【浙教版】九年级数学上册：1.2.2《二次函数y=a(x+m)2+k(a≠0)的图象及其特征》课件
九年级数学上册(浙教版)课件：1.2 第1课时 二次函数y=ax2(a≠0)的图象和性质
(2)存在满足条件的点 P.当 OA＝OP 时，∵OA＝ 22＋42＝2 5， ∴P1(－2 5，0)，P2(2 5，0)；当 OA＝AP 时，过 A 作 AQ⊥x 轴于 Q， ∴PQ＝OQ＝2，∴P3(4，0)；当 PA＝PO 时，设 P 点坐标为(x，0)， 则 x2＝(x－2)2＋42，解得 x＝5，∴P4(5，0)．综上可知，所求 P 点的坐 标为 P1(－2 5，0)，P2(2 5，0)，P3(4，0)，P4(5，0)
14．如图是一抛物线形的拱桥，桥顶O离水面4 m，水面宽度AB为10 m．现
有一竹排运送一只货箱欲从桥下经过 ， 已知货箱长 10 m ， 宽 6 m ， 高 2.55 m(竹排与水平面持平)．问：此货箱能否顺利通过该桥？并说明理由．
解：能顺利通过．理由：以桥顶 O 为原点建立平面直角坐标系， 则点 A 的坐标为(－5，－4)．设抛物线的表达式为 y＝ax2， 4 4 2 则－4＝25a，∴a＝－25.∴y＝－25x .∵货箱高 2.55 m， ∴货箱顶部离桥顶 4－2.55＝1.45(m)． 4 2 当 y＝－1.45 时，－25x ＝－1.45，∴16x2＝145. 145 144 12 ∴2|x|＝ 2 > 2 ＝ 2 ＝6，∴货箱能顺利通过该桥
13．二次函数y＝ax2与直线y＝2x－1的图象交于点P(1，m)． (1)求a，m的值； (2)写出二次函数的表达式； (3)指出抛物线的顶点坐标和对称轴． 解：(1)将(1，m)代入y＝2x－1得m＝2×1－1＝1.所以P点坐标为(1， 1)．将P点坐标(1，1)代入y＝ax2得1＝a×12，得a＝1.即a＝1，m＝1 (2)二次函数的表达式：y＝x2 (3)顶点坐标为(0，0)，对称轴为y轴
10．已知二次函数y＝－2x2与y＝2x2，关于它们的图象，下列说法正确的 B 是( ) A．开口方向相同 B．对称轴相同 C．它们的最高点都是原点 D．它们没有公共点
浙教版数学九年级上册第1章《1.2 二次函数的图象(3)》课件
（3）顶点坐标是
b 2a
,
4ac 4a
b2
y
a
x
b 2a
2
4ac 4a
b2
（4）当a>0时，抛物线的开口向上，顶点是抛物线上的最低点.
当a<0时，抛物线的开口向下，顶点是抛物线上的最高点.
例题探究
【例1】求抛物线 y 1 x2 3x 5 的对称轴和顶点坐标.
2
2
解： a 1 , b 3, c 5 ,
复习回顾
【复习2】填空. 若把二次函数 y＝a(x＋m)2＋k(a≠0)的图象先向左平移 2 个单 位，再向上平移 4 个单位，得到二次函数 y＝－1(x＋1)2－1 的图 象，则 a＝___－__12_____，m＝___－__1_____，k＝_2___－__5____.
新知探究
【探究1】你能求出抛物线 y 2x2 4x 5 的顶点坐标和对称轴吗？
【例4】将函数y＝ax2＋bx＋c的图象先向右平移2个单位，再向上平 移3个单位后得到的表达式为y＝2x2－x＋3，求a＋b＋c的值．
解：∵二次函数
y＝2x 2－x ＋3
可化为
y＝2
x－1 4
2＋23， 8
∴由题意可得原二次函数的表达式为 y＝2 x－14＋2 2＋23－3， 8
整理得 y＝2x2＋7x＋6，
∴a＝2，b＝7，c＝6.
∴a＋b＋c＝2＋7＋6＝15.
