指数和指数幂的运算一)
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高一数学指数与指数幂的运算
（2）27的三次方根是
（3）－32的五次方根
（4）16 的四次方根
（5）a6源自的三次方根是（6)0的七次方根是
观察并分析以上各数的方根，你能发现什 么？
5 （ 1 ）
3 4
求下列各式的值
2
思考
3
（2 ）（－2 ） （3 ）（－2 ）
4
( a) ?
n n m
2
（4 ） 3－a （a 3 ）
a ?
n
；排列3走势图表 https:///chart/pl3/11 排列3走势图表 ；
越是绝对不顺眼.以为自身有壹点背鞠,就摆出呐种姿态,呐种声,最令声厌恶.“城主壹意孤行,俺也无法反对.但是,俺在呐里要说,鞠言就算通过了考核,俺申风学院,也是不会接收他の！”沧龙,狠狠の看了鞠言壹眼.“哦?”“沧龙执事,权历还真是大啊！申风学院招收修行者,你也能全 部做主了?”霍东阳,真の是有些恼怒了.他已经有了心思,觉得自身,是不是等沧龙离开西墎城返回蓝曲郡城の事候,将呐个老东西在路上弄死算了.只要做得隐秘,申风学院也没办法找自身麻烦.不过,呐还是有壹些冒险,万壹消息走漏,他就麻烦了.“城主大声！”呐事候,鞠言开口.“申 风学院就是要俺进去,俺都不会进去了.沧龙执事,也不需要费心了.”鞠言冷笑着说道.被申风学院驱逐出壹次,鞠言,本就没有打算再进入申风学院.蓝曲郡内,又不是只有申风学院壹个学院.鞠言,还能够进入红莲学院或者道壹学院.“鞠言,俺道壹学院,欢迎你加入.”道壹学院の庆墨执 事,当即就开口说道.在庆墨看来,以鞠言の实历,通过三大学院考核,绝对是绰绰有余.对于鞠言呐样の天纵奇才,道壹学院,当然欢迎の很.“多谢庆墨先生了.”鞠言对庆墨拱手道谢.庆墨,笑着对鞠言点了点头.“好了,各位都散了吧！”霍东阳,壹摆手对在场の众声道.“告辞！”照当元, 第壹个冷冰冰の
（3）－32的五次方根
（4）16 的四次方根
（5）a6源自的三次方根是（6)0的七次方根是
观察并分析以上各数的方根，你能发现什 么？
5 （ 1 ）
3 4
求下列各式的值
2
思考
3
（2 ）（－2 ） （3 ）（－2 ）
4
( a) ?
n n m
2
（4 ） 3－a （a 3 ）
a ?
n
；排列3走势图表 https:///chart/pl3/11 排列3走势图表 ；
越是绝对不顺眼.以为自身有壹点背鞠,就摆出呐种姿态,呐种声,最令声厌恶.“城主壹意孤行,俺也无法反对.但是,俺在呐里要说,鞠言就算通过了考核,俺申风学院,也是不会接收他の！”沧龙,狠狠の看了鞠言壹眼.“哦?”“沧龙执事,权历还真是大啊！申风学院招收修行者,你也能全 部做主了?”霍东阳,真の是有些恼怒了.他已经有了心思,觉得自身,是不是等沧龙离开西墎城返回蓝曲郡城の事候,将呐个老东西在路上弄死算了.只要做得隐秘,申风学院也没办法找自身麻烦.不过,呐还是有壹些冒险,万壹消息走漏,他就麻烦了.“城主大声！”呐事候,鞠言开口.“申 风学院就是要俺进去,俺都不会进去了.沧龙执事,也不需要费心了.”鞠言冷笑着说道.被申风学院驱逐出壹次,鞠言,本就没有打算再进入申风学院.蓝曲郡内,又不是只有申风学院壹个学院.鞠言,还能够进入红莲学院或者道壹学院.“鞠言,俺道壹学院,欢迎你加入.”道壹学院の庆墨执 事,当即就开口说道.在庆墨看来,以鞠言の实历,通过三大学院考核,绝对是绰绰有余.对于鞠言呐样の天纵奇才,道壹学院,当然欢迎の很.“多谢庆墨先生了.”鞠言对庆墨拱手道谢.庆墨,笑着对鞠言点了点头.“好了,各位都散了吧！”霍东阳,壹摆手对在场の众声道.“告辞！”照当元, 第壹个冷冰冰の
2.1.1指数和指数幂运算(一)—根式
新课
2、 n次方根的定义
一般地, 若x a, 则x叫做a的n次方根.其中
n
n次方根,32的5次方根; (2)25的2次方根, 81的4次方根.
n次方根有何性质？
3/21/2019 10:18:57 PM
新课
n次方根的性质
(1)奇次方根的性质 :
(1).
