山东省济宁市高三数学考试清单考点十三三视图、几何计算
三视图（高三）
三视图（⾼三）三视图⼀、简单⼏何体型【知识点1.1】三视图还原⽅法（1）画长⽅体；（2）只画俯视图，交点处并画上圆圈，因为这些点同时竞争，竞争可能垂直上拉；（3）看正视图和侧视图，看他有没有直⾓；若有直⾓，直⾓点垂直上拉，若没有，什么都不动；若不能够往上拉的点直接划掉；能够拉点与下⾯的圆圈点直接连起来；这样就还原出来了。
【知识点1.2】空间⼏何体的表⾯积与体积⑴圆柱侧⾯积；l r S ??=π2侧⾯；⑵圆锥侧⾯积：l r S ??=π侧⾯；⑶圆台侧⾯积：l R l r S ??+??=ππ侧⾯⑷体积公式：h S V =柱体；h S V ?=31锥体；()h S S S S V 下下上上台体+?+=31⑸球的表⾯积和体积：32344R V R S ππ==球球，.【例1.1】（2012·北京⾼考⽂、理科·Ｔ7）某三棱锥的三视图如图所⽰，该三棱锥的表⾯积是（）（A ）28+（B ）30+（C ）56+（D ）60+【解题指南】由三视图还原直观图，再求表⾯积.【解析】选B.直观图如图所⽰，底⾯是边长AC=5，BC=4的直⾓三⾓形，且过顶点P 向底⾯作垂线PH ，垂⾜在AC 上，AH=2，HC=3，侧（左）视图俯视图PH=4.145102ABC S ?==，154102PAC S ?=??=.因为PH ⊥⾯平ABC ⊥⾯，所以PH BC ⊥.⼜因为所以BC PC ⊥，所以145102PBC S ?==.在PAB ?中，PA PB AB ===PA 中点E ，连结BE ，则6BE =，所以162PAB S ?=?=因此三棱锥的表⾯积为10101030+++=+【变式1】（2013·⼴东⾼考⽂科·Ｔ6）某三棱锥的三视图如图所⽰，则该三棱锥的体积是（）A ．16 B ．13 C ．23D ．1 【解题指南】本题考查空间想象能⼒，要能由三视图还原出⼏何体的形状. 【解析】选B. 由三视图判断底⾯为等腰直⾓三⾓形，三棱锥的⾼为2，则111=112=323V .【变式2】(2013·浙江⾼考⽂科·T5)已知某⼏何体的三视图(单位:cm)如图所⽰,则该⼏何体的体积是 ( )A.108cm 3B.100cm 3C.92cm 3D.84cm 3 【解题指南】根据⼏何体的三视图,还原成⼏何体,再求体积. 【解析】选B.由三视图可知原⼏何体如图所⽰,所以111111ABCD A B C D M A D N V V V --=-1166334410032=??-?=. 【变式3】(2013·浙江⾼考理科·T12)若某⼏何体的三视图(单位:cm )如图所⽰,则此⼏何体的体积等于 cm 3 .【解题指南】先由三视图,画出⼏何体,再根据⼏何体求解. 【解析】由三视图可知原⼏何体如图所⽰,所以111ABC A B C M ABC V V V --=-111153345343306243232ABC ABC S S =?-=-=-= . 【答案】24 【变式4】（2011·新课标全国⾼考理科·Ｔ6）在⼀个⼏何体的三视图中，正视图和俯视图如图所⽰，则相应的侧视图可以为（）（A ）（B ）（C ）（D ）【思路点拨】由正视图和俯视图可联想到⼏何体的直观图，然后再推出侧视图.【精讲精析】选D. 由正视图和俯视图可以推测⼏何体为半圆锥和三棱锥的组合体（如图所⽰），且顶点BCA在底⾯的射影恰是底⾯半圆的圆⼼，可知侧视图为等腰三⾓形，且轮廓线为实线，故选D【变式5】（2014·四川⾼考⽂科·Ｔ4）某三棱锥的侧视图、俯视图如图所⽰，则该三棱锥的体积是（）（锥体体积公式：13V Sh=，其中S 为底⾯⾯积，h 为⾼）A ．3 B ．2 C D ．1【解题提⽰】由三视图得到该三棱锥的直观图是解决本题的关键.【解析】选D.根据所给的侧视图和俯视图，该三棱锥的直观图如下图所⽰．从俯视图可知，三棱锥的顶点A 在底⾯内的投影O 为边BD 的中点，所以AO 即为三棱锥的⾼，其体积为21213V ==.【变式6】（2014·湖南⾼考理科·Ｔ7）7．⼀块⽯材表⽰的⼏何何的三视图如图2所⽰，将该⽯材切削、打磨，加⼯成球，则能得到的最⼤球的半径等于 ( )A ．1B ．2C ．3D ．4【解题提⽰】先由三视图画出直观图，判断这个⼏何体是底⾯是边长为6，8，10的直⾓三⾓形，⾼为12的躺下的直三棱柱，底⾯的内切圆的半径就是做成的最⼤球的半径。
高考数学中的三视图与投影相关知识点
高考数学中的三视图与投影相关知识点在几何学的领域中，三视图与投影是十分重要的一部分，它们不仅仅是应用于让我们更好地看清三维物体，也是高考数学常见的考点之一。
因此，在这篇文章中，我们将深入探讨高考数学中的三视图与投影相关知识点，帮助大家更好地理解和应用相关内容。
一、三视图概述在现实生活中，很多物体都是三维的，它们有长度、宽度和高度等特征，但我们任何时候都无法同时看到物体的所有信息，因为我们的眼睛只能看到一个角度。
为了更好地看清三维物体，我们可以将其分解为三个不同的投影角度，即正面视图、左视图和顶视图，这就是三视图的概念。
