机械制图——截交线(平面切割圆锥及球)
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机械制图教案-截交线的投影作图
1、圆柱的形成和三视图特征
2、圆锥的形成和三视图特征
导入新课
一、截交线
1、定义：当基本体被平面切割成两部分时，其中任何一部分都被称为截断体，该平面被称为截平面，而截平面与立体表面的交线，称为截交线。
2、性质
1）共有性
2）封闭性
3、圆柱截交线
1）截平面垂直轴线，截交线为圆
2）截平面平行轴线，截交线为矩形
3）截平面倾斜轴线，截交线为椭圆
4、圆锥截交线
1）截平面垂直轴线，截交线为圆
2）截平面平行轴线，截交线为等腰三角形或抛物线加直线
3）截平面倾斜轴线，课后作业。
师生问好，强调课堂纪律。
提问学生到黑板完成练习题
详细讲解截交线的定义
详细讲解截交线的性质
详细讲解圆柱的截交线
板
书
设
计
3.2 截交线的投影作图
一、截交线
1、定义
2、性质
3、圆柱、圆锥、圆球的截交线
课 后
小 结
通过学习，学生掌握截交线和相贯线的画法。
教 学 过 程
教 学
环 节
教师讲授、指导（主导）内容
学生学习、
操作（主体）活动
时间
分配
一、
二、
三、
四、
组织教学与引入前言
问候同学，组织课堂教学，强调课堂纪律。
复习、提问
教 学 设 计
授课班级
授课日期
12.25-12.31
第 33、34课时
课 型
新授
教具、资料
教材、教案、教具、多媒体
课 题
3.2 截交线的投影作图
教 学
目 标
要 求
知识
目标
掌握截交线的定义和性质
2、圆锥的形成和三视图特征
导入新课
一、截交线
1、定义：当基本体被平面切割成两部分时，其中任何一部分都被称为截断体，该平面被称为截平面，而截平面与立体表面的交线，称为截交线。
2、性质
1）共有性
2）封闭性
3、圆柱截交线
1）截平面垂直轴线，截交线为圆
2）截平面平行轴线，截交线为矩形
3）截平面倾斜轴线，截交线为椭圆
4、圆锥截交线
1）截平面垂直轴线，截交线为圆
2）截平面平行轴线，截交线为等腰三角形或抛物线加直线
3）截平面倾斜轴线，课后作业。
师生问好，强调课堂纪律。
提问学生到黑板完成练习题
详细讲解截交线的定义
详细讲解截交线的性质
详细讲解圆柱的截交线
板
书
设
计
3.2 截交线的投影作图
一、截交线
1、定义
2、性质
3、圆柱、圆锥、圆球的截交线
课 后
小 结
通过学习，学生掌握截交线和相贯线的画法。
教 学 过 程
教 学
环 节
教师讲授、指导（主导）内容
学生学习、
操作（主体）活动
时间
分配
一、
二、
三、
四、
组织教学与引入前言
问候同学，组织课堂教学，强调课堂纪律。
复习、提问
教 学 设 计
授课班级
授课日期
12.25-12.31
第 33、34课时
课 型
新授
教具、资料
教材、教案、教具、多媒体
课 题
3.2 截交线的投影作图
教 学
目 标
要 求
知识
目标
掌握截交线的定义和性质
机械制图之-截交线专题
一、 平面体的截切
（一）、平面截切的基本形式
截交线的性质：
• 截交线是一个由直线组成的封闭的平面多边形，其 形状取决于平面体的形状及截平面对平面体的截切 位置。
• 截交线的每条边是截平面与棱面的交线。
求截交线的实质是求两平面的交线
机械制图之-截交线专题
1.平面与平面体相交 例1 求截交线并完成截头三棱锥的三投影
小结
一、平面体的截交线一般情况下是由直线组成 的封闭的平面多边形，多边形的边是截平 面与棱面的交线。 求截交线的方法：棱线法 棱面法
二、平面截切回转体，截交线的形状取决于截 平面与被截立体轴线的相对位置。 截交线是截平面与回转体表面的共有线。
机械制图之-截交线专题
三、解题方法与步骤
⒈ 空间及投影分析
机械制图之-截交线专题
平面P与圆锥面的交线
P
P
P 轴线 =
P 轴线 0 <
交线为抛物线
交线为双曲线
机械制图之-截交线专题
平面P与圆锥面的交线
P
P过锥顶 交线为直线
机械制图之-截交线专题
归纳
P轴线 交线为圆
P 轴线 > 交线为椭圆 P 轴线 = 交线为抛物线
