立何几何中的演绎推理

立何几何中的演绎推理
广东 王征明
在立体几何、数列等内容中考查推理与证明是高考命题人所青睐的，下面就一道立体几何中对演绎推理考查的高考题进行简单分析，使同学们能够认识解此类题的规律. 例 （2000年高考全国卷）如图１所示，已知平行六面体1111ABCD A B C D -的底面ABCD 是菱形，且1160C CB C CD BCD ∠=∠=∠=°．
（1）证明：1C C BD ⊥；
（2）假定2CD =，132
CC =
，记面1C BD 为α，面CBD 为β，求二面角BD αβ--的平面角的余弦值； （3）当1CD CC 的值为多少时，能使1A C ⊥平面1C BD ？ 请给出证明．
分析：立体几何内容是考查演绎思维的最好素材，几乎每年的高考数学试卷中都有一道以解答题形式给出的立体几何试题.立体几何试题除了突出考查空间想象能力之外，考查逻辑思维、考查演绎推理是它不可少的功能.如何使用立体几何素材来考查演绎推理呢？试题的设计主要考虑了两点：一是在证明中进行考查，要求考生以典型三段论的形式，严格按照演绎推理的步骤完成推理和论证；二是在计算中进行考查.立体几何中的计算，往往需要先画出或作出有关的几何量，然后再进行计算.这里的作图是需要证明的，证明过程便体现出对演绎推理的考查.
这道立体几何试题主要是从线线垂直、线面垂直、二面角的平面角的证明三个方面来考查演绎推理.为了正确处理平面几何在演绎推理过程中的作用，适当减少演绎推理过程中无关因素的干扰，以考查演绎推理的基本模式为主而不过分强调技巧，试题的编制过程中充分考虑到这些因素，使之尽量满足既符合能力考查要求，又符合考生的实际水平. 第（1）问证明1C C BD ⊥，其思考顺序是将线线垂直转化为线面垂直，再把线在垂直转化为线线垂直，也就是用分析法思考．可将证明1C C BD ⊥转化为证明BD ⊥平面11C CAA ，最终转化为证明BD AC ⊥且1BD C O ⊥（如图2）.然后再根据已知条件，用综合法写出证明过程，完成演绎推理的全过程.
第（2）问对演绎推理的考查，主要体现在二面角平面角的证明.由于第（1）问已经证明了AC BD ⊥，1C O BD ⊥，因此，便可使用定义直接证得，虽然简单，但这其中也体现了“算中有证”的考查思想，立体几何计算题并非单纯考查计算，而是与逻辑思维能力相结合进行考查.
第（3）问由于设问方式的改革，对思维能力有更高层次的要求.在第（３）问中，进行演绎推理的条件并没有给出，而是要求考生使用分析法进行逆向思维，通过探索，猜想出使1A C ⊥平面1C BD 的充分条件．
（1）证明：连结1A C ，AC ，AC 和BD 交于点O ，连结1C O ．
∵四边形ABCD 是菱形，如图2所示，
A C
B D ⊥∴，B
C C
D =．
又11BCC DCC ∠=∠∵，11C C C C =，
11C BC C DC ∴△≌△．
11C B C D =∴．
D O O B =∵，1C O BD ⊥∴．
又AC BD ⊥，1AC C O O =．
BD ⊥∴平面1AC ．
又1C C ⊂平面1AC ，
1C C B D ⊥∴．
（2）解：由（1）知AC BD ⊥，1C O BD ⊥，
1C O C ∠∴是二面角BD αβ--的平面角． 在1C BC △中，2BC =，132C C =
，160BCC ∠=°， 2
22133222cos6022C B ⎛⎫=+-⨯⨯⨯ ⎪⎝⎭
13∴°=4． 30OCB ∠=∵°， 1
12O B B C ==∴．
22211139144C O C B OB =-=
-=∴， 132
C O =∴，即11C O C C =． 作1C H OC ⊥，垂足为H ， ∴点H 是OC 的中点，且32HO =
． 所以113cos 3OH C OC C O ∠=
=． （3）证明：由（1）知，BD ⊥平面1AC ，
1
AC ⊂∵平面1AC ， 1B D A C ⊥∴．
当1
1CD CC =时，平行六面体的六个面是全等的菱形， 同1BD A C ⊥的证法可得11BC AC ⊥， 又1BD BC B =，
1AC ⊥∴平面1C BD ．。