第11章 函数和过程
第11章-博弈论教材全篇
田忌
齐王 b1 b2 b3 b4 b5 b6
a1
3 1 1 1 1 1
a2
1 3 1 1 1 1
a3
1 1 3 1 1 1
a4 1 1 1 3 1 1
a5
1 1 1 1 3 1
a6
1 1 1 1 1 3
2－2 具有鞍点的博弈
通过下面的例3说明，什么是局中人的最优纯策略， 如何求出这个纯策略以及博弈解和博弈值的概念。
博弈的三个要素的矩阵表示（局中人A的收益）
局中人B
局中人A
策
a1
a2
略
am
b1
c11 c21
cm1
策
b2
c12 c22
cm 2
略
bn
c1n c2 n
cmn
局中人A的收益函数可用如下的矩阵表示：
c11
A
c21
cm1
c12 c22
cm 2
c1n c2n
cmn
二人零和博弈也称为矩阵博弈。
博弈论的研究建立在下述假设前提下：即参与博弈 的各局中人都是理性的。
“博弈中一个理性的决策必定建立在预测其他局中人 的反应之上。一个局中人将自己置身于其他局中人的 位置，并为他着想从而预测其他局中人将选择的行为， 在这个基础上该局中人决定自己最理想的行动。”
博弈的三个要素，即局中人，策略集和收益函数 构成了博弈信息，根据不同信息可对博弈做如下 分类：
同样乙方应从收益表中每列找出最大正数（恰为乙 方输掉的数值），为了减少损失，应从这些数字中 求出最小数，它所对应的列策略为乙方的最优纯策 略。
计算过程如下：
对局中人甲，先从每一行中求出最小值
min6,1, 8 8，min3, 2,6 2， min3,0, 4 3，再求出其中的最大值 max8, 2, 3 2。数字2对应的行策略
第11章教案
第十一章短期经济波动模型：产品市场和货币市场的共同均衡教学目的与要求：通过本章的学习，使学生掌握（1）IS、LM 曲线的含义与性质特征，IS、LM 曲线的推导方法；（2）IS、LM 曲线的移动；IS—LM 模型及均衡国民收入和均衡利率的计算。
教学重点：IS 曲线和LM 曲线的推导；IS 和LM 曲线的移动；均衡国民收入和均衡利率。
教学难点：IS－LM 曲线的移动本章主要阅读文献资料：[1]（美）N.格里高利·曼昆著，梁小民，梁砾译，经济学原理(第7 版):宏观经济学分册，北京大学出版社，2015 年5 月第1 版。
[2]（美）萨缪尔森，诺德豪斯著，萧琛主译，宏观经济学，人民邮电出版社，2012 年1 月第1 版。
[3]（美）奥利维尔布兰查德(Olivier Blanchard)、大卫约翰逊（David Johnson）著，王立勇等译，宏观经济学（第6 版），清华大学出版社，2014 年6 月版。
第一节产品市场的均衡：IS 曲线一、IS曲线的前提条件：产品市场的均衡IS 曲线是以产品市场的均衡为前提的。
产品市场的均衡是指产品在市场上的供给和需求都相等的情况。
产品市场的均衡既体现供给与需求相等的关系，也对应于一定的价格水平。
所以，产品市场的均衡一定是在一定价格水平上的均衡。
但是，在本章，特别是在 IS 曲线中，价格并不是最重要的问题，因为 IS 曲线探讨的所有情况都是产品市场处于均衡的情况，只是均衡水平不同而已。
所以，本章暂时假定价格不变。
二、IS 曲线的含义和推导（一）IS 曲线的含义IS 曲线是产品市场达到均衡时的一条曲线，它反映某些相关经济变量（或指标）相互联动的情况。
I 代表投资，S 代表储蓄，IS 曲线就是使投资与储蓄相等时所有代表均衡利率水平和均衡收入水平的组合点的集合。
IS 曲线画出了产品与服务市场上产生的利率与收入水平之间的负相关关系。
注意，IS 曲线背后对应的是一个均衡的产品与服务市场，即对任何一个给定的利率而言，存在使产品市场均衡的收入水平。
大学物理讲义(第11章振动学基础)第一节
第11章 振动学基础在自然界中,几乎到处都可以看到物体的一种特殊的运动形式,即物体在某一位置附近作往复运动,这种运动称为机械振动.钟摆的运动、琴弦的运动和气缸活塞的运动都是机械振动.振动现象并不限于力学中,在物理学其它领域中也存在与机械振动相类似的振动现象.一般地说,任何一个物理量在某一定值附近作反复变化,都可以称为振动.如交流电中电流和电压的反复变化 ,电磁波中电场和磁场的反复变化等,都属于振动的范畴.由于一切振动现象都具有相似的规律,所以我们可以从机械振动的分析中,了解振动现象的一般规律.而简谐振动是最简单、最基本的振动,任何复杂的振动都可由两个或多个简谐振动合成而得到,我们就从简谐振动开始讨论.§11.1 简谐振动一、简谐振动的基本特征及其表示在一个光滑的水平面上,有一个一端被固定的轻弹簧,弹簧的另一端系一小球,如图11.1所示.当弹簧呈自由状态时,小球在水平方向不受力的作用,此时小球处于点O,该点称为平衡位置.若将小球向右移至点M,弹簧被拉长,这时小球受到弹簧所施加的、方向指向点O 的弹性力F 的作用.将小球释放后,小球就在弹性力 F 的作用下左右往复振动起来,并一直振动下去.为了描述小球的这种运动,我们取小球的平衡位置O 为坐标原点,取通过点O的水平线为χ轴.如果小球的位移为x ,它所受弹力F 可以表示为x k F (11.1)式中k 为所取轻弹簧的劲度系数,负号表示弹性力F 与位移x 的方向相反.如果小球的质量为m,根据牛顿第二定律,小球的运动方程可以表示为22dtx d m a m F (11.2) 将式(11.1)代入式(11.2)得kx dtx d m 22或者改写为 )(mk x dt x d 22220 (11.3) 式 (11.3) 是小球的运动方程.这个方程显示了小球受力的基本特征,即在运动过程中,小球所受力的大小与它的位移的大小成正比,而力的方向与位移的方向相反.具有这种性质的力称为线性回复力.由运动方程可以解得小球在振动过程中的位移 x 与时间 t 的关系.式(11.3)的解可以写为以下两种形式))sin()cos( t A x t A x 或 (11.5)式中 A 和φ都是积分常量,在振动中它们都具有明确的物理意义,对此我们以后再做讨论.式(11.5)的两式在物理上具有同样的意义,以后我们只取前一形式.上面我们分析了由轻弹簧和小球所组成的振动系统作无摩檫振动的例子,这样的振动系统称为弹簧振子.弹簧振子的振动是典型的简谐振动,它表明了简谐振动的基本特征.从分析中可以看出,物体只要在形如F =－k x 的线性回复力的作用下运动,其位移必定满足微分方程式 (11.3),而这个方程的解就一定是时间的余弦(或正弦)函数.简谐振动的这些基本特征在机械运动范围内是等价的,其中的任何一项都可以作为判断物体是否是作简谐振动的依据.但是,由于振动的概念已经扩展到了物理学的各个领域,任何一个物理量在某定值附近作往复变化的过程,都属于振动,于是我们可对简谐振动作如下的普遍定义:任何物理量x 的变化规律若满足方程0222 x dtx d m , 并且ω是决定于系统自身的常量,则该物理量的变化过程就是简谐振动.二、描述简谐振动的特征量振幅、周期(或频率)和相位是描述简谐振动的三个重要物理量,若知道了某简谐振动的这三个量,该简谐振动就完全被确定了,所以这三个量称为描述简谐振动的特征量.1.振幅振动物体离开平衡位置的最大距离称为振幅.在简谐振动)cos( t A x中,A 就是振幅.在国际单位制中,振幅的单位是米(m).2.周期振动物体完成一次全振动所用的时间,称为周期 ,常用T 表示；在1秒时间内完成全振动的次数,称为频率 ,常用ν表示；振动物体在2π秒内完成全振动的次数,称为角频率 ,就是式(11.5)中的ω.显然角频率ω、频率ν和周期T 三者的关系为TT 221, (11.7) 在国际单位制中,周期T 、频率ν和角频率ω的单位分别是秒 (s)、赫兹 (Hz)和弧度/ 秒 (rad /s).3.相位和初相位式(11.5)中 t 的称为简谐振动的相位 ,单位是弧度 (rad) .在振幅一定、角频率已知的情况下,振动物体在任意时刻的运动状态(位置和速度)完全取决于相位 t .这从下面的分析中会看得更清楚.将式(11.5)两边对时间求一阶导数,可以得到物体振动的速度).()sin(811 t A dtdx (11.8) 由式（11.5）和式（11.8） 两式可以看出,在振幅 A 和角频率ω已知的情况下,振动物体的位置和速度完全由相位所决定.我们已经知道,位置和速度是表示一个质点在任意时刻运动状态的充分而必要的两个物理量.相位中的φ称为初相位,在振幅A 和角频率ω已知的情况下,振动物体在初始时刻的运动状态完全取决于初相位φ.在式(11.5)和式(11.8)中令 ,则分别成为下面的形式sin cos A A x 00 (11.9) 分别是振动物体在初始时刻的位移和速度,这两个量表示了振动物体在初始时刻的运动状态,也就是振动物体的初始条件.振幅 A 和初相位φ,在数学上它们是在求解微分方程(11.3)时引入的两个积分常量,而在物理上,它们是由振动系统的初时状态所决定的两个描述简谐振动的特征量,这是因为由初始条件(11-9)可以求得)arctan(0022020x x A (11.10) 三、简谐振动的矢量图解法和复数解法简谐振动可以用一个旋转矢量来描绘.