8.5二阶常系数线性微分方程
微分方程的二阶常系数线性方程与特解求解
微分方程的二阶常系数线性方程与特解求解微分方程是数学中重要的一门分支，广泛应用于物理、工程、经济等领域。
其中，二阶常系数线性微分方程是一类常见且重要的微分方程类型。
在本文中，我们将探讨如何求解二阶常系数线性微分方程以及特解的求解方法。
首先，我们来了解一下什么是二阶常系数线性微分方程。
二阶常系数线性微分方程的一般形式为：$$\frac{d^2y}{dx^2} + a\frac{dy}{dx} + by = f(x)$$其中，$a$和$b$是常数，$f(x)$是关于自变量$x$的函数。
这个方程中的未知函数是$y(x)$，我们的目标是求解$y(x)$的表达式。
要求解二阶常系数线性微分方程，我们可以先求解其对应的齐次方程，再找到特解，最后将齐次方程的通解与特解相加得到原方程的通解。
齐次方程是指当等号右边的$f(x)$为零时的方程，即：$$\frac{d^2y}{dx^2} + a\frac{dy}{dx} + by = 0$$齐次方程的解可以通过特征方程来求解。
特征方程是将齐次方程中的导数项全部移到左边，并将未知函数$y(x)$表示为指数函数$e^{rx}$的形式得到的方程。
假设$y(x) = e^{rx}$，代入齐次方程中得到：$$r^2e^{rx} + are^{rx} + be^{rx} = 0将$e^{rx}$提取出来得到：$$e^{rx}(r^2 + ar + b) = 0$$由指数函数的性质可知，$e^{rx}$不可能为零，所以我们得到一个关于$r$的二次方程：$$r^2 + ar + b = 0$$解这个二次方程可以得到两个不同的解$r_1$和$r_2$。
这两个解可以是实数或复数。
根据这两个解，我们可以得到齐次方程的通解：$$y_h(x) = C_1e^{r_1x} + C_2e^{r_2x}$$其中，$C_1$和$C_2$是常数。
接下来，我们需要找到二阶常系数线性微分方程的特解。
特解是指使得原方程成立的一个特定解。
二阶常系数线性微分方程
一、二阶常系数线性微分方程
1、二阶常系数线性微分方程的概念 、二阶常系数线性微分方程的概念 形如 y′′ + py′ + qy = f (x) （1） ）
的方程 (其中 p , q 为常数 ),
称为二阶常系数线性微分方程. 称为二阶常系数线性微分方程.
当f ( x ) ≡ 0时，
方程 (1) 称为二阶常系数非齐次线性微分方程 称为二阶常系数非齐次线性微分方程. 当f ( x ) ≡ 0时， y′′ + py′ + qy = 0
*
的 个 解, Y 是 (2)对 的 次 程 的 解 一 特 , (2)对 程(1) (1)的 解 与 应 齐 方 (1) 通 是二阶非齐次线性微分方程(2) (2)的 那么y = Y + y 是二阶非齐次线性微分方程(2)的
*
通解. 通解.
定理4 定理 4
非齐 次方程(2)的 端 f (x)是几 (2)的 设 次方程 (2) 右 个函
2i
y = eαx (C1 cosβx + C2 sinβx). 得齐次方程的通解为
4、典型实例 、
特征方程的两个根 r1 ,r2 方程y ′′ + py ′ + qy = 0的通解
实根 r1 ≠ r2 实根 r1 = r2
一对共轭复根 r1, 2 = α ± iβ
y = C1e r1 x + C 2 e r2 x
例2
. 求方程 y′′ + 2 y′ + 5 y = 0的通解
解 特征方程为 特征根为
r 2 + 2r + 5 = 0 ,
r， = −1± 2i, 12
故所求通解为 y = e − x (C1 cos 2 x + C 2 sin 2 x ).
二阶常系数线性微分方程的解法
二阶常系数齐次线性方程解的性质 回顾
一阶齐次线性方程 y P( x) y 0 (1)
1、方程(1)的任意两个解的和仍是(1)的解； 2、方程(1)的任意一个解的常数倍仍是(1)的解；
2
二阶常系数齐次线性方程解的性质 y ay by 0 (2)
1、方程(2)的任意两个解的和仍是(2)的解； 2、方程(2)的任意一个解的常数倍仍是(2)的解；
Q( x) Qm ( x) , 即 y Qm ( x) erx 情形2 若 r 是特征方程的单根, 即 r2 ar b 0 ,
而 2r a 0 , 则令 Q( x) xQm ( x) , 即
y xQm ( x)erx
14
Q (2r a)Q (r 2 ar b)Q Pm ( x) (*) 情形3 若 r 是特征方程的二重根, 即 r2 ar b 0 ,
2
2
此时原方程的通解为
y
(C1
C 2 x)e2x
1 2
x 2e2x
；
Q( x) Ax2 , Q Pm ( x) , 2 A 1
21
y 4 yAe x ,
代入原方程,得
A
(
1 2)2
,
即特解为
y
(
1 2)2
e
x
,
此时原方程的通解为
于是 y x( 1 x 1)e2x ，
2
2
原方程通解为
y
C1e x
C 2e2 x
x(1 2
x
1) e2 x
.
18
例6 求微分方程 y 6 y 9 y x e3x 的通解.
