高中数学 第三章《数系的扩充与复数的引入》素材2 苏教版选修12
第三章数系的扩充与复数的引入教材分析
第三章数系的扩充与复数的引入》教材分析广州市黄埔区教育局教研室肖凌戆数系的扩充与复数的引入是选修1－2与选修2－2 的内容，是高中生的共同数学基础之一．数系的扩充过程体现了数学的发现和创造过程，同时了数学产生、发展的客观需求，复数的引入襀了中学阶段数系的又一次扩充．《课标》将复数作为数系扩充的结果引入，体现了实际需求与数学内部的矛盾在数系扩充过程中的作用，以及数系扩充过程中数系结构与运算性质的变化．这部分内容的学习，有助于学生体会理论产生与发展的过程，认识到数学产生和发展既有来自外部的动力，也有来自数学内部的动力，从而形成正确的数学观；有助于发展学生的全新意识和创新能力．复数的内容是高中数学课程中的传统内容．对于复数，《课标》要求在问题情境中了解数系的扩充过程，体会实际需求与数学内部的矛盾（数的运算规则、方程理论）在数系扩充过程中的作用，感受人类理性思维的作用以数与现实世界的联系；理解复数的基本概念以及复数相等的充要条件；了解复数的代数表示法及其几何意义；能进行复数代数形式的四则运算，了解复数代数形式的加、减运算的几何意义．本章内容分为2节，教学时间约4 课时．第一节数系的扩充和复数的概念本节的主要教学内容是数系的扩充和复数的概念、复数的几何意义（几何表示和向量表示）．•教学目标（1）在问题情境中了解数系的扩充过程，体会实际需求与数学内部的矛盾（数的运算规则、方程理论）在数系扩充过程中的作用，感受人类理性思维的作用以及数与现实世界的联系．（2）理解复数的基本概念以及复数相等的充要条件．（3）了解复数的代数表示法及其几何意义．•教学重点（1）数系的扩充过程．（2）复数的概念、复数的分类和复数相等的充要条件．（3）复数的几何意义．•教学难点（1）虚数单位i 的引进．（2）复数的几何意义．•教学时数本节教学，建议用2 课时．第1 课时处理数系的扩充和复数的概念；第 2 课时研究复数的几何意义．•课标对本节内容的处理特点数系的扩充和复数的概念，《课标》与《大纲》教学内容相同，但在处理方式和目标定位上存在差异：（1）《课标》将复数作为数系扩充的结果引入．《大纲》教科书先安排复数的概念，再研究复数的运算，最后介绍数系的扩充．《课标》实验教科书在介绍数系扩充的思想方法的基础上引入复数的概念，力求还原复数的发现与建构过程．（2）《课标》强调在问题情境中了解数系的扩充过程，体会实际需求与数学内部的矛盾在数系扩充过程中的作用，感受人类理性思维的作用以及数与现实世界的联系．从这上点上看，《课标》要求提高了．(3)在复数的代数表示法及其几何意义上，《课标》的教学定位是“了解”，而《大纲》要求“掌握”.从这上点上看，《课标》要求降低了.•教学建议1 •关于“数系的扩充的复数的概念”的教学建议(1)课题的引入•教学时，可从方程在给定范围内是否有解提出问题：①在自然数集N中，方程x= 0有解吗？②在整数集Z中，方程2x =1有解吗？③在有理数集Q中，方程x2= 2有解吗？④在实数集R中，方程•有解吗？(2)回顾从自然数集N扩充到实数集R的过程•帮助学生认识数系扩充的主要原因和共同特征•可让学生思考如下问题：①从自然数集N扩充到实数集R经历了几次扩充？②每一次扩充的主要原因是什么？③每一次扩充的共同特征是什么？然后师生共同归纳总结：扩充原因：① 满足实际问题解决的需要；② 满足数学自身完善和发展的需要. 扩充特征：① 引入新的数；② 原数集中的运算规则在新数集中得到保留和扩展.(3)提出新的问题：如何对实数集进行扩充，使方程x2T=0在新的数集中的解？(4)引入虚数单位i .(5)学习复数的概念.(6 )规定复数相等的意义.(7)研究复数的分类.(8)告诉学生“两个复数只能说相等或不相等，不能比较大小”的理由：①a，bi=c，di=a=c, b = d ；在a=c b c两式中，只要有一个不成立，则a bi = c di .②如果两个复数都是实数，则可以比较大小；否则，不能比较大小.③“不能比较大小”的确切含义是指：不论怎样定义两个复数之间的一个关系“v”，都不能使这种关系同时满足实数集中大小关系的四条性质：对于任意实数a , b来说，a ::: b , a = b , b . a这种情况有且只有一种成立；如果a ： b, b c，那么a c ；女口果a :: b，那么a c ：： b c ；如果a ： b, 0 ：：：c，那么ac ::: bc.2 •关于“复数的几何意义”的教学建议(1 )帮助学生认识复数的几何表示.复数的几何表示就是指用复平面内的点Z ( a,b)来表示复数z = a bi .①明确“复平面”的概念.②建立复数集C和复平面内所有的点所成的集合之间的—对应关系，即J一一对应、复数z=a，bi = "复平面内的点Z ( a,b).(2 )帮助学生认识复数的向量表示•复数的向量表示就是指用复平面内的向量OZ 来表示复数z = a bi •①认识复平面内的点Z ( a,b )与向量OZ 的■对应关系.② 在相互联系中把握复数的向量表示：复数z = a bi——对应戸' .兀、——对应点 Z ( a,b —— 对应 > 向量OZ(3 )用数形结合的思想方法，强化对复数几何意义的认识.在复平面内，实数与实轴上的点一一对应，纯虚数与虚轴上的点(原点除外)一一对应，非纯虚数的 虚数与象限内的点一一对应•可通过一组练习题来强化这一认识.第二节 复数代数形式的四则运算本节的主要教学内容是复数代数形式的加减运算及其几何意义，复数代数形式的乘除运算. •教学目标(1 )掌握复数代数形式的加减运算法则. (2 )了解复数代数形式的加减运算的几何意义. (3 )理解复数代数形式的乘除运算法则. (4)体验复数问题实数化的思想方法. •教学重点(1) 复数代数形式的加减运算及其几何意义. (2) 复数代数形式的乘除运算.(3) 复数问题实数化的思想方法复数的理解与运用. •教学难点(1) 复数代数形式的加减运算的规定.(2) 复数代数形式的加减运算的几何意义的理解. (3) 复数代数形式的乘除运算法则的运用. •教学时数本节教学，建议用 2课时•第1课时处理复数代数形式的加减运算及其几何意义；第 2课时研究复数代数形式的乘除运算.•课标对本节内容的处理特点复数代数形式的四则运算， 《课标》与《大纲》教学内容与要求基本相同，但在目标定位上存在差异：(1) 《课标》要求了解复数代数形式的加减运算的几何意义，对复数的向量表示提出了要求，强化了 数形结合思想方法； (2) 《课标》明确强调“淡化烦琐的计算和技巧性训练，突出了复数问题实数化的思想方法. •教学建议1 •复数代数形式的加法和乘法的运算法则是一种规定，要让学生理解其合理性•这种合理性应从数 系扩充的角度来理解：这种规定与实数加法、乘法的法则是一致的，而且实数加法、乘法的有关运算律在 这里仍然成立.2 •复数的减法、除法分别规定为复数的加法和乘法的逆运算，要让学生按照这种规定自主得出复数 减法和除法的运算法则. 3•复数代数形式的四则运算可以类比代数运算中的“合并同类项”“分母有理化”，利用i 2二-1，将它们归结为实数的四则运算•在具体运算情境中，弓I 入共轭复的概念，明确公式(a - bi)(a_bi)二a 2 • b 2是复数除法中“分母实数化”的基础，不必让学生专门计忆复数除法法则•从而让学生体验复数问题实数 化的思想方法.4 •要引领学生从平面向量的加法、减法的平行四边形或三角形法则来认识并理解复数代数形式的加 减运算的几何意义.附录一:《数系的扩充与复数的引入》章末复习学案一、本章复习要求：(1)复数的概念：①理解复数的基本概念；②理解复数相等的充要条件；③了解复数的代数表示法及其几何意义•(2)复数的四则运算：①会进行复数代数形式的四则运算；②了解复数代数形式的加、减运算的几何意义二、基础知识回顾：1 •虚数单位“ i ”的两条规定：①i2=-1, ②i与实数在一起，可以进行通常的四则运算。
高中数学 第三章 数系的扩充与复数的引入 习题课(二)数系的扩充与复数的引入 苏教版选修2-2-苏教
习题课（二）数系的扩充与复数的引入1．已知a ，b ∈R ，i 是虚数单位．若a ＋i ＝2－b i ，则 (a ＋b i)2＝( ) A ．3－4i B ．3＋4i C ．4－3i D ．4＋3i解析：选A 由a ＋i ＝2－b i 可得a ＝2，b ＝－1，则(a ＋b i)2＝(2－i)2＝3－4i. 2．复数z 满足(－1＋i)z ＝(1＋i)2，其中i 为虚数单位，则在复平面上复数z 对应的点位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限解析：选D z ＝(1＋i )2－1＋i ＝2i (－1－i )(－1＋i )(－1－i )＝2i (－1－i )2＝1－i ，故z 在复平面内对应的点的坐标为(1，－1)，位于第四象限．3．如果复数z ＝2－1＋i ，则( )A ．|z |＝2B ．z 的实部为1C ．z 的虚部为－1D ．z 的共轭复数为1＋i解析：选C 因为z ＝2－1＋i ＝2(－1－i )2＝－1－i ，所以|z |＝2，z 的实部为－1，虚部为－1，共轭复数为－1＋i ，因此选C.4．在复平面内，向量AB →对应的复数是2＋i ，向量CB →对应的复数是－1－3i ，则向量CA →对应的复数为( )A ．1－2iB ．－1＋2iC ．3＋4iD ．－3－4i解析：选D ∵AB →对应复数2＋i ，BC →对应复数1＋3i ， ∴AC →对应复数(2＋i)＋(1＋3i)＝3＋4i ， ∴CA →对应的复数是－3－4i.5．已知i 为虚数单位，若复数z ＝1－a i1＋i (a ∈R )的实部为－3，则|z |＝( )A.10B ．2 3 C.13D ．5解析：选D ∵z ＝1－a i 1＋i ＝(1－a i )(1－i )(1＋i )(1－i )＝1－a －(a ＋1)i 2的实部为－3，∴1－a2＝－3，解得a ＝7.∴z ＝－3－4i ，则|z |＝5.故选D.6．设z 是复数，则下列命题中的假命题是( ) A ．若z 2≥0，则z 是实数 B ．若z 2<0，则z 是虚数 C ．若z 是虚数，则z 2≥0 D ．若z 是纯虚数，则z 2<0解析：选C 设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，选项A ，z 2＝(a ＋b i)2＝a 2－b 2＋2ab i≥0，则⎩⎪⎨⎪⎧ab ＝0，a 2≥b 2，故b ＝0或a ，b 都为0，即z 为实数，正确．选项B ，z 2＝(a ＋b i)2＝a 2－b 2＋2ab i<0，则⎩⎪⎨⎪⎧ab ＝0，a 2<b 2，则⎩⎪⎨⎪⎧a ＝0，b ≠0，故z 一定为虚数，正确．选项C ，若z 为虚数，则b ≠0，z 2＝(a ＋b i)2＝a 2－b 2＋2ab i ，由于a 的值不确定，故z 2无法与0比较大小，错误．选项D ，若z 为纯虚数，则⎩⎪⎨⎪⎧a ＝0，b ≠0，则z 2＝－b 2<0，正确．7．复数z ＝3＋i1＋2i的共轭复数是________．