第3章 随机过程

2阶中心矩：方差 x2 =D[x] = E[(x-mx)2]= ( x mx )2 f ( x)dx = E[x2-2 mxx+ mx2] = E[x2]-2mx2+mx2 = E[x2]- mx2 = E[x2]- E2[x] 均方值-均值的平方 2 2阶中心矩称为“方差”，用 x 或 D(x)表示。反映随机变量X相对
于统计平均值mx的分散（偏离）程度。均值和方差是描述随机变量统计性质最常 用的二个主要衡量指标。最常出现在哪一点，就是均值，偏离程度就是方差。


性质：① D[x] = E[x2]- E2[x]
② D[a]= E[a2]- E2[a] =0 ③ D[ax]= E[a2x2]- E2[ax]=a2{ E[x2]E2[x]}= a2D[x] ④D[X ± Y] = D[X] + D[Y] ±2CXY

E[x 2 ] x 2 f ( x)dx 为X的均方值。





1阶原点矩： E[x] xf ( x)dx 为X的期望。 ⑶中心矩 n阶中心矩：E[(x-mx)n]= ( x mx )n f ( x)dx


1阶中心矩： E[(x-mx)1]= E[x] -E[mx]= mx- mx= 0
通信原理
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通信原理
第3章 随机过程
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第3章 随机过程

通信系统中的信号和噪声都是随机的 定义：这类事物变化的过程不可能用一个 或几个时间t的确定函数来描述，这类过程 称为随机过程。
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复习
随机变量的统计特性
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随机变量

随机变量：表示随机实验结果的一个变量，叫随
机变量。

用大写字母X、Y、…等表示随机变量，用小写

④ 随机变量X的函数g(x)的期望为 …………X为连续随机 E[g(x)] g ( x) f ( x)dx 变量


E[g(x)] g ( xi ) P( x xi ) g ( xi ) P( xi )
i 1 i 1



… X为离散随机变量

⑵原点矩 n阶原点矩： E[x n ] x n f ( x)dx 2阶原点矩：
设离散随机变量X可能取值有6个,x1～x6 ,且x1﹤…﹤x6 ,概率表：
x1 x2 x3 x4 x5 x6 X P(xi) 1/1 1/1 1/6 1/3 1/6 1/6 2 2
分布函数：F(x)= P(X ≦x)。F(x)是关于x的函数。

如取x=x3 ,即F(x3)= P(X ≦x3)= P(x1)+P(x2)+P(x3)=1/12+1/12+1/6=1/3


X与Y不相关时： ① CXY= E[XY]- E[X] E[Y]=0 ②RXY =E[XY]= E[X] E[Y] ③D[X〒Y]= D[X]+ D[Y]
⑸统计独立与不相关：是两个不同的概念。 若两随机变量统计独立，则它们必然是不相关的。 若f(x,y)=f(x)f(y) , 则称X、Y相互统计独立。 也满足： RXY= E[XY]= E[X] E[Y]及CXY= rxy=0 若X与Y不相关，不一定统计独立。 不相关的充要条件为：CXY= rxy=0 …协方差为0


⑷联合矩（针对二个随机变量而言）
联合原点矩：E[XnY k]称为两个随机变量X和Y的联合原 点矩，反映X和Y的关联程度。 当n=k=1时， E[XY]称为互相关函数或相关矩。



E[XY]


xyf ( x, y)dxdy R

xy

联合中心矩： E{(X-E[X])n (Y-E[Y])k} 当n=k=1时，E{(X-E[X])(Y-E[Y])}=CXY …协方差 E{(X-E[X])(Y-E[Y])}=E{(XY-Y mx-X my+mxmy)} = E[XY]- E[X]E[Y] =RXY－mxmy ∴ CXY=RXY－mxmy 当CXY=0时，称X与Y不相关。此时： E[XY]= E[X]E[Y]



