直线的斜率与倾斜角
直线斜率与倾斜角的关系
直线斜率与倾斜角的关系
倾斜角与斜率的关系：k=tanα。
k是斜率，α是倾斜角。
斜率等于倾斜角的正切值，比如简单的正比例函数y=x，斜率是1，倾斜角是45度，tan45°=1。
斜率与倾斜角
斜率k=tanα（α倾斜角）
所以只能说斜率的绝对值越大，所表示的直线越靠近y轴
而因为tan180度=0
所以实际上，当倾斜角接近180度时，斜率的绝对值是接近于0的
斜率的定义
斜率亦称“角系数”，表示平面直角坐标系中表示一条直线对横坐标轴的倾斜程度的量。
直线对X 轴的倾斜角α的正切值tgα称为该直线的“斜率”，并记作k，k=tgα。
规定平行于X轴的直线的斜率为零，平行于Y轴的直线的斜率不存在。
对于过两个已知点(x1，y1) 和(x2，y2)的直线，若x1≠x2，则该直线的斜率为k=(y1-y2)/(x1-x2)。
即k=tanα=(y1-y2)/(x1-x2)。
直线的倾斜角和斜率,直线方程
直线的倾斜角和斜率，直线方程一、直线的倾斜角和斜率1．直线的倾斜角概念的注意点：1）注意旋转方向：逆时针2）规定平行x轴（或与x轴重合）的直线倾斜角为0°3）直线倾斜角的范围是0°≤<180°2．直线的倾率：直线的倾斜角的正切值tan（倾斜角不为90°时）。
概念注意点：1）倾斜角为90°的直线无斜率2）斜率k可以是任何实数，每条直线都存在唯一的倾斜角，但不是每条直线都有斜率3）=0°时，k=0；0°<<90°时，k>0；=90°时，k不存在；90°<<180°时，k<0。
3．斜率公式：设直线l的倾斜角为(≠90°)，P1(x1，y2)，P2(x2，y2)(x1≠x2)是直线l上不同两点，直线l的斜率为k，则：k=tan=，当=90°时，或x1=x2时，直线l垂直于x轴，它的斜率不存在。
例1．求过A(-2，0)，B(-5，3)两点的直线的斜率和倾斜角。
解：k==-1，即tan=-1，∵0°≤<180°，∴=135°。
点评：已知直线的斜率，可以直接得出直线的倾斜角，但要注意角的范围。
例2．设直线l的斜率为k，且-1<k<1，求直线倾斜角的范围。
解法1：当-1<k<0时，∈()，则，当k=0时，=0，当0<k<1时，∈(0，)，则0<<解法2：作k=tan，∈[0，π)时的图形：由上图可知：-1<k<1时，∈[0，）（）。
点评：1、当直线的斜率在某一区间内时，要注意对倾斜角范围的讨论。
2、利用正切函数图像中正切来表示倾斜角和斜率关系也是一种很好的方法。
二、直线方程的四种形式1．两个独立的条件确定一条直线，常见的确定直线的方法有以下两种（1）由一个定点和确定的方向可确定一条直线，这在解析几何中表现为直线的点斜式方程及其特例斜截式方程。
高中数学——直线的倾斜角和斜率
()
课堂小结
1. 直线的倾斜角和斜率的概念； 2. 根据倾斜角和斜率的概念解决
相关问题； 3. 利用斜率公式解决问题； 4. 数形结合思想，函数思想.
课后作业
作业:P76习题2-1 1，2， 3.
谢谢
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祝您成功！
说法是正确的（ D,F ）
A.任一条直线都有倾斜角，也都有斜率； B.直线的倾斜角越大，它的斜率就越大； C.平行于x轴的直线的倾斜角是0或π； D.两直线的斜率相等，它们的倾斜角相等； E.两直线的倾斜角相等，它们的斜率相等； F.直线斜率的范围是(－∞，＋∞).
例题解析
例3. 如图，直线l1 的倾斜角α1=300，
解：设该直线的斜率为k, 倾斜角为
则由斜率公式得k tan 3 0 1 5 (2)
0。 180。 135。 综上可知：直线的斜率为 1，倾斜角135。
例题解析
例5. 直线 l1、 l2、 l3的斜率分别是k1、 k2、 k3，
试比较斜率的大小.
l1
l2
l3
k1 k3 k2
y y y y
tan 2 1 2 1
x1 x2 x2 x1
直线的斜率计算公式：
y
P2（x2，y2）
P
P1（x1，y1）
O
x
y y
即 k 2 1
x2 x1
例题解析
例1.直线l的倾斜角为45°，则斜率k为 1
直线l的倾斜角为120°，则斜率k为 3 例2. 关于直线的倾斜角和斜率，下列哪些
O
x
(2)
y
0。
k值不存在
k 0
O
x
(3)
直线的倾斜角与斜率
求P 点坐标.