在坐标系O —xy 中,以O 为始端画一矢量A ,末端为 M 点,如图11.2 所示.若矢量A 以匀角速度ω绕坐标原点O 作逆时针方向转动时,则矢量末端 M 在 x 轴上的投影点P 就在 x 轴上于点O 两侧往复运动.如果在t = 0 时刻,矢量A 与 x 轴的夹角为φ,那么这时投影点P 相对于坐标原点O 的位移可以表示为cos A x式中A 为矢量 A 的长度.在任意时刻t,矢量 A 与 x 轴的夹角变为 t ,则投影点P 相对于坐标原点O 的位移为 )cos( t A x所以,当矢量A 绕其始点(即坐标原点)以匀角速度ω旋转时,其末端在x 轴上的投影点的运动,必定是简谐振动.图11.2(b)所描绘的曲线,是点P 的位移与时间的关系曲线,称为简谐振动曲线.以上是用一个旋转矢量末端在一条轴线上的投影点的运动来表示简谐振动,这种方法称为简谐振动的矢量图解法.这种方法以后在电学和光学中都要用到.简谐量x 还可以用复数来代表.若把一个复数表示为)sin()cos(~)( t iA t A Ae x t i (11.11) 显然,简谐量x 就是这个复数x ~的实部,并且简谐量的振幅与复数的模相对应,简谐量的相位与复数的幅角相对应.若要对多个简谐量进行某种运算,可以对代表这些简谐量的复数进行相同的运算,在运算过程中,实部和虚部、模和幅角总是分别运算而不会相混,所得的复数的实部就是这些简谐量进行该运算的最后结果.因此,简谐量的复数表示法也是常用的方法.例如,求振动速度和加速度,可以用复数进行运算.取位移的复数形式为)(~t i Ae x 振动速度的复数则为)(~~ t i Ae i dtx d 取速度复数的实部,就是振动速度的真正表示式)sin()]sin()cos(Re[ t A t A i t A i 2用同样的方法可以计算振动加速度)()(~~ t i Ae i dtx d a 222 加速度的真正表示式为)cos(])Re[()( t A Ae i a t i 22由上面的计算可见,用复数来代表简谐量,运算过程也是十分简便的.例题11.1有一劲度系数为 32.0Nm -1的轻弹簧,放置在光滑的水平面上,其一端被固定,另一端系一质量为 500g 的物体.将物体沿弹簧长度方向拉伸至距平衡位置10.0cm 处,然后将物体由静止释放,物体将在水平面上沿一条直线作简谐振动.分别写出振动的位移、速度和加速度与时间的关系.解：设物体沿 x 轴作简谐振动,并取平衡位置为坐标原点.在初始时刻 t =0,物体所在的位置在最大位移处,所以振幅为A = 10.0cm = 0.100 m振动角频率为1s rad 0085032 ..m k 如果把振动写为一般形式,即 x =Acos(ωt +φ),当t=0时,物体处于最大位移处,x =A,那么必定有cos φ=1.所以初相位φ=0.这样我们就可以写出位移与时间的关系为x = 0.100cos(8.00 t) m .速度和加速度的最大值分别为1s m 80 .A m 12s m 46 .A a m速度和加速度与时间的关系分别为1s m 0088000 t .sin . 2s m 008406 t a .cos .例题11.2已知某简谐振动的振动曲线如图11.3所示,试写出该振动的位移与时间的关系.解：任何简谐振动都可以表示为x =Acos(ωt +φ)关键是要从振动曲线求得振幅 A 、角频率ω、和初相位φ.振幅 A 可以从振动曲线上得到.最大位移的点 P 所对应的位移的大小就是振幅A = 4.0×10-2m .我们已经分析过,振动的初相位是由初始条件决定的,所以应该根据初始时刻的位移和速度来确定φ .t = 0 时的位移和速度分别由以下两式表示sin ,cos A A x 00从振动曲线上可以得到21210/cos / x ,再由振动曲线在 t = 0 附近的状况可知, 00 ,同时因为A 和ω都大于零,必定有sin φ＜0 ,这样我们就可以确定,在t=0时旋转矢量是处于第四象限内,故取初相位为3/最后求角频率ω.从振动曲线可以看到,在t =1s 时,位移x =0,代入下式)/cos(.310042 t x233100402//)/cos(. 可得：因为ω＞0,所以上式只能取正.所以1s rad 6523 这样,我们可以将该简谐振动具体地写为m 36510042)cos(. t x 四、简谐振动的能量从机械运动的观点看,在振动过程中,若振动系统不受外力和非保守内力的作用,则其动能和势能的总和是恒定的.现在我们以弹簧振子为例,研究简谐振动中能量的转化和守恒问题.弹簧振子的位移和速度分别由下式给出)sin(),cos( t A t A x在任意时刻,系统的动能为)(sin t A m m E k 22222121 (11.12)除了动能以外,振动系统还具有势能.对于弹簧振子来说,系统的势能就是弹力势能,并可表示为)(cos t kA kx E p 2222121 (11.13) 由式（11.12）和式（11.13）可见,弹簧振子的动能和势能都随时间作周期性变化.当位移最大时,速度为零,动能也为零,而势能达到最大值221kA ；当在平衡位置时,势能为零,而速度为最大值,所以动能达到最大值2221A m . 弹簧振子的总能量为动能和势能之和,即)(cos )(sin t kA t A m E E E p k 222222121 因为ω2=k/m,所以上式可化为2222121kA A m E (11.14) 由上式可见,尽管在振动中弹簧振子的动能和势能都在随时间作周期性变化,但总能量是恒定不变的,并与振幅的平方成正比.22222212121x A kA kx m E 由 (11.15) 上式明确地表示了弹簧振子中物体的速度与位移的关系.在平衡位置处,x=0,速度为最大；在最大位移处,x=±A ,速度为零.例题11.3一长度为l 的无弹性细线,一端被固定在A 点,另一端悬挂一质量为m 、体积很小的物体.静止时,细线沿竖直方向,物体处于点O,这是振动系统的平衡位置,如图11.4所示.若将物体移离平衡位置,使细线与竖直方向夹一小角度θ,然后将物体由静止释放,物体就在平衡位置附近往复摆动起来.这种装置称为单摆.证明单摆的振动是简谐振动,并分析其能量.解：我们选择小物体相对平衡位置O 的角位移θ为描述单摆位置的变量,并规定物体处于平衡位置右方,θ为正,处于平衡位置左方,θ为负.小物体受到两个力的作用,一个是重力mg,另一个是细线的张力 f .沿着物体运动的弧形路径,将重力mg 分解成大小为mgcos θ的径向分量和大小为 mgsin θ的切向分量.其中径向分量mgcos θ与细线的张力 f 一起为物体的运动提供向心力,而切向分量是作用于物体的回复力,使物体返回平衡位置,其作用与弹簧振子的弹性力一样.因此,单摆的振动方程为mg mg dtd ml 很小sin 22 (1) )(lg dt d 22220即 (2) 显然,单摆的振动方程（2）与弹簧振子的振动方程完全相似,只是用变量θ代替了变量x.所以单摆的角位移θ与时间t 的关系必定可以写成余弦函数的形式 )cos( t 0式中积分常量0 为单摆的振幅,φ为初相位.这就证明了,在摆角很小时单摆的振动是简谐振动.单摆系统的机械能包括两部分,一部分是小物体运动的动能)(sin )( t ml l m m E k 2220222212121 另一部分是系统的势能,即单摆与地球所组成的系统的重力势能)cos ( 1mgl mgh E p式中h 是当角位移为θ时物体相对平衡位置上升的高度.可将cos θ展开为!!!cos 6421642 因为θ很小,我们可以只取上式的前两项.所以可以化为)(cos t mgl mgl E p 22022121 可见,单摆系统的动能和势能都是时间的周期函数.单摆系统的总能量等于其动能和势能之和,即)(cos )(sin t mgl t ml E E E p k 220222022121 因为ω2=g/l ,所以上式可以化为2020222121 mgl ml E 上式表示,尽管在简谐振动过程中,单摆系统的动能和势能都随时间作周期性变化,但总能量是恒定不变的,并与振幅的平方成正比.作业(P97)：4、7、9、11、14。
C语言函数说明与返回值(11、12)
在学习C语言函数以前，我们需要了解什么是模块化程序设计方法。
人们在求解一个复杂问题时，通常采用的是逐步分解、分而治之的方法，也就是把一个大问题分解成若干个比较容易求解的小问题，然后分别求解。
程序员在设计一个复杂的应用程序时，往往也是把整个程序划分为若干功能较为单一的程序模块，然后分别予以实现，最后再把所有的程序模块像搭积木一样装配起来，这种在程序设计中分而治之的策略，被称为模块化程序设计方法。
在C语言中，函数是程序的基本组成单位，因此可以很方便地用函数作为程序模块来实现C 语言程序。
利用函数，不仅可以实现程序的模块化，程序设计得简单和直观，提高了程序的易读性和可维护性，而且还可以把程序中普通用到的一些计算或操作编成通用的函数，以供随时调用，这样可以大大地减轻程序员的代码工作量。
函数是C语言的基本构件，是所有程序活动的舞台。
