第九章组合变形解析
合集下载
09.材料力学-组合变形
2 1 ， 2 0， 3 2 2 2 2 2
然后，选用强度理论建立强度条件。因手柄用钢材制成，应 选用第三或第四强度理论。若采用第三强度理论，可得其强度 条件为
2
2
r 3 4
2
2
≤
作出AB杆的弯矩图和AC段的轴力图，如图(c)所示。从图中 可以看出， C 点截面左侧，其弯矩值为最大，而轴力与其它截 面相同，故为危险截面。 开始试算时，可以先不考虑轴力Fx的影响，只根据弯曲强度
条件选取工字钢。这时截面系数为
W≥
M 120 10 m 120cm 100 106
350
M
FN
(a)
(b)
t .max
(c)
c.max
21
解：首先，根据截面尺寸计算横 截面面积，确定截面形心位置，求 出截面对形心主惯性轴y的主惯性矩
y1
z0
y
z1
50
Iy。计算结果为
150 50 150
A 15103 mm2 ，z1 75 mm， I y 531010 mm
30
若采用第四强度理论，可将上述三个主应力代入公式，其 强度条件成
r 4 2 3 2 ≤
若将式
M W
MT WP
2 M 2 MT
代入上两式，并注意到对圆截面杆有 WP ＝ 2W ，则以上两式 改写成
r3
r4
W
2 M 2 0.75M T
≤ ≤
A1 Wz1
200
300
200 P
350000 350 50 6 0.2 0.3 0.2 0.32 11.7 MPa
材料力学09组合变形_1斜弯曲_土
解： 梁为斜弯曲 作弯矩图 可见危险截面位于固定 端处，其上铅垂弯矩、 水平弯矩分别为
Mz 1.5 kN m
M y 2 kN m
1.5 kN m Mz
2 kN m
My
x x
9
抗弯截面系数
Wz
bh2 6
46875 mm3
Wy
hb2 6
31250
mm3
1.5 kN m
第九章 组合变形
第一节 引 言
主要任务： 解决组合变形杆件的强度问题 基本假设： 在线弹性、小变形条件下，假设组合变形中的每一
种基本变形彼此独立、互不影响。 基本方法： 叠加法，即将组合变形分解为几种基本变形，分别
计算每种基本变形的内力、应力；然后进行叠加， 确定构件的危险截面、危险点以及危险点的应力状 态；最终建立组合变形杆件的强度条件。
解： 大梁为斜弯曲 当小车行至梁跨度中点时，
梁的最大弯矩最大。
将 F 沿 y、z 主轴分解，有
Fy F cos 29 kN
Fz F sin 7.76 kN
作弯矩图， 可见跨中截面为危 x
险截面，其上铅垂弯矩、水平 M z
Mz
弯矩分别为 x
Mz Fy l / 4 29 kN m
max
M max Wz
Fl 4 43.3 MPa Wz
可见，载荷虽然只偏离了铅垂线 15°，但最大正应力却为原来的 3.5 倍。因此，当截面的 Wz 和 Wy 相差较大时，应尽量避免斜弯 曲。
8
[例2] 图示矩形截面梁，已知 l = 1m，b = 50 mm，h = 75 mm。试 求梁中最大正应力及其作用点位置。若截面改为直径 d = 65 mm 的 圆形，再求其最大正应力。
建筑力学 第9章 组合变形杆件的应力分析与强度计算
建筑力学
§9-1 组合变形的概念
一、组合变形的概念
前面几章研究了构件的基本变形： 轴向拉（压）、扭转、平面弯曲。
由两种或两种以上基本变形组合的情况称为组合变形
组合变形
斜弯曲 拉（压）弯组合变形 偏心拉伸（压缩）变形 弯扭组合变形
§9-1 组合变形的概念
斜弯曲:
压弯组合变形:
F
Fy
z
Fz
x
y
§9-1 组合变形的概念
M z max Wz
z
Fx x
Fy
y
F
设图示简易吊车在当小车运行到梁端D时，吊车横梁处于最 不利位置。已知小车和重物的总重量F＝20kN， 钢材的许用应力[]=160MPa，暂不考虑梁的自重。 按强度条件选择横梁工字钢的型号。
C
2m
A
A
FAx FAy
30 3.46m
FBC
30 3.46m
解：1、横梁AD受力分析
