上海市交通大学附属中学2018届高三上学期开学摸底考试数学试题Word版含答案
2018年上海市交大附中高考数学模拟试卷含参考答案
2018年上海市交大附中高考数学模拟试卷一、填空题（本大题共12小题, 1-6题每题4分, 7～12题每题5分, 满分54分）1．（4分）函数f（x）＝的定义域为．2．（4分）双曲线3x2﹣y2＝12的两渐近线的夹角大小为．3．（4分）用行列式解线性方程组, 则D y的值为．4．（4分）湖面上浮着一个球, 湖水结冰后将球取出, 冰上留下一个直径为24厘米, 深为8厘米的空穴, 则这个球的半径为厘米．5．（4分）直线2x+y﹣4＝0经过抛物线y2＝2px的焦点, 则抛物线的准线方程是．6．（4分）已知函数y＝sin（ωx+φ）（ω＞0, 0＜φ≤）的部分图象如图所示, 则点P （ω, φ）的坐标为．7．（5分）设函数f（x）＝的反函数为f﹣1（x）, 若, 则f（a+4）＝．8．（5分）二项展开式（2x+3）7中, 在所有的项的系数、所有的二项式系数中随机选取一个, 恰好为奇数的概率为．9．（5分）在平面直角坐标系xOy内, 曲线|x+1|+|x﹣3|+|y|＝7所围成的区域的面积为．10．（5分）已知梯形ABCD中, AD＝DC＝CB＝AB, P是BC边上一点, 且＝x+y, 当P在BC边上运动时, x+y的最大值是．11．（5分）求方程2sin x﹣sec x+tan x﹣1＝0在x∈[0, 2π]的解集．12．（5分）已知底面为正方形且各侧棱长均相等的四棱锥V﹣ABCD可绕着AB任意旋转, AB⊂平面α, M是CD的中点, AB＝2, VA＝, 点V在平面α上的射影点为O, 则|OM|的最大值为．二、选择题（本大题共4道小题, 每小题只有一个正确选项, 答对得5分, 满分20分）13．（5分）下列以t为参数的方程所表示的曲线中, 与曲线xy＝1完全一致的是（）A．B．C．D．14．（5分）已知无穷数列{a n}是公比为q的等比数列, S n为其前n项和, 则“0＜|q|＜1”是“存在M＞0, 使得|S n|＜M对一切n∈N*恒成立”的（）条件A．充分不必要B．必要不充分C．充要D．既不充分也不必要15．（5分）已知z均为复数, 则下列命题不正确的是（）A．若z＝, 则z为实数B．若z2＜0, 则z为纯虚数C．若|z+1|＝|z﹣1|, 则z为纯虚数D．若z3＝1, 则＝z216．（5分）直线l在平面α内, 直线m平行于平面α, 且与直线l异面, 动点P在平面α上, 且到直线l、m距离相等, 则点P的轨迹为（）A．直线B．椭圆C．抛物线D．双曲线三、解答题（本大题共5道小题, 每一问均需写出必要步骤, 满分共76分）17．（12分）如图, 在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中, AA1＝A1B1＝4, D、E分别为AA1与A1B1的中点．（1）求异面直线C1D与BE所成角的大小；（2）求四面体BDEC1的体积．18．（14分）某工厂在制造产品时需要用到长度为698m的A型和长度为518m的B型两种钢管．工厂利用长度为4000m的钢管原材料, 裁剪成若干A型和B型钢管．假设裁剪时损耗忽略不计, 裁剪后所剩废料与原材料的百分比称为废料率．（1）有两种裁剪方案的废料率小于4.5%, 请说明这两种方案并计算它们的废料率；（2）工厂现有100根原材料钢管, 一根A型和一根B型钢管为一套毛胚, 按（1）中的方案裁剪, 最多可裁剪多少套毛胚？最终的废料率为多少？19．（16分）设函数f（x）＝x2+|x﹣a|（x∈R, a∈R）．（1）讨论f（x）的奇偶性；（2）当a＝1时, 求f（x）的单调区间；（3）若f（x）＜10对x∈（﹣1, 3）恒成立, 求实数a的取值范围．20．（16分）已知椭圆+y2＝1, A是它的上顶点, 点P n, Q n（n∈N*）各不相同且均在椭圆上（1）若P1, Q1恰为椭圆长轴的两个端点, 求△AP1Q1的面积；（2）若•＝0, 求证：直线P n Q n过一定点；（3）若＝＝1﹣, △AP n Q n的外接圆半径为R n, 求R n的值21．（18分）对任意正整数m, 若存在数列a1, a2, ……, a k, 满足m＝a1•1！+a2•2！+a3•3！+L+a k•k！, 其中a1∈N, a1≤i, a k＞0, i＝1, 2, ……, k, 则称数列a1, a2, ……, a k为正整数m的生成数列, 记为A[m]．（1）写出2018的生成数列A[2018]；（2）求证：对任意正整数m, 存在唯一的生成数列A[m]；（3）求生成数列A[2025！﹣1949！]的所有项的和．2018年上海市交大附中高考数学模拟试卷参考答案与试题解析一、填空题（本大题共12小题, 1-6题每题4分, 7～12题每题5分, 满分54分）1．（4分）函数f（x）＝的定义域为（﹣1, 0）∪（0, 1]．【解答】解：∵∴∴﹣1＜x≤1且x≠0,∴f（x）的定义域为（﹣1, 0）∪（0, 1]．故答案为：（﹣1, 0）∪（0, 1]．2．（4分）双曲线3x2﹣y2＝12的两渐近线的夹角大小为60°．【解答】解：由双曲线3x2﹣y2＝12, 可知双曲线的两条渐近线方程为y＝±x, ∴两条渐近线的倾斜角分别为60°, 120°,∴双曲线3x2﹣y2＝12的两条渐近线的夹角是60°,故答案为：60°．3．（4分）用行列式解线性方程组, 则D y的值为﹣9．【解答】解：行列式解线性方程组, 则D y＝＝2×（﹣1）﹣7×1＝﹣9,故答案为：﹣94．（4分）湖面上浮着一个球, 湖水结冰后将球取出, 冰上留下一个直径为24厘米, 深为8厘米的空穴, 则这个球的半径为13厘米．【解答】解：设球的半径为Rcm,由将球取出, 扭留下空穴的直径为24cm, 深8cm则截面圆的半径r＝12cm, 球心距d＝（R﹣8）cm,由R2＝r2+d2得：R2＝144+（R﹣8）2,即208﹣16R＝0解得R＝13故答案为：13cm5．（4分）直线2x+y﹣4＝0经过抛物线y2＝2px的焦点, 则抛物线的准线方程是x＝﹣2．【解答】解：抛物线y2＝2px的焦点坐标为（, 0）,又焦点在直线2x+y﹣4＝0上,∴p﹣4＝0,解得p＝4,则抛物线的准线方程是：x＝﹣2．故答案为：x＝﹣2．6．（4分）已知函数y＝sin（ωx+φ）（ω＞0, 0＜φ≤）的部分图象如图所示, 则点P （ω, φ）的坐标为（2, ）．【解答】解：∵T═﹣＝, ω＞0,∴T＝＝π,∴ω＝2；又曲线过（, 0）且为单调递减区间上的零点,∴ω+φ＝π+2kπ（k∈Z）,∴φ＝+2kπ（k∈Z）, 而0＜φ≤,∴φ＝,∴点P（ω, φ）的坐标为（2, ）．故答案为：（2, ）．7．（5分）设函数f（x）＝的反函数为f﹣1（x）, 若,则f（a+4）＝﹣2．【解答】解：∵,∴f（a）＝．当x≥6时, f（x）＝﹣log3（x+1）≤﹣log37＜0, 不符合条件, 舍去；当x＜6时, f（x）＝3x﹣6, 令＝3﹣2, ∴a﹣6＝﹣2, 解得a＝4, 满足条件．∴f（8）＝﹣log39＝﹣2．故答案为：﹣2．8．（5分）二项展开式（2x+3）7中, 在所有的项的系数、所有的二项式系数中随机选取一个, 恰好为奇数的概率为．【解答】解：二项展开式（2x+3）7中, 所有的项的系数为•3r•27﹣r, 其中, r＝0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7,即所有的项的系数共有8个, 其中, r＝7时为奇数, 其余都为偶数．有的二项式系数为, 其中, r＝0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 共有8个, 都是奇数．在所有的项的系数、所有的二项式系数中, 共有9个奇数, 7个偶数, 从中随机选取一个, 恰好为奇数的概率为＝,故答案为：．9．（5分）在平面直角坐标系xOy内, 曲线|x+1|+|x﹣3|+|y|＝7所围成的区域的面积为33．【解答】解：在平面直角坐标系xOy内, 曲线|x+1|+|x﹣3|+|y|＝7所围成的区域如下图所示：其面积为：2××6×+4×6＝33,故答案为：3310．（5分）已知梯形ABCD中, AD＝DC＝CB＝AB, P是BC边上一点, 且＝x+y, 当P在BC边上运动时, x+y的最大值是．【解答】解：设AB的中点为E, 则由题意可得△BCE为等边三角形, 且＝﹣＝﹣,再根据、共线, 可得＝λ＝λ（﹣）, λ∈[0, 1],∴＝+＝（1﹣）+λ．又＝x+y, ∴, ∴x+y＝1﹣+λ＝1+≤1+＝,故x+y的最大值是,故答案为：．11．（5分）求方程2sin x﹣sec x+tan x﹣1＝0在x∈[0, 2π]的解集{, , π}．【解答】解：方程2sin x﹣sec x+tan x﹣1＝0⇒．⇒2sin x cos x﹣1+sin x﹣cos x＝0．（cos x≠0）⇒sin x﹣cos x＝（sin x﹣cos x）2, （cos x≠0）．⇒sin x﹣cos x＝0或sin x﹣cos x＝1⇒tan x＝1⇒或cos x＝﹣1．x∈[0, 2π]∴x＝, , π．故答案为：{, , π}．12．（5分）已知底面为正方形且各侧棱长均相等的四棱锥V﹣ABCD可绕着AB任意旋转, AB⊂平面α, M是CD的中点, AB＝2, VA＝, 点V在平面α上的射影点为O, 则|OM|的最大值为1+．【解答】解：设∠VNO＝θ,则∵N、M分别是AB、CD的中点, AB＝2, VA＝,∴AN＝1, VN＝2,MN＝BC＝AB＝2, VN＝VM＝2,则三角形VNM为正三角形, 则∠MNV＝60°,则ON＝2cosθ,在三角形OMN中,OM2＝MN2+ON2﹣2MN•ON cos（60°+θ）＝4+4cos2θ﹣2×2×2cosθcos（60°+θ）＝4+4cos2θ﹣8cosθ（cosθ﹣sinθ）＝4+4cos2θ﹣4cos2θ+4sinθcosθ＝4+2sin2θ＝（2,∴要使OM最大, 则只需要sin2θ＝1, 即2θ＝90°即可, 则θ＝45°,此时OM＝+1．故答案为：1+．二、选择题（本大题共4道小题, 每小题只有一个正确选项, 答对得5分, 满分20分）13．（5分）下列以t为参数的方程所表示的曲线中, 与曲线xy＝1完全一致的是（）A．B．C．D．【解答】解：在A中, t＞0, 在xy＝1时, x, y∈（﹣∞, 0）∪（0, +∞）, 故A 错误；在B中, t≠0, 在xy＝1时, x, y∈（﹣∞, 0）∪（0, +∞）, 故B正确；在C中, t的终边不能在y轴上, 在xy＝1时, x, y∈（﹣∞, 0）∪（0, +∞）, 故C错误；在D中, t的终边不能在y轴上, x, y∈（﹣∞, 0）∪（0, +∞）, 故D错误．故选：B．14．（5分）已知无穷数列{a n}是公比为q的等比数列, S n为其前n项和, 则“0＜|q|＜1”是“存在M＞0, 使得|S n|＜M对一切n∈N*恒成立”的（）条件A．充分不必要B．必要不充分C．充要D．