14.2.2一次函数概念
一次函数 二次函数
一次函数与二次函数一次函数和二次函数是初等数学中最基本的函数类型，它们在现实生活中有着广泛的应用。
本文将对一次函数和二次函数的定义、性质、图像以及应用进行详细的介绍。
一、一次函数1. 定义：一次函数是指形如y = ax + b（a≠0）的函数，其中a和b为常数，x为自变量，y为因变量。
一次函数又称为线性函数。
2. 性质：（1）一次函数的图像是一条直线，且斜率为a，截距为b。
（2）当a>0时，一次函数的图像从左到右呈上升趋势；当a<0时，一次函数的图像从左到右呈下降趋势。
（3）当a>0且b>0时，一次函数的图像在第一象限；当a>0且b<0时，一次函数的图像在第四象限；当a<0且b>0时，一次函数的图像在第二象限；当a<0且b<0时，一次函数的图像在第三象限。
3. 图像：一次函数的图像是一条直线，其斜率和截距可以通过公式y = ax + b计算得出。
4. 应用：一次函数在实际生活中有很多应用，例如速度与时间的关系、距离与时间的关系、价格与数量的关系等。
二、二次函数1. 定义：二次函数是指形如y = ax² + bx + c（a≠0）的函数，其中a、b、c为常数，x为自变量，y为因变量。
二次函数又称为抛物线函数。
2. 性质：（1）二次函数的图像是一个抛物线，其顶点坐标为（-b/2a, f(-b/2a)），对称轴为x = -b/2a。
（2）当a>0时，二次函数的图像开口向上；当a<0时，二次函数的图像开口向下。
（3）当Δ= b² - 4ac > 0时，二次函数有两个不相等的实根；当Δ= b² - 4ac = 0时，二次函数有两个相等的实根；当Δ= b² - 4ac < 0时，二次函数没有实根。
3. 图像：二次函数的图像是一个抛物线，其顶点坐标、对称轴和判别式可以通过公式y = ax² + bx + c计算得出。
14.2.2一次函数(1)
n=2 ，
m≠2 .
4.已知函数y=(k－1)x＋k2－1，
≠1 当k_____时，它是一次函数，
=－1 当k_____时，它是正比例函数
5. 若函数y=(m－1)x|m|+m是关于x的
-1 一次函数，则m =_____。
6. 已知点A（-1，2）在一次函数 y=kx-3的图象上则 k= -5 。
7. 已知点P（- 2 ，3 2 ）在一次函数 y = x+2b的 图象上则b= 2 2 。
教材P114 练习2、3
课本P120 1题3题
注意： 1.等号右边为整式 2.自变量x的次数是1 3 .k≠0.
例1 下列函数关系式中，哪些是一次函数,
哪些是正比例函数？
函数关系式 一次函数 正比例函数
（1）y=－x－4 （2）y=5x2+6 （3）y=2πx
y （4）
8 x
是 否 是 否 是 是
否 否 是 否 是
否
（5）y=－8x （6） y=－0.5x－1
14.2.2 一次函数(1)
制作人： 李长君 授课人： 李长君 授课时间：11月16日
桦甸五中电子教案
问题 某登山队大本营所在地的气温为
5℃．海拔每升高1km气温下降6℃，登
山队员由大本营向上登高 x km时，他们
所在位置的气温是y℃．试用解析式表示 y与x的关系．
解：y与x的函数关系式为 y=－6x+5
学习目标
1.理解一次函数的概念及 它与正比例函数的关系 2.会列一次函数的表达式
自学指导
阅读课本113~114页解决下列问题
1、问题中函数关系有什么共同点？ 2、什么叫做一次函数？
一次函数概念和定义
一次函数概念和定义一次函数是指函数表达式为 f(x) = ax + b 的数学函数，其中 a 和 b 是常数，x 是自变量。
在一次函数中，自变量 x 的每次增加都会导致函数值 y 的相应增加或减少一个与 x 相关的常数 a，而常数 b 则代表了函数在坐标系中的截距，也就是函数图像在 y 轴上的截距。