θ在区间（-π～π）均匀分布，则 θ的概率密度函数为 f(θ)= 1/2π, -π < θ < π；
0, θ取其它值时。

θ的均值：
E[ ] f ( )d
2


1 2
d
1 2
|
2 2
0

θ的均方值：E[ 2 ] f ( )d 2 1 d 1 3 | 2 2 2 3 3



θ的方差：
D[ ] E[ ] E [ ]
2 2
2 3
E[g(x)] g ( x) f ( x)dx


θ均匀分布时，其三角函数的 均值为0 E[2 sin ] 2E[sin ] 0
1 2 1

E[2 sin ] 2 sin f ( )d 2 sin d ( cos ) |
字母x、y、…等，表示随机变量的取值。

连续型随机变量：X的可能取值为整个区间的任 意值。如接收机输出电压噪声。 离散型随机变量： X的可能取值为有限值。如 掷殺子。

分布函数

在实际问题中，往往研究X≦xi的概率比研究x=xi的概率更有意义。 随机变量X的取值不超过x的概率P(X ≦x)为X的（概率）分布函数。记 为F(x)= P(X ≦x)。
随机变量的数字特征

⑴数学期望：随机变量X的统计平均值。 …………X为连续随机变量
mx E[x] xf ( x)dx

mx E[x] xi P( x xi ) xi P( xi )
i 1 i 1


… X为离散随机变量



性质： ① E[a]= a （ a为常数） ② E[ax]=a E[x] ③ E[X±Y]= E[X] ± E[Y]（X、Y均为随机变量）
2 2
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ

1 (1 cos 2 )d 1 [ 1 sin 2 ] | 2 2


或：E[(2 sin ) ] E[4 sin )] 2E[1 cos2 ] 2 2sinθ的方差：
2 2

D[2 sin ] E[(2 sin )2 ] E 2[2 sin ] 2



①x﹤ x1时， F(x) =P(X ≦ x ﹤x1)=0。 ② x1 ≦ x﹤ x2 时， F(x) =P(X ≦ x)= P(x1)=1/12 连续随机变量的分布函数 ③ x2 ≦ x﹤ x3 时， F(x) =P(X ≦ x)= P(x1)+ P(x2) =1/12+ 1/12=1/6 ④x3 ≦ x﹤ x4 时， F(x) =P(X ≦ x)= P(x1)+ P(x2)+ P(x3) = =1/12+ 1/12+ 1/6 =1/3 ⑤ x4 ≦ x﹤ x5 时， F(x) =P(X ≦ x)= P(x1)+ P(x2)+ P(x3)+ P(x4) = 1/12+ 1/12+ 1/6 + 1/3 =2/3 ⑥ x5 ≦ x﹤ x6 时， F(x) =P(X ≦ x)= P(x1)+ …+ P(x5) = 2/3 + 1/12 =5/6。 ⑦x6 ≦ x时， F(x) =P(X ≦ x)= P(x1)+ …+ P(x6) = 5/6 +1/6 =1。
随机过程x(t)

随机变量
x(t)
X1 xn(t1) x1(t1) x2(t1)
X2
Xn x1(tn) x2(tn) xn(tn)

t t1 t2 tn 观察接收机输出的噪声电压，第1、2、…、n次观测 分别得到 x1(t) 、 x2(t) 、…、 xn(t)波形。每次 观测得到的波形都不相同，n足够大时，也找不到两 个完全相同的波形。这些可能的x1(t) 、x2(t) 、…、 xn(t)的集合就构成了随机过程X(t)。
例3.1-1 随机过程X(t)取离散值2，5，8，概率
分别为0.5、0.2、0.3，求该随机过程的方差。
m x E[x] xi P( x xi ) xi P( xi )
i 1 i 1
=2×P(2)+5×P(5)+8×P(8) =2×0.5+5×0.2+8×0.3=4.4
样本空间
S1 S2 Sn x2(t) t x1(t) t
(t)
xn(t) t tk
样本函数的总体
随机过程严格定义：
设Sk(k=1, 2, …)是随机试验。 每一次试验都 有一个时间波形（称为样本函数或实现），记 作xi(t)，所有可能出现的结果的总体{x1(t), x2(t)， …, xn(t)， …}就构成一随机过程， 记作ξ(t)。简言之，无穷多个样本函数的总 体叫做随机过程。
x2
④P(x1≦x ≦x2)= P(x ≦x2) －P(x≦x1)=
x1

f ( x ) dx
对于离散型的随机变量，我们通过大量的统计测量其取某一值的概率， 对于连续型的随机变量，我们往往通过统计知道其服从某一种分布即概率密度函数 （如高斯分布、均匀分布、瑞利分布等），积分得到分布函数
多维随机变量：如二维
1 5/6 2/3
F(x)波形：离散随机变量