在数学中，我们可以通过三个二维的视图来表示三维物体的形状，三个视图分别呈现物体的正面、左侧和顶部，这些视图给我们提供了关于物体轮廓形状的详细信息。
三维物体的三视图可以通过投影的方式得到，这也是三视图和投影密不可分的原因。
二、投影概述投影是基于投影面和投影线进行的，是将三维物体在二维平面上展示的一种方式。
在投影中，投影面和投影线的位置非常重要，它们决定了最终投影的效果和质量。
在平行投影中，投影线是垂直于投影面的直线，这种投影方式可以得到准确的形状和大小，但是它的透视感比较弱，在某些情况下无法展示物体的深度，因此在我们画高考数学的题目时需要注意使用透视投影来展示物体的深度。
透视投影是一种根据物体在空间中的位置、大小、形状等特征进行的投影方式。
在透视投影中，物体的前方向是远离投影面的方向，反之则是物体的后方向，这种方式可以更好地表现物体的深度和透视效果。
三、三视图和投影的联系三视图和投影密不可分，因为三视图是通过投影方式得到的，我们可以通过三视图来确定物体在三维空间中的位置和方向，从而得到正确的投影。
在绘制三视图时，我们需要利用的是三个视图的交点来确定物体的位置，然后再根据物体的大小和形状来确定它的轮廓。
同样，在投影中，我们也需要确定三维物体在空间中的位置和方向，然后再根据其大小和形状进行投影。
高考数学中的三视图及相关方法
高考数学中的三视图及相关方法在高考数学中，三视图是一个常见的概念。
三视图是一个物体分别从三个不同的方向所观测到的图形，通过三个视图可以确定一个物体的形状、尺寸及空间位置。
在学习三视图时，需要掌握一些相关的知识和方法。
一、投影法与投影面在学习三视图之前，需要先掌握投影法和投影面的相关概念。
投影法是指从物体上某一点出发，将光线对着投影面射出，所形成的投影。
投影面是指用来做投影的平面。
在三视图中，通常使用前、上、侧三个平面来进行投影，这三个平面分别称为主平面。
二、主视图主视图是指在三视图中，以物体的正面朝前、上面朝上、左面朝左的方向所形成的视图。
主视图常常是确定一个物体的形状和尺寸的主要依据。
三、侧视图侧视图是指在三视图中，以物体左侧面朝上、物体正面朝前、物体下侧面朝下的方向所形成的视图。
侧视图和主视图相结合，可以确定一个物体的整体形状和尺寸。
四、俯视图俯视图是指在三视图中，以物体的上部朝上、物体的前面朝下、物体的左侧面朝左的方向所形成的视图。
俯视图主要用来确定一个物体的上部结构，例如天棚、台面等。
五、三视图的绘制方法在学习三视图时，需要掌握三视图的绘制方法。
绘制三视图时，需要确定主平面，然后将物体在主平面上分别绘出主视图、侧视图、俯视图。
在绘制时，需要按比例绘制，保持各个视图之间的比例关系一致。
六、三视图的应用在实际生活中，三视图有很多应用。
例如在工程设计中，可以通过三视图来确定一个建筑物或机械设备的形状和尺寸，以便进行制造和施工。
在家具设计方面，通过三视图可以确定家具的形状和尺寸，以便进行制造和销售。
总之，三视图在数学中是一个非常重要的概念。
通过学习三视图，可以帮助我们更好地了解物体的形状、尺寸和空间位置，从而更好地进行设计、制造和施工。
通过掌握三视图的相关知识和方法，我们可以在高考数学中取得更好的成绩。
济宁职高数学高考知识点
济宁职高数学高考知识点一、集合与函数1. 集合表示与运算a. 集合的表示方法：列举法、描述法、等价关系法。
b. 集合的运算：并集、交集、差集、补集。
2. 函数与映射a. 函数的定义与性质：定义域、值域、对应关系。
b. 函数的分类：一元函数、多元函数、映射关系。
c. 函数的性质：可逆性、单调性、奇偶性。
二、数列与数学归纳法1. 数列的概念a. 数列的定义与表示方法：通项公式、递推公式。
b. 常见数列：等差数列、等比数列、等差数列的和、等比数列的和。
2. 数学归纳法a. 数学归纳法的基本思想与原理。
b. 数学归纳法的应用：证明数列的性质、不等式的成立、命题的推理。
三、平面几何1. 点、线、面的性质a. 点的性质：坐标、距离。
b. 直线的性质：斜率、截距、平行、垂直。
c. 平面的性质：倾斜角、平行关系。
2. 三角形与四边形a. 三角形的性质：角的性质、边的关系、外角与内角关系。
b. 四边形的性质：平行四边形、矩形、菱形、正方形。
四、立体几何1. 三棱锥与四棱锥a. 三棱锥的性质：顶点角、斜高、直截锥体。
b. 四棱锥的性质：侧面积、体积、截面。
2. 柱、锥、台、球a. 圆柱的性质：侧面积、体积。
b. 圆锥的性质：侧面积、体积。
c. 圆台的性质：侧面积、体积。
d. 球的性质：表面积、体积。
五、概率与统计1. 概率的基本概念a. 试验与样本空间。
b. 事件与概率。
c. 条件概率与独立性。
2. 统计与图表a. 统计指标：平均数、中位数、众数、方差。
b. 统计图表：频数分布表、频数分布图、直方图、折线图。
以上为济宁职高数学高考的一些重要知识点，希望能对你的学习和备考有所帮助。
记得多做练习题，加深对知识点的理解与应用。
祝你取得好成绩！。
高考(山东)数学知识点细目表1