解析：依题意得z ＝(3＋i )(1－2i )(1＋2i )(1－2i )＝5－5i5＝1－i ，因此z 的共轭复数是1＋i.答案：1＋i8．i 为虚数单位，设复数z 1，z 2在复平面内对应的点关于原点对称，若z 1＝2－3i ，则z 2＝________.解析：∵(2，－3)关于原点的对称点是(－2,3)， ∴z 2＝－2＋3i. 答案：－2＋3i9．已知z ，ω为复数，(1＋3i)z 为纯虚数，ω＝z2＋i ，且|ω|＝52，则ω＝________.解析：由题意设(1＋3i)z ＝k i(k ≠0且k ∈R )，则ω＝k i(2＋i )(1＋3i ).∵|ω|＝52，∴k ＝±50，故ω＝±(7－i)． 答案：±(7－i)10．已知复数z ＝(1－i)2＋1＋3i.(1)求|z |；(2)若z 2＋az ＋b ＝z ，某某数a ，b 的值． 解：z ＝(1－i)2＋1＋3i ＝－2i ＋1＋3i ＝1＋i. (1)|z |＝12＋12＝ 2.(2)z 2＋az ＋b ＝(1＋i)2＋a (1＋i)＋b ＝2i ＋a ＋a i ＋b ＝a ＋b ＋(a ＋2)i ， ∵z ＝1－i ，∴a ＋b ＋(a ＋2)i ＝1－i ，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝1，a ＋2＝－1，∴a ＝－3，b ＝4.11．已知z ＝x －i 1－i (x >0)，且复数ω＝z (z ＋i)的实部减去它的虚部所得的差等于－32，求ω·ω.解：ω＝z (z ＋i)＝x －i 1－i ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －i 1－i ＋i ＝x －i 1－i ·x ＋11－i ＝x ＋12＋x 2＋x2i.根据题意x ＋12－x 2＋x2＝－32，得x 2－1＝3. ∵x >0，∴x ＝2，∴ω＝32＋3i.∴ω·ω＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32＋3i ⎝ ⎛⎭⎪⎫32－3i ＝454.12．已知等腰梯形OABC 的顶点A ，B 在复平面上对应的复数分别为1＋2i ，－2＋6i ，OA ∥BC .求顶点C 所对应的复数z .解：设z ＝x ＋y i ，x ，y ∈R ，如图，因为OA ∥BC ，|OC |＝|BA |， 所以k OA ＝k BC ，|z C |＝|z B －z A |， 即⎩⎪⎨⎪⎧21＝y －6x ＋2，x 2＋y 2＝32＋42，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－5，y ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－3，y ＝4.因为|OA |≠|BC |，所以x ＝－3，y ＝4(舍去)，故z＝－5.。
高中数学 第三章《数系的扩充与复数的引入》素材1 苏教版选修12
复数运算问题在高考中出现的频率较高，它有效地考查了学生的运算能力．因此，对复数的运算法则，我们必须牢固掌握，并会灵活运用．除此之外，在代数式运算中要牢记常用的有关复数的关系式，以提高我们复数运算的速度．下面例析几种常用的运算方法．一、分母实数化 对于分式型（或除法）的复数运算或化简问题，可先用分母实数化来解决，即同乘以分母的共轭复数．特别地，运用分母实数化，有1i i 1i +=-，1i i 1i -=-+，1i i =-． 例1 (1i)(12i)1i-+=+（ ）． （A ）2i -- （B ）2i -+ （C ）2i - （D ）2i +解：原式1i (12i)i (12i)2i 1i-+=-+=-+，故选（C ）． 二、运用i n 的周期性由于4i 1n =，41i i n +=，42i 1n +=-，43*i i()n n +=-∈N ，于是就有4414243i i i i 0n n n n ++++++=．例2 20051i 1i +⎛⎫= ⎪-⎝⎭（ ）． （A ）i （B ）i - （C ）20052 （D ）20052-解：由1i i 1i+=-，原式200545011i i i ⨯+===，故选（A ）． 三、运用乘法公式是指直接运用乘法公式计算，即(i)(i)()()i a b c d ac bd ad bc ++=-++．例3 设复数12z =+，则22z z -=（ ）．（A ）3- （B ）3（C ）3i - （D ）3i解：原式2(122(1212222223=+-+=+---=-，故选（A ）．四、运用2(1i)2i ±=±，4(1i)4±±=-．先化简后代入，再计算，可减少运算量． 例4 221i 1i (1i)(1i)-++=+-________． 解：由2(1i)2i ±=±，则原式1i 1i 2i 12i 2i 2i-+-=-==-． 五、运用132ω=-+的性质 ①331ωω==，1ωω+=-，1ωω=；②210ωω++=，210ωω++=．例5 复数5(13i)13i -++的值是（ ）． （A ）16- （B ）16 （C ）14-（D ）13i 44- 解：由13i 2ω-+=，213i ω+=-． 则原式56(2)16162ωωω==-=--，故选（A ）． 六、运用2zz z =进行转换此公式一边为两复数的积，一边为非负实数，是实数与复数相互沟通的桥梁．例6 若z ，1z ∈C ，1z z ≠，且2z =，求114z z zz --的值． 解：∵2z =，24z zz ==， ∴1111111124()z z z z z z zz zz zz z z z z ---====---．复数问题中的数学思想在解决复数问题时，若能适当地运用数学思想，往往能迅速找到解题的突破口，同时能提高同学们的思维能力和数学素养，增强分析问题、解决问题的能力．一、函数思想函数思想是一种重要的数学思想，有关复数的最值问题，常通过构造函数利用函数的性质求解．例1 已知复数cos isin (02π)z θθθ=+≤≤，求θ为何值时，1i z -+取得最大值和最小值，并求出最大值和最小值．分析：本题可以转化为利用三角函数求最值的问题．解：221i cos i(sin 1)(cos 1)(sin 1)z θθθθ-+=+-=++-π2(cos sin )322cos 34θθθ⎛⎫=-+=++ ⎪⎝⎭ ∵02πθ≤≤，∴当7π4θ=时，max 1i 21z -+； 当3π4θ=时，max 1i 21z -+=．二、数形结合思想复数的表示形式常含有明显的几何意义．在处理复数问题时，灵活地运用复数的几何意义，以数释形、以形助数，可使许多问题得到快捷地解决．例2 设复数z 满足1z =，求(34i)z -+的最值． 分析：依据复数的几何意义求解． 解：由复数的几何意义知1z =表示复数z 的对应点Z 的轨迹是以(00)，为圆心，1为半径的圆．因而所求向量的几何意义是求此圆上的点到点(34)C ，的距离的最大值与最小值．如右图易知22max (34i)13416z AC OC -+==+=++=，min (34)14z BC OC -+==-=．例3 已知集合{}11M z z z =-∈C ≤，，{}1i 2N z z z z =--=-∈C ，，P M N =．（1）指出集合P 在复平面内所对应的点表示的图形；（2）求集合P 中复数的模的最值．分析：利用复数的几何意义确定图形，进而转化为方程关系，求得复数的模的最值． 解：（1）由11z -≤可知，集合M 在复平面内所对应的点集是以点(10)，为圆心，以1为半径的圆面（含边界）；由1i 2z z --=-可知，集合N 在复平面内所对应的点集是以(11)，、(20)，为端点的线段的中垂线l ．因此集合P 是圆11z -=截直线l 所得的一条线段AB （设A B ，是两个交点）；（2）易求得圆的方程为2220x y x +-=，直线l 的方程为1y x =-． 解方程组22201x y x y x ⎧+-=⎨=-⎩，，得 交点22222A ⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭，、222222B ⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭，， ∴22OA =+，22OB =-，点O 到直线l 的距离为，且过O 向直线l 引垂线，垂足在线段AB 上．又2222<+，故集合P 中复数的模的最大值为22+，最小值为22． 三、整体思想 对于有些复数问题，若从整体上去观察、分析题设结构，充分利用复数的有关概念、共轭复数与模的性质等，对问题进行整体处理，可进一步提高灵活、综合运用知识的能力． 例4 设复数z 和它的共轭复数z 满足4233i z z +=+，求复数z 的值．分析：充分利用共轭复数性质、复数的模的意义、复数相等的充要条件即可解出．在求解过程中，整体代入可获得简捷、明快、别具一格的解法．解：设i()z a b a b =+∈R ，，将4233i z z +=+化为2(22)33i z z z ++=+． 由222(i)2(i)4z z a b a b a +=++-=，整体代入，得2433i z a +=+，∴3341i 2a z -=+． 根据复数相等的充要条件得到33412a a b ⎧-=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，，解得31.2a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， 故31i 22z =+．四、分类讨论思想分类讨论就是将数学对象划分为不同种类进行研究或求解的一种数学思想．通过合理的分类讨论，可以使较复杂的问题简单化．有关复数问题中若含有参数，常常需要根据参数的范围分类讨论．例5 已知m ∈R ，复数2(2)(23)i 1m m z m m m -=++--．当m 为何值时： （1）z ∈R ；（2）z 是纯虚数；（3）z 对应的点位于复平面第二象限；（4）z 对应的点在直线30x y ++=上．分析：复数i()z a b a b =+R ，，，当且仅当0b =时，z ∈R ；当且仅当0a =且0b ≠时，z 为纯虚数；当0a <，0b >时，z 对应的点位于复平面的第二象限；复数z 对应的点的坐标是直线方程的解，这个点就在这条直线上．解：（1）由2230m m +-=且10m -≠，得3m -=．故当3m =-时，z ∈R ；（2）由2(2)01230m m m m m -⎧=⎪-⎨⎪+-≠⎩，，解得0m =或2m =．故当0m =或2m =时，z 为纯虚数；（3）由2(2)01230m m m m m -⎧<⎪-⎨⎪+->⎩，，解得3m <-或12m <<．故当3m <-或12m <<时，z 对应的点位于复平面的第二象限；（4）由2(2)(23)301m m m m m -++-+=-，得2(24)01m m m m +-=-， 解得0m =或1m =-±故当0m =或1m =-+±时，z 对应的点在直线30x y ++=上．