湘教版数学九年级下册教案：1.2 第4课时 二次函数y=a(x-h)2+k的图象与性质
湘教版九年级数学下册1.2二次函数的图象与性质第4课时二次函数y=a(_h)2k的图象与性质说课稿
湘教版九年级数学下册1.2二次函数的图象与性质第4课时二次函数y=a（_h）2k的图象与性质说课稿一. 教材分析湘教版九年级数学下册1.2二次函数的图象与性质第4课时，主要讲述二次函数y=a(x-h)^2+k的图象与性质。
这部分内容是整个初中数学的重要部分，也是学生理解高中数学的基础。
在本节课中，学生需要掌握二次函数的图象特征，了解二次函数的顶点式，并能运用二次函数的性质解决实际问题。
二. 学情分析九年级的学生已经学习了二次函数的一般式y=ax^2+bx+c，他们对二次函数有一定的认识。
但是，对于二次函数的图象与性质，部分学生可能还存在着理解上的困难。
因此，在教学过程中，我需要关注这部分学生的学习情况，引导他们通过观察、分析、归纳等方法，深入理解二次函数的图象与性质。
三. 说教学目标1.知识与技能目标：学生能够掌握二次函数y=a(x-h)^2+k的顶点式，了解二次函数的图象特征，学会运用二次函数的性质解决实际问题。
2.过程与方法目标：通过观察、分析、归纳等方法，学生能够自主探究二次函数的图象与性质，培养他们的数学思维能力。
3.情感态度与价值观目标：学生能够积极参与课堂活动，增强对数学学习的兴趣，培养良好的学习习惯。
四. 说教学重难点1.教学重点：二次函数y=a(x-h)^2+k的顶点式，二次函数的图象特征。
2.教学难点：二次函数的性质，如何运用二次函数的性质解决实际问题。
五. 说教学方法与手段1.教学方法：引导发现法、讨论法、案例分析法。
2.教学手段：多媒体课件、黑板、粉笔。
六. 说教学过程1.导入新课：通过一个实际问题，引发学生对二次函数图象与性质的兴趣，导入新课。
2.自主探究：学生自主探究二次函数y=a(x-h)^2+k的顶点式，了解二次函数的图象特征。
3.课堂讲解：讲解二次函数的性质，引导学生通过观察、分析、归纳等方法，深入理解二次函数的图象与性质。
4.案例分析：分析实际问题，引导学生运用二次函数的性质解决问题。
新湘教版数学九下学案：1.2第4课时二次函数y=a(x-h)2+k的图象与性质
第4课时二次函数y =a(x — h)2 k的图象与性质学习目标2会用二次函数y = a(x _ h ) + k的性质解决问题教学重点会用二次函数y = a(x - h f + k的性质解决问题教学难点会用二次函数y = a(x - h f + k的性质解决问题教学方法导学训练学生自主活动材料【学习过程】一、依标独学：21.抛物线y=-2(x+1) -3开口向，顶点坐标是，对称轴是，当x=时，y有最值为•当x 时，y随x的增大而增大•2 22.抛物线y二-2(x+1) -3是由y二-2x如何平移得到的？答：［网］二、围标群学1•抛物线的顶点坐标为(2, -3),且经过点(3,2)求该函数的解析式？分析：如何设函数解析式？写出完整的解题过程2•仔细阅读课本：分析：由题意可知：池中心是_____________ ，水管是_____________ ，点头，线段________ 的长度是1米，线段 ___________ 的长度是3米•由已知条件可设抛物线的解析式为________________________________ •抛物线的解析式中有一个待定系数，所以只需再确定—个点的坐标即可，这个点是________________________求水管的长就是通过求点__________ 的 ______ 坐标•三*扣标展示：如图，某隧道横截面的上下轮廓线分别由抛物线对称的一部分和矩形的一部分构成，最大高度均＜5米，底部宽度为门米.AO=3米，现以。
点为原点，QM所在直线为工轴建立直角坐标系.⑴ 直接写出点卫及抛物统顶点尸的坐标：（2）求出这条抛物线的函数解析式：四、达标测评1 21. •抛物线、一x-6 5开口 _________ ，顶点坐标是________________ ,对称轴是•当x3= 时，y有最值为2 22•函数y=2x-3 -1的图象可由函数y=2x的图象沿x轴向平移个单位，再沿y轴向平移个单位得到.23.若把函数y =5 X-2 3的图象分别向下、向左移动2个单位，贝U得到的函数解析式为__________________________ .五、课后反思教学反思：自我评■价专栏（分优良中差四个等级）。
2.3二次函数的应用 第4课时 教案(湘教版九年级下)
探究内容：2.3.二次函数的应用（第4课时）优化问题目标设计：1、能运用配方法将()20y ax bx c a =++≠变换成为()2y a x d h =++的形式；2、能将实际问题转化为二次函数模型的数学问题，会求函数的最大（小）值。
重点难点：1、一般式与顶点式的相互转化；2、求函数的最值。
探究准备：投影片、作图工具等。
