第9章组合变形1

z
y
(2)圆截面
M z max = F2l ,
2 M = M z2 + M y
M y max = F1 × 2l
y
z
My M
Mz
对于无棱角的截面如何进行强度计算—— 任一点 K 点的应力
y
x
x z
σk =σk
Mz
+σk
My
M z yk M y z k = Iz Iy
1,首先确定中性轴的位置; 设 K 点在中性轴上, z0,y0 代表中性轴上任意点的坐标
σ t max
M z max FN = + Wz A
σ c max =
M z max FN + Wz A
强度条件(简单应力状态)——
σ max ≤ [σ ]
二,偏心拉(压)
1,偏心拉(压)的概念 作用在杆件上的外力与杆的轴线平行但不重合.
x x
F
F' My
z
My
y y
F'' M z
z
2,偏心拉(压)的计算 (1)荷载的简化
设中性轴在 z, y 轴的截距为 ay, az 则:
ay yF zF F
x
z
y
F
2 iz ay = ; ey
az =
2 iy
y
z
ez
2,确定危险点的位置 3,强度计算
将两切点的坐标代入应力计算公式确定 最大拉应力和最大压应力进行强度计算.
中性轴 a
z
ay yF zF
z
y F y0 z F z 0 1+ 2 + 2 = 0 iz iy
F'
,
zk
Mz
My
z
yk
z
M σk
Z
M z yk = ; Iz
在 My 作用下:
y
y
k
在 FN作用下:
在 Mz 作用下:
FN
d a
c y b
z d a
c b y
d a
c b y
z
F σk =σk N (3)叠加:
M +σk z
My +σk
F M z yk M y z k = A Iz Iy
x
σk =σ
3
tan β =
f z 11.99 = f y 10.63
β = 48.44o
f max =
f z2max + f y2max = 11.99 2 + 10.632 = 16.02(mm)
f max
3.3 ×103 = 16.02(mm) < [w] = = 16.5(mm) 200
例 图示悬臂梁,承受载荷F1与F2作用,已知F1=800N,F2=1.6kN, l=1m,许用应力[σ]=160MPa.试分别按下列要求确定截面尺寸: (1) 截面为矩形,h=2b;(2) 截面为圆形. z
Fx
B F X
160 3kN 3
40kNm X M
采用试选的方法
M max 40 ×106 3 3 = ≤ 140. Wz ≥ 285.7 ×10 (mm ) Wz Wz
选两根18号槽型钢Wz=152.2 cm3,A=29.29 cm2.
选两根18号槽型钢每根 Wz=152.2cm 3,A=29.29cm2. 160 3 ×103 A 6 40 ×10 σ max = + 3 2 × 152.2 × 103 2 × 29.29 ×10 2 FN
F
中性轴
M z y0 M y z 0 σ= =0 Iz Iy
——中性轴方程 (过截面形心的一条斜直线)
2,找出危险点的位置(离中性轴最远的点); 3,求危险点的应力,进行强度计算.
a
y
b
k
z Fz
Fy
§9-3 轴向拉(压)与弯曲组合 偏心拉压
工程实例
拉弯组合变形
一,拉(压)弯组合变形的计算
1,荷载的分解
z
M y max
q z L 358 × 3.3 = = = 487 Nm 8 8
2
q
α
qy
α=26°34′
3,强度计算
σ max
Mz My = + Wz W y
= 972 ×10
3
y
4,刚度计算
f z max 5q z L4 = = 384 EI y
5q y L4
1 1 × 80 ×120 2 ×120 × 80 2 6 6 = 8.86( MPa) ≤ [σ ]
强度条件(简单应力状态)——
σ max ≤ [σ ]
对有棱角的截面,最大的正应力发生在棱角点处,且处于单向应力状态.