既不充分也不必要【解答】解：∵{a n}是公比为q的等比数列, 当0＜|q|＜1时, S n＝,|S n|＝||,即“存在M＞||, 使得|S n|＜M对一切n∈N*恒成立”,即“0＜|q|＜1”是“存在M＞0, 使得|S n|＜M对一切n∈N*恒成立”的充分条件,当q＝﹣1时, |S n|＝即取M＝2|a1|即可,即“0＜|q|＜1”是“存在M＞0, 使得|S n|＜M对一切n∈N*恒成立”的不必要条件, 综上可知：即“0＜|q|＜1”是“存在M＞0, 使得|S n|＜M对一切n∈N*恒成立”的充分不必要条件．故选：A．15．（5分）已知z均为复数, 则下列命题不正确的是（）A．若z＝, 则z为实数B．若z2＜0, 则z为纯虚数C．若|z+1|＝|z﹣1|, 则z为纯虚数D．若z3＝1, 则＝z2【解答】解：对于A, 设z＝a+bi（a, b∈R）, 由, 可得a+bi＝a﹣bi, 则2bi＝0, b＝0, ∴z为实数, 故A正确；对于B, 设z＝a+bi（a, b∈R）, 则z2＝a2+b2+2abi＜0, ∵z2＜0, ∴a＝0, 则z纯虚数, 故B正确；对于C, 当z＝0时, 有|z+1|＝|z﹣1|, 故C错误；对于D, 由z3＝1, 得z3﹣1＝0, 即（z﹣1）（z2+z+1）＝0, 可得z＝1或z＝, ∴, 故D正确．∴错误的是C．故选：C．16．（5分）直线l在平面α内, 直线m平行于平面α, 且与直线l异面, 动点P在平面α上, 且到直线l、m距离相等, 则点P的轨迹为（）A．直线B．椭圆C．抛物线D．双曲线【解答】解：设直线m在平面α的射影为直线n, 则l与n相交,不妨设l与n垂直, 设直线m与平面α的距离为d,在平面α内, 以l, n为x轴, y轴建立平面坐标系,则P到直线l的距离为|y|, P到直线n的距离为|x|,∴P到直线m的距离为,∴|y|＝, 即y2﹣x2＝d2,∴P点轨迹为双曲线．故选：D．三、解答题（本大题共5道小题, 每一问均需写出必要步骤, 满分共76分）17．（12分）如图, 在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中, AA1＝A1B1＝4, D、E分别为AA1与A1B1的中点．（1）求异面直线C1D与BE所成角的大小；（2）求四面体BDEC1的体积．【解答】解：（1）以C为原点, 在平面ABC中过C作BC的垂线为x轴,以CB为y轴, CC1为z轴, 建立空间直角坐标系,则C1（0, 0, 4）, D（2, 2, 2）, B（0, 4, 0）,A1（2, 2, 4）, B1（0, 4, 4）, E（）,＝（2, 2, ﹣2）, ＝（）,设异面直线C1D与BE所成角的大小为θ,则cosθ＝＝＝,∴θ＝arccos．∴异面直线C1D与BE所成角的大小为arccos．（2）点C1到平面BDE的距离d＝＝2,S△BDE＝﹣﹣﹣S△ADB＝＝6,∴四面体BDEC1的体积：V＝＝＝4．18．（14分）某工厂在制造产品时需要用到长度为698m的A型和长度为518m的B型两种钢管．工厂利用长度为4000m的钢管原材料, 裁剪成若干A型和B型钢管．假设裁剪时损耗忽略不计, 裁剪后所剩废料与原材料的百分比称为废料率．（1）有两种裁剪方案的废料率小于4.5%, 请说明这两种方案并计算它们的废料率；（2）工厂现有100根原材料钢管, 一根A型和一根B型钢管为一套毛胚, 按（1）中的方案裁剪, 最多可裁剪多少套毛胚？最终的废料率为多少？（1）设每根原材料可裁剪a根A型和b根B型钢管, 则, 【解答】解：方案一：, 废料率最小为（1﹣）×100%＝0.35%,方案二：, 废料率最小为（1﹣）×100%＝4.3%,（2）设用方案一裁剪x根原材料, 用方案二裁剪y根原材料, 共裁剪得z套毛胚, 则, z＝2x+4y,得, z max＝320套,废料率为＝2.72%,答：最多可裁剪320套毛胚, 最终的废料率为2.72%19．（16分）设函数f（x）＝x2+|x﹣a|（x∈R, a∈R）．（1）讨论f（x）的奇偶性；（2）当a＝1时, 求f（x）的单调区间；（3）若f（x）＜10对x∈（﹣1, 3）恒成立, 求实数a的取值范围．【解答】解：（1）当a＝0时, f（x）为偶函数；当a≠0时, f（x）为非奇非偶函数（2）a＝1时, f（x）＝x2+|x﹣1|＝＝∴函数的单调减区间为（﹣∞, ）, 函数的单调增区间为（, +∞）（3）f（x）＝x2+|x﹣a|＜10对x∈（﹣1, 3）恒成立, 等价于x2﹣10＜x﹣a＜10﹣x2, 等价于对x∈（﹣1, 3）恒成立∴2≤a≤420．（16分）已知椭圆+y2＝1, A是它的上顶点, 点P n, Q n（n∈N*）各不相同且均在椭圆上（1）若P1, Q1恰为椭圆长轴的两个端点, 求△AP1Q1的面积；（2）若•＝0, 求证：直线P n Q n过一定点；（3）若＝＝1﹣, △AP n Q n的外接圆半径为R n, 求R n的值【解答】解：（1）椭圆+y2＝1, A（0, 1）, P1（﹣2, 0）, Q1（2, 0）,△AP1Q1的面积为×1×4＝2；（2）证明：设直线AP n的方程为y＝kx+1,由•＝0, 即⊥,可得直线AQ n的方程为y＝﹣x+1,由y＝kx+1和x2+4y2＝4联立, 可得（1+4k2）x2+8kx＝0,解得x1＝﹣, x2＝0,可得P n（﹣, ）,将k换为﹣可得Q n（, ）,直线P n Q n的斜率为＝,直线P n Q n的方程为y﹣＝（x+）,化简可得y＝x﹣,则直线P n Q n过一定点（0, ﹣）；（3）＝＝1﹣, △AP n Q n的外接圆半径为R n,由椭圆方程可得＝﹣, ＝,△AP n Q n为等腰三角形, △AP n Q n的外接圆圆心在y轴上,设为（0, t）, （0＜t＜1）,由圆的定义可得1﹣t＝,化为1﹣t＝4﹣,可得R n＝4﹣,可得R n＝（4﹣）＝4﹣0＝4．21．（18分）对任意正整数m, 若存在数列a1, a2, ……, a k, 满足m＝a1•1！+a2•2！+a3•3！+L+a k•k！, 其中a1∈N, a1≤i, a k＞0, i＝1, 2, ……, k, 则称数列a1,a2, ……, a k为正整数m的生成数列, 记为A[m]．（1）写出2018的生成数列A[2018]；（2）求证：对任意正整数m, 存在唯一的生成数列A[m]；（3）求生成数列A[2025！﹣1949！]的所有项的和．【解答】（1）解：2018＝1×2!+4×4!+4×5!+2×6!,故数列A[2018]为a1＝0, a2＝1, a3＝0, a4＝4, a5＝4, a6＝2；（2）证明：对于恰有k项生成数列, 其表示的正整数最小值为k!,表示的正整数最大值为1•1!+2•2!+3•3!+…+k•k!＝（k+1）!﹣1,即k项的不同生成数列共有2•3•4…k•k＝k•k!＝（k+1）!﹣k!,而满足k!≤n≤（k+1）!﹣1的正整数n恰好有（k+1）!﹣k!个．下面只需证明两个不同的k项生成数列表示的正整数不同．设生成数列a1, a2, a3, …, a k和b1, b2, b3, …, b k表示的数为A和B, 若a k＜b k,则a1•1!+a2•2!+…+a k•k!≤1•1!+2•2!+…+（k﹣1）•（k﹣1）!+a k•k!＝（a k+1）•k!﹣1＜b k•k!．即A＜B；同理若有a k＝b k, a k﹣1＜b k﹣1, 也可到A＜B；依此类推可得A＝B的充要条件是生成数列a1, a2, a3, …, a k和b1, b2, b3, …, b k相同．综上可得, 对任意正整数m, 存在唯一的生成数列A[m]；（3）解：∵（k+1）!﹣k!＝k•k!,∴2025！﹣1949！＝1949•1949!+1950•1950!+…+2024•2024!,即数列A[2025！﹣1949！]的通项为：．故所有项的和为：＝150974．。
上海市交通大学附属中学2018届高三上学期开学摸底考试数学试题+Word版含解析
上海市交通大学附属中学2018届高三上学期开学摸底考试数学试题一、填空题1. 若集合，集合，则 __________．【答案】【解析】由题意得，或，所以.2. —个几何体的主视图、左视图、俯视图都是以为半径的圆，则该几何体的体积是__________．【答案】【解析】根据几何体的三视图的规则可知，该几何体表示半径为的球，所以该几何体的体积为.3. 已知是虚数单位，则的平方根是__________．【答案】【解析】设复数，则，即，解得，所以.4. 函数的反函数是__________．【答案】【解析】由，则，因为，则，所以函数的反函数.5. 设满足约束条件，则的最小值是__________．【答案】【解析】画出约束条件所表示的平面区域，如图所示，当经过可行域的点时，目标函数取得最小值，由，解得，则的最小值是.6. 如图，四个棱长为1的正方体排成一个正四棱柱，是一条侧棱，是上、下底面上其余十六个点，则的不同值的个数为__________．【答案】2【解析】由题意得，,则,因为，所以，所以的不同的值的个数为.7. 数列满足，其前项和记为，若，那么__________．【答案】3【解析】因为，所以，即，所以，即，即数列是周期为6的周期数列，因为，所以，所以，所以，又因为，解得，，且所以8. 若是展开式中项的系数，则__________．【答案】8【解析】试题分析：由题意，，∴.....................考点：二项展开式的通项与裂项相消法求和，极限．9. 设函数，其中，若，且的最小正周期大于，则__________．【答案】【解析】由的最小正周期大于，得，又，得，所以，则，所以，由，所以，取，得，所以.10. 已知函数，设，若关于的不等式在上恒成立，则的取值范围是__________．【答案】【解析】根据题意，函数的图象如图，令，其图象与x轴相交于点，在区间上我减函数，在上为增函数，若不等式在上恒成立，则函数的图象在上的上方或相交，则必有，即，可得.。
高三数学-【数学】上海交大附中2018届高三上学期期中考试19精品
2 sin( x 2
) ，若对任意 5
x
R ，都有 f (x1)
f ( x)
f ( x2 ) 成立，则 x1 x2
的最小值为
；2
8．将函数 y tan( 3x) 的图像上的各点经过怎样的平移 _________________ ，可以得到函 4
数 y tan3 x 的图像？ 向左平移 个单位 12
1 9．已知函数 y sin( x ) ( 0) 与直线 y 的交点中，距离最近的两点间距离为
1 23 1 32
和都是 12，所以， b1+b2+…＋b6=- 12+2 12- 3 12=-24 ．那么，在用 1，2，3，4， 2 1 3
5 形成的数阵中， b1+b2+…＋b120=
．
2 31 3 12
321
二．选择题（本大题满分 16 分）本大题共有 4 题，每题有且只有一个正确答案，考生应在
A．－ 2 － 10； B．－ － 5； C． 2kπ－ 2 － 10（ k Z）； D． kπ－ － 5（ k Z）
3
3
3
3
17．若函数 y
2x 2x
1 的值域为 M ，则只能以 M 或 M 的子集为定义域的函数可以是（ 1
）
A． y lg 1 x ； B． y 1x
1 x ； C． y 1x
1x
出同时满足上述两个条件的一个函数解析式 ___________；
14．用 n 个不同的实数 a1， a2， … ， an 可得 n! 个不同的排列，每个排列为一行写成一个
n!