函数的一般形式是:type-specifier function_name(parameter list)parameter declarations{body of the function}类型说明符定义了函数中return语句返回值的类型，该返回值可以是任何有效类型。
如果没有类型说明符出现，函数返回一个整型值。
参数表是一个用逗号分隔的变量表，当函数被调用时这些变量接收调用参数的值。
一个函数可以没有参数，这时函数表是空的。
但即使没有参数，括号仍然是必须要有的。
参数说明段定义了其中参数的类型。
当一个函数没有明确说明类型时，C语言的编译程序自动将整型（i n t）作为这个函数的缺省类型，缺省类型适用于很大一部分函数。
当有必要返回其它类型数据时，需要分两步处理:首先，必须给函数以明确的类型说明符；其次，函数类型的说明必须处于对它的首次调用之前。
只有这样，C编译程序才能为返回非整型的值的函数生成正确代码。
4.1.1 函数的类型说明可将函数说明为返回任何一种合法的C语言数据类型。
类型说明符告诉编译程序它返回什么类型的数据。
第11章 开放经济的一般均衡
二、BP 曲线的移动
国内物价水平变化： 国内物价水平上升，BP曲线向左移动； 国内物价水平下降，BP曲线向右移动； 汇率变动： 本币升值，相当于国内价格水平上升， BP曲线向左移动；本币贬值，相当于国内 价格水平下降， BP曲线向右移动；
图10-6 BP曲线的移动
r
P上升，e下降
BP2 BP BP1
r BP(e0) BP′(e1) r* r1 r0 E1 E0 E* LM IS"(e1) IS′(e0) IS(e0) O Y0 Y1 Y*
Y
结论：在浮动汇率，资本有限流动的情
况下，扩张性财政政策的效应，取决于
资本流动的情况。也就是说，资本流动
性越弱，财政政策越有效；资本流动性 增强，财政政策的作用被削弱了。
投资减少
Y减少
M
r
国内物价水平下降
净出口 增加
国际资本流入
国际收支赤字减少
结论
货币存在自动调整机制，无论存在顺差 还是逆差，从长期来看，都会自我清偿， 在经常项目、资本项目以及国内货币存 量不变的条件下趋于均衡。
收入调节机制
AD=C+I+G+(EX-IM)
如果把EX-IM看作是国外净投资，用If表示， 令Id表示国内总投资，则： AD=C+Id+G+If
P下降，e上升
O Y
偏离BP曲线
在BP曲线的左上方，意味着国际收支盈余； 国内利率太高，或者国民收入太低； 在BP曲线的右下方，意味着国际收支赤字； 国内利率太低，或者国民收入太高；
第二节 IS—LM—BP 模型
一、内部开放经济中的IS曲线
第11章电路原理课件
1
相对抑 制比
通频带
10. 谐振电路的能量
1 2 1 2 W WL WC Li CuC 2 2
2 2 2 2 W WL WC 1 LI m 1 CU C CQ US m 2 2
I
?
+
Us _
R j L
i 2 I 0 cos 0t 2
US cos 0t R
1 1 jjC
uC 2U C cos(0t 900 ) 2QU S sin 0t
1 2 1 L 2 2 2 Li CuC 2 U S cos 2 (0t ) CQ 2U S sin 2 (0t ) 2 2 R 1 2 1 2 2 2 1 L 1 L L CQ 2 2 Li Cu CQ US Q Q 2 2 C R R C R C 2 2 U Cm 2 1 2 2 2 ) CU Cm W C(QUS ) CUC C ( 2 2
1 由 L C 可得： o
– + U UL – + U – C –
谐振角 频率
R U
+
R jXL – jXC
1 LC
谐振频率（固有频率）
1 f f0 2π LC
1 f0 2π LC
2.使RLC串联电路发生（或避免）谐振的条件
1） L C 不变，改变 ； (调频) 2）电源频率不变，改变 L 或 C ( 常改变C )。
R U
+
R jXL – jXC
４. 谐振时电路中的能量变化
电路向电源吸收的无功功率 Q=0 ，谐振时电路能量 交换在电路内部的电场与磁场间进行。电源只向电阻R 提供能量。 P=RI02=U2/R，电阻功率最大。
高等数学(三)第11章 无穷级数
无穷级数是高等数学的一个重要内容，是无限个常量或变量之和的数学模型，它是表示函数、研究函数性态以及进行数值计算的一种有效工具，在数学理论以及工程技术中都有广泛的应用．11.1 数项级数的概念及性质11.1.1 数项级数的概念 实例1 小球运动的时间小球从1米高处自由落下, 每次跳起的高度减少一半, 问小球运动的总时间． 解 由自由落体运动方程221gt s =知g s t 2=．设k t 表示第k 次小球落地的时间, 则小球运动的总时间为+++++=k t t t t T 222321.这里出现了无穷多个数依次相加的式子.在物理、化学等许多学科中，也常能遇到这种无穷多个数或函数相加的情形，在数学上称之为无穷级数．上述级数的定义只是一个形式上的定义，怎样理解无穷级数中无穷多个数相加呢？我们可以从有限项出发，观察它们的变化趋势，由此来理解无穷多个数量相加的含义.令n n u u u S +++= 21，称n S 为级数(11.1.1)的部分和．当n 依次为1,2,3,…,时，得到一个数列1S ，2S ，…，n S ，…，称为级数(11.1.1)的部分和数列．从形式上不难知道∑∞=1n n u =n n S ∞→lim ，所以我们可以根据部分和数列的收敛与发散来定义级数的敛散性. 当级数∑∞=1n n u 收敛于S 时，常用其部分和S n 作为和S 的近似值，其差∑∑∑∞+==∞==-=-111n k knk k k k n u u u S S叫做该级数的余项，记为n r ．用部分和S n 近似代替和S 所产生的绝对误差为| r n |．例11.1.1 判定级数 ++⋅++⋅+⋅)1(1321211n n 的敛散性．解 所给级数的一般项为111)1(1+-=+=n n n n u n ，部分和)1(1321211+⋅++⋅+⋅=n n S n 111)111()3121()211(+-=+-++-+-=n n n ，所以1)111(lim lim =+-=∞→∞→n S n n n ，故该级数收敛于1，即1)1(11=+∑∞=n n n ． 例11.1.2 考察波尔察诺级数∑∞=--11)1(n n 的敛散性．解 它的部分和数列是1, 0, 1, 0, … ,显然n n S ∞→lim 不存在，∑∞=--11)1(n n 发散．例11.1.3 讨论几何级数(也称等比级数)∑∞=0n naq +++++=n aq aq aq a 2的敛散性，其中a ≠ 0, q 称为级数的公比．解 该几何级数前n 项的部分和21(1),11 ,1n n n a q q qS a aq aq aq na q -⎧-≠⎪-=++++=⎨⎪=⎩， 当q = 1时，由于lim lim n n n S na →∞→∞==∞，所以级数发散；当q = -1时，级数变为 +-+-a a a a ，显然lim n n S →∞不存在，所以级数发散；当| q | > 1时，由于lim n n S →∞=∞，所以级数发散；当| q | < 1时，由于lim 1n n a S q →∞=-，所以级数收敛于1a q-．因此，几何级数0n n aq ∞=∑当| q | < 1时收敛于qa-1；当| q | ≥ 1时发散． 几何级数的敛散性非常重要，许多级数敛散性的判别，都要借助几何级数的敛散性来实现．11.2 .2 数项级数的性质根据级数敛散性的概念，可以得到级数的几个基本性质．12()n n n ku k u u u kS ++=+++=,112)()k k k n k u u u u u u +++++++-+++S S -lim ．从性质1的证明可以看出，如果n S 没有极限且k ≠0，则n σ也不可能有极限.换句话说，级数的每一项同乘以一个非零常数，其敛散性不改变．例如，47412)31(1313213231(32(3)1(2111=-=---+-=-+=-+∑∑∑∞=∞=∞=nn nn n n n n ．由性质4知，若级数加括号后发散，则原级数必发散．但加括号后收敛的级数，去括号后未必收敛．例如，级数⋅⋅⋅+-+-+-)11()11(11(）收敛，但去括号后级数⋅⋅⋅+-+-+-111111却发散．由级数收敛的必要条件可知，如果0lim ≠∞→n n u 或不存在，则级数一定发散．因此可用性质5判定级数∑∞=1n n u 发散性，有时性质５也称为“级数发散的第n 项判别法”．例11.1.4 判定级数∑∞=+112n n n 的敛散性．解 由于02112limlim ≠=+=∞→∞→n n u n n n ，故此级数发散．例11.1.5 证明调和级数 +++++n131211发散． 证明 将调和级数的两项、两项、四项、…、2m 项、… 加括号，得到一个新级数++++++++++++++++)21221121()81716151()4131()211(1m m m ．