二阶常系数线性微分方程的通解公式
二阶常系数微分方程解法
二阶常系数微分方程解法微分方程是数学中一个非常重要的部分，它描述了很多现实生活和科学问题。
其中，二阶常系数微分方程是应用广泛的一种类型的微分方程，其解法也相对较为简单，下面将详细介绍解这类微分方程的方法。
一、二阶常系数微分方程的定义和形式二阶常系数微分方程指的是形如 y''+ay'+by=f(x) 的微分方程，其中 y、f(x)均为函数，a和b均为常数。
这类微分方程中，y”表示 y 对自变量 x 的二次导数，y'表示 y 对 x 的一次导数。
二、特征方程法解二阶常系数微分方程最常用的方法是特征方程法。
根据 y=Ae^{mx} 这种形式，我们可以将 y" 和 y' 带入 y 中，得到以下等式：(Ae^{mx})''+a(Ae^{mx})'+bAe^{mx}=0化简后可得：m^2+am+b=0以上所得到的方程式称为特征方程，解特征方程的根 m_{1}, m_{2} 就可以得到二阶常系数微分方程的通解。
1、特征方程有两个不相等的实根如果特征方程有两个不相等的实根 m_{1} 和 m_{2}，那么通解为：y=C_{1}e^{m_{1}x}+C_{2}e^{m_{2}x}其中，C_1、C_2 为任意常数，分别由初始值条件所决定。
2、特征方程有两个相等的实根如果特征方程有两个相等的实根 m，那么通解为：y=(C_1+C_2x)e^{mx}其中，C_1、C_2 为任意常数。
3、特征方程有两个共轭复根如果特征方程有两个共轭复根α+iβ 和α-iβ，那么通解为：y=e^{αx}(C_1\cos βx+C_2\sin βx)其中，C_1、C_2为任意常数。
三、拉普拉斯变换法除了特征方程法外，拉普拉斯变换法也可以用来求解二阶常系数微分方程。
我们将 y、y' 和 y" 进行拉普拉斯变换，得到：L\{y''\}=s^2Y(s)-sy(0)-y'(0)L\{y'\}=sY(s)-y(0)L\{y\}=Y(s)将以上三个式子带入二阶常系数微分方程中，消去 Y(s)，就可以得到：s^2Y(s)-sy(0)-y'(0)+a(sY(s)-y(0))+bY(s)=F(s)其中 F(s) 为右侧函数的拉普拉斯变换。
10.5 二阶常系数线性微分方程
= C1e r1x + C2 e r2 x y
+ xC 2 )e rx y = (C 1
= eαx ( Acos βx + B sin βx) y
小结:求二阶常系数齐次线性方程 小结 求二阶常系数齐次线性方程y′′+py′+qy=0的通解 的步骤： 写出方程的特征方程： 的步骤：1、写出方程的特征方程： r2+r+q=0; 2、求出特征方程的两个根r1,r2; 按上表写出方程⑵的通解. 3、根据r1,r2，按上表写出方程⑵的通解.
2
⇒ y2 = xy1 = xe rx 故通解为： 故通解为： y = C1 y1 + C2 y2 = (C1 + xC2 )e .
rx
0的最简单形式) 的最简单形式
微积分九 微积分九③
2011-122011-12-16
8/17
⑶当△=p2-4q<0时，特征根 r1, 2 = α ±β i = e (α +iβ ) x , y2 = e (α −iβ ) x 是方程⑵的两个解 是方程⑵ 则 y1 y1 e = (α −iβ ) x = e 2 iβx ≠ 常数 ∴y 与y 线性无关 且 1 2 y2 e 现将复值函数化为实值函数形式 利用欧拉公式: 利用欧拉公式:eiθ =cosθ+isinθ,将y1与y2写为 = eαx (cos βx + i sin βx) y2 = eαx (cos βx − i sin βx) y1 作线性组合,得 作线性组合 得 i 1 αx = ( y2 − y1 ) = eαx sin β x Y1 = ( y1 + y2 ) = e cos βx Y2 2eαx cos βx 2 Y1 = cot βx ≠ 常数 也是方程⑵的解, 则Y1与Y2也是方程⑵的解, 且 = αx Y2 e sin βx 故方程的通解为： 故方程的通解为：y=C1Y1+C2Y2
§4.4.2二阶常系数线性微分方程_东南大学高等数学解析
a ib 是特征方程的单根 ②
。
例 1．求方程 y 5 y 6 y 2 x 3 的特解。
解： f (x) 2x 3 (2x 3)e0x ，
属 f (x) Pm (x)e ax 型（m 1, a 0 ） ，
特征方程为r 2 5r 6 0 ， r1 2 ，r2 3 ，
④
a 不是方程①的特征根时， （1）当 aa 2 ba c 0 ，即
∵ p m ( x ) 是一个m 次多项式，要使方程④的两端恒等，
m 次多项式 Q m (x) ， 则 Q( x ) 必定是另一个
∴设 Qm (x) A x m A1x m1 A m1x A m 。
ax 故方程 ay by cy e [Pm (x)cosbx Pn (x)sin bx]
具有如下形式的特解：
y
k (aib) x k (aib) x y1 y2 x QLe x QLe .