P 轴线 0< 交线为双曲线 P过锥顶 交线为直线
机械制图之-截交线专题
例：求半球体截切后的俯视图和左视图。
两水个平侧面平截面圆截球圆的球截的交截线 交的线投的影投，影在，俯在视侧图视上图为 上部为分部圆分弧圆，弧在，侧在视俯图视上 图积上聚积为聚直为线直。线。
机械制图之-截交线专题
例：求半球体截切后的俯视图和左视图。
机械制图之-截交线专题
D、 复合回转体的截切
C
《机械制图》平面截切圆锥
平面截切圆锥
二、平面截切圆锥
1. 基本形式
规律： 1.随着平面的倾斜程度（即 平面与轴线的夹角θ）而变 化 2.呈现出五种形状：圆、椭 圆、抛物线、双曲线和直线 3.Ⅰ、Ⅱ的主视图中，截平 面与两条素线相交 4.Ⅲ、Ⅳ的主视图中，截平 面与一条素线相交 5.Ⅴ的主视图中，截平面把 一条素线切掉。
5
机械制图
MECHANICAL DRAWING
目录
CONTENTS
平面截切圆锥
平面截切圆锥 一、内容回顾
斜切横置圆柱 两侧切直立圆柱 中间切直立圆柱 侧切、中间切直立圆柱 中间切直立圆筒 圆柱综合切
由易到难
3
由浅入深
平面截切圆锥 二、平面截切圆锥
斜切圆锥
4
竖切圆锥
由易到难 由浅入深
圆锥的综合截切
1. 求特殊点； 2. 求一般位置的点； 3. 判断可见性； 4. 光滑连线。
通常采用纬圆法：在圆锥表面上取若 干个纬圆，并求出这些纬圆与截平面 的交点。
谢谢观看
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Ⅵ Ⅳ Ⅷ
Ⅰ
Ⅱ
Ⅴ Ⅲ Ⅶ
平面截切圆锥
二、平面截切棱锥 3.竖切圆锥
纬圆法
a' c'
b'
b ca
7
求解步骤： 1．分析： 截平面为正平面，截 交线为双曲线；截交线的水平投 影和侧面投影为直线，正面投影
a" 为双曲线并反映实形；
2.求截交线上的特殊点A、B；
c" 3．求出一般点C；
4．光滑且顺次地连接各点，作 出截交线，并且判别可见性；
平面截切圆锥
二、平面截切棱锥
2.斜切圆锥 纬圆法
4-2 曲面立体-截交线
例3 完成圆柱切口的水平投影和侧面投影。
1'(4') 4” 1” 2”
2'(3')
3”
圆弧侧 面投影 可见 最前、最后的 素线被截切到， 已不完整 作图：
Ⅳ Ⅲ Ⅰ Ⅱ
4(3)
(1)标记截交线的顶点； (2)求侧平面的水平投影； (3)求ⅠⅡ、ⅢⅣ的侧面投影； (4)求圆弧及水平面的侧面投影；
1(2)
1、平面切割圆柱体
例5 完成带切口圆筒的水平投影和侧面投影。
Ⅷ 1'(4')(5')(8') 8” 5” 4” 1” 2” Ⅶ Ⅴ Ⅵ Ⅳ Ⅰ Ⅲ Ⅱ
6” 2'(3') (6')(7')
7” 3”
作图：
8(7) 5(6) 4(3) 1(2)
§4-2 截交线
(1)标记截交线的顶点； (2)求侧平面的水平投影； (3)求直线ⅠⅡ、ⅢⅣ、ⅤⅥ和 ⅦⅧ 的侧面投影； (4)求圆弧及水平面的侧面投影； (5)完成作图。
短轴
a'b' e'(f')
中点
a' PV f” d”
a” e” c” b” F D
A E C B
c'(d')
b'
作图：
d f a c e
§4-2 截交线
长轴
b
(1)特殊点：最高点A、最低点B、最 前点C、最后点D ； (2)特殊点：转向轮廓线上的点E、F ； (3)一般点；
2、平面切割圆锥体
例6 求正垂面与直立正圆锥体的截交线。
2、平面切割圆锥体
平面与圆锥体表面的交线，因平面与圆锥轴线的相对位置 不同而有不同的形状，可能的情况有五种。
1'(4') 4” 1” 2”
2'(3')
3”
圆弧侧 面投影 可见 最前、最后的 素线被截切到， 已不完整 作图：
Ⅳ Ⅲ Ⅰ Ⅱ
4(3)
(1)标记截交线的顶点； (2)求侧平面的水平投影； (3)求ⅠⅡ、ⅢⅣ的侧面投影； (4)求圆弧及水平面的侧面投影；
1(2)
1、平面切割圆柱体
例5 完成带切口圆筒的水平投影和侧面投影。
Ⅷ 1'(4')(5')(8') 8” 5” 4” 1” 2” Ⅶ Ⅴ Ⅵ Ⅳ Ⅰ Ⅲ Ⅱ
6” 2'(3') (6')(7')
7” 3”
作图：
8(7) 5(6) 4(3) 1(2)