一次函数的图像是一条直线，它可以表示线性关系，即两个变量之间的变化量是成比例的，并且可以在二维坐标系中解释。
也就是说，一次函数可以用来描述如下类型的问题：- 某种现象的随时间推移的变化趋势。
- 两种变量之间的相互关系，例如收入和支出，销售量和广告投入等等。
- 抛物线运动等简单物理问题。
一次函数的重要概念包括：1. 增减性当 a > 0 时，函数为增函数；当 a < 0 时，函数为减函数。
也就是说，如果 a > 0，则函数随着 x 的增加而单调增加，反之则单调减少。
2. 零点一次函数的零点指的是函数图像在 x 轴上的交点，也就是函数值为 0 的 x 值。
如果函数的常数项 b = 0，则函数的零点为 x = 0，否则零点为 x = - b / a。
3. 斜率一次函数的斜率指的是函数图像在某一点上的切线斜率，即当前点的导数。
一次函数的斜率为常数 a。
4. 截距5. 最大值和最小值一次函数的最大值和最小值必然在其定义域的端点处取得。
如果 a > 0，则函数的最小值为 -∞，最大值为+∞；如果 a < 0，则函数的最大值为 -∞，最小值为+∞。
总之，一次函数是数学中最基本的函数之一，其概念和定义不仅在中学数学中广泛学习和应用，而且在众多自然科学和社会科学领域中都有重要的应用。
14.2.2 一次函数
14.2.2 一次函数主备人：王彦东一、学习目标：１．掌握一次函数解析式的特点．２．知道一次函数与正比例函数关系． 重点：一次函数的概念、一次函数与正比例函数的关系.难点：根据问题信息写出一次函数的表达式，能利用一次函数解决简单的实际问题.二、预习提纲：1、问题： 某登山大本营所在地的气温为5℃，海拔每升高1km 气温下降6℃，登山队员由大本营向上登高xkm 时，他们所在位置的气温是y ℃，试用解析式表示y 与x 的关系.2、阅读教材114页思考题（1）——（4），得出问题中的解析式（1） （2）（3） （4）上述函数的解析式都是用自变量的一次整式表示的，我们称它们为一次函数． 由此归纳一次函数的定义：3、思考：一次函数与正比例函数有何关系？4.完成114页练习题1、2、3.三、讨论与交流要求：以小组为单位对预习提纲的内容展开交流，并准备展示内容。
四、展示与点评要求：以小组为单位对预习提纲的内容进行展示，其他小组进行质疑、点评，教师做适当补充。
五、当堂检测：A 组：1、下列函数中，哪些是一次函数？哪些是正比例函数？,2r C π= ,20032+=x y ,200v t = (),32x y -=()x x s -=50 ， y=xB 组：2、一辆公共汽车在加油前油箱里还剩8L 汽油,已知加油枪的流量为12L/min ，若加油时间为x （min ），１）请写出此时油箱中的油量y （Ｌ）与x （min ）的函数关系式；２）若加油５min ，则油箱中有多少升汽油？3、已知函数y=（k -1）x +k 2 -1，当k 时，它是一次函数，当k = 时，它是正比例函数.C 组:4、某市市内出租车行程4km 以内收起步费8元，行程超过4km 时，每超过1km ，加收1．80元．写出行程大于4km 时，收费ｙ（元）与所行里程ｘ（km ）间的函数关系，并指明它是一个什么函数？5、已知函数y=（k -1）kx -1，当k 时，它是一次函数.六、小结与作业A 组： 1.下列函数中，y 是x 的一次函数的是（ ）①y=x-6； ②y=x 2； ③y=8x； ④y=7-xA 、①②③B 、①③④C 、①②③④D 、②③④B 组：2、下列说法不正确的是( )(A)一次函数不一定是正比例函数 (B)不是一次函数就一定不是正比例函数(C)正比例函数是特定的一次函数 (D)不是正比例函数就不是一次函数3、已知函数y=(2-m)x+2m-3.求当m 为何值时,(1)此函数为一次函数? (2)此函数为正比例函数?4、一个小球由静止开始在一个斜坡向下滚动，其速度每秒增加2米。
一次函数