解 特征方程 2 6 9 0 , 特征根 1,2 3 ，
对应齐次方程通解 Y (C1 C2 x)e3x . 因为 r 3 是二重特征根,
二阶线性常系数微分方程
令zu
0
y 1 z ( 2 y 1 P y 1 ) z f (一阶线性方程)
设其通解为 zC 2Z (x)z(x)
积分得
u C 1 C 2 U (x ) u (x )
由此得原方程③的通解: y C 1 y 1 ( x ) C 2 U ( x ) y 1 ( x ) u ( x ) y 1 ( x )
因此特y 原征 方p 方程y y 程的 e 通q r 2y 解x ( C 为p0 1 rc (qp o ,x q 0为 C s 2 s常 )ix ) n 数
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小结: ypyqy0(p ,q 为常 ) 数
特征方程: r2prq0, 特征:r根 1,r2
第五节
第八章
二阶常系数线性微分方程
y p y q y f( x )( p ,q 是常数）
一、二阶常系数齐次线性微分方程 二、二阶常系数非齐次线性微分方程
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一、二阶线性常系数齐次微分方程
ypyqy0(p ,q 为常 ) 数
基本思路: 求解常系数线性齐次微分方程
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例5. 求 x 2 y 方 ( x 2 ) ( 程 x y y ) x 4 的通解. 解: 对应齐次方程为 x 2 y (x 2 )(xy y ) 0
由观察可知它有特解: y1x, 令 yxu(x),代入非齐次方程后化简得
uux 解上述可降阶微分方程,可得通解:
y * e x [Q (x ) Q (x )]
y * e x [2 Q ( x ) 2 Q ( x ) Q ( x ) ]
代入原方程 , 得
(整理)二阶常系数线性微分方程的解法word版.
第八章 8.4讲第四节 二阶常系数线性微分方程一、二阶常系数线形微分方程的概念形如 )(x f qy y p y =+'+'' (1)的方程称为二阶常系数线性微分方程.其中p 、q 均为实数,)(x f 为已知的连续函数.如果0)(≡x f ,则方程式 (1)变成0=+'+''qy y p y (2)我们把方程(2)叫做二阶常系数齐次线性方程,把方程式(1)叫做二阶常系数非齐次线性方程. 本节我们将讨论其解法.二、二阶常系数齐次线性微分方程1．解的叠加性定理1 如果函数1y 与2y 是式(2)的两个解, 则2211y C y C y +=也是式(2)的解,其中21,C C 是任意常数.证明 因为1y 与2y 是方程(2)的解,所以有0111=+'+''qy y p y 0222=+'+''qy y p y 将2211y C y C y +=代入方程(2)的左边,得)()()(221122112211y C y C q y C y C p y C y C ++'+'+''+'' =0)()(22221111=+'+''++'+''qy y p y C qy y p y C 所以2211y C y C y +=是方程(2)的解.定理1说明齐次线性方程的解具有叠加性.叠加起来的解从形式看含有21,C C 两个任意常数,但它不一定是方程式(2)的通解.2.线性相关、线性无关的概念设,,,,21n y y y 为定义在区间I 内的n 个函数,若存在不全为零的常数,,,,21n k k k 使得当在该区间内有02211≡+++n n y k y k y k , 则称这n个函数在区间I 内线性相关,否则称线性无关.例如 x x 22sin ,cos ,1在实数范围内是线性相关的,因为0sin cos 122≡--x x又如2,,1x x 在任何区间(a,b)内是线性无关的,因为在该区间内要使 02321≡++x k x k k必须0321===k k k .对两个函数的情形,若=21y y 常数, 则1y ,2y 线性相关,若≠21y y 常数, 则1y ,2y 线性无关.3.二阶常系数齐次微分方程的解法定理 2 如果1y 与2y 是方程式(2)的两个线性无关的特解,则212211,(C C y C y C y +=为任意常数)是方程式(2)的通解.例如, 0=+''y y 是二阶齐次线性方程,x y x y cos ,sin 21==是它的两个解,且≠=x y y tan 21常数,即1y ,2y 线性无关, 所以 x C x C y C y C y cos sin 212211+=+=( 21,C C 是任意常数)是方程0=+''y y 的通解.由于指数函数rxe y =(r 为常数)和它的各阶导数都只差一个常数因子,根据指数函数的这个特点,我们用rxe y =来试着看能否选取适当的常数r ,使rx e y =满足方程(2).将rx e y =求导,得 rx rx e r y re y 2,=''='把y y y ''',,代入方程(2),得0)(2=++rx eq pr r 因为0≠rx e , 所以只有 02=++q pr r (3)只要r 满足方程式(3),rx e y =就是方程式(2)的解.我们把方程式(3)叫做方程式(2)的特征方程,特征方程是一个代数方程,其中r r ,2的系数及常数项恰好依次是方程(2)y y y ,,'''的系数. 特征方程(3)的两个根为 2422,1q p p r -±-=, 因此方程式(2)的通解有下列三种不同的情形. (1) 当042>-q p 时，21,r r 是两个不相等的实根. 2421q p p r -+-=,2422q p p r ---= x r x r e y e y 2121,==是方程(2)的两个特解,并且≠=-x r r e y y )(2121常数,即1y 与2y 线性无关.根据定理2,得方程(2)的通解为 x r x r e C e C y 2121+=(2) 当042=-q p 时, 21,r r 是两个相等的实根. 221p r r -==,这时只能得到方程(2)的一个特解x r e y 11=,还需求出另一个解2y ,且≠12y y 常数,设)(12x u y y =, 即 )(12x u e y x r =)2(),(21121211u r u r u e y u r u e y x r x r +'+''=''+'='. 