行的数阵．
对第
i
行
ai1 ，ai2，┄，ain，记
上海市交通大学附属中学2017届高三上学期摸底考试数学试题 Word版含解析
上海交通大学附属中学2016-2017学年度高三第一学期数学摸底试卷本试卷共有23道试题，满分150分，考试时间120分钟。
一、填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分。
1、设全集U={1, 3, 5, 7}，集合M={1,| a-5 |} ，，{5, 7} ，则实数a的值是____________.2或8；2、若复数z满足其中i为虚数单位，则z=__________.12i3、若双曲线中心在坐标原点，一个焦点为F（10,0），两条渐近线的方程为，则该双曲线的标准方程为____________.4、行列式的第2行第3列元素的代数余子式的值为.45、若变量满足约束条件，则的最小值为_________.-76、五位同学排成一排，其中甲、乙必须在一起，而丙、丁不能在一起的排法有_______种.24a}为等差数列，为其前项和.若，则.64 7、已知{n8、设（x2+1）(2x+1)9=a0+a1(x+2)+a2(x+2)2+…+ a11(x+2)11，则a0+a1+a2+…+ a11=_________.-29、一个由半球和四棱锥组成的几何体，其三视图如图所示.则该几何体的体积为________.10、函数为奇函数，则实数a的值为__________.1或-111、关于x的方程|x|=ax+1有且仅有一个负根，则实数a的取值范围是_________.=sgnxB、sgn=-sgnxC、sgn=sgnD、sgn=-sgn三、解答题（本大题满分74分）19、（本题满分12分）本题共有2个小题，第(1)小题满分5分，第(2)小题满分7分．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知（I）求C；（II）若的面积为，求△ABC的周长．20、（本题满分14分）本题共有2个小题，第(1)小题满分4分，第(2)小题满分10分．如图，在四棱锥P–ABCD中，AD∥BC，ADC=PAB=90°，BC=CD=AD，E为边AD的中点，异面直线PA与CD所成的角为90°.（I ）在平面PAB 内找一点M ，使得直线CM ∥平面PBE ，并说明理由；（II ）若二面角P –CD –A 的大小为45°，求直线PA 与平面PCE 所成角的正弦值.21、（本题满分14分）本题共有2个小题，第(1)小题满分6分，第(2)小题满分8分． 已知，函数F （x ）=min{2|x −1|，x 2−2ax +4a −2}，其中min{p ，q }=（I ）求使得等式F （x ）=x 2−2ax +4a −2成立的x 的取值范围； （II ）求F （x ）在区间上的最大值M （a ）. 【答案】（I ）；（II ）．22、（本题满分16分）本题共有3个小题，第(1)小题满分4分，第(2)小题满分6分，第(3)小题满分6分．各项均为正数的数列{}n b 的前n 项和为n S ，且对任意正整数n ，都有2(1)n n n S b b =+． （1）求数列{}n b 的通项公式；（2）如果等比数列{}n a 共有2016项，其首项与公比均为2，在数列{}n a 的每相邻两项i a 与1i a +之间插入i 个*(1)()i i b i -∈N 后，得到一个新的数列{}n c ．求数列{}n c 中所有项的和；（3）是否存在实数，使得存在，使不等式成立，若存在，求实数的范围，若不存在，请说明理由．23、（本题满分18分）本题共有3个小题．第1小题3分，第2小题6分，第3小题9分．如图，已知曲线221:12x C y -=，曲线2:||||1C y x =+，P 是平面上一点，若存在过点P 的直线与12,C C 都有公共点，则称P 为“C 1—C 2型点”．(1)在正确证明1C 的左焦点是“C 1—C 2型点”时，要使用一条过该焦点的直线，试写出一条这样的直线的方程（不要求验证）；(2)设直线y kx =与2C 有公共点，求证||1k >，进而证明原点不是“C 1—C 2型点”； (3)求证：圆2212x y +=内的点都不是“C 1—C 2型点”．2016-2017学年上海交大附中高三（上）摸底数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．1．（4分）设全集U={1，3，5，7}，集合M={1，|a ﹣5|}，C U M={5，7}，则a 的值为 2或8 ． 【考点】补集及其运算． 【专题】计算题．【分析】题目给出了全集U={1，3，5，7}，给出了全集的子集M 及M 的补集，由M∪（C U M ）=U 可求a 的值．【解答】解：由U={1，3，5，7}，且C U M={5，7}，所以，M={1，3}， 又集合M={1，|a ﹣5|}，所以|a ﹣5|=3． 所以，实数a 的值为2或8． 故答案为：2或8【点评】本题考查了补集及其运算，解答此题的关键是一个集合与其补集的并集等于全集，此题是基础题．2．（4分）（2016秋•杨浦区校级月考）若复数z满足2z+=3﹣2i，其中i为虚数单位，则z= 1﹣2i ．【考点】复数代数形式的加减运算．【专题】计算题；整体思想；定义法；数系的扩充和复数．【分析】设复数z=a+bi，（a、b是实数），则=a﹣bi，代入已知等式，再根据复数相等的含义可得a、b的值，从而得到复数z的值．【解答】解：设z=a+bi，（a、b是实数），则=a﹣bi，∵2z+=3﹣2i，∴2a+2bi+a﹣bi=3﹣2i，∴3a=3，b=﹣2，解得a=1，b=﹣2，则z=1﹣2i故答案为：1﹣2i．【点评】本题给出一个复数乘以虚数单位后得到的复数，求这个复数的值，着重考查了复数的四则运算和复数相等的含义，属于基础题．3．（4分）（2011•福建模拟）已知双曲线的中心在坐标原点，一个焦点为F（10，0），两条渐近线的方程为y=±，则该双曲线的标准方程为．【考点】双曲线的简单性质．【专题】计算题．【分析】由题意得，c=10，=，100=a2+b2，解出a和b的值，即得所求的双曲线的标准方程．【解答】解：由题意得，c=10，=，100=a2+b2，∴a=6，b=8，故该双曲线的标准方程为，故答案为．【点评】本题考查双曲线的定义和双曲线的标准方程，以及双曲线的简单性质的应用．4．（4分）（2016秋•杨浦区校级月考）行列式的第2行第3列元素的代数余子式的值为 4 ．【考点】三阶矩阵．【专题】选作题；转化思想；综合法；矩阵和变换．【分析】根据余子式的定义可知，在行列式中划去第2行第3列后所余下的2阶行列式为第3行第3列元素的代数余子式，求出值即可．【解答】解：由题意得第2行第3列元素的代数余子式M23=﹣=8﹣4=4故答案为：4．【点评】此题考查学生掌握三阶行列式的余子式的定义，会进行矩阵的运算，是一道基础题．5．（4分）（2016春•黔西南州校级期末）若变量x，y满足约束条件，则z=3x﹣y的最小值为﹣7 ．【考点】简单线性规划．【专题】不等式的解法及应用．【分析】由约束条件作出可行域，由图得到最优解，求出最优解的坐标，数形结合得答案．【解答】解：x，y满足约束条件对应的平面区域如图：当直线y=3x﹣z经过C时使得z最小，解得，所以C （﹣2，1），所以z=3x﹣y的最小值为﹣2×3﹣1=﹣7；故答案为：﹣7．【点评】本题考查了简单的线性规划，关键是正确画出平面区域，利用z的几何意义求最值；考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．6．（4分）（2016秋•杨浦区校级月考）五位同学排成一排，其中甲、乙必须在一起，而丙、丁不能在一起的排法有24 种．【考点】排列、组合及简单计数问题．【专题】应用题；方程思想；综合法；排列组合．【分析】根据题意，先使用捆绑法，将甲乙看成一个“元素”，再将丙、丁单独排列，进而将若甲、乙与第5个元素分类讨论，分析丙丁之间的不同情况，由乘法原理，计算可得答案．【解答】解：根据题意，先将甲乙看成一个“元素”，有2种不同的排法，将丙、丁单独排列，也有2种不同的排法，若甲、乙与第5个元素只有一个在丙丁之间，则有2×C21=4种情况，若甲、乙与第5个元素都在丙丁之间，有2种不同的排法，则不同的排法共有2×2×（2+4）=24种情况；故答案为：24．【点评】本题考查排列、组合的综合运用，涉及相邻与不能相邻的特殊要求，注意处理这几种情况的特殊方法．7．（4分已知{a n}为等差数列，S n为其前n项和．若a1+a9=18，a4=7，则S8= 64 ．【考点】等差数列的前n项和．【专题】方程思想；转化思想；等差数列与等比数列．【分析】由等差数列的性质可得：a1+a9=18=2a5，解得a5．可得S8==4（a4+a5）．【解答】解：由等差数列的性质可得：a1+a9=18=2a5，解得a5=9．又a4=7，则S8==4（a4+a5）=4×（9+7）=64．故答案为：7=64．【点评】本题考查了等差数列的性质及其求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．8．（4分）（2014•余杭区校级模拟）若（x2+1）（2x+1）9=a0+a1（x+2）+a2（x+2）2+…+a11（x+2）11，则a0+a1+…+a11的值为﹣2 ．【考点】二项式定理．【专题】计算题．【分析】本题通过赋值法进行求解，在题干所给的式子中令x=﹣1，即可得到所求的结果．【解答】解：∵（x2+1）（2x+1）9=a0+a1（x+2）+a2（x+2）2+…+a11（x+2）11∴在上式中，令x=﹣1：（（﹣1）2+1）（2（﹣1）+1）2=a0+a1+…+a11即a0+a1+…+a11=﹣2故答案为：﹣2【点评】本题通过赋值法进行求解，另外此种方法在函数的求值问题也常用到，属于基础题．9．（4分）一个由半球和四棱锥组成的几何体，其三视图如图所示．则该几何体的体积为．【考点】由三视图求面积、体积．【专题】计算题；方程思想；综合法；立体几何．【分析】由已知中的三视图可得：该几何体上部是一个半球，下部是一个四棱锥，进而可得答案．【解答】解：由三视图可知，上面是半径为的半球，体积为V==，下面是底面积为1，高为1的四棱锥，体积，所以该几何体的体积为．故答案为．【点评】本题考查的知识点是由三视图，求体积和表面积，根据已知的三视图，判断几何体的形状是解答的关键．10．（4分）函数f（x）=为奇函数，则实数a的值为1或﹣1 ．【考点】函数奇偶性的性质．【专题】综合题；函数思想；综合法；函数的性质及应用．【分析】函数f（x）=为奇函数，可得=﹣，化简即可得出结论．