z
F2
b
（最大拉应力）
l y
解：
h
z
l
F1
（最大压应力）y
§9-3 拉伸（压缩）与弯曲的组合变形
横向力与轴向力共同作用的组合变形 一、荷载分解
Fx F cos
z
Fx x
Fy
y
F
Fy F sin
§9-3 拉伸（压缩）与弯曲的组合变形
二、内力计算 a
z
Fx F cos
Fx Fy F sin
解：1、荷载分解
q
qy q cos 800 0.894 714 N / m A
B
L
qz q sin 800 0.447 358 N / m
§9-1 组合变形的概念
一、组合变形的概念
前面几章研究了构件的基本变形： 轴向拉（压）、扭转、平面弯曲。
由两种或两种以上基本变形组合的情况称为组合变形
组合变形
斜弯曲 拉（压）弯组合变形 偏心拉伸（压缩）变形 弯扭组合变形
§9-1 组合变形的概念
斜弯曲:
压弯组合变形:
F
Fy
z
Fz
x
y
§9-1 组合变形的概念
M z max Wz
z
Fx x
Fy
y
F
设图示简易吊车在当小车运行到梁端D时，吊车横梁处于最 不利位置。已知小车和重物的总重量F＝20kN， 钢材的许用应力[]=160MPa，暂不考虑梁的自重。 按强度条件选择横梁工字钢的型号。
C
2m
A
A
FAx FAy
30 3.46m
FBC
30 3.46m
解：1、横梁AD受力分析
z
F2
b
（最大拉应力）
l y
解：
h
z
l
F1
（最大压应力）y
§9-3 拉伸（压缩）与弯曲的组合变形
横向力与轴向力共同作用的组合变形 一、荷载分解
Fx F cos
z
Fx x
Fy
y
F
Fy F sin
§9-3 拉伸（压缩）与弯曲的组合变形
二、内力计算 a
z
Fx F cos
Fx Fy F sin
解：1、荷载分解
q
qy q cos 800 0.894 714 N / m A
B
L
qz q sin 800 0.447 358 N / m
009 第九章 强度理论与组合变形
2 3
2 2 1 3 1 2 3 ( 2 ) 2 2
( 2
1 3
)
1991年俞茂宏提出了考虑拉压性能不同的参数α及反映中间 主切应力以及相应面上的正应力对材料破坏影响的加权系数b 的双剪切统一强度理论。
1 3 1 (b 2 3 ) ( 2 ) 1 b 1 1 3 1 ( 1 b 2 ) 3 ( 2 ) 1 b 1
极限应力圆 s
极限应力圆的包络线
s3
o
s2
s1
近似包络线
12
1、基本论点：材料是否破坏取决于三向应力圆中的最大应力圆。 （即任意一点的最大应力圆若与极限曲线相接触，则材料即将 屈服或剪断）。 M 2、破坏条件： 许用包络线
K
L
P
〔 c〕
O2 3
oN
O3 O1
9
强度理论的应用——
x
max
min
x
2
(
x
2
) 2 xy 1
2
3
xy
r 3 x 4 xy
2 2
r 4 x 3 xy
2 2
2 0 。 使用条件：屈服破坏，
10
§8－3
其他强度理论
一、莫尔强度理论（修正的 最大切应力理论） 莫尔认为：最大切应力是
1
第八章
强度理论与组合变形
§8－１ 强度理论的概念 §8－2 四种常用的强度理论 §8－3 其他强度理论
强度理论小结
§8—4 §8—5 §8－6 §8－7 §8－8 组合变形概述 斜弯曲 轴向拉(压)与弯曲组合 偏心拉（压） 截面核心 弯曲与扭转
组合变形
M z 440 N m
M y 187 N m
T 1020 N m
合弯矩：
2 M M y M z2 4402 187 2
478N m
第四强度理论：
W
r4
1 W
M 2 0.75T 2
603 109
32
21.2110 6 m3
危险截面: B 截面
T 21.7 N m M 26.7 N m
第三强度理论：
r3
W
1 W
M 2 T 2
T图
21.7 N m
353 109
32
2
4.2110 6 m3
2
r3
8.18MPa