§4-2 截交线
(1)标记截交线的顶点； (2)求侧平面的水平投影； (3)求直线ⅠⅡ、ⅢⅣ、ⅤⅥ和 ⅦⅧ 的侧面投影； (4)求圆弧及水平面的侧面投影； (5)完成作图。
短轴
a'b' e'(f')
中点
a' PV f” d”
a” e” c” b” F D
A E C B
c'(d')
b'
作图：
d f a c e
§4-2 截交线
长轴
b
(1)特殊点：最高点A、最低点B、最 前点C、最后点D ； (2)特殊点：转向轮廓线上的点E、F ； (3)一般点；
2、平面切割圆锥体
例6 求正垂面与直立正圆锥体的截交线。
2、平面切割圆锥体
平面与圆锥体表面的交线，因平面与圆锥轴线的相对位置 不同而有不同的形状，可能的情况有五种。
机械制图2-9 圆球截交线
圆
椭圆
例:补全主视图。球与锥的分界线
圆
双曲线
例：改 错。
例：选择正确的左视图。
aa
bb
c
d
c
d
例：选择正确的左视图。
aa
bb
cc
dd
例：选择正确的左视图。
aa
bb
c
d
c
d
例：选择正确的左视图。
a
b
c
d
第二章 投影基础
第九节结圆束球！截交线
结束！
例： 完成半球切槽的俯、左视图。
分析： 切槽由一对侧平面和水平面组成，截平面与圆球面的交线都是圆。 方法——纬圆法。
例： 完成半球切槽Biblioteka 俯、左视图。Δy作图：
(1)求截交线的水平投影；
(2)求截交线的侧面投影；
例：完成俯、左视图。
例：补全主视图和俯视
图。 a’
a’ ’
b’
b’ ’
ba
例:补全主视图。
平面与球面相交
用平行面截切球，截交线 的空间形状为圆，平行投影 面的投影也为圆。
用垂直面或一般位置 平面截切球，截交线空间 形状为圆，相应的投影为 椭圆。
圆球有无穷多条回转轴线，故它与平面的截交线总是圆。
1、当截平面为投影面平行面时
PV
QV
截平面为水平面
截平面为侧平面
2、当截平面为垂直面时
2、当截平面为垂直面时
椭圆
例:补全主视图。球与锥的分界线
圆
双曲线
例：改 错。
例：选择正确的左视图。
aa
bb
c
d
c
d
例：选择正确的左视图。
aa
bb
cc
dd
例：选择正确的左视图。
aa
bb
c
d
c
d
例：选择正确的左视图。
a
b
c
d
第二章 投影基础
第九节结圆束球！截交线
结束！
例： 完成半球切槽的俯、左视图。
分析： 切槽由一对侧平面和水平面组成，截平面与圆球面的交线都是圆。 方法——纬圆法。
例： 完成半球切槽Biblioteka 俯、左视图。Δy作图：
(1)求截交线的水平投影；
(2)求截交线的侧面投影；
例：完成俯、左视图。
例：补全主视图和俯视
图。 a’
a’ ’
b’
b’ ’
ba
例:补全主视图。
平面与球面相交
用平行面截切球，截交线 的空间形状为圆，平行投影 面的投影也为圆。
用垂直面或一般位置 平面截切球，截交线空间 形状为圆，相应的投影为 椭圆。
圆球有无穷多条回转轴线，故它与平面的截交线总是圆。
1、当截平面为投影面平行面时
PV
QV
截平面为水平面
截平面为侧平面
2、当截平面为垂直面时
2、当截平面为垂直面时
机械工程制图截交线(机械)
机械工程制图截交线(机械)
二.平面与回转体表面相交
为封闭的平面图形 锥五柱三球一圆
所谓“锥五”，就是圆锥面与平面交线的形状根据它们
的相对位置的不同有如下五种。
α
α
α
α
θ
θ
θ
过锥顶 两相交直线
θ=90° 90°＞θ＞α θ＝α
圆 椭圆 机械工程制图截交线(机械) 抛物线
0°≤θ＜α 双曲线
二.平面与回转体表面相交
为封闭的平面图形 锥五柱三球一圆
所谓“柱三”，就是圆柱面与平面交线的形状根据它们的 相对位置的不同有如下三种
截平面与轴线平行 截平面与轴线垂直 截平面与轴线倾斜
两条素线—矩形
圆
椭圆
圆球与平面相机交械工，程制截图截交交线线(机械的) 形状都是一个圆
二.平面与回转体表面相交
1.截交线的求解思路：
先知其名，后画其形， 以少胜多，连点成线。
2.截交线的求解步骤：
椭圆可由8点画出
1）判断—相交的双方及其相对位置、截交线形状 及其投影、解决的问题。