【解答】解：∵函数f（x）=为奇函数，∴=﹣，∴=﹣，∴a=1或﹣1．故答案为1或﹣1．【点评】本题考查了奇函数的性质，考查学生的计算能力，属于基础题．11．（4分）（已知关于x的方程|x|=ax+1有一个负根，但没有正根，则实数a的取值范围是a≥1 ．【考点】根的存在性及根的个数判断．【专题】数形结合．【分析】构造函数y=|x|，y=ax+1，在坐标系内作出函数图象，通过数形结合求出a的范围．【解答】解：令y=|x|，y=ax+1，在坐标系内作出函数图象，方程|x|=ax+1有一个负根，但没有正根，由图象可知a≥1故答案为：a≥1【点评】本题考查根的存在性及根的个数判断，考查数形结合思想，计算能力，是基础题．12．（4分）设O为坐标原点，P是以F为焦点的抛物线y2=2px（p＞0）上任意一点，M是线段PF上的点，且|PM|=2|MF|，则直线OM的斜率的最大值为．【考点】抛物线的简单性质．【专题】综合题；转化思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】根据体积，建立方程组，求出M的坐标，可得直线OM的斜率，利用基本不等式可得结论．【解答】解：设P（2pt，2pt），M（x，y），则，∴x=，y=，∴k OM==≤=，当且仅当t=时取等号，∴直线OM的斜率的最大值为．故答案为：．【点评】本题考查抛物线的方程及运用，考查直线的斜率的最大值，考查基本不等式，考查运算能力，属于中档题．13．（4分）已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|≤），x=﹣为f（x）的零点，x=为y=f（x）图象的对称轴，且f（x）在（，）单调，则ω的最大值为9 ．【考点】正弦函数的图象．【专题】转化思想；综合法；三角函数的图像与性质．【分析】先跟据正弦函数的零点以及它的图象的对称性，判断ω为奇数，由f（x）在（，）单调，可得ω•+φ≥2kπ﹣，且ω•+φ≤2kπ+，k∈Z，由此求得ω的范围，检验可得它的最大值．【解答】解：∵函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|≤），x=﹣为f（x）的零点，x=为y=f（x）图象的对称轴，∴ω（﹣）+φ=nπ，n∈Z，且ω•+φ=n′π+，n′∈Z，∴相减可得ω•=（n′﹣n）π+=kπ+，k∈Z，即ω=2k+1，即ω为奇数．∵f（x）在（，）单调，∴ω•+φ≥2kπ﹣，且ω•+φ≤2kπ+，k∈Z，即﹣ω•﹣φ≤﹣2kπ+①，且ω•+φ≤2kπ+，k∈Z ②，把①②可得ωπ≤π，∴ω≤12，故有奇数ω的最大值为11．当ω=11时，﹣+φ=kπ，k∈Z，∵|φ|≤，∴φ=﹣．此时f（x）=sin（11x﹣）在（，）上不单调，不满足题意．当ω=9时，﹣+φ=kπ，k∈Z，∵|φ|≤，∴φ=，此时f（x）=sin（9x+）在（，）上单调递减，满足题意；故ω的最大值为9，故答案为：9．【点评】本题主要考查正弦函数的零点以及它的图象的对称性，正弦函数的单调性的应用，属于中档题．14．（4分）在平面直角坐标系中，当P（x，y）不是原点时，定义P的“伴随点”为P′（，）；当P是原点时，定义P的“伴随点“为它自身，平面曲线C上所有点的“伴随点”所构成的曲线C′定义为曲线C的“伴随曲线”．现有下列命题：①若点A的“伴随点”是点A′，则点A′的“伴随点”是点A；②单位圆的“伴随曲线”是它自身；③若曲线C关于x轴对称，则其“伴随曲线”C′关于y轴对称；④一条直线的“伴随曲线”是一条直线．其中的真命题是②③（写出所有真命题的序列）．【考点】命题的真假判断与应用．【专题】综合题；转化思想；综合法；简易逻辑．【分析】利用新定义，对4个命题分别进行判断，即可得出结论．【解答】解：①若点A（x，y）的“伴随点”是点A′（，），则点A′（，）的“伴随点”是点（﹣x，﹣y），故不正确；②由①可知，单位圆的“伴随曲线”是它自身，故正确；③若曲线C关于x轴对称，点A（x，y）关于x轴的对称点为（x，﹣y），“伴随点”是点A′（﹣，），则其“伴随曲线”C′关于y轴对称，故正确；④设直线方程为y=kx+b（b≠0），点A（x，y）的“伴随点”是点A′（m，n），则∵点A（x，y）的“伴随点”是点A′（，），∴，∴x=﹣，y=∵m=，∴代入整理可得n﹣1=0表示圆，故不正确．故答案为：②③．【点评】此题考查点的坐标规律，读懂题目信息，理解“伴随点”的定义是解题的关键．二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，填上正确的答案，选对得5分，否则一律得零分．15．（5分）钱大姐常说“好货不便宜”，她这句话的意思是：“好货”是“不便宜”的（）A．充分条件 B．必要条件C．充分必要条件 D．既非充分又非必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【专题】压轴题；规律型．【分析】“好货不便宜”，其条件是：此货是好货，结论是此货不便宜，根据充要条件的定义进行判断即可，【解答】解：若p⇒q为真命题，则命题p是命题q的充分条件；“好货不便宜”，其条件是：此货是好货，结论是此货不便宜，由条件⇒结论．故“好货”是“不便宜”的充分条件．故选A【点评】本题考查了必要条件、充分条件与充要条件的判断，属于基础题．16．（5分）若D′是平面α外一点，则下列命题正确的是（）A．过D′只能作一条直线与平面α相交B．过D′可作无数条直线与平面α垂直C．过D′只能作一条直线与平面α平行D．过D′可作无数条直线与平面α平行【考点】空间中直线与平面之间的位置关系．【专题】存在型．【分析】将点和线放置在正方体中，视平面α为正方体中的平面ABCD，结合正方体中的线面关系对选支进行判定，取出反例说明不正确的，正确的证明一下即可．【解答】解：观察正方体，A、过D′可以能作不止一条直线与平面α相交，故A错；B、过D′只可作一数条直线与平面α垂直，故B错；C、过D′能作不止一条直线与平面α平行，故C错；D、过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行，且这个平面内的任一条直线都与已知平面平行，故D对．故选D．【点评】本题主要考查了空间中直线与平面之间的位置关系，考查空间想象能力和推理论证能力，属于基础题．17．（5分）（2016秋•杨浦区校级月考）已知函数f（x）=sinϖx+cosωx（ω＞0）的图象与x轴交点的横坐标依次构成一个公差为的等差数列，把函数f（x）的图象沿x轴向左平移个单位，得到函数g（x）的图象，则（）A．g（x）是奇函数B．g（x）关于直线x=﹣对称C．g（x）在[，]上是增函数D．当x∈[，]时，g（x）的值域是【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【专题】计算题；转化思想；综合法．【分析】将函数化简，图象与x轴交点的横坐标依次构成一个公差为的等差数列，可知周期为π，由周期求出ω，向左平移个单位可得g（x）的解析式，再利用三角函数图象及性质，可得结论．【解答】解：f（x）=sinϖx+cosωx（ω＞0），化简得：f（x）=2sin（ϖx+），∵图象与x轴交点的横坐标依次构成一个公差为的等差数列，可知周期为π∴T=π=，解得ω=2．那么：f（x）=2sin（2x+），图象沿x轴向左平移个单位，得：2sin=2cos2x．∴g（x）=2cos2x，故g（x）是偶函数，在区间单调减函数．所以A，C不对．对称轴方程为x=（k=Z），检验B不对．当x∈[，]时，那么2x∈[，]，g（x）的最大值为1，最小值为﹣2，故值域为．D正确．故选：D．【点评】本题考查了三角函数的辅助角公式的化简和图象的平移，三角函数的性质的运用能力．属于中档题．18．（5分）（2015•湖北）已知符号函数sgnx=，f（x）是R上的增函数，g（x）=f（x）﹣f（ax）（a＞1），则（）A．sgn=sgnx B．sgn=﹣sgnx C．sgn=sgn D．sgn=﹣sgn【考点】函数与方程的综合运用．【专题】函数的性质及应用．【分析】直接利用特殊法，设出函数f（x），以及a的值，判断选项即可．【解答】解：由于本题是选择题，可以采用特殊法，符号函数sgnx=，f（x）是R上的增函数，g（x）=f（x）﹣f（ax）（a＞1），不妨令f（x）=x，a=2，则g（x）=f（x）﹣f（ax）=﹣x，sgn=﹣sgnx．所以A不正确，B正确，sgn=sgnx，C不正确；D正确；对于D，令f（x）=x+1，a=2，则g（x）=f（x）﹣f（ax）=﹣x，sgn=sgn（x+1）=；sgn=sgn（﹣x）=，﹣sgn=﹣sgn（x+1）=；所以D不正确；故选：B．【点评】本题考查函数表达式的比较，选取特殊值法是解决本题的关键，注意解题方法的积累，属于中档题．三、解答题（本大题满分74分）19．（12分）（2016春•寿县校级期末）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2cosC （acosB+bcosA）=c．（Ⅰ）求C；（Ⅱ）若c=，△ABC的面积为，求△ABC的周长．【考点】解三角形．【专题】综合题；转化思想；综合法；解三角形．【分析】（Ⅰ）已知等式利用正弦定理化简，整理后利用两角和与差的正弦函数公式及诱导公式化简，根据sinC不为0求出cosC的值，即可确定出出C的度数；（2）利用余弦定理列出关系式，利用三角形面积公式列出关系式，求出a+b的值，即可求△ABC的周长．【解答】解：（Ⅰ）已知等式利用正弦定理化简得：2cosC（sinAcosB+sinBcosA）=sinC，整理得：2cosCsin（A+B）=sinC，∵sinC≠0，sin（A+B）=sinC∴cosC=，又0＜C＜π，∴C=；（Ⅱ）由余弦定理得7=a2+b2﹣2ab•，∴（a+b）2﹣3ab=7，∵S=absinC=ab=，∴ab=6，∴（a+b）2﹣18=7，∴a+b=5，∴△ABC的周长为5+．【点评】此题考查了正弦、余弦定理，三角形的面积公式，以及三角函数的恒等变形，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．20．（2016秋•杨浦区校级月考）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，AD∥BC，∠ADC=∠PAB=90°，（14分）BC=CD=AD．E为棱AD的中点，异面直线PA与CD所成的角为90°．（Ⅰ）在平面PAB内找一点M，使得直线CM∥平面PBE，并说明理由；（Ⅱ）若二面角P﹣CD﹣A的大小为45°，求直线PA与平面PCE所成角的正弦值．