例6 已知复数(2)(2)i x x z a a -=+++，a ∈R ，当x 在()-∞+∞，内变化时，试求z 的最小值()g a ． 分析：设法表示出z 来，然后转化求解，针对a 的情况讨论． 解：222222(2)(2)222(22)2x x x x x x z a a a a ---=+++=++++． 令22x x t -=+，则2t ≥，且222222x x t -+=-． 从而22222222()2z t at a t a a =++-=++-，当2a -≥，即2a -≤时，()g a =当2a -<，即2a >-时，()1g a ==+．五、转化思想在解决一些复数问题时，常需要将复数问题转化为实数问题来解决．例7 设z 是虚数，1z zω=+是实数，且12ω-<<． （1）求z 的值及z 的实部的取值范围；（2）设11z u z-=+，求证：u 为纯虚数； （3）求2u ω-的最小值．分析：所给条件与复数的概念有关系，不妨设i()z a b a b =+∈R ，，且0b ≠，从而转化为实数问题．（1）解：设i z a b =+，a b ∈R ，且0b ≠， 则22221i i i a b a b a b a b a b a b ω⎛⎫⎛⎫=++=++- ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭． ∵ω是实数，0b ≠，∴221a b +=，即1z =．于是2a ω=，12ω-<<，∴112a -<<． 故z 的实部的取值范围是112⎛⎫- ⎪⎝⎭，； （2）证明：222211i 12i i 11i (1)1z a b a b b b u z a b a b a ------====-++++++． ∵112a ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，且0b ≠， ∴u 为纯虚数； （3）解：22222i 21(1)b b u a a a a ω⎛⎫-=--=+ ⎪++⎝⎭ 22112222(1)3(1)11a a a a a a a a --=+=+=++-+++． ∵112a -<<，∴10a +>． 于是222(1)322311u a a ω-=++-⨯-=+≥． 当且仅当111a a +=+，即0a =时等号成立． ∴2u ω-的最小值为1．新题速递复数的题目具有活而不难的特点，且常考常新，要求具有灵活处理问题的能力，注意抓好基础，对复数的概念和运算要熟练掌握．同时在运算过程中要注意复数问题实数化方法，复数相关公式的灵活运用等．同学们在阅读本版“复数运算的常用方法”的基础上，再看下例．例 设i 是虚数单位，13i 22ω=-+，则使得(i )1n ω=成立的最小的正整数n 的值等于__________． 分析：可以先将复数i ω求出，再取123n =，，，逐一计算验证，从而求出n 的最小值；也可以根据复数i ω的幂值的周期性进行求解．解法一：由于13i 22ω=-+， 所以31i i 22ω=--， 于是213(i )i 22ω=+，3(i )i ω=-，413(i )i 22ω=-+，531(i )i 22ω=-，6(i )1ω=-，731(i )i 22ω=+，813(i )i 22ω=--，9(i )i ω=，1013(i )i 22ω=-，1131(i )i 22ω=-+，12(i )1ω=． 所以n 的最小值是12．解法二：由于1i i =，2i 1=-，3i i =-，4i 1=，13i 22ω=-+，213i 22ω=--，31ω=， 所以1212124334(i )i(i )()1ωωω===， 故使(i )1n ω=成立的最小正整数是12．点评：本题主要考查复数的乘法运算以及两个常用的虚数i ，ω的有关性质．对于虚数单位i ，它的幂值具有周期性，复数13i 22ω=-+是1的一个虚立方根，它的幂值也具有周期性，利用这些性质可以方便地解决这类题目，它能考查同学们探索问题、解决问题的能力．。
高中数学苏教版《选修2-2》《第三章 数系的扩充与复数的引入》精
高中数学苏教版《选修2-2》《第三章数系的扩充与复数的引入》精高中数学苏教版《选修2-2》《第三章数系的扩充与复数的引入》精品专题课后练习【2】(含答案考点及解析)班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________1.若复数【答案】【考点】高中数学知识点》推理与证明、数系的扩充与复数》复数》复数概念和向量表示【解析】试题分析：由题意知，考点：复数的概念.，解得．（为实数，i为虚数单位）是纯虚数，则m_____.2.从如图所示的长方形区域内任取一个点，则点取自阴影部分的概率为 .【答案】【考点】高中数学知识点》函数与导数》导数》积分【解析】试题分析：由定积分的几何意义可知，点积为矩形面积，那么比值为.取自阴影部分的面积为，总的区域面考点：1.定积分的几何意义；2.几何概型.3.若复数的实部为，且A．，则复数的虚部是（）B．C．D．【答案】B【考点】高中数学知识点》推理与证明、数系的扩充与复数》复数》复数综合运算【解析】试题分析：设，则由，得，即复数的虚部是，选.考点：复数的概念，复数的模.4.过点P(－1,2)且与曲线y＝3x－4x＋2在点M(1,1)处的切线平行的直线2方程是________．【答案】2x－y＋4＝0【考点】高中数学知识点》函数与导数》导数》导数的概念和几何意义【解析】易求y′＝6x－4，y′|x＝1＝2. ∴所求直线的斜率k＝2.∴所求直线的方程为y－2＝2(x＋1)，即2x－y＋4＝0.5.已知函数f(x)在x＝1处的导数为3，则f(x)的解析式可能为 ( )． A．f(x)＝(x －1)＋3(x－1) B．f(x)＝2(x－1)2C．f(x)＝2(x－1) D．f(x)＝x－1【答案】A【考点】高中数学知识点》函数与导数》导数》导数计算【解析】分别求四个选项的导函数分别为f′(x)＝2(x－1)＋3；f′(x)＝2；f′(x)＝4(x－1)；f′(x)＝1.26.设函数f(x)=,g(x)=,对任意x1,x2∈(0,+∞),不等式是 .【答案】{k|k≥1}≤恒成立,则正数k的取值范围【考点】高中数学知识点》函数与导数》导数》导数的综合运用【解析】∵k为正数,∴对任意x1,x2∈(0,+∞),不等式由g'(x)==0,得x=1,≤恒成立?[]max≤[]minx∈(0,1)时,g'(x)>0,x∈(1,+∞)时,g'(x)<0, ∴[]max==.=0,得x=,同理由f'(x)=x∈(0,)时,f'(x)<0,x∈(,+∞)时,f'(x)>0, []min==,∴≤,k>0k≥1.7.下面是一段演绎推理：如果直线平行于平面，则这条直线平行于平面内的所有直线；已知直线所以直线平面，直线平面；直线，在这个推理中（）A．大前提正确，结论错误B．小前提与结论都是错误的C．大、小前提正确，只有结论错误 D．大前提错误，结论错误【答案】D【考点】高中数学知识点》推理与证明、数系的扩充与复数》推理与证明》合情推理与演绎推理【解析】试题分析：如果直线平行于平面，则这条直线只是与平面内的部分直线平行，而不是所有直线，所以大前提错误，当直线平面，直线平面时，直线与直线可能平行，也可能异面，故结论错误，选D. 考点：演绎推理.8.用火柴棒摆“金鱼”，如图所示，按照规律，第n个“金鱼”图需要火柴棒的根数为________(用n表示)．【答案】Sn＝6n＋2.【考点】高中数学知识点》推理与证明、数系的扩充与复数【解析】根据图形可知，当n＝1时，S1＝6＋2；当n＝2时，S2＝6×2＋2；当n＝3时，S3＝6×3＋2，…，依此推断，Sn＝6n＋2.9.已知函数【答案】在上是单调减函数,则实数的取值范围是___________．【考点】高中数学知识点》函数与导数》导数》利用导数研究函数的单调性【解析】试题分析：由题意，得在是：．，因为函数在恒成立，则上是单调函数，所以，所以实数a的取值范围考点：利用导数研究函数的单调性．10.已知，为的导函数，则得图像是（）【答案】A【考点】高中数学知识点》函数与导数》导数》导数计算【解析】感谢您的阅读，祝您生活愉快。
高中数学苏教版选修2-2第三章《数系的扩充与复数的引入》word导学案(含解析)
第 3 章 数系的扩充与复数的引入第1课时 数系的扩充教学过程随着生产和科学发展的需要数集逐步扩充,它的每一次扩充,对数学学科本身来说,也解决了在原有数集中某种运算不是永远可以实施的矛盾,分数解决了在整数集中不能整除的矛盾,负数解决了在正有理数集中不够减的矛盾,无理数解决了开方开不尽的矛盾.一、 问题情境怎样将实数集进行扩充,使得x 2=-1之类方程在新的数集中有解呢?二、 数学建构问题1 怎样解决-1也能开平方的问题?解 引入虚数单位i ,规定:① i 2=-1;① 实数可以与它进行四则运算,进行四则运算时,原有加、乘运算律仍然成立.i 是-1的一个平方根.问题2 根据虚数单位的规定,得到形如a+b i (a ,b ∈R )的数,这样的新数由两部分组成,用怎样的名词定义这样的新数?解 ① 复数的定义:形如a+b i (a ,b ∈R )的数叫复数,a 叫复数的实部,b 叫复数的虚部,全体复数所成的集合叫做复数集,用字母C 表示.① 复数的代数形式:复数通常用字母z 表示,即z=a+b i (a ,b ∈R ),把复数表示成a+b i 的形式,叫做复数的代数形式.问题3 复数与实数有什么关系?解 对于复数a+b i (a ,b ∈R ),当且仅当b=0时,复数a+b i (a ,b ∈R )是实数a ;当b ≠0时,复数z=a+b i 叫做虚数;当a=0且b ≠0时,z=b i 叫做纯虚数;当且仅当a=b=0时,z 就是实数0.(图1)学生分组活动活动1 复数集C 和实数集R 之间有什么关系? 活动2 如何对复数a+b i (a ,b ∈R )进行分类? 活动3 复数集、实数集、虚数集、纯虚数集之间的关系,可以用韦恩图表示出来吗? 问题4 a=0是z=a+b i 为纯虚数的充分条件吗? 解 是必要不充分条件. 问题5 两个复数相等的充要条件是什么? 解 两个复数相等的定义:如果两个复数的实部和虚部分别相等,那么我们就说这两个复数相等,如果a,b,c,d∈R,那么a+b i=c+d i∈a=c,b=d.问题6:任何两个复数都能比较大小吗?解如果两个复数都是实数,就可以比较大小;当两个复数不全是实数时,不能比较大小.三、数学运用【例1】(教材第110页例1)写出复数4,2-3i,0,-+i,5+i,6i的实部与虚部,并指出哪些是实数,哪些是虚数,哪些是纯虚数.[1](见学生用书P54)[处理建议]让学生口答,根据复数的定义,学生一般能回答这个问题,指出复数由两部分组成.[规范板书]解4,2-3i,0,-+i,5+i,6i的实部分别是4,2,0,-,5,0;虚部分别是0,-3,0,, ,6.4,0是实数;2-3i,-+i,5+i,6i是虚数,其中6i是纯虚数.[题后反思]对于复数z=a+b i(a,b∈R),既要从整体的角度去认识它,把复数z看成一个整体,又要从实部与虚部的角度分解成两部分去认识它.这是解复数问题的重要思路之一.变式实数0是复数吗?i2的实部与虚部分别是什么?