将222,,y y y '''代入方程(2), 得 []0)()2(12111=++'++'+''qu u r u p u r u r u e x r 整理,得0])()2([12111=+++'++''u q pr r u p r u e x r由于01≠x r e , 所以 0)()2(1211=+++'++''u q pr r u p r u 因为1r 是特征方程(3)的二重根, 所以02,01121=+=++p r q pr r从而有 0=''u因为我们只需一个不为常数的解,不妨取x u =,可得到方程(2)的另一个解 x r xe y 12=.那么,方程(2)的通解为x r x r xe C e C y 1121+=即 xr e x C C y 1)(21+=.(3) 当042<-q p 时,特征方程(3)有一对共轭复根 βαβαi r i r -=+=21, (0≠β)于是 x i x i e y ey )(2)(1,βαβα-+== 利用欧拉公式 x i x e ix sin cos +=把21,y y 改写为)sin (cos )(1x i x e e e e y x x i x x i ββαβαβα+=⋅==+)sin (cos )(2x i x e e e e y x x i x xi ββαβαβα-=⋅==-- 21,y y 之间成共轭关系,取-1y =x e y y x βαcos )(2121=+, x e y y i y x βαsin )(2121_2=-= 方程(2)的解具有叠加性,所以-1y ,-2y 还是方程(2)的解,并且≠==--x x e x e y y x x βββααt a n c o s s i n 12常数,所以方程(2)的通解为 )sin cos (21x C x C e y x ββα+=综上所述,求二阶常系数线性齐次方程通解的步骤如下:(1)写出方程(2)的特征方程02=++q pr r(2)求特征方程的两个根21,r r(3)根据21,r r 的不同情形,按下表写出方程(2)的通解.例1求方程052=+'+''y y y 的通解.解: 所给方程的特征方程为0522=++r ri r i r 21,2121--=+-=所求通解为 )2sin 2cos (21x C x C e y x +=-.例 2 求方程0222=++S dt dS dtS d 满足初始条件2,400-='===t t S S 的特解.解 所给方程的特征方程为0122=++r r121-==r r通解为 te t C C S -+=)(21 将初始条件40==t S 代入,得 41=C ,于是 t e t C S -+=)4(2,对其求导得te t C C S ---=')4(22 将初始条件20-='=t S 代入上式,得 22=C所求特解为te t S -+=)24(例3求方程032=-'+''y y y 的通解.解 所给方程的特征方程为 0322=-+r r其根为 1,321=-=r r所以原方程的通解为 x x e C e C y 231+=-二、二阶常系数非齐次方程的解法1.解的结构定理3 设*y 是方程(1)的一个特解,Y 是式(1)所对应的齐次方程式(2)的通解,则*+=y Y y 是方程式(1)的通解.证明 把*+=y Y y 代入方程(1)的左端:)()()(*++*'+'+*''+''y Y q y Y p y Y=)()(*+*'+*''++'+''qy py y qY Y p Y=)()(0x f x f =+*+=y Y y 使方程(1)的两端恒等,所以*+=y Y y 是方程(1)的解. 定理4 设二阶非齐次线性方程(1)的右端)(x f 是几个函数之和,如 )()(21x f x f qy y p y +=+'+'' (4) 而*1y 与*2y 分别是方程 )(1x f qy y p y =+'+''与 )(2x f qy y p y =+'+''的特解,那么**+21y y 就是方程(4)的特解, 非齐次线性方程(1)的特解有时可用上述定理来帮助求出.2.)()(x P e x f m x λ=型的解法 )()(x P e x f m x λ=,其中λ为常数,)(x P m 是关于x 的一个m 次多项式. 方程(1)的右端)(x f 是多项式)(x P m 与指数函数xe λ乘积的导数仍为同一类型函数,因此方程(1)的特解可能为x e x Q y λ)(=*,其中)(x Q 是某个多项式函数.把 x e x Q y λ)(=*x e x Q x Q y λλ)]()(['+=*'x e x Q x Q x Q y λλλ)]()(2)([2''+'+=*''代入方程(1)并消去xe λ,得)()()()()2()(2x P x Q q p x Q p x Q m =+++'++''λλλ (5) 以下分三种不同的情形,分别讨论函数)(x Q 的确定方法:(1) 若λ不是方程式(2)的特征方程02=++q pr r 的根, 即02≠++q p λλ,要使式(5)的两端恒等,可令)(x Q 为另一个m 次多项式)(x Q m :m m m x b x b x b b x Q ++++= 2210)(代入(5)式,并比较两端关于x 同次幂的系数,就得到关于未知数m b b b ,,,10 的1+m 个方程.联立解方程组可以确定出),,1,0(m i b i =.从而得到所求方程的特解为x m e x Q y λ)(=*(2) 若λ是特征方程02=++q pr r 的单根, 即02,02≠+=++p q p λλλ,要使式(5)成立, 则)(x Q '必须要是m 次多项式函数,于是令)()(x xQ x Q m =用同样的方法来确定)(x Q m 的系数),,1,0(m i b i =.(3) 若λ是特征方程02=++q pr r 的重根,即,02=++q p λλ 02=+p λ.要使(5)式成立,则)(x Q ''必须是一个m 次多项式，可令)()(2x Q x x Q m =用同样的方法来确定)(x Q m 的系数.综上所述,若方程式(1)中的x m e x P x f λ)()(=,则式(1)的特解为x m k e x Q x y λ)(=*其中)(x Q m 是与)(x P m 同次多项式,k 按λ不是特征方程的根,是特征方程的单根或是特征方程的重根依次取0,1或2.例4 求方程x e y y 232-='+''的一个特解.解 )(x f 是x m e x p λ)(型, 且2,3)(-==λx P m对应齐次方程的特征方程为 022=+r r ,特征根根为2,021-==r r . λ=-2是特征方程的单根, 令x e xb y 20-=*,代入原方程解得230-=b 故所求特解为 x xe y 223--=* . 例5 求方程x e x y y )1(2-='-''的通解.