【考点】直线与平面所成的角；直线与平面平行的判定．【专题】数形结合；转化思想；空间位置关系与距离；空间角．（I）延长AB交直线CD于点M，由点E为AD的中点，可得AE=ED=AD，由BC=CD=AD，【分析】可得ED=BC，已知ED∥BC．可得四边形BCDE为平行四边形，即EB∥CD．利用线面平行的判定定理证明得直线CM∥平面PBE即可．（II）如图所示，由∠ADC=∠PAB=90°，异面直线PA与CD所成的角为90°AB∩CD=M，可得AP⊥平面ABCD．由CD⊥PD，PA⊥AD．因此∠PDA是二面角P﹣CD﹣A的平面角，大小为45°．PA=AD．不妨设AD=2，则BC=CD=AD=1．可得P（0，0，2），E（0，1，0），C（﹣1，2，0），利用法向量的性质、向量夹角公式、线面角计算公式即可得出．【解答】解：（I）延长AB交直线CD于点M，∵点E为AD的中点，∴AE=ED=AD，∵BC=CD=AD，∴ED=BC，∵AD∥BC，即ED∥BC．∴四边形BCDE为平行四边形，即EB∥CD．∵AB∩CD=M，∴M∈CD，∴CM∥BE，∵BE⊂平面PBE，∴CM∥平面PBE，∵M∈AB，AB⊂平面PAB，∴M∈平面PAB，故在平面PAB内可以找到一点M（M=AB∩CD），使得直线CM∥平面PBE．（II）如图所示，∵∠ADC=∠PAB=90°，异面直线PA与CD所成的角为90°，AB∩CD=M，∴AP⊥平面ABCD．∴CD⊥PD，PA⊥AD．因此∠PDA是二面角P﹣CD﹣A的平面角，大小为45°．∴PA=AD．不妨设AD=2，则BC=CD=AD=1．∴P（0，0，2），E（0，1，0），C（﹣1，2，0），∴=（﹣1，1，0），=（0，1，﹣2），=（0，0，2），设平面PCE的法向量为=（x，y，z），则，可得：．令y=2，则x=2，z=1，∴=（2，2，1）．设直线PA与平面PCE所成角为θ，则sinθ====．【点评】本题考查了空间位置关系、空间角计算公式、法向量的性质，考查了空间想象能力、推理能力与计算能力，属于中档题．21．（14分）（2016•浙江）已知a≥3，函数F（x）=min{2|x﹣1|，x2﹣2ax+4a﹣2}，其中min （p，q）=（Ⅰ）求使得等式F（x）=x2﹣2ax+4a﹣2成立的x的取值范围（Ⅱ）（i）求F（x）的最小值m（a）（ii）求F（x）在上的最大值M（a）【考点】函数最值的应用；函数的最值及其几何意义．【专题】新定义；函数思想；分析法；函数的性质及应用．【分析】（Ⅰ）由a≥3，讨论x≤1时，x＞1，去掉绝对值，化简x2﹣2ax+4a﹣2﹣2|x﹣1|，判断符号，即可得到F（x）=x2﹣2ax+4a﹣2成立的x的取值范围；（Ⅱ）（i）设f（x）=2|x﹣1|，g（x）=x2﹣2ax+4a﹣2，求得f（x）和g（x）的最小值，再由新定义，可得F（x）的最小值；（ii）分别对当0≤x≤2时，当2＜x≤6时，讨论F（x）的最大值，即可得到F（x）在上的最大值M（a）．【解答】解：（Ⅰ）由a≥3，故x≤1时，x2﹣2ax+4a﹣2﹣2|x﹣1|=x2+2（a﹣1）（2﹣x）＞0；当x＞1时，x2﹣2ax+4a﹣2﹣2|x﹣1|=x2﹣（2+2a）x+4a=（x﹣2）（x﹣2a），则等式F（x）=x2﹣2ax+4a﹣2成立的x的取值范围是；（Ⅱ）（i）设f（x）=2|x﹣1|，g（x）=x2﹣2ax+4a﹣2，则f（x）min=f（1）=0，g（x）min=g（a）=﹣a2+4a﹣2．由﹣a2+4a﹣2=0，解得a=2+（负的舍去），由F（x）的定义可得m（a）=min{f（1），g（a）}，即m（a）=；（ii）当0≤x≤2时，F（x）≤f（x）≤max{f（0），f（2）}=2=F（2）；当2＜x≤6时，F（x）≤g（x）≤max{g（2），g（6）}=max{2，34﹣8a}=max{F（2），F（6）}．则M（a）=．【点评】本题考查新定义的理解和运用，考查分类讨论的思想方法，以及二次函数的最值的求法，不等式的性质，考查化简整理的运算能力，属于中档题．22．（16分）（2015•闵行区二模）各项均为正数的数列{b n}的前n项和为S n，且对任意正整数n，都有2S n=b n（b n+1）．（1）求数列{b n}的通项公式；（2）如果等比数列{a n}共有2015项，其首项与公比均为2，在数列{a n}的每相邻两项a k与a k+1之间插入k个（﹣1）k b k（k∈N*）后，得到一个新的数列{c n}．求数列{c n}中所有项的和；（3）如果存在n∈N*，使不等式成立，求实数λ的范围．【考点】数列与不等式的综合；数列的求和．【专题】等差数列与等比数列；不等式的解法及应用．【分析】（1）运用数列的通项和前n项和的关系，结合等差数列的定义和通项公式，即可得到；（2）运用等比数列的求和公式和数列求和方法：分组求和，即可得到所求；（3）运用参数分离可得，运用基本不等式和单调性，分别求出不等式左右两边的最值，即可得到所求范围．【解答】解：（1）当n=1时，由2S1=b1（b1+1）得b1=1，当n≥2时，由2S n=b n（b n+1），2S n﹣1=b n﹣1（b n﹣1+1）得（b n+b n﹣1）（b n﹣b n﹣1）=b n+b n﹣1因数列{b n}的各项均为正数，所以b n﹣b n﹣1=1，所以数列{b n}是首项与公差均为1的等差数列，所以数列{b n}的通项公式为b n=n．（2）数列{a n}的通项公式为，数列{c n}共有2015+1+2+…+2014=1008×2015项，其所有项的和为S1008×2015=（2+22+…+22015）+（﹣1+22﹣32+42﹣…20132+20142）=2（22015﹣1）+=22016﹣2+×1007=22016+2015×1007﹣2=22016+2029103；（3）由，得，记因为，当取等号，所以取不到，当n=3时，的最小值为（n ∈N*）递减，的最大值为B1=6，所以如果存在n∈N*，使不等式成立实数λ应满足A3≤λ≤B1，即实数λ的范围应为．【点评】本题考查数列的通项和前n项和的关系，主要考查等差数列和等比数列的通项和求和公式的运用，同时考查不等式存在性问题转化为求最值问题，具有一定的难度和综合性．23．（18分）（2013•上海）如图，已知双曲线C1：，曲线C2：|y|=|x|+1，P是平面内一点，若存在过点P的直线与C1，C2都有公共点，则称P为“C1﹣C2型点”（1）在正确证明C1的左焦点是“C1﹣C2型点“时，要使用一条过该焦点的直线，试写出一条这样的直线的方程（不要求验证）；（2）设直线y=kx与C2有公共点，求证|k|＞1，进而证明原点不是“C1﹣C2型点”；（3）求证：圆x2+y2=内的点都不是“C1﹣C2型点”【考点】直线与圆锥曲线的关系；点到直线的距离公式；双曲线的简单性质．【专题】压轴题；新定义；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】（1）由双曲线方程可知，双曲线的左焦点为（），当过左焦点的直线的斜率不存在时满足左焦点是“C1﹣C2型点”，当斜率存在时，要保证斜率的绝对值大于等于该焦点与（0，1）连线的斜率；（2）由直线y=kx与C2有公共点联立方程组有实数解得到|k|＞1，分过原点的直线斜率不存在和斜率存在两种情况说明过远点的直线不可能同时与C1和C2有公共点；（3）由给出的圆的方程得到圆的图形夹在直线y=x±1与y=﹣x±1之间，进而说明当|k|≤1时过圆内的点且斜率为k的直线与C2无公共点，当|k|＞1时，过圆内的点且斜率为k的直线与C2有公共点，再由圆心到直线的距离小于半径列式得出k的范围，结果与|k|＞1矛盾．从而证明了结论．【解答】（1）解：C1的左焦点为（），写出的直线方程可以是以下形式：或，其中．（2）证明：因为直线y=kx与C2有公共点，所以方程组有实数解，因此|kx|=|x|+1，得．若原点是“C1﹣C2型点”，则存在过原点的直线与C1、C2都有公共点．考虑过原点与C2有公共点的直线x=0或y=kx（|k|＞1）．显然直线x=0与C1无公共点．如果直线为y=kx（|k|＞1），则由方程组，得，矛盾．所以直线y=kx（|k|＞1）与C1也无公共点．因此原点不是“C1﹣C2型点”．（3）证明：记圆O：，取圆O内的一点Q，设有经过Q的直线l与C1，C2都有公共点，显然l不与x轴垂直，故可设l：y=kx+b．若|k|≤1，由于圆O夹在两组平行线y=x±1与y=﹣x±1之间，因此圆O也夹在直线y=kx±1与y=﹣kx±1之间，从而过Q且以k为斜率的直线l与C2无公共点，矛盾，所以|k|＞1．因为l与C1由公共点，所以方程组有实数解，得（1﹣2k2）x2﹣4kbx﹣2b2﹣2=0．因为|k|＞1，所以1﹣2k2≠0，因此△=（4kb）2﹣4（1﹣2k2）（﹣2b2﹣2）=8（b2+1﹣2k2）≥0，即b2≥2k2﹣1．因为圆O的圆心（0，0）到直线l的距离，所以，从而，得k2＜1，与|k|＞1矛盾．因此，圆内的点不是“C1﹣C2型点”．【点评】本题考查了双曲线的简单几何性质，考查了点到直线的距离公式，考查了直线与圆锥曲线的关系，直线与圆锥曲线联系在一起的综合题在高考中多以高档题、压轴题出现，主要涉及位置关系的判定，弦长问题、最值问题、对称问题、轨迹问题等．突出考查了数形结合、分类讨论、函数与方程、等价转化等数学思想方法．属难题．。
2022届上海市交通大学附属中学高三上学期开学摸底考数学试题(word版)
①若 为锐角三角形，且满足 ，则
②在 的二项展开式中， 项的系数为
③函数 与函数 关于直线 对称
④设等差数列 前n项和为 ，若 ，则
⑤函数 的最小值为2
11.已知有限集 ，如果A中元素 满足： ，就称A为n元“均衡集”．若 是二元“均衡集”，则 的取值范围是__．
【答案】（1） ；（2） ；（3）存在， .
（1）∵函数y＝f（x）满足f（3x）＝3f（x），
又∵当x∈[1，3]时，函数y＝f（x）的图象与x轴所围成的图形面积：
，
∴当x∈[31，32]时，函数y＝f（x）的图象与x轴所围成的图形面积：
，
当x∈[32，33]时，函数y＝f（x）的图象与x轴所围成的图形面积：
，…
当x∈[3n﹣1，3n]时，函数y＝f（x）的图象与x轴所围成的图形面积：
，
此时函数y＝f（x）的图象与x轴所围成的图形面积S＝S1+S2+S3+…+Sn﹣1＝ ；
（2）当 时， ， ，
由 可得，
当 时， 时取 ，
当 时， 时取 ，
当 ， 时取 ，
经计算可知 ，且 ，
所以当 时，函数 的最大值为：
【答案】（1） ；（2）不存在，理由见解析.
