湖北省黄冈中学2014-2015学年高二下学期期末考试数学(理)试题

湖北省黄冈中学2015年春季高二年级期末考试数学试题（理科）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，总分150分，考试时间120分钟．一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．）1、若复数（1＋bi）（2＋i）是纯虚数（i是虚数单位，b是实数），则b＝（）A．－2 B．C． D．22、如果命题“p且q”是假命题，“非p”是真命题，那么（）A．命题p一定是真命题B．命题q一定是真命题C．命题q可以是真命题也可以是假命题D．命题q一定是假命题3、若则a的值是（）A．2 B．3C．4 D．64、曲线y＝－5e x＋3在点（0，－2）处的切线方程为（）A．5x＋y＋2＝0 B．y＝5x－2C．y＝5x＋2 D．5x－y＋2＝05、函数y＝（3－x2）e x的单调递增区间是（）A．（－∞，0）B．（0，＋∞）C．（－∞，－3）和（1，＋∞） D．（－3，1）6、已知点A（4，1，3），B（2，－5，1），C为线段AB上一点且，则点C的坐标为（）A．B．C．D．7、若在（1，＋∞）上是减函数，则b的取值范围是（）A． D．（－∞，－1）8、已知方程ax2＋by2＝ab和ax＋by＋c＝0（其中ab≠0，a≠b，c＞0），它们所表示的曲线可能是（）9、设斜率为的直线l与椭圆交于不同的两点，且这两个交点在x 轴上的射影恰好是椭圆的两个焦点，则该椭圆的离心率为（）A．B．C． D．10、点P是双曲线左支上的一点，其右焦点为F（c，0），若M为线段FP的中点，且M到坐标原点的距离为，则双曲线的离心率e的取值范围是（）A． B．C．（1，＋∞） D．11、直线4kx－4y－k＝0与抛物线y2＝x交于A，B两点，若|AB|＝4，则弦AB的中点到直线的距离等于（）A．2 B．4C． D．12、给出下列命题：①若函数f（x）的导函数为f′（x），则f（x）在定义域内为增函数的充要条件是对于x∈D，f′（x）＞0恒成立；②对于空间向量，，且//，则；③对于空间向量，，且与夹角的余弦值为，则；④若命题“使得”为假命题，则实数m的取值范围是．其中真命题的序号是（）A．①②④ B．②③C．③④ D．②④第Ⅱ卷非选择题二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13、设F（1，0），M点在x轴上，P点在y轴上，且，当点P在y轴上运动时，点N的轨迹方程为__________．14、观察下列等式：……则当m＜n且m，n∈N时，（最后结果用m，n表示）．15、（甲）【平面几何选讲】如图，AB，CD是半径为a的圆O的两条弦，它们相交于AB的中点P，，∠OAP＝30°，则CP的长为__________．（乙）【极坐标与参数方程】已知直线的参数方程为：，圆C的极坐标方程为，那么，直线l与圆C的位置关系是__________．（丙）【不等式选讲】若，则P，Q的大小关系为__________．16、（甲）【平面几何选讲】如图，AD，AE，BC分别与圆O切于点D，E，F，延长AF与圆O 交于另一点G．给出下列三个结论：①AD＋AE＝AB＋BC＋CA；②AF·AG＝AD·AE；③△AFB∽△ADG．其中正确结论的序号是__________．（乙）【极坐标与参数方程】⊙O1的极坐标方程为ρ＝4cosθ，⊙O2的参数方程为，则⊙O1与⊙O2公共弦的长度为__________．（丙）【不等式选讲】已知函数，则不等式f（x）≥x2的解集为__________．三、解答题（本大题共6小题，70分）17、（本小题满分12分）已知y＝f（x）是二次函数，方程f（x）＝0有两相等实根，且f′（x）＝2x＋2．（1）求f（x）的解析式．