解 先求对应齐次方程02=+'-''y y y 的通解.特征方程为 0122=+-r r , 121==r r齐次方程的通解为 x e x C C Y )(21+=.再求所给方程的特解1)(,1-==x x P m λ由于1=λ是特征方程的二重根,所以x e b ax x y )(2+=*把它代入所给方程,并约去xe 得 126-=+x b ax比较系数,得61=a 21-=b 于是 x e x x y )216(2-=* 所给方程的通解为 x e x x x C C y y y )6121(3221+-+=+=* 3.x B x A x f ϖϖsin cos )(+=型的解法,sin cos )(x B x A x f ωω+=其中A 、B 、ω均为常数.此时,方程式(1)成为x B x A q y p y ωωsin cos +=+'+'' (7)这种类型的三角函数的导数,仍属同一类型,因此方程式(7)的特解*y 也应属同一类型,可以证明式(7)的特解形式为)sin cos (x b x a x y k ωω+=*其中b a ,为待定常数.k 为一个整数.当ω±i 不是特征方程02=++q pr r 的根, k 取0;当ω±i 不是特征方程02=++q pr r 的根, k 取1;例6 求方程x y y y sin 432=-'+''的一个特解.解 1=ω，ω±i i ±=不是特征方程为0322=-+r r 的根，0=k .因此原方程的特解形式为x b x a y sin cos +=* 于是 x b x a y cos sin +-=*'x b x a y sin cos --=*''将*''*'*y y y ,,代入原方程，得⎩⎨⎧=--=+-442024b a b a解得 54,52-=-=b a原方程的特解为: x x y sin 54cos 52--=*例7 求方程x e y y y x sin 32+=-'-''的通解.解 先求对应的齐次方程的通解Y .对应的齐次方程的特征方程为 0322=--r r3,121=-=r rx x e C e C Y 321+=-再求非齐次方程的一个特解*y .由于x e x x f -+=2cos 5)(,根据定理4,分别求出方程对应的右端项为,)(1x e x f =x x f sin )(2=的特解*1y 、*2y ,则 **+=*21y y y 是原方程的一个特解.由于1=λ,ω±i i ±=均不是特征方程的根,故特解为)sin cos (21x c x b ae y y y x ++=+=***代入原方程,得x e x c b x c b ae x x sin sin )42(cos )24(4=-++--比较系数,得14=-a 024=+c b 142=-c b解之得 51,101,41-==-=c b a . 于是所给方程的一个特解为 x x e y x s i n 51c o s 10141-+-=* 所以所求方程的通解为x x e e C e C y Y y x x x sin 51cos 10141321-+-+=+=-*.。
. 二阶常系数线性微分方程
§7.4 二阶常系数线性微分方程二阶常系数线性微分方程的一般形式为)(x f qy y p y =+'+''．这里p 、q 是常数，)(x f 是x 的已知函数．当()f x 恒等于零时，称为二阶常系数齐次线性微分方程，否则称为二阶常系数非齐次线性微分方程．1．二阶常系数齐次线性微分方程定理1 设)(1x y y =与)(2x y y =为二阶常系数齐次线性微分方程0=+'+''qy y p y(1)的相互独立的两个特解(即)()(12x y x y 不恒等于常数)，则2211y C y C y +=为方程(1)的通解，这里1C 与2C 为任意常数．证 按假设)(1x y 与)(2x y 为方程(1)的解，所以有下式成立0111=+'+''qy y p y ，0222=+'+''qy y p y ． 又 2211y C y C y +=， 2211y C y C y '+'='， 2211y C y C y ''+''=''． 代入(1)式左端，得()()()221122112211y C y C q y C y C p y C y C qy y p y ++'+'+''+''=+'+'' 0)()(22221111=+'+''++'+''=qy y p y C qy y p y C ． 即2211y C y C y +=为方程(1)的解． 在)()(12x y x y 不恒等于常数的条件下，2211y C y C y +=中含有两个相互独立的任意常数1C 和2C ，所以2211y C y C y +=是方程(1)的通解．由此定理可知，求方程(1)的通解问题，归结为求(1)的两个相互独立的特解．为了寻找这两个特解，注意到当r 为常数时，指数函数rx y e =和它的各阶导数只相差一个常数因子，因此不妨用rx y e =来尝试．设rx y e =为方程(1)的解，则rx r y e ='，rx r y e 2=''，代入方程(1)得.0)(2=++rx e q pr r由于0e ≠rx ，所以有.02=++q pr r (2) 只要r 满足(2)式，函数rx y e =就是微分方程(1)的解．我们把代数方程(2)称为微分方程(1)的特征方程，特征方程的根称为特征根．由于特征方程是一元二次方程，故其特征根有三种不同的情况，相应地可得到微分方程(1)的三种不同形式的通解．(ⅰ) 当042>-q p 时，特征方程(8-23)有两个不相等的实根1r 和2r ，此时可得方程(1)的两个特解：x r y 1e 1=， x r y 2e 2=，且≠=-x r r y y )(1212e /常数，故x r x r C C y 21e e 21+=是方程(1)的通解．(ⅱ) 当042=-q p 时，特征方程(8-23)有两个相等的实根21r r =，此时得微分方程(1)的一个特解x r y 1e 1=．为求(1)的通解，还需求出与x r 1e 相互独立的另一解2y ．不妨设)(/12x u y y =，则)(e 12x u y x r =， )(e 121u r u y x r +'='， )2(21121u r u r u e y x r +'+''=''． 将22,y y '及2y ''代入方程(1)，得 0])()2[(e 12111=++'++'+''qu u r u p u r u r u x r ．将上式约去x r 1e 并合并同类项，得0)()2(1211=+++'++''u q pr r u p r u ．由于1r 是特征方程(2)的二重根，因此，0121=++q pr r ，且021=+p r ，于是得0=''u ．