因为 2141414131 ,21211=+>+>+， ,218181818181716151=+++>+++，21212121212211211111=+++>+++++++++m m m m m m ， 所以新级数前m + 1项的和大于21+m ，故新级数发散．由性质4知，调和级数发散． 由于调和级数的一般项)(01∞→→=n nu n ，因此例5说明：级数的一般项u n 趋于零仅仅是级数收敛的必要条件，并非充分条件．所以，不可用性质５来判定级数的收敛性．例11.1.6 有甲，乙，丙三人按以下方式分一个苹果：先将苹果分成4份，每人各取一份；然后将剩下的一份又分成4份，每人又取一份；按此方法一直下去.那么最终每人分得多少苹果？解 依题意，每人分得的苹果为+++++n 4141414132． 它是41==q a 的等比级数，因此其和为 3141141=-=S ． 即最终每人分得苹果的31．习题 11.11.写出下列级数的一般项．(1) -+-+-5645342312； (2) +-+-97535432a a a a ．2.判断下列级数的敛散性． (1))1(1n n n -+∑∞=； (2)∑∞=16sinn n π； (3) ++⋅-++⋅+⋅)12()12(1531311n n ； (4) +++++++41312110021；(5)n n n n-∞=-+-∑)11()1(11； (6))31(1n n n+∑∞=．11.2 数项级数的审敛法11.2.1正项级数及其审敛法对于正项级数∑∞=1n n u ，其部分和S n = S n -1 + u n ≥ S n -1 (n = 2, 3, …)，即部分和数列{S n }单调递增．若数列{S n }有界，则由单调有界数列必有极限的准则知，数列{S n }收敛，所以正项级数∑∞=1n n u 必收敛，设其和为S ，则有S n ≤ S ．反之，若正项级数∑∞=1n n u 收敛于S ，则由收敛数列必有界的性质知，数列{S n }必有界．于是我们得到下述重要结论：例11.2.1证明正项级数 +++++=∑∞=!1!21!111!10n n n 收敛．证明 因为),2,1( 2122211211!11 ==⋅⋅⋅⋅≤⋅⋅⋅=-n n n n ， 于是对任意的n ，有2221212111)!1(1!21!111-+++++≤-++++=n n n S,3213211211121<-=--+=--n n即正项级数∑∞=0!1n n 的部分和数列有界，故级数∑∞=0!1n n 收敛．利用定理11.2.1，可导出正项级数的若干审敛法，这里只介绍其中较为重要的两个．例11.2.2讨论广义调和级数(又称p —级数) +++++=∑∞=pppn pn n13121111 (其中p为常数)的敛散性．解 当 p ≤ 1时，有n n p 11≥，由于∑∞=11n n发散，由定理2.2知，p 级数发散． 当p >1时，取n x n ≤<-1，有ppx n 11≤，得到11111d d (2,3,)n n p pp n n x x n n n x --=≤=⎰⎰ 于是p 级数的部分和111123n p p p S n=++++231211111d d d np p pn x x x x x x -≤++++⎰⎰⎰1111111d 1(11,11n p p x x p n p -=+=+-<+--⎰即部分和数列{S n }有界，由定理11.2.1知，p 级数收敛．综上所述，当p > 1时，p 级数收敛 ；当p ≤ 1时，p 级数发散，以后我们常用p 级数作为比较审敛法时使用的级数．例11.2.3 判定下列级数的敛散性． (1) 2111n n ∞=+∑； (2)n ∞=． 解 (1) 因为22111n n u n ≤+=，而级数∑∞=121n n为p = 2 > 1的p 级数，故收敛，所以由比较审敛法知，级数∑∞=+1211n n 也收敛． (2) 因为n n n u n 111122=≥-=，而调和级数∑∞=11n n 发散，故级数∑∞=-1211n n 也发散．使用比较审敛法时，需要找到一个敛散性已知的正项级数来与所给正项级数进行比较，这对有些正项级数来说是很困难的.自然提出这样的问题：能否仅通过级数自身就能判定级数的敛散性呢？如果正项级数的一般项中含有乘积、幂或阶乘时，常用比值审敛法判定其敛散性． 例11.2.4 判定下列级数的敛散性：(1) 2132nnn n ∞=∑； (2) 11(1)!n n ∞=-∑； (3)11(21)n n n ∞=+∑． 解 (1) 因为123)1(23lim 322)1(3lim lim 2221211>=+=⋅+=∞→++∞→+∞→n n n n u u n n n n n n nn n ，所以级数∑∞=1223n n n n 发散．(2) 因为101lim !)!1(lim lim1<==-=∞→∞→+∞→n n n u u n n nn n ，所以级数∑∞=-1)!1(1n n 收敛． (3) 因为1)32)(1()12(lim lim1=+++=∞→+∞→n n n n u u n nn n ，此时比值审敛法失效，必须改用其他方法判别此级数的敛散性．由于22121)12(1n n n n u n <<+=，而级数∑∞=121n n为p = 2 > 1的p 级数，故收敛，所以由比较审敛法可知，级数∑∞=+1)12(1n n n 也收敛．11.2.2 交错级数及其审敛法交错级数的特点是正负项交替出现．关于交错级数敛散性的判定，有如下重要定理． 例11.2.5 判定交错级数 +-++-+--nn 1)1(41312111的敛散性．解 此交错级数的n u n 1=，且满足 1111+=+>=n n u n n u 且01lim lim ==∞→∞→n u n n n ，由定理11.2.4知，该交错级数收敛，其和小于1．11.2.3 任意项级数及其审敛法设有级数∑∞=1n n u ，其中u n ( n = 1, 2,…)为任意实数，称此级数为任意项级数．对于任意项级数，如何来研究其敛散性？除了用级数定义来判断外，还有什么办法？为此要介绍绝对收敛与条件收敛概念．1,2,)的级数，称为交错级例如，级数2111)1(n n n ∑∞=--绝对收敛，级数n n n 1)1(11∑∞=--条件收敛．定理11.2.5说明，对于任意项级数∑∞=1n n u ，如果它所对应的级数∑∞=1||n n u 收敛，则该级数必收敛，从而将任意项级数的敛散性判别问题转化为正项级数来讨论．但应注意，如果级数∑∞=1||n n u 发散，不能判定级数∑∞=1n n u 也发散．例11.2.6 判定级数∑∞=12)sin(n nn α的敛散性，其中α为常数． 解 由于n nn 212)sin(0≤≤α，而级数∑∞=121n n 是收敛的，由比较审敛法可知，级数∑∞=12)sin(n n n α收敛，即级数∑∞=12)sin(n n n α绝对收敛，由定理11.2.5知，级数∑∞=12)sin(n n n α收敛． 例11.2.7讨论交错p-级数p n n n 1)1(11∑∞=--的绝对收敛与条件收敛性，其中p 为常数．解 当p ≤ 0时，pn n nu 1)1(1--=不趋于)(0∞→n ，故该级数发散．当p >1时，有ppn n n11)1(1=--，且级数∑∞=11n p n收敛，故该级数绝对收敛．当0<p ≤ 1时，级数∑∞=11n p n 发散，但p n n n 1)1(11∑∞=--是交错级数，且满足定理11.2.4的条件，故所给级数条件收敛．习题11.21.用比较审敛法判定下列级数的敛散性． (1) ∑∞=-+133)1(n n n ；(2) )0(111>+∑∞=a an n ．2.用比值审敛法判定下列级数的敛散性．(1) ∑∞=⋅1!2n n nnn ； (2) ∑∞=123n n n ．3.判定下列级数是否收敛？若收敛，是条件收敛还是绝对收敛？(1) ;3)1(111-∞=-∑-n n n n (2) ∑∞=13sin n nn α． 11.3 幂 级 数11.3.1函数项级数的概念 实例1存款问题设年利率为r (实际上其随时间而改变)，依复利计算，想要在第一年末提取1元，第二年末提取4元，第三年末提取9元，第n 年末提取2n 元，要能永远如此提取，问至少需要事先存入多少本金？分析：这里本金为存入的钱，设为A ，则一年后本金与利息之和为一年的本利和，即为)1(r A +，两年后的本利和为2)1(r A +，n 年后的本利和为n r A )1(+.解 若本金A 为n r -+)1(元，n 年后可提取本利和1)1()1(=+⋅+-n n r r （元）.从而 若要n 年后提取本利和2n 元，则本金应为n r n -+)1(2元.所以为使第一年末提1元本利和，则要有本金1)1(-+r ；第二年末能提取本利和22=4元，则要有本金22)1(2-+r 元；第三年末能提取本利和32=9元，则要有本金32)1(3-+r 元，…第n 年末能提取2n 元本利和，则要有本金n r n -+)1(2元；如此下去，所需本金总数为∑∞=-+12)1(n n r n.令r x +=11，得∑∑∞=∞=-=+1212)1(n n n nx n r n .