探究过程：一、复习导入：1、二次函数一般式化为顶点式是： 222424b ac b y ax bx c a x a a -⎛⎫=++=++ ⎪⎝⎭ 2、二次函数的最值： 当2b x a =-时，函数达到最大值（当0a <）或最小值（当0a >）：244a c b a -。
二、新知探究：思考：学校准备在校内利用围墙的一段，再麝砌三面墙，围成一个矩形植物园，如图，现在已备足可以砌100m 长的墙的材料。
怎样砌法，才能使矩形植物园的面积最大？分析：设与已有墙面相邻的每一面墙的长度都为xm ，则与已有墙面相对的一面墙的长度为()1002x m -，于是矩形植物园的面积()1002S x x =-，050x <<即 22100S x x =-+，050x << ①则所求的问题就是；当x 等于多少时，二次函数①达到最大值？∴①式配方如下：22100S x x =-+()2222502525x x =--+-()22225225x =--+⨯()22251250x =--+∴当25x =时，S 达到最大值1250。
即与已有墙面相邻的每一面墙的长度都为25m ，另一面墙的长度为50m 时，矩形植物园的面积最大，达到1250m 2。
三、练习：1、P 48练习题；2、P 53复习题二B 组2。
提示：设日字形窗框的宽为xm ，则其长为832x m -，由此设窗户的透光面积为y ，于是有： 832x y x-=，803x << 即2342y x x =-+，803x << ∴2342y x x =-+ 23816162399x x ⎛⎫=--+- ⎪⎝⎭2348233x ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭ 即当窗框的宽为43m ，长为2m 时，透光面积最大，其最大面积是283m 。
九年级数学下册 1_2 第4课时 二次函数y=a(x-h)2+k的图象与性质试题 (新版)湘教版
第4课时二次函数y＝a(x－h)2＋k的图象与性质知识要点1 二次函数y＝a(x－h)2＋k的图象与性质y＝a (x－h)2＋k(a≠0)a＞0(k>0，h＞0)a＜0(k<0，h＞0)开口方向向上向下顶点坐标(h，k)(h，k)对称轴直线____________直线____________增减性当x＜h时，y随x的增大而减小；当x＞h时，y随x的增大而增大.当x＜h时，y随x的增大而增大；当x＞h时，y随x的增大而减小.最值当x＝h时，y最小＝k.当x＝h时，y最大＝k.草图解题策略已知抛物线的顶点坐标求表达式：常设二次函数的模型为y＝________，通过代入顶点及一点坐标再求解.知识要点2 抛物线的平移内容图例平移解题 策略 二次函数平移的实质是顶点坐标的平移，因此只要找出原函数顶点的平移方式即可确定平移后的函数解析式.(教材P13探究变式)在平面直角坐标系中，把抛物线y ＝12x 2＋1向上平移3个单位，再向左平移1个单位，则所得抛物线的表达式是______________．分析：先求出原抛物线的顶点坐标为(0，1)，再根据向左平移横坐标减，向上平移纵坐标加求出平移后抛物线的顶点坐标．方法点拨：二次函数图象的几何变换，利用顶点坐标的平移确定函数图象的平移可以使求解更简便，平移规律“左加右减，上加下减”．关于x 的二次函数y ＝－(x －1)2＋2，下列说法正确的是AA ．当x ＞1时，y 随x 的增大而减小B ．图象与y 轴的交点坐标为(0，2)C ．图象的开口向上D ．图象的顶点坐标是(－1，2) 分析：参照上述“知识要点1”中“a ＜0”的情况画出函数y ＝－(x －1)2＋2的大致图象，然后利用图形进行判断．方法点拨：熟练掌握二次函数的对称轴、增减性、开口方向等性质是解题的关键．已知二次函数y ＝a (x －1)2－4的图象经过点(3，0)．(1)求a 的值；(2)若A (m ，y 1)、B (m ＋n ，y 2)(n ＞0)是该函数图象上的两点，当y 1＝y 2时，求m 、n 之间的数量关系．分析：(1)把点(3，0)的坐标代入函数表达式计算即可得解；(2)方法一：根据y 1＝y 2列出关于m 、n 的方程，然后开方整理即可得解；方法二：根据二次函数的对称性列出关于m 、n 的方程，然后整理即可得解．方法点拨：已知函数图象上的点，则这点的坐标必满足函数的表达式，代入即可求得函数解析式．1．二次函数y ＝(x ＋2)2－1的图象大致为( )2．若抛物线y ＝(x －m )2＋(m ＋1)的顶点在第一象限，则m 的取值范围为( )A ．m >1B ．m >0C ．m >－1D ．－1<m <0 3．关于二次函数y ＝－12(x －3)2－2的图象与性质，下列结论错误的是( )A ．抛物线开口方向向下B ．当x ＝3时，函数有最大值－2C ．当x ＞3时，y 随x 的增大而减小D ．抛物线可由y ＝12x 2经过平移得到4．抛物线y ＝(x －1)2＋2的对称轴是________．