不妨取x u =，由此得到微分方程(1)的另一个特解x r x y 1e 2=，且≠=x y y 12/常数，从而得到微分方程(1)的通解为x r x r x C C y 11e e 21+=，即)(e 211x C C y x r +=．(ⅲ) 当042<-q p 时，特征方程(2)有一对共轭复根βαi r +=1，βαi r -=2．于是得到微分方程(1)的两个特解x i y )(1e βα+=，x i y )(2e βα-=．但它们是复数形式，为应用方便，利用欧拉公式θθθsin cos e i i +=将1y 和2y 改写成)sin (cos e 1x i x y x ββα+=，)sin (cos e 2x i x y x ββα-=．于是得到两个新的实函数x y y y x βαcos e )(21211=+=， x y y iy x βαsin e )(21212=-=． 可以验证它们仍是(1)的解，且≠=x y y βtan /12常数，故微分方程(1)的通解为)sin cos (e 21x C x C y x ββα+=．综上所述，求微分方程(1)通解的步骤可归纳如下：第一步 写出微分方程(1)的特征方程02=++q pr r ，求出特征根； 第二步 根据特征根的不同形式，按照下表写出微分方程(1)的通解： 表1特征方程02=++q pr r 的根21,r r 微分方程0'''=++qy py y 的通解两个不等实根21r r ≠ x r x r C C y 21e e 21+=两个相等实根21r r = x r x C C y 1e )(21+=一对共轭复根βαi r ±=2,1 )s i n c o s (e 21x C x C y x ββα+=例 1 求微分方程043=-'+''y y y 的通解．解 所给微分方程的特征方程为0432=-+r r ．特征根为121, 4.r r ==- 于是，所求微分方程的通解为x x C C y 421e e -+=．例 2 求微分方程044=+'-''y y y 的满足初始条件1|,1|00='===x x y y 的特解．解 所给微分方程的特征方程为0442=+-r r ．特征根221==r r ．故所求微分方程的通解为)(e 212x C C y x +=．求导得x x C x C C y 22212e )(e 2++='．将初始条件1|0==x y 及1|0='=x y 代入以上两式求得.1,121-==C C 故所求特解为)1(e 2x y x -=．例 3 设函数)(x f 可导，且满足⎰⎰-++=xx t t f x t t tf x x f 00d )(d )(21)(． 试求函数)(x f .解 由上述方程知(0)1f =．方程两边对x 求导得⎰-='xt t f x f 0d )(2)(． 由此可得(0)2f '=．上式两边再对x 求导得)()(x f x f -=''．这是二阶常系数齐次线性方程，其特征方程为,012=+r特征根.,21i r i r =-= 于是，所求微分方程的通解为12()cos sin .f x C x C x =+由此得.cos sin )(21x C x C x f +-='由(0)1f =，(0)2f '=得.2,121==C C 所以.sin 2cos )(x x x f +=本节介绍的求二阶常系数齐次线性微分方程通解的原理和方法，也可以用于求解更高阶的常系数齐次线性方程．例 4 求四阶微分方程08)4(='+y y 的通解．解 所给微分方程的特征方程为084=+r r ，即,0)42)(2(2=+-+r r r r 其特征根为.31,2,04,321i r r r ±=-= 于是得方程的通解).3sin 3cos (e e 43221x C x C C C y x x +++=-2．二阶常系数非齐次线性微分方程从第二节的讨论知，一阶非齐次线性微分方程的通解等于对应的齐次线性方程的通解与非齐次线性方程的一个特解之和．而二阶常系数非齐次线性微分方程具有相类似的性质．定理2 设()y y x **=是二阶常系数非齐次线性微分方程)(x f qy y p y =+'+''(3)的一个特解，而Y 为对应于方程(3)的齐次线性微分方程的通解，则y Y y *=+为方程(3)的通解．由此结论可知，二阶常系数非齐次线性微分方程的通解，可按下面三个步骤来求：错误！未找到引用源。
二阶常系数线性微分方程的解法版共11页文档
第八章 8.4讲第四节 二阶常系数线性微分方程一、二阶常系数线形微分方程的概念形如 )(x f qy y p y =+'+''(1)的方程称为二阶常系数线性微分方程.其中p 、q 均为实数,)(x f 为已知的连续函数.如果0)(≡x f ,则方程式 (1)变成0=+'+''qy y p y(2)我们把方程(2)叫做二阶常系数齐次线性方程,把方程式(1)叫做二阶常系数非齐次线性方程. 本节我们将讨论其解法.二、二阶常系数齐次线性微分方程1．解的叠加性定理 1 如果函数1y 与2y 是式(2)的两个解, 则2211y C y C y +=也是式(2)的解,其中21,C C 是任意常数. 证明 因为1y 与2y 是方程(2)的解,所以有将2211y C y C y +=代入方程(2)的左边,得所以2211y C y C y +=是方程(2)的解.定理1说明齐次线性方程的解具有叠加性.叠加起来的解从形式看含有21,C C 两个任意常数,但它不一定是方程式(2)的通解.2.线性相关、线性无关的概念设,,,,21n y y y Λ为定义在区间I 内的n 个函数,若存在不全为零的常数,,,,21n k k k Λ使得当在该区间内有02211≡+++n n y k y k y k Λ, 则称这n 个函数在区间I 内线性相关,否则称线性无关.例如 x x 22sin ,cos ,1在实数范围内是线性相关的,因为 又如2,,1x x 在任何区间(a,b)内是线性无关的,因为在该区间内要使必须0321===k k k .对两个函数的情形,若=21y y 常数, 则1y ,2y 线性相关,若≠21y y 常数, 则1y ,2y 线性无关. 3.二阶常系数齐次微分方程的解法定理 2 如果1y 与2y 是方程式(2)的两个线性无关的特解,则212211,(C C y C y C y +=为任意常数)是方程式(2)的通解.例如, 0=+''y y 是二阶齐次线性方程,x y x y cos ,sin 21==是它的两个解,且≠=x y y tan 21常数,即1y ,2y 线性无关, 所以 x C x C y C y C y cos sin 212211+=+= ( 21,C C 是任意常数)是方程0=+''y y 的通解.