第五章 图形运算

S3=ABOVE(S1,L); S4=BELOW(S2,L); 相交，则求出的交点送入集合A中 若S3和S2相交，则求出的交点送入集合 中； 相交，则求出的交点送入集合A中 若S4和S1相交，则求出的交点送入集合 中； 中交换S 的位置； 在L中交换 1和S2的位置； 中交换 3.3 〔处理找到的交点〕若集合 不为空，做下面 处理找到的交点〕若集合A不为空 不为空， 循环，直至A为空 为空： 循环，直至 为空： 取出集合A中一个交点 其横坐标是x； 中一个交点， 取出集合 中一个交点，其横坐标是 ； 则输出此交点， 若MEMBER(x,E)为FALSE,则输出此交点， 并 为 则输出此交点 做 INSERT(x,E);
两线段AB和CD交点的算法 两线段AB和CD交点的算法 AB
1.〔计算行列式〕 1.〔计算行列式〕 ←(xb-xa)(yc-yd)-(xc∆ xd)(yb-ya) =0,则两线段重合或平行 则两线段重合或平行, 若 ∆ =0,则两线段重合或平行,可算做无交 算法结束; 点,算法结束; 2.〔计算交点参数〕 2.〔计算交点参数〕 ←((xc-xa)(yc-yd)λ (xc-xd)(yc-ya))/ <0或 >1,则无交点,算法结束; >1,则无交点 若λ 或 λ 则无交点,算法结束; <0 ←((xb-xa)(yc-ya)-(xc-xa)(yb-ya))/ <0或 >1,则无交点 算法结束; 则无交点, 若 µ<0或 µ >1,则无交点,算法结束;
µ
3.〔计算交点〕 3.〔计算交点〕x←xa+ (xb-xa),y←ya+ (yb),输出交点(x,y)后算法结束 输出交点(x,y)后算法结束; ya),输出交点(x,y)后算法结束;
λ
λ
多条线段求交
寻找这样的算法, 寻找这样的算法,其计算工作量要大 体上与交点个数成正比, 体上与交点个数成正比,即只对有可能相 交的两线段计算交点, 交的两线段计算交点,对不可能相交的线 段不计算交点,使算法有更好的效率。 段不计算交- x a λ = Δ yc - y a 1 x b - xa μ= Δ y -y b a
-(xd - xc ) -(yd -yc ) (xc - xa ) (yc -ya )
≤ 需要注意, 需要注意,只有 0 ≤λ 1 ,0 ≤ µ ≤1 时两线 段才真正相交。否则, 段才真正相交。否则,交点在两线段或其中某 一条线段的延长线上, 一条线段的延长线上,这时仍然认为是两线段 不相交。 不相交。
第五章
第一节
图形运算
线段的交点计算
两条线段求交 设有两线段AB和CD,其端点坐标分别为 设有两线段AB和CD,其端点坐标分别为 AB ),它们所在直线 (xa,ya),(xb,yb)和(xc,yc),(xd,yd),它们所在直线 的参数方程分别为： 的参数方程分别为：
x = x a +λ(x b - x a ) x = x c +μ(x d - x c ) y = y a +λ(y b - y a ) y = y c +μ(y d - y c )
事件点进度表E应能支持以下三 事件点进度表E 个操作: 个操作: MIN(E),取出表 中的最小元素。 取出表E (1) MIN(E),取出表E中的最小元素。 INSERT(x,E),把横坐标为 把横坐标为x (2) INSERT(x,E),把横坐标为x的一个 点插入到表E 插入要使E 点插入到表E中,插入要使E中事件点存 放保持递增次序。 放保持递增次序。 MEMBER(x,E),判定横坐标为 判定横坐标为x (3) MEMBER(x,E),判定横坐标为x的点 是否在事件点进度表E 是否在事件点进度表E中。
若两线段相交,则交点的参数值,应满足: 若两线段相交,则交点的参数值,应满足:

x = x a +λ (x b - x a ) = x c + μ(x d - x c ) y = y a +λ(y b - y a ) = y c + μ (y d - y c )
即
(x b - x a ) λ - (x d - x c ) µ = x c - x a (y b - y a )λ - (y d - y c ) µ = y c - y a
算法: 算法:
1.〔事件点进度表E初始化〕将输入待求交点的 〔事件点进度表 初始化 初始化〕 n条线段的 个端点按 字典式排序后存放 条线段的2n个端点按 条线段的 个端点按x,y字典式排序后存放 于表E中 于表 中; 2.〔准备收集交点〕A← ;{A是一集合 初为 是一集合,初为 〔准备收集交点〕 是一集合 准备存入找到的交点;} 空,准备存入找到的交点 准备存入找到的交点 3.〔平面扫描〕若表 不为空 则进行 不为空,则进行 〔平面扫描〕若表E不为空 则进行(1)~(3)循 循 直到表E为空时算法结束 为空时算法结束。 环。直到表 为空时算法结束。 3.1〔取出当前事件点〕P←MIN(E)； 〔取出当前事件点〕 ； 3.2〔当前事件点处理〕考查当前事件点 分三 〔当前事件点处理〕考查当前事件点P,分三 种情况: 种情况 (1) 若P是边 的左端点 则做：INSERT(S,L); 是边S的左端点 则做： 是边 的左端点,则做