学以致用
【1】将抛物线y＝x2－4x＋5先向上平移3个单位，再向左平移2个单
位后得到的抛物线的顶点坐标是( A )
A．(0，4) B．(5，－1) C．(4，4) D．(－1，－1)
学以致用
【2】一次函数 y＝ax＋b 和反比例函数 y＝c在同一平面直角坐标系中的 x
2024年浙教版数学九年级上册1.1《二次函数》教学设计
2024年浙教版数学九年级上册1.1《二次函数》教学设计一. 教材分析《二次函数》是2024年浙教版数学九年级上册的教学内容，本节课主要让学生掌握二次函数的定义、性质以及图象。
通过学习，学生能够理解二次函数在实际生活中的应用，提高解决问题的能力。
教材内容安排合理，由浅入深，逐步引导学生掌握二次函数的知识。
二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的函数知识，对一次函数和二次函数有一定的了解。
但学生在学习二次函数时，可能会觉得比较抽象，难以理解。
因此，在教学过程中，需要注重引导学生从实际问题中提炼出二次函数模型，培养学生的抽象思维能力。
三. 教学目标1.了解二次函数的定义及其一般形式；2.掌握二次函数的性质，包括开口方向、对称轴、顶点等；3.能够通过实际问题，建立二次函数模型，并解决相关问题；4.提高学生的抽象思维能力和解决问题的能力。
四. 教学重难点1.二次函数的定义及其一般形式；2.二次函数的性质，特别是开口方向、对称轴、顶点的理解；3.实际问题中二次函数模型的建立和应用。
五. 教学方法1.采用问题驱动法，引导学生从实际问题中发现二次函数的规律；2.利用数形结合法，让学生直观地理解二次函数的图象和性质；3.运用讨论法，鼓励学生积极参与，培养学生的合作意识；4.采用案例分析法，使学生能够将理论知识应用于实际问题。
六. 教学准备1.准备相关的实际问题，用于引入和巩固二次函数的知识；2.制作PPT，展示二次函数的图象和性质；3.准备一些练习题，用于让学生在课堂上练习和巩固所学知识；4.准备一些拓展问题，激发学生的思考。
七. 教学过程1.导入（5分钟）利用一个实际问题，如抛物线运动，引出二次函数的概念。
让学生观察实际问题中的数量关系，引导学生发现二次函数的规律。
2.呈现（10分钟）通过PPT展示二次函数的图象，让学生直观地了解二次函数的性质。
同时，引导学生总结二次函数的一般形式。
3.操练（10分钟）让学生根据二次函数的定义和性质，解决一些相关问题。
浙教版数学九年级上册_《二次函数》整章教材分析
第一章二次函数本章是学生学习了正比例函数、一次函数和反比例函数以后，进一步学习函数知识，是函数知识螺旋发展的一个重要环节。
二次函数是描述现实世界变量之间关系的重要的数学模型。
伽利略所发现的、通过比萨斜塔实验验证的、著名的自由落体运动公式就是二次函数刻画物体运动的最好例证，是最重要的物理学公式之一。
二次函数也是某些单变量最优化问题的数学模型，如本章所提及的求最大利润、最大面积等实际问题。
二次函数曲线——抛物线，也是人们最为熟悉的曲线之一，喷泉的水流、标枪的投掷等都形成抛物线路径，同时抛物线形状在建筑上也有着广泛的应用，如抛物线型拱桥、抛物线型隧道等。
和一次函数、反比例函数一样，二次函数也是一种非常基本的初等函数，对二次函数的研究将为学生进一步学习函数、体会函数的思想奠定基础和积累经验。
本章的主要内容有二次函数的概念、二次函数的图象、二次函数的性质和二次函数的应用。
函数是数学的核心概念，也是初中数学的基本概念，函数不仅仅可以看成变量之间的依赖关系，同时，函数的思想方法将贯穿整个数学学习过程。
学生在学习了正比例函数、一次函数和反比例函数之后学习二次函数，这是对函数及其应用知识学习的深化和提高，是学生学习函数知识的过程中的一个重要环节，起到承上启下的作用，为学生进入高中后进一步学习函数知识奠定基础。
本章的内容在日常生活和生产实际中有着广泛的应用，是培养学生数学建模和数学思想的重要素材。
