2010-2011学年度高三上学期期中考试数学(文)答案

2010-2011学年度高三上学期期中考试数学(文)答案
一、选择题。

（10⨯5分＝50分）
B D
C
D C C B D C A
10、解：由()11,1=f ，()()2,1,+=+n m f n m f ⇒2)1()1,(),(⋅-+=n m f n m f
又由()()1,21,1m f m f =+⇒1122)1,1()1,(--=⋅=n n f m f ，所以
2)1(2),(1⋅-+=-n n m f n ，()95,1=f ；()161,5=f ；()266,5=f 都对，选A
二、填空题。

（4⨯5分＝20分）
11、 }11|{<<-x x ； 12、 21； 13、)3
2sin(3π+=x y ； 14、b ＞c ＝a 三、解答题。

（共80分）
15、（12分）
解：(1)21tan =α ,112
1232121tan 23tan 2cos sin 2cos 3sin 2-=+⨯-⨯=+-=+-∴αααααα;……(4分) (2)2
1tan =α , ααcos sin 2=∴, αα22cos sin 4=∴ ;……(6分) 又5
1sin ,1cos sin 222=∴=+ααα ……(8分) 5
315181sin 4sin 41cos sin 2sin 4222=-⨯=-+=-⋅+∴ααααα …(12分) 16、（13分）
解：（α－2
β）＋（β－2α）＝2βα+， ∵2π＜α＜π，0＜β＜2
π， ∴α－2
β∈（4π，π），β－2α∈（－2π，4π）. ∴sin （α－2β）＝)2
(cos 12βα--＝53， cos （β－2α）＝)2
(sin 12βα--＝1312. ∴cos
2βα+＝cos ［（α－2
β）＋（β－2α）］ ＝cos （α－2β）cos （β－2α）－sin （α－2
β）sin （β－2α） ＝（－54）×1312－53×135＝－65
63. 17、（13分）
解：(1) )4cos()4sin(2)32cos()(π
π
π
--+-=x x x x f x x x x x x x x 2cos 2
12sin 232cos 2cos 2
12sin 23)2
2sin(2sin 232cos 21-=-+=-++=
π )6
2sin(π-=x …………(4分) )(x f ∴的最小正周期为ππ==2
2T ；………(6分) (2)由(1)知, )6
2sin()(π-=x x f ]6
5,3[62],2,12[πππππ-∈-∴-∈x x )62sin()(π-=∴x x f 在区间]3
,12[ππ-上单调递增, 在区间]2
,3[ππ上单调递减; ……………………………(8分) 1)632sin()3()(max =-⨯==∴πππf x f ; ………(10分) 又21)2(23)12(=<-=-ππ
f f ,2
3)12()(min -=-=∴πf x f ;……(12分) 所以函数()f x 在区间]2,12[π
π-上的值域是]1,23[- …………………(13分) 18、(14分)
解：设A 、B 两种金属板各取x 张、y 张，用料面积为2m ，则约束条件为
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧∈≥∈≥≥+≥+**,0,055654563N y y N
x x y x y x ,目标函数y x z 32+=;…………………………………(5分) 作出上不等式组所表示的可行域，如下图阴影阴影部分所示:
……………………(7分)
作直线032:0=+y x l ，把直线0l 向右上方平移至l 的位置时，即直线332z x y +-
=经过可行域上的点M 时，此时y x z 32+=取最小值；
解方程组⎩⎨⎧=+=+45
6355
65y x y x ，得M 点的坐标为（5，5）
此时255352min =⨯+⨯=z ；………（13分）
答：两种金属板各取5张时，用料面积最省为25 2m 。

……………………(14分)
19、（14分）
解：y ＝1－cos 2
x ＋a cos x ＋85a －23＝－（cos x －2a ）2＋42a ＋85a －21. ∵0≤x ≤
2π，∴0≤cos x ≤1. ①若2
a ＞1，即a ＞2，则当cos x ＝1时， y max ＝a ＋85a －23＝1⇒a ＝13
20＜2（舍去）； ②若0≤2
a ≤1，即0≤a ≤2， 则当cos x ＝2a 时，y max ＝4
2a ＋85a －21＝1， ∴a ＝
2
3或a ＝－4＜0（舍去）； ③若2
a ＜0，即a ＜0，则当cos x ＝0时， y max ＝85a －21＝1⇒a ＝5
12＞0（舍去）. 综上，可知存在a ＝23符合题意. 20.(1) 13)(3-+=ax x x f ,a x x f 33)(2+='∴
433)1(=+='∴a f ,31=
∴a ; ……………………………(2分) (2) 5335)()(2-+-=--'=a ax x ax x f x g
53)3()(2
-+-=∴x a x a g ，
对满足11a -≤≤的一切a 的值，都有()0g x <,即
对于],1,1[-∈∀a 都有0)(<a g ;
解法1：上述条件等价于在]1,1[-∈a 上0)(max <a g ;………………………(4分)
明显的,当3=x 时,不满足条件;
当3<x 时, )(a g 在]1,1[-∈a 上上单调递增,
则023)1()(2max <+-==x x g a g ,解得:132<<-
x , 所以 13
2<<-x ; 当3>x 时, )(a g 在]1,1[-∈a 上上单调递减,
则083)1()(2max <-+=-=x x g a g ,解得:
69716971+-<<--x , 所以x 不存在；
综上所得，实数x 的取值范围是)1,3
2(-; ………………………………(8分) 解法2：又由)(a g 是关于a 的一次函数，因而是一个单调函数，它的最值在定义域的端点得到；所
以只需⎩⎨⎧<-<0)1(0)1(g g 即22320,380.
x x x x ⎧--<⎨+-<⎩……………(6分) 解得：213
x -<< 故实数x 的取值范围是)1,32(-
;…………………………………(8分) （3）2m a -= ,13)(23--=∴x m x x f ,2233)(m x x f -='∴,
当0=m ,明显的1)(3
-=x x f 与3=y 有且只有一交点;
当0>m 时,令033)(22>-='m x x f ,解得:m x m x -<>或, 令033)(2
2<-='m x x f ,解得: m x m <<-;
)(x f ∴在),(),(+∞--∞m m 和上单调递增,在),(m m -上单调递减,
若+∞→x 时，)(x f 无限大；且()y f x =与3y =只有一个公共点,
只要满足：313)(33<-+-=-m m m f ，解得：32<m 所以 320<<m ；
当 0<m 时, 令033)(22>-='m x x f ,解得:m x m x <->或,
令033)(22<-='m x x f ,解得: m x m -<<;
)(x f ∴在),(),(+∞--∞m m 和上单调递增,在),(m m -上单调递减,
若+∞→x 时，)(x f 无限大；且()y f x =与3y =只有一个公共点,
只要满足：313)(33<--=m m m f ,解得: 32->m
所以 023<<-m ；………………………………(13分)
综上所述, 实数m 的取值范围是: )2,2(33- ………(14分)。