（2）求函数y＝f（x）与函数y＝－x2－4x＋1所围成的图形的面积．18、（本小题满分12分）设命题p：实数x满足x2－4ax＋3a2＜0，其中a＞0，命题q：实数x满足．（1）若a＝1，且p q为真，求实数x的取值范围；（2）p是q的充分不必要条件，求实数a的取值范围．19、（本小题满分12分）已知函数f（x）＝lnx－a2x2＋ax（x∈R）．（1）当a＝1时，求函数f（x）的单调区间；（2）若函数f（x）在区间（1，＋∞）上是减函数，求实数a的取值范围．20、（本小题满分12分）在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AD＝BC，∠ABC＝60°，N是BC 的中点，将梯形ABCD绕AB旋转90°，得到梯形ABC′D′（如图）．（1）求证：AC⊥平面ABC′；（2）求证：C′N∥平面ADD′；（3）求二面角A－C′N－C的余弦值．21、（本小题满分12分）如图，已知圆G：经过椭圆的右焦点F及上顶点B，过圆外一点（m，0）（m＞a）倾斜角为的直线l交椭圆于C，D两点，（1）求椭圆的方程；（2）若右焦点F在以线段CD为直径的圆E的外部，求m的取值范围．四、选考题（本小题满分10分）22、【平面几何选讲】如图所示，在四边形ABCP中，线段AP与BC的延长线交于点D，已知AB＝AC且A，B，C，P四点共圆．（1）求证：；（2）若AC＝4，求AP·AD的值．23、【极坐标与参数方程】在极坐标系下，已知圆O：和直线l：，（1）求圆O和直线l的直角坐标方程；（2）当时，求直线l与圆O公共点的一个极坐标．24、【不等式选讲】已知函数f（x）＝|x＋1|＋|x－3|．（1）解不等式f（x）≤3x＋4；（2）若不等式f（x）≥m的解集为R，设求实数m的取值范围.答案解析：本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，总分150分，考试时间120分钟．一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．）1、若复数（1＋bi）（2＋i）是纯虚数（i是虚数单位，b是实数），则b＝（）A．－2 B．C． D．21、D解析：为纯虚数，则．2、如果命题“p且q”是假命题，“非p”是真命题，那么（）A．命题p一定是真命题B．命题q一定是真命题C．命题q可以是真命题也可以是假命题D．命题q一定是假命题2、C解析：“非p”是真命题，则p为假命题，命题q可以是真命题也可以是假命题．3、若则a的值是（）A．2 B．3C．4 D．63、A，4、曲线y＝－5e x＋3在点（0，－2）处的切线方程为（）A．5x＋y＋2＝0 B．y＝5x－2C．y＝5x＋2 D．5x－y＋2＝04、A解析：曲线y＝－5e x＋3在点（0，－2）处的切线斜率为－5，所以切线方程为y＝－5x－2．5、函数y＝（3－x2）e x的单调递增区间是（）A．（－∞，0）B．（0，＋∞）C．（－∞，－3）和（1，＋∞） D．（－3，1）5、D解析：y′＝－2xe x＋（3－x2）e x＝（－2x＋3－x2）e x＞0，∴2x－3＋x2＜0，∴x∈（－3，1）．6、已知点A（4，1，3），B（2，－5，1），C为线段AB上一点且，则点C的坐标为（）A．B．C．D．6、A解析：，设C点坐标为（x，y，z），则，．7、若在（1，＋∞）上是减函数，则b的取值范围是（）A． D．（－∞，－1）7、C解析：在．其中真命题的序号是（）A．①②④ B．②③C．③④ D．②④12、D解析：①f′（x）在少数点可以为0；②对于空间向量，，且平行于，则；③对于空间向量，，且与夹角的余弦值为，则；④若命题“使得”为假命题，则．第Ⅱ卷非选择题二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13、设F（1，0），M点在x轴上，P点在y轴上，且，当点P在y轴上运动时，点N的轨迹方程为__________．