二次函数的图象是它性质的直观体现，对了解和掌握二次函数的性质具有形象直观的优势，二次函数作为初中阶段学习的重要函数模型，对理解函数的性质，掌握研究函数的方法，体会函数的思想是十分重要的，因此本章的重点是二次函数的图象与性质的理解与掌握，应教会学生画二次函数图象，学会观察函数图象，借助函数图象来研究函数性质并解决相关的问题。
本章的难点是体会二次函数学习过程中所蕴含的数学思想方法，函数图象的特征和变换有及二次函数性质的灵活应用。
浙教版九年级数学上册知识点汇总
九年级（上册）1. 二次函数1.1. 二次函数把形如()0a ,,y 2≠++=是常数，其中c b a c bx ax 的函数叫做二次函数，称a 为二次项系数，b 为一次项系数，c 为常数项。
1.2. 二次函数的图象二次函数y=ax 2(a ≠0)的图象是一条抛物线，它关于y 轴对称，顶点是坐标原点。
当a>0时，抛物线的开口向上，顶点是抛物线的最低点；当a<0时，抛物线的开口向下，顶点是抛物线的最高点。
函数y=a(x-m)2+k(a ≠0)的图象，可以由函数y=ax 2的图象先向右（当m>0时）或向左（当m<0时）平移|m|个单位，再向上（当k>0时）或向下（当k<0时）平移|k|个单位得到，顶点是(m,k)，对称轴是直线x=m 。
函数y=a(x-m)2+k(a ≠0)的图象是一条抛物线，它的对称轴是直线a b 2x -=，顶点坐标是⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--a b ac a 44,2b 2 当a>0时，抛物线开口向上，顶点是抛物线上的最低点；当a<0时，抛物线开口向下，顶点是抛物线上的最高点。
1.3. 二次函数的性质二次函数y=ax 2(a ≠0)的图象具有如下性质：1.4. 二次函数的应用运用二次函数求实际问题中的最大值或最小值，首先应当求出函数表达式和自变量的取值范围，然后通过配方变形，或利用公式求它的最大值或最小值。
注意：由此求得的最大值或最小值对应的自变量的必须在自变量的取值范围内。
2. 简单事件的概率2.1. 事件的可能性把在一定条件下一定会发生的事件叫做必然事件；把在一定条件下一定不会发生的事件叫做不可能事件；把在一定条件下可能发生，也可能不发生的事件叫做不确定事件或随机事件。
2.2.简单事件的概率把事件发生可能性的大小称为事件发生的概率，一般用P表示。
事件A发生的概率记为P(A)。
必然事件发生的概率为100%，即P(必然事件)=1；不可能事件发生的概率为0，即P(不可能事件)=0；随机事件的概率介于0与1之间，即0<P(随机事件)<1.如果事件发生的各种结果的可能性相同且互相排斥，结果总数为n，事件A包含其中的结果数为m(m≤n)，则事件A发生的概率为：P(A)=m/n。
浙教版九年级数学上册《1.2.1二次函数y=ax2(a≠0)的图象》课件
②当 OA＝AP 时，OA2＝AP2，即 22＋42＝(x－2)2＋(0－4)2， 解得 x＝0(舍去)或 x＝4.∴P(4，0)． ③当 OP＝AP 时，OP2＝AP2，即 x2＝(x－2)2＋(0－4)2， 解得 x＝5.∴P(5，0)． 综上所述，当点 P 的坐标为(2 5，0)，(－2 5，0)，(4，0)或 (5，0)时，△AOP 为等腰三角形．
3．若二次函数 y＝axa2－1 的图象开口向上，则 a 的 值为( C ) A．3 B．－3 C. 3 D．－ 3
4．规定：如果一个四边形有一组对边平行，一组邻边相等，那么称此四 边形为广义菱形．根据规定判断下面四个结论： ①正方形和菱形都是广义菱形； ②平行四边形是广义菱形； ③对角线互相垂直，且两组邻边分别相等的四边形是广义菱形；
(1)求直线AB和抛物线的表达式；
解：设直线 AB 的表达式为 y＝kx＋b，∵直线 AB 过点 A(2，0)，B(1，1)，∴2kk＋＋bb＝＝1，0，解得kb＝ ＝2－. 1， ∴直线 AB 的表达式为 y＝－x＋2.把点 B(1，1)的坐标代 入 y＝ax2 中，解得 a＝1，∴抛物线的表达式为 y＝x2.