[规范板书]解0是复数;由i2=-1知,i2实部为-1,虚部为0.【例2】(教材第110页例2)实数m取什么值时,复数z=m(m-1)+i(m-1)是:(见学生用书P54)(1)实数?(2)虚数?(3)纯虚数?[2][处理建议]先分析,注意字母的取值范围.由m∈R可知(m-1),m(m-1)都是实数,根据复数的分类分别确定m的值.然后让学生上黑板板书,看学生是否是先列式后求解.尤其观察学生有没有对纯虚数分实部、虚部两个方面列式.[规范板书]解(1)当m-1=0,即m=1时,复数z是实数.(2)当m-1≠0,即m≠1时,复数z是虚数.(3)当m(m-1)=0,且m-1≠0,即m=0时,复数z是纯虚数.[题后反思]判断一个含有参数的复数在什么情况下是实数、虚数、纯虚数,首先要观察参数的取值范围,然后正确列式、解方程或不等式.变式m取何实数时,复数z=+(m2-2m-15)i 是:(1)实数?(2)虚数?(3)纯虚数?[规范板书]解(1)由解得所以当m=5时,z是实数.(2)由得所以当m≠5且m≠-3时,z是虚数.(3)由得所以当m=3或m=-2时,z是纯虚数.[题后反思]判断一个含有参数的复数在什么情况下是实数、虚数、纯虚数,首先要保证参数值有意义,如果忽略了实部是含参数的分式中的分母m+3≠0,就会酿成根本性的错误;其次对参数值的取舍,是取“并”还是“交”,非常关键,多与少都是不对的,解答后进行验算是很有必要的.【例3】(教材第111页例3)已知(x+y)+(x-2y)i=(2x-5)+(3x+y)i,求实数x,y的值.[3](见学生用书P54)[处理建议]要让学生规范表达和书写,把复数相等转化为求实数方程组的解.[规范板书]解根据两个复数相等的充要条件,可得解得[题后反思]复数问题实数化.变式已知M={1,(m2-2m)+(m2+m-2)i},P={-1,1,4i},若M∈P=P,求实数m的值.[规范板书]解因为M∈P=P,所以M∈P.①由(m2-2m)+(m2+m-2)i=-1,得解得m=1.①由(m2-2m)+(m2+m-2)i=4i,得解得m=2.综上可知m=1或m=2.[题后反思](1)复数相等的条件,是求复数值及在复数集内解方程的重要依据.(2)根据复数相等的定义可知,在a=c,b=d中,只要有一个不成立,那么a+b i≠c+d i.所以,一般地,两个复数只有说相等或不相等,而不能比较大小,例如,1+i和3+5i不能比较大小.*【例4】已知复数z=k2-3k+(k2-5k+6)i(k∈R),且z<0,求k的值.[4][处理建议]分析条件,由z<0知z∈R且实部为负数.[规范板书]解因为z<0,k∈R,所以所以k=2.[题后反思]只有两个复数都是实数时,才能比较大小.一般地,两个复数只有说相等或不相等,而不能比较大小,例如,2i和3i不能比较大小.四、课堂练习1.设C={x|x为复数},A={x|x为实数},B={x|x为纯虚数},全集U=C,那么下列结论正确的是①.(填序号)①A∈B=C;①∈U A=B;①A∩∈U B=∈;①B∈∈U B=C.2.已知a,b∈R,则a=b是(a-b)+(a+b)i为纯虚数的必要不充分条件.3.已知复数z=m2(1+i)-(m+i)(m∈R),若z是实数,则m的值为±1;若z是虚数,则m的取值范围是(-∞,-1)∈(-1,1)∈(1,+∞);若z是纯虚数,则m的值为0.提示z=(m2-m)+(m2-1)i.当m2-1=0,即m=±1时,复数z是实数.当m2-1≠0,即m≠±1时,复数z是虚数.当m2-m=0,且m2-1≠0,即m=0时,复数z是纯虚数.4.若实数x,y满足(x+y)+(x-y)i=2,则xy的值是1.提示由(x+y)+(x-y)i=2(x,y∈R)得所以所以xy=1.五、课堂小结1.本节课我们学习了虚数单位i及它的两条性质,复数的定义、实部、虚部及有关分类问题,复数相等的充要条件等概念.2.基本思想是:利用复数的概念,联系以前学过的实数的性质,对复数的知识形成较完整的认识,以及利用转化的思想将复数问题转化为实数问题.第2课时复数的四则运算(1)教学过程一、问题情境由(2+3x)+(1-4x)=3-x类比猜想,能否按同样的法则实施复数的加法呢?例如,(2+3i)+(1-4i)=3-i是否合理?二、数学建构问题1在复数集中两个复数如何进行加法运算?解在引入虚数单位i的过程中,规定i与实数一起可以按照实数的运算法则进行四则运算.在对复数的加法进行运算时,又作一次新的规定:规定:若z1=a+b i,z2=c+d i,则z1+z2=(a+b i)+(c+d i)=(a+c)+(b+d)i.问题2在实数范围内,两个数的加法满足哪些运算律?在复数范围内,能否也成立?问题3怎样理解复数的减法法则?解复数减法是复数加法的逆运算.设(a+b i)-(c+d i)=x+y i(x,y∈R),即复数x+y i为复数a+b i减去复数c+d i的差.由规定,得(x+y i)+(c+d i)=a+b i,依据加法法则,得(x+c)+(y+d)i=a+b i,依据复数相等定义,得即故(a+b i)-(c+d i)=(a-c)+(b-d)i.从而记z1=a+b i,z2=c+d i,得z1-z2=(a+b i)-(c+d i)=(a-c)+(b-d)i.问题4初中学习了多项式乘以多项式,你们能化简(a+b)(c+d)吗(a,b,c,d是有理数)?积还是无理数吗?若将“”换为“i”,其中i是虚数单位,能化简吗?(a,b,c,d都是实数)解(a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd··=(ac+2bd)+(ad+bc).因为a,b,c,d∈Q,所以ac,2bd,ad,bc都是有理数.所以ac+2bd∈Q,ad+bc∈Q.而是无理数,当ad+bc≠0时,(a+b)(c+d)是无理数.又(a+b i)(c+d i)=ac+ad i+bc i+bd i2=(ac-bd)+(ad+bc)i.(因为i2=-1,所以才能合并)因为a,b,c,d∈R,所以ac-bd∈R,ad+bc∈R.所以(ac-bd)+(ad+bc)i是复数.这就是两个复数的代数形式的乘法运算法则,于是规定复数的乘法按照以下的法则进行:设z1=a+b i,z2=c+d i(a,b,c,d∈R)是任意两个复数,那么它们的积(a+b i)(c+d i)=(ac-bd)+(bc+ad)i.其实就是把两个复数相乘,类似两个多项式相乘,在所得的结果中把i2换成-1,并且把实部与虚部分别合并.两个复数的积仍然是一个复数.问题5实数的乘法满足哪些运算律?复数中能类比吗?解实数中的乘法运算满足交换律、结合律以及分配律.这些在复数集中的乘法运算也是成立的,即z1,z2,z3∈C,有(1)z1·z2=z2·z1;(2)(z1·z2)·z3=z1·(z2·z3);(3)z1(z2+z3)=z1z2+z1z3.复数的代数式相乘,可按多项式类似的办法进行,只是在运算过程中把i2换成-1,然后把实部与虚部分别合并,不必去记公式.问题6复数z=a+b i的共轭复数是什么?特别地,实数a的共轭复数是什么?解=a-b i;实数的共轭复数是它本身.三、数学运用【例1】(教材第114页例1)计算:(1-3i)-(2+5i)+(-4+9i).[1](见学生用书P55)[处理建议]类比多项式合并同类项法则,把实部与虚部分别相加减.[规范板书]解原式=(1-2-4)+(-3-5+9)i=-5+i.[题后反思]不要省略步骤,提高运算的正确率.变式计算(1-2i)+(-2+3i)+(3-4i)+(-4+5i)+…+(-2019+2019i)+(2019-2019i).[规范板书]解法一原式=(1-2+3-4+...-2019+2019)+(-2+3-4+5+ (2019)2019)i=(2019-1001)+(1001-2019)i=1002-1003i.解法二因为(1-2i)+(-2+3i)=-1+i,(3-4i)+(-4+5i)=-1+i,…(2019-2019i)+(-2019+2019i)=-1+i,相加得(共有1001个式子):原式=1001(-1+i)+(2019-2019i)=(2019-1001)+(1001-2019)i=1002-1003i.【例2】(教材第114页例2)计算(-2-i)(3-2i)(-1+3i).[2](见学生用书P56)[处理建议]3个复数相乘,先计算其中两个复数的积,再与第3个复数相乘.[规范板书]解原式=(-8+i)(-1+3i)=5-25i.[题后反思]也可以计算后两个复数的积,再与第1个复数相乘,从而验证复数乘法满足结合律.【例3】(教材第114页例3)计算(a+b i)(a-b i).[3](见学生用书P56)[处理建议]类比多项式平方差公式,要记得把i2换成-1.[规范板书]解原式=a2-(b i)2=a2+b2.[题后反思]在复数集内,两个实数的平方和也能分解因式.变式在复数范围内分解因式:(1)x2+4;(2)x4-4.[规范板书]解(1)x2+4=(x+2i)(x-2i).(2)x4-4=(x2+2)(x2-2)=(x+i)(x-i)(x+)(x-).*【例4】已知z=(3i-1)i,则=-3+i.[4][处理建议]先进行乘法运算,然后根据共轭复数的定义求出结果.[规范板书]解z=(3i-1)i=-3-i,所以=-3+i.[题后反思]认清符号表示z的共轭复数.*【例5】已知z-3i=1+3i,求复数z.[5][处理建议]这是一道复数方程,利用复数相等的充要条件把复数方程转化为实数方程组.[规范板书]解设z=a+b i(a,b∈R),则a2+b2-3i(a-b i)=1+3i,所以有a2+b2-3b=1且-3a=3,解得a=-1,b=0或b=3,故z=-1或z=-1+3i.[题后反思]待定系数法解复数方程.四、课堂练习1.计算:(6+6i)+(3-i)-(5-3i)=4+8i.提示(6+6i)+(3-i)-(5-3i)=(6+3-5)+(6-1+3)i=4+8i.2.复数z=i2(1+i)的虚部为-1.提示z=i2(1+i)=(-1)·(1+i)=-1-i,所以虚部为-1.3.若复数z=-1+2i,则复数的虚部是-2.提示因为z=-1+2i,所以=-1-2i,所以虚部为-2.4.把复数z的共轭复数记作,i为虚数单位,若z=1+i,则(1+z)·=3-i.提示(1+z)·=(2+i)(1-i)=3-i.5.(教材第115页练习6)求满足下列条件的复数z:(1)z+i-3=3-i;(2)+(3-4i)=1;(3)(3-i)z=4+2i;(4)(-i)z=+i.解(1)z=6-2i.(2)=-2+4i,z=-2-4i.(3)z===1+i.(4)z===+i.五、课堂小结1.这节课我们学习了复数代数形式的加、减法运算及乘法运算.2.基本思想是:类比多项式的运算,理解复数的相关运算.[6]第3课时复数的四则运算(2)教学过程一、问题情境在实数中,除法运算是乘法的逆运算.类似地,可以怎样定义复数的除法运算?二、数学建构问题1复数的除法法则是什么?解设复数a+b i(a,b∈R)除以c+d i(c,d∈R),其商为x+y i(x,y∈R),其中c+d i≠0,即(a+b i)÷(c+d i)=x+y i.