σ max
N M z max M y max =± ± ± ≤ [σ ] A Wz Wy
y
x
F
对于无棱角的截面如何进行强度计算—— 1,确定中性轴的位置;
z
FN ( x) = F
M z = F yF M y = F zF
y
解:危险截面为固定端截面
(1) 矩形截面:
M z max = F2l ,
M y max = F1 × 2l
F2 F1
Z
L L
Y
例 图示悬臂梁,承受载荷F1与F2作用,已知F1=800N,F2=1.6kN, l=1m,许用应力[σ]=160MPa.试分别按下列要求确定截面尺寸: (1) 截面为矩形,h=2b;(2) 截面为圆形.
烟囱:自重引起轴向压缩 + 水平方向的风力而引起弯曲; 传动轴:在齿轮啮合力的作用下,发生弯曲 + 扭转 立柱:荷载不过轴线,为偏心压缩 = 轴向压缩 + 纯弯曲
2,组合变形的研究方法 —— 叠加原理
求解步骤 ①外力分解和简化 ②内力分析——确定危险面. ③应力分析:确定危险面上的应力分布, 确定 建立危险点的强度条件.
y
y
正应力的分布讨论
k
z Fz
Mz
z
My
在 M z 作用下: y 在 M y 作用下:
y
Fy
F
Mz
z z
My
K 点的应力
σk =σk
Mz
+σk
My
M z yk M y z k = + Iz Iy
y
b
a
y
b a
y
x
x
Mz
z
d c
z
d
c
My
z
F
4,强度计算 危险截面——固定端截面
M z max = Fy l , M y max = Fz l
A 解:1,外力分解 q z = q sin α = 800 × 0.447 = 358 N / m B
L
q y = q cos α = 800 × 0.894 = 714 N / m
y
2,内力分析
M z max 714 × 3.32 = = = 972 Nm 8 8 q y L2
2
b=80mm h=120mm qz
危险点——b 点为最大拉应力点,d 点为最大压应力点.
σ t max = σ c max
M z max ymax M y max z max M z max M y max = + = + Iz Iy Wz Wy
强度条件(简单应力状态)—— σ max ≤ [σ ]
y
4,刚度计算kຫໍສະໝຸດ 3f y max =
例 :槽型截面梁 AB如图, [σ]=140MPa. 试选择槽型截面梁的型号. 解:1,外力分解 3m A D FAy FAx A Fy 300 FNCD C F=40kN 300 1m B C Z F=40kN
∑M
A
=0 8 = F 3
0
4 F = 3FNCD sin 300 FNCD
4 3F Fx = FNCD cos 30 = 3 4 0 Fy = FNCD sin 30 = F 3
Fx
B
2,强度计算 危险截面——C左 A 160 FN max = 3 (kN ); M max = 40(kNm) 3 FN M max FN max t σ max = σ max = + Wz A
160 3 × 103 6 40 × 10 = + 3 ≤ 140 Wz A
Fy 300 FNCD C
因为一般情况下的 Iz ≠ Iy ,则 β ≠
fy
变形发生的平面和载荷作用平面不在同一平面——斜弯曲
(与平面弯曲的区别)
例 :矩形截面木檩条如图,跨长L=3.3m,受集度为 q=800N/m 的均布力作用, [σ]=12MPa,容许挠度为:L/200 ,E=9GPa, q 试校核此梁的强度和刚度.
横截面任意点 K 的应力
z yF zF F z y
y
F σk =σk N
M +σk z
My +σk
F M z yk M y z k = A Iz Iy
z
FN ( x) = F M z = F yF
令 z0,y0 代表中性轴上任意点的坐标
M y = F zF
中性轴 a
F M z y0 M y z 0 σ = =0 A Iz Iy 2 I z = A iz F F y F y0 F z F z 0 + + =0 2 A Iz Iy I y = A iy y F y0 z F z 0 1 + 2 + 2 = 0 ——中性轴方程(不经过 iz iy 截面形心的一条斜直线)
x
F
Mz
x
F'