26.7 21.7 4.21106
第四强度理论：
式中: T
r4
危险截面上的扭矩 危险截面上的合弯矩
M
M
实心轴 W
2 2 My Mz
D3
32 D3 空心轴 W 1 4 32
,
例题 8-5 45钢的传动轴AB的直径为35mm，许用应力为 85MPa。电动机功率P = 2.2kW,由带轮C 传入。带轮C转速为 966r/min,带轮的直径为 D = 132mm，带拉力为F+F’ = 600N。齿轮E的 d 节圆直径为： 1 50mm 。
Fz Fz F sin 240 F sin 300 257 N
二、作出轴的弯矩图 和扭矩图
T图
21.7 N m
My 图
7.43N m 20.4 N m 11.4 N m 24.1N m
Mz 图
M y 187 N m
T 1020 N m
合弯矩：
2 M M y M z2 4402 187 2
478N m
第四强度理论：
W
r4
1 W
M 2 0.75T 2
603 109
32
21.2110 6 m3
危险截面: B 截面
T 21.7 N m M 26.7 N m
第三强度理论：
r3
W
1 W
M 2 T 2
T图
21.7 N m
353 109
32
2
4.2110 6 m3
2
r3
8.18MPa
26.7 21.7 4.21106
第四强度理论：
式中: T
r4
危险截面上的扭矩 危险截面上的合弯矩
M
M
实心轴 W
2 2 My Mz
D3
32 D3 空心轴 W 1 4 32
,
例题 8-5 45钢的传动轴AB的直径为35mm，许用应力为 85MPa。电动机功率P = 2.2kW,由带轮C 传入。带轮C转速为 966r/min,带轮的直径为 D = 132mm，带拉力为F+F’ = 600N。齿轮E的 d 节圆直径为： 1 50mm 。
Fz Fz F sin 240 F sin 300 257 N
二、作出轴的弯矩图 和扭矩图
T图
21.7 N m
My 图
7.43N m 20.4 N m 11.4 N m 24.1N m
Mz 图
材料力学斜弯曲
Iy z1 Iz y1
y
中性轴
Fl
另一条类似。
四、挠度的方向
z F wy
l
x
y
w φ β wz
F
Fl 3 sin 自由端 wy 3EI z
方向
Fl 3 cos wz 3EI y
t an
wy wz
Iy Iz
t an
结论
挠度
中性轴
t an
一、概念
z
Fy
φ
F
Fz
外力：作用线不与形心主 惯性轴重合； 内力: 弯矩矢不与形心主 惯性轴重合（可分解成两 y 个形心主惯性轴方向的弯 矩）； 变形：挠曲线不与载荷线 共面。
斜弯曲
F1
平面弯曲
F2
二、正应力强度条件
例：分析图示斜弯曲变形
z
z
y φ
y
F
A
F φ
B
l
z
y
1.分类：
平面弯曲（绕 y 轴） + 平面弯曲（绕 z 轴）
图中力F是否使梁产生平面弯曲？
F
z y
F
F
z z y
y
弯曲中心的意义
非对称截面梁平面弯曲的条件： 1.外力平行于形心主惯性平面 保证 Iyz=0
（推导弯曲正应力时要求满足Iyz=0）
F
M
2.外力作用线通过弯曲中心 保证 不扭转
图中力F使梁产生平面弯曲， 同时还产生扭转。
A
y
C
z
§9.3 拉（压）弯组合
A
D1
t max
D2
M y max M z max t max 单向应力状态 W c max Wz y
y
中性轴
Fl
另一条类似。
四、挠度的方向
z F wy
l
x
y
w φ β wz
F
Fl 3 sin 自由端 wy 3EI z
方向
Fl 3 cos wz 3EI y
t an
wy wz
Iy Iz
t an
结论
挠度
中性轴
t an
一、概念
z
Fy
φ
F
Fz
外力：作用线不与形心主 惯性轴重合； 内力: 弯矩矢不与形心主 惯性轴重合（可分解成两 y 个形心主惯性轴方向的弯 矩）； 变形：挠曲线不与载荷线 共面。
斜弯曲
F1