(2)若抛物线上有一点D(在第一象限内) 使得S△AOD＝S△OBC，求D点的坐标．
解：由yy＝ ＝－ x2，x＋2，得xy11＝＝11，，xy22＝＝4－. 2， ∴C(－2，4)．设点 B，C 的纵坐标分别为 yB，yC，则 S△OBC＝S△AOC －S△AOB＝12AO·|yC|－12AO·|yB|＝12×2×4－12×2×1＝3.设点 D 的纵坐 标为 yD，则 S△AOD＝12OA·|yD|＝12OA·yD，∴12×2×yD＝3，解得 yD ＝3.把 yD＝3 代入 y＝x2，解得 x＝± 3.∵点 D 在第一象限内， ∴D 点的坐标为( 3，3)．
浙教版初中数学九年级上册 1.2.1 二次函数y=ax2(a≠0)的图象及其特征 -课件
向下
y轴 最高点
(0，0) 下方
开口方向 答案不唯一，例如顶点都在原点或对称轴都是y轴
9．(8分)在同一平面直角坐标系中画出下列二次函数的图象． 解：图略
1.2 二次函数的图象
第1课时 二次函数y＝ax2(a≠0)的图象及其特征
1．(3分)二次函数y＝－8x2的图象开口 ( C ) A．向左 B．向右 C．向下 D．向上 2．(3分)抛物线y＝2x2的顶点坐标是( C ) A．(2，0) B．(1，2) C．(0，0) D．(0，2)
D
4．(3分)若二次函数y＝ax2的图象过点P(－2，4)点在原点，对称轴是y轴，且经过点( －3，2)．
(1)求抛物线的解析式，并画出图象； (2)说出这个抛物线的开口方向和图象位置．
11．(10分)当运动中的汽车撞到物体时，汽车所受到的损坏程 度可以用“撞击影响”来衡量．某型号汽车的“撞击影响”可以 用公式I＝2v2来表示，其中v(km/min)表示汽车的速度．
(1)列表表示I与v的关系； (2)画出I关于v的函数的图象； (3)当汽车的速度扩大为原来的2倍时，撞击影响扩大为原来的 多少倍？
12．(4分)已知抛物线y＝(1－m)x2，除顶点外，其余各点均在x 轴的下方，则m的取值范围为( C )
A．m＝1 B．m＜1 C．m＞1 D．m＜0
13．(4分)已知a≠0，在同一平面直角坐标系中，函数y＝ax 与y＝ax2的图象有可能是 ( C)
解：(1)y＝－x＋2，y＝x2 (2)如图所示 (3)S△AOC＝4.
