江苏省南通市高考(数学学科基地命题)模拟数学试卷(四)有答案

AB =________． 的虚部是________4．一支田径队有男运动员28人，女运动员21人，现按性别用分层抽样的方法，从中抽取14位运动员进行健康检查，则男运动员应抽取________．5．执行如右图所示的程序框图，若输出s 的值为16，那么输入的n 值等于________．6．从装有2个红球和2个黑球的口袋内任取2个球，则其中恰有一个红球的概率是________． 7．等差数列{}n a 中，若357911100a a a a a ++++=，则9133a a -=________．8．将函数()sin2cos2f x x x =+的图像向右平移ϕ个单位（0ϕ>），可得函数()sin2cos2g x x x =-的图像，则ϕ的最小值为________．9．已知圆锥的底面圆心到某条母线的距离为1，则该圆锥母线的长度取最小值时，该圆锥的体积为________． 10．如图，在Rt ABC △中，90C ∠=，4AC =，2BC =，D 是BC 的中点，E 是AB 的中点，P 是ABC △（包括边界）内任一点．则AD EP 的取值范围是________．11．已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，在(0,2]上是增函数，且(4)()f x f x -=-，给出下列结论： ①若1222x x -<<<且120x x +>，则12()()0f x f x +>；②若1204x x <<<且125x x +=，则12()()f x f x >；③若方程()f x m =在[8,8]-内恰有四个不同的实根x 1，x 2，x 3，x 4，则12348x x x x +++=-或8； ④函数()f x 在[8,8]-内至少有5个零点，至多有13个零点； 其中正确的结论的个数是________个．12．已知函数()f x 满足1()2()f x f x =，当[1,3]x ∈时，()ln f x x =，若在区间1[,3]3上，函数()()g x f x ax =-恰有一个零点，则实数a 的取值范围是________．13．设P 是圆M ：22()(55)1x y -+-=上的动点，它关于()9,0A 的对称点为Q ，把P 绕原点依逆时针方向旋转90到点S ，则||SQ 的取值范围为________．14．如图，在数轴上截取与闭区间[0,4]对应的线段，对折后（坐标4所对应的点与原点重合）再均匀地拉成4个单位长度的线段，这一过程称为一次操作（例如在第一次操作完成后，原来的坐标1、3变成2，原来的坐标2变成4，等等）．那么原闭区间[0,4]上（除两个端点外）的点，在第n 次操作完成后（1n ≥），恰好被拉到与4重合的点所对应的坐标组成的集合是________．二、解答题：本大题共6小题，共90分． 15．（本小题满分14分）在ABC △中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，2A B =，sin 3B =． （1）求cos A 及sinC 的值； （2）若2b =，求ABC △的面积． 16．（本小题满分14分）如图所示，在三棱柱111ABC A B C -中，11AA B B 为正方形，11BB C C 为菱形，1160BB C ∠=，平面11AA B B ⊥平面11BB C C ．（1）求证：11B C AC ⊥；（2）设点E ，F 分别是B 1C ，AA 1的中点，试判断直线EF 与平面ABC 的位置关系，并说明理由．17．（本小题满分14分）已知某食品厂需要定期购买食品配料，该厂每天需要食品配料200千克，配料的价格为1.8元/千克，每次购买配料需支付运费236元．每次购买来的配料还需支付保管费用，其标准如下：7天以内（含7天），无论重量多少，均按10元/天支付；超出7天以外的天数，根据实际剩余配料的重量，以每天0.03元/千克支付．（1）当9天购买一次配料时，求该厂用于配料的保管费用P 是多少元？（2）设该厂x 天购买一次配料，求该厂在这x 天中用于配料的总费用y （元）关于x 的函数关系式，并求该厂多少天购买一次配料才能使平均每天支付的费用最少？ 18．（本小题满分14分）已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>，短轴端点到焦点的距离为2．（1）求椭圆C 的方程；（2）设点A ，B 是椭圆C 上的任意两点，O 是坐标原点，且OA OB ⊥；①求证：存在一个定圆，使得直线AB 始终为该定圆的切线，并求出该定圆的方程； ②若点O 为坐标原点，求AOB △面积的最大值． 19．（本小题满分16分） 已知曲线C ：1xy =，117x =过C 上一点(,)n n n A x y 作一斜率12n n k x =-+的直线交曲线C 于另一点，111(,)n n n A x y +++．（1）求n x 与1n x +之间的关系式； （2）求证：数列11{}23n x +-是等比数列，并求数列{}n x 的通项公式； （3）求证：23*123(1)(1)(1)...