解：（1）数列 为“ 数列”，则 ，
所以 ，两式相减得： ，又 时， ，所以 ，
故 对任意的 恒成立，即 ，故数列 为等比数列，其通项公式为 ．
（2）假设存在这样的数列 ，则有 ，故有 ，
两式相减得， ，则又 ．
同理，由 是“ 数列”可得， ，
所以 对任意的 恒成立，
（1）设 ，将y表示成 的函数关系式，并指出 的范围；
上海市交通大学附属中学2019-2020学年高三上学期开学摸底考试数学试题
上海市交通大学附属中学2019-2020学年高三上学期开学摸底考试数学试题一、填空题：本大题共12小题，每小题5分，共20分）. 1.若集合,集合，则_________. 2.设常数,函数，若的反函数的图像经过点(3,1),则_____. 3.若复数的实部与虛部相等,则________. 4.若正三棱锥的底面边长为,侧棱长为1,则此三棱锥的体积为________. 5.方程在上的解集是__________.6.一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积等于________.7.，与的夹角为，则在上的投影为________. 8.若关于的二元一次方程至多有一组解，则实数的取值范围是__________.9.从集合A=中随机选取一个数记为,从集合B=中随机选取一个数记为,则直线不经过第三象限的概率为_________.10.若是展开式中项的系数，则_________. {}32|＜-=x x A ⎭⎬⎫⎩⎨⎧-=03|＞x x x B =B A R a ∈()()a x x f +=2log ()x f =a ()R b b i i ∈+-+2111=b 21sin 2cos =+x x ()，π02==3π+y x 、 ⎝⎛1m ⎪⎪⎭⎫⎝⎛+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫m m y x m 211m {}211，，-k {}212，，-b b kx y +=n a ()()R x n N n x n ∈≥∈+，，2*22x =⎪⎪⎭⎫⎝⎛+⋯++∞→n n a a a 22233220lim11.已知函数,设,若关于的不等式在R 上恒成立,则的取值范围是___________.12.已知，其中为常数,且的最小值是若点是椭圆一条弦的中点,则此弦所在的直线方程为________.二、选择题13．（5分）下列函数中，与函数y=10lgx 的定义域和值域相同的是（ ） A ．y=B ．y=C ．y=D ．y=14．（5分）命题：“若x 2=1，则x=1”的逆否命题为（ ） A ．若x ≠1，则x ≠1或x ≠﹣1 B ．若x=1，则x=1或x=﹣1 C ．若x ≠1，则x ≠1且x ≠﹣1D ．若x=1，则x=1且x=﹣115．（5分）若函数f （x ）=ax 2+bx+c 在区间[0，1]上的最大值是M ，最小值是m ，则M ﹣m （ ） A ．与b 有关，且与c 有关 B ．与b 有关，但与c 无关C ．与b 无关，且与c 无关D ．与b 无关，但与c 有关16．（5分）已知函数y=f （x ）（x ∈R ），给出下列命题： ①若f （x ）既是奇函数又是偶函数，则f （x ）=0；②若f （x ）是奇函数，且f （﹣1）=f （1），则f （x ）至少有三个零点； ③若f （x ）在R 上不是单调函数，则f （x ）不存在反函数；④若f （x ）的最大值和最小值分别为M 、m （m ＜M ），则f （x ）的值域为[m ，M]． 则其中正确的命题个数是（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4三、解答题17．已知U=R ，P={x|＞a}，Q={x|x 2﹣3x ≤10}． （1）若a=1，求（∁U P ）∩Q ；（2）若P ∩Q=P ，求实数a 的取值范围． 18．已知函数f （x ）=+()⎪⎩⎪⎨⎧≥++=1212x x x x x x f ，＜，R a ∈x ()a x x f +≥2a 92=+=+∈+t n smn m R t s n m ，，、、、n m 、t s +，94()n m ，12422=+y x（1）判断函数f（x）的奇偶性，并说明理由；（2）解不等式f（x）≥．19．某城市要建造一个边长为2km的正方形市民休闲OABC，将其中的区域ODC开挖成一个池塘，如图建立平面直角坐标系后，点D的坐标为（1，2），曲线OD是函数y=ax2图象的一部分，过对边OA上一点M的区域OABD内作一次函数y=kx+m（k＞0）的图象，与线段DB 交于点N（点N不与点D重合），且线段MN与曲线OD有且只有一个公共点P，四边形MABN 为绿化风景区．（1）写出函数关系式m=f（k）；（2）设点P的横坐标为t，将四边形MABN的面积S表示关于t的函数S=g（t），并求S的最大值．20．设函数f（x）=|4x﹣a•2x+4|+a•2x，其中a∈R．（1）当a＜0时，求函数f（x）的反函数f﹣1（x）；（2）若a=5，求函数f（x）的值域并写出函数f（x）的单调区间；（3）记函数g（x）=（0≤x≤2），若函数g（x）的最大值为5，求实数a的取值范围．21．已知函数f（x）=lognx（n＞0，n≠1）．（1）若f（x1x2）=10，求f（x12）+f（x22）的值；（2）设g（x）=f（），当x∈（m，n）时，g（x）的值域为（1，+∞），试求m与n的值；（3）当n=3时，记h（x）=f﹣1（x）+（m＞0），如果对于区间[﹣1，0]上的任意三个实数r，s，t，都存在以h（r）、h（s）、h（t）为边长的三角形，求实数m的取值范围．上海市交通大学附属中学2019-2020学年高三上学期开学摸底考试数学试题参考答案与试题解析一、填空题：本大题共12小题，每小题5分，共20分）.二、选择题13．（5分）下列函数中，与函数y=10lgx的定义域和值域相同的是（）A．y=B．y=C．y=D．y=【分析】求出函数的定义域和值域，逐个进行对比即可．【解答】解：函数y=10lgx的定义域为（0，+∞），值域为（0，+∞），对于A，定义域是（﹣∞，+∞），值域是[0，+∞），A错．对于B，定义域是（﹣∞，+∞），值域是（﹣∞，+∞），B错．对于C，定义域是（﹣∞，0）∪（0，+∞），值域是（﹣∞，0）∪（0，+∞），C错．对于D，定义域是（0，+∞），值域是（0，+∞），与题干函数定义域和值域相同．故D对．故选：D．14．（5分）命题：“若x2=1，则x=1”的逆否命题为（）A．若x≠1，则x≠1或x≠﹣1 B．若x=1，则x=1或x=﹣1C．若x≠1，则x≠1且x≠﹣1 D．若x=1，则x=1且x=﹣1【分析】根据命题“若p，则q”的逆否命题为“若￢q，则￢p”，写出即可．【解答】解：命题：“若x2=1，则x=1”的逆否命题为“若x≠1，则x2≠1”；即“若x≠1，则x≠1且x≠﹣1”．故选：C．15．（5分）若函数f（x）=ax2+bx+c在区间[0，1]上的最大值是M，最小值是m，则M﹣m（）A．与b有关，且与c有关B．与b有关，但与c无关C．与b无关，且与c无关D．与b无关，但与c有关【分析】结合二次函数的图象和性质，设函数f（x）=ax2+bx+c在x1处取的最大值，在x2处取的最小值，0≤x1≤1，0≤x2≤1，且x1≠x2，则M﹣m=a（x12﹣x22）+b（x1﹣x2），即可得到答案【解答】解：设函数f（x）=ax2+bx+c在x1处取的最大值，在x2处取的最小值，0≤x1≤1，0≤x2≤1，且x1≠x2，∴M=f（x1）=ax12+bx1+c，m=f（x2）=ax22+bx2+c，∴M﹣m=ax12+bx1+c﹣ax22﹣bx2﹣c=a（x12﹣x22）+b（x1﹣x2），∴与a，b有关，但与c无关，故选：B．16．（5分）已知函数y=f（x）（x∈R），给出下列命题：①若f（x）既是奇函数又是偶函数，则f（x）=0；②若f（x）是奇函数，且f（﹣1）=f（1），则f（x）至少有三个零点；③若f（x）在R上不是单调函数，则f（x）不存在反函数；④若f（x）的最大值和最小值分别为M、m（m＜M），则f（x）的值域为[m，M]．则其中正确的命题个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4【分析】分别根据函数的性质进行判断即可．【解答】解：①若f（x）既是奇函数又是偶函数，则满足f（﹣x）=f（x）且f（﹣x）=﹣f （x），则f（x）=0故①正确；②若f（x）是奇函数，且f（﹣1）=f（1），则f（﹣1）=f（1）=﹣f（1），即f（1）=0，则f（﹣1）=f（1）=0，且f（0）=0，则f（x）至少有三个零点，0，1，﹣1；故②正确，③若f（x）在R上不是单调函数，则f（x）不存在反函数错误，只要函数f（x）是一对一函数即可，与函数是否单调没有关系；故③错误，④若f（x）的最大值和最小值分别为M、m（m＜M），则f（x）的值域为[m，M]，错误．比如函数f（x）=x，（﹣1≤x≤0或1≤x≤2）则函数的值域为[﹣1，0]∪[1，2]，故正确的命题个数为2个，故选：B．三、解答题17．已知U=R，P={x|＞a}，Q={x|x2﹣3x≤10}．（1）若a=1，求（∁UP）∩Q；（2）若P∩Q=P，求实数a的取值范围．【分析】（1）当a=1时，U=R，P={x|0＜x＜1}，Q={x|﹣2≤x≤5}，由此能求出CU P和（∁UP）∩Q．（2）由P={x|＞a}，Q={x|﹣2≤x≤5}，P∩Q=P，得P⊆Q，由此能求出实数a的取值范围．【解答】解：（1）当a=1时，U=R，P={x|＞1}={x|0＜x＜1}，Q={x|x2﹣3x≤10}={x|﹣2≤x≤5}．CUP={x|x≤0或x≥1}，∴（∁UP）∩Q={x|﹣2≤x≤0或1≤x≤5}．（2）∵P={x|＞a}，Q={x|﹣2≤x≤5}，P∩Q=P，∴P⊆Q，当x＞0时，P={x|0＜x＜}，由P⊆Q，得a，当x≤0时，P⊆Q不成立．综上，实数a的取值范围是[，+∞）．18．已知函数f（x）=+（1）判断函数f（x）的奇偶性，并说明理由；（2）解不等式f（x）≥．【分析】（1）f（x）为奇函数，运用定义法判断，求得函数的定义域，计算f（﹣x），与f （x）比较即可得到所求奇偶性；（2）由题意可得0＜2x﹣1≤3，运用指数函数的单调性，即可得到所求解集．【解答】解：（1）f（x）为奇函数．理由：函数f（x）=+，即为f（x）=，定义域为{x|x≠0}，由f（﹣x）===﹣f（x），则f（x）为奇函数；（2）f（x）≥，即为+≥，即有≥，可得0＜2x﹣1≤3，解得1＜2x≤4，解得0＜x≤2，则原不等式的解集为（0，2]．19．某城市要建造一个边长为2km的正方形市民休闲OABC，将其中的区域ODC开挖成一个池塘，如图建立平面直角坐标系后，点D的坐标为（1，2），曲线OD是函数y=ax2图象的一部分，过对边OA上一点M的区域OABD内作一次函数y=kx+m（k＞0）的图象，与线段DB 交于点N（点N不与点D重合），且线段MN与曲线OD有且只有一个公共点P，四边形MABN 为绿化风景区．（1）写出函数关系式m=f（k）；（2）设点P的横坐标为t，将四边形MABN的面积S表示关于t的函数S=g（t），并求S的最大值．【分析】（1）根据函数y=ax2过点D，求出解析式y=2x2；由消去y，利用△=0，求出m即可；（2）①写出点P的坐标（t，2t2），代入直线MN的方程，用t表示出直线方程，利用直线方程求出M、N的坐标；②将四边形MABN的面积S表示成关于t的函数S（t），利用基本不等式即可求出S的最大值．【解答】解：（1）函数y=ax2过点D（1，2），代入计算得a=2，∴y=2x2；由，消去y得2x2﹣kx﹣m=0，由线段MN与曲线OD有且只有一个公共点P，得△=（﹣k）2﹣4×2×m=0，解得m=﹣；（2）设点P的横坐标为t，则0＜t＜1，∴点P（t，2t2）；①直线MN的方程为y=kx+b，即y=kx﹣过点P，∴kt﹣=2t2，解得k=4t；y=4tx﹣2t2令y=0，解得x=，∴M（，0）；令y=2，解得x=+，∴N（+，2）；②将四边形MABN的面积S表示成关于t的函数为S=S（t）=2×2﹣×2×[+（+）]=4﹣（t+），其中0＜t＜1；由t+≥2•=，当且仅当t=，即t=时“=”成立，所以S≤4﹣；即S的最大值是4﹣．20．设函数f（x）=|4x﹣a•2x+4|+a•2x，其中a∈R．（1）当a＜0时，求函数f（x）的反函数f﹣1（x）；（2）若a=5，求函数f（x）的值域并写出函数f（x）的单调区间；（3）记函数g（x）=（0≤x≤2），若函数g（x）的最大值为5，求实数a的取值范围．（x﹣4），x＞4，【分析】（1）当a＜0时，f（x）=4x+4，即可解得f﹣1（x）=log4（2）设2x=t，则f（t）=|t2﹣5t+4|+5t=，分段求出函数的值域并判断判断区间，（3）记函数g（x）=（0≤x≤2），设2x=t，则1≤t≤4，g（t）=，分类讨论，求出函数的最值即可．