5．将二次函数y ＝x 2的图象向左平移1个单位得到二次函数的表达式是____________，再将所得的二次函数图象向上平移2个单位得到二次函数的表达式是____________．6．已知点A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)在二次函数y ＝－(x －2)2＋1的图象上，若x 1＞x 2＞2，则y 1________y 2(填“＞”“＜”或“＝”)． 7．已知二次函数的图象经过(0，0)，且它的顶点坐标是(1，－2)．(1)求这个二次函数的表达式； (2)判断点P (3，5)是否在这条抛物线的图象上．参考答案:要点归纳知识要点1：上 下 (h ，k ) (h ，k ) x ＝h x ＝h 减小 增大 增大 减小 kk a (x －h )2＋k典例导学例1 y ＝12(x ＋1)2＋4.例2 A例3 解：(1)将(3，0)代入y＝a(x－1)2－4，得0＝4a－4，解得a＝1；(2)方法一：根据题意，得y1＝(m－1)2－4，y2＝(m＋n－1)2－4，∵y1＝y2，∴(m －1)2－4＝(m＋n－1)2－4，即(m－1)2＝(m＋n－1)2.∵n＞0，∴m－1＝－(m＋n－1)，化简，得2m＋n＝2；方法二：∵函数y＝(x－1)2－4的图象的对称轴是经过点(1，－4)，且平行于y轴的直线，∴m＋n－1＝1－m，化简，得2m ＋n＝2.当堂检测1.D2.B3.D4.x＝15．y＝(x＋1)2y＝(x＋1)2＋2 6.< 7．解：(1)设抛物线的表达式为y＝a(x－1)2－2，将点(0，0)代入得a－2＝0，解得a ＝2，∴抛物线的表达式为y＝2(x－1)2－2；(2)当x＝3时，y＝2×(3－1)2－2＝6，∴点P(3，5)不在这条抛物线的图象上．。
湘教版九年级下册数学课件1.2二次函数的图象与性质第4课时(共13张PPT)
第4课时 二次函数y=a(x-h)²+k（a≠0）的图象与性质
目 Contents 录
01 学习目标
02 合作探究
03 例题演示
04 巩固练习
05 课堂小结
学习目标
1.会用描点法画二次函数y=a(x-h)2+k的图象.掌握y=a(x-h)2+k 的图象和性质. 2.掌握y=a(x-h)2+k与y=ax2的图象的位置关系. 3.理解y=a(x-h)2+k,y=a(x-h)2,y=ax2+k及y=ax2的图象之间的平 移转化.
4 因此，所求的二次函数表达式为:
y 3 (x 2)2 1 3 x2 3x 4
4
4
巩固练习
1、画二次函数y 1 (x 1)2 3 的图象.
2
列表
x
… －2 －1 0 1 2 3
y 1 (x 1)2 3 … 3
1
2.5
3
2.5
1
2
2
4…
3 2
…
描点
4
连线
2
－4 －2
24
－2
－4
2
解 : 对称轴是直线 x =－1，顶点坐标为（－1，－3）
列表：自变量x从顶点的横坐标－1开始取值.
x
－1 0
1
2
3…
y 1 (x 1)2 3 2
－3
－2.5
－1
1.5
5
…
描点和连线：画出图象 在对称轴右边的部分.
4
利用对称性，画出图 象在对称轴左边的部 分，这样我们得到了 函数
y 1 ( x 1)2 3 2
课堂小结
最新湘教版九年级下数学导学案1.2 第4课时 二次函数y=a(x-h)2+k的图象与性质
第4课时 二次函数k h x a y +-=2)(的图象与性质 学习目标
会用二次函数()k h x a y +-=2的性质解决问题 教学重点
会用二次函数()k h x a y +-=2的性质解决问题 教学难点
会用二次函数()k h x a y +-=2的性质解决问题 教学方法 导学训练
学生自主活动材料
【学习过程】
一、依标独学：
1.抛物线2
2(+1)3y x =--开口向 ，顶点坐标是 ，对称轴是 ，当x ＝ 时，y 有最 值为 .当x 时，y 随x 的增大而增大.
2. 抛物线22(+1)3y x =--是由22y x =-如何平移得到的？答： [网] .
二、围标群学
1.抛物线的顶点坐标为（2，-3），且经过点（3,2）求该函数的解析式？
分析：如何设函数解析式？写出完整的解题过程.
2.仔细阅读课本：
分析：由题意可知：池中心是 ，水管是 ，点 是喷头，线段 的长度是1米，线段 的长度是3米.
由已知条件可设抛物线的解析式为 .抛物线的解析式中有一个待定系数，所以只需再确定 个点的坐标即可，这个点是 .
求水管的长就是通过求点 的 坐标.
四、达标测评
1..抛物线()21653
y x =--+开口 ，顶点坐标是 ，对称轴是 ，当x ＝ 时，y 有最 值为 .
2.函数()2
231y x =--的图象可由函数22y x =的图象沿x 轴向 平移 个单位，再沿y 轴向 平移 个单位得到.
3.若把函数()2523y x =-+的图象分别向下、向左移动2个单位，则得到的函数解析式为 .