实例2中的∑∞=12n n x n 即为一个无穷级数，但通项不再是我们前面所学的常数，而是函数，称为函数项无穷级数．对于区间I 上的任意确定值x 0，函数项级数(3.1)便成为数项级数++++)()()(00201x u x u x u n ． (11.3.2) 如果数项级数(11.3.2)收敛，则称点x 0为函数项级数(11.3.1)的收敛点；如果数项级数 (11.3.2)发散，则称点x 0为函数项级数(3.1)的发散点．函数项级数(11.3.1)的全体收敛点（或发散点）的集合叫做该级数的收敛域（或发散域）．设函数项级数(11.3.1)的收敛域为D ，则对于任意的x ∈D ，函数项级数(11.3.1)都收敛，其和显然与x 有关，记作S (x )，称为函数项级数(11.3.1)的和函数，并记作D x x u x u x u x S n ∈++++=,)()()()(21 ．例如，级数201n n n x x x x ∞==+++++∑的收敛域为(-1,1)，和函数为x-11，即 01(1, 1)1n n x x x ∞==∈--∑．把函数项级数(11.3.1)的前n 项的和记作S n (x )，则在收敛域上有)()(lim 1x S x S un n n n==∞→∞=∑．将 r n (x ) = S (x ) -S n (x )称作该函数项级数的余项，则0)(lim =∞→x r n n ．11.3.2 幂级数及其收敛性特别地，当x 0 = 0时，+++++=∑∞=n n n nn x a x a x a a x a 22100(11.3.4)称为关于x 的幂级数．本节主要讨论幂级数(11.3.4)，幂级数(11.3.3)可通过代换t = x – x 0化成幂级数(11.3.4)来研究．下面首先讨论幂级数(11.3.4)的收敛域问题，即x 取数轴上哪些点时幂级数(11.3 .4) 收敛．0,1,2,)，因此．定理11.3.1表明，如果幂级数(11.3.4)在x= x0处收敛(发散)，则对于开区间(-| x0 |, | x0 |)内(闭区间[-| x0 |, | x0 |]外)的一切x，幂级数(11.3.4)都收敛(发散) ．这样的正数R称为幂级数(11.3.4)的收敛半径．由于幂级数(11.3.4 )在区间(-R, R)一定是绝对收敛的，所以我们把(-R, R)称为幂级数(11.3.4)的收敛区间．幂级数在收敛区间内部有很好的性质．幂级数(11.3.4)在区间(-R, R)的两个端点x = ±R处可能发散也可能收敛，需要把x = ±R代入幂级数(11.3.4)，化为数项级数来具体讨论．一旦知道了x =±R处幂级数(3.4)的敛散性，则幂级数(11.3.4)的收敛域为下面四个区间(-R, R), [-R, R) , (-R, R ], [-R, R ]之一．若幂级数(11.3.4)仅在x = 0处收敛，则规定收敛半径R = 0，此时收敛域退缩为一点，即原点；若对一切实数x，幂级数(11.3.4)都收敛，则规定收敛半径R = +∞，此时收敛区间与收敛域都是(-∞, +∞)．下面给出幂级数(11.3.4)的收敛半径的求法．例11.3.1求下列幂级数的收敛半径．(1) 1(1)31nn n n x ∞=-+∑ (2) 0!n n x n ∞=∑； (3) 202n n n x ∞=∑．解 (1) 因311313lim 13)1(13)1(lim lim1111=++=+-+-==+∞→++∞→+∞→n n n n n n n n nn n a a ρ，故收敛半径31==ρR ． (2) 因011lim !1)!1(1lim lim1=+=+==∞→∞→+∞→n n n a a n n nn n ρ，故收敛半径R = + ∞．(3) 因为该级数缺少奇次幂的项，定理3.2失效，换用比值审敛法求收敛半径．由于2(1)121212limlim 22n n n n n n nnx u x x u +++→∞→∞==，因此，由正项级数的比值审敛法知，当2112x <，即2||<x 时该幂级数绝对收敛；当2112x >，即2||>x 时该幂级数发散．故收敛半径2=R ． 例11.3.2 求下列幂级数的收敛区间和收敛域．(1) 11(1)n nn x n +∞=-∑； (2) 21(2)n n x n ∞=-∑． 解 (1) 因为11lim )1(1)1(lim lim121=+=-+-==∞→++∞→+∞→n nnn a a n n n n nn n ρ， 所以收敛半径11==ρR ，收敛区间是(-1, 1)，即该级数在(-1, 1)内绝对收敛．在端点x = 1处，级数成为交错级数∑∞=+-11)1(n n n ，这是收敛的级数．在端点x = -1处，级数成为∑∞=-11n n，这是发散的级数，故该级数的收敛域为(-1, 1]．(2) 令t = x -2，则所给级数变成∑∞=12n n nt ．因为 ,1)1(lim 1)1(1lim lim22221=+=+==∞→∞→+∞→n n n n a a n n nn n ρ故级数∑∞=12n n n t 的收敛半径11==ρR ，即级数∑∞=12n n nt 在区间(-1, 1)内绝对收敛．在端点t = 1处，级数∑∞=12n n n t 变成p 级数∑∞=121n n ，故收敛；在t = -1处，级数∑∞=12n n n t 变成交错级数∑∞=-121)1(n n n 也收敛．因此，幂级数∑∞=12n n n t 的收敛区间为(-1,1)，收敛域为[-1, 1]，从而级数∑∞=-12)1(n nn x 的收敛区间为(1,3)，收敛域为[1, 3]．(因为-1 ≤ t ≤ 1，即-1 ≤ x - 2 ≤ 1，所以13x ≤≤)．11.3.3幂级数的运算 1. 四则运算设幂级数∑∞=0n n n x a 和∑∞=0n n n x b 的收敛半径分别为R 1和R 2，它们的和函数分别为S 1(x )和S 2( x )，令R = min{ R 1, R 2}，则在(-R , R )内有(1) 加法运算(2) 乘法运算2. 分析运算设幂级数∑∞=0n n n x a 的收敛半径为(0)R R >)，在(-R , R )内的和函数为S (x )，则有(1) 幂级数∑∞=0n n n x a 的和函数S ( x )在其收敛区间 (-R , R ) 内连续．(2) 幂级数∑∞=0n n n x a 的和函数S ( x )在其收敛区间 (-R , R ) 内可导，且有逐项求导公式：(3) 幂级数∑∞=0n n n x a 的和函数S ( x )在其收敛区间 (-R , R ) 内可积，且有逐项积分公式：注意：逐项求导和逐项积分前后，两幂级数具有相同的收敛半径和收敛区间． 例11.3.3 求下列幂级数的和函数． (1)11(11)n n nx x ∞-=-<<∑； (2)10(11)1n n x x n ∞+=-<<+∑．解 (1) 设11(), (1, 1)n n S x nx x ∞-==∈-∑，两端积分，得111()d d 1xxn n n n xS x x nx x x x∞∞-=====-∑∑⎰⎰， 上式两端对x 求导，得21(), (1, 1)(1)S x x x =∈--．(2) 设10(), (1, 1)1n n x S x x n ∞+==∈-+∑，两端对x 求导，得 ∑∑∞=∞=+-=='+='10111)1()(n n n n x x n n x S ．上式两端从0到x 积分，得01()(0)d ln(1)1xS x S x x x-==---⎰， 而S ( 0 ) = 0，所以()ln(1), (1, 1)S x x x =∈---．例11.3.4求幂级数20, (1, 1)21nn x x n ∞=∈-+∑的和函数，并计算()2011212nn n ∞=+∑的值．解 设20(), (1, 1)21nn x S x x n ∞==∈-+∑，两端同时乘以x ，得,12)(012∑∞=++=n n n x x xS 两端对x 求导，得 ,1112])([202012x x n x x xS n nn n -=='⎪⎭⎫ ⎝⎛+='∑∑∞=∞=+ 上式两端从0到x 积分，得 20111()ln ,211xx x x x xx S +==--⎰d 所以 11()ln , (1, 1)21x S x x x x+=∈--．因为21=x 在(-1, 1)内部，代入上式，得 3ln 211211ln21212112120=-+⨯=⎪⎭⎫ ⎝⎛+∑∞=nn n ． 习题 11.31.求下列幂级数的收敛区间．(1) +⋅⋅+⋅+64242232x x x ； (2)∑∞=++-11212)1(n n nn x ；(3)∑∞=--122212n n nx n ； (4)∑∞=-1)5(n n n x ．2.利用逐项求导或逐项积分，求下列级数在收敛区间内的和函数． (1) )11( 14014<<-+∑∞=+x n x n n ; (2)∑∞=+<<-+0)1(2)11( )1(2n n x x n ，并求级数∑∞=-+01221n n n 的和． 