因为(x+y i)(c+d i)=(cx-dy)+(dx+cy)i,所以(cx-dy)+(dx+cy)i=a+b i.由复数相等的定义可知解这个方程组,得于是有(a+b i)÷(c+d i)=+i.由于c+d i≠0,所以c2+d2≠0,可见两个复数的商仍是一个复数.利用待定系数法和等价转化的思想来推导除法法则,最后再利用两个复数相等的定义解.问题2初中我们学习的化简无理分式时,采用的分母有理化的思想方法,而c+d i的共轭复数是c-d i,能否模仿分母有理化的方法对复数商的形式进行分母实数化?解====+i.所以(a+b i)÷(c+d i)=+i.三、数学运用【例1】i+i2+i3+…+i2 010+i2 011+i2 012.[1](见学生用书P57)[处理建议]i n是周期出现的,i n+i n+1+i n+2+i n+3=0(n∈N*).[规范板书]解原式=(i+i2+i3+i4)+(i5+i6+i7+i8)+…+(i2 009+i2 010+i2 011+i2 012)=0.[题后反思]可能有学生考虑用等比数列求和公式.原式==0,这个方法也很好.变式计算i+2i2+3i3+…+1 997i1 997.[规范板书]解原式=(i-2-3i+4)+(5i-6-7i+8)+(9i-10-11i+12)+…+(1993i-1994-1995i+1996)+1 997i=499·(2-2i)+1 997i=998+999i.【例2】(教材第116页例4)设ω=-+i,求证:(1) 1+ω+ω2=0;(2)ω3=1;(3)ω2=,=ω.[2](见学生用书P57)[处理建议]先计算ω2,再做加法.[规范板书]证明(1) 1+ω+ω2=1++=+i+-2××i+=+i+-i-=0.(2)ω3==+3··i+3··+=-+i+-i=+i=1.(3)ω=1,由(2)知ω2===,同理=ω.[题后反思]对于第(2)小题,也可以这样做,要证ω3=1,只要证ω3-1=0即可.由ω3-1=(ω-1)·(ω2+ω+1)=(ω-1)·0=0,由此可知,1有3个立方根:1,ω,.变式设z=+i,求证:(1) 1-z+z2=0;(2)z3=1;(3)z2=-.[规范板书]解由例2知z=+i=-,所以=-ω.(1) 1-z+z2=1++(-)2=1++ω=0.(2)z3=(-)3=1.(3)z2=(-)2=ω=-.【例3】计算:(1+2i)÷(3-4i).[3](见学生用书P58)[处理建议]用两种方法做复数的除法运算.[规范板书]解法一设(1+2i)÷(3-4i)=x+y i,所以1+2i=(3-4i)(x+y i),1+2i=(3x+4y)+(3y-4x)i.所以3x+4y=1且3y-4x=2.所以x=-,y=.所以(1+2i)÷(3-4i)=-+i.解法二(1+2i)÷(3-4i)=====-+i.[题后反思]解法一根据复数相等的充要条件应用待定系数法求复数,是常用的方法之一;解法二体现了复数问题实数化的基本思想.变式计算.解原式======1-i.*【例4】计算+.[4][处理建议]先计算=-i,再利用i n的周期性;对于,不易发现分子与分母的关系,可先启发寻找a+b i与b-a i之间的关系.[规范板书]解原式=+=-i+(-i)1997=-2i.[题后反思]在学习过程中积累一些常用结论,可以更有效地简化计算,提高计算速度.又如(1+i)2=2i,(1-i)2=-2i,=-i,===i.变式计算:i2 007+(+i)8-+.解原式=i4×501+3+[2(1+i)2]4-+=i3+(4i)4-+i=-i+256++i=256+=256-i.*【例5】已知z2=8+6i,求复数f(z)=z3-16z-的值.[5][处理建议]利用待定系数法,求出z,再代入求f(z).[规范板书]解设z=x+y i(x,y∈R),所以由①得y=,代入①得x2-=8,所以x4-8x2-9=0,所以x2=9或x2=-1(舍去).所以x=±3.当x=3时,y=1;当x=-3时,y=-1.所以z=±(3+i).当z=3+i时,f(3+i)=(3+i)3-16(3+i)-=33+3·32·i+3·3·i2+i3-48-16i-=27+27i-9-i-48-16i-30+10i=-60+20i.当z=-3-i时,f(-3-i)=(-3-i)3-16(-3-i)-=-(27+27i-9-i)+48+16i+=60-20i.[题后反思]通过此例,会求任意一个复数的平方根,会在复数范围内求函数式的值.四、课堂练习1.复数-i+=-2i .提示-i+=-i-i=-2i.2.计算:(1);(2).解(1)===-i.(2)解法一====i.解法二===i.3.=-i.解=i2 011=i3=-i.4.在复数范围内写出方程x4=1的根.解x4-1=(x2-1)(x2+1)=(x+1)(x-1)(x+i)(x-i),所以方程x4=1的根为1,-1,i,-i.五、课堂小结1.在进行复数四则运算时,我们既要做到会做,会解,更要做到快速解答.在学习过程中积累一些常用结论,可以更有效地简化计算,提高计算速度,例如:(1+i)2=2i,(1-i)2=-2i,=i,=-i;若ω=-+i,则1+ω+ω2=0,ω3=1;===i.2.在进行复数的四则运算时,容易出现的错误有:(1)由于对i的性质掌握不准确致误.如“i2=1”“i4=-1”等在计算中是常见的错误.事实上,i2=-1,i4=1.(2)在计算除法运算时出错.因为复数的除法运算是四则运算中最麻烦的一种,常会出现一些计算上的错误.第4课时复数的几何意义教学过程一、问题情境实数可以用数轴上的点来表示.实数数轴上的点.类比实数的表示,复数能否也用点来表示?二、数学建构问题1怎样用平面内的点表示复数?怎样理解复平面、实轴、虚轴?解复数z=a+b i(a,b∈R)与有序实数对(a,b)是一一对应关系,而有序实数对(a,b)与平面直角坐标系中的点Z(a,b)是一一对应的,复数集与平面直角坐标系中的点集之间可以建立一一对应的关系.复数z=a+b i(a,b∈R)可用点Z(a,b)表示,这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面,也叫高斯平面,x轴叫做实轴,y轴叫做虚轴.实轴上的点都表示实数.因为原点对应的有序实数对为(0,0),它所确定的复数是z=0+0i=0表示是实数.故除了原点外,虚轴上的点都表示纯虚数.问题2复数与从原点出发的向量是如何对应的?解复数z=a+b i(a,b∈R)的对应向量是以原点O为起点的,否则就谈不上一一对应.问题3我们知道任何一个实数都有绝对值,它表示数轴上与这个实数对应的点到原点的距离;那么我们可以给出复数的绝对值的概念吗?复数可以用向量表示,任何一个向量都有模(或绝对值),它表示向量的长度,那么复数的模与向量的模有什么联系?复数的模的几何意义是什么?解|z|==||,表示复平面内该点到原点的距离.问题4既然复数可以用向量表示,那么复数的加法有什么几何意义呢?[1]问题5复数减法是复数加法的逆运算,怎样利用向量减法的几何意义来认识复数减法的几何意义?两个复数差的模有什么几何意义?[2]解|z1-z2|表示复平面内与这两个复数对应的两点间的距离.通过该部分内容的学习,认识到复数加、减法的法则与平面向量加、减法的坐标形式是完全一致的,将数学不同知识之间建立起了联系.三、数学运用【例1】(教材第121页例1)在复平面内,分别用点和向量表示下列复数:4,2+i,-i,-1+3i,3-2i.[3](见学生用书P59)[处理建议]让学生上黑板画图,体会复数z=a+b i(a,b∈R)可用点Z(a,b)表示,也可以用原点O为起点的向量表示.[规范板书]如图,点A,B,C,D,E分别表示复数4,2+i,-i,-1+3i,3-2i.(例1)与之对应的向量可用,,,,来表示.[题后反思]了解复数的两种几何表示,常把复数z=a+b i说成点Z或向量.变式1在复平面内分别用点表示复数2-3i,5i,-3,-5+3i及其共轭复数.[规范板书]解复数2-3i,5i,-3,-5+3i表示的点分别为A,B,C,D,其对应的共轭复数表示的点分别为A',B',C',D'.作图如下:(变式)[题后反思]z,在复平面内对应的点关于x轴对称.变式2已知z=(x+1)+(y-1)i 在复平面所对应的点在第二象限,求x与y的取值范围.[规范板书]解由题得所以【例2】(教材第121页例2)已知复数z1=3+4i,z2=-1+5i,试比较它们模的大小.[4](见学生用书P60)[处理建议]要求学生口答复数模的计算公式.思考:z1,z2不能比较大小,为什么它们的模可以比较大小?[规范板书]解因为|z 1|==5,|z2|==,所以|z1|<|z2|.[题后反思]正确记忆复数模的计算公式,防止出现|z|=a2+b2;任意两个复数,它们的模都可以比较大小,但是两个复数,只要其中有一个不是实数,它们就不能比较大小.从自然数集逐步扩展到实数集,顺序性始终都是保持着的,但是在复数集中这一性质失去了.变式1已知复数z=(x-1)+(2x-1)i的模小于,那么实数x的取值范围是.提示由题意知(x-1)2+(2x-1)2<10,解得-<x<2.变式2已知复数z1=a+b i,z2=1+a i(a,b∈R),若|z1|<z2,则b的取值范围是(-1,1).提示因为|z1|<z2,所以z2为实数,故a=0,所以<1,即|b|<1,-1<b<1,所以b的取值范围是(-1,1).【例3】(教材第121页例3)设z∈C,满足下列条件的点Z的集合是什么图形?[5](1)|z|=2;(2) 2<|z|<3.(见学生用书P60)[处理建议]区分关于复数模的等式与不等式的几何意义.[规范板书](1)因为|z|=2,即||=2,所以满足|z|=2的点Z的集合是以原点为圆心、以2为半径的圆,如图(1).(例3(1))(例3(2))(2)不等式2<|z|<3可化为不等式组,不等式|z|>2的解集是圆|z|=2外部所有点组成的集合,不等式|z|<3的解集是圆|z|=3内部所有点组成的集合,这两个集合的交集就是上述不等式组的解集.因此,满是条件2<|z|<3的点Z的集合是以原点为圆心、分别以2和3为半径的两个圆所夹的圆环,但不包括圆环的边界,如图(2).[题后反思]了解复数模的几何意义,|z|表示复平面内该点到原点的距离.关于复数模的不等式组的几何意义是圆环(要区分是否包括边界).变式已知复数z满足条件z=x+y i,x<0,y>0,且x2+y2<9,求此复数在复平面内表示的图形.[规范板书]解如图所示,所求图形是以原点O为圆心的半径为3个单位长度的扇形OAB的内部,不包括边界和半径OA,OB.(变式)*【例4】设全集U=C,A={z|||z|-1|=1-|z|,z∈C},B={z||z|<1,z∈C},若z∈A∩(∈U B),求复数z 在复平面内对应的点的轨迹.[6][处理建议]求复数z在复平面内对应的点的轨迹,由复数模的几何意义可知,只需求出|z|所满足的条件即可.而这由z∈A∩(∈U B)及集合的运算即可得出.[规范板书]解因为z∈C,所以|z|∈R,所以1-|z|∈R,由||z|-1|=1-|z|,得1-|z|≥0,即|z|≤1,所以A={z||z|≤1,z∈C}.