（1）导数概念及其几何 ① 了解导数概念的实际背景
意义
② 理解导数的几何意义
① 能根据导数定义，求函数 y c, y x, y x2 , y x3, y 1 , y x 的 x
导数．
（2）导数的运算
② 能利用下面给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求
简单函数的导数，能求形如 f (ax b) 的复合函数的导数．
②
能利用单位圆中的三角函数线推导出
,
的正弦、余弦、正
2
切的诱导公式，能画出 y sin x, y cosx, y tan x 的图象，了解三角
函数的周期性．
③ 理解正弦函数、余弦函数在区间 0,2 上的性质（如单调性、最大值
和最小值以及与 x 轴的交点等），理解正切函数在区间 , 内的单 2 2
换
角公式，但对这三组公式不要求记忆）．
十
一 ．
（1）正弦、余弦定理 掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题．
解
三
角 形
能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有
（2）应用
关的实际问题
（1）数列的概念和简单 ① 了解数列的概念和几种简单的表示方法（列表、图象、通项公式）．
①理解命题的概念.
②了解“若 p ，则 q ”形式的命题的逆命题、否命题与逆否命题，会分析
十 （1）命题及其关系
四 ．
四种命题的相互关系．
常
用
③理解必要条件、充分条件与充要条件的意义．
逻
辑 用
（2）简单的逻辑联结词 了解逻辑联结词“或”、“且”、“非”的含义．
语
（3）全称量词与存在量 ① 理解全称量词与存在量词的意义．
山东省济宁市高三数学一轮复习 专项训练 立体几何(1)(含解析)
空间几何体的结构及其三视图和直观图1、(2013·四川卷)一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的直观图可以是( )．解析：由于俯视图是两个圆，所以排除A，B，C，故选D.2、若某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的直观图可以是( )．解析：A，B的正视图不符合要求，C的俯视图显然不符合要求，答案选D.答案：D3、若某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的直观图可以是( )．解析所给选项中，A，C选项的正视图、俯视图不符合，D选项的侧视图不符合，只有选项B符合．答案 B4、(2012·陕西卷)将正方体(如图1所示)截去两个三棱锥，得到图2所示的几何体，则该几何体的侧视图为( )．[正解] 还原正方体后，将D1，D，A三点分别向正方体右侧面作垂线，D1A的射影为C1B，且为实线，B1C被遮挡应为虚线．故选B.[答案] B5、如图，多面体ABCD－EFG的底面ABCD为正方形，FC＝GD＝2EA，其俯视图如下，则其正视图和侧视图正确的是( )．解析注意BE，BG在平面CDGF上的投影为实线，且由已知长度关系确定投影位置，排除A，C选项，观察B，D选项，侧视图是指光线从几何体的左面向右面正投影，则BG，BF的投影为虚线，故选D. 答案 D6．沿一个正方体三个面的对角线截得的几何体如图所示，则该几何体的侧视图为( )．解析给几何体的各顶点标上字母，如图1.A，E在侧投影面上的投影重合，C，G在侧投影面上的投影重合，几何体在侧投影面上的投影及把侧投影面展平后的情形如图2所示，故正确选项为B(而不是A)．答案 B7．已知正三棱锥V －ABC 的正视图、侧视图和俯视图如图所示．求出侧视图的面积．解析：根据三视图间的关系可得BC ＝23， ∴侧视图中VA ＝42－⎝ ⎛⎭⎪⎫23×32×232＝23，∴S △VBC ＝12×23×23＝6.8．如图所示的是一个零件的直观图，试画出这个几何体的三视图．解 这个几何体的三视图如图．9．如图是一个几何体的正视图和俯视图． (1)试判断该几何体是什么几何体； (2)画出其侧视图，并求该平面图形的面积；(3)求出该几何体的体积． 解 (1)正六棱锥．(2)其侧视图如图：其中AB ＝AC ，AD ⊥BC ，且BC 的长是俯视图中的正六边形对边的距离，即BC ＝3a ，AD 的长是正六棱锥的高，即AD ＝3a ，∴该平面图形的面积S ＝12 3a ·3a ＝32a 2.(3)V ＝13×6×34a 2×3a ＝32a 3.考点一 空间几何体的表面积1、如图是一个几何体的正视图和侧视图，其俯视图是面积为82的矩形．则该几何体的表面积是( )．A ．8B ．20＋8 2C ．16D ．24＋8 2解析 由已知俯视图是矩形，则该几何体为一个三棱柱，根据三视图的性质，俯视图的矩形宽为22，由面积82，得长为4，则该几何体的表面积为S ＝2×12×2×2＋22×4＋2×2×4＝20＋8 2.