11.4 函数展开成幂级数前面我们讨论了幂级数在收敛域内求和函数的问题，在实际应用中常常遇到与之相反的问题，就是对一个给定的函数，能否在一个区间内展开成幂级数？如果可以，又如何将其展开成幂级数？其收敛情况如何？本节就来解决这些问题．11.4.1泰勒(Taylor)级数如果函数f (x )在点x 0的某邻域U ( x 0, δ )内有定义，且能展开成x - x 0的幂级数，即对于任意的x ∈U ( x 0, δ )，有+-++-+-+=n n x x a x x a x x a a x f )()()()(0202010 ． (11.4.1)由幂级数的分析性质知，函数f (x )在该邻域内一定具有任意阶导数，且 ),2,1( )()!1(!)(01)( =+-++=+n x x a n a n x fn n n ． (11.4.2)在式(11.4.1)和式(11.4.2)中，令x = x 0，得)(00x f a =，!1)(01x f a '=，,!2)(02x f a ''= ,!)(,0)(n x f a n n =． (11.4.3) 将式(11.4.3)代入式(11.4.1)中，有+-++-''+-'+=n n x x n x f x x x f x x x f x f x f )(!)()(!2)()(!1)()()(00)(200000．这说明，如果函数f (x )在x 0的某邻域U ( x 0, δ )内能用形如式(11.4.1)右端的幂级数表示，则其系数必由式(11.4.3)确定，即函数f (x )的幂级数展开式是唯一的．函数f (x )的泰勒级数(11.4.4)的前n + 1项之和记为S n +1(x )，即n n n x x n x f x x x f x x x f x f x S )(!)()(!2)()(!1)()()(00)(2000001-++-''+-'+=+ ，并把差式f (x )- S n +1(x )叫做泰勒级数(4.4)的余项，记作R n ( x )，即)()()(1x S x f x R n n +-=．显然，只要函数f (x )在点x 0的某邻域U ( x 0，δ )内具有任意阶导数，则它的泰勒级数(11.4.4) 就已经确定，问题是级数(11.4.4)是否在x 0的某邻域内收敛？若收敛，是否以f (x )为其和函数？为此有下面的定理．显然，使用定理11.4.1来进行收敛性的判定是困难的．下面直接给出余项R n (x )的表达式称上式为拉格朗日型余项．在实际应用，若取常数x 0 = 0，此时泰勒级数(11.4.4)变成称为f (x )的麦克劳林(Maclaurin)级数，其余项为11.4.2函数展开成幂级数将函数)(x f 展开成0x x -或x 的幂级数，就是用其泰勒级数或麦克劳林级数表示)(x f ．下面结合例题来研究如何将函数展开成幂级数．1. 直接展开法直接利用麦克劳林公式将函数f (x )展开为x 的幂级数的方法称为直接展开法，可以按照下列步骤进行(展开为(x -x 0)的幂级数与之类似)：第一步 求出函数f ( x )在x = 0处的各阶导数 ),0(,),0(),0(),0()(n ff f f '''．若函数在x = 0处的某阶导数不存在，就停止进行，该函数不能展开为x 的幂级数．例如，在点x = 0处，37)(x x f =的三阶导数不存在，它就不能展开为x 的幂级数．第二步 写出幂级数+++''+'+nn x n f x f x f f !)0(!2)0()0()0()(2并求出收敛半径R 及收敛区间(-R , R )．第三步 在收敛区间(-R , R )内，考察余项R n ( x )的极限1)1()!1()(lim )(lim ++∞→∞→+=n n n n n x n f x R ξ(ξ介于0与x 之间)， 是否为零？如果为零，第二步所写出的幂级数就是函数f ( x )在(-R , R )内的展开式，即),(,!)0(!2)0()0()0()()(2R R x x n f x f x f f x f nn -∈+++''+'+= ．如果不为零，第二步写出的幂级数虽然收敛，但它的和并不是所给的函数f ( x )． 例11.4.1将下列函数展开为x 的幂级数．(1) ()e x f x =； (2) x x f sin )(=； (3) m x x f )1()(+=(m 为任意常数)． 解 (1) 因为f (x ) = e x ，故f (n )(0 ) = 1( n = 0,1, 2,…)．从而e x 的麦克劳林级数为++++++!!3!2132n x x x x n ． 容易求得它的收敛半径R = +∞，下面考察余项1e ()(1)!n n R x x n ξ+=+， (ξ介于0与x 之间)． 因为ξ介于0与x 之间，所以||e e x ξ<，因而有||11e e |()|||||(1)!(1)!x n n n R x x x n n ξ++=<++． 对于任一确定的x 值，e |x |是一个确定的常数，而级数++++++!!3!2132n x x x x n是绝对收敛的，由级数收敛的必要条件可知0)!1(||lim 1=++∞→n x n n ， 所以 1||||lime 0(1)!n x n x n +→∞=+．由此可得，0)(lim =∞→x R n n ，这表明级数收敛于e x ，所以23e 1 ()2!3!!n x x x x x x n =++++++-∞<<+∞．(2) 因为x x f sin )(=，所以),2,1( )2sin()()( =+=n n x x f n π，则 ,)1()0(,0)0(,,1)0(,0)0(,1)0(,0)0()12()2(n n n ff f f f f -==-='''=''='=+．于是sin x 的麦克劳林级数为++-++-+-+)!12()1(!7!5!312753n x x x x x n n ．它的收敛半径R = + ∞，考察余项的绝对值)(0)!1(||)!1()21sin()(11∞→→+≤+++=++n n x n x n x R n n n πξ．于是得展开式)( )!12()1(!5!3sin 1253+∞<<-∞++-+-+-=+x n x x x x x n n．(3) 用同样的方法，可以推得牛顿二项展开式)11( !)1()1(!2)1(1)1(2<<-++--++-++=+x x n n m m m x m m mx x nm ．这里m 为任意实数．当m 为正整数时，就退化为中学所学的二项式定理．最常用的是12m =±的情形，读者可自己写出这两个式子．2．间接展开法以上几个例子是用直接展开法把函数展开为麦克劳林级数，直接展开法虽然步骤明确，但运算常常过于繁琐，尤其最后一步要考察n →∞时余项R n ( x )是否趋近于零，这不是一件容易的事．下面我们从一些已知函数的幂级数展开式出发，利用变量代换或幂级数的运算求得另外一些函数的幂级数展开式，这种将函数展开成幂级数的方法叫间接展开法．例11.4.2将下列函数展开为x 的幂级数． (1) x x f cos )(=; (2) )1ln()(x x f +=．解(1) 由例1中的(2)知，)( )!12()1(!5!3sin 1253+∞<<-∞++-+-+-=+x n x x x x x n n，两边对x 逐项求导，得).( !2)1(!4!21cos 242+∞<<-∞+-+-+-=x n x x x x nn ）（ (2) 由牛顿二项展开式得)11( )1(11132<<-+-++-+-=+x x x x x xn n ．上式两端从0到x 逐项积分，得)11( 1)1(432)1ln(1432<<-++-++-+-=++x n x x x x x x n n ． 又因为当x = -1时该级数发散，当x = 1时该级数收敛，故有)11(11)1()1ln(10≤<-+-=++∞=∑x x n x n n n．例11.4.3将下列函数展开为x - 1的幂级数： (1) x x f ln )(=； (2) 2)(2--=x x x x f ． 解 (1) )]1(1ln[ln )(-+==x x x f ，利用)1ln(x +的展开式得),111( 1)1()1(3)1(2)1()1(ln 132≤-<-++--+--+---=+x n x x x x x n n 即 )20(1)1()1(ln 1≤<+--=+∞=∑x n x x n n n．(2) ⎪⎭⎫ ⎝⎛--+=--=--=x x x x x x x x x f 221131)1)(2(2)(2 ][)1(12)211(2131----+=x x ． 由)11( )1(110<<--=+∑∞=x x x n n n ，得 )1211( 21)1(212112111 2<-<-+⎪⎭⎫ ⎝⎛--+-⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛--=-+x x x x x nn ． )111( )1()1()1(1)1(112<-<-+-++-+-+=--x x x x x n ． 