平面弯曲
F2
二、正应力强度条件
例：分析图示斜弯曲变形
z
z
y φ
y
F
A
F φ
B
l
z
y
1.分类：
平面弯曲（绕 y 轴） + 平面弯曲（绕 z 轴）
图中力F是否使梁产生平面弯曲？
F
z y
F
F
z z y
y
弯曲中心的意义
非对称截面梁平面弯曲的条件： 1.外力平行于形心主惯性平面 保证 Iyz=0
（推导弯曲正应力时要求满足Iyz=0）
F
M
2.外力作用线通过弯曲中心 保证 不扭转
图中力F使梁产生平面弯曲， 同时还产生扭转。
A
y
C
z
§9.3 拉（压）弯组合
A
D1
t max
D2
M y max M z max t max 单向应力状态 W c max Wz y
第九章 组合变形
一、是非题9.1 斜弯曲时，危险截面上的危险点是距形心主轴最远的点。
（）9.2 工字形截面梁发生偏心拉伸变形时，其最大拉应力一定在截面的角点处。
（）9.3 对于偏心拉伸或偏心压缩杆件，都可以采用限制偏心矩的方法，以达到使全部截面上都不出现拉应力的目的。
（）9.4 直径为d 的圆轴，其危险截面上同时承受弯矩M 、扭矩T 及轴力N 的作用。
若按第三强度理论计算，则危险点处的9.5 图示矩形截面梁，其最大拉应力发生在固定端截面的a 点处。
（）二、选择题9.6 图（ a ）杆件承受轴向拉力F ，若在杆上分别开一侧、两侧切口如图（ b ）、图（ c ）所示。
令杆（ a ）、（ b ）、（ c ）中的最大拉应力分别为和，则下列结论中（）是错误的。
A. B.C. D.9.7 对于偏心压缩的杆件，下述结论中（）是错误的。
A. 截面核心是指保证中性轴不穿过横截面的、位于截面形心附近的一个区域B. 中性轴是一条不通过截面形心的直线C. 外力作用点与中性轴始终处于截面形心的相对两边D. 截面核心与截面的形状、尺寸及载荷大小有关三. 计算题9.8材料为灰铸铁HT 15－33的压力机框架如图所示。
许用拉应力为，许用压应力为，试校核该框架立柱的强度。
9.9图示皮带轮传动轴，传递功率N =7kW ，转速n =200 r/min 。
皮带轮重量Q =1.8 kN 。
左端齿轮上啮合力与齿轮节圆切线的夹角（压力角）为。
轴的材料为A5钢，其许用应力。
试分别在忽略和考虑皮带轮重量的两种情况下，按第三强度理论估算轴的直径。
答案9.1 × 9.2 √ 9.3 × 9.4 √ 9.5 √ 9.6 C 9.7 D9.8解：9.9解：。
材料力学 第九章组合变形杆件强度计算
cos sin y0 + z0 = 0 Iz Iy
—— 中性轴方程(过截面形心的直线) 中性轴方程(过截面形心的直线)
b 中性轴 α
cos sin y0 + z0 = 0 Iz Iy
z
d
设中性轴与水平对称轴 z 的夹角为 ,则: 的夹角为α,
y0 tan α = z0
I z sin I y cos
=9.57mm
§9-3 拉伸(压缩)与弯曲的组合 拉伸(压缩)
当杆受轴向力F和横向力 共同作用时 当杆受轴向力 和横向力q共同作用时,杆将产 和横向力 共同作用时, 生拉伸(压缩)和弯曲组合变形. 生拉伸(压缩)和弯曲组合变形. q F
A B
F
对于弯曲刚度EI较大的杆, 对于弯曲刚度 较大的杆,由横向力引起的弯 较大的杆 曲变形与截面尺寸相比很小,因此, 曲变形与截面尺寸相比很小,因此,由轴向力在弯 曲变形上引起的附加弯矩可以忽略不计. 曲变形上引起的附加弯矩可以忽略不计. 附加弯矩可以忽略不计 q F F A B w x FA q FS M=FAx-qx2/2-Fw F A M w FN x 附加弯矩 FA
第九章 组合变形杆件 的强度计算
作者:黄孟生
§ 9 -1 概 述
构件发生两种或两种以上基本变形的组合, 构件发生两种或两种以上基本变形的组合,若几种变 形所对应的应力(或变形)属于同一数量级. 形所对应的应力(或变形)属于同一数量级.则构 件的变形称为组合变形. 组合变形.
