高考数学大二轮总复习与增分策略(全国通用,理科)配套课件+配套文档：专题六 解析几何 第1讲
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2．函数与导数1．求函数的定义域，关键是依据含自变量x 的代数式有意义来列出相应的不等式(组)求解，如开偶次方根、被开方数一定是非负数；对数式中的真数是正数；列不等式时，应列出所有的不等式，不应遗漏．对抽象函数，只要对应关系相同，括号里整体的取值范围就完全相同．[问题1] 函数f (x )＝11－x＋lg(1＋x )的定义域是__________________． 2．用换元法求解析式时，要注意新元的取值范围，即函数的定义域问题．[问题2] 已知f (cos x )＝sin 2x ，则f (x )＝________.3．分段函数是在其定义域的不同子集上，分别用不同的式子来表示对应关系的函数，它是一个函数，而不是几个函数．[问题3] 已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x ，x ≤0，f (x －1)，x >0，那么f (56)的值为________． 4．判断函数的奇偶性，要注意定义域必须关于原点对称，有时还要对函数式化简整理，但必须注意使定义域不受影响．[问题4] f (x )＝lg (1－x 2)|x －2|－2是________函数(填“奇”“偶”或“非奇非偶”)． 5．求函数单调区间时，多个单调区间之间不能用符号“∪”和“或”连接，可用“及”连接，或用“，”隔开．单调区间必须是“区间”，而不能用集合或不等式代替．[问题5] 函数f (x )＝1x的减区间为________________________________________． 6．弄清函数奇偶性的性质(1)奇函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则其单调性完全相同；偶函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则其单调性恰恰相反．(2)若f (x )为偶函数，则f (－x )＝f (x )＝f (|x |)．(3)若奇函数f (x )的定义域中含有0，则必有f (0)＝0.“f (0)＝0”是“f (x )为奇函数”的既不充分也不必要条件．[问题6] 设f (x )＝lg ⎝⎛⎭⎫21－x ＋a 是奇函数，且在x ＝0处有意义，则该函数为( )A ．(－∞，＋∞)上的减函数B ．(－∞，＋∞)上的增函数C ．(－1,1)上的减函数D ．(－1,1)上的增函数7．求函数最值(值域)常用的方法(1)单调性法：适合于已知或能判断单调性的函数．(2)图象法：适合于已知或易作出图象的函数．(3)基本不等式法：特别适合于分式结构或两元的函数．(4)导数法：适合于可导函数．(5)换元法(特别注意新元的范围)．(6)分离常数法：适合于一次分式．[问题7] 函数y ＝2x2x ＋1(x ≥0)的值域为________． 8．函数图象的几种常见变换(1)平移变换：左右平移——“左加右减”(注意是针对x 而言)；上下平移——“上加下减”．(2)翻折变换：f (x )→|f (x )|；f (x )→f (|x |)．(3)对称变换：①证明函数图象的对称性，即证图象上任意点关于对称中心(轴)的对称点仍在图象上；②函数y ＝f (x )与y ＝－f (－x )的图象关于原点成中心对称；③函数y ＝f (x )与y ＝f (－x )的图象关于直线x ＝0 (y 轴)对称；函数y ＝f (x )与函数y ＝－f (x )的图象关于直线y ＝0(x 轴)对称．[问题8] 函数f (x )＝2x ＋1x ＋1的图象的对称中心是________． 9．有关函数周期的几种情况必须熟记：(1)f (x )＝f (x ＋a )(a >0)，则f (x )的周期T ＝a ；(2)f (x ＋a )＝1f (x )(f (x )≠0)或f (x ＋a )＝－f (x )，则f (x )的周期T ＝2a . [问题9] 对于函数f (x )定义域内任意的x ，都有f (x ＋2)＝－1f (x )，若当2<x <3时，f (x )＝x ，则f (2 016.5)＝________.10．二次函数问题(1)处理二次函数的问题勿忘数形结合．二次函数在闭区间上必有最值，求最值问题用“两看法”：一看开口方向，二看对称轴与所给区间的相对位置关系．