课题：14.2.2 一次函数和它的图象(2)一、学习目标：1、本节课通过两个例题探索一次函数的图象及其性质，发展抽象的数学思维．2、能用“两点法”画出一次函数的图象。
3、结合图象,理解直线y=kx+b(k、b是常数,k≠0)常数k和b的取值对于直线的位置的影响。
二、重点难点学习重点：一次函数图象的特点及画法．学习难点：k、b的值与图象的位置关系。
【学习过程】：一、回顾交流，揭示课题【复习提问】：一次函数的概念二、预习交流，实践操作【例2】画出函数y=-6x，y=-6x+5，y=-6x-5的图象（在同一坐标系内）．【思考】请你比较上面三个函数的图象的相同点与不同点，填出你的观察结果：这三个函数的图象形状都是，并且倾斜程度；函数y=-6x 的图象经过（0，0）；函数y=-6x+5的图象与y轴交于点，即它可以看作由直线y=-6x向平移个单位长度而得到的；函数y=-6x-5 的图象与y轴交点是，即它可以看作由直线y=-6x向平移个单位长度而得到的。
【猜想】联系上面例2，考虑一次函数y=kx+b 的图象是什么形状，它与直线y=kx有什么关系？归纳平移法则：一次函数y=kx+b 的图象是一条 ，我们称它为直线y=kx+b ，它可以看作由直线y=kx 平移 个单位长度而得到（当b>0时，向 平移；当b<0时，向 平移）．对于一次函数y=kx+b(其中k 、b 为常数,k ≠0)的图象是—条直线,你认为有没有更为简便的画法三、合作学习，操作观察分别画出下列函数的图像 （在练习本中完成）（1）1+=x y （2）12-=x y （3）1+-=x y （4）12--=x y分析：由于一次函数的图像是直线，所以只要确定两个点就能画出它，一般选取直线与x 轴，y 轴的交点。
（1）1+=x y （2）12-=x y （3）1+-=x y （4）12--=x y※ 观察上面四个图像，（1）1+=x y 经过_________象限；y 随x 的增大而_______，函数的图像从左到右________；（2）12-=x y 经过_________象限；y 随x 的增大而_______，函数的图像从左到右________；（3）1+-=x y 经过_________象限；y 随x 的增大而_______，函数的图像从左到右________；（4）12--=x y 经过_________象限；y 随x 的增大而_______，函数的图像从左到右________。
14.2.2 一次函数(第二课时)
14．2．2 一次函数（第二课时）主备人：王彦东一、学习目标：1.会用简单方法画一次函数图象．2.理解一次函数图象特征与解析式的联系规律．正确理解k、b的几何意义．3. 利用数形结合思想，进一步分析一次函数与正比例函数的联系，从而提高比较鉴别能力．重点：1.一次函数图象的画法．2.一次函数图象特征与k、b联系规律．难点：一次函数图象特征与k、b联系规律.二、预习提纲：活动一、自我回顾上节课所学习的知识。
1、什么叫做正比例函数、一次函数？它们之间有什么关系？2、正比例函数的图象形状是什么样的？3、正比例函数y=kx（k是常数，k≠0）中，k的正负数对函数的图象有什么影响？活动二、画图：用描点法在同一坐标系中画出函数y=-6x，y=—6x+5的图象。
第一步：列表第二步：第三步：观察上面两个函数图象的相同点与不同点，与同学交流一下，谈谈自己的见解。
相同点：这两个函数的图象形状都是，并且倾斜程度。
不同点：函数y=-6x的图象经过原点，而函数y= -6x+5的图象没有经过原点，但与y轴交于点，即它可以看作由直线y= -6x向平移个单位长度而得到。