2）求交—求点（先求特殊点，再求中间点） 连点成线。
3）整形—截交线的可见性判断、轮廓线的去留判断
3.求点的方法：
1）轮廓线上取点 2）回转面上取点 3）利用积聚投影机设械工点程制图截交线(机械)
解题步骤：
★空间及投影分析 截交线的形状 截交线的投影特性
★求交 ★整形
机械工程制图截交线(机械)
例9：求侧面投影
● ● ● ●
机械工程制图截交线(机械)
例9：求侧面投影
机械工程制图截交线(机械)
分析、比较
机械工程制图截交线(机械)
例10：求水平投影
●
二.平面与回转体表面相交
为封闭的平面图形 锥五柱三球一圆
所谓“锥五”，就是圆锥面与平面交线的形状根据它们
的相对位置的不同有如下五种。
α
α
α
α
θ
θ
θ
过锥顶 两相交直线
θ=90° 90°＞θ＞α θ＝α
圆 椭圆 机械工程制图截交线(机械) 抛物线
0°≤θ＜α 双曲线
二.平面与回转体表面相交
为封闭的平面图形 锥五柱三球一圆
所谓“柱三”，就是圆柱面与平面交线的形状根据它们的 相对位置的不同有如下三种
截平面与轴线平行 截平面与轴线垂直 截平面与轴线倾斜
两条素线—矩形
圆
椭圆
圆球与平面相机交械工，程制截图截交交线线(机械的) 形状都是一个圆
二.平面与回转体表面相交
1.截交线的求解思路：
先知其名，后画其形， 以少胜多，连点成线。
2.截交线的求解步骤：
椭圆可由8点画出
1）判断—相交的双方及其相对位置、截交线形状 及其投影、解决的问题。
2）求交—求点（先求特殊点，再求中间点） 连点成线。
3）整形—截交线的可见性判断、轮廓线的去留判断
3.求点的方法：
1）轮廓线上取点 2）回转面上取点 3）利用积聚投影机设械工点程制图截交线(机械)
解题步骤：
★空间及投影分析 截交线的形状 截交线的投影特性
★求交 ★整形
机械工程制图截交线(机械)
例9：求侧面投影
● ● ● ●
机械工程制图截交线(机械)
例9：求侧面投影
机械工程制图截交线(机械)
分析、比较
机械工程制图截交线(机械)
例10：求水平投影
●
截交线的画法
一、圆柱的截交线
汽 车 机 械 制 图
平行
垂直
倾斜
直线
圆
椭圆
二、圆锥的截交线
根据截平面与圆锥轴线的相对位置不同，截交线有五种形状。
PV
θ
PV
PV
PV
θ
PV
垂直于轴线 θ = 90° 圆
倾斜于轴线 θ ＞α 椭圆
平行于轴线 θ = 0° 双曲线加直线
平行于一条素线 过锥顶 θ =α 直线（三角形） 抛物线加直线 直线
本
节
结
束
谢谢！
截交线的分类 1、平面体的截交线 2、回转体的截交线
二、截交线的画法：
汽 车 机 械 制 图
（一）平面体截交线的画法
1、平面体截交线的性质： 1）平面的体截交线一定是一个封闭的平面多边形，多 边形的各顶点是截平面与被截棱线的交点，即立体被截 到几条棱，那么截交线就是几边形。 2）截交线是截平面与立体表面的共有线。 2、求平面体截交线的实质： 求截平面与立体上被截各棱的交点或截平面与立体表面 的交线，然后依次连接而得。
★ 求回转体截交线的步骤：
汽 车 机 械 制 图
⒈ 空间及投影分析
确定截交 线的形状
分析回转体的形状以及截平面与回转体轴线的相对位置。 分析截平面与投影面的相对位置，如积聚性、类似性等。 找出 截交线的已知投影，预见未知投影。 确定截交线 ⒉ 画出截交线的投影 的投影特性 截交线的投影为非圆曲线时，作图步骤为： 先找特殊点（外形素线上的点和极限位置点）。 补充一般点。 光滑连接各点，并判断截交线的可见性。 3. 完善轮廓。
练习1：补全六棱柱被截切后的俯视图和左视图。
汽 车 机 械 制 图
练习1答案：
机械制图之-截交线专题
α
θ PV
θ = 90° 圆
过锥顶 两相交直线
θ ＞α 椭圆
θ =α 抛物线
平面P与圆锥面的交线
P
P
P轴线 交线为圆
P
轴线 > 交线为椭圆
平面P与圆锥面的交线
P
P
P 轴线 = 交线为抛物线
P
轴线 0 < 交线为双曲线
平面P与圆锥面的交线
P
归纳
P轴线 交线为圆 P 轴线 > 交线为椭圆 P 轴线 = 交线为抛物线 P 轴线 0< 交线为双曲线 P过锥顶 交线为直线