y x QLe
k ax
k
(aib) x
x QLe
]
Pm Pn (aib) x Pm Pn (aib) x ( )e ( )e 2 2i 2 2i
P(x)e(aib)x P(x)e(aib)x
f ( x ) P ( x )e
(aib) x
P ( x )e
(aib) x
,
Pm Pn Pm Pn Pm Pn Pm Pn i ， P(x) i， 其中 P( x ) 2 2i 2 2 2 2i 2 2 m, n} 。 是互成共轭的 L 次 多项式,而 L max{
并用同样的方法来确定Q m ( x ) 中的系数A i (i 0, 1, , m) 。
二阶常系数线性微分方程的解法
二阶常系数齐次线性方程解的性质 回顾
一阶齐次线性方程 y P( x) y 0 (1)
1、方程(1)的任意两个解的和仍是(1)的解； 2、方程(1)的任意一个解的常数倍仍是(1)的解；
2
二阶常系数齐次线性方程解的性质 y ay by 0 (2)
1、方程(2)的任意两个解的和仍是(2)的解； 2、方程(2)的任意一个解的常数倍仍是(2)的解；
Q( x) Qm ( x) , 即 y Qm ( x) erx 情形2 若 r 是特征方程的单根, 即 r2 ar b 0 ,
而 2r a 0 , 则令 Q( x) xQm ( x) , 即
y xQm ( x)erx
14
Q (2r a)Q (r 2 ar b)Q Pm ( x) (*) 情形3 若 r 是特征方程的二重根, 即 r2 ar b 0 ,
2
2
此时原方程的通解为
y
(C1
C 2 x)e2x
1 2
x 2e2x
；
Q( x) Ax2 , Q Pm ( x) , 2 A 1
21
y 4 yAe x ,
代入原方程,得
A
(
1 2)2
,
即特解为
y
(
1 2)2
e
x
,
此时原方程的通解为
于是 y x( 1 x 1)e2x ，
2
2
原方程通解为
y
C1e x
C 2e2 x
x(1 2
x
1) e2 x
.
18
例6 求微分方程 y 6 y 9 y x e3x 的通解.
解 特征方程 2 6 9 0 , 特征根 1,2 3 ，
对应齐次方程通解 Y (C1 C2 x)e3x . 因为 r 3 是二重特征根,
第二节 两个自变量的二阶线性偏微分方程
u( x, y) f ( ( x, y)) g (( x, y)) f (1x 1 y) g(2 x 2 y)
： B 4 AC 0时，
Step2: 化方程为标准型，求其通解。 Step3: 将第二步所求通解中的变量 , 换成 x, y
的函数即可。 评点该方法： 化标准型的过程很麻烦，很容易出错。但
是对于一些特殊方程，它们的标准型有一定的规律，给
求解带来很大的方便。 三、 Auxx Buxy Cuyy 0的通解求法
四、 Auxx Buxy Cuyy D( x, y)的通解求法
Auxx Buxy Cuyy D( x, y)
的齐次方程(2)的通解与(6)的特解之和。 例4：u xx 4u xy 4u yy e
y
(5)
(5)是非齐次线性方程，易得到(5)的通解等于它所对应
y
u ( y), 代入方程得到： 解：设原方程的特解为
e 4u yy e , 可以找到一个特解为 u 4 设原方程的通解为 : ey u ( x, y ) xf (2 x y) g (2 x y ) 4
y
u( x, y) xf (2 x y) g (2 x y)
例3： uxx u yy 0
2
dy 解： 特征方程： 1 0 dx ix y C1 特征线： ix y C2
u( x, y) f (ix y)) g (ix y)
： B 2 4 AC 0时，
1x 1 y c1 1x 1 y 求出特征线： ,引入变量 2 x 2 y c2 2 x 2 y 其中1 ，2，1 ，2为复数
4.6 二阶常系数齐次线性微分方程
r1
(二重根） 二重根）, 则通解为
r1,2 = α ± iβ ,
则通解为
③根据特征方程的两个根的不同形式,按照下列规则写 出微分方程的通解:
y=e
αx
( C1 cos β x + C2 sin β x ) .
3
例1 求解微分方程 解 特征方程为
y′′ + y′ − 6 y = 0.