思考： 已知a,b,c ? R + , 且a
b，求证 a+c > a . b+ c b
小结：
1。正确理解直线方程与方程的直线概念
2。
直线的倾斜角
定义
三要素
取值范围 0,180
斜率 K
K tan
K ,
斜率公式
K y2 y1 x2 x1
K ,
P.89习题3.1 A组 1，2， 3，4，5
坡度（比）
升高量 前进量
升
高
量
前进量
1、直线斜率的定义： a 我们把一条直线的倾斜角 的正切值叫做这
条直线的斜率。
用小写字母 k 表示，即：
k tan a
(1)是否每条直线都有倾斜角？ (2)是否每条直线都有斜率?
2、探究：由两点确定的直线的斜率
设直线l经过两点P1(x1, y1), P2(x2, y2), 求此直线的斜率.
综上所述，我们得到经过两点P1(x1, y1), P2 (x2, y2 ) (x1 x2 )的直线的斜率公式：
k = y2 - y1 x2 - x1
例1：
(1)直线l1的倾斜角a1＝30o, 直线l1与l2垂直 求l1与l2的斜率.
(2)已知直线l经过点A(0,1)，B(
1 sinq
,2)，
求l的倾斜角的取值范围.
例2 : 已知直线l过原点O，且与线段MN相交,又 M(-2,4),N(3,2)
(1)求直线OM ,ON，MN的斜率.
(2)设M, N , P(4,a)三点共线, 求a的值.
(3)求直线l的斜率的取值范ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ.
(4)若MN
与l交与点P（x,y），求
直线的倾斜角与斜率
依题意得,
PA
=(x0,-1),
PQ'
=(2,-4),由两向量共线得-4x0+2=0,解得x0=
1 2
,
∴A
1 2
,0
.
答案
(1)
29 4
,
35 4
(2)
1 2
,0
两条直线垂直的判定与应用
判断两条直线是否垂直的两种方法 1.利用直线的斜率判断: (1)在两条直线斜率都存在的前提下,只需看它们的斜率之积是否等于-1即可; (2)一条直线的斜率不存在,另一条直线的斜率为0时,这两条直线也垂直. 2.利用直线的方向向量判断: 设直线l1的方向向量为n,直线l2的方向向量为m,则l1⊥l2⇔n⊥m⇔n·m=0.
1-(-2) 3 -1-(-2)
所以 y 3 的最大值为8,最小值为 4 .
x2
3
2.1.2 两条直线平行和垂直的判定
1.理解两条直线平行的条件及两条直线垂直的条件. 2.能根据直线的斜率判断两条直线平行或垂直. 3.能应用两条直线平行或垂直解决相关问题,理解用代数法解决几何问题.
两条直线(不重合)平行的判定
两条直线平行的判定与应用
判断两条不重合的直线是否平行的两种方法 1.利用直线的斜率判断,其方法步骤是:
2.利用直线的方向向量判断:求出两直线的方向向量,通过判断两向量是否共线,进而判断两 直线是否平行.
(1)已知平行四边形ABCD的三个顶点的坐标分别为A
13 4
,
51 4
、B
-
5 4
,-
3 4
∴点D的坐标为
29 4
,
35
4.