(2)若原题中没有指出是“二次”方程、函数或不等式，要考虑到二次项系数可能为零的情形．[问题10] 若关于x 的方程ax 2－x ＋1＝0至少有一个正根，则a 的取值范围为________．11．(1)对数运算性质已知a >0且a ≠1，b >0且b ≠1，M >0，N >0.则log a (MN )＝log a M ＋log a N ，log a M N＝log a M －log a N ， log a M n ＝n log a M ，对数换底公式：log a N ＝log b N log b a. 推论：＝n m log a N ；log a b ＝1log b a. (2)指数函数与对数函数的图象与性质可从定义域、值域、单调性、函数值的变化情况考虑，特别注意底数的取值对有关性质的影响，另外，指数函数y ＝a x 的图象恒过定点(0,1)，对数函数y ＝log a x 的图象恒过定点(1,0)．[问题11] 函数y ＝|log 2|x －1||的递增区间是________________．12．幂函数y ＝x α(α∈R )(1)①若α＝1，则y ＝x ，图象是直线．②当α＝0时，y ＝x 0＝1(x ≠0)图象是除点(0,1)外的直线．③当0<α<1时，图象过(0,0)与(1,1)两点，在第一象限内是上凸的．④当α>1时，在第一象限内，图象是下凸的．(2)增减性：①当α>0时，在区间(0，＋∞)上，函数y ＝x α是增函数；②当α<0时，在区间(0，＋∞)上，函数y ＝x α是减函数．[问题12] 函数f (x )＝x －⎝⎛⎭⎫12x 的零点个数为________．13．函数与方程(1)对于函数y ＝f (x )，使f (x )＝0的实数x 叫做函数y ＝f (x )的零点．事实上，函数y ＝f (x )的零点就是方程f (x )＝0的实数根．(2)如果函数y ＝f (x )在区间[a ，b ]上的图象是一条连续曲线，且有f (a )f (b )<0，那么函数y ＝f (x )在区间[a ，b ]内有零点，即存在c ∈(a ，b )，使得f (c )＝0，此时这个c 就是方程f (x )＝0的根．反之不成立．[问题13] 已知定义在R 上的函数f (x )＝(x 2－3x ＋2)·g (x )＋3x －4，其中函数y ＝g (x )的图象是一条连续曲线，则方程f (x )＝0在下面哪个区间内必有实数根( )A ．(0,1)B ．(1,2)C ．(2,3)D ．(3,4)14．求导数的方法(1)基本导数公式：c ′＝0 (c 为常数)；(x m )′＝mx m －1 (m ∈Q )；(sin x )′＝cos x ；(cos x )′＝－sin x ；(e x )′＝e x ；(a x )′＝a x ln a ；(ln x )′＝1x ；(log a x )′＝1x ln a(a >0且a ≠1)． (2)导数的四则运算：(u ±v )′＝u ′±v ′；(u v )′＝u ′v ＋u v ′；⎝⎛⎭⎫u v ′＝u ′v －u v ′v 2(v ≠0)． (3)复合函数的导数：y x ′＝y u ′·u x ′.如求f (ax ＋b )的导数，令u ＝ax ＋b ，则(f (ax ＋b ))′＝f ′(u )·a .[问题14] f (x )＝e －2x ，则f ′(x )＝________.15．利用导数判断函数的单调性：设函数y ＝f (x )在某个区间内可导，如果f ′(x )>0，那么f (x )在该区间内为增函数；如果f ′(x )<0，那么f (x )在该区间内为减函数；如果在某个区间内恒有f ′(x )＝0，那么f (x )在该区间内为常函数．注意：如果已知f (x )为减函数求字母取值范围，那么不等式f ′(x )≤0恒成立，但要验证f ′(x )是否恒等于0.增函数亦如此．[问题15] 函数f (x )＝ax 3－2x 2＋x －1在R 上是增函数，则a 的取值范围是________．16．导数为零的点并不一定是极值点，例如：函数f (x )＝x 3，有f ′(0)＝0，但x ＝0不是极值点．[问题16] 函数f (x )＝14x 4－13x 3的极值点是________． 17．