算公式，实际应用中还会根据具体情况选择合适的公式进行计算。
传热学数值计算
传热学数值计算作业数值解程序：tw1=40 %三边温度tw2=100 %一边温度正弦变化幅度l1=40 %板长L1:40厘米l2=20 %板宽L2:20厘米m=41 %分划成40*20的网格n=21k=2dx=l1/(m-1)c=ones(n,m)for i=1:ma2(i)=tw1+tw2*sin(pi*dx*(i-1)/l1)c(1,i)=tw1 ,c(n,i)=a2(i)endfor j=1:nc(j,1)=tw1c(j,m)=tw1endwhile (abs(c(j,i)-k)>0.0001)k=c(j,i)for i=2:m-1for j=2:n-1c(j,i)=0.25*(c(j,i-1)+c(j,i+1)+c(j-1,i)+c(j+1,i)) endendend数值解中各网格点的温度值：数值二维温度分布图像：解析解程序： tw1=40 tw2=100 l1=40 l2=20 p=40 q=20 x(1)=0 for i=1:px(i+1)=x(i)+1 end y(1)=0 for j=1:qy(j+1)=y(j)+1 endfor i=1:p+1 for j=1:q+1n(j,i)=tw1+tw2*sinh(pi*y(j)/l1)*sin(pi*x(i)/l1)/sinh(pi*l2/l1) end end各网格点用解析式得到的温度值：50L1/cmnumerical calculation 2D temperature distributionL2/cmt e m p e r a t u r e /c e l s i u s d e g r e e解析二维温度分布图像：误差分析：取x=21，即位于板长一半处，温度随y （宽度）的变化曲线。
c1(:,1) 取自于数值解， c1(:,2) 取自于解析解 c1(:,1) c1(:,2) 40.0000 40.0000 43.3106 43.4164 46.6465 46.8538 50.0313 50.3335 53.4889 53.8771 57.0430 57.5062 60.7178 61.2434 64.5376 65.1117 68.5273 69.1350 72.7122 73.3381 77.1187 77.7470 81.7736 82.3888 86.7050 87.2922 91.9423 92.4875 97.5162 98.0068 103.4592 103.8840 109.8058 110.1555 116.5925 116.8600 123.8586 124.0388 131.6461 131.7363 140.0000 140.000050L1/cmanalytical method 2D temperature distributionL2/cmt e m p e r a t u r e /c e l s i u s d e g r e e误差曲线：由相对误差公式：d1= (c1(:,2) -c1(:,1))./ c1(:,2) 可得： d1 = 0 0.0024 0.0044 0.00600.00720.0081 0.0086 0.0088 0.0088 0.0085 0.0081 0.0075 0.0067 0.0059 0.0050 0.0041 0.0032 0.0023 0.0015 0.0007 0结论：数值解与解析解吻合很好。
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Fe aE De 2
Thermal
Fw Fe aP Dw De aW aE Fe Fw 2 2
2、对方程的几点说明 由于连续性，Fe=Fw， aP aW aE（只是在流 场满足连续性条件时才具有这一性质）； 方程 aP P aE E aW W 隐含着分段线性分布的含
讨论只有对流项和扩散项存在时的一维稳态问题，控 制方程为：
u j ( ) S x j x j x j
d d d u ( ) dx dx dx
d 连续方程： u 0 dx
u const
任务：导出相应方程的离散化形式
义，也是熟知的中心差分格式（用左右节点值表示
界面上的值以及界面上的导数值）； 方程必须遵守四项基本法则，否则会产生灾难性的 结果。
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Thermal
例如：设 De Dw 1， Fe Fw 4 若E、W给定，即可由离散方程求得P 。
即， F 2D时，有可能使 aE 或aW 为负 产生不切实际的结果
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Thermal
这就是中心差分格式求解对流换热问题时仅限于低
Fw Fe Re(低的F/D)的原因 . aP Dw De aW aE Fe Fw 2 2
原通用方程可改写为
u j ( )S x j x j x j
对于已知的ρ、uj、Γ及S（常量）的分布，任何解及
+c 将同时满足方程，故系数和的法则仍然适用。
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Thermal
§5.2 一维稳态对流与扩散
1 1 e E P w W P (e、w位于节点中间) 2 2 对于不同的界面位置，则需要采用其它的内插因子。 d d 式 u e u w 可写成 dx e dx w 1 u e E P 1 u w W P e E P w P W x e x w 2 2
Γe、Γw可以用算பைடு நூலகம்平均法或调和平均法求得。
定义：
D 扩散传导性. x
Thermal
F u 对流或流动强度，可正 、可负，由流动方向定
整理后的离散化方程 其中：
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a p P aE E aWW
Fw 2 太 原 理 工 大 学 aW Dw
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§5.1 任 务
1、上章内容总结
Thermal
在通用微分方程中忽略了对流项，给出了非稳态项、 扩散项及源项的离散化方法，阐述了求解代数方程 组的方法。只要对流项的加入不改变离散化方程的 形式，方程组的求解方法仍然适用。
2、本章任务
在已知流场（V分量及ρ）的情况下，求解分布。对 流项与扩散项之间有不可分割的关系，因此需要把 这两项处理成一个单位，其它项可以作为陪衬.
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Thermal
( u j ) u j u j x j x j x j
两式相加得
( u j ) u j u j x j x j x j u j x j
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Thermal
① 获得流场的方法：可以得知于实验；也可以由一个解
析解给定；或通过流动的数值计算获得；或干脆由猜
测估计得知。
② “扩散”的广义解释：不仅限于表示由浓度梯度引起
的一种化学组分的扩散，由的梯度引起的扩散流是
x
，即方程中的
若E 200, W 100 P 50
两个值均不 符合实际
若E 100, W 200 P 250
aW Dw Fw 2 1 2 3
aE De Fe 2 1 2 1 违背了正系数规则
aP aE aW 1 3 2, 而 anb 1 3 4 这样，aP anb , 违反了斯卡巴勒准则（ 主对角占优）
扩散项为零（Γ=0），中心差分格式导致 aP 0 于是方程 aPTP anbTnb 不适用于逐点迭代法求解 了，也不适用于采用其它的迭代解法了。
d d d x d x e w
u e u w
d d d u dx dx dx
对流项及扩散项中的均采用分段线性的函数表示
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二阶导数项为扩散项。 x x
3、通用方程的改写形式
u ( )S j x j x j x j
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( u j ) u j u j x j x j x j
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§5.2-1 预备性的推导 （中心差分格式）
1、离散化方程的导出 选三点网格群见右图。控制 容积界面e、w的实际位置
W (x)w w PP (x)e e E x
不会影响最终的公式。在此
x
设定其位于节点中间，这样还是比较方便的。 在控制容积内对微分方程积分