浙教版数学九年级上册2.2《二次函数的图象》说课稿
浙教版数学九年级上册2.2《二次函数的图象》说课稿一. 教材分析《二次函数的图象》是浙教版数学九年级上册第2.2节的内容，这部分内容是在学生已经掌握了二次函数的定义、性质的基础上进行学习的。
二次函数的图象可以帮助学生更好地理解二次函数的性质，也是解决实际问题的重要工具。
本节内容主要包括二次函数的图象特点、开口方向、对称轴、顶点、增减性等，以及如何利用二次函数的图象解决实际问题。
二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的数学基础，对二次函数的概念和性质有一定的了解。
但是，学生对二次函数图象的理解还不够深入，需要通过实例和练习来加深理解。
此外，学生的空间想象能力和抽象思维能力还有待提高，因此，在教学过程中，需要注重培养学生的这些能力。
三. 说教学目标1.知识与技能目标：使学生掌握二次函数的图象特点、开口方向、对称轴、顶点、增减性等基本知识，能够运用二次函数的图象解决实际问题。
2.过程与方法目标：通过观察、分析、归纳等方法，培养学生对二次函数图象的理解和空间想象能力。
3.情感态度与价值观目标：激发学生对数学的兴趣，培养学生的抽象思维能力，使学生感受到数学在生活中的应用。
四. 说教学重难点1.教学重点：二次函数的图象特点、开口方向、对称轴、顶点、增减性等知识的掌握。
2.教学难点：如何利用二次函数的图象解决实际问题，以及学生空间想象能力和抽象思维能力的培养。
五. 说教学方法与手段1.教学方法：采用问题驱动法、案例教学法、小组合作学习法等，引导学生主动探究、积极思考。
2.教学手段：利用多媒体课件、实物模型、挂图等辅助教学，提高学生的学习兴趣和效果。
六. 说教学过程1.导入：通过复习二次函数的性质，引导学生思考二次函数图象的特点。
2.新课导入：介绍二次函数的图象，讲解开口方向、对称轴、顶点、增减性等知识。
3.实例分析：利用实际例子，让学生观察二次函数图象，分析其特点。
4.练习与讨论：学生分组讨论，分析不同二次函数图象的特点，总结规律。
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第2课时 二次函数y＝a(x＋m)2＋k(a≠0)的图象及其特征
1．(3 分)抛物线 y＝－2x2＋1 的对称轴是 ( C ) 1 A．直线 x＝2 1 B．直线 x＝－2 C．y 轴 D．直线 x＝2 )
2．(3 分)抛物线 y＝2(x－3)2＋1 的顶点坐标是 ( A A．(3，1) B．(3，－1) C．(－3，1)
(2)点C(－1，m)是抛物线上一点，点C关于原点O的对称点为 点D，连接CD，BC，BD，求△BCD的面积．
解：(1)∵AB＝8，由抛物线的对称性可知 OB＝4，∴B(4，0)，0＝16a 1 －4，∴a＝4 1 (2)过点 C 作 CE⊥AB 于点 E，过点 D 作 DF⊥AB 为 F，∵a＝4，∴y 1 1 15 15 ＝4x2－4，当 x＝－1 时，m＝4×(－1)2－4＝－ 4 ，∴C(－1，－ 4 )，∵点 15 15 C 关于原点的对称点为 D，∴D(1， 4 )，∴CE＝DF＝ 4 ，S△BCD＝S△BOD＋S 1 1 1 15 1 15 △BOC＝ OB·DF＋ OB·CE＝ ×4× 2 2 2 4 ＋2×4× 4 ＝15，∴△BCD 的面积 为 15 平方米
14．(4分)已知二次函数y＝a(x－1)2－c的图象如下左图
所示，则一次函数y＝ax＋c的大致图象可能是( A )
15．(4分)如图所示，抛物线y＝ax2＋c(a＜0)交x轴于点G，F，
交y轴于点D，在x轴上方的抛物线上有两点B，E，它们关于 y轴对称，点G，B在y轴左侧．BA⊥OG于点A，BC⊥OD于 点C.四边形OABC与四边形ODEF的面积分别为6和10，则 △ABG与△BCD的面积之和为____． 4
9．(8分)已知：抛物线y＝(x－1)2－3. (1)写出抛物线的开口方向、对称轴； (2)函数y有最大值还是最小值？并求出这个最大(小)值．