(2)解法一:Q(2,3)关于x轴的对称点为Q'(2,-3),设A(x0,0),
倾斜角与斜率
《倾斜角与斜率》xx年xx月xx日contents •倾斜角概述•斜率及其计算方法•倾斜角与斜率的关系•倾斜角和斜率的应用•倾斜角和斜率的特殊情况•倾斜角和斜率的实际应用案例目录01倾斜角概述定义倾斜角是指直线与x轴之间的夹角，通常用α表示。
性质倾斜角是一个锐角或钝角，其取值范围在0°到180°之间。
定义与性质方向倾斜角的方向与直线的斜率密切相关。
变化当直线向上倾斜时，倾斜角为锐角，斜率为正；当直线向下倾斜时，倾斜角为钝角，斜率为负。
倾斜角与直线方向根据上述性质，倾斜角的取值范围在0°到180°之间。
范围当直线与x轴垂直时，倾斜角为90°，斜率不存在；当直线与x轴平行时，倾斜角为0°，斜率为0。
特殊情况倾斜角的取值范围02斜率及其计算方法斜率是直线与x轴夹角的正切值，表示直线相对于水平线的倾斜程度。
斜率通常用小写字母m表示，也可以用其他字母表示。
斜率的定义斜率的计算方法公式为：m = tan(α)，其中α为直线的倾斜角。
当α为锐角时，m为正数；当α为直角时，m为无穷大；当α为钝角时，m为负数。
利用直线的倾斜角和正切函数计算斜率。
1斜率的取值范围23斜率的取值范围是实数集，可以取任意实数。
斜率的取值与直线的倾斜角有关，而倾斜角可以取0到180度之间的任意值。
当斜率为0时，表示直线与x轴平行；当斜率无穷大时，表示直线与x轴垂直。
03倾斜角与斜率的关系直线斜率计算公式$k = \tan(\alpha)$，其中$\alpha$为直线的倾斜角，$k$为直线的斜率。
说明直线的斜率与倾斜角成正比，即倾斜角越大，斜率越大；倾斜角越小，斜率越小。
直线斜率的计算公式01直线斜率变化不同倾斜角下的直线斜率变化021. 当倾斜角$\alpha$从$0^{\circ}$增大到$90^{\circ}$时，斜率$k$从0逐渐增大到正无穷大。
032. 当倾斜角$\alpha$从$90^{\circ}$减小到$180^{\circ}$时，斜率$k$从正无穷大逐渐减小到0。
直线的倾斜角和斜率 课件
(1)由倾斜角(或范围)求斜率(或范围)利用定义式 k＝tan α(α≠90°)解决． (2)由两点坐标求斜率运用两点斜率公式 k＝xy22－－yx11(x1≠x2)求解． (3)涉及直线与线段有交点问题常数形结合利用公式求解．
3．已知直线 l 经过点 A(1,2)，且不经过第四象限，则直线 l 的斜率 k 的
(1)利用斜率公式求直线的斜率应注意的事项 ①运用公式的前提条件是“x1≠x2”，即直线不与 x 轴垂直，因为当直 线与 x 轴垂直时，斜率是不存在的； ②斜率公式与两点 P1，P2 的先后顺序无关，也就是说公式中的 x1与 x2， y1 与 y2 可以同时交换位置．
(2)在 0°≤α<180°范围内的一些特殊角的正切值要熟记．
取值范围是( )
A．(－1,0]
B．[0,1]
C．[1,2]
D．[0,2]
解析：由图，可知当直线位于如图阴影部分所示的区域内时，满足题意， 所以直线 l 的斜率满足 0≤k≤2.故选 D.
答案：D
数形结合思想在求直线的斜率和倾斜角中的应用 [典例] 已知 A(－3,4)，B(3,2)，P(1,0)，过点 P 的直线 l 与线段 AB 有公 共点． (1)求直线 l 的斜率 k 的取值范围； (2)求直线 l 的倾斜角 α 的取值范围．
y2－y1 k＝ x2－x1 .