答案 B2、一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为________．解析 如图所示：该几何体为长为4，宽为3，高为1的长方体内部挖去一个底面半径为1，高为1的圆柱后剩下的部分．∴S 表＝(4×1＋3×4＋3×1)×2＋2π×1×1－2π×12＝38. 答案 383、如图所示，已知三棱柱ABC －A 1B 1C 1的所有棱长均为1，且AA 1⊥底面ABC ，则三棱锥B 1－ABC 1的体积为 ( )．A.312 B.34 C.612D.64解析：三棱锥B 1－ABC 1的体积等于三棱锥A －B 1BC 1的体积，三棱锥A －B 1BC 1的高为32，底面积为12，故其体积为13×12×32＝312.答案：A4、(2012·山东卷)如图，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为1，E ，F 分别为线段AA 1，B 1C 上的点，则三棱锥D 1－EDF 的体积为________．[一般解法] 三棱锥D 1－EDF 的体积即为三棱锥F －DD 1E 的体积．因为E ，F 分别为AA 1，B 1C 上的点，所以在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中△EDD 1的面积为定值12，F 到平面AA 1D 1D 的距离为定值1，所以＝13×12×1＝16.[优美解法] E 点移到A 点，F 点移到C 点，则＝＝13×12×1×1×1＝16. [答案] 165、(2013·辽宁卷)已知直三棱柱ABC －A 1B 1C 1的6个顶点都在球O 的球面上，若AB ＝3，AC ＝4，AB ⊥AC ，AA 1＝12，则球O 的半径为A.3172B ．210C.132D ．310解析：因为在直三棱柱中AB ＝3，AC ＝4，AA 1＝12，AB ⊥AC ，所以BC ＝5，且BC 为过底面ABC 的截面圆的直径，取BC 中点D ，则OD ⊥底面ABC ，则O 在侧面BCC 1B 1内，矩形BCC 1B 1的对角线长即为球的直径，所以2r ＝122＋52＝13，即r ＝132.答案：C6、(2013·新课标全国Ⅰ卷)如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8 cm ，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6 cm ，如果不计容器的厚度，则球的体积为( )．A.500π3 cm 3B.866π3 cm 3C.1 372π3 cm 3D.2 048π3cm3解析 作出该球的轴截面，如图所示，依题意BE ＝2 cm ，AE ＝CE ＝4 cm ，设DE ＝x ，故AD ＝2＋x ，因为AD 2＝AE 2＋DE 2，解得x ＝3(cm)，故该球的半径AD ＝5 cm ，所以V ＝43πR3＝500π3(cm 3)．答案 A7．(2013·广东卷)某四棱台的三视图如图所示，则该四棱台的体积是( )．A ．4 B.143 C.163 D ．6解析 由四棱台的三视图可知该四棱台的上底面是边长为1的正方形；下底面是边长为2的正方形，高为2.由棱台的体积公式可知该四棱台的体积V ＝13(12＋12×22＋22)×2＝143，故选B.答案 B8．(2012·新课标全国卷)平面α截球O 的球面所得圆的半径为1，球心O 到平面α的距离为2，则此球的体积为( )．A.6π B ．43π C ．46π D ．63π 解析如图，设截面圆的圆心为O ′，M 为截面圆上任一点，则OO ′＝2，O ′M ＝1，∴OM ＝ 2 2＋1＝3，即球的半径为3，∴V ＝43π(3)3＝43π.答案 B9．(2013·辽宁卷)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是________．解析 由三视图可知该几何体是一个圆柱内部挖去一个正四棱柱，圆柱底面圆半径为2，高为4，故体积为16π；正四棱柱底面边长为2，高为4，故体积为16，所以几何体的体积为16π－16. 答案 16π－1610．(2013·陕西卷)某几何体的三视图如图所示，则其体积为________．解析 该几何体为一个半圆锥，故其体积为V ＝13×12×π×12×22＝π3.答案π311．(2013·江苏卷)如图，在三棱柱A 1B 1C 1－ABC 中，D ，E ，F 分别是AB ，AC ，AA 1的中点，设三棱锥F －ADE 的体积为V 1，三棱柱A 1B 1C 1－ABC 的体积为V 2，则V 1∶V 2＝________.解析 设三棱柱A 1B 1C 1－ABC 的高为h ，底面三角形ABC 的面积为S ，则V 1＝13×14S ·12h ＝124Sh ＝124V 2，即V 1∶V 2＝1∶24. 答案 1∶2412．如图1，在直角梯形ABCD 中，∠ADC ＝90°，CD ∥AB ，AB ＝4，AD ＝CD ＝2，将△ADC 沿AC 折起，使平面ADC ⊥平面ABC ，得到几何体D －ABC ，如图2所示．