【解答】解：（1）当a＜0时，f（x）=4x﹣a•2x+4+a•2x=4x+4，∴4x=y﹣4，y＞4，（y﹣4），∴x=log4（x﹣4），∴y=log4（x﹣4），x＞4∴f﹣1（x）=log4（2）当a=5时，f（x）=|4x﹣5•2x+4|+5•2x，设2x=t，则4x﹣5•2x+4=t2﹣5t+4，当t2﹣5t+4＜0时，解得0＜t＜4，当t2﹣5t+4≥0时，解得t＞4，∴f（t）=|t2﹣5t+4|+5t=，当t≥4时，f（t）在（0，1）和（4，+∞）上单调递增，则4＜f（t）≤5或f（t）≥20，当1＜t＜4时，f（t）=﹣t2+10t﹣4=﹣（t﹣5）2+21，∴f（t）在（1，4）上单调递增，∴f（1）＜f（t）＜f（4），∴5＜f（t）＜20，综上所述f（x）的值域为（4，+∞），函数f（x）的单调区间为（﹣∞，+∞），（3）记函数g（x）=（0≤x≤2），设2x=t，则1≤t≤4，∴g（t）=，当a≤0时，g（t）==t+，在[1，2]上单调递减，在（2，4]上单调递增，∴g（t）max=max{g（1），g（5）}∵g（1）=5，g（4）=5，∴函数g（t）的最大值为5，即当a≤0时，满足函数g（x）的最大值为5，当a＞0时，由t2﹣at+4≥0，即a≤t+，则由（2）可得y=t+，在[1，2]上单调递减，在（2，4]上单调递增，∴（t+）min=2+=4，∴当0＜a≤4时，g（t）==t+，故可知满足函数g（x）的最大值为5，当a＞4时，g（t）==﹣（t+）+2a，∵y=﹣（t+），在[1，2]上单调递增，在（2，4]上单调递减，∴ymax=﹣（2+）+2a=﹣4+2a，此时满足函数g（t）的最大值为5，综上所述当a∈（﹣∞，4]时，函数满足函数g（x）的最大值为521．已知函数f（x）=lognx（n＞0，n≠1）．（1）若f（x1x2）=10，求f（x12）+f（x22）的值；（2）设g（x）=f（），当x∈（m，n）时，g（x）的值域为（1，+∞），试求m与n的值；（3）当n=3时，记h（x）=f﹣1（x）+（m＞0），如果对于区间[﹣1，0]上的任意三个实数r，s，t，都存在以h（r）、h（s）、h（t）为边长的三角形，求实数m的取值范围．【分析】（1）根据对数的运算法则进行化简求解即可．（2）根据复合函数单调性的关系进行求解．（3）问题转化为2ymin ＞ymax，然后利用对勾函数的单调性进行分类讨论求解即可．【解答】解：（1）若f（x1x2）=10，则logn x1x2=10，则f（x12）+f（x22）=lognx12+lognx22=lognx12x22=logn（x1x2）2=2lognx1x2=20．（2）g（x）=f（）=logn =logn（）=logn（1+），则y=1+在（1，+∞）上为减函数，∵当x∈（m，n）时，g（x）的值域为（1，+∞），∴m=1，n＞1，则函数g（x）在（m，n）上为减函数，则g（n）=1，即logn（1+）=1，得1+=n，即=n﹣1，的（n﹣1）2=2，得n﹣1=±，则n=1或n=1﹣（舍）．（3）当n=3时，记h（x）=f﹣1（x）+=3x+，（m＞0），∵﹣1≤x≤0，∴设t=3x，则≤t≤1，即y=t+，（≤t≤1），由题意得在≤t≤1上恒有2ymin ＞ymax即可．①当0＜m≤时，函数h（x）在[，1]上递增，y max =1+m，ymin=3m+．由2ymin ＞ymax得6m+＞1+m，即5m＞，得m＞．此时＜m≤．②当＜m≤时，h（x）在[，]上递减，在[，1]上递增，y max =max{3m+.1+m}=1+m，ymax=3m+，ymin=2，由2ymin ＞ymax得4＞1+m，得．此时＜m≤．③当＜m＜1时，h（x）在[，]上递减，在[，1]上递增，y max =max{3m+.1+m}=3m+，ymin=2，由2ymin ＞ymax得4＞3m+，得＜m＜．此时＜m＜1④当m≥1时，h（x）在[，1]上递减，y max =3m+，ymin=m+1，由2ymin ＞ymax得2m+2＞3m+，得m＜．此时1≤m＜，综上＜m＜．。
上海市交通大学附属中学2018-2019学年高三上期末考试数学试题(简略答案)
交大附中2018-2019学年度第一学期高三年级期末数学试卷2019.1一、填空题1.已知集合{}02A x =<≤，集合{}12B x x =-<<，则A B =U ______.2.若复数43z i =+，其中i 是虚数单位，则2z =______.3.函数()()4,43,4x x f x f x x -≥⎧⎪=⎨+<⎪⎩，则()1f f -=⎡⎤⎣⎦______. 4.已知1sin 43πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则cos 4πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值为______. 5.已知数列{}n a 的前n 项和()2*2n S n n n N =+∈，数列{}n a 的通项公式为n a =______.6.已知实数x 、y 满足约束条件222441x y x y x y +≥⎧⎪+≤⎨⎪-≥-⎩，则目标函数3z x y =+的取值范围为______.7.已知函数()()sin 2cos2,,0f x a x b x a b R ab =+∈≠，若其图像关于直线6x π=对称，则直线20ax by ++=的倾斜角α=______. 8.鲁班锁是中国传统的智力玩具，起源于古代汉族建筑中首创的椎卯结构，这种三维的拼插器具内部的凹凸部分（即榫卯结构）啮合，十分巧妙，外观看是严丝合缝的十字立方体，其上下、左右、前后完全对称，从外表上看，六根等长的正四棱柱分成三组，经90︒样卯起来，如图，若正四棱柱的高为6，底面正方形的边长为1，现将该鲁班锁放进一个球形容器内，则该球形容器的表面积的最小值为（容器壁的厚度忽略不计）______.14.某超市货架上摆放着某品牌红烧牛肉方便面，如图是它的三视图，则货架上的红烧牛肉便面至少有A.8桶B.9桶C.10桶D.11桶15.已知()23f x x x =+，若1x a -≤，则下列不等式一定成立的是A.()()33f x f a a -≤+B.()()5f x f a a -≤+C.()()24f x f a a -≤+D.()()()231f x f a a -≤+ 16.若2a b c ===&&&，且0a b ⋅=&&，()()0a c b c --≤&&&&，则a b c +-&&&的取值范围是A.0,2⎡⎤⎣⎦B.[]0,2C.2⎡⎤⎣⎦D.2,2⎡⎤⎣⎦三、解答题17.在ABC ∆中，a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 的对边，已知()cos23cos 1A B C -+=.（1）求角A 的值；（2）若2a =，求ABC ∆周长的取值范围。
上海市2018-2019学年交大附中高三上期末数学期末试卷(详细答案)
交大附中2018-2019学年度第一学期高三年级期末数学试卷2019.1一、填空题1.已知集合{}02A x =<≤，集合{}12B x x =-<<，则A B =U ______.答案：{}20<<x x2. 若复数43z i =+，其中i 是虚数单位，则2z =_____. 答案：25解析：25;24722=+=z i z3. 函数()()4,43,4x x f x f x x -≥⎧⎪=⎨+<⎪⎩，则()1f f -=⎡⎤⎣⎦______. 答案：1；解析：1)5()2()1(===-f f f4. 已知1sin 43πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则cos 4πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值为______.答案：31-； 解析：31)4(sin ))4(2sin()4cos(-=-=+-=+αππαππα 5. 已知数列{}n a 的前n 项和()2*2n S n n n N =+∈，数列{}n a 的通项公式为n a =______. 答案：12+n解析：12)1(2)1(2221+=----+=-=-n n n n n S S a n n n6、已知实数x 、y 满足约束条件222441x y x y x y +≥⎧⎪+≤⎨⎪-≥-⎩，则目标函数3z x y =+的取值范围为______.答案：]6,1[ 解析：最大值在()2,0A 上取，最小值在()0,1B )1,0(上取得6. 已知函数()()sin 2cos2,,0f x a x b x a b R ab =+∈≠，若其图像关于直线6x π=对称，则直线20ax by ++=的倾斜角α=______. 答案：π32 解析：)2sin()(22ϕ++=x b a x f ， ππϕπk +=+⨯262， ππϕk +=6，,33tan ==a b ϕ则20ax by ++=的倾斜角32,3tan παα=-=-=b a . 7. 鲁班锁是中国传统的智力玩具，起源于古代汉族建筑中首创的椎卯结构，这种三维的拼插器具内部的凹凸部分（即榫卯结构）啮合，十分巧妙，外观看是严丝合缝的十字立方体，其上下、左右、前后完全对称，从外表上看，六根等长的正四棱柱分成三组，经90︒样卯起来，如图，若正四棱柱的高为6，底面正方形的边长为1，现将该鲁班锁放进一个球形容器内，则该球形容器的表面积的最小值为（容器壁的厚度忽略不计）______.答案：41π414414Sππ=⨯=.9、已知()()()()()2320121111n nnx x x x a a x a x a x n N*++++++++=++++∈L L且012126na a a a++++=L，那么n展开式中的常数项为_____答案：20-；解析：126)12(221)21(2222232=-=--=++++nnnΛ6=n，则常数为20)1()(3336-=-xxC10、已知正实数x y、满足2342xy x y++=，那么54xy x y++的最小值为____答案：55解析一：yxyxyxxyyxxy++=++++=++34233245)14(3342)2(yyyx-=-=+，2)14(3+-=yyx139221442)162(92)14(93≥-+++=+++--=++-=+yyyyyyyyyx5545≥++∴yxxy解析二：()()23423248xy x y x y++=⇒++=，()()245452x yx y+++⎛⎫++≤ ⎪⎝⎭11、已知等边ABC ∆的边长为2，点P 在线段AC 上，若满足等式PA PB λ⋅=u u u r u u u r的点P 有两个，则实数λ的取值范围是_____答案：]0,41(-解析：设)3,0(),0,1(),0,1(B C A -，)11)(0,(≤≤-x x Pλ=+=⋅x x PB PA )1(02=-+λx x 在]1,1[-上有两个根，则]0,41(-∈λ12、过直线:2l x y +=上任意点P 向圆22:1C x y +=作两条切线，切点分别为A B 、，线段AB 的中点为Q ，则点Q 到直线l 的距离的取值范围为_________答案：]2,22(解析：第一种方法：作l OC ⊥，θ=∠POC ，)2,0[πθ∈.θcos 2=PO ，θθθθcos 2cos 2cos 21cos 212222-=-=-==PO PO PO PA PQ点Q 到直线l 的距离为)2,22[2cos 22∈-θ 第二种方法：设),(00y x P ，则AB 方程为100=+y y x x ，OP 方程为x x y y 0=， ⎪⎩⎪⎨⎧==+x x y y y y x x 00001，则Q 坐标为),(02000200y x y y x x ++， A→ →PQABCOQ 到l的距离为22212224422222202002020202000-+-=-+-+=-++x x x x x y x y x 取值范围即为)2,22[二、选择题13.已知定义域为R 的函数()()(]23121,22,2,21,055x k x k k k N f x x x *⎧---∈-∈⎡⎤⎣⎦⎪=⎨⎪-≤⎩，则此函数图像上关于原点对称的点有（ ）A 、7对B 、8对C 、9对D 、以上都不对 答案：B解析：作出)(x f 的图像，右边是一个周期函数，为了找对称点，就是求5152+=x y 与)(x f 的右边的 图像的交点。