五、课后反思
教学反思：
自我评价专栏(分优良中差四个等级)
自主学习： 合作与交流： 书写： 综合： [来源: 网]。
2020学年湘教版数学九年级下册第1章二次函数1.2二次函数的图像与性质教案湘教版
第1课时二次函数2(0)=>的图象与性质y ax a教学目标【知识与技能】1.会用描点法画函数2(0)=>的图象，并根据图象认识、理解和掌握其性质．y ax a2.体会数形结合的转化，能用2(0)=>的图象和性质解决简单的实际问题．y ax a【过程与方法】经历探索二次函数2(0)=>图象的作法和性质的过程，获得利用图象研究函数的经y ax a验，培养观察、思考、归纳的良好思维习惯．【情感态度】通过动手画图，同学之间交流讨论，达到对二次函数2(0)=>图象和性质的真正理y ax a解，从而产生对数学的兴趣，调动学生的积极性．【教学重点】1.会画2(0)=>的图象．y ax a2.理解，掌握图象的性质．【教学难点】二次函数图象及性质探究过程和方法的体会教学过程．教学过程一、情境导入，初步认识问题1请同学们回忆一下一次函数的图象、反比例函数的图象的特征是什么?二次函数的图象是什么形状呢?问题2如何用描点法画一个函数图象呢?【教学说明】①略；②列表、描点、连线．二、思考探究，获取新知探究1画二次函数2(0)=>的图象．y ax a【教学说明】①要求同学们动手，按“列表、描点、连线”的步骤画图y=x2的图象，同学们画好后相互交流、展示，表扬画得比较规范的同学．②从列表和描点中，体会图象关于y 轴对称的特征． ③强调画抛物线的三个误区．误区一：用直线连结，而非光滑的曲线连结，不符合函数的变化规律和发展趋势． 如图(1)就是y=x 2的图象的错误画法．误区二：并非对称点，存在漏点现象，导致抛物线变形． 图(2)就是漏掉点(0，0)的y=x 2的图象的错误画法．误区三：忽视自变量的取值范围，抛物线要求用平滑曲线连点的同时，还需要向两旁无限延伸，而并非到某些点停止．如图(3)，就是到点(-2，4)，(2，4)停住的y=x 2图象的错误画法． 探究2 2(0)y ax a =>图象的性质在同一坐标系中，画出y=x 2， 212y x =，y=2x 2的图象．【教学说明】要求同学们独立完成图象，教师帮助引导，强调画图时注意每一个函数图象的对称性．动脑筋观察上述图象的特征(共同点)，从而归纳二次函数2(0)y ax a =>的图象和性质．【教学说明】教师引导学生观察图象，从开口方向，对称轴，顶点，y 随x 的增大时的变化情况等几个方面让学生归纳，教师整理讲评、强调．2(0)y ax a =>图象的性质1.图象开口向上．2.对称轴是y 轴，顶点是坐标原点，函数有最低点．3.当x ＞0时，y 随x 的增大而增大，简称右升；当x ＜0时，y 随x 的增大而减小，简称左降．三、典例精析，掌握新知 例 已知函数24(2)k k y k x +-=+是关于x 的二次函数．(1)求k 的值．(2)k 为何值时，抛物线有最低点，最低点是什么？在此前提下，当x 在哪个范围内取值时，y 随x 的增大而增大？【分析】此题是考查二次函数y=ax 2的定义、图象与性质的，由二次函数定义列出关于k 的方程，进而求出k 的值，然后根据k+2＞0，求出k 的取值范围，最后由y 随x 的增大而增大，求出x 的取值范围．解：(1)由已知得22042k k k +≠⎧⎨+-=⎩，解得k=2或k=-3．所以当k=2或k=-3时，函数24(2)kk y k x +-=+是关于x 的二次函数．(2)若抛物线有最低点，则抛物线开口向上，所以k+2＞0．由（1）知k=2，最低点是（0，0)，当x≥0时，y 随x 的增大而增大． 四、运用新知，深化理解1.（广东广州中考）下列函数，当x ＞0时，y 值随x 值增大而减小的是（ ） A ．y=x 2B ．y=x-1C ．34y x =D ．1y x=2.已知点（-1，y 1)，(2，y 2)，(-3，y 3)都在函数y=x 2的图象上，则（ ） A ．y 1＜y 2＜y 3 B ．y 1＜y 3＜y 2 C ．y 3＜y 2＜y 1 D ．y 2＜y 1＜y 33.抛物线y=13x 2的开口向 ，顶点坐标为 ，对称轴为 ，当x=-2时，y= ；当y=3时，x= ，当x≤0时，y 随x 的增大而 ；当x ＞0时，y 随x 的增大而 ．4.如图，抛物线y=ax 2上的点B ，C 与x 轴上的点A （-5，0），D （3，0）构成平行四边形ABCD ，BC 与y 轴交于点E （0，6），求常数a 的值．【教学说明】学生自主完成，加深对新知识的理解和掌握，当学生疑惑时，教师及时指导．【答案】1．D 2．A 3．上，(0，0)，y 轴，43，±3，减小，增大 4．解：依题意得：BC=AD=8，BC∥x 轴，且抛物线y=ax 2上的点B ，C 关于y 轴对称，又∵BC 与y 轴交于点E （0，6），∴B 点为（-4，6），C 点为（4，6），将（4，6）代入y=ax 2得：a=38．