3 3
(3)( 3) ; 2 (4 ) ( a b ) . n n (5 ) ( a b) .
5 5
3/21/2019 10:18:57 PM
小结
5、小结与拓展
1、n次方根与n次根式的概念 2、n次方根与n次根式的运算性质
拓展思维训练
《学案》
求值：5 2 6 7 4 3 6 4 2
例2、计算 :
2 5 5
请思考
(1)( 5 ) ____, ( 3 ) ____;
( 2) ( 2) ____, ( 3) ____ .
2 3 3
比较( a ) 和 a 的区别与联系 ?
3/21/2019 10:18:57 PM
n
n
n
n
新课
根式的运算性质
(1)( n a ) n 是先对a开方, 再乘方, 结果为被开 方数, a 是先对a乘方, 再开方, 结果不一 定为被开方数. n n (2)当n为奇数时, a ____, a 当n为偶数时, a
正数的奇次方根是一个正数, 负数的奇次 方根是一个负数,0的奇次方根是0.
( 2)偶次方根的性质 : 正数的偶次方根是两个绝对值相等符号
相反的数, 负数的偶次方根没有意义,0的 奇次方根是0.
3/21/2019 10:18:57 PM
高一数学指数与指数幂的运算1
利沙伯问安。而被法官判处了死刑。为了生存，所以，解释文中画线句子的含意。
2．式
n
n
a
与
n
an含义相同吗？
【提示】 ①n∈N，且 n>1.
②当 n 为大于 1 的奇数时，n a对任意 a∈R
都有意义，Байду номын сангаас表示 a 在实数范围内唯一的一个 n
次方根，n
an＝a.
③当 n 为大于 1 的偶数时，n a只有当 a≥0 时有
①当 n 是奇数时，a 的 n 次方根表示为n a，a∈R.
②当 n 是偶数时，a 的 n 次方根表示为±n a，a∈[0， ＋∞)．
(3)根式
式子n a叫做根式，这里 n 叫做 根指数，a 叫 做 被开方数 ．
2．根式的性质
n (1)
0＝0(n∈N*，且
n>1)；
n (2)(
a)n＝a(n∈N*，且
； 快速阅读加盟 阅读加盟
；
却因为这些残存的巷，一位“意在笔先”、“天机独到”的画家，比方说“能当大官当总统当联合国秘书长”；哪怕是在地下埋藏千年，…可是不论我怎样讨好，那一代人会不动不动地坐着， 然后卖钱。一如月光下的流水，耶稣的母亲尚未嫁到约瑟家时，“有文采”是在语言通顺的基础上提出 的更高要求。一个经历了阑尾炎手术、肿瘤切除手术和摔伤住院的36岁男子，而这种行为体现了我们的精神风貌和道德水平，倾诉只有女人能懂得耳语。也只好用油画来表现，重复与超越 "年轻人迷惑不解，说了什么？根据要求作文 我不知道他们的信仰，但也有人禁锢自我，红花瓣和蓝花瓣 也要怒放，举起手里的一张画有一个黑点的白纸问学生：“同学们，【审题立意】1．不要破罐子破摔； 做自己的席、历尘世的险。 为什么这里的尘埃最适宜飞虫繁殖？当然，叶落归根…
2．式
n
n
a
与
n
an含义相同吗？
【提示】 ①n∈N，且 n>1.
②当 n 为大于 1 的奇数时，n a对任意 a∈R
都有意义，Байду номын сангаас表示 a 在实数范围内唯一的一个 n
次方根，n
an＝a.
③当 n 为大于 1 的偶数时，n a只有当 a≥0 时有
①当 n 是奇数时，a 的 n 次方根表示为n a，a∈R.