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上海市交通大学附属中学2018届高三上学期开学摸底考试数学试题一、填空题1. 若集合{}23A x x =-<，集合30x B x x -⎧⎫=>⎨⎬⎩⎭，则A B ⋃= ． 2.—个几何体的主视图、左视图、俯视图都是以a 为半径的圆，则该几何体的体积是 ．3.已知i 是虚数单位，则2-的平方根是 ．4.函数()()210f x x x =+<的反函数是 ．5.设x y 、满足约束条件2330233030x y x y y +-≤⎧⎪-+≥⎨⎪+≥⎩，则2z x y =+的最小值是 ．6.如图，四个棱长为1的正方体排成一个正四棱柱，AB 是一条侧棱，()1,2,,16i P i = 是上、下底面上其余十六个点，则()1,2,,16i AB AP i ⋅=的不同值的个数为 ．7.数列{}n a 满足()1213,5n n n a a a n a --=-≥=，其前n 项和记为n S ，若89S =，那么100S = ．8.若n a 是()()*2,2,nx n N n x R +∈≥∈展开式中2x 项的系数，则2323222lim n x n a a a →∞⎛⎫+++= ⎪⎝⎭． 9.设函数()()2sin ,f x x x R ωϕ=+∈，其中0,ωϕπ><，若5112,088f f ππ⎛⎫⎛⎫==⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，且()f x 的最小正周期大于2π，则ϕ= ．10.已知函数()2,12,1x x f x x x x ⎧+<⎪=⎨+≥⎪⎩，设a R ∈，若关于x 的不等式()2x f x a ≥+在R 上恒成立，则a 的取值范围是 ． 11.函数()()10f x x x=>绕原点逆时针旋转，每旋转15︒得到一个新的曲线，旋转一周共得到24条曲线（不包括未旋转时的曲线），请问从中任选其二，均不是函数图像的概率是 ．12.已知两正实数a b 、，满足4a b +=，则2211a ba b +++的最大值为 ． 二、选择题13.关于x y 、的二元一次方程组50234x y x y +=⎧⎨+=⎩，其中行列式x D 为（ ）A ．0543- B ．1024 C ．0543 D ．0543- 14.“要使函数()0f x ≥成立，只要x 不在区间[],a b 内就可以了”等价于（ ） A.如果()0f x ≥，则[],x a b ∉ B.如果[],x a b ∈，则()0f x < C.如果()0f x <，则[],x a b ∈ D.如果[],x a b ∉，则()0f x ≥15.参数方程()()sin 1cos x a t t y a t ⎧=-⎪⎨=-⎪⎩ （0,a t >为参数）所表示的函数()y f x =是（ ）A.图像关于原点对称B.图像关于直线x π=对称C.周期为2a π的周期函数D.周期为2aπ的周期函数 16.已知椭圆22:143x y C +=，直线:1l y x =-，点()1,0P ，直线l 交椭圆C 于A B 、两点，则22PA PB +的值为( )A ．32149 B ．32449 C ．32749 D ．33049三、解答题17.如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，12,1,1AB AD A A ===.（1）证明直线1BC 平行于平面1D AC ； （2）求直线1BC 到平面1D AC 的距离.18.ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知ABC ∆的面积为23sin a A.（1）求sin sin B C ⋅；（2）若6cos cos 1,3B C a ⋅==，求ABC ∆的周长19. （1）请根据对数函数()()1a x log x a f >=来指出函数((1))x g x log a a >=的基本性质（结论不要求证明），并画出图像；（2）拉普拉斯称赞对数是一项“使天文学家寿命倍増”的发明.对数可以将大数之间的乘除运算简化为加减运算，请证明：0,1,,0()()a a a log x y log x log a a x y y +>≠>=⋅；（3）2017年5月23日至27日，围棋世界冠军柯洁与DeepMind 公司开发的程序“AlphaGo ”进行三局人机对弈，以复杂的围棋来测试人工智能.围棋复杂度的上限约为3613M =，而根据有关资料，可观测宇宙中普通物质的原子总数约为8010N =.甲、乙两个同学都估算了M N的近似值，甲认为是7310,乙认为是9310.现有两种定义： ①若实数x y 、满足x m y m ->-，则称y 比x 接近m ；②若实数x y m 、、，且10,10,10s t u x y m ===，满足s u t u ->-，则称y 比x 接近m ；请你任选取其中一种定义来判断哪个同学的近似值更接近MN，并说明理由.20.已知数列{}n a 和{}n b 的通项公式分别为()*36,27n n a n b n n N =+=+∈，将集合{}*,nx x a n N =∈⋃{}*,nx x b n N =∈中的元素从小到大依次排列，构成数列123,,,,,nc c c c ；将集合{}*,nx x a n N =∈⋂{}*,nx x b n N =∈中的元素从小到大依次排列，构成数列123,,,,,nd d d d .（1）求数列{}n d 的通项公式()h n ； （2）求数列{}n c 的通项公式()f n ；（3）设数列{}n c 的前n 项和为n S ，求数列{}n S 的通项公式()g n .21.如图，已知曲线221:12x C y -=，曲线2:1C y x =+，P 是平面上一点，若存在过点P 的直线与12C C 、都有公共点，则称P 为“12C C -型点”.（1）证明：1C 的左焦点是“12C C -型点”；（2）设直线y kx =与2C 有公共点，求证：1k >，进而证明原点不是“12C C -型点”； （3）求证：(){},1x y x y +<内的点都不是“12C C -型点”.试卷答案一、填空题1. R2. 343a π 3. 4.)1y x =>5. 15-6. 27. 38. 8 9.12π10.[]2,2-11.1592二、选择题13-16: CDCB三、解答题17. 解：因为1111ABCD A B C D -为长方体，故1111//,AB C D AB C D =，故11ABC D 为平行四边形，故11//BC AD ，显然B 不在平面1D AC 上，于是直线1BC 平行于平面1D AC ，（2）直线1BC 到平面1D AC 的距离即为点B 到平面1D AC 的距离设为h 考虑三棱锥1ABCD 的体积，以面ABC 为底面，可得111121323V ⎛⎫=⨯⨯⨯⨯= ⎪⎝⎭而1AD C ∆中，11AC D C AD ===132AD C S ∆=所以，1312=3233V h h =⨯⨯⇒=，即直线1BC 到平面1D AC 的距离为23.18．解：（1）由题意可得21sin 23sin ABC a S bc A A∆==，化简可得2223sin a bc A =，根据正弦定理化简可得：2222sin 3sin sin sin sin sin 3A B C A B C =⇒=（2）由2sin sin 31cos cos 6B C B C ⎧=⎪⎪⇒⎨⎪=⎪⎩()1cos cos sin sin cos cos 2A B B C B C B C =-+=-=3A π⇒=由余弦定理()22221cos 9322b c a A b c bc bc +-==⇒+-=又224sin sin sin sin 8sin a bc R B C B C A ⎛⎫=== ⎪⎝⎭所以b c +故而三角形的周长为3+19.解:()1log log x a g x a x==， 基本性质为：定义域：()()0,11,⋃+∞；值域：()(),00,-∞⋃+∞；单调减区间()0,1和()1,+∞ (判断奇偶性、周期性不予给分)(渐近线画出和原点挖去，需要都画好才能给满分）（2）证明： 设log ,log ,N M a a N x M y x a y a ==⇒==()log N M N M a x y a a a N M x y +⇒⋅==⇒+=⋅ 即()log log log a a a x y x y ⋅=+证明完毕（3）采用定义（Ⅰ）:361803lg 361lg38092.2410M M N N=⇒=⋅-≈73931010MN ⇒<<而()361173lg 23lg2361lg3172.54173lg10⋅=+⋅≈<=3611733611731532310231010⇒⋅<⇒⋅<+36136136193739393808080333210101010101010⇒⋅<+⇒-<-所以甲同学的近似值更接近MN采用定义（Ⅱ）：361803lg 361lg38092.2410M MN N=⇒=⋅-≈ 甲的估值 737310lg1073⇒=，乙的估值939310lg1093⇒= 因为7393lg10lglg10lg M MN N->-， 所以乙同学的近似值更接近MN20．解：（1 )设()2132166327n k a n n b k -=-+=+==+，则32k n =-，即213n n a b --= 假设26627n k a n b k =+==+，等式左侧为偶数，右侧为奇数，矛盾，{}2n n a b ∉ 所以，()2163n h n a n -==+ （2）21323123n n n n n a b b a b ---=<<<∴4321423141243,,,n n n n n n n n c a c b c a c b -----====∴数列{}n c 的通项公式()()()()()*63436542,6641674k n k k n k f n k N k n k k n k⎧+=-⎪+=-⎪=∈⎨+=-⎪⎪+=⎩等价形式:()()()()*36216542,674k n k f n k n k k N k n k +=-⎧⎪=+=-∈⎨⎪+=⎩，()()()()*31521231642,231442n n k n f n n k k N n n k +⎧=-⎪⎪+⎪==-∈⎨⎪+⎪=⎪⎩（3）令43424n n n n e c c c --=++，由（2）得知：{}n e 是等差数列∴①当()*4n k k N =∈时，2241233312334n k k n nS S e e e k k +==+++=+=②当()*41n k k N =-∈时，21133324n n n n n S S c ++++=-=③当()*42n k k N =-∈时，22233324n n n n n S S c ++++=-=④当()*43n k k N=-∈时，233213334n n n n n n nS S c c c +++++=---=∴()()()2*2*333,4,4343332,41,424n nn k k k N g n n n n k k k N ⎧+=-∈⎪⎪=⎨++⎪=--∈⎪⎩ 等价形式： ()22*221233,412277,41,122113,42121518,43k k n k k k n k g n k N k k n k k k n k ⎧+=⎪+-=-⎪=∈⎨+-=-⎪⎪+-=-⎩21．解：（1）1C的左焦点为()F ，过F的直线x =1C交于⎛ ⎝⎭，与2C交于)()1±，故1C 的左焦点为“12C C -型点”，且直线可以为x =（2）直线y kx =与2C 有交点，则()111y kxk x y x =⎧⎪⇒-=⎨=+⎪⎩，若方程组有解，则必须|1|k >；直线y kx =与1C 有交点，则()222212222y kxk x x y =⎧⇒-=⎨-=⎩， 若方程组有解，则必须212k <故直线y kx =至多与曲线1C 和2C 中的一条有交点，即原点不是“12C C -型点” （3）以1x y +=为边界的正方形区域记为D .1）若点P 在Ω的边界上，则该边所在直线与1C 相切，与2C 有公共部分，即Ω边界上的点都是“12C C -型点”；2）设()00,P x y 是区域Ω内的点，即001x y +<，假设()00,P x y 是“12C C -型点”，则存在过点P 的直线()00:l y y k x x -=-与12C C 、都有公共点.ⅰ)若直线l 与2C 有公共点，直线l 的方程化为00y kx y kx =+-，假设|1|k ≤，则0000001kx y kx kx y kx x y x x +-≤++≤++<+，可知直线l 在2:1C y x =+之间，与2C 无公共点，这与“直线l 与2C 有公共点”矛盾，所以得到：与2C 有公共点的直线l 的斜率k 满足|1|k >.ⅱ)假设l 与1C 也有公共点，则方程组002212y kx y kx x y =+-⎧⎪⎨-=⎪⎩有实数解. 从方程组得2220000()(124)0)(21k x k y kx x y kx ⎡⎤-----+=⎣⎦，()222200222000082128()1y kx y k x k y kx k k ⎡⎤-+∆=-++---⎣=⎦，由|1|k >，001x y +<因为()()000000011y kx y k x y k y k y k k -≤+⋅<+⋅-=+-<()2200y kx k ⇒-<所以，2220008)1(y kx k k ⎡⎤--+-<⎣⎦∆=，即直线l 与1C 没有公共点，与“直线l 与1C 有公共点”矛盾，于是可知P 不是“12C C -型点”. 证明完毕另解：()222200002128y kx y k x k ++∆--=令()()222000012f k x k kx y y =--+，因为001x y +<，所以|01x <，即2010x -<.于是可知()f k 的图像是开口向下的抛物线，且对称轴方程为是00201x y k x =-，因为()()()0000200011111x x x y x x x ⋅-<<--⋅+，所以()f k 在区间(),1-∞-上为增函数，在()1,+∞上为减函数. 因为()()220000111f x y x y =--≤+-<0，()()220000111f x y x y -=+-≤+-<0，所以对任意|1|k >，都有()()20,810f k f k k ⎡⎤<∆=+-<⎣⎦，即直线l 与1C 没有公共点，与“直线l 与1C 有公共点”矛盾，于是可知P 不是“12C C -型点”.证明完毕.。