解：(1)抛物线的开口向上，对称轴为直线x＝1 (2)函数y
有最小值，最小值为－3
10．(9 分)下列抛物线可由怎样的抛物线 y＝ax2(a≠0)，经过 怎样的平移得到？ 1 (1)y＝－3(x－4)2； (2)y＝－(x＋ 3)2－5； 12 3 (3)y＝3(x－2) ＋4. 1 1 2 2 解： (1)y＝－3(x－4) 可由抛物线 y＝－3x 向右平移 4 个单位
轴交于点(0，3)，求这个函数的解析式．
解：依题意设这个函数的解析式为 y＝a(x－4)2－1，将点 1 1 (0，3)代入得 a＝4，∴这个函数的解析式为 y＝4(x－4)2－1
12．(4分)如图，在平面直角坐标系中，抛物线所表示的函数解
析式为y＝－2(x－h)2＋k，则下列结论正确的是( A )
16． (10 分)把二次函数 y＝a(x＋h)2＋k(a≠0)的图象先向左平移 2 1 个单位，再向上平移 4 个单位，得到二次函数 y＝－2(x＋1)2－1 的 图象． (1)试确定 a，h，k 的值； (2)指出二次函数 y＝a(x＋h)2＋k(a≠0)图象的开口方向、对称轴 和顶点坐标．
1 解：(1)a＝－2，h＝－1，k＝－5
得到 (2)y＝－(x＋ 3)2－5 可由抛物线 y＝－x2 先向左平移 3个 12 3 单位，再向下平移 5 个单位得到 (3)y＝3(x－2) ＋4可由抛物线 y 1 3 ＝3x 先向右平移2个单位，再向上平移4个单位得到
2
11 ． (9 分 ) 已知一个二次函数图象的顶点坐标为(4 ， － 1) ， 与 y
A．h＞0，k＞0 B．h＜0，k＞0 C．h＜0，k＜0 D．h＞0，k＜0
13． (4 分)某广场中心标志性建筑处有高低不同的各种喷泉， 其中 一支高度为 1 m 的喷水管喷水最大高度为 3 m，此时喷水水平距离为 1 2 m，在如图所示的坐标系中，这支喷泉的函数关系式是( C ) 12 A．y＝－(x－2) ＋3 12 B．y＝3(x－2) ＋1 1 C．y＝－8(x－2)2＋3 12 D．y＝－8(x＋2) ＋3
(2)它的开口方向向
下，对称轴为直线 x＝1，顶点坐标为(1，－5)
17．(12分)某水渠的横截面呈抛物线，水面的宽度为AB(单位： 米)，现以AB所在直线为x轴， 以抛物线的对称轴为y轴建立 如图所示的平面直角坐标系，设坐标原点为O.已知AB＝8米， 设抛物线解析式为y＝ax2－4.
(1)求a的值；
7．(3 分)二次函数 y＝－5(x＋3)2－4 的图象的开口方向是向下 ____， 顶点坐标是 (－3，－4) ，对称轴是 直线x＝－3 ． 1 2 8．(3 分)将抛物线 y＝－2x 向上平移 2 个单位，再向右平移 1 个 1 2 单位后，得到的抛物线的解析式为 y＝－2(x－1) ＋2 .
A．y＝(x－2)2 B．y＝(x－2)2＋6
C．y＝x2＋6 D．y＝x2 5．(3分)下列二次函数中 ，图象以直线x＝2为对称轴，且 经过点(0，1)的是 ( C ) A．y＝(x－2)2＋1 B．y＝(x＋2)2＋1
C．y＝(x－2)2－3 D．y＝(x＋2)2－3
6 ． (3 分 ) 抛物线 y ＝ x2 ＋ 1 的最小值是 ____ 1 ， 顶点坐标是 (0,1) ____．
D．(－3，－1)
3．(3 分)将抛物线 y＝3x2 向上平移 3 个单位，再向左平移 2 个单位，那么得到的抛物线的解析式为 ( A A．y＝3(x＋2)2＋3 C．y＝3(x＋2)2－3 B．y＝3(x－2)2＋3 D．y＝3(x－2)2－3 )
4．(3分)将抛物线y＝(x－1)2＋3向左平移1个单位，再向下 平移3个单位后所得抛物线的解析式为 ( D )
18．(12分)如图，二次函数y＝(x－2)2＋m的图象与y轴交于点C， 点B是点C关于该二次函数图象的对称轴对称的点．已知一次函数 y＝kx＋b的图象经过该二次函数图象上的点A(1，0)及点B.
(1)足kx＋b≥(x－2)2＋m的x的取值范围． 解：(1)二次函数的解析式为y＝(x－2)2 －1，一次函数的解析式为y＝x－1 (2)1≤x≤4