(1)求证：BC ⊥平面ACD ； (2)求几何体D －ABC 的体积．(1)证明 在图中，可得AC ＝BC ＝22， 从而AC 2＋BC 2＝AB 2， 故AC ⊥BC ，又平面ADC ⊥平面ABC ， 平面ADC ∩平面ABC ＝AC ，BC ⊂平面ABC ，∴BC ⊥平面ACD .(2)解 由(1)可知，BC 为三棱锥B －ACD 的高，BC ＝22，S △ACD ＝2，∴V B －ACD ＝13S △ACD ·BC ＝13×2×22＝423，由等体积性可知，几何体D －ABC 的体积为423. 13．一个几何体的三视图如图所示，那么此几何体的侧面积(单位：cm 2)为 ( )．A ．48B ．64C ．80D ．120解析 据三视图知，该几何体是一个正四棱锥(底面边长为8 cm)，直观图如图，PE 为侧面△PAB 的边AB 上的高，且PE ＝5 cm.∴此几何体的侧面积是S ＝4S △PAB ＝4×12×8×5＝80 (cm 2)．答案 C14．一个几何体的三视图如图所示，其中正视图和侧视图是腰长为4的两个全等的等腰直角三角形，若该几何体的所有顶点在同一球面上，则该球的表面积是A ．12πB ．24πC ．32πD ．48π解析 该几何体的直观图如图所示，它是有一条侧棱垂直于底面的四棱锥，其中底面ABCD 是边长为4的正方形，高为CC 1＝4，该几何体的所有顶点在同一球面上，则球的直径为AC 1＝43＝2R ，所以球的半径为R ＝23，所以球的表面积是4πR 2＝4π×(23)2＝48π.答案 D15．(2013·山东卷)已知三棱柱ABC －A 1B 1C 1的侧棱与底面垂直，体积为94，底面是边长为3的正三角形．若P 为底面A 1B 1C 1的中心，则PA 与平面ABC 所成角的大小为A.5π12B.π3C.π4D.π6解析 如图，O 为底面ABC 的中心，连接PO ，由题意知PO 为直三棱柱的高，∠PAO 为PA 与平面ABC 所成的角，S △ABC ＝12×3×3×sin 60°＝334.∴＝S △ABC ×OP ＝334×OP ＝94，∴OP ＝ 3.又OA ＝32×3×23＝1，∴tan ∠OAP ＝OP OA ＝3，又0<∠OAP <π2，∴∠OAP ＝π3.答案 B侧面展开问题1、如图所示，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，△ABC 为直角三角形，∠ACB ＝90°，AC ＝4，BC ＝CC 1＝3.P 是BC 1上一动点，则CP ＋PA 1的最小值为________(其中PA 1表示P ，A 1两点沿棱柱的表面距离)． 解：由题意知，把面BB 1C 1C 沿BB 1展开与面AA 1B 1B 在一个平面上，如图所示，连接A 1C 即可．11 则A 1、P 、C 三点共线时，CP ＋PA 1最小， ∵∠ACB ＝90°，AC ＝4，BC ＝C 1C ＝3， ∴A 1B 1＝AB ＝42＋32＝5，∴A 1C 1＝5＋3＝8， ∴A 1C ＝82＋32＝73.故CP ＋PA 1的最小值为73.答案 (1)823(2)73。
山东省济宁市高三数学考试清单考点十平面向量
考点十：平面向量10．1 平面向量的概念及其线性运算考纲要求1．了解向量的实际背景．2．理解平面向量的概念和向量相等的含义．3．理解向量的几何表示．4．掌握向量加法、减法的运算，并理解其几何意义．5．掌握向量数乘的运算及其几何意义，理解两个向量共线的含义．6．了解向量线性运算的性质及其几何意义．10.2 平面向量的基本定理及坐标运算考纲要求1．了解平面向量的基本定理及其意义．2．掌握平面向量的正交分解及其坐标表示．3．会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算．4．理解用坐标表示的平面向量共线的条件．10.3 平面向量的数量积及其应用考纲要求1．理解平面向量数量积的含义及其物理意义．2．了解平面向量的数量积与向量投影的关系．3．掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算．4．能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系．5．会用向量方法解决某些简单的平面几何问题．6．会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题．高考真题示例1．（2015•山东）已知菱形ABC D的边长为a，∠ABC=60°，则=（）A．﹣a2B．﹣a2C．a2D．a22．（2012•天津）已知△ABC为等边三角形，AB=2．设点P，Q满足，，λ∈R．若=﹣，则λ=（）A．B．C．D．3．（2011•山东）设A1，A2，A3，A4是平面直角坐标系中两两不同的四点，若（λ∈R），（μ∈R），且，则称A3，A4调和分割A1，A2，已知点C（c，0），D（d，O）（c，d∈R）调和分割点A（0，0），B（1，0），则下面说法正确的是（）A．