2016_2017学年高中数学第5章数系的扩充与复数的引入章末高效整合课件

(1)z 为实数⇔m2＋8m＋15＝0 且 m＋5≠0， 解得 m＝－3； (2)z
2 m ＋8m＋15≠0 为虚数⇔ m＋5≠0
，
解得 m≠－3 且 m≠－5；
2 m ＋m－6＝0 m＋5 (3)z 为纯虚数⇔ m＋5≠0 2 m ＋8m＋15≠0
，
解得 m＝2； m2＋m－6 ＜0 m ＋ 5 (4)z 对应的点在第二象限⇔ 2 m ＋8m＋15＞0 解得 m＜－5 或－3＜m＜2. ，
则集合 P＝{(x，y)|x2＋y2－6y＋5＝0} ＝{(x，y)|x2＋(y－3)2＝4}， 故 P 表示以(0,3)为圆心，2 为半径的圆． 设 w＝a＋bi(a，b∈R)． z＝x0＋y0i∈P(x0，y0∈R)且 w＝2iz.
a＝－2y0 则 b＝2x0
1 x0＝2b ，将 y0＝－1a 2
解析： 可对选项逐个检查，A 项，|z－ z |≥2y，故 A 错； B 项，z2＝x2－y2＋2xyi，故 B 错；C 项，|z－ z |≥2y，故 C 错， 而 D 项正确．
答案： D
4．复数z1＝3＋i，z2＝1－i，则z＝z1·z2在复平面内对应的 点位于( ) B．第二象限 D．第四象限 A．第一象限 C．第三象限 解析： 对应的点在第四象限． 答案： D
2 ③z2 1＋z2＝0⇔z1＝z2＝0(z1，z2 是虚数时不成立)．
(4)复数模的运算性质 设 z＝a＋bi(a，b∈R)，则|z|＝ a2＋b2且有 ①|z1|－|z2|≤|z1± z2|≤|z1|＋|z2|； ②|z|2＝1⇔z· z ＝1； ③|z|2＝| z |2＝z· z.
热点考点例析
z＝z1·z2＝(3＋i)·(1－i)＝4－2i，故z在复平面内
z1 5．若 z1＝a＋2i，z2＝3－4i，且z 为纯虚数，则实数 a 的值 2 为_______．
z1 a＋2i a＋2i3＋4i 3a－8＋4a＋6i 解析： z ＝ ＝ ＝ . 25 3 － 4i 3 － 4i 3 ＋ 4i 2 8 其为纯虚数，则 3a－8＝0，a＝3. 8 答案： 3
根式的分子分母有理化，要注意 i2 ＝－ 1. 在进行复数的运算
时，要灵活利用i，ω的性质，或适当变形创造条件，从而转化 为关于i，ω的计算问题． 2＋2i4 计算：(1) 5； 1－ 3i
－2 3＋i 2 2 006 (2) ＋ . 1 － i 1＋2 3i
[思维点击] 变形利用基本结论简化运算．
3．复数z满足|z－1－i|＝1，求|z＋1＋i|的最小值．
解析： 因为|z－1－i|＝1，
所以由复数减法的几何意义可知，z 对应的点的轨迹是以 点(1,1)为圆心，1 为半径的圆， 而|z＋1＋i|则是圆上的点到点(－1，－1)的距离， 所以|z＋1＋i|min＝ 1＋12＋1＋12－1＝2 2－1.
[规范解答]
2＋2i4 241＋i4 (1) ＝ 1 1－ 3i5 3 5 5 －2 － ＋ i 2 2
1 242i2 3 ＝－ ＝ 2 － ＋ i 2 ＝－1＋ 3i； 2 1 3 2 5 2 － ＋ i 2 2
章末高效整合
Hale Waihona Puke 知能整合提升1．复数的分类
有理数 实数b＝0 无理数 复数 a＋bi(a、b∈R) 纯虚数a＝0，b≠0 虚数b≠0 非纯虚数a≠0，b≠0
2．复数相等 a＋bi＝c＋di⇔a＝c，且 b＝d. a＋bi＝0⇔a＝b＝0(a、b、c、d∈R)．
)
C．a＝－1，b＝－1
－1＝b， ∴ a＝1，
D．a＝1，b＝－1
解析： ∵(a＋i)i＝b＋i，∴－1＋ai＝b＋i.
a＝1， ∴ b＝－1.
答案： D
3．对任意复数 z＝x＋yi(x，y∈R)，i 为虚数单位，则下列 结论正确的是( A．|z－ z |＝2y C．|z－ z |≥2x ) B．z2＝x2＋y2 D．|z|≤|x|＋|y|
解析： 方法一：∵z· z ＝|z|2，把方程变形为 1－|z|2 z ＝－1＋ 3 i①
2 2 1 － | z | 2 两边取模得| z | ＝1＋ . 9
整理得|z|4－11|z|2＋10＝0. 解得|z|2＝1 或|z|2＝10. 将其代入①得 z ＝－1 或 z ＝－1－3i. ∴z＝－1 或 z＝－1＋3i.
3．复数的计算 复数求解计算时，要灵活利用 i、ω 的性质，或适当变形， 创造条件，从而转化为关于 i、ω 的计算问题． (1)i 的运算律：①i4n＝1，i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i， in＋in＋1＋in＋2＋in＋3＝0. 1＋ i 1－i ②(1± i) ＝± 2i.③ ＝i， ＝－i. 1－ i 1＋i
方法二：设 z＝a＋bi(a，b∈R)，原方程化为 a2＋b2－3i(a －bi)＝1＋3i， 即 a2＋b2－3b－3ai＝1＋3i，
2 2 a ＋b －3b＝1 ∴ －3a＝3
a＝1 解得 b＝0或3
.