因此, 因此,若行列式
xb - xa -(xd - xc ) ∆= =0 y b - y a -(y d - y c)
表示两线段AB和CD重合或平行。 表示两线段AB和CD重合或平行。一般做为 AB 重合或平行 它们不相交来处理。 0,则可求出交点 它们不相交来处理。如果 ∆ ≠0,则可求出交点 对应的两个参数值: 对应的两个参数值:
第二节 多边形表面的交线计算
设两个要求交线的多边形表面都是凸 多边形表面,分别由它们的顶点坐标逆时针 多边形表面,分别由它们的顶点坐标逆时针 方向的序列确定, 方向的序列确定,即约定按顶点序列前行时 内部在左侧。 内部在左侧。 根据顶点坐标求出两个多边形表面分 别所在平面的方程 平面的方程, 别所在平面的方程,再根据平面方程计算交 最后,还要确定出交线同时在两个多边 线,最后,还要确定出交线同时在两个多边 形表面内部的部分
u
ν
其中， 其中，S2>μS4,S1>νS2,S2>νS4,S1>νS4
规定的次序关系对垂直的线段不适合 两线段相交的必要条件 即若两线段相交, 必要条件, 两线段相交的必要条件,即若两线段相交, 则必然存在某个x,使它们在规定的次序关系 x,使它们在规定的次序 则必然存在某个x,使它们在规定的次序关系 >x下是相邻的 下是相邻的。 >x下是相邻的。 算法从左向右扫描,在扫描过程维持正确 算法从左向右扫描, 的线段间上述次序关系。 的线段间上述次序关系。这种次序关系只能 有三种可能的变化方式: 有三种可能的变化方式: 遇见某条线段S 左端点,此时S 加入次序 1．遇见某条线段S的左端点,此时S应加入次序 关系。 关系。 2．遇见某线段S的右端点,此时S应从次序关系 遇见某线段S 右端点,此时S 删除。 中删除。 遇到某两条线段S 交点, 3．遇到某两条线段S1和S2 的交点,这时在次序 交换位置。 关系中S 关系中S1和S2交换位置。
算法实施需要两个基本的数据结构: 算法实施需要两个基本的数据结构: 扫描线状态表和事件点进度表 扫描线状态表L中存放按所规定次序关系> 扫描线状态表L中存放按所规定次序关系>x 排序的线段的序列 此表初始应为空, 线段的序列。 排序的线段的序列。此表初始应为空,在平面 扫描过程中当关系> 改变时变化。 扫描过程中当关系>x改变时变化。 事件点指扫描进行中可能使所规定次序关 发生变化的点 存放于事件点进度表E 系>x发生变化的点,存放于事件点进度表E中, 该表初始时应是排序的要求交点的各线段端点 的坐标。在平面扫描过程中求出的交点 交点, 的坐标。在平面扫描过程中求出的交点,应及 时地插入到事件点进度表中。 插入到事件点进度表中 时地插入到事件点进度表中。
ϕ
S1=ABOVE(S,L); S2=BELOW(S,L); 则求出的交点送入集和A中 若S和S1相交 则求出的交点送入集和 中; 和 相交,则求出的交点送入集和 则求出的交点送入集和A中 若S和S2相交 则求出的交点送入集和 中; 和 相交,则求出的交点送入集和 (2) 若P是边 的右端点 则做： 是边S的右端点 则做： 是边 的右端点,则做 S1=ABOVE(S,L); S2=BELOW(S,L); 相交于点P的右边,则求出的交点送 若S1和S2相交于点 的右边 则求出的交点送 入集和A中 入集和 中； DELETE(S,L)； ； (3) 若P是边 1和S2的交点 且在 的左边 是边S 的交点,且在 且在P的左边 是边 S1=ABOVE(S2),则做 则做
设有三条线段S 设有三条线段S1，S2，S3,它们的坐标如下 (1,1),(5,3,),(2,3),(4,1),(6,4),(8,2).要计 (1,1),(5,3,),(2,3),(4,1),(6,4),(8,2).要计 算所有交点。 算所有交点。
算法初始形成的事件点进度表E， 算法初始形成的事件点进度表 ， 可有形式 (((1,1),S1左端点 ，((2,3),S2左端点 左端点)， 左端点) 左端点 左端点 右端点)， 右端点) ，((4,1),S2右端点 ，((5,3),S1右端点 右端点 右端点 左端点)， 右端点)) ，((6,4),S3左端点 ，((8,2),S3右端点 左端点 右端点
算法步 骤 3.2(1) 3.2(1)
从表E前面取出的扫描到 从表 前面取出的扫描到 达的事件点P 达的事件点 ((1,1),S1左端点 左端点) 左端点 ((2,3),S2左端点 左端点) 左端点
扫描线状 态表L 态表 (S1) (S1,S2)
工作解释
发生S1,S2求交 求出 求交,求出 发生 求交 交点(3,2)插入 交点 插入 E((4,1),S2右端点 前 右端点)前 右端点