组合变形的实例: 组合变形的实例
F
y
=
Iz = tan Iy
斜弯曲时, 注:① 当 Iy≠Iz 时,则α≠ .斜弯曲时,中性轴与外力作用
线不垂直. 线不垂直. ② 当Iy = Iz 时,则α= 只发生平面弯曲,而不发生斜 .只发生平面弯曲, 弯曲. 弯曲.
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
yo iz2 ey
az
zo
i
2 y
ez
17
第九章 组合变形
截面核心
当偏心力的作用点位于形心附近的一个限界上时,可使得 中性轴恰好与周边相切,这时横截面上只出现压应力.该限 界所围成的区域-----截面核心。
确定截面核心边界：
将与截面相切的直线看作中性轴，其在y、z两个形心惯性
轴上的截距分别为 ay 和 a z 。从而可得截面核心边界上的
楼板
墙
地下室底板
梁
楼梯 柱
梁
墙下基础
柱下基础
4
• 研究内容
• 拉（压）弯组合变形 • 杆件的偏心拉伸，偏心压缩 • 斜弯曲 • 杆件的弯扭组合
第九章 组合变形
5
§9-1 概 述
叠加原理
第九章 组合变形
构件在小变形和服从胡克定理的条件下，力的
独立性原理是成立的。即所有载荷作用下的内力、 应力、应变等是各个单独载荷作用下的值的叠加
max
49.7 103 35.5102
30 106 237 103
140.6MPa
13
第九章 组合变形
9-3 偏心压缩与截面核心
单向偏心拉伸（压缩）
eF
F M Fe
F M Fe
FN Fey
A IZ
FN
M Fe
z
A
B
y
F
A
B
e
F
M Fe
单向偏心压缩时,距偏心力较近的一侧边缘总是产生压应力,而最
F 15 103
667F Pa
c.max
Mz1 Iy
FN A
t.max
c.max
425103 F 0.125 5.31105
15
F 10
3
934F Pa
11
第九章 组合变形
F 350
M
t.max 667F c.max 934F
（4）求压力F
FN
t.max 667F t
10
第九章 组合变形
A 15000mm2
（2）立柱横截面的内力
z0 75mm
FN F
z1 125 mm
M 425 10 3 F N.m
I y 5.31107 mm4 （3）立柱横截面的最大应力
t.max
Mz0 Iy
FN A
F 350
M FN
425103 F 0.075 5.31105
=+
10
8
第九章 组合变形
t,max
=+
c,max
c
F A
t,max
=+
c,max
t,max
Fl W
c,max
Fl W
t,max
Fl W
F A
[t ]
c,max
Fl W
F A
[ c ]
9
第九章 组合变形
铸铁压力机框架，立柱横截面尺寸如图所示，材料的许用
拉应力[t]＝30MPa，许用压应力[c]＝120MPa。试按立柱
iy
Iy A
z
a y ey ,ez y
az
中性轴
16
z
a y ey ,ez y
az
中性轴
第九章 组合变形
中性轴与偏心力的作用点总是位于形心的相对 两侧.且偏心力作用点离形心越近,中性轴就离形心 越远.