∴z＝－1 或 z＝－1＋3i.
1．a 为正实数，i A．2 C. 2
1 实数 m 为何值时，复数 z＝m m＋5＋i ＋(8m＋15)i
2

m－6 ＋ . m＋5 (1)为实数； (2)为虚数； (3)为纯虚数； (4)对应的点在第二象限．
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根据复数的有关概念来解答，把要求解的问
题转化为方程(组)或不等式(组)．
[规范解答]
m2＋m－6 z＝ ＋(m2＋8m＋15)i. m＋5
1 ．复数 z ＝ log2(x2 － 3x － 3) ＋ ilog2(x － 3) ，当 x 为何实数 时．(1)z∈R；(2)z为虚数；(3)z为纯虚数．
解析： (1)因为一个复数是实数的充要条件是虚部为零，
2 x －3x－3>0 所以有 log2x－3＝0
① ②
由②得 x＝4，经验证满足①. 所以当 x＝4 时，z∈R.
＝－1＋i.
复数的模及其几何意义
复数 z＝a＋bi(a，b∈R)对应复平面上的点 Z，则复数的模 → |z|＝|OZ|＝ a2＋b2，即点 Z(a，b)到原点的距离．|z1－z2|则表示 → z1，z2 对应点间的距离，或|Z1Z2|的模．
设复数 z＝x＋yi(x，y∈R)满足 z· z ＋(1－2i)· z＋(1＋ 2i)· z ≤3，求|z|的最大值和最小值．
1 003 －2 3＋i － 2 3 ＋ i i 2 2 2 006 (2) ＋ ＝ ＋ 1 003 1 － i － 2i 1＋2 3i 1 ＋ 2 3i i
－2 3＋ii 1 1 ＝ －i1 003＝i－ ＝i－i＝0. －i i－2 3
1＋i 6 2．计算： 1－i ＋
复数的分类
解决复数问题，首先要弄清复数的有关概念，对于复数 z ＝a＋bi(a，b∈R)，a 为实部，b 为虚部而不是 bi，要判断一个 复数是否为实数可根据定义判断，也可由 z 与 z 是否相等来判 断，要判断一个复数为纯虚数，根据定义需满足两条：实部为 零且虚部不为零，或由 z＋ z ＝0(z≠0)来判断．
(3)复数方程根的问题，是将已知根代入，利用复数相等来
解之．
2．解决共轭复数问题时，除用共轭复数定义解题外，也常 用下列结论简化解题过程． (1)z· z ＝|z|2＝| z |2. (2)z∈R⇔ z ＝z. (3)z≠0，z 为纯虚数⇔ z ＝－z.
设 P，Q 是复平面上的点集，P＝{z|z· z ＋3i(z－ z ) ＋5＝0}，Q＝{w|w＝2iz，z∈P}． (1)P，Q 分别表示什么曲线？ (2)设 z1∈P，z2∈Q，求|z1－z2|的最大值与最小值．
(3) 因为若一个复数是纯虚数，则其实部为零且虚部不为
2 log2x －3x－3＝0 零，所以有 log2x－3≠0
，
x＝－1或x＝4 解得 x>3且x≠4
，无解．
所以复数 z 不可能是纯虚数．
复数的四则运算
复数加、减、乘、除运算的实质是实数的加减乘除，加减 法是对应实、虚部相加减，而乘法类比多项式乘法，除法类比
2 代入 x2 0＋(y0－3) ＝4
得(a＋6)2＋b2＝16. 故 Q 表示以(－6,0)为圆心，4 为半径的圆． (2)|z1－z2|表示分别在圆 P，Q 上的两个动点间的距离，又 圆心距|PQ|＝3 5＞2＋4， 故|z1－z2|的最大值为 6＋3 5，最小值为 3 5－6.
4．已知 z∈C，解方程 z· z －3i z ＝1＋3i.
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|z|即复平面上复数z的对应点与原点的距离，
故只需求出z所满足的几何条件，问题不难解决．而将z＝x＋yi
代入原式，容易求出点 x 、 y 满足的关系，亦即点 z 的几何条 件．
[规范解答] z· z ＋(1－2i)z＋(1＋2i) z ⇒x2＋y2＋(1－2i)(x＋ yi) ＋ (1 ＋ 2i)· (x － yi)≤3 ⇒ (x ＋ 1)2 ＋ (y ＋ 2)2≤8，即|z＋1＋2i|≤2 2，所以复数 z 对 应的点的集合是以 C(－1， －2)为圆心， 2 2 为半径的圆面(包括边界)． 又因为|OC|＝ 5＜2 2， 所以，原点在圆(x＋1)2＋(y＋2)2＝8 的内部，如图． 所以，|z|max＝ 5＋2 2，|z|min＝0
复数相等与共轭复数
1．两复数z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)相等的充 要条件是：a＝c且b＝d，即两复数相等，当且仅当它们的实部
与实部相等，虚部与虚部相等．
(1)将复数问题实数化是解决复数问题的一种重要思想，其 桥梁是设复数的代数形式，依据复数相等的充要条件． (2) 复数相等常以方程的形式出现，利用相等的充要条件 后，再次转化为解实系数方程组问题．