●
●
例4：求左视图
★找特殊点 ★找中间点 ★光滑连接各点 ★分析轮廓素线的投影
椭圆的长、 短轴随截平面与 圆柱轴线夹角的 变化而改变。
45°
例5 求圆柱体被平面P、Q截切后的投影
P Q
非圆曲线画法
p'
q'
找特殊点 检查 截交线分析 中间点 外形轮廓线投影 Q 圆柱体轴线，QP 圆柱面交线为椭圆曲线 P// 圆柱体轴线， 圆柱面交线为直线 光滑连接曲线
1(2)
2
●
1
●
注意：
2 1
要逐个截平面分析和绘制 截交线。当平面体只有局 部被截切时，先假想为整 体被截切，求出截交线后 再取局部。
例3：求四棱锥被截切后的俯视图和左视图。
例 4: 求八棱柱被平面P截切后的俯视图。
P
4 ≡ 5 7 5 6 3 4 2 1 Ⅷ Ⅰ 5 6 Ⅶ Ⅵ Ⅲ 8 Ⅱ Ⅴ Ⅳ
求截交线的方法：棱线法 棱面法 二、平面截切回转体，截交线的形状取决于截 平面与被截立体轴线的相对位置。 截交线是截平面与回转体表面的共有线。
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请同学们交作业
习题集P37-38
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1
想一想
1、什么叫截交线？ 2、截交线有什么性质？ 3、作截交线投影的关键是什么？ 4、如何作回转体截交线的投影？
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2
任务3-2 截交线、相贯线的分析与求作
截交线
截平面
截平面ห้องสมุดไป่ตู้
截交线
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3
（2）、平面与圆锥相交（P82）
根据截平面与圆锥轴线的相对位 置不同，截交线有五种形状。
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9
平面与球相交
例3：求半球体截切后的水平投影和侧面投影。
水两平个面侧截平圆面球截的圆截球交的线 截的交投线影的，投在影俯，视侧图面上投为 影部为分部圆分弧圆，，在水侧平视投图影上 积积聚聚为为直直线线。。
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10
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11
如果槽不在中间，而偏向左， 各投影怎么样？
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16
作业 习题集40、41、42
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17
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4
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5
例1: 圆锥被正垂面截切，求截交线，并完成三视图。 （同步练习）
截交线的投影特性？ 截交线的空间形状？
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6
例1: 圆锥被正垂面截切，求截交线，并完成三视图。 （同步练习）
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7
例2：习题集P40第2题
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8
（3）、平面与球体截交线
平面与圆球相交，截交线的形状都是 圆，但根据截平面与投影面的相对位置 不同，其截交线的投影可能为圆、椭圆 或积聚成一条直线。
12
如果槽不在中间，而偏向左， 各投影怎么样？
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13