又因为B={z||z|<1,z∈C},所以∈U B={z||z|≥1,z∈C}.因为z∈A∩(∈U B)等价于z∈A 且z∈∈U B,所以成立,则有|z|=1,由复数模的几何意义知,复数z在复平面内对应的点的轨迹是以原点为圆心、以1为半径的圆.[题后反思]对于复数的模,可以从以下两个方面进行理解:一是任何复数的模都表示一个非负的实数;二是复数的模表示该复数在复平面内对应的点到原点的距离.所以复数的模是实数的绝对值概念由一维空间向二维空间的一种推广.四、课堂练习1.下面给出4个不等式,其中正确的是①.(填序号)①3i>2i;①|2+3i|>|1-4i|;①|2-i|>2i4;①i2>-i.提示由两个复数如果不都是实数就不能比较大小可知①①错误.又因为|2+3i|=== ,|1-4i|==,所以|2+3i|<|1-4i|,故①错误.|2-i|=>2i4=2,故①正确.2.复数z=(i为虚数单位)在复平面内对应的点所在的象限为第四象限.提示因为z===-i,所以复数z对应的点的坐标为,在第四象限.3.若复数3-5i,1-i和-2+a i在复平面上对应的点在同一条直线上,则实数a的值为5.提示复数3-5i,1-i和-2+a i在复平面内对应的点分别为(3,-5),(1,-1),(-2,a),所以由三点共线的条件可得=,解得a=5.4.已知z1,z2为复数,且|z1|=1,若z1+z2=2i,则|z1-z2|的最大值是4.提示由z1+z2=2i得z1=2i-z2,代入|z1|=1得|2i-z2|=1,所以|z2-2i|=1,即z2轨迹是以(0,2)为圆心、以1为半径的圆(如图).又z1轨迹为以原点为圆心、以1为半径的圆,故|z1-z2|为两圆上点的距离,最大值为4.(第4题)五、课堂小结1.复数z=a+b i(a,b∈R)的对应点的坐标为(a,b),而不是(a,b i).2.复数z=a+b i(a,b∈R)的对应向量是以原点O为起点的,否则就谈不上一一对应.3.|z|==||.4.复数z=a+b i、点Z(a,b)和向量之间的关系如下图所示.正因如此,常把复数z=a+b i说成点Z或向量.这种对应关系架起了联系复数与解析几何之间的桥梁,使得复数问题可以用几何方法解决,而几何问题也可以用复数方法解决(即数形结合法),这增加了解决复数问题的途径.(图1)。
高中数学 第3章 数系的扩充与复数的引入 3.2 复数的四则运算(二)学案 苏教版选修2-2-苏教版
3．2 复数的四则运算(二)1.了解复数乘方的运算性质和复数除法的分母实数化方法．2.理解i 幂性质，能熟练进行复数的乘方和除法运算． 3．掌握综合运用复数概念、共轭复数及复数的四则运算解决问题．1．复数的乘方在复数范围内，实数范围内的正整数指数幂的运算律仍然成立，即对任意的复数z ，z 1，z 2和正整数m ，n 有z m z n ＝z m ＋n ，(z m )n ＝z mn ＝(z n )m ，(z 1z 2)n ＝z n 1z n2．2．i 幂性质一般地，如果n ∈N *，我们有①i 4n＝1；②i 4n ＋1＝i ；③i4n ＋2＝－1；④i4n ＋3＝－i ．3．复数的除法法则(1)我们把满足(c ＋d i)(x ＋y i)＝a ＋b i(c ＋d i ≠0)的复数x ＋y i(x ，y ∈R )叫做复数a ＋b i 除以复数c ＋d i 的商，记作a ＋b ic ＋d i或(a ＋b i )÷(c ＋d i)． (2)一般地，我们有a ＋b ic ＋d i ＝(a ＋b i)(c －d i)(c ＋d i)(c －d i)＝ac ＋bd c 2＋d 2＋bc －adc 2＋d 2i. (3)两个复数的商仍是一个复数．1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)两个复数的积与商一定是虚数．( ) (2)两个共轭复数的和与积是实数．( )(3)复数加减乘除的混合运算法则是先乘除，后加减．( ) 答案：(1)× (2)√ (3)√ 2.1＋3i1－i＝( ) A ．1＋2i B ．－1＋2i C ．1－2i D ．－1－2i答案：B3．复数3＋ii2(i 为虚数单位)的实部等于________．答案：－34．已知z 是纯虚数，z ＋21－i是实数，那么z 等于________．解析：因为z 为纯虚数，所以设z ＝b i(b ∈R 且b ≠0)，则z ＋21－i ＝b i ＋21－i ＝(b i ＋2)(1＋i)(1－i)(1＋i)＝b i ＋b i 2＋2＋2i 1－i2＝－b ＋2＋(b ＋2)i 2＝－b ＋22＋12(b ＋2)i ，又z ＋21－i 为实数，所以12(b ＋2)＝0，即b ＝－2.所以z ＝－2i.答案：－2i复数的乘方运算(1)⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋i 1－i 2 017等于________．(2)化简i ＋2i 2＋3i 3＋…＋100i 100.【解】 (1)⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋i 1－i 2 017＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤(1＋i)(1＋i)(1－i)(1＋i)2 017＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2i 2 2 017＝i 2 017＝(i 4)504·i ＝1504·i ＝i.故填i.(2)设S ＝i ＋2i 2＋3i 3＋…＋100i 100，① 所以i S ＝i 2＋2i 3＋…＋99i 100＋100i 101，② ①－②得(1－i)S ＝i ＋i 2＋i 3＋…＋i 100－100i 101＝i(1－i 100)1－i－100i 101＝0－100i ＝－100i.所以S ＝－100i 1－i ＝－100i(1＋i)(1－i)(1＋i)＝－100(－1＋i)2＝50－50i.所以i ＋2i 2＋3i 3＋…＋100i 100＝50－50i.(1)等差、等比数列的求和公式在复数集C 中仍适用，i 的周期性要记熟，即i n＋i n ＋1＋in ＋2＋in ＋3＝0(n ∈N *)．(2)记住以下结果，可提高运算速度． ①(1＋i)2＝2i ，(1－i)2＝－2i.②1－i 1＋i ＝－i ，1＋i1－i＝i. ③1i＝－i. 1.计算：(1)2＋2i (1－i)2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫21＋i 2 016； (2)i ＋i 2＋…＋i2 017.解：(1)原式＝2(1＋i)－2i ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫22i 1 008＝i(1＋i)＋(－i)1 008＝i ＋i 2＋(－1)1 008·i 1 008＝i －1＋i4×252＝i －1＋1 ＝i.(2)法一：原式＝i(1－i 2 017)1－i ＝i －i2 0181－i＝i －(i 4)504·i 21－i ＝i ＋11－i ＝(1＋i)(1＋i)(1－i)(1＋i)＝2i2＝i.法二：因为i n＋in ＋1＋in ＋2＋in ＋3＝i n (1＋i ＋i 2＋i 3)＝0(n ∈N *)，所以原式＝(i ＋i 2＋i 3＋i 4)＋(i 5＋i 6＋i 7＋i 8)＋…＋(i 2 013＋i2 014＋i2 015＋i2 016)＋i2 017＝i2 017＝(i 4)504·i ＝1504·i ＝i.复数的除法运算计算下列各题． (1)3＋2i 2－3i －3－2i 2＋3i； (2)1i (2＋2i)5＋⎝ ⎛⎭⎪⎫11＋i 4＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋i 1－i 7； (3)⎝ ⎛⎭⎪⎫－32－12i 12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋2i 1－3i 8. 【解】 (1)3＋2i 2－3i －3－2i 2＋3i＝(3＋2i)(2＋3i)－(3－2i)(2－3i)(2－3i)(2＋3i)＝13i ＋13i13＝2i.(2)原式＝－i ·(2)5·[(1＋i)2]2·(1＋i)＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤1(1＋i)22＋i 7＝162(－1＋i)－14－i ＝－⎝⎛⎭⎪⎫162＋14＋(162－1)i. (3)原式＝(－i)12·⎝ ⎛⎭⎪⎫－32－12i 12＋⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1＋i 12－32i 8 ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋32i 12＋[(1＋i)2]4·⎝ ⎛⎭⎪⎫12－32i ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫12－32i 33＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋32i 34＋(－8＋83i)＝1－8＋83i ＝－7＋83i.(1)复数的除法运算中，要牢记“分母实数化”(类比实数运算的分母有理化)，即分子、分母同乘以分母的共轭复数，不必死记除法法则．(2)复数的运算顺序与实数运算顺序相同，都是先进行高级运算(乘方、开方)，再进行次级运算(乘、除)，最后进行低级运算(加、减)．如i 的幂运算，先利用i 的幂的周期性，将其次数降低，然后再进行四则运算．(3)要记住下列结果，使运算起点高． ①1i ＝－i ；②1＋i 1－i ＝i ；③1－i 1＋i ＝－i ； ④⎝ ⎛⎭⎪⎫－12±32i 3＝1；⑤⎝ ⎛⎭⎪⎫12±32i 3＝－1. 2.计算下列各题：(1)－1＋3i 1＋i ；(2)3－4i 4＋3i ＋1＋i 1－i ；(3)(2＋2i)4(1－3i)5. 解：(1)原式＝(－1＋3i)(1－i)(1＋i)(1－i)＝－1＋3＋(1＋3)i 2＝3－12＋3＋12i.(2)原式＝(3－4i)(4－3i)(4＋3i)(4－3i)＋(1＋i)2(1－i)(1＋i)＝(12－12)－(16＋9)i 25＋2i2＝－i ＋i ＝0.(3)(2＋2i)4(1－3i)5＝24(1＋i)4(1－3i)5＝24·(2i)2(1－3i)5＝－2⎝ ⎛⎭⎪⎫12－32i 5 ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋32i 5＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋32i 6⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋32i 5＝－1＋3i.