于是⎥⎦⎤⎢⎣⎡----=--∑∑∞=∞=002)1(2)21()1(21312n n n n n x x x x x n n n n x )1(22)1(3101-⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=∑∞=+，)20(<<x ． 习题 11.41.将下列函数展开成x 的幂级数，并指出其收敛区间． (1) xx f -=31)(； (2) x x f 2cos )(=； (3) x x f arcsin )(=． 2.将函数231)(2++=x x x f 展开成(x + 4)的幂级数．11.5幂级数展开式的应用利用函数的幂级数展开式，可以进行近似计算，即展开式成立的区间内，函数值用级数的部分和按规定的精度要求近似计算.例11.5.1计算2的近似值( 精确到小数点四位，即误差不超过0.0001).解 由于 ++--++-+⋅+=+n x n n x x x !)1()1(!2)1(!11)1(2ααααααα21)211(2242-=-=根据上一节二项式展开式，取21-=x ，21=α 21)211(2242-=-=)21!453121!33121!21211(28642 -⋅⋅-⋅---=取前四项的和作为近似值，其差（称截断误差）为4r )21!5753121!4531(2108 +⋅⋅⋅+⋅⋅=0098.025225))21()21(211(21!45312910328≈=⋅=++++⋅⋅< 于是，近似值为≈24219.1)21!33121!21211(2642≈⋅---=.由“四舍五入”引起的误差叫做舍入误差. 计算时取五位小数，四舍五入后误差不会超过小数点后四位.本题如果用下面做法，展开的级数收敛很快，同样取前四项计算，误差很小.2150114.12-⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⋅+⋅+⋅+⋅+⨯= 43250112835501165501835012114.1取前四项来作计算， 则4142.1]50116550183501211[4.1232≈⋅+⋅+⋅+⨯≈前四项的截断误差⎪⎭⎫ ⎝⎛++⨯⨯< 544501*********.1r ⎪⎭⎫ ⎝⎛+++⨯⨯⨯= 245015011501128354.1 83341025.65012814950128354.14950501128354.1-⨯≈⨯=⨯⨯⨯=⨯⨯⨯=例11.5.2 计算2ln 的近似值(精确到小数点后第4位). 解 将展开式)11()1(432)1ln(1432≤<-+-++-+-=+-x nx x x x x x nn 中的x 换成x -，得)11(432)1ln(432<≤--------=-x nx x x x x x n两式相减，得到不含有偶次幂的展开式)11(7531211ln 753<<-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+++=-+x x x x x x x令211=-+xx ，解出31=x .以31=x 代入得⎪⎭⎫⎝⎛+⋅+⋅+⋅+⋅= 753317131513131311122ln若取前四项作为2ln 的近似值，则误差为0001.0700001341911132])91(911[32)31131311113191(2||911211131194<<⨯=-⨯=+++<+⨯+⨯+⨯= r于是取 6931.0317131513131311122ln 753≈⎪⎭⎫⎝⎛⋅+⋅+⋅+⋅≈.例11.5.3 利用x sin 求12sin 的近似值(精确到小数点后第6位). 解 由于展开式+--+-+-=--!)12()1(!5!3sin 12153n x x x x x n n （+∞<<∞-x ） 是交错级数，取前n 项部分和做近似估计，误差!)12(!)12()(1212+=+≤++n x n x x R n n n （+∞<<∞-x ）151801212ππ=⨯== x ，取前三项能满足精度要求，于是53)15(!51)15(!311515sin12sin ππππ+-≈= 20791170.0)20943951.0(1201)20943951.0(6120943951.053≈+-≈ 精确到六位小数，207912.012sin ≈.例11.5.4 计算定积分⎰=10sin dx x xI 的近似值，精确到0.0001.解 因1sin lim0=→xxx ，所给积分不是广义积分，若定义函数在0=x 处的值为1，则它在区间]1,0[上连续.由前一节知，被积函数的展开时为+--+-+-=--!)12()1(!5!31sin )1(2142n x x x x x n n （∞<<∞-x ） 在区间]1,0[上逐项积分，得⎰10sin dx x x+-⋅--++⋅-⋅+⋅-=-!)12()12(1)1(!771!551!33111n n n这是交错级数，因为第四项5109.2352801!771-⨯<=⋅，所以取前三项的和作为积分的近似值就能满足精度要求.0.9461!551!3311≈⋅+⋅-≈I 例11.5.5 在爱因斯坦（Einstein ）的狭义相对论中，速度为v 的运动物体的质量为220/1cv m m -=其中0m 为静止着的物体的质量，c 为光速.物体的动能是它的总动能与它的静止能量之差202c m mc K -=（1）证明在v 与c 相比很小时，关于K 的表达式就是经典牛顿物理学中的动能公式2021v m K =（2）估计s m v /100≤时，这两个动能公式的差别.解 （1）]1)1[(212220202--=-=-cv c m c m mc K ，记22c v x -=，展开成泰勒级数，有]1)16583211[(66442220-+⋅+⋅+⋅+= cv c v c v c m K)1658321(66442220 +⋅+⋅+⋅=cv c v c v c m当cv 很小时，2022202121v m c v c m K =⋅⋅≈.(2) 由解(1)可见，泰勒公式中一阶余项为（22cv x -=）252240225202252021)-(83)1(83)1(83!2)()(v c cv m x x c m x x c m x x f x r =+≤+=''=θθ（10<<θ）.因为s m c /1038⨯=，s m v /100≤，则252240225201)(83)1(83)(v c cv m x x c m x r +=-≤010252283840)107.4(]100-103[8)103(1003m m -⨯<⨯⨯⨯⨯≤）（）（.可见，误差极小，说明两个公式极为接近.习题 11.51．利用函数的幂级数展开式求下列各函数的近似值： （1）ln 3（误差不超过0.0001）； （2）cos2︒（误差不超过0.0001）；2．利用函数的幂级数展开式求下列定积 分的近似值：（1）0.54011dx x +⎰（误差不超过0.0001）； （2）0.5arctan xdx x⎰（误差不超过0.001）； 11.6傅里叶级数实例1振动问题一根弹簧受力后产生振动，如不考虑各种阻尼，其振动方程为)sin(ϕω+=t A y ，其中A 为振幅，ω为频率，ϕ为初相，t 为时间，称为简谐振动.人们对它已有充分的认识.如果遇到复杂的振动，能否把它分解为一系列简谐振动的叠加，从而由简谐振动去认识复杂的振动呢?实例2正弦波问题在电子线路中，对一个周期性的脉冲)(t f ，能否把它分解为一系列正弦波的叠加，从而由正弦波去认识脉冲)(t f 呢?实际上科学技术中其他一些周期运动也有类似的问题，这些问题的解决都要用到一类重要的函数项级数―傅里叶级数.为了研究傅里叶级数，我们先来认识下面一个概念—三角级数.它在数学与工程技术中有着广泛的应用．三角级数的一般形式是)sin cos (210nx b nx a a n n n ++∑∞=, 其中n n b a a ,,0 ( n = 1,2,…)都是常数，称为三角级数的系数．特别地，当a n = 0 ( n = 0,1,2,…)时，级数只含正弦项，称为正弦级数；当b n = 0 ( n = 1,2,…)时，级数只含常数项和余弦项，称为余弦级数．对于三角级数，我们讨论它的收敛性以及如何把一个周期为2l 的周期函数展开为三角级数的问题．11.6.1 以2π为周期的函数展开成傅里叶级数 1三角函数系 函数列,sin cos , ,2sin ,2cos ,sin ,cos 1nx nx x x x x ，， (11.6.1)称作三角函数系．三角函数系(11.6.1)有下列重要性质．这个定理的证明很容易，只要通过积分的计算即可验证，请读者自己进行．设两个函数ϕ和φ在[,]a b 上可积，且满足⎰=bax x x 0d )()(φϕ，则称函数ϕ和φ在[,]a b 上正交．由定理11.6.1，三角函数系(11.6.1)在[,]ππ-上具有正交性，称为正交函数系．