由于指数函数rx e y =(r 为常数)和它的各阶导数都只差一个常数因子, 根据指数函数的这个特点,我们用rx e y =来试着看能否选取适当的常数r ,使rx e y =满足方程(2).将rx e y =求导,得把y y y ''',,代入方程(2),得因为0≠rx e , 所以只有 02=++q pr r(3)只要r 满足方程式(3),rx e y =就是方程式(2)的解.我们把方程式(3)叫做方程式(2)的特征方程,特征方程是一个代数方程,其中r r ,2的系数及常数项恰好依次是方程(2)y y y ,,'''的系数.特征方程(3)的两个根为 2422,1q p p r -±-=, 因此方程式(2)的通解有下列三种不同的情形.(1) 当042>-q p 时，21,r r 是两个不相等的实根.x r x r e y e y 2121,==是方程(2)的两个特解,并且≠=-x r r e y y )(2121常数,即1y 与2y 线性无关.根据定理2,得方程(2)的通解为x r x r e C e C y 2121+=(2) 当042=-q p 时, 21,r r 是两个相等的实根. 221p r r -==,这时只能得到方程(2)的一个特解x r e y 11=,还需求出另一个解2y ,且≠12y y 常数,设)(12x u y y =, 即 将222,,y y y '''代入方程(2), 得 整理,得由于01≠x r e , 所以 0)()2(1211=+++'++''u q pr r u p r u 因为1r 是特征方程(3)的二重根, 所以从而有 0=''u因为我们只需一个不为常数的解,不妨取x u =,可得到方程(2)的另一个解那么,方程(2)的通解为即 x r e x C C y 1)(21+=. (3) 当042<-q p 时,特征方程(3)有一对共轭复根 于是 x i x i e y e y )(2)(1,βαβα-+==利用欧拉公式 x i x e ix sin cos +=把21,y y 改写为21,y y 之间成共轭关系,取方程(2)的解具有叠加性,所以-1y ,-2y 还是方程(2)的解,并且≠==--x x e x e y y x x βββααtan cos sin 12常数,所以方程(2)的通解为 综上所述,求二阶常系数线性齐次方程通解的步骤如下:(1)写出方程(2)的特征方程(2)求特征方程的两个根21,r r(3)根据21,r r 的不同情形,按下表写出方程(2)的通解.例1求方程052=+'+''y y y 的通解.解: 所给方程的特征方程为所求通解为 )2sin 2cos (21x C x C e y x +=-.例 2 求方程0222=++S dt dS dtS d 满足初始条件2,400-='===t t S S 的特解.解 所给方程的特征方程为通解为 t e t C C S -+=)(21 将初始条件40==t S 代入,得 41=C ,于是t e t C S -+=)4(2,对其求导得 将初始条件20-='=t S 代入上式,得所求特解为例3求方程032=-'+''y y y 的通解.解 所给方程的特征方程为 0322=-+r r其根为 1,321=-=r r所以原方程的通解为 x x e C e C y 231+=-二、二阶常系数非齐次方程的解法1.解的结构定理3 设*y 是方程(1)的一个特解,Y 是式(1)所对应的齐次方程式(2)的通解,则*+=y Y y 是方程式(1)的通解.证明 把*+=y Y y 代入方程(1)的左端:*+=y Y y 使方程(1)的两端恒等,所以*+=y Y y 是方程(1)的解.定理4 设二阶非齐次线性方程(1)的右端)(x f 是几个函数之和,如)()(21x f x f qy y p y +=+'+'' (4)而*1y 与*2y 分别是方程 )(1x f qy y p y =+'+''与 )(2x f qy y p y =+'+''的特解,那么**+21y y 就是方程(4)的特解, 非齐次线性方程(1)的特解有时可用上述定理来帮助求出.2.)()(x P e x f m x λ=型的解法)()(x P e x f m x λ=,其中λ为常数,)(x P m 是关于x 的一个m 次多项式.方程(1)的右端)(x f 是多项式)(x P m 与指数函数x e λ乘积的导数仍为同一类型函数,因此方程(1)的特解可能为x e x Q y λ)(=*,其中)(x Q 是某个多项式函数.把 x e x Q y λ)(=*代入方程(1)并消去x e λ,得)()()()()2()(2x P x Q q p x Q p x Q m =+++'++''λλλ(5)以下分三种不同的情形,分别讨论函数)(x Q 的确定方法:(1) 若λ不是方程式(2)的特征方程02=++q pr r 的根,即02≠++q p λλ,要使式(5)的两端恒等,可令)(x Q 为另一个m 次多项式)(x Q m :代入(5)式,并比较两端关于x 同次幂的系数,就得到关于未知数m b b b ,,,10Λ的1+m 个方程.联立解方程组可以确定出),,1,0(m i b i Λ=.从而得到所求方程的特解为(2) 若λ是特征方程02=++q pr r 的单根, 即02,02≠+=++p q p λλλ,要使式(5)成立, 则)(x Q '必须要是m 次多项式函数,于是令用同样的方法来确定)(x Q m 的系数),,1,0(m i b i Λ=.(3) 若λ是特征方程02=++q pr r 的重根,即,02=++q p λλ 02=+p λ.要使(5)式成立,则)(x Q ''必须是一个m 次多项式，可令 用同样的方法来确定)(x Q m 的系数.综上所述,若方程式(1)中的x m e x P x f λ)()(=,则式(1)的特解为其中)(x Q m 是与)(x P m 同次多项式,k 按λ不是特征方程的根,是特征方程的单根或是特征方程的重根依次取0,1或2.例4 求方程x e y y 232-='+''的一个特解.解 )(x f 是x m e x p λ)(型, 且2,3)(-==λx P m对应齐次方程的特征方程为 022=+r r ,特征根根为2,021-==r r .λ=-2是特征方程的单根, 令x e xb y 20-=*,代入原方程解得故所求特解为 x xe y 223--=* .例5 求方程x e x y y )1(2-='-''的通解.解 先求对应齐次方程02=+'-''y y y 的通解. 特征方程为 0122=+-r r , 121==r r齐次方程的通解为 x e x C C Y )(21+=. 