(1)1()n n x x x x n -+--+-<∈N ．20．（本小题满分16分）已知函数2()1(1)ln ()f x x a x x a =----∈R ． （1）当0a =时，求函数()f x 的单调区间；（2）若函数()()1g x f x x =-+既有一个极小值和又有一个极大值，求a 的取值范围； （3）若存在(1,2)b ∈，使得当(0,]x b ∈时，()f x 的值域是[(),)f b +∞，求a 的取值范围． 注：自然对数的底数 2.71828...e =．第Ⅱ卷（附加题，共40分）21．【选做题】本题包括A ，B ，C ，D 四小题，每小题10分，请选定其中两小题，并在相应的答题区域内作答．A ，（选修4-1；几何证明选讲）如图，已知AB 切圆O 于点B ，BC 是圆O 的直径，AC 交圆O 于点D ，DE 是圆O 的切线，CE DE ⊥于E ，3DE =，4CE =，求AB 的长．B ．（选修4-2：矩阵与变换）求将曲线2y x =绕原点逆时针旋转90后所得的曲线方程．C ．（选修4-4：坐标系与参数方程）已知极坐标系的极点与直角坐标系的原点重合，极轴与x 轴的非负半轴重合．若曲线C 1的方程为πsin()06ρθ-+=，曲线C 2的参数方程为cos sin x y θ,θ.=⎧⎨=⎩（1）将C 1的方程化为直角坐标方程；（2）若点Q 为C 2上的动点，P 为C 1上的动点，求||PQ 的最小值． D ．（选修4-5：不等式选讲）设函数()|21||2|f x x x =+--． （1）求不等式()2f x >的解集； （2）若x ∀∈R ，211()2f x t t ≥-恒成立，求实数t 的取值范围． 【选做题】第22题、23题，每题10分，共计20分．22．设A ，B 是治疗同一种疾病的两种药，用若干试验组进行对比试验．每个试验组由4只小白鼠组成，其中2只服用A ，另2只服用B ，然后观察疗效．若在一个试验组中，服用A 有效的小白鼠的只数比服用B 有效的只数多，就称该试验组为甲类组．设每只小白鼠服用A 有效的概率为23，服用B 有效的概率为12． （1）求一个试验组为甲类组的概率；（2）观察三个试验组，用X 表示这三个试验组中甲类组的个数，求X 的分布列和数学期望．23．用数学归纳法证明：224n n nn C <<，其中2n ≥，n ∈N ．15．解：（1）∵2A B=，∴2cos cos21sinA B B==-．∵sin3B=，∴11cos1233A=-⨯=．由题意可知，π(0,)2B∈．∴cos B sin sin22sin cosA B B B===∴sin sin[π()]sin()sin cos cos sinC A B A B A B A B=-+=+=+（2）∵sin sinb aB A=，2b==，∴a=．16．解：（1）连接BC1．在正方形ABB1A1中，1AB BB⊥．因为平面11AA B B ⊥平面11BB C C ，11111AA B B BB C C BB =平面平面，11AB ABB A ⊂平面，所以11B B C A B C ⊥平面．因为111B C C B B C ⊂平面，所以1AB B C ⊥ 在菱形11BB C C 中，．11BC B C ⊥因为11B C ABC ⊂平面，1AB ABC ⊂平面，1B C AB B =，所以11B C ABC ⊥平面．因为11AC ABC ⊂平面，所以11B C AC ⊥．（2）EF ABC ∥平面，理由如下：取BC 的中点G ，连接GE ，GA ．因为E 是B 1C 的中点， 所以1GE BB ∥，且112GE BB =． 因为F 是AA 1的中点，所以112AF AA =． 在正方形ABB 1A 1中，11AA BB ∥，11AA BB =． 所以GE AF ∥，且GE AF =． 所以四边形GEF A 为平行四边形． 所以EF GA ∥．因为EF ABC ⊄平面，GA ABC ⊂平面， 所以EF ABC ∥平面．17．解：（1）当9天购买一次时，该厂用于配料的保管费用700.03200(12)88P =+⨯⨯+=（元）． （2）（1）当7x ≤时36010236370236y x x x =++=+（2）当7x >时2[(7)360236706(6)21332143]2y x x x x x =++++-+⋯⋯++=++-∴2370236,73321432,7x x y x x x +≤⎧=⎨++>⎩∴设该厂x 天购买一次配料平均每天支付的费用为()f x 元．2370236,7()3321432,7x x xf x x x x x +⎧≤⎪⎪=⎨++⎪>⎪⎩．当7x ≤时236()370f x x =+当且仅当7x =时()f x 有最小值28264047≈（元）当7x >时23321432144()3(333219)x x f x x x x++==≥++．当且仅当12x =时取等号．∴所求椭圆方程为2214x y +=．