定积分运用微积分基本定理求定积分ʃb a f (x )d x 值的关键是用求导公式逆向求出f (x )的原函数，应熟练掌握以下几个公式：ʃb a x n d x ＝x n ＋1n ＋1|b a ， ʃb a sin x d x ＝－cos x |b a ，ʃb a cos x d x ＝sin x |b a ，ʃb a 1xd x ＝ln x |b a (b >a >0)，ʃb a a x d x ＝a x ln a |b a. [问题17] 计算定积分ʃ1－1(x 2＋sin x )d x ＝________.易错点1 忽视函数定义域例1 函数y ＝log (x 2－5x ＋6)的单调递增区间为_____________．错因分析 忽视对函数定义域的要求，漏掉条件x 2－5x ＋6>0.解析 由x 2－5x ＋6＞0知{x |x ＞3或x ＜2}．令u ＝x 2－5x ＋6，则u ＝x 2－5x ＋6在(－∞，2)上是减函数，∴y ＝log (x 2－5x ＋6)的单调增区间为(－∞，2)．答案 (－∞，2)易错点2 分段函数意义理解不准确例2 定义在R 上的函数f (x )满足f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2(1－x )，x ≤0，f (x －1)－f (x －2)，x >0，则f (2 016)的值为( ) A ．－1 B ．0 C ．1 D ．2错因分析 不理解分段函数的意义，误认为应将x ＝2 016，代入log 2(1－x )，或者认为得不到f (2 016)的值．解析 f (2 016)＝f (2 015)－f (2 014)＝f (2 014)－f (2 013)－f (2 014)＝－f (2 013)＝f (2 010)＝f (0)＝0.答案 B例3 函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ ax 2＋1，x ≥0，(a 2－1)e ax ，x >0在(－∞，＋∞)上单调，则a 的取值范围是________________．错因分析 只考虑分段函数各段上函数值变化情况，忽视对定义域的临界点处函数值的要求．解析 若函数在R 上单调递减，则有⎩⎪⎨⎪⎧ a ＜0，a 2－1＞0，(a 2－1)e 0≥1，解之得a ≤－2；若函数在R 上单调递增，则有⎩⎪⎨⎪⎧ a ＞0，a 2－1＞0，(a 2－1)e 0≤1，解得1＜a ≤2，故a 的取值范围是(－∞，－2]∪(1，2]．答案 (－∞，－2]∪(1，2]易错点3 函数零点求解讨论不全面例4 函数f (x )＝mx 2－2x ＋1有且仅有一个正实数零点，则实数m 的取值范围是( )A ．(－∞，1]B ．(－∞，0]∪{1}C ．(－∞，0)∪{1}D ．(－∞，1)错因分析 解本题易出现的错误有分类讨论不全面、函数零点定理使用不当，如忽视对m ＝0的讨论，就会错选C.解析 当m ＝0时，x ＝12为函数的零点；当m ≠0时，若Δ＝0，即m ＝1时，x ＝1是函数唯一的零点，若Δ≠0，显然x ＝0不是函数的零点，这样函数有且仅有一个正实数零点等价于方程f (x )＝mx 2－2x ＋1＝0有一个正根一个负根，即mf (0)＜0，即m ＜0.故选B.答案 B易错点4 混淆“过点”和“切点”例5 求过曲线y ＝3x －x 3上的点(2，－2)的切线方程．错因分析 混淆过一点的切线和在一点处切线，错误认为(2，－2)一定是切点．解 设切点为P (x 0，y 0)，则点P 处的切线方程是y －y 0＝(3－3x 20)(x －x 0)．∵点A 在切线上，∴－2－y 0＝(3－3x 20)(2－x 0)．①又∵点P 在曲线C 上，∴y 0＝3x 0－x 30.②由①、②，解得x 0＝2或x 0＝－1.当x 0＝2时，P 点的坐标为(2，－2)，切线方程是9x ＋y －16＝0.当x 0＝－1时，P 点的坐标为(－1，－2)，切线方程是y ＋2＝0.综上，过点A 的曲线C 的切线方程是：9x ＋y －16＝0或y ＋2＝0.易错点5 极值点条件不清例6 已知f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋a 2在x ＝1处有极值为10，则a ＋b ＝________.错因分析 把f ′(x 0)＝0作为x 0为极值点的充要条件，没有对a ，b 值进行验证，导致增解． 