五、师生互动，课堂小结1.师生共同回顾二次函数2(0)y ax a =>图象的画法及其性质．2.通过这节课的学习，你掌握了哪些新知识，还有哪些疑问?请与同伴交流． 课后作业教材练习第1、2题． 教学反思本节课是从学生画y=x 2的图象，从而掌握二次函数2(0)y ax a =>图象的画法，再由图象观察、探究二次函数2(0)y ax a =>的性质，培养学生动手、动脑、探究归纳问题的能力．第2课时 二次函数2(0)y ax a =<的图象与性质教学目标 【知识与技能】1.会用描点法画函数2(0)y ax a =<的图象，并根据图象认识、理解和掌握其性质．2.体会数形结合的转化，能用2(0)y ax a =<的图象与性质解决简单的实际问题． 【过程与方法】经历探索二次函数2(0)y ax a =<图象的作法和性质的过程，获得利用图象研究函数的经验，培养观察、思考、归纳的良好思维习惯． 【情感态度】通过动手画图，同学之间交流讨论，达到对二次函数y=ax 2(a≠0)图象和性质的真正理解，从而产生对数学的兴趣，调动学习的积极性． 【教学重点】①会画2(0)y ax a =<的图象；②理解、掌握图象的性质． 【教学难点】二次函数图象的性质及其探究过程和方法的体会． 教学过程一、情境导入，初步认识 1.在坐标系中画出y=12x 2的图象，结合y=12x 2的图象，谈谈二次函数y=ax 2(a ＞0)的图象具有哪些性质？2.你能画出y=12-x 2的图象吗？二、思考探究，获取新知探究1 画2(0)y ax a =<的图象请同学们在上述坐标系中用“列表、描点、连线”的方法画出y=12-x 2的图象．【教学说明】教师要求学生独立完成，强调画图过程中应注意的问题，同学们完成后相互交流，表扬图象画得“美观”的同学．问：从所画出的图象进行观察，y=12x 2与y=12-x 2有何关系？ 归纳：y=12x 2与y=12-x 2二者图象形状完全相同，只是开口方向不同，两图象关于y 轴对称．(教师引导学生从理论上进行证明这一结论)探究2 二次函数2(0)y ax a =<性质问：你能结合y=12-x 2的图象，归纳出2(0)y ax a =<图象的性质吗？【教学说明】教师提示应从开口方向，对称轴，顶点位置，y 随x 的增大时的变化情况几个方面归纳，教师整理，强调2(0)y ax a =<图象的性质．1.开口向下．2.对称轴是y 轴，顶点是坐标原点，函数有最高点．3.当x ＞0时，y 随x 的增大而减小，简称右降，当x ＜0时，y 随x 的增大而增大，简称左升．探究3 二次函数2(0)y ax a =≠的图象及性质 学生回答：【教学点评】一般地，抛物线y=ax 2的对称轴是 ，顶点是 ，当a ＞0时抛物线的开口向 ，顶点是抛物线的最 点，a 越大，抛物线开口越 ；当a ＜0时，抛物线的开口向 ，顶点是抛物线的最 点，a 越大，抛物线开口越 ，总之，|a|越大，抛物线开口越 ．答案：y 轴，（0，0），上，低，小，下，高，大，小 三、典例精析，掌握新知例 1 填空：①函数2(2)y x =-的图象是 ，顶点坐标是 ，对称轴是，开口方向是．②函数y=x2，y=12x2和y=22x-的图象如图所示，请指出三条抛物线的解析式．解：①抛物线，（0，0），y轴，向上；②根据抛物线y=ax2中，a的值的作用来判断，上面最外面的抛物线为y=12x2，中间为y=x2，在x轴下方的为y=22x-．【教学说明】解析式需化为一般式，再根据图象特征解答，避免发生错误．抛物线y=ax2中，当a＞0时，开口向上；当a＜0时，开口向下，|a|越大，开口越小．例2 已知抛物线y=ax2经过点（1，-1），求y=-4时x的值．【分析】把点(1，-1)的坐标代入y=ax2，求得a的值，得到二次函数的表达式，再把y=-4代入已求得的表达式中，即可求得x的值．解：∵点（1，-1）在抛物线y=ax2上，-1=a·12，∴a=-1，∴抛物线为y=-x2．当y=-4时，有-4=-x2，∴x=±2．【教学说明】在求y=ax2的解析式时，往往只须一个条件代入即可求出a值．四、运用新知，深化理解1.下列关于抛物线y=x2和y=-x2的说法，错误的是（）A．抛物线y=x2和y=-x2有共同的顶点和对称轴B．抛物线y=x2和y=-x2关于x轴对称C．抛物线y=x2和y=-x2的开口方向相反D．点（-2，4）在抛物线y=x2上，也在抛物线y=-x2上2.二次函数y=ax2与一次函数y=-ax(a≠0)在同一坐标系中的图象大致是（）3.二次函数226(1)mm y m x +-=-，当x ＜0时，y 随x 的增大而减小，则m= ．4.已知点A （-1，y 1)，B(1，y 2)，C(a ，y 3)都在函数y=x 2的图象上，且a ＞1，则y 1，y 2，y 3中最大的是 ．