C可能是线段AB的中点B．D可能是线段AB的中点C．C，D可能同时在线段AB上D ． C ，D 不可能同时在线段AB 的延长线上4．（2011•湖北）若向量=（1，2），=（1，﹣1），则2+与的夹角等于（ ） A ．﹣B ．C ．D ．5．（2011•辽宁）已知向量=（2，1），=（﹣1，k ），•（2﹣）=0，则k=（ ） A ． ﹣12B ． ﹣6C ． 6D ． 126．（2010•山东）定义平面向量之间的一种运算“⊙”如下：对任意的，令，下面说法错误的是（ ） A ．若与共线，则⊙=0 B ．⊙=⊙C ．对任意的λ∈R ，有⊙=⊙） D ． （⊙）2+（）2=||2||27．（2009•山东）设P 是△ABC 所在平面内的一点，，则（ ） A ．B ．C ．D ．8．（2009•宁夏）已知向量=（﹣3，2），=（﹣1，0），若λ+与﹣2垂直，则实数λ的值为（ ） A ．﹣ B ．C ．﹣D ．9．（2008•山东）已知a ，b ，c 为△ABC 的三个内角A ，B ，C 的对边，向量=（，﹣1），=（cosA ，sinA ）．若⊥，且αcosB+bcosA=csinC ，则角A ，B 的大小分别为（ ） A ． ，B ．，C ．，D ．，10．（2007•山东）已知=（1，n ），=（﹣1，n ），若2﹣与垂直，则||=（ ） A ． 1 B ． C ． 2 D ． 4 11．（2007•山东）在直角△ABC 中，CD 是斜边AB 上的高，则下列等式不成立的是（ ）A．B．C．D．参考答案1．D 2．A 3．D 4．C 5．D 6．B 7．B 8．A 9．C 10．C 11．C。
高三数学三轮复习(表格形式)--12-空间几何体和三视图,表面积及体积
Sgh
棱台 圆柱
S全 S侧 S上底 S下底 S全 2 r2 2 rh
空间 几何 体暴 露在
V 1 (S ' S 'S S)h 3 V r2h
S S'
1 V台 3 (S ' S 'S S)h
圆锥
S全 (r '2 r2 r 'l rl)
空间几何体与三视图
三 正视图 光线从几何体的前面向后面正投影得到的投影图。 视 侧视图 光线从几何体的左面向右面正投影得到的投影图。 图 俯视图 光线从几何体的上面向下面正投影得到的投影图。
正视图与侧视图高平齐； 侧视图与俯视图宽相等； 俯视图与正视图长对正。
直 观 图
空 间 几 何表 体面
积 和 体 积
画法 使用斜二测画法画出空间几何体的底、再画出空间几何体的其它部分。
面积
关系 水平放置的平面图形的面积为 S ，使用斜二测画法画出的直观图的面积为 S ' ，则 S 2 2S ' 。
表面积
体积
棱柱
S全 S侧 2S底
V S底 gh高
棱锥
S全 S侧 S底
表面 积即
V
1 3
S底
gh高
V锥
1 3
面的 面积 之和。
V 1 (r '2 r 'r r2 )h 3
S'0
V柱 Sgh
球
S球 4 R2
V球
4 3
R3
1
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考点十三：三视图、几何计算13.1 空间几何体的结构及其三视图与直观图考纲要求1．认识柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征，并能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构．2．能画出简单空间图形(长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱等的简易组合)的三视图，能识别上述三视图所表示的立体模型，会用斜二测画法画出它们的直观图．3．会用平行投影与中心投影两种方法画出简单空间图形的三视图与直观图，了解空间图形的不同表示形式．13.2 空间几何体的表面积与体积考纲要求了解柱体、锥体、台体、球体的表面积和体积的计算公式(不要求记忆公式) 高考真题示例1．（2011·安徽高考理科·Ｔ6）一个空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ）（A ）48 （B ）32+178 （C ）48+178 （D ）80【思路点拨】将三视图还原成直观图，可以知道这是一个底面为等腰梯形的直棱柱，之后利用面积公式，求出六个面的面积.【精讲精析】选C.这是一个底面为等腰梯形的直棱柱,两底面等腰梯形的面积和为，）（24442212=⨯+⨯⨯四个侧面的面积为，）（178********+=++⨯所以该几何体的表面积为48+178.2.（2011·新课标全国高考理科·Ｔ6）在一个几何体的三视图中，正视图和俯视图如图所示，则相应的侧视图可以为（）（A ） （B ） （C ） （D ）【思路点拨】由正视图和俯视图可联想到几何体的直观图，然后再推出侧视图. 【精讲精析】选D. 