复数范围内解方程、因式分解问题在复数范围内解方程： (1)x 2－2x ＋3＝0； (2)x 3－1＝0.【解】 (1)法一：因为x 2－2x ＋3＝(x －1)2＋2 ＝(x －1)2－(2i)2＝(x －1－2i)(x －1＋2i)＝0， 所以x ＝1＋2i 或x ＝1－2i.所以方程x 2－2x ＋3＝0的两根为1＋2i 和1－2i. 法二：设x ＝a ＋b i(a ，b ∈R )为方程x 2－2x ＋3＝0的根， 则(a ＋b i)2－2(a ＋b i)＋3＝0， 整理得a 2－b 2－2a ＋3＋2b (a －1)i ＝0.由复数相等的充要条件，得⎩⎪⎨⎪⎧a 2－b 2－2a ＋3＝0，2b (a －1)＝0.解得⎩⎨⎧a ＝1，b ＝2，或⎩⎨⎧a ＝1，b ＝－ 2.所以方程x 2－2x ＋3＝0的两根为1＋2i 和1－2i. 法三：因为x 2－2x ＋3＝(x －1)2＋2， 又因为x 2－2x ＋3＝0，所以(x －1)2＋2＝0. 所以(x －1)2＝－2.所以x －1＝2i 或x －1＝－2i ， 即x ＝1＋2i 或x ＝1－2i.所以方程x 2－2x ＋3＝0的两根为1＋2i 和1－2i. (2)因为x 3－1＝(x －1)(x 2＋x ＋1)＝(x －1)⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋122＋34＝(x －1)⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋122－⎝ ⎛⎭⎪⎫32i 2＝(x －1)⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12－32i ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12＋32i ＝0，所以x ＝1或x ＝－12＋32i 或x ＝－12－32i.复数范围内解方程的一般思路：一是因式分解，二是对次数较低的方程依据题意设出方程的根，代入方程，利用复数相等的充要条件求解．对于一元二次方程，也可以利用求根公式求解，要注意在复数范围内负数是能开方的，此外，根与系数的关系也是成立的．注意求方程中参数的取值时，不能利用判别式求解．3.在复数范围内分解因式：(1)x 2＋x ＋1；(2)x 2－x ＋1；(3)x 6－1.解：(1)x 2＋x ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋122＋34＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋122－34i 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋122－⎝ ⎛⎭⎪⎫32i 2 ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12－32i ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12＋32i . (2)x 2－x ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋34＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122－34i 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122－⎝ ⎛⎭⎪⎫32i 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12－32i ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12＋32i . (3)x 6－1＝(x 3＋1)(x 3－1)＝(x ＋1)(x 2－x ＋1)(x －1)(x 2＋x ＋1)＝(x ＋1)(x －1)⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12－32i ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12＋32i ·⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12－32i ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12＋32i .1．复数除法的认识复数除法的法则形式复杂，难于记忆．所以有关复数的除法运算，只要记住利用分母的共轭复数对分母进行“实数化”，然后结果再写成一个复数a ＋b i(a ，b ∈R )的形式即可．2．复数范围内因式分解由于实数范围内的乘法公式在复数范围内仍然成立，因此可以据此在复数范围内进行因式分解，而原来在实数范围内不能进行的因式分解，在复数范围内则可以进行，比如a 2＋b 2＝a 2－(b i)2＝(a ＋b i)(a －b i)．3．1的三次虚根ω的性质由方程x 3－1＝0得x 1＝1，x 2＝－1＋3i 2，x 3＝－1－3i 2.若取ω1＝－1＋3i 2，ω2＝－1－3i2，有如下性质： (1)ω31＝ω32＝1； (2)1＋ω1＋ω2＝0； (3)ω21＝ω2； (4)ω1·ω2＝1，ω1＝1ω2，ω2＝1ω1；(5)ω1＝ω2；(6)1＋ω1＋ω21＝0，1＋ω2＋ω22＝0.下列命题中错误的序号是________． ①若z ∈C ，则z 2≥0；②若z 1，z 2∈C ，且z 1－z 2＞0，则z 1＞z 2. 【解析】 ①错，反例设z ＝i 则z 2＝i 2＝－1＜0.②错，反例设z 1＝2＋i ，z 2＝1＋i ，满足z 1－z 2＝1＞0，但z 1、z 2不能比较大小． 【答案】 ①②(1)认为任何一个实数的平方大于零可推广到复数中，易误认为命题①正确． (2)认为两实数之差大于零等价于前一个大于后一个实数，也可推到复数中来．认为两复数差为实数则这两个复数也为实数．而误认为命题②是正确的．(3)把不等式性质错误的推广到复数中，忽略不等式是在实数中成立的前提条件．1．复数z ＝1－i 1＋i ，则ω＝z 2＋z 4＋z 6＋z 8＋z 10的值为( )A ．1B ．－1C ．iD ．－i解析：选B ．z 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－i 1＋i 2＝－1，所以ω＝－1＋1－1＋1－1＝－1. 2.i －21＋2i＝________． 解析：法一：原式＝(－2＋i)(1－2i)(1＋2i)(1－2i)＝(－2＋2)＋(1＋4)i5＝i.法二：原式＝i ＋2i 21＋2i ＝i(1＋2i)1＋2i ＝i.答案：i3．若z 是复数，且(3＋z )i ＝1(i 为虚数单位)，则z 为________． 解析：由(3＋z )i ＝1，得3＋z ＝1i ＝－i ，所以z ＝－3－i.答案：－3－i[A 基础达标]1．设复数z ＝3＋2i2－3i ，则z 的共轭复数为( )A ．1B ．－1C ．iD ．－i解析：选D ．z ＝3＋2i 2－3i ＝2－3i2－3i ·i ＝i ，于是z 的共轭复数为－i.2．若a 为实数，且2＋a i1＋i ＝3＋i ，则a ＝( )A ．－4B ．－3C ．3D ．4解析：选D ．因为2＋a i1＋i ＝3＋i ，所以2＋a i ＝(3＋i)(1＋i)＝2＋4i ，又a ∈R ，所以a＝4.3．已知复数z ＝1－i ，则z 2－2zz －1＝( )A ．2iB ．－2iC ．2D ．－2解析：选B ．法一：因为z ＝1－i ，所以z 2－2z z －1＝(1－i)2－2(1－i)1－i －1＝－2－i＝－2i.法二：由已知得z －1＝－i ，从而z 2－2z z －1＝(z －1)2－1z －1＝(－i)2－1－i ＝2i＝－2i.4．若复数z 满足z－1－i ＝i ，其中i 为虚数单位，则z ＝( )A ．1－iB ．1＋iC ．－1－iD ．－1＋i解析：选A ．由题意z －＝i(1－i)＝1＋i ，所以z ＝1－i ，故选A ． 5．若ω＝－12＋32i ，则ω＋1ω＝________．解析：ω＋1ω＝－12＋32i ＋1－12＋32i ＝－12＋32i －12－32i ＝－1.答案：－16．设a ，b ∈R ，a ＋b i ＝11－7i1－2i (i 为虚数单位)，则a ＋b 的值为________．解析：因为11－7i 1－2i ＝(11－7i)(1＋2i)(1－2i)(1＋2i)＝15(25＋15i)＝5＋3i ，所以a ＝5，b ＝3. 所以a ＋b ＝5＋3＝8. 答案：87．已知复数z ＝1＋a i(a ∈R ，i 是虚数单位)，z －z ＝－35＋45i ，则a ＝________．解析：由题意可知1－a i 1＋a i ＝(1－a i)2(1＋a i)(1－a i)＝1－a 21＋a 2－2a 1＋a 2i ＝－35＋45i ， 因此1－a 21＋a 2＝－35. 化简得5a 2－5＝3a 2＋3，所以a 2＝4，则a ＝±2. 由－2a 1＋a 2＝45可知a <0，所以a ＝－2.答案：－28．若复数z ＝1＋2i ，其中i 是虚数单位，则⎝⎛⎭⎪⎫z ＋1z －·z －＝________．解析：因为z ＝1＋2i ，所以z －＝1－2i.所以⎝⎛⎭⎪⎫z ＋1z －·z －＝z ·z －＋1＝5＋1＝6.答案：69．计算：－23＋i 1＋23i ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫21＋i 2 018＋(4－8i)2－(－4＋8i)24＋3i . 解：原式＝i(23i ＋1)1＋23i＋⎝ ⎛⎭⎪⎫22i 1 009＋(4－8i)2－(4－8i)24＋3i＝i ＋(－i)1 009＋04＋3i＝i －i ＋0＝0. 10．已知复数z 1＝a ＋2i(a ∈R )，z 2＝3－4i ，且z 1z 2为纯虚数，求复数z 1.解：z 1z 2＝a ＋2i 3－4i ＝(a ＋2i)(3＋4i)25＝(3a －8)＋(6＋4a )i25，因为z 1z 2为纯虚数，所以3a －8＝0，a ＝83，z 1＝83＋2i.[B 能力提升]1．若一个复数的实部与虚部互为相反数，则称此复数为“理想复数”．已知z ＝a1－2i ＋b i(a ，b ∈R )为“理想复数”，则( )A ．a －5b ＝0B ．3a －5b ＝0C ．a ＋5b ＝0D ．3a ＋5b ＝0解析：选D ．因为z ＝a 1－2i ＋b i ＝a (1＋2i)(1－2i)(1＋2i)＋b i ＝a 5＋(2a 5＋b )i.由题意知，a 5＝－2a 5－b ，则3a ＋5b ＝0. 2．