再求所给方程的特解由于1=λ是特征方程的二重根,所以把它代入所给方程,并约去x e 得比较系数,得于是 x e x x y )216(2-=* 所给方程的通解为 x e x x x C C y y y )6121(3221+-+=+=*3.x B x A x f ϖϖsin cos )(+=型的解法,sin cos )(x B x A x f ωω+=其中A 、B 、ω均为常数. 此时,方程式(1)成为x B x A q y p y ωωsin cos +=+'+'' (7)这种类型的三角函数的导数,仍属同一类型,因此方程式(7)的特解*y 也应属同一类型,可以证明式(7)的特解形式为 其中b a ,为待定常数.k 为一个整数.当ω±i 不是特征方程02=++q pr r 的根, k 取0; 当ω±i 不是特征方程02=++q pr r 的根, k 取1; 例6 求方程x y y y sin 432=-'+''的一个特解. 解 1=ω，ω±i i ±=不是特征方程为0322=-+r r 的根，0=k .因此原方程的特解形式为于是 x b x a y cos sin +-=*' 将*''*'*y y y ,,代入原方程，得解得 54,52-=-=b a原方程的特解为: x x y sin 54cos 52--=* 例7 求方程x e y y y x sin 32+=-'-''的通解.解 先求对应的齐次方程的通解Y .对应的齐次方程的特征方程为再求非齐次方程的一个特解*y .由于x e x x f -+=2cos 5)(,根据定理4,分别求出方程对应的右端项为,)(1x e x f =x x f sin )(2=的特解*1y 、*2y ,则**+=*21y y y 是原方程的一个特解.第 11 页 由于1=λ,ω±i i ±=均不是特征方程的根,故特解为 代入原方程,得比较系数,得解之得 51,101,41-==-=c b a . 于是所给方程的一个特解为所以所求方程的通解为希望以上资料对你有所帮助，附励志名言3条：1、理想的路总是为有信心的人预备着。
二阶常系数线性微分方程
§6 二阶常系数线性微分方程
高阶线性微分方程在实际问题中应用比较多， 本节以讨论二阶线性微分方程为主，所得的结果 可以推广到二阶以上的线性微分方程。 定义 形如
d2y dy P( x) Q( x) y f ( x) 2 dx dx 的方程，称为二阶线性微分方程。
E-mail: xuxin@
(ii) 当 是单实根, 即2 + p1 + p2 = 0 , 但2 + p2 0. Q(x)是 m+1次多项式, 取常数项为零. Q(x) = x Qm(x)
y* xe Qm ( x)
x
E-mail: xuxin@
y (C1 C 2 x)e x .
因=1是特征方程的重根，Pm(x)=x+1,故特解形 式为： 2 x y* x e (ax b).
E-mail: xuxin@
代入原方程中得
6ax 2b x 1.
所以 从而有一特解为
1 1 a ,b . 6 2 1 1 y* x e ( x ). 6 2
上述结论可推广到n阶常系数非齐次线性微分方程.
E-mail: xuxin@
例6 求方程 y''+y=xcos2x 的通解. 解： 特征方程为 r2+1=0, 其根为r1,2= i, 所以对应齐次线性方程的通解为 y = C1cosx + C2sinx. 因 i =2i不是特征方程的根, P1(x)=x, Qn(x)0, 故可设特解为 y* = (ax+b)cos2x+(cx+d)sin2x y*'' = (–4ax+4c–4b)cos2x+(–4cx–4a–4d)sin2x
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通解形式
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二、二阶常系数非齐次线性微分方程
1、 f(x)Pm(x)ex型
2、f(x)ex[Pl(x)coswxPn(x)sinwx]型
方程ypyqyf(x)称为二阶常系数非齐次线性 微分方程 其中p、q是常数
二阶常系数非齐次线性微分方程的通解是对应 的齐次方程的通解yY(x)与非齐次方程本身的一个 特解yy*(x)之和
§8.5 二阶常系数线性微分方程
一、二阶常系数齐次线性微分方程 二、二阶常系数非齐次线性微分方程
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一、二阶常系数齐次线性微分方程
方 程 ypyqy0 称 为 二 阶 常 系 数 齐 次线性微分方程 其中p、q均为常数
如果y1、y2是二阶常系数齐次线性微分 方程的两个线性无关解 那么yC1y1C2y2 就是它的通解
因此所给方程的特解为 y*x 1 3
提示 [b30bx0b31]2[b0xb1]3[b0xb1] 2b03b0x3b1
2b30b0x3b21b10 3b1
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例2 求微分方程y5y6yxe2x的通解
解 齐次方程y5y6y0的特征方程为r25r 60
其根为r12 r23
因为f(x)Pm(x)exxe2x 2是特征方程的单根
yY(x)y*(x)
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❖结论
1、 f(x)Pm(x)ex 型
二阶常系数非齐次线性微分方程
有形如
ypyqyPm(x)ex
y*xkQm(x)ex
的特解 其中Qm(x)是与Pm(x)同次的多项式 而k按不是特征
方程的根、是特征方程的单根或是特征方程的的重根依次取
为0、1或2
即 (1)如果不是特征方程r2prq0的根 则 y*Qm(x)ex (2)如果是特征方程r2prq0的单根 则 y*xQm(x)ex (3)如果是特征方程r2prq0的重根 则 y*x2Qm(x)ex
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二、f(x)ex[Pl(x)coswxPn(x)sinwx]型
❖结论
二阶常系数非齐次线性微分方程
有形如
ypyqyex[Pl(x)coswxPn(x)sinwx]
y*xkex[R(1)m(x)coswxR(2)m(x)sinwx]
的特解 其中R(1)m(x)、R(2)m(x)是m次多项式 mmax{l n} 而k
解 微分方程的特征方程为
r22r10 即(r1)20 特征方程有两个相等的实根r1r21 因此微分方程的通解为yC1ex C2xex 即y(C1C2x)ex