5.已知函数y=ax 2经过点(1，2)．①求a 的值；②当x ＜0时，y 的值随x 值的增大而变化的情况．【教学说明】学生自主完成，加深对新知识的理解和掌握，当学生疑惑时，教师及时指导．【答案】1．D 2．B 3．2 4．y 3 5．①a=2 ②当x ＜0时，y 随x 的增大而减小 五、师生互动，课堂小结这节课你学到了什么，还有哪些疑惑？在学生回答的基础上，教师点评： （1）2(0)y ax a =<图象的性质；（2）y=ax 2(a≠0)关系式的确定方法． 课后作业教材练习第1～2题． 教学反思本节课仍然是从学生画图象，结合上节课y=ax 2(a ＞0)的图象和性质，从而得出2(0)y ax a =<的图象和性质，进而得出y=ax 2（a≠0)的图象和性质，培养学生动手、动脑、合作探究的学习习惯．第3课时 二次函数2()y a x h =-的图象与性质教学目标 【知识与技能】1.能够画出2()y a x h =-的图象，并能够理解它与y=ax 2的图象的关系，理解a ，h 对二次函数图象的影响．2.能正确说出2()y a x h =-的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标． 【过程与方法】经历探索二次函数2()y a x h =-的图象的作法和性质的过程，进一步领会数形结合的思想． 【情感态度】1.在小组活动中体会合作与交流的重要性．2.进一步丰富数学学习的成功体验，认识到数学是解决实际问题的重要工具，初步形成积极参与数学活动的意识． 【教学重点】掌握2()y a x h =-的图象及性质． 【教学难点】理解2()y a x h =-与y=ax 2图象之间的位置关系，理解a ，h 对二次函数图象的影响． 教学过程一、情境导入，初步认识 1.在同一坐标系中画出y=12x 2与y=12(x-1)2的图象，完成下表．2.二次函数y=12(x-1)2的图象与y=12x 2的图象有什么关系？ 3.对于二次函数12(x-1)2，当x 取何值时，y 的值随x 值的增大而增大？当x 取何值时，y 的值随x 值的增大而减小?二、思考探究，获取新知归纳二次函数2()y a x h =-的图象与性质并完成下表．三、典例精析，掌握新知例1 教材例3．【教学说明】二次函数y=ax2与y=a(x-h)2是有关系的，即左、右平移时“左加右减”．例如y=ax2向左平移1个单位得到y=a(x+1)2，y=ax2向右平移2个单位得到y=a(x-2)2的图象．例2 已知直线y=x+1与x轴交于点A，抛物线y=-2x2平移后的顶点与点A重合．①水平移后的抛物线l的解析式；②若点B（x1，y1)，C(x2，y2)在抛物线l上，且12-＜x1＜x2，试比较y1，y2的大小．解：①∵y=x+1，∴令y=0，则x=-1，∴A（-1，0)，即抛物线l的顶点坐标为（-1，0），又∵抛物线l是由抛物线y=-2x2平移得到的，∴抛物线l的解析式为y=-2(x+1)2．②由①可知，抛物线l的对称轴为x=-1，∵a=-2＜0，∴当x＞-1时，y随x的增大而减小，又12-＜x1＜x2，∴y1＞y2．【教学说明】二次函数的增减性以对称轴为分界，画图象取点时以顶点为分界对称取点．四、运用新知，深化理解1.二次函数y=15(x-1)2的最小值是（）A．-1 B．1 C．0 D．没有最小值2.抛物线y=-3(x+1)2不经过的象限是（）A．第一、二象限 B．第二、四象限 C．第三、四象限 D．第二、三象限3.在反比例函数y=kx中，当x＞0时，y随x的增大而增大，则二次函数y=k(x-1)2的图象大致是（）4.（1）抛物线y=13x2向平移个单位得抛物线y=13(x+1)2；(2)抛物线向右平移2个单位得抛物线y=-2(x-2)2．5.已知抛物线y=a(x-h)2的对称轴为x=-2，且过点（1，-3）．(1)求抛物线的解析式；(2)画出函数的大致图象；(3)从图象上观察，当x取何值时，y随x的增大而增大？当x取何值时，函数有最大值（或最小值）？【教学说明】学生自主完成，教师巡视解疑．【答案】1．C 2．A 3．B 4．(1)左，1 (2)y=-2x25．解：(1)y=13(x+2)2 (2)略（3）当x＜-2时，y随x增大而增大；当x=-2时，y有最大值0．五、师生互动，课堂小结1.这节课你学到了什么?还有哪些疑惑?2.在学生回答的基础上，教师点评：(1)y=a(x-h)2的图象与性质；（2）y=a(x-h)2与y=ax2的图象的关系．课后作业教材练习第1、2题．教学反思通过本节学习使学生认识到y=a(x-h)2的图象是由y=ax 2的图象左右平移得到的，初步认识到a ，h 对y=a(x-h)2位置的影响，a 的符号决定抛物线方向，|a|决定抛物线开口的大小，h 决定向左右平移；从中领会数形结合的数学思想．