活动三、猜想、验证、归纳1、所有的一次函数图象都是直线吗？2、直线y=kx与直线y=kx+b的图象存在什么样的位置关系？3、由直线y=kx可经过怎样的平移得到直线y=kx+b？活动四、讨论：1．根据作图，观察、讨论这些函数的图象是什么形状？2．几个点确定一条直线?画一次函数图象时,只要取几个点?活动五、例:在同一直角坐标系中，画出下列函数的图象：y=2x-1与y=-0.5x+1活动六、探究：试比较下列各对一次函数的图象有什么共同点，有什么不同点？（1）y=x+1与y=-x+1； （2）y=2x+1与y=-2x+1；能否从中发现一些规律?对于直线y=kx+b(k 、b 是常数,k ≠0),常数k 、b 的取值对于直线的位置各有什么影响?规律：当k>0时，直线y=kx+b 由左至右 ；当k<0时，直线y=kx+b 由左至右 ． 当k>0时，y 随x 增大而 ． 当k<0时，y 随x 增大而 ．由此可以得到直线)0(≠+=k b kx y 中，k ，b 的取值决定直线的位置：（1）⇔>>0,0b k 直线经过___________象限；（2）⇔<>0,0b k 直线经过___________象限；（3）⇔><0,0b k 直线经过___________象限；（4）⇔<<0,0b k 直线经过___________象限；三、讨论与交流要求：以小组为单位对预习提纲的内容展开交流，并准备展示内容。
一次函数的概念
一次函数的概念一次函数是一类在数学中常见的函数形式，其定义可以被表达为f(x) = ax + b的形式，其中a和b是常数，且a不等于零。
一次函数也被称为线性函数或一次多项式。
一次函数的图像是一条直线，因此其特点包括斜率和截距。
斜率a 决定了直线的倾斜程度，其值为正时直线上升，为负时直线下降，而斜率为零则表示水平直线。
截距b表示直线与y轴的交点，即当x等于零时，函数的值为b。
同时，斜率通过其大小可以判断函数在x轴方向上的变化速率。
一次函数可以用来描述许多实际问题，比如直线运动、成本与收入关系等。
在直线运动中，位置与时间的关系可以由一次函数表示。
假设一个物体在时刻t=0时的位置为x=0，以恒定速度v运动，则可以用一次函数x(t) = vt来描述其位置与时间的关系。
在这个例子中，斜率v 表示物体在单位时间内移动的距离，截距0表示起始位置。
在经济学中，成本与收入之间的关系通常可以用一次函数来描述。
假设销售产品的成本是每个单位产品的固定成本加上每个单位的变动成本，且每个单位产品的售价是固定的。
则成本C和销售数量x之间的关系可以用一次函数表示为C(x) = a + bx，其中a代表固定成本，b 代表每个单位产品的变动成本。
这个函数告诉我们在不同销售数量下的总成本是多少。
一次函数也可以通过图像来帮助理解。
当斜率不等于零时，直线的斜率决定了直线的倾斜程度。
斜率越大，直线越陡峭；斜率越小，直线越平缓。
同时，直线与y轴的交点称为截距，它决定了直线在y轴上的位置。
不同的斜率和截距组合形成了一次函数的不同图像，帮助我们直观地理解函数的特性。
总结起来，一次函数是一种常见的数学模型，用来描述直线关系。
它的定义形式为f(x) = ax + b，并具有斜率和截距两个重要特征。
一次函数在实际问题中具有广泛的应用，能够帮助我们理解和解决各种与直线关系相关的情况。
通过对一次函数的研究和应用，我们可以更好地理解数学与现实世界的联系。
人教版八年级数学上册《14.2.2一次函数(1)》课件
思考题： 正比例函数的图象是一条过原点的直线，那么一般
的一次函数的图象是什么呢？
作业： 教材第114页练习的1、2、3题。
例1：下列函数中y是x的一次函数的
有
，y是x的正比例函数的有
。
（只填序号）
①y=8x ④y=5x6
②y=-8-x
⑤y=-
x-1 3
③ y=5x2+6 ⑥ y=kx+b
形如y=kx+b的形式， 其中k=-8、b=0。
A.一次函数是正比例函数。 B.正比例函数不是一次函数。 C.不是正比例函数就不是一次函数。 D.正比例函数是一次函数。
2、若y=（k-2）x|k-1|+3是一次函数，求
k的值？
|k-1|=1① 解：由已知可得
k-2≠0② 由①得k=2或k=0 由②得k≠2 ∴k＝0 故k的值为0.