练一练 习题集P41页第2题
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14
例4:习题集P41第1题
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15
例5：求作顶尖的水平投影
●
●
●●
●
●●
●
●
●
● ●
● ●
●
●
首先分析复合回转体由哪些基本回转体组成 以及它们的连接关系，然后分别求出这些基本回转 体的截交线，并依次将其连接。
习题集P37-38
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1
想一想
1、什么叫截交线？ 2、截交线有什么性质？ 3、作截交线投影的关键是什么？ 4、如何作回转体截交线的投影？
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2
任务3-2 截交线、相贯线的分析与求作
截交线
截平面
截平面ห้องสมุดไป่ตู้
截交线
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3
（2）、平面与圆锥相交（P82）
根据截平面与圆锥轴线的相对位 置不同，截交线有五种形状。
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9
平面与球相交
例3：求半球体截切后的水平投影和侧面投影。
水两平个面侧截平圆面球截的圆截球交的线 截的交投线影的，投在影俯，视侧图面上投为 影部为分部圆分弧圆，，在水侧平视投图影上 积积聚聚为为直直线线。。
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10
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11
如果槽不在中间，而偏向左， 各投影怎么样？
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16
作业 习题集40、41、42
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17
精选ppt
4
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5
例1: 圆锥被正垂面截切，求截交线，并完成三视图。 （同步练习）
截交线的投影特性？ 截交线的空间形状？
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6
例1: 圆锥被正垂面截切，求截交线，并完成三视图。 （同步练习）
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7
例2：习题集P40第2题
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8
（3）、平面与球体截交线
平面与圆球相交，截交线的形状都是 圆，但根据截平面与投影面的相对位置 不同，其截交线的投影可能为圆、椭圆 或积聚成一条直线。
12
如果槽不在中间，而偏向左， 各投影怎么样？
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13
练一练 习题集P41页第2题
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14
例4:习题集P41第1题
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15
例5：求作顶尖的水平投影
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首先分析复合回转体由哪些基本回转体组成 以及它们的连接关系，然后分别求出这些基本回转 体的截交线，并依次将其连接。