浙江省一级重点中学(六校)2013届高三第一次联考数学(文)试题

2013年浙江省六校联考数学（文）试卷本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟．第Ⅰ卷（选择题 共50分）一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．设全集U R =，集合{|3},{|05},A x x B x x =≥=≤<则集合()U C A B = （ ▲ ） A ．{|03}x x <<B ．{|03}x x ≤<C ．{|03}x x <≤D ．{|03}x x ≤≤2．已知,a b R ∈，若3(1)a bi i i -=+（其中为虚数单位），则 （ ▲ ） A ．1,1a b ==- B ．1,1a b =-= C ．1,1a b ==D ．1,1a b =-=-3.“3a =”是“直线230ax y a ++=与直线23(1)30x a y a a +-+-+=互相平行”的 （ ▲ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4.若实数x ，y 满足不等式组330,230,10,x y x y x y +-≥⎧⎪--≤⎨⎪-+≥⎩则x y +的最大值为 （ ▲ ）A ．7B ．8C ．9D ．105．学校高中部共有学生2000名，高中部各年级男、女生人数如下表，已知在高中部学生中随机抽取1名学生，抽到高三年级女生的概率是0.18，现用分层抽样的方法在高中部抽取50名学生，则应在A 6.设l ，m 是两条不同的直线，α是一个平面，则下列命题正确的是 （ ▲ ） A ．若l m ⊥，m α⊂，则l α⊥ B. 若l α//，m α//，则l m // C ．若l α//，m α⊂，则l m // D. 若l α⊥，l m //，则m α⊥ 7.将函数)32sin(π+=x y 的图像向左平移6π个单位后得到的图像对应的解析式为)2sin(ϕ+-=x y ，则ϕ的值可以是 （ ▲ ）A ．2π-B ．2πC ．3π-D ．3π 8．设(2,3)a =r，a r 在b r 方向上的投影为3，b r 在x 轴上的投影为1，则b =r （ ▲ ）A.(19．左右焦点分别为12F F ，，过1F 的直线l 交椭圆于A B ，两点，8，则b 的值是 （ ▲ ）A.110．定义域为[]的函数图像的两个端点为A 、B ，M(x ，y)是图象上任意一点，其中．已知向量，若不等式||MN k ≤uuu r恒成立，则称函数f (x)在[a ，b]上“k 阶线性近似”．若函数在[1，2]上“k 阶线性近似”，则实数k 的取值范围为 （ ▲ ） A.[0,)+∞ B.1[,)12+∞C.3[)2+∞D.3[)2+∞ 第Ⅱ卷（非选择题 共100分）二、填空题（本大题共7小题，每小题4分，共28分）11．从集合{1，2，3，4，5, 6}中随机抽取一个数为a ，从集合{2，3, 4}中随机抽取一个数为b ， 则b a >的概率是 ▲ .12．如图是一个空间几何体的三视图，则该几何体的外接球的体积为 ▲ .2 213．如图所示，程序框图（算法流程图）的输出结果是 ▲ .14.,a b ()y f x =()f x []1,0,)1(∈-+=λλλb a x ()OB OA ON λλ-+=1xx y 1-=①||||2PA PB AB +==uu r uu r uu u r ；③||||AB AQ AB AQ +=-uu u r uuu r uu u r uuu r ， 则||PQ uu u r的最大值与最小值之差是 ▲ .15.设103m <<，若1313k m m+≥-恒成立，则k 的最大值为 ▲ . 16.12,F F 分别是双曲线P 为双曲线右支上一点，I 是12PF F ∆的内心，且e= ▲ .17①2；R 上恒成立； 其中正确的命题有 ▲ .（把正确的命题序号都填上）.三、解答题：本大题共5小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 18．（本题满分14分）已知函数)(x f 2.（Ⅰ）求常数m 的值；（Ⅱ）在ABC ∆中，角A ,B ,C 所对的边是a ,b ,c ，若()1f A =，sin 3sin B C =，ABC ∆4. 求边长a .19．（本题满分14分）数列{}n a 的前n 项和2n n S an b =+，若112a =，256a =．（Ⅰ）求数列{}n a 的前n 项和n S ；（Ⅱ）求数列{}n a 的通项公式；()f x（Ⅲ）设21nn a b n n =+-，求数列{}n b 的前n 项和n T ．20．（本题满分14分） 如图所示，四棱锥P ABCD -的底面是边长为1的正方形，PA CD ⊥，1PA =，PD =E 为PD 上一点，2PE ED =．（Ⅰ）求证：PA ⊥平面ABCD ；（Ⅱ）求直线PD 与平面AEC 所成角的正弦值；（Ⅲ）在侧棱PC 上是否存在一点F ，使得//BF 平面AEC ？若存在，指出F 点的位置，并证明； 若不存在，说明理由．21. (本题满分15分)已知函数31()13f x x ax =-+． （Ⅰ）若1x =时，()f x 取得极值，求a 的值； （Ⅱ）求()f x 在[0,1]上的最小值；（Ⅲ）若对任意m R ∈，直线y x m =-+都不是曲线()y f x =的切线，求a 的取值范围．22. (本题满分15分)已知抛物线C 的方程为2(0)y px p =>,直线l :x y m x +=与轴的交点在抛物线C 准线的右侧. (Ⅰ)求证:直线l 与抛物线C 恒有两个不同交点；(Ⅱ)已知定点)0,1(A ,若直线l 与抛物线C 的交点为Q 、R ,满足0=⋅,是否存在实数m , 使EPDCBA得原点O到直线l,若存在，求出正实数p的取值范围；若不存在，请说明理由．