例2 求解微分方程 y′′ + 4 y′ + 4 y 解 特征方程为
x
x x 容易验证 y1 =e 和 y2 = 2e
都是方程的解. 但函数
探索一下原因:
x
y = C1e + C2 2e ,
虽是该方程的解， 虽是该方程的解，却不是通解。 却不是通解。因为上面的函数中 虽形式上包含两个任意常数， 虽形式上包含两个任意常数，而由于
函数
ex
和
2e x 是成比例的, 因此它们的线性组合
即
y = ( C1 + C2 x ) er1x .
u′′ + ( 2r1 + p ) u′ + ( r12 + pr1 + q ) u = 0.
r12 + pr1 + q = 0, 且 2 r1 + p = 0,
因r 是特征方程的二重根，故 1 是特征方程的二重根，
㈢ p − 4q < 0. 特征方程有一对共轭复根 特征方程有一对共轭复根 r 1 , r2 ,
αx
( cos β x + i sin β x ) , ( cos β x − i sin β x ) .
y = eα x ( C1 cos β x + C2 sin β x ) .
第三节_二阶常系数线性微分方程的解法
通解的表达式
y = C1e r1 x + C 2e r2 x
y = (C1 + C 2 x ) e
r1 x
y = eαx (C 1 cos β x + C 2 sin β x )
8
例1 解
的通解. 求微分方程 y′′ − 2 y′ − 3 y = 0 的通解.
特征方程为 λ 2 − 2λ − 3 = 0 特征根为 λ1 = −1, λ2 = 3 故所求通解为
y = C 1e − x + C 2 e 3 x
例2 解
求方程 y′′ + 2 y′ + 5 y = 0的通解 .
特征方程为 λ2 + 2λ + 5 = 0
解得
λ1， = −1± 2i , 2
y = e (C1 cos 2 x + C 2 sin 2 x )
9
故所求通解为
−x
ds ds 例3 求微分方程 2 + 2 + s = 0 满足初始条件 dt dt
∗
′′ = Q′′( x )e r x + 2λ Q′( x )e r x + λ2Q( x )e r x (y )
∗
代入方程 y′′ + ay′ + by = f ( x ) ,
整理并约去 e
rx
,得
Q′′ + (2r + a)Q′ + (r 2 + ar + b)Q = Pm ( x)
(*)
13
(1)
1、方程(1)的任意两个解的和仍是(1)的解； 方程(1)的任意两个解的和仍是(1)的解； (1)的任意两个解 (1)的解 2、方程(1)的任意一个解的常数倍仍是(1)的解； 方程(1)的任意一个解的常数倍仍是(1)的解； (1)的任意一个解的常数倍仍是(1)的解
2.2-二阶常系数线性微分方程的解法
∴对应的齐次方程的通解为Y e x (C1 C2 x) 。 ∵ f ( x) xe x ，属 f ( x) Pm ( x)e x 型( m 1, 1 )，
而 1是特征方程的重根，
∴设
y x2 ( A x A1 )e x
，A
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
1 6
，
A1
0
。
∴ y 1 x3ex ，
取 u( x) 0 的一个解 u( x) x ，则 y2 xerx 。
∴方程①的通解为 y C1erx C2 xerx ， 即 y erx (C1 C2 x) 。
3 ． 特 征 方 程 的 根 是 一 对 共 轭 复 数 的 情 形 。
∵ y1 e( i ) x 、 y2 e( i ) x 是方程①的特解，
将 y ， ( y ) A ， ( y ) 0 ，代入原方程后得
5A 6( A x A1 ) 6A x (6A1 5A ) 2x 3 ，有
6A 2
6
A1
5
A
3
A A1
1 3 7 9
. 故原方程的特解为 y
∴设 Qm ( x) A0 x m A1 x m1 Am1 x Am 。
把 Qm ( x) 代入 ④ 式，比较等式两端 x 同次幂的系数， 就得到以 A0 , A1 ,, Am1 , Am 作为未知数的 m 1 个方程 的联立方程组，从而可以定出这些 Ai (i 0, 1, , m) ，
且
y1 y2
e( i ) x e( i ) x
e2 i x 不为常数，它们是线性无关的，
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二阶常系数线性微分方程的通解公式，
近年来，随着网络技术的不断发展和人们日益增长的对网络技术的依赖，互联
网技术的优势日益凸显。
比如二阶常系数线性微分方程的通解公式，可以有效地解决多种网络问题。
二阶常系数线性微分方程的通解公式是数学里面的重要概念，它使计算机科学
家们能够把数学理论应用于网络方面的问题解决。
其通解公式简单来说就是一元二次方程的通解公式。
它的标准形式为：y=c11*e~(atanx)+c12*etanx。
式中c11、
c12都是常数，通过不定积分求解得出。
二阶常系数线性微分方程的通解公式具有重要的经济意义，尤其对于处理网络
问题具有重要的应用价值。
比如，在网络重构以及网络安全领域，二阶常系数线性微分方程的通解公式可以有效地解决网络数据的处理、存储以及传输问题；在通信领域，它可以有效地应用于高速网络的传输以及信息的自动处理；在可信计算领域，可以用来分布式计算、网络安全、网络备份以及网络重构等应用问题。
因此可见，二阶常系数线性微分方程的通解公式对于网络技术的发展有着至关
重要的意义，如果知道了这个公式的通解方法，那么就可以有条不紊地解决网络技术相关的复杂问题。