13、y2＝4x解析：设，则，，．14、观察下列等式：……则当m＜n且m，n∈N时，（最后结果用m，n表示）．14、n2－m2解析：第一行m＝0，n＝1，右边的值为1；第二行m＝2，n＝4，右边的值为12＝42－22；第三行m＝5，n＝8，右边的值为39＝82－52；所以猜想．15、（甲）【平面几何选讲】如图，AB，CD是半径为a的圆O的两条弦，它们相交于AB的中点P，，∠OAP＝30°，则CP的长为__________．（乙）【极坐标与参数方程】已知直线的参数方程为：，圆C的极坐标方程为，那么，直线l与圆C的位置关系是__________．（丙）【不等式选讲】若，则P，Q的大小关系为__________．15、（甲）【平面几何选讲】解析：因为圆O的半径为a，，，而．（乙）【极坐标与参数方程】相交解析：直线l的直角坐标方程为，圆C的直角坐标方程为，圆心到直线的距离，直线l与圆C的位置关系是相交．（丙）【不等式选讲】P<Q解析：，．16、（甲）【平面几何选讲】如图，AD，AE，BC分别与圆O切于点D，E，F，延长AF与圆O 交于另一点G．给出下列三个结论：①AD＋AE＝AB＋BC＋CA；②AF·AG＝AD·AE；③△AFB∽△ADG．其中正确结论的序号是__________．（乙）【极坐标与参数方程】⊙O1的极坐标方程为ρ＝4cosθ，⊙O2的参数方程为，则⊙O1与⊙O2公共弦的长度为__________．（丙）【不等式选讲】已知函数，则不等式f（x）≥x2的解集为__________．16、（甲）【平面几何选讲】①②解析：①②（乙）【极坐标与参数方程】解析：⊙O1极坐标方程为ρ＝4cosθ，直角坐标方程为（x－2）2＋y2＝4；⊙O2参数方程为，直角坐标方程为x2＋（y＋2）2＝4，两式相减，得到x＋y＝0，O1到此直线的距离为，公共弦长为．（丙）【不等式选讲】解析：或，所以不等式f（x）≥x2的解集为x∈．三、解答题（本大题共6小题，70分）17、（本小题满分12分）已知y＝f（x）是二次函数，方程f（x）＝0有两相等实根，且f′（x）＝2x＋2．（1）求f（x）的解析式．（2）求函数y＝f（x）与函数y＝－x2－4x＋1所围成的图形的面积．解析：（1）设f（x）＝ax2＋bx＋c（a≠0）．由题意得∴a＝1，b＝2，c＝1．（3分）∴f（x）＝x2＋2x＋1．（4分）（2）由题．（6分）．（12分）18、（本小题满分12分）设命题p：实数x满足x2－4ax＋3a2＜0，其中a＞0，命题q：实数x满足．（1）若a＝1，且p q为真，求实数x的取值范围；（2）p是q的充分不必要条件，求实数a的取值范围．解析：（1）由x2－4ax＋3a2＜0，得（x－3a）（x－a）＜0．又a＞0，所以a＜x＜3a，当a＝1时，1＜x＜3，即p为真命题时，1＜x＜3．（2分）由，解得，即2＜x≤3．所以q为真时，2＜x≤3．（4分）若为真，则，所以实数x的取值范围是（2，3）．（5分）（2）设，因为是的充分不必要条件，所以．（7分）所以0＜a≤2且3a＞3，即1＜a≤2．所以实数a的取值范围是（1，2]．（12分）19、（本小题满分12分）已知函数f（x）＝lnx－a2x2＋ax（x∈R）．（1）当a＝1时，求函数f（x）的单调区间；（2）若函数f（x）在区间（1，＋∞）上是减函数，求实数a的取值范围．解析：（1）当a＝1时，f（x）＝lnx－x2＋x，其定义域是（0，＋∞），，（2分）令f（x）＝0，即，解得或x＝1．∵x＞0，∴x＝1．当0＜x＜1时，f′（x）＞0，当x＞1时，f′（x）＜0．∴函数f（x）在区间（0，1）上单调递增，在区间（1，＋∞）上单调递减．（4分）（2）显然函数f（x）＝lnx－a2x2＋ax的定义域为（0，＋∞），．