探究一 直线的倾斜角
[典例 1] 设直线 l 过原点，其倾斜角为 α，将直线 l 绕坐标原点沿逆时
针方向旋转 45°，得到直线 l1，则直线 l1 的倾斜角为( )
A．α＋45°
B．α－135°
C．135°－α
D．α＋45°或 α－135°
[ 解 析 ] 由 倾 斜 角 的 取 值 范 围 知 ， 只 有 当 0°≤α ＋
课件2：2.2.1 第1课时 直线的倾斜角与斜率
【新知初探】
1．直线的倾斜角 (1)倾斜角的定义 一般地，给定平面直角坐标系中的一条直线，如果这条直线与 x 轴 相交，将 x 轴绕着它们的交点按 逆时针方向旋转到与直线重合时所 转的最小正角记为 θ，则称 θ 为这条直线的倾斜角． (2)当直线与 x 轴平行或重合时，规定该直线的倾斜角为 0°． (3)倾斜角 α 的范围为 [0°，180°) ．
的应用．(难点) 核心素养．
5．掌握直线的方向向量和法向量．(重点)
【情境引入】
我们知道，经过两点有且只有(确定)一条直线，那么，经过一点 P 的直线 l 的位置能确定吗？如图所示，过一点 P 可以作无数多条直 线 a，b，c，…我们可以看出这些直线都过点 P，但它们的“倾斜 程度”不同，怎样描述这种“倾斜程度”的不同呢？
[跟进训练] 1．已知直线 l1 的倾斜角为 α1＝15°，直线 l1 与 l2 的交点为 A，直线 l1 和 l2 向上的方向之间所成的角为 120°，如图所示，求直线 l2 的倾斜角．
[解] ∵l1 与 l2 向上的方向之间所成的角为 120°，l2 与 x 轴交于点 B， ∴倾斜角∠ABx＝120°＋15°＝135°．
【初试身手】
1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)倾斜角是描述直线的倾斜程度的唯一方法． ( ) (2)任何一条直线有且只有一个斜率和它对应． ( ) (3)一个倾斜角 α 不能确定一条直线． ( ) (4)斜率公式与两点的顺序无关． ( ) (5)直线的方向向量与法向量不唯一． ( ) [答案] (1)× (2)× (3)√ (4)√ (5)√
[跟进训练] 2．已知坐标平面内三点 A(－1,1)，B(1,1)，C(2， 3＋1)． (1)求直线 AB、BC、AC 的斜率和倾斜角； (2)若 D 为△ABC 的边 AB 上一动点，求直线 CD 斜率 k 的变化范围．
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直线的倾斜角斜率与直线的方程
1. 已知直线的倾斜角为
，则直线的斜率是__________。
2.过P （，）的直线与轴的正半轴没有公共点，求的倾斜角的范围。
3.若直线的斜率
则直线的倾斜角的取值范围是________。
4.直线的倾斜角的正弦值为
，则的斜率是__________。
【典型例题】
例1.过点P （1，4）作直线与两坐标轴正向相交，当直线在两坐标轴上的截距之和最小时，求直线
方程。
变式训练一
1. 已知与
的倾斜角相等，且与两坐标轴围成的三角形的面积为24，求
的方程。
题型一 直线的方程
例2.已知直线y = ax + 2与两端点为A （1，4）、B （3，1）的线段相交，求a 的取值范围。
变式训练二
1. 若直线k 的斜率满足－3<k <33
，则该直线的倾斜角α的范围是
2.若直线的倾斜角α的范围 12030≤≤α，则直线k 的斜率范围是 。
【拓展延伸】
1. 已知M (2, －3), N (－3,－2)，直线l 过点P (1, 1)，且与线段MN 相交，则直线l 的斜
率k 的取值范围是 .
2.直线mx-y+2m+1=0经过一定点，则该点的坐标是 .
3.直线02)1(=-+++a y x a 不过第二象限，求a 的范围。
题型二 直线的倾斜角与斜率
题型三截距的相关问题
例3.经过点P(3,2)，且在两坐标轴上的截距相等
追踪训练三
1.经过两点（，1），（3，9）的直线在轴上的截距是。
2.求经过点A （，）且在坐标轴上截距为相反数的直线的方程。
【拓展延伸】
3. 过点A（1，4）且纵横截距的绝对值相等的直线共有几条
4.光线从点A(－3,4)发出，经过x轴反射，再经过y轴反射，光线经过点
B(－2,6)，则射入y轴后的反射线的方程是
【巩固练习】
1. 若直线过（，9），（，）两点，则的倾斜角为 .
2. 已知A （，），B （3，0）且AB 的斜率为，则的值是 .
3. 直线的倾斜角为，且，则的斜率的范围是 .
4.已知三点A (2, －3), B (4, 3), C (5, 2m
)在同一直线上，则m 的值为 .
5.已知y 轴上的点B 与点A (－3, 1)连线所成直线的倾斜角为120°，则点B 的坐标
为 .
6.若直线过点(1,2)，(4,2 ,则此直线的倾斜角是 .
7.已知直线斜率的绝对值为3，求此直线的倾斜角 .
8.直线l 的斜率为-2，它在x 轴、y 轴上的截距之和为12。
求直线方程。
9.直线Ax + By – 1 = 0 在 y 轴上的截距是 –1，而且它的倾斜角是直线 的倾斜角的 2 倍，则直线方程。
10. 经过点P (3,2)，且在两坐标轴上的截距相等的直线方程。
11. 直线l 经过点P (3,2)且与x ，y 轴的正半轴分别交于A 、B 两点，
△OAB 的面积为12，求直线l 的方程．。