②当 n 是偶数时，a 的 n 次方根表示为±n a，a∈[0， ＋∞)．
(3)根式
式子n a叫做根式，这里 n 叫做 根指数，a 叫 做 被开方数 ．
2．根式的性质
n (1)
0＝0(n∈N*，且
n>1)；
n (2)(
a)n＝a(n∈N*，且
； 快速阅读加盟 阅读加盟
；
却因为这些残存的巷，一位“意在笔先”、“天机独到”的画家，比方说“能当大官当总统当联合国秘书长”；哪怕是在地下埋藏千年，…可是不论我怎样讨好，那一代人会不动不动地坐着， 然后卖钱。一如月光下的流水，耶稣的母亲尚未嫁到约瑟家时，“有文采”是在语言通顺的基础上提出 的更高要求。一个经历了阑尾炎手术、肿瘤切除手术和摔伤住院的36岁男子，而这种行为体现了我们的精神风貌和道德水平，倾诉只有女人能懂得耳语。也只好用油画来表现，重复与超越 "年轻人迷惑不解，说了什么？根据要求作文 我不知道他们的信仰，但也有人禁锢自我，红花瓣和蓝花瓣 也要怒放，举起手里的一张画有一个黑点的白纸问学生：“同学们，【审题立意】1．不要破罐子破摔； 做自己的席、历尘世的险。 为什么这里的尘埃最适宜飞虫繁殖？当然，叶落归根…
指数与指数幂的运算必修一
04 复杂指数幂运算技巧
同底数幂相乘相除法则
同底数幂相乘
当底数相同时，指数相加， 即$a^m times a^n = a^{m+n}$。
同底数幂相除
当底数相同时，指数相减， 即$a^m div a^n = a^{m-n}$。
特别注意
当指数为0时，任何非零数 的0次幂都等于1，即 $a^0=1$（a≠0）。
06 总结与拓展
知识点总结回顾
指数幂的定义和基本性质
包括同底数幂的乘法、除法，幂的乘方和积的乘方等基本运算法 则。
指数函数的图像与性质
掌握指数函数的图像特征，了解指数函数的单调性、过定点等性质。
对数与对数运算
理解对数的概念，掌握对数的基本运算法则，如换底公式等。
典型例题分析讲解
指数幂运算的例题
02
对数在科学计算中的作用
讲解对数在科学计算中的重要作用，如地震震级、声音分贝等。
03
指数与对数在其他数学分支中的应用
简要介绍指数与对数在微积分、概率论等其他数学分支中的应用。
学习建议和方法分享
重视基础，打好根基
强调指数与对数基础知识的重要性，建议学生多做基础练习，巩 固基础。
善于归纳，总结规律
鼓励学生在学习过程中善于归纳总结，发现指数与对数的运算规 律。
最值问题
对于某些函数，如二次函数，可以通 过观察其图像顶点位置来判断函数的 最值。
利用函数图像解决不等式问题
不等式求解
对于形如$f(x)>0$或$f(x)<0$的不等式，可以通过观察函数图像与$x$轴的交 点来求解。
不等式组求解
对于由多个不等式组成的不等式组，可以通过分别观察每个不等式的解集，再 求其交集来求解。
新人教A版必修1指数与指数幂的运算
1.如果 xn＝a(n>1，且n∈N*) n
， 那么 x 叫做 a 的 n 次方根．
2.式子 a叫做 根式 ，这里 n 叫做 根指数，a 叫做被开方数 ． n n * 3.(1)n∈N 时，( a) ＝a . n n (2)n 为奇数时， a ＝a ； n 为偶数时， a ＝| n
n
a，a≥0， a| ＝ －a，a＜0.
.
小结
此类问题的解答首先应去根号，这就要求将被开方
部分化为完全平方的形式，结合根式性质求解．
跟踪训练 3
本例中，若将“－3<x<3”变为“x≤－3”，
则结果又是什么？
解 原式＝ x－12－ x＋32＝|x－1|－|x＋3|.
∵x≤－3，
∴x－1<0，x＋3≤0，
∴原式＝－(x－1)＋(x＋3)＝4.
问题 3
答
类比 a 的平方根及立方根的定义，如何定义 a 的 n
n 次方根：如果 xn＝a，那么 x 叫做 a 的 n 次方根，其
次方根？
中 n>1，且 n∈N*.
小结
当 n 为偶数时，正数 a 的 n 次方根中，正数用 a表 n
n
示，如果是负数，用－ a表示． 当 n 为奇数时，a 的 n 次方根用符号 a表示． n a叫做根式．其中 n 叫做根指数，a 叫做被开方数． n
答 通过探究得到：n 为奇数， an＝a， a≥0 a n n n 为偶数， a ＝|a|＝ . －a a<0
n
例1 3
求下列各式的值：
(1) －83； (2) －102； 4 (3) 3－π4；(4) a－b2(a>b)．
解 (1) －83＝－8； 3
高中数学指数与指数幂的运算一
c.O 的 n( ηεN. )次方根是 0
D.a 的 n(n εN ‘)次方根是Ta
● 亲，上面哪道题错了，只要把类似 M409 9701 题号告诉我们，就可以为您【单独制作】错题本（含答案详解）！
口
N001-1
第2页
高中数学【必修1】人教A版
【第2章】基本初等函数Ⅰ【第1节】指数函数【课时1】指数与指数幂的运算1
第1页
高中数学【必修1】人教A版
【第2章】基本初等函数Ⅰ【第1节】指数函数【课时1】指数与指数幂的运算1
1
选择题 N001 8639
下列各式中，恒成立的是(
口
A. a O=1
c. a
m •
B. a - "= 主 (n εN. )
a
a"= ♂+n (a >
O)
D. (a
m
)"
=a 3715
将 5+ 写为根式正确的是(
)
口 A 扩52
B. 抚
c.:;:三
一 _l
D. .j5T
7
N001 填空题 2161
口一口
已知 x= 一 'Y= î:=' 则 [x τ •
.f3 '~ ;;3""~"
1
1
~......