当偏心距为零时,中性轴位于无穷远处.
中性轴是一条不通过截面形心的直线
z0 0 y0 0
ay
大正应力总是发生在距偏心力较远的另一侧,其值可能是拉应力,
也可能是压应力.
14
双向偏心拉伸（压缩）
1.外力分析
第九章 组合变形
ey z F
ez
y
F
z
M z Fey
y
M
D
y
Fez
Ey, z C
2.内力分析
FN F M y Fez
A
B
3.应力计算
FN M y z M z y
A Iy
Iz
量F＝20kN，钢材的许用应力［σ］＝160MPa，暂不考虑
梁的自重。按强度条件选择横梁工字钢的型号。
FB
FBy
FAx
FAy
FBx
F
B左截面压应力最大Βιβλιοθήκη 49.7kN30kNm
max
FN A
Mz Wz
M z
Wz
查表并考虑轴力的影响：
20a Wz 237cm3 A 35.5cm2
Wz 187.5cm3
解决组合变形的基本方法是将其分解为几种基
本变形；分别考虑各个基本变形时构件的内力、应 力、应变等；最后进行叠加。
6
研究方法
第九章 组合变形
• 外力分析 • 内力分析 确定危险截面 • 应力分析 确定危险点 • 强度分析 选取适当的强度理论，进行强度计
算。
7
第九章 组合变形
§9-2 拉（压）弯组合变形
F t 30106 45000N
667 667
t.max
c.max
c.max 934F c F c 120106 128500N
934 934
许可压力为F 45000N 45kN 12
设图示简易吊车在当小车运行到距离梁端D还有0.4第m九处章 组合变形
时，吊车横梁处于最不利位置。已知小车和重物的总重
坐标 y1, y2 。
y1
i
2 z
a y1
, z1
i
2 y
a z1
然后，将各坐标连接起来，围成的区域就是截面核心。
18
截面核心 y
1
5
2 34
z
15
4
2
3
y1
i
2 z
a y1
, z1
i
2 y
a z1
第九章 组合变形
19
第九章 组合变形
求直径为D的圆截面的截面核心.
D
FN A
My Wy
Mz Wz
M z Fey
A
FN A
My Wy
Mz Wz
B
FN A
My Wy
Mz Wz
C
FN A
My Wy
Mz Wz
15
截面核心
ey z F
ez
y
FN M y z M z y
A Iy
Iz
F
Fez z Fey y
A Iy
Iz
令y0，z0代表中性轴上任一点的坐标
第九章 组合变形
第九章 组合变形
• 9.1 杆件组合变形的概念与工程中的实例 • 9.2 杆件的拉伸或压缩与弯曲组合变形 • 9.3 杆件的偏心拉伸或压缩 截面核心 • 9.4 梁的斜弯曲 • 9.5 杆件的弯曲与扭转组合变形
1
第九章 组合变形
高层建筑受水平和竖向荷载示意
2
第九章 组合变形
3
第九章 组合变形
的强度计算许可载荷F。
解：（1）计算横截面的形心、
面积、惯性矩
F 350
F 350
A 15000mm2
F
M
z0 75mm
FN
y1 z0 y z1
z1 125 mm I y 5.31107 mm4 （2）立柱横截面的内力
50
FN F
150
M F350 75103
50
150
425F 103N.m
F
z M z Fey中性1轴FAF是AeF一iz1y2z条0F不eFeIiz通zeye2zzz过0yi0zz2y截00 面eFyi形Fz2eyIye心00zyy的0y0直0线00
M
D
y
Fez
Ey, z
C
y
z0 0
A
ay
i
2 y
A
yo
iiz2z2 A ey
A
B
y0 0
az
zo
i
2 y
ez
第九章 组合变形