3、为了加强公民的节水意识,我市制定了 如下用水收费标准：每户每月的用水量不超 过10吨时，水价为每吨1.2元，超过10吨时， 超过部分按每吨1.8元收费，设某户居民月用 水量为x吨，月交纳水费y元。
当b=0时，y=kx+b（k、b为常数，且k≠0）就 成了y=kx（k为常数，且k≠0）。
因此，正比例函数是一种特殊的一次函数。
一次函数
正比例函数
一次函数
y=kx+b(k、b为常数，且 k≠0)
正比例函数(b=0)
一般的一次函数 (b≠0)
例1：下列函数中y是x的一次函数的
有
，y是x的正比例函数的有
。
（只填序号）
①y=8x ④y=5x6
②y=-8-x
⑤y=-
x-1 3
③ y=5x2+6 ⑥ y=kx+b
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得到函数解析式为： (1)
(2) (3)
c = 7t-35
G = h-105 y = 0.1x+22
思考
（1）C = 7 （2）G = 1 - 35 h - 105 t
（3） y =
0.1
x + 22
x + 5
（4）y = -6
y = K(常数) x + b(常数)
这些函数1、右边是自变量的K倍加上一个常数的形式 自变量的K倍加上一个常数
检测反馈
已知y－3与x成正比例，且x＝2时，y＝7 (1)写出y与x之间的函数关系． (2)y与x之间是什么函数关系． (3)计算y＝－4时x的值．
生活中的数学
1、一个小球由静止开始在一个斜坡向 下滚动，其速度每秒增加2米/秒。 （1）求小球速度v随时间t变化的函数 关系式，它是一次函数吗？ （2）求第2.5秒时，小球的速度。
作业:
生活中的数学
2、汽车油箱中原有汽油50升，如
果行驶中每小时用油5升，求油箱
中的汽油y(单位：升)随行驶时间 x(单位：时)变化的函数关系式，并
写出自变量x的取值范围.y是x的一
次函数吗？
归纳小结
1.一次函数的概念
一般地，形如y=kx+b（k、b是 常数，k≠0）的函数，叫做一次 函数.
2.当b=0时，y=kx+b即y=kx． 所以正比例函数是特殊的一次函 数.
考考你
1、下列函数中哪些一次函数？
（1）y =-8x
是 是
（2）y=5x2 +6 不是
x y （3） 8
8 （4）y x
（6）
不是 是
(5) y x 4 是
y 2x
这些函数中哪些正比例函数呢？
考考 你
2.下列函数关系式中，哪些是一次函数？ 哪些是正比例函数？ 它是一次函数， 不是正比例函数。 它不是一次函数， 也不是正比例函数。 它是一次函数， 也是正比例函数。
m2-3
+1是一次函数，
2.如果y=-2x-2m+1是正比例函数,
1 则 m = 2
例1 已知y与x－3成正比例,当x＝4时,y＝3． (1)写出y与x之间的函数关系式； (2)y与x之间是什么函数关系； (3)求x＝2.5时，y的值． 解 (1) 设 y＝k(x－3)，由已知，得： 3＝ k(4－3) 解得 k＝3 y＝3x－9 (2) y是x的一次函数． (3) 当x＝2.5时 y＝3×2.5 - 9＝ -1.5．
y=15-6×1=9 y=15-6×2=3 y=15-6x
解:y =15 - 6x（x≥ 0）
下列问题中的对应关系可用怎样的函数表示？
(1)有人发现,在20~50 ℃时蟋蟀每分鸣叫的次数c与温度t(单 位： ℃)有关，即c的值约是t的7倍与35的差； C=7t-35 (2)一种计算成年人标准体重G(单位：千克)的方法是，以厘 米为单位量出身高值h，再减去常数105，所得差是G的值； G=h-105 (3)某城市的市内电话的月收费额y(单位：元)包括：月租费 22元，拔打电话x分的计时费(按0.1元/分收取)； y=0.1x+22
问题
某登山队大本营所在地的气温为15o C ,海拔 升高1km 气温下降6o C ,登山队员由大本营向上 登高x km 时，他们所在位置的气温是y o C ， 试用解析式表示y 与x 的关系。
上升高度x(km) 下降气温(°C ) 登高位置气温y (°C )
1 2 x
6×1=6 6×2=12 6x
（1）y= - x - 4 （2）y=x2 （3）y=2πx 1 （4）y= —— x
它不是一次函数， 也不是正比例函数。
考考你
3.下列说法正确的是（ D ）
A.一次函数是正比例函数。
B.正比例函数不是一次函数。
C.不是正比例函数就不是一次函数。
D.正比例函数是一次函数。
1.如果y=（m+2）x 那么m= _____ 2
当b=0时，y=kx+b 即y=kx
正比例函数是一种特殊的一次函数
考考 1、下列函数中哪些是一次函数， 你 哪些又是正比例函数？
(1) y 8 x 8 (3) y x
(2) y 5x 6
2
(4) y 0.5 x 1）又是正比例函数。
2、含自变量的项次数为1 含自变量的项次数为1
定义：
一般地，形如y=kx+b （k, b 是常数， k≠0）的函数，叫做一次函数。
注意： 形式. 1、右边是自变量的K倍加上一个常数的 2、含自变量的项次数为1.
k≠0
定义：
一般地，形如y=kx+b （k, b 是常数， k≠0）的函数，叫做一次函数。