解析 f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b ，由x ＝1时，函数取得极值10，得⎩⎪⎨⎪⎧ f ′(1)＝3＋2a ＋b ＝0， ①f (1)＝1＋a ＋b ＋a 2＝10， ②联立①②得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝4，b ＝－11，或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－3，b ＝3.当a ＝4，b ＝－11时，f ′(x )＝3x 2＋8x －11＝(3x ＋11)(x －1)．在x ＝1两侧的符号相反，符合题意．当a ＝－3，b ＝3时，f ′(x )＝3(x －1)2在x ＝1两侧的符号相同，所以a ＝－3，b ＝3不符合题意，舍去．综上可知a ＝4，b ＝－11，∴a ＋b ＝－7.答案 －7 易错点6 函数单调性与导数关系理解不准确例7 函数f (x )＝ax 3－x 2＋x －5在R 上是增函数，则a 的取值范围是________．错因分析 误认为f ′(x )＞0恒成立是f (x )在R 上是增函数的必要条件，漏掉f ′(x )＝0的情况．解析 f (x )＝ax 3－x 2＋x －5的导数f ′(x )＝3ax 2－2x ＋1，由f ′(x )≥0，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＞0，Δ＝4－12a ≤0，解得a ≥13. 答案 a ≥13 易错点7 计算定积分忽视细节例8 ʃ421xd x 等于( ) A ．－2ln 2 B ．2ln 2 C ．－ln 2 D ．ln 2错题分析 本题易出现的问题主要有两个方面：一是混淆求原函数和求导数的运算，误认为原函数为y ＝(1x)′而找不到答案；二是记错公式，把积分的上、下限颠倒导致计算失误，而错选C.解析 因为(ln x )′＝1x ，所以y ＝1x的一个原函数是y ＝ln x ， 故ʃ421xd x ＝ln x |42＝ln 4－ln 2＝ln 2，故选D. 答案 D1．(2014·北京)下列函数中，在区间(0，＋∞)上为增函数的是( )A ．y ＝x ＋1B ．y ＝(x －1)2C ．y ＝2－xD ．y ＝log 0.5(x ＋1)2．(2014·山东)函数f (x )＝1(log 2x )2－1的定义域为( ) A.⎝⎛⎭⎫0，12 B ．(2，＋∞)C.⎝⎛⎭⎫0，12∪(2，＋∞) D.⎝⎛⎦⎤0，12∪[2，＋∞) 3．下列各式中错误的是( )A ．0.83>0.73B ．log 0.50.4>log 0.50.6C ．0.75－0.1<0.750.1D ．lg 1.6>lg 1.44．a 是f (x )＝2x －log x 的零点，若0＜x 0＜a ，则f (x 0)的值满足( )A ．f (x 0)＝0B ．f (x 0)＜0C ．f (x 0)＞0D ．f (x 0)的符号不确定5．(2014·天津)函数f (x )＝log (x 2－4)的单调递增区间是( )A ．(0，＋∞)B ．(－∞，0)C ．(2，＋∞)D ．(－∞，－2)6．已知函数f (x )的导函数f ′(x )的图象如图所示，那么函数f (x )的图象最有可能的是( )7．(2014·福建)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋1，x >0，cos x ，x ≤0，则下列结论正确的是( ) A ．f (x )是偶函数B ．f (x )是增函数C ．f (x )是周期函数D ．f (x )的值域为[－1，＋∞)8．若函数f (x )是定义在R 上的偶函数，在(－∞，0]上是减函数，且f (2)＝0，则使得f (x )<0的x 的取值范围是________．9．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ， x >0，3x ， x ≤0且关于x 的方程f (x )＋x －a ＝0有且只有一个实根，则实数a 的取值范围是________．10．(2014·江苏)已知函数f (x )＝x 2＋mx －1，若对于任意x ∈[m ，m ＋1]，都有f (x )<0成立，则实数m 的取值范围是________．11．已知函数f (x )＝x 2＋a x(x ≠0，a ∈R )． (1)判断函数f (x )的奇偶性；(2)若f (x )在区间[2，＋∞)上是增函数，求实数a 的取值范围．12．