由正视图和俯视图可以推测几何体为半圆锥和三棱锥的组合体（如图所示），且顶点在底面的射影恰是底面半圆的圆心， 可知侧视图为等腰三角形，且轮廓线为实线，故选DBCAS3.（2011·北京高考文科·T5）某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥的表面积是（ ） （A ）32 （B ）16162+ （C ）48 （D ）16322+【思路点拨】作出直观图，先求出斜高，再计算表面积. 【精讲精析】选B.斜高为222222+=，表面积为214(422)4161622⨯⨯⨯+=+.4.（2011·湖南高考理科·T3）设如图所示是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（ ）（A ）1229+π （B ）1829+π（C ）429+π （D ）1836+π【思路点拨】本题考查学生的空间想象能力和计算几何体的体积的 能力.【精讲精析】选B.由三视图可以得到几何体的上面是一个半径为23 的球，下面是一个底面边长为3高为2的正四棱柱.故体积为3439332+()18.322π⨯⨯⨯=+π5．（2011·陕西高考理科·T5）某几何体的三视图如图所示，则它的体积 是（ ） （A ）283π-正（主）视图 侧（左）视图 俯视图2443 32正视图侧视图俯视图（B ）83π- （C ）82π-（D ）23π 【思路点拨】根据已知的三视图想象出空间几何体，然后由几何体的组成和有关几何体体积公式进行计算．【精讲精析】选A ．由几何体的三视图可知该几何体为一个组合体，即一个正方体中间去掉一个圆锥体，所以它的体积是3212212833V ππ=-⨯⨯⨯=-.6.（2011·浙江高考理科·Ｔ3）若某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的直观图可以是（ ）【思路点拨】逐个检验筛查.【精讲精析】选D.由正视图来看符合条件的只有C,D.从俯视图来看只有D 选项中的几何体符合.7.（2011·天津高考理科·T10）一个几何体的三视图如图所示（单位：m ），则该几何体的体积为__________3m 【思路点拨】由三视图正确判断出组合体的图形是关键.【精讲精析】组合体的底座是一个长、宽、高分别为3、2、1的长方体，上面是一个底面半径为1，高为3的圆锥，所以所求的体积是：211332163=+=⨯⨯+⨯⨯=+V V V ππ圆锥长方体【答案】6+π8.（2011·新课标全国高考理科·Ｔ15）已知矩形ABCD 的顶点都在半径为4的球O 的球面上，且6,23AB BC ==,则棱锥O ABCD -的体积为 __ .【思路点拨】画出图形，找出球心位置，然后数形结合求出棱锥O-ABCD 的 体积.【精讲精析】 如图所示，OO '垂直于矩形ABCD 所在的平面，垂足为O '， 连接O 'B ，OB ，则在Rt ∆OO B '中，由OB ＝4, 23O B '=，可得OO '＝2,1162328 3.33O ABCD V S OO -'∴=⋅=⨯⨯⨯= 【答案】839.（2011·新课标全国高考文科·Ｔ16）已知两个圆锥有公共底面，且两个圆锥的顶点和底面的圆周都在同一个球面上，若圆锥底面面积是这个球面面积的163，则这两个圆锥中，体积较小者的高与体积较大者的高的比值为________【思路点拨】画出图形，利用数形结合，然后利用球及圆的性质求解. 【精讲精析】如图设球的半径为R ，圆锥的底面 圆半径为r ，则依题意得223416r R ππ=⨯，即3cos ,2r O CO R '=∠= 130,2O CO OO R ''∴∠=︒∴=，11,22AO R R BO R R ''∴=-=+, 112.332RAO BO R '∴==' 【答案】1310. （2011·福建卷理科·Ｔ12）三棱锥P-ABC 中，PA ⊥底面ABC ，PA=3，底面ABC 是边长为2的正三角形，则三棱锥P-ABC 的体积等于______. 【思路点拨】利用公式13P ABC ABC V S PA -∆=⋅⋅求体积. 【精讲精析】由题意得：211323 3.334P ABC ABC V S PA -∆=⋅⋅=⨯⨯⨯= 【答案】311.（2010·浙江高考文科·Ｔ8）若某几何体的三视图 （单位：cm ）如图所示，则此几何体的体积是（ ）（A ）3523cm 3 （B ）3203cm 3（C ）2243cm 3 （D ）1603cm3【命题立意】本题主要考查了对三视图所表达的空间几何体的 识别以及几何体体积的计算，属容易题.【思路点拨】解答本题要先由三视图，想象出直观图，再求体积.【规范解答】选B.此几何体上方为正四棱柱、下方为四棱台.所以其体积为22231320422(4848)33V cm =⨯+⨯++⨯=（cm 3）.12.（2010 ·海南宁夏高考·理科T10）设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱的长为a ，顶点都在一个球面上，则该球的表面积为（ ）（A ）2a π （B ）273a π （C ）2113a π （D ）25a π 【命题立意】本小题主要考查了几何体的外接球问题.