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❖特征方程的根与通解的关系
方程r2prq0的根的情况 方程ypyqy0的通解
有两个不相等的实根 r1、r2 有两个相等的实根 r1r2
其根为r12 r23
因为f(x)Pm(x)exxe2x 2是特征方程的单根
所以非齐次方程的特解应设为
y*x(b0xb1)e2x 把它代入所给方程 得
2b0x2b0b1x
比较系数
得
b0
1 2
b11
故 y* x( 1 x 1)e2x 2
因此所给方程的通解为
y
C1e2x
C2e3x
1 2
(x2
2x)e2x
代入方程得 A 1 , B 0,C 1
所求通解为
y
2
c1
cos
x
c2
2
sin
x
1 (e 2
x
x
sin
x)
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由此可见 只要r满足代数方程r2prq0 函数yerx就是微分 方程的解
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一、二阶常系数齐次线性微分方程
❖二阶常系数齐次线性微分方程 方程ypyqy0称为二阶常系数齐次线性微分方程 其
中p、q均为常数
❖特征方程及其根 方程r2prq0叫做微分方程ypyqy0的特征方程 特征方程的求根公式为
特征方程为 r2 1 0 r1,2 i
其通解为 Y c1 cos x c2 sin x
由叠加原理知方程的特解由下面两个方程的特解 相加得到
y y ex (1)
y y cos x (2)
对于(1) y1* Ae x 对于(2) y2* x(B cos x C sin x)
原方程的特解y* y1* y2* Ae x x(B cos x C sin x)
所以非齐次方程的特解应设为
y*x(b0xb1)e2x 把它代入所给方程 得
2b0x2b0b1x
比较系数
得
b0
1 2
b11
故 y* x( 1 x 1)e2x 2
提示 2b01
齐2b次0方b1程0y5y6y0的通解为YC1e2xC2e3x
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例2 求微分方程y5y6yxe2x的通解 解 齐次方程y5y6y0的特征方程为r25r 60
r1, 2
p
p2 4q 2
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❖特征方程的根与通解的关系
方程r2prq0的根的情况 有两个不相等的实根 r1、r2
方程ypyqy0的通解 y C1er1x C2er2x
简要证明 这是因为
函数 er1x 和 er2x 都是方程的解;
er1x er2 x
e(r1 r2 ) x
不是常数
按iw(或iw)不是特征方程的根或是特征方程的单根依次
取0或1
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例3 求微分方程yyxcos2x的一个特解
解 齐次方程yy0的特征方程为r210
因为f(x)ex[Pl(x)coswxPn(x)sinwx]xcos2x iw2i不是
特征方程的根 所以所给方程的特解应设为
y*(axb)cos2x(cxd)sin2x
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一、二阶常系数齐次线性微分方程
❖二阶常系数齐次线性微分方程 方程ypyqy0称为二阶常系数齐次线性微分方程 其
中p、q均为常数
分析 考虑到当y、 y、 y为同类函数时 有可能使ypyqy恒
等于零 而函数erx具有这种性质 所以猜想erx是方程的解 将yerx代入方程ypyqy0得 (r2prq)erx0
有一对共轭复根 r1, 2i
y C1er1x C2er2x y C1er1x C2xer1x
yex(C1cosxC2sinx)
例1 求微分方程y2y3y0的通解
解 微分方程的特征方程为
r22r30 即(r1)(r3)0 特征方程有两个不相等的实根r11 r23 因此微分方程的通解为yC1exC2e3x
有一对共轭复根 r1, 2i
y C1er1x C2er2x y C1er1x C2xer1x
yex(C1cosxC2sinx)
例 3 求微分方程y2y5y 0的通解
解 微分方程的特征方程为
r22r50
特征方程的根为r112i r212i 是一对共轭复根 因此微分方程的通解为yex(C1cos2xC2sin2x)
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❖特征方程的根与通解的关系
方程r2prq0的根的情况 方程ypyqy0的通解
有两个不相等的实根 r1、r2 有两个相等的实根 r1r2
有一对共轭复根 r1, 2i
y C1er1x C2er2x y C1er1x C2xer1x
yex(C1cosxC2sinx)
例2 求方程y2yy0的通解
即 xer1x 是方程的解;
er1x(2r1 p) xer1x(r12 pr1q) 0
xer1x er1x
x
不是常数
即 er1x 与 er2x 线性无关
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❖特征方程的根与通解的关系
方程r2prq0的根的情况 方程ypyqy0的通解
有两个不相等的实根 r1、r2 有两个相等的实根 r1r2
有一对共轭复根 r1, 2i
y C1er1x C2er2x y C1er1x C2xer1x
yex(C1cosxC2sinx)
简要证明 因为函数y1e(i)x和y2e(i)x都是方程的解
而
ex
cos
x
1 2
(
y1
y2)
ex
sin
x
1 2i
(
y1
y2)
故excosx和exsinx也是方程的解;
函数excosx与exsinx的比值为cotx 不是常数
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例1 求微分方程y2y3y3x1的一个特解
解 齐次方程y2y3y0的特征方程为r22r30
因为f(x)Pm(x)ex3x1 0不是特征方程的根
所以非齐次方程的特解应设为
y*b0xb1 把它代入所给方程 得
3b0x2b03b13x1
比较两端 x 同次幂的系数
得 b01
b1
1 3
故excosx和exsinx是方程的线性无关解
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❖特征方程的根与通解的关系