2013年浙江省六校联考 数学（文）答案及评分标准一、选择题：（每小题5分，共50分）二、填空题（每小题4分，共28分） 三、解答题（共72分） 18.(本题14分）解：(1)m x x x x f ++⋅=2cos 2cos sin 32)(1)62sin(2+++=m x π……… 2分∵ ⎢⎣⎡⎥⎦⎤∈3,0πx ∴⎢⎣⎡⎦⎤∈+65,662πππx ……… 3分∵ 函数t y sin =在区间⎢⎣⎡⎥⎦⎤2,6ππ 上是增函数，在区间⎢⎣⎡⎥⎦⎤65,2ππ 上是减函数 ∴当262ππ=+x 即6π=x 时，函数)(x f 在区间0,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上取到最大值. ……… 5分 此时，23)()(m ax =+==m f x f π得1-=m ……… 6分 （2）∵1)(=A f ∴ ，解得0=A (舍去)或……… 8分 ∵C B sin 3sin =，CcB b A a sin sin sin == ∴ c b 3=…………① ……… 10分 ∵ABC ∆面积为433， ∴ 4333sin 21sin 21===πbc A bc S 即3=bc …………②由①和②解得1,3==c b ……… 12分 ∵3cos 13213cos 222222π⨯⨯⨯-+=⋅-+=A bc c b a ∴ 7=a ……… 14分19．（本题满分14分）解：（1）由1112S a ==，得112a b =+；由21243S a a =+=，得4423a b =+． ∴223a b a b +=⎧⎨+=⎩，解得11a b =⎧⎨=⎩，故21n nS n =+； ………… 4分（2）当2n ≥时，2232212(1)(1)(1)11(1)n n n n n n n n n n a S S n n n n n n----++-=-=-==+++． …… 7分 由于112a =也适合221n n n a n n +-=+． ……… 8分∴221n n n a n n +-=+； ……… 9分（3）21111(1)1n n a b n n n n n n ===-+-++． ……… 10分 ∴数列{}n b 的前n 项和1211111111122311n n n T b b b b n n n n -=++++=-+-++-+--+ 1111nn n =-=++． ……… 14分 20．（本小题满分14分）解：（Ⅰ） PA = PD = 1 ,PD = 2 ,PA 2 + AD 2 = PD 2, 即：PA ⊥ AD ………2分 又PA ⊥ CD , AD , CD 相交于点D,PA ⊥平面ABCD ………4分 （Ⅱ）以AB , AD , PA 为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系．则A （0 ，0， 0），D （0，1，0） ，C （1，1，0），P （0，0，1），E （0 , 23 ,13）,AC = （1,1,0）, AE = （0 , 23 ,13）,PD = （0,1,-1）………5分设平面AEC 的法向量n = （x, y,z ） , 则0n AC n AE ⎧=⎪⎨=⎪⎩uuu rr g uu u rr g ，即：， 令y = 1 , 则 n= （- 1,1, - 2 ） ………6分设直线PD 与平面AEC 所成角为θ，则sin |cos |||||||PD n PD n PD n θ=<>==uu u r ruu u r r g g uu u r r 8分∴∴⎩⎨⎧=+=+020z y y x所以直线PD 与平面AEC 所成角的正弦值为。

………9分 （Ⅲ）由（Ⅱ）可知，平面AEC 的一个法向量可设为 n= （- 1,1, - 2 ）假设侧棱PC 上存在一点F, 且CF uu u r＝ CP uu r （0 ≤≤ 1）,使得：BF//平面AEC, 则BF n ⋅uu u r r＝ 0． ………11分 又因为：BF uu u r＝ BC uu u r + CF uu u r ＝（0 ，1，0）+ （-,-,）= （-,1-,）, BF n ∴⋅uu u r r ＝+ 1- - 2 = 0 , = 12, ………13分所以存在PC 的中点F, 使得BF//平面AEC ． ………14分 21. （本题15分）λλλλλλλλλλλ∴λ(III)因为R m ∀∈，直线y x m =-+都不是曲线()y f x =的切线，所以2()1f x x a =-≠-'对R x ∈成立， ………………12分 只要2()f x x a =-'的最小值大于1-即可， 而2()f x x a =-'的最小值为(0)f a =- 所以1a ->-，即1a < ………………15分 22. (证明：（消去x 可得20()y py pm +-=⋅⋅⋅⋅⋅*0p > 所以直线与抛物线恒有两个不同的交点； ………………5分（Ⅱ）解：设1122(,),(,)Q x y R x y ，由（﹡）可得1212,y y p y y pm +=-⋅=-故11221212(1,)(1,)(1)(1)AQ AR x y x y x x y y =--=--+uuu r uu u rg g212121212(1)(1)2(1)()(1)m y m y y y y y m y y m =----+=+-++- 2(2)(1)0m p m p =-++-= ………………8分（如上各题若有其他解法，均可酌情给分）。