【思路点拨】找出球与棱柱的相应关系，找出球的半径与三棱柱棱长之间的关系. 【规范解答】选Ｂ.设球心为O ，设正三棱柱上底面为ABC ∆，中心为O '，因为三棱柱所有棱的长为a ，则可知OO ' 2a =，33O A a '=，又由球的相关性质可知，球的半径22216R OO O A a ''=+=，所以球的表面积为22743R a ππ=，故选Ｂ.13.（2010·天津高考文科·Ｔ12）一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为 .【命题立意】本题主要考查三视图的基础知识，和柱体体积的计算，属于容易题.【思路点拨】由三视图还原几何体的形状.【规范解答】由俯视图可知该几何体的底面为直角梯形，则由正视图和侧视图可知该几何体的高为1，结合三个视图可知该几何体是底面为直角梯形的直四棱柱，所以该几何体的体积为1+=2⨯⨯（12）213. 【答案】314. （2013·山东高考文科·Ｔ4）一个四棱锥的侧棱长都相等，底面是正方形，其正（主）视图如图所示，该四棱锥侧面积和体积分别是（ ）A.45,8B.845,3 C.84(51),3+ D. 8,8 【解题指南】本题考查空间几何体的三视图及表面积和体积公式. 【解析】选B.由图知，此棱锥高为2，底面正方形的边长为2，3822231=⨯⨯⨯=V ,侧面积需要计算侧面三角形的高51222=+=h ，5452214=⎪⎭⎫⎝⎛⨯⨯⨯=侧S .15. （2013·广东高考理科·Ｔ5）某四棱台的三视图如图所示，则该四棱台的体积是（ ）A ．4B ．143 C ．163D ．6 【解题指南】本题考查空间想象能力与台体体积公式，应首先还原出台体形状再计算. 【解析】选B. 四棱台的上下底面均为正方形，两底面边长和高分别为1,2,2，111414142333V S S S S h =++=++⨯=下下棱台上上（）（）.16. （2013·辽宁高考文科·Ｔ10）与（2013·辽宁高考理科·Ｔ10）相同已知三棱柱111ABC A B C -的6个顶点都在球O 的球面上，若13,4,,12,AB AC AB AC AA ==⊥=，则球O 的半径为（ ）31713..210..31022A B C D【解题指南】对于某些简单组合体的相接问题，通过作出截面，使得有关的元素间的数量关系相对集中在某个平面图形中。
【解析】选C.由题意，结合图形，经过球心O 和三棱柱的侧棱中点的大圆，与三棱柱的侧棱垂直，三棱柱的底面三角形ABC 为直角三角形，其外接圆的圆心O '为其斜边BC 的中点，连接,,OA OO O A '',由勾股定理，222OA O O O A ''=+ 其中1115,6,222OA R OO AA O A BC ''=====,所以球O 的半径为225136().22OA R ==+=17. （2013·新课标Ⅰ高考理科·Ｔ6）如图,有一个水平放置的透明无盖的正方体容器,容器高8cm,将一个球放在容器口,再向容器内注水,当球面恰好接触水面时测得水深为6cm,如果不计容器的厚度,则球的体积为 ( )A.33500cm π B. 33866cm πC.331372cm π D. 332048cm π【解题指南】结合截面图形,构造直角三角形,利用勾股定理列出关于球半径的方程,求出球半径,再利用334R V π=求出球的体积. 【解析】选A. 设球的半径为R,由勾股定理可知， 2224)2(+-=R R ,解得5=R ，所以球的体积332445005()333V R cm πππ==⨯=. 18.(2013·浙江高考文科·T5)已知某几何体的三视图(单位:cm)如图所示,则该几何体的体积是 ( )A.108cm 3B.100cm3C.92cm 3D.84cm 3【解题指南】根据几何体的三视图,还原成几何体,再求体积. 【解析】选B.由三视图可知原几何体如图所示,所以111111ABCD A B C D M A D N V V V --=-1166334410032=⨯⨯-⨯⨯⨯⨯=.19. （2013·新课标Ⅰ高考文科·Ｔ11）与（2013·新课标Ⅰ高考理科·Ｔ8）相同某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为 ( )A.16+8πB.8+8πC.16+16πD.8+16π【解题指南】观察三视图，根据三视图确定几何体的构成，利用圆柱及长方体的体积公式求解.【解析】选A.由三视图可知,该几何体是一个长方体和一个半圆柱组成的几何体,所以体积为12×π×22×4+2×2×4=16+8π. 20. （2013·辽宁高考理科·Ｔ13）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是_______.【解题指南】由三视图知该几何体是一个简单的组合体，一个圆柱的内部被挖去一个长方体。