已知函数f (x )＝ln(ax )(a ≠0，a ∈R )，g (x )＝x －1x. (1)当a ＝1时，记φ(x )＝f (x )－x ＋1x －1，求函数φ(x )的单调区间； (2)若f (x )≥g (x )(x ≥1)恒成立，求实数a 的取值范围．学生用书答案精析2．函数与导数要点回扣[问题1] (－1,1)∪(1，＋∞)[问题2] 1－x 2(x ∈[－1,1])[问题3] －12[问题4] 奇解析 由⎩⎪⎨⎪⎧1－x 2>0，|x －2|－2≠0得定义域为(－1,0)∪(0,1)， f (x )＝lg (1－x 2)－(x －2)－2＝lg (1－x 2)－x. ∴f (－x )＝－f (x )，f (x )为奇函数．[问题5] (－∞，0)，(0，＋∞)[问题6] D [由题意可知f (0)＝0，即lg(2＋a )＝0，解得a ＝－1，故f (x )＝lg 1＋x 1－x，函数f (x )的定义域是(－1,1)， 在此定义域内f (x )＝lg 1＋x 1－x ＝lg(1＋x )－lg(1－x )， 函数y 1＝lg(1＋x )是增函数，函数y 2＝lg(1－x )是减函数，故f (x )＝y 1－y 2是增函数．选D.][问题7] ⎣⎡⎭⎫12，1解析 方法一 ∵x ≥0，∴2x ≥1，∴y 1－y≥1， 解得12≤y <1.∴其值域为y ∈⎣⎡⎭⎫12，1. 方法二 y ＝1－12x ＋1，∵x ≥0，∴0<12x ＋1≤12，∴y ∈⎣⎡⎭⎫12，1. [问题8] (－1,2)[问题9] －25[问题10] ⎝⎛⎦⎤－∞，14 [问题11] [0,1)，[2，＋∞)解析 ∵y ＝⎩⎪⎨⎪⎧ |log 2(x －1)|(x >1)，|log 2(1－x )|(x <1)， 作图可知正确答案为[0,1)，[2，＋∞)．[问题12] 1[问题13] B [f (x )＝(x －2)(x －1)g (x )＋3x －4，∴f (1)＝0＋3×1－4＝－1<0，f (2)＝2×3－4＝2>0.又函数y ＝g (x )的图象是一条连续曲线，∴函数f (x )在区间(1,2)内有零点．因此方程f (x )＝0在(1,2)内必有实数根．][问题14] －2e －2x[问题15] a ≥43解析 f (x )＝ax 3－2x 2＋x －1的导数f ′(x )＝3ax 2－4x ＋1.由f ′(x )≥0，得⎩⎪⎨⎪⎧a >0，Δ＝16－12a ≤0，解得a ≥43.a ＝43时，f ′(x )＝(2x －1)2≥0， 且只有x ＝12时，f ′(x )＝0， ∴a ＝43符合题意． [问题16] x ＝1[问题17] 23解析 ʃ1－1(x 2＋sin x )d x ＝ ⎪⎪⎝⎛⎭⎫x 33－cos x 1－1＝23. 查缺补漏1．A [A 项，函数y ＝x ＋1在[－1，＋∞)上为增函数，所以函数在(0，＋∞)上为增函数，故正确；B 项，函数y ＝(x －1)2在(－∞，1)上为减函数，在[1，＋∞)上为增函数，故错误；C 项，函数y ＝2－x ＝(12)x 在R 上为减函数，故错误；D 项，函数y ＝log 0.5(x ＋1)在(－1，＋∞)上为减函数，故错误．]2．C [由题意知⎩⎪⎨⎪⎧ x >0，(log 2x )2>1，解得x >2或0<x <12.故选C.] 3．C [构造相应函数，再利用函数的性质解决，对于A ，构造幂函数y ＝x 3，为增函数，故A 对；对于B 、D ，构造对数函数y ＝log 0.5x 为减函数，y ＝lg x 为增函数，B 、D 都正确；对于C ，构造指数函数y ＝0.75x ，为减函数，故C 错．]4．B [函数f (x )＝2x －log x ＝2x ＋log 2x 在(0，＋∞)上是单调递增的，这个函数有零点，这个零点是唯一的，根据函数的单调性，知在(0，a )上，这个函数的函数值小于零，即f (x 0)＜0.]5．D [因为y ＝log t 在定义域上是减函数，所以求原函数的单调递增区间，即求函数t ＝x 2－4的单调递减区间，结合函数的定义域，可知所求区间为(－∞，－2)．]6．A [从导函数图象上可以看出函数f (x )的单调递增区间是(－2,0)，单调递减区间是(－∞，－2)，(0，＋∞)，故函数图象最有可能是选项A 中的图象．]7．D [函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋1，x >0，cos x ，x ≤0的图象如图所示，由图象知只有D 正确．]