（2）①当直线AB 的斜率不存在时，直线AB 的方程为x =，原点O 到直线AB ， 当直线AB 的斜率存在时，设直线AB 的方程为y kx m =+，11(,)A x y ，22(,)B x y ，则由2214m y y kx x ==+⎧+⎪⎨⎪⎩，得：222(14)8440k x kmx m +++-=，2216(14)0k m ∆=+->，122814km x x k+=-+，21224414m x x k -=+， 由2212122544014m k OA OB x x y yk --=+==+，得224(1)5m k =+， ∴原点O 到直线AB的距离d ===， 综上所述，原点O 到直线AB ；即该定圆方程为2245x y +=． ②当直线AB 的斜率不存在时AB =，当直线AB的斜率存在时，12|||AB x x =-= 当0k ≠时，||AB =12K =±时等号成立． 当0k =时，||AB =||AB 1255125=．19．解：（1）直线方程为1()2n n n y y x x x -=--+，因为直线过点111(,)n n n A x y +++， ∴111111111()()222n n n n n n n n n n n n n y y x x x x x x x x x x x +++++-=--⇒-=--⇒=+++． （2）设1123n n a x =+-，由（1）得 111111112()22233232n n n n n na a x x x x ++=+=+=-+=-+---又120a =-≠，故11{}23n x +-是等比数列； 1(2)21(2)3n n n n a x =-⇒=+--．（3）由（2）得∴1(1)(1)212(1)3n n n nnx -=-+--当n 为偶数时，则11111111222211(1)(1)11222222239n n n n n nn n n n n n n n n x x --------++-+-=<=++-∴2312321111(1)(1)(1)...(1) (112222)n n n n x x x x -+-+-++-<+++=-<；当n 为奇数时，则23123(1)(1)(1)...(1)1(1)n n n n x x x x x -+-+-++-<+- 而120123n n x =->+，所以1(1)11n n n x x +-=-<∴23123(1)(1)(1)...(1)1n n x x x x -+-+-++-<综上所述，当*n ∈N 时，23123(1)(1)(1)...(1)1nn x x x x -+-+-++-<成立．20．解：（1）()f x 的定义域为(0,)+∞．当0a =时，11()1x f x x x-'=-=．()001f x x '<⇔<<；()01f x x '>⇔>． 所以，函数()f x 的增区间为(1,)+∞，减区间为(0,1)．（2）2()(1)ln g x a x x =---，则21221()2(1)ax ax g x a x x x-+'=---=-．令2()221(0)h x ax ax x =-+>，若函数()g x 有两个极值点，则方程()0h x =必有两个不等的正根，设两根为x 1，x 2．于是2121220480,10,10.2a a a x x x x a ≠⎧⎪∆=->⎪⎪⎨+=>⎪⎪=>⎪⎩解得2a >．当2a >时，()0h x =有两个不相等的正实根，设为x 1，x 2，不妨设12x x <， 则122()()()()a x x x x h x g x x x--'=-=-． 当10x x <<时，()0h x >，()0g x '<，()g x 在1(0,)x 上为减函数； 当12x x x <<时，()0h x <，()0g x '>，()g x 在12(,)x x 上为增函数； 当2x x >时，()0h x >，()0g x '<，函数()g x 在2(,)x +∞上为减函数．由此，1x x =是函数()g x 的极小值点，2x x =是函数()g x 的极大值点．符合题意． 综上，所求实数a 的取值范围是(2,)+∞．（3）212(21)1(1)(21)()12(1)ax a x x ax f x a x x x x-++--'=---=-=-①当0a ≤时，210ax x-<．当01x <<时，()0f x '<，()f x 在(0,1)上为减函数； 当1x >时，()0f x '>，()f x 在(1,)+∞上为增函数．所以，当(0,](12)x b b ∈<<时，min ()(1)0()f x f f b ==<，()f x 的值域是[0,)+∞． 不符合题意．②当0a >时，12(1)()2()a x x a f x x--'=-．（i ）当112a <，即1a >时，当x 变化时，()f x '，()f x 的变化情况如下：若满足题意，只需满足1()(2)2f f a>，即21111(1)ln 1ln2222a a a a a ---->--． 整理得11ln2ln21()42a a a ++-≥．