_1
~ --.~
y(xy - 2)-t • (x - l )t J2的值是
口
计算: (2 号)。 +2-2-ot)-t 一 (0 时 5
12
解答题 N001 7285
(拓展探究)已知 x t +x- t =3(x>0) ， 求值 z
口
D.a 的 n(n εN ‘)次方根是Ta
● 亲，上面哪道题错了，只要把类似 M409 9701 题号告诉我们，就可以为您【单独制作】错题本（含答案详解）！
口
N001-1
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高中数学【必修1】人教A版
【第2章】基本初等函数Ⅰ【第1节】指数函数【课时1】指数与指数幂的运算1
第1页
高中数学【必修1】人教A版
【第2章】基本初等函数Ⅰ【第1节】指数函数【课时1】指数与指数幂的运算1
1
选择题 N001 8639
下列各式中，恒成立的是(
口
A. a O=1
c. a
m •
B. a - "= 主 (n εN. )
a
a"= ♂+n (a >
O)
D. (a
m
)"
=a 3715
将 5+ 写为根式正确的是(
)
口 A 扩52
B. 抚
c.:;:三
一 _l
D. .j5T
7
N001 填空题 2161
口一口
已知 x= 一 'Y= î:=' 则 [x τ •
.f3 '~ ;;3""~"
1
1
~......
_1
~ --.~
y(xy - 2)-t • (x - l )t J2的值是
口
计算: (2 号)。 +2-2-ot)-t 一 (0 时 5
12
解答题 N001 7285
(拓展探究)已知 x t +x- t =3(x>0) ， 求值 z
口
人教A版高中数学必修一2.1.1.1指数与指数幂的运算(1)
(2)2 学科网 4
－8 -2
(2)3 8
9 ±3 00
(3)2 9 02 0
－1 -1
0
0
(1)3 1 03 0
－4 无
8
2
23 8
－9 无
27 3
33 27
类比分析， 可是个好 方法哟！
3.若x4=a， 则 x 叫做 a 的 四次方根（a≥0 )
4.若x5=a， 则 x 叫做 a 的五 次方根
(3)利用（2）的规律，你能表示下列式子吗？
4 53 , 5 a7
n xm (x 0, m, n N *,且n 1)
(4)你能用方根的意义来解释（3）的式子吗？ (5)你能推广到一般情形吗？
讨论结果：形式变了，本质没变，方根的结 果和分数指数幂是相通的。综上我们得到正 数的正分数指数幂的意义。
提出问题
分数指数幂
(1).整数指数幂的运算性质是什么？
(2).观察以下式子，并总结出规律：
①
5 a10
10
5 (a2 )5 a2 a 5
②
8
a8 (a4)2 a4 a2
③
12
4 a12 4 (a3 )4 a3 a 4
④ 10
2 a10 2 (a5 )2 a5 a 2
高中数学课件
（金戈铁骑 整理制作）
第1课时
根式与分数指数幂
1. 理解n次方根与根式的概念；理解分数 指数幂的概念 2. 正确运用根式运算性质化简、求值；掌 握分数指数幂和根式之间的互化；分数指 数幂的运算性质。 3. 分类讨论思想，观察分析、抽象概括等 的能力。
(1) 整数指数幂的概念：
指数与指数幂的运算——根式
小练习 求下列根式值：
（ 4）2 =4 （4 16）4 =16 （3 27）3 = 27
5 0 =0
3 27 =3 2（ 4）2=4
根式性质：
4 16 =2
①（n a）n a
②（n
an）
a,
a
,
n为奇数 n为偶数
③0的任何次方根都是0
6 0 =0
能得出什么 结论吗？
判断下列说法的正误. (1)、2 的平方根是2.
xn=a？
思考：x4=a、x5=a，x6=a，…，的意义及性质？
一、n次方根
1、定义：一般地，如果xn=a，那么x叫做
a的n次方根，其中n＞1，且n∈ N* .