对任意复数ω1，ω2，定义ω1*ω2＝ω1ω2，其中ω2是ω2的共轭复数，对任意复数z 1，z 2，z 3，有如下四个命题：①(z 1＋z 2)*z 3＝(z 1*z 3)＋(z 2*z 3)；②z 1*(z 2＋z 3)＝(z 1*z 2)＋(z 1*z 3)；③(z 1*z 2)*z 3＝z 1*(z 2*z 3)；④z 1*z 2＝z 2*z 1.则真命题的个数是________．解析：由于ω1*ω2＝ω1ω2—，对于①，(z 1＋z 2)*z 3＝(z 1＋z 2)z －3＝z 1z －3＋z 2z －3＝(z 1*z 3)＋(z 2*z 3)，显然成立；对于②，z 1*(z 2＋z 3)＝z 1(z 2＋z 3)＝z 1z －2＋z 1z －3＝(z 1*z 2)＋(z 1*z 3)，显然成立；对于③，(z 1*z 2)*z 3＝(z 1z －2)z －3＝z 1z －2z －3，而z 1*(z 2*z 3)＝z 1*(z 2z －3)＝z 1z －2z 3，显然不成立；对于④，由于z 1*z 2＝z 1z －2，而z 2*z 1＝z 2z －1，显然不一定成立．答案：23．已知x 是实数，y 是纯虚数，且满足(2x －1)＋i ＝y －(3－y )i ，求x 与y 的值． 解：根据已知条件x 是实数，y 是纯虚数，可设y ＝b i(b ∈R ，b ≠0)，代入关系式(2x －1)＋i ＝y －(3－y )i ，整理得：(2x －1)＋i ＝－b ＋(b －3)i ，根据复数相等的充要条件，可得⎩⎪⎨⎪⎧2x －1＝－b ，1＝b －3，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－32，b ＝4，则有⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－32，y ＝4i.4．(选做题)求同时满足下列两个条件的所有复数：(1)z ＋10z 是实数且1＜z ＋10z≤6； (2)z 的实部和虚部都是整数．解：设z ＝x ＋y i(x ，y ∈Z )，则z ＋10z ＝x ＋y i ＋10x ＋y i ＝x ＋y i ＋10(x －y i)x 2＋y 2∈R ，得y －10y x 2＋y 2＝0， 所以y ＝0或x 2＋y 2＝10.若y ＝0，1＜x ＋10x≤6无解，所以x 2＋y 2＝10. 从而z ＋10z＝2x ∈(1，6]．又x ，y ∈Z ，所以x ＝1或x ＝3. 若x ＝1，则y ＝±3；若x ＝3，则y ＝±1.所以z ＝1±3i 或z ＝3±i.。
高中数学苏教版选修2-2第三章《数系的扩充与复数的引入》复习与小结课件
数学应用
例1 （1） 设a，b，c，d∈R，则复数(a＋bi)(c＋di)为实数的充要条件是
____________ ．
（2）在复平面内，复数对应的点位于第_______象限 ．
（3）已知
m 1＋i
＝1－ni，其中m，n是实数，i是虚数单位，则m＋ni＝____1－i 1－2i 1－3i
① 根据课堂提问抓住老师的思路。老师在讲课过程中往往会提出一些问题，有的要求回答，有的则是自问自答。一般来说，老师在课堂上提出的问 题都是学习中的关键，若能抓住老师提出的问题深入思考，就可以抓住老师的思路。
② 根据自己预习时理解过的逻辑结构抓住老师的思路。老师讲课在多数情况下是根据教材本身的知识结构展开的，若把自己预习时所理解过的知识 逻辑结构与老师的讲解过程进行比较，便可以抓住老师的思路。
例 3 已知 z1，z2 是两个虚数，并且 z1＋z2，z1·z2 均为实数，求证：z1，z2 是共轭虚数.
回顾反思
本节课复习了以下内容： 1.复数的概念、表示形式和四则运算． 2.复数及复数加减法的几何意义． 3.待定系数法与数形结合的思想方法．
编后语
老师上课都有一定的思路，抓住老师的思路就能取得良好的学习效果。在上一小节中已经提及听课中要跟随老师的思路，这里再进一步论述听课时如何 抓住老师的思路。
⑤ 搁置问题抓住老师的思路。碰到自己还没有完全理解老师所讲内容的时候，最好是做个记号，姑且先把这个问题放在一边，继续听老师讲后面的 内容，以免顾此失彼。来自：学习方法网
⑥ 利用笔记抓住老师的思路。记笔记不仅有利于理解和记忆，而且有利于抓住老师的思路。
2019/8/29
最新中小学教学课件
10
谢谢欣赏！
2019/8/29
(完整版)高中数学选修2-2第三章数系的扩充与复数的引入
第三章数系的扩充与复数的引入目录§3.1.1 数系的扩充与复数的概念（新授课）§3.1.2 复数的几何意义（新授课）§3.2.1 复数的代数形式的加减运算及其几何意义（新授课）§3.2.2 复数的代数形式的乘除运算（新授课）第三章数系的扩充与复数的引入小结与复习（复习课）选修2-2 第三章复数基础练习（一）选修2-2 第三章复数基础练习（一）答案选修2-2 第三章复数基础练习（二）选修2-2 第三章复数基础练习（二）答案第三章数系的扩充与复数的引入一、课程目标：本章学习的主要内容是数系的扩充与复数的概念，复数代数形式的四则运算。
复数的引入是中学阶段数系的又一次扩充，这不仅可以使学生对于数的概念有一个初步的、完整的认识，也为进一步学习数学打下了基础。
通过本章学习，要使学生在问题情景中了解数系扩充的过程以及引入复数的必要性，学习复数得一些基本知识，体会人类理性思维在数系扩充中的作用。
二、学习目标：（1）、在问题情境中了解数系的扩充过程，体会实际需求与数学内部的矛盾在数系扩充过程中的作用，感受人类理性思维的作用以及数与现实世界的联系。
（2）、理解复数的基本概念以及复数相等的充要条件。
（3）、了解复数的代数表示法及其几何意义。
（4）、能进行复数代数形式的四则运算，了解复数代数形式的加、减运算的几何意义。
三、本章知识结构：四、课时安排：本章教学时间约4课时，具体分配如下：3.1 数系的扩充与复数的概念约2课时3.2 复数代数形式的四则运算约2课时§3.1.1 数系的扩充与复数的概念（新授课）一、教学目标:知识与技能：了解数系的扩充过程，理解复数及其有关概念。
理解数系的扩充是与生活密切相关的，明白复数及其相关概念。
过程与方法：采取“阅读、质疑、探究”的过程，让学生体验数系的扩充过程。
情感、态度与价值观：让学生在“发现问题，解决问题”中增长技能，充分认识人类理性思维的能动性，使学生在掌握知识的同时增强战胜困难的信心和技能。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
复数的应用例析
我们知道，复数虽然具有相对独立性，但复数的代数形式、几何意义却构建了代数与几何之间的“局域网”，它为我们提供了新的解题途径．本文举例说明，供同学们参考． １．利用复数求函数值域
例1 求函数22()11()f x x x x x x =++--+∈R 的值域． 解：221313()()2424f x x x x ⎛⎫⎛⎫=++--+∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭R ， 令11322z x i ⎛
⎫=++ ⎪⎝⎭，21322z x i ⎛⎫=-+ ⎪⎝
⎭，则12()f x z z =-． 因12121z z z z --=≤， （*）
又复数12z z ，在复平面上对应的点12Z Z ，在平行于实轴的直线32y =
上， 从而12Z Z ，和原点O 不可能共线，即（*）式不能取等号．
则121z z -<，即所求函数的值域为(11)-，．
点评：复数模的不等式121212z z z z z z -±+≤≤为我们解有关实数问题提供了模型，特别是解有关不等式极值问题较为方便，其中应注意取等号的条件：①当且仅当12(0)z kz k =>时，1212z z z z +=+，1212z z z z -=-；②当且仅当12(0)z kz k =<时，1212z z z z +=-，1212z z z z -=+．
2．利用复数证明不等式
例2 设a 、b 、x 、y 都是实数，求证：
2222222222()()()()2x a y b x a y x y b x y a b -+-+-+++-+++≥．
证明：设1()()z x a y b i =----，则221()()z x a y b =
-+-， 2()z x a yi =--+，则222()z x a y =
-+|z ２|=， 3()z x y b i =--，则223()z x y b =
+- 4z x yi =+，则224z x y =+
又∵12342()z z z z a bi +++=+，
∴2212342z z z z a b +++=+． 由模的性质可知12341234z z z z z z z z ++++++≥，
∴2222222222()()()()2x a y b x a y x y b x y a b -+-+-+++-+++≥． 点评：按常规无理不等式证明，此题是很难解决的．考虑式中五个根式都是复数的模，则利用模的性质来证明，问题就简单多了．
3．利用复数求函数的最值
例3 求函数2282522y x x x x =-++-+的最小值．
解：原函数可化为2222(4)3(1)1y x x =-++-+．
构造复数1(4)3z x i =-+，2(1)z x i =-+，则
1212345z z z z i ++=-+=≥．
当且仅当
3141x x =--，即74
x =时，等号成立． 故当74x =时，min 5y =． 4．利用复数解解析几何题
例4 如下图，椭圆22
221(0)x y a b a b
+=>>和直线1(0)Ax By A B +=≠，交于P 、Q 两点，求直线OP 和OQ 相互垂直的条
件．
解：设P 、Q 两点在x 轴上的坐标分别为αβ，，因P 、Q 在直线1Ax By +=上，利用复数表
示有1A OP i B αα-=+u u u r ，1A OQ i B ββ-=+u u u r ， 若要OP OQ ⊥，必须OP OQ
u u u r u u u r 为纯虚数． 11A i OP B A OQ i B
ββαα-+=-+u u u r u u u r 222(1)(1)(1)(1)1A A A A B B A B βααββααβαα-----⎡⎤++⎢⎥⎣⎦=⎡⎤-⎛⎫+⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦． 由其实部为零，有2(1)(1)0A A B
βααβ--+=，
即：22
()()10A B A αβαβ+-++=． ① 再由222211Ax By x y a
b +=⎧⎪⎨+=⎪⎩，，得222222222()2(1)0A a B b x Aa x a b B +-+-=， ②
∴222222Aa A a B b αβ+=+，2222222(1)a b B A a B b
αβ-=+． 代入①得222222
()0a b a b A B +-+=． ③
因②要有两个不同的实根，须判别式0∆>，
即222210a A b B +->． ④
以上条件③④即为所求的条件．
点评：解析几何是数与形的“结合体”，而复数也具有几何形式，因此它们有着必然的联系．利用复数来解解几问题，给人耳目一新的感觉．。