（5分）①当a＝0时，，∴f（x）在区间（1，＋∞）上为增函数，不合题意．（6分）②当a＞0时，f′（x）≤0（x＞0）等价于（2ax＋1）·（ax－1）≥0（x＞0），即，此时f（x）的单调递减区间为．由．（7分）③当a＜0时，f′（x）≤0（x＞0）等价于（2ax＋1）·（ax－1）≥0（x＞0），即，此时f（x）的单调递减区间为．由．（8分）综上，实数a的取值范围是．（12分）20、（本小题满分12分）在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AD＝BC，∠ABC＝60°，N是BC 的中点，将梯形ABCD绕AB旋转90°，得到梯形ABC′D′（如图）．（1）求证：AC⊥平面ABC′；（2）求证：C′N∥平面ADD′；（3）求二面角A－C′N－C的余弦值．解析：（1）证明：，N是BC的中点，∴AD＝NC，又AD∥BC，∴四边形ANCD是平行四边形，∴AN＝DC，又∠ABC＝60°，∴AB＝BN＝AD，∴四边形ANCD是菱形，，∴∠BAC＝90°，即AC⊥AB，又平面C′BA⊥平面ABC，平面C′BA∩平面ABC＝AB，∴AC⊥平面ABC′．（3分）（2）证明：∵AD∥BC，AD′∥BC′，AD∩AD′＝A，BC∩BC′＝B，∴平面ADD′∥平面BCC′，又C′N平面BCC′，∴C′N∥平面ADD′．（6分）（3）解：∵AC⊥平面ABC′，AC′⊥平面ABC．如图建立空间直角坐标系，设，设平面C′NC的法向量为n＝（x，y，z）取z＝1，则．∵AC′⊥平面ABC，∴平面C′AN⊥平面ABC，又BD⊥AN，平面C′AN∩平面ABC＝AN，∴BD⊥平面C′AN，BD与AN交于点O，O则为AN的中点，，∴平面C′AN的法向量．，由图形可知二面角A—C′N—C为钝角，所以二面角A—C′N—C的余弦值为．（12分）21、（本小题满分12分）如图，已知圆G：经过椭圆的右焦点F及上顶点B，过圆外一点（m，0）（m＞a）倾斜角为的直线l交椭圆于C，D两点，（1）求椭圆的方程；（2）若右焦点F在以线段CD为直径的圆E的外部，求m的取值范围．解析：（Ⅰ）∵圆G：经过点F、B．，．故椭圆的方程为．（4分）（Ⅱ）设直线l的方程为．由消去y得．（6分）设，则，．．∵点F在圆E的外部，，（10分）即，解得m＜0或m＞3．由，解得．又．（12分）四、选考题（本小题满分10分）22、【平面几何选讲】如图所示，在四边形ABCP中，线段AP与BC的延长线交于点D，已知AB＝AC且A，B，C，P四点共圆．（1）求证：；（2）若AC＝4，求AP·AD的值．解：（1）证明：因为点A，B，C，P四点共圆，所以∠ABC＋∠APC＝180°，又因为∠DPC＋∠APC＝180°，所以∠DPC＝∠ABC，又因为∠D＝∠D，所以△DPC∽△DBA，所以，又因为AB＝AC，所以．（5分）（2）因为AB＝AC，所以∠ACB＝∠ABC，又∠ACD＋∠ACB＝180°，所以∠ACD＋∠ABC＝180°．由于∠ABC＋∠APC＝180°，所以∠ACD＝∠APC，又∠CAP＝∠DAC，所以△APC∽△ACD，所以，所以AP·AD＝AC2＝16．（10分）23、【极坐标与参数方程】在极坐标系下，已知圆O：和直线l：，（1）求圆O和直线l的直角坐标方程；（2）当时，求直线l与圆O公共点的一个极坐标．解：（1）圆O：，即圆O的直角坐标方程为：x2＋y2＝x＋y，即x2＋y2－x－y＝0．（2分）直线l：，即则直线l的直角坐标方程为：y－x＝1，即x－y＋1＝0．（5分）（Ⅱ）由．（8分）故直线l与圆O公共点的一个极坐标为．（10分）24、【不等式选讲】已知函数f（x）＝|x＋1|＋|x－3|．（1）解不等式f（x）≤3x＋4；（2）若不等式f（x）≥m的解集为R，设求实数m的取值范围.解：（1），原不等式等价于：，∴不等式的解集为．。