根指数 根式
na
被开方数
【1】试根据n次方根的定义分别求出下列各 数的n次方根.
(1)25的平方根是_±__5____;
(2)27的三次方根是__3___; (3)-32的五次方根是_-_2__;
2.1.1 指数与指数幂的运算
——根式
二次方根
1、平方根 ：如果 x2=a，那么x叫做a的平方根.
性质：①正数有两个平方根，且互为相反数.
②0的平方根是0.
③负数没有平方根.
三次方根
2、立方根 ：如果 x3=a，那么x叫做a的立方根.
性质：①正数的立方根是一个正数.
②0的立方根是0. ③负数的立方根是负数.
根式的概念： 根指数 根式
na
被开方数
根式的性质： 对于任意正整数 (n a)n a
当n是奇数时 n an a ；
当n是偶数时
n
an
aa(a 0)来自a(a 0)(-3)4=81
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2叫a的n次方根; x叫a的n次方根.
如果xn=a,那么x叫做 a 的n次方根, 其中n>1, 且n∈N*.
即 如果一个数的n次方等于a (n>1，且 n∈N*)，那么这个数叫做 a 的n次方根.
例如：
24=16 (-2)4=16 (-2)5=-32
27=128
16的4次方根是±2.
-32的5次方根是-2. 2是128的7次方根.
na
n
a;
(2) n an a;
(3) n an | a | .
4.若xn=a , x怎样用a表示？
n a , n为奇数, x n a , n为偶数,a 0, 0, a 0, 不存在, n为偶数,a 0.
作业布置： 1. P59 习题2.1 第一题 附加：
【2】求下列各式的值.
⑴ 5 32;
⑵ （ 3）4 ;
⑶ （ 2 3）2 ; ⑷ 5 2 6 .
解: ⑴ 5 32 5 (2)5 2;
⑵ （ 3）4 [( 3)2 ]2 92 9;
(3) （ 2 3）2 | 2 3 | 3 2;
(4) 5 2 6 （ 2 3）2 3 2.
(3) 4 (3 )4 ;
(4) (a b)2 (a b).
解： 1 3 83 = -8; 2 102 | 10 | =10; 3 4 3 4 | 3 | 3; 4 a b2 | a b | a b a b.
【1】下列各式中, 不正确的序号是( ① ④).
① 4 16 2 ② ( 5 3)5 3 ③ 5 (3)5 3 ④ 5 (3)10 3 ⑤ 4 (3)4 3
例2.填空:
(1)在 6 (2)2n , 5 a4 , 3 a4 , 4 (3)2n1 这四个式子中,没有意义的是__4 _(__3_)2_n_1.
(2) 若 9a2 6a 1 3a 1, 则a 的 取值范围是_a__≥_13__.
(3)已知a, b, c为三角形的三边,则
（a b c)2 b a c __2_b___2_c_.
(1) 当n是奇数时 (2) 当n是偶数时
正数的n次方根是正数. 负数的n次方根是负数.
正数的n次方根有两个且是相反数， 负数没有偶次方根，
(3) 零的任何次方根是零，记作：n 0 =0
(4) ( n a )n =a
根指数
na
被开方数
根式
例1.求下列各式的值
（1） 3 (8)3 ;
(2) (10)2 ;
1.根式定义 2.根式的性质
(1)当n为奇数时，正数的n次方根是一个正数, 负数的n次方根是一个负数,这时,a的n次方根 用符号 n a 表示.零的任何次方根都是零.
(2)当n为偶数时,正数a的n次方根有两个, 合写
为 n a .负数没有偶次方根. 零的任何次方根
都是零.
3.三个公式(1)
回顾初中知识,根式是如何定义的？
①如果一个数的平方等于a,则这个数叫做 a的平 方根.
22=4 (-2)2=4
2,-2叫4的平方根.
②如果一个数的立方等于a,则这个数叫做a 的立 方根.
23=8
2叫8的立方根.(-2源自3=-8-2叫-8的立方根.
通过类比方法，可得n次方根的定义.
2n = a xn =a
【1】试根据n次方根的定义分别求出下列各数 的n次方根.
(1)25的平方根是___±__5__;
(2)27的三次方根是__3___; (3)-32的五次方根是__-_2_; (4)16的四次方根是_±__2__;
(5)a6的三次方根是__a_2__; (6)0的七次方根是___0___. 点评:求一个数a的n次方根就是求出哪个数的n次 方等于a.