第4课时 二次函数2()y a x h k =-+的图象与性质教学目标 【知识与技能】1.会用描点法画二次函数2()y a x h k =-+的图象．掌握2()y a x h k =-+的图象和性质．2.掌握2()y a x h k =-+与y=ax 2的图象的位置关系．3.理解2()y a x h k =-+，2()y a x h =-，2y ax k =+及2y ax =的图象之间的平移转化． 【过程与方法】经历探索二次函数2()y a x h k =-+的图象的作法和性质的过程，进一步领会数形结合的思想，培养观察、分析、总结的能力． 【情感态度】1.在小组活动中进一步体会合作与交流的重要性．2.体验数学活动中充满着探索性，感受通过认识观察，归纳，类比可以获得数学猜想的乐趣． 【教学重点】二次函数2()y a x h k =-+的图象与性质． 【教学难点】由二次函数2()y a x h k =-+的图象的轴对称性列表、描点、连线． 教学过程一、情境导入，初步认识 复习回顾：同学们回顾一下：① 2y ax =，2()y a x h =-，（a ≠0)的图象的开口方向、对称轴、顶点坐标，y 随x 的增减性分别是什么？② 如何由2y ax = (a ≠0)的图象平移得到2()y a x h =-的图象？③猜想二次函数2()y a x h k =-+的图象开口方向、对称轴、顶点坐标及y 随x 的增减性如何？二、思考探究，获取新知探究1 2()y a x h k =-+的图象和性质1.由老师提示列表，根据抛物线的轴对称性观察图象回答下列问题：①y=12-(x+1)2-1图象的开口方向、对称轴、顶点坐标及y 随x 的增减性如何？③ 将抛物线y=12-x 2向左平移1个单位，再向下平移1个单位得抛物线y=12-(x+1)2-1．2.同学们讨论回答：①一般地，当h ＞0，k ＞0时，把抛物线2y ax =向右平移h 个单位，再向上平移k 个单位得抛物线2()y a x h k =-+；平移的方向和距离由h ，k 的值来决定．②抛物线2()y a x h k =-+的开口方向、对称轴、顶点坐标及y 随x 的增减性如何？ 探究2 二次函数2()y a x h k =-+的应用【教学说明】二次函数2()y a x h k =-+的图象是 ，对称轴是 ，顶点坐标是 ，当a ＞0时，开口向 ，当a ＜0时，开口向 ．答案：抛物线，直线x=h ，(h ，k)，上，下 三、典例精析，掌握新知例1 已知抛物线2()y a x h k =-+，将它沿x 轴向右平移3个单位后，又沿y 轴向下平移2个单位，得到抛物线的解析式为y=3-(x+1)2-4，求原抛物线的解析式．【分析】平移过程中，前后抛物线的形状，大小不变，所以a=3-，平移时应抓住顶点的变化，根据平移规律可求出原抛物线顶点，从而得到原抛物线的解析式．解：抛物线y=3-(x+1)2-4的顶点坐标为（-1，-4)，它是由原抛物线向右平移3个单位，向下平移2个单位而得到的，所以把现在的顶点向相反方向移动就得到原抛物线顶点坐标为（-4，-2)．故原抛物线的解析式为y=3-(x+4)2-2．【教学说明】抛物线平移不改变形状及大小，所以a 值不变，平移时抓住关键点：顶点(2=x-1 0 1 2 3 …21(1)32y x =+--3 -2.5 -1 1.5 5…描点和连线：画出图像在对称轴右边的部分，利用对称性，画出图像在对称轴左边的部分，这样就得到了21(1)32y x =+-的图像，如上图。
最新湘教版数学九年级下册1.2 第4课时 二次函数y=a(x-h)2+k的图象与性质课件
当堂练习
1.将抛物线y＝ 1 x2向右平移2个单位，再向下平移1 3
个单位，所得的抛物线是( A ) 1
A．y＝ 3 (x－2)2－1 B．y＝ 1 (x－2)2＋1 C．y＝ 13 (x＋2)2＋1
3 D．y＝ 1 (x＋2)2－1
3
2.抛物线y=2x2不动，把x轴、y轴分别向上、向左平移
3个单位，则在新坐标系下，此抛物线的解析式为 ___y_=__2_（__x_-3_）__2_-_3___．
解：(1)∵将抛物线y＝x2向左平移1个单位，再向下平 移4个单位，得到抛物线y＝(x＋1)2－4， ∴h＝－1，k＝－4；
(2)判断△ACD的形状，并说明理由．
(2)△ACD为直角三角形． 理由如下：由(1)得y＝(x＋1)2－4. 当y＝0时，(x＋1)2－4＝0，x＝－3或x＝1， ∴A(－3，0)，B(1，0)． 当x＝0时，y＝(x＋1)2－4＝(0＋1)2－4＝－3， ∴C点坐标为(0，－3)． 顶点坐标为D(－1，－4)．
当a>0,开口向上； 当a<0,开口向下. 对称轴是x=h, 顶点坐标是(h,k).
h)2+k的图象和性质 平移规律
左右平移：括号 内左加右减；
上下平移：括号 外上加下减.
一般地，抛物线 y = a(x-h)2+k与y = ax2形状相同，位
置不同.