-π2 周期为2π的函数的傅里叶级数设函数f (x )是周期为2π的周期函数，且能展开成三角级数，即设)sin cos (2)(10nx b nx a a x f n n n++=∑∞= (11.6.2)为了求出式(11.6.2)中的系数，假设式(11.6.2)可逐项积分，把它从-π到π逐项积分，得1()(cos sin ),2n n k a f x x x a nx x b nx x ππππππππ∞----==++∑⎰⎰⎰⎰d d d d 由三角函数系的正交性知，上式右端除第一项外均为0，所以0(),2a f x x x a πππππ--==⎰⎰d d 于是得01(),a f x x πππ-=⎰d 为求a n ( n = 1,2,…)，先用cos kx 乘以式(5.2)两端，再从-π到π逐项积分，得1()cos cos (cos cos sin cos )2n n k a f x kx x kx x a nx kx x b nx kx x ππππππππ∞----==++∑⎰⎰⎰⎰d d d d ．由三角函数系正交性知，上式右端除k = n 的一项外其余各项均为0，所以2()cos cos ,n n f x nx x a nx x a πππππ--==⎰⎰d d于是得1()cos (1,2,3,) n a f x nx x n πππ-==⎰d ．类似地，为求b n ( n = 1,2,…)，用sin kx 乘以式(11.6.2)两端，再从-π到π逐项积分，得1()sin (1,2,3,). n b f x nx x n πππ-==⎰d显然，当f (x )为奇函数时，公式(5.3)中的a n = 0 (n = 0, 1, 2, 3,…)；当f (x )为偶函数时，公式(11.6.3)中的b n = 0 (n = 1, 2, 3,…)，所以有(1) 当f (x )是周期为2π的奇函数时，其傅里叶级数为正弦级数nx b n n sin 1∑∞=，其中2()sin (1,2,3,) n b f x nx x n πππ-==⎰d ；(2) 当)(x f 是周期为2π的偶函数时,其傅里叶级数为余弦级数nx a a n n cos 21∑∞=+，其中 2()cos (1,2,3,) n a f x nx x n πππ-==⎰d ．3 傅里叶级数的收敛性对于给定的函数)(x f ，只要)(x f 能使公式(5.3)的积分可积，就可以计算出)(x f 的傅里叶系数，从而得到)(x f 的傅里叶级数．但是这个傅里叶级数却不一定收敛，即使收敛也不一定收敛于)(x f ．为了确保得出的傅里叶级数收敛于)(x f ，还需给)(x f 附加一些条件．对此有下面的定理．2,3,)2,3,)例11.6.1 正弦交流电i (x ) = sin x 经二极管整流后变为(如图11.6.1)⎩⎨⎧+<≤<≤-=ππππ)12(2,sin 2)12(,0)(k x k x k x k x f ,其中k 为整数．把函数f (x )展开为傅里叶级数．解 函数)(x f 满足收敛定理的条件，且在整个数轴上连续，因此)(x f 的傅里叶级数处处收敛于)(x f ．函数f (x )的傅里叶系数为00112()sin a f x x x x ππππππ-===⎰⎰d d ，图11.6.120,11()cos d sin cos d 2,1)n n a f x nx x x nx x n n ππππππ-⎧⎪===⎨-⎪-⎩⎰⎰为奇数为偶数（， 00,111()sin d sin sin d 1, 12n n b f x nx x x nx x n πππππ-≠⎧⎪===⎨=⎪⎩⎰⎰．所以)(x f 的傅里叶展开式为)142cos 356cos 154cos 32cos (2sin 211)(2 +-++++-+=k kx x x x x x f ππ，)(+∞<<-∞x ． 例11.6.2 如图11.6.2所示，一矩形波的表达式为⎩⎨⎧+<≤<≤--=ππππ)12(2,12)12(,1)(k x k k x k x f ，k 为整数．求函数)(x f 的傅里叶级数展开式．图11.6.2解 函数)(x f 除点x = k π ( k 为整数)外处处连续，由收敛定理知，在连续点(x ≠ k π)处，)(x f 的傅里叶级数收敛于)(x f ．在不连续点(x = k π)处，级数收敛于02)1(1=-+．又因)(x f 是周期为2π的奇函数，因此，函数)(x f 的傅里叶系数为0 (0,1,2,3,)n a n ==，004,22()sin d 1sin d 0, n n n b f x nx x nx x n πππππ⎧⎪==⋅=⎨⎪⎩⎰⎰为奇数为偶数．所以)(x f 的傅里叶展开式为)( )12)12sin(55sin 33sin (sin 4)(为整数，k k x k xk x x x x f ππ≠+--++++= ．该例中)(x f 的展开式说明：如果把)(x f 理解为矩形波的波函数，则矩形波可看作是由一系列不同频率的正弦波叠加而成．4 [-,]ππ或[0,]π上的函数展开成傅里叶级数在实际应用中，经常会遇到函数)(x f 只在[-π, π]上有定义，或虽在[-π, π]外也有定义但不是周期函数，而且函数)(x f 在[-π, π]上满足收敛定理的条件，要求把其展开为傅里叶级数．由于求)(x f 的傅里叶系数只用到)(x f 在[-π, π]上的部分，所以我们仍可用公式(11.6.3)求()f x 的傅里叶系数，至少)(x f 在(-π，π)内的连续点处傅里叶级数是收敛于)(x f的，而在x =±π处，级数收敛于)]0()0([21+-+-ππf f ．类似地，如果)(x f 只在[0, π]上有定义且满足收敛定理条件，要得到)(x f 在[0, π]上的傅里叶级数展开式，可以任意补充)(x f 在[-π, 0]上的定义(只要公式(11.6.3)中的积分可积)，称为函数的延拓，常用的两种延拓办法是把)(x f 延拓成偶函数或奇函数(称为奇延拓或偶延拓)，然后将奇延拓或偶延拓后的函数展开成傅里叶级数，再限制x 在[0, π]上，此时延拓后的函数F (x )≡f (x )，这个级数必定是正弦级数或余弦级数，这一展开式至少在(0, π)内的连续点处是收敛于)(x f 的．这样做的好处是可以把)(x f 展开成正弦级数或余弦级数．例11.6.3 将函数f (x ) = x, x ∈[0, π ]分别展开成正弦级数和余弦级数．解 为了把)(x f 展开成正弦级数，先把)(x f 延拓为奇函数F (x ) = x, x ∈[-π, π]，如图11.6.3所示，则1222()sin sin (1)n n b F x nx x x nx x nππππ+==⋅=-⎰⎰d d ． 由此得F (x )在(-π, π)上的展开式，也即)(x f 在[0, π)上的展开式为)0( )sin )1(33sin 22sin (sin 21π<≤+-+-+-=+x nnxx x x x n ． 在x = π处，上述正弦级数收敛于 图11.6.30)(21)]0()0([21=+-=-++-ππππf f ． 为了把)(x f 展开成余弦级数，把)(x f 延拓为偶函数||)(x x F =, x ∈[-π, π]，如图11.6.4所示，则0022()a F x x x x πππππ===⎰⎰d d ，222()cos d cos d 4, (1,2,)0,n a F x nx x x nx xn n n n πππππ==-⎧⎪==⎨⎪⎩⎰⎰为奇数时为偶数时 于是得到)(x f 在[0, π]上的余弦级数展开式为 图11.6.4。
第11章查找与排序
二分查找过程
0 Atlanta 1 Boston 2 Chicago 3 Denver 4 Detroit 5 Houston 6 Los Angeles 7 Miami 8 New York 9 Philadelphia 10 San Francisco 11 Seattle
第十一章 查找和排序
本章内容
查找
• 顺序查找 • 二分查找 • 二叉排序树查找 • 哈希查找 • 平均查找长度的计算
排序
直接插入排序 直接选择排序 冒泡排序
查找的基本概念
查找：在数据元素集合(查找表)中查找关 键字与给定值相等的数据元素。
关键字：数据元素中的一个或多个数据 项值，它可以惟一标识一个数据元素。
例：二分查找函数模板及其测试程序
#include <iostream>
using namespace std;
template <typename T>
int BinSearch( T A[] , int low , int high , T key ){
二分查找（折半查找）
要求：
• 必须以顺序方式存储线性表 • 线性表中所有数据元素必须按照关键字有序排列
基本思想：将给定值与处于顺序表“中间位置” 上的元素的关键字进行比较，若相等则查找成 功；若给定值大于关键字则在表的后半部分继 续进行二分查找，否则在表的前半部分继续进 行二分查找。如此进行下去直至找到满足条件 的元素，或当前查找区为空，此时查找失败。
二分查找算法实现
1.设表长为n，low、high和mid分别指向待查元时， 令 low = 0，high = n - 1，mid= (low+high)/2