令11()ln2ln21()42F a a a a =++-≥，当12a >时，221141()044a F a a a a -'=-=>，所以()F a 在1(,)2+∞上为增函数，所以，当12a >时，111()()ln20222F a F >=->=．可见，当12a >时，1()(2)2f f a >恒成立，故当12a >，(0,](12)x b b ∈<<时，函数()f x 的值域是[(),)f b +∞；所以12a >满足题意．（ⅱ）当112a =，即12a =时，2(1)()0x f x x -'=-≤，当且仅当1x =时取等号． 所以()f x 在(0,)+∞上为减函数．从而()f x 在(0,]b 上为减函数．符合题意．（ⅲ）当112a >，即1a <<时，当x 变化时，()f x '，()f x 的变化情况如下表： 若满足题意，只需满足(2)(1)f f <，且122a <（若122a≥，不符合题意）， 即1ln2a >-，且14a >． 又11ln24->，所以1ln2a >-．此时，11ln22a -<<．综上，1ln2a >-．所以实数a 的取值范围是(1ln2,)-+∞．21．A ．连接OD ，∵DE 是圆O 的切线，∴OD DE ⊥，又∵CE DE ⊥于E ，∴OD CE ∥， ∴ECD ODC OCD ∠=∠=∠，∵3DE =，4CE =，∴5CD =，∴3tan tan tan 4ECD ODC OCD ∠=∠=∠=，∴4cos 5OCD ∠=，故25cos 4CD BC OCD ==∠，故75tan 16AB BC OCD =∠=． B ．由题意得旋转变换矩阵cos90sin900110sin90cos90M ⎡⎤--⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦， 设00(,)P x y 为曲线2y x =上任意一点，变换后变为另一点(,)x y ，则000110x x y y -⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦，即00,,x y y x =-⎧⎨=⎩所以00,,y x x y =-⎧⎨=⎩又因为点P 在曲线2y x =上，所以200y x =，故2()x y -=， 即2x y =为所求的曲线方程．C ．（1）由已知得31sin cos 2302ρθρθ-+，即0x -． （2）由C 2得221x y +=，所以圆心为2(0,0)C ，半径为1．又圆心到直线C 1的距离为d =||PQ 的最大值为1．D ．(1)不等式()2f x >可化为22122x x x >⎧⎨+-+>⎩或1222122x x x ⎧-≤≤⎪⎨⎪++->⎩或122122x x x ⎧<-⎪⎨⎪--+->⎩， 解得5x <-或1x >，所以所求不等式的解集为{|51}x x x <->或．(2)因为3,21()|21||2|31,2213,2x x f x x x x x x x ⎧⎪+>⎪⎪=+--=--≤≤⎨⎪⎪--<-⎪⎩，可得5()2f x ≥-， 若x ∀∈R ，211()2f x t t ≥-恒成立，则211522t t -≤-，解得152t ≤≤． 22．设Ai 表示事件“一个试验组中，服用A 有效的小白鼠有i 只”，0,1,2i =；Bi 表示事件“一个试验组中，服用B 有效的小白鼠有i 只”，0,1,2i =．依题意，有112423()39P A ⨯⨯=＝， 222433()9P A ==⨯， 0111()224P B =⨯=， 1111()2222P B =⨯⨯=．故所求的概率为010212)1414144(()()4949299P P B A P B A P B A =⨯+⨯+⨯=＝＋＋． （2）由题意知X 的可能值为0，1，2，3，故有 35125()()97290P X ===， 123451001()99243()P X C ⨯⨯===， 22345802()99243()P X C ⨯⨯===， 34643()9(7)29P X ===． 从而，X 的分布列为数学期望1251008064401237292432437293EX ⨯⨯+⨯⨯＝++=． 23．①当2n =时，22222264C ⨯<=<不等式成立． ②假设当n k =时，2264k k k k C <=<成立，则当1n k =+时由122(22)(21)2(1)2(21)(+1)(+1)(+1)(+1)(+1)k k k k k k C k k k k k k ++++⨯++===！！！！！！！！！11222222k k k k k k C C ++=>=>=，即11222k k k C +++<．11222122221222244441k k k k k k k k k k k k k C C C C C k +++++=<<=<=+， 因此1112224k k k k C ++++<<成立，即当1n k =+时，不等式成立， 所以，对2n ≥，n ∈N ，不等式224n n n n C <<恒成立．江苏省南通市2017年（数学学科基地命题）高考模拟数学试卷（四）解 析一、填空题1．∵A={x|-4<x<4}， B={-5，0，1}。