3.已知y＝ 1 (x－3)2－2的部分图象如图所示，抛物线
2
与x轴交点的一个坐标是(1，0)，则另一个交点的坐标 是___(_5_，__0_) ．
解析：由抛物线的对称性知，对称轴为x＝3，一个交 点坐标是(1，0)， 则另一个交点坐标是(5，0)．
4.对于抛物线y=-
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第4课时 二次函数y ＝a (x －h )2＋k 的图象与性质
1．会用描点法画出y ＝a (x －h )2＋k 的图象；
2．掌握形如y ＝a (x －h )2＋k 的二次函数的图象与性质，并会应用；(重点)
3．理解二次函数y ＝a (x －h )2＋k 与y ＝ax 2之间的联系．(难点)
一、情境导入
前面我们是如何研究二次函数y ＝ax 2、y ＝a (x －h )2的图象与性质的？如何画出y ＝1
2
(x －2)2＋1的图象？ 二、合作探究
探究点一：二次函数y ＝a (x －h )2＋k 的图象与性质
【类型一】 二次函数y ＝a (
x －h )2＋k 的图象
已知y ＝1
2
(x －3)2
－2的部分图象
如图所示，抛物线与x 轴交点的一个坐标是(1，0)，则另一个交点的坐标是________．
解析：由抛物线的对称性知，对称轴为x ＝3，一个交点坐标是(1，0)，则另一个交点坐标是(5，0)．
解：(5，0) 变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第1题
【类型二】 二次函数y ＝a
(x －h )2＋k 的性质
试说明抛物线y ＝2(x －1)2与y ＝
2(x －1)2＋5的关系．
解析：对抛物线的分析应从开口方向，
顶点坐标，对称轴，增减性，及最大(小)值几个方面分析．
解：相同点：(1)它们的形状相同，开口方向相同；(2)它们的对称轴相同，都是x ＝1.当x <1时都是左降，当x >1时都是右升；(3)它们都有最小值．
不同点：(1)顶点坐标不同．y ＝2(x －1)2
的顶点坐标是(1，0)，y ＝2(x －1)2＋5的顶点坐标是(1，5)；(2)y ＝2(x －1)2的最小值是0，y ＝2(x －1)2＋5的最小值是5.
方法总结：对于y ＝a (x －h )2＋k 类抛物线，a 决定开口方向；|a |决定开口大小；h 决定对称轴；k 决定最大(小)值的数值．
变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第5题
探究点二：二次函数
y ＝a (x －h )2＋k 的图象的平移
将抛物线y ＝1
3
x 2向右平移2个单
位，再向下平移1个单位，所得的抛物线是( )
A ．y ＝1
3(x －2)2－1
B ．y ＝1
3(x －2)2＋1
C ．y ＝1
3(x ＋2)2＋1
D ．y ＝1
3
(x ＋2)2－1
解析：由“上加下减”的平移规律可知，将抛物线y ＝1
3x 2向下平移1个单位所得
抛物线的解析式为y ＝1
3x 2－1；由“左加右
减”的平移规律可知，将抛物线y ＝1
3x 2－1
向右平移2个单位所得抛物线的解析式为y ＝1
3
(x －2)2－1.故选A. 变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第6题
探究点三：二次函数y＝a(x－h)2＋k的图象与几何图形的综合
如图所示，在平面直角坐标系xOy
中，抛物线y＝x2向左平移1个单位，再向
下平移4个单位，得到抛物线y＝(x－h)2＋
k.所得抛物线与x轴交于A，B两点(点A在
点B的左边)，与y轴交于点C，顶点为D.
(1)求h，k的值；
(2)判断△ACD的形状，并说明理由．
解析：(1)按照图象平移规律“左加右
减，上加下减”可得到平移后的二次函数的
解析式；
(2)分别过点D作x轴和y轴的垂线段
DE，DF，再利用勾股定理，可说明△ACD
是直角三角形．
解：(1)∵将抛物线y＝x2向左平移1个
单位，再向下平移4个单位，得到抛物线y
＝(x＋1)2－4，∴h＝－1，k＝－4；
(2)△ACD为直角三角形．理由如下：
由(1)得y＝(x＋1)2－4.当y＝0时，(x＋1)2－
4＝0，x＝－3或x＝1，∴A(－3，0)，B(1，
0)．当x＝0时，y＝(x＋1)2－4＝(0＋1)2－4
＝－3，∴C点坐标为(0，－3)．顶点坐标为
D(－1，－4)．作出抛物线的对称轴x＝－1
交x轴于点E，过D作DF⊥y轴于点F，如
图所示．在Rt△AED中，AD2＝22＋42＝20；
在Rt△AOC中，AC2＝32＋32＝18；在Rt
△CFD中，CD2＝12＋12＝2.∵AC2＋CD2＝
AD2，∴△ACD是直角三角形．
变式训练：见《学练优》本课时练习“课
后巩固提升”第9题
三、板书设计
通过本节学习使学生掌握二次函数y＝ax2，
y＝a(x－h)2，y＝a(x－h)2＋k图象的变化关
系，从而体会由简单到复杂的认识规律.。