8．(－2,2)解析 因为f (x )是偶函数，所以f (－x )＝f (x )＝f (|x |)．因为f (x )<0，f (2)＝0.所以f (|x |)<f (2)．又因为f (x )在(－∞，0]上是减函数，所以f (x )在(0，＋∞)上是增函数，所以|x |<2，所以－2<x <2.9．(1，＋∞)解析 方程f (x )＋x －a ＝0的实根也就是函数y ＝f (x )与y ＝a －x 的图象交点的横坐标，如图所示，作出两个函数图象，显然当a ≤1时，两个函数图象有两个交点，当a >1时，两个函数图象的交点只有一个．所以实数a 的取值范围是(1，＋∞)．10．(－22，0)解析 作出二次函数f (x )的图象，对于任意x ∈[m ，m ＋1]，都有f (x )<0，则有⎩⎪⎨⎪⎧ f (m )<0，f (m ＋1)<0，即⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋m 2－1<0，(m ＋1)2＋m (m ＋1)－1<0，解得－22<m <0. 11．解 (1)当a ＝0时，f (x )＝x 2为偶函数；当a ≠0时，f (x )既不是奇函数也不是偶函数．(2)要使f (x )在区间[2，＋∞)上是增函数，只需当x ≥2时，f ′(x )≥0恒成立，即2x －a x 2≥0，则a ≤2x 3，又因为2x 3≥16. 故当a ≤16时，f (x )在区间[2，＋∞)上是增函数．12．解 (1)当a ＝1时，φ(x )＝f (x )－x ＋1x －1＝ln x －x ＋1x －1，则φ′(x )＝1x ＋2(x －1)2＝x 2＋1x (x －1)2. 因为x >0且x ≠1，所以φ′(x )>0.故函数φ(x )的单调递增区间为(0,1)和(1，＋∞)．(2)因为ln(ax )≥x －1x对x ≥1恒成立， 所以ln a ＋ln x ≥x －1x， 即ln a ≥1－1x－ln x 对x ≥1恒成立． 令h (x )＝1－1x －ln x ，则h ′(x )＝1x 2－1x，因为x ≥1，故h ′(x )≤0.所以h (x )在区间[1，＋∞)上单调递减，由ln a ≥h (x )max ＝h (1)＝0，解得a ≥1.故实数a 的取值范围为[1，＋∞)．。
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6．解析几何1．直线的倾斜角与斜率(1)倾斜角的范围为[0，π)．(2)直线的斜率①定义：倾斜角不是90°的直线，它的倾斜角的正切值叫这条直线的斜率k ，即k ＝tan α(α≠90°)；倾斜角为90°的直线没有斜率；②斜率公式：经过两点P 1(x 1，y 1)、P 2(x 2，y 2)的直线的斜率为k ＝y 1－y 2x 1－x 2(x 1≠x 2)；③直线的方向向量a ＝(1，k )；④应用：证明三点共线：k AB ＝k BC .[问题1] (1)直线的倾斜角θ越大，斜率k 就越大，这种说法正确吗？(2)直线x cos θ＋3y －2＝0的倾斜角的范围是____________________．2．直线的方程(1)点斜式：已知直线过点(x 0，y 0)，其斜率为k ，则直线方程为y －y 0＝k (x －x 0)，它不包括垂直于x 轴的直线．(2)斜截式：已知直线在y 轴上的截距为b ，斜率为k ，则直线方程为y ＝kx ＋b ，它不包括垂直于x 轴的直线．(3)两点式：已知直线经过P 1(x 1，y 1)、P 2(x 2，y 2)两点，则直线方程为y －y 1y 2－y 1＝x －x 1x 2－x 1，它不包括垂直于坐标轴的直线．(4)截距式：已知直线在x 轴和y 轴上的截距为a ，b ，则直线方程为x a ＋y b＝1，它不包括垂直于坐标轴的直线和过原点的直线．(5)一般式：任何直线均可写成Ax ＋By ＋C ＝0(A ，B 不同时为0)的形式．[问题2] 已知直线过点P (1,5)，且在两坐标轴上的截距相等，则此直线的方程为________________________________________________________________________．3．点到直线的距离及两平行直线间的距离(1)点P (x 0，y 0)到直线Ax ＋By ＋C ＝0的距离为d ＝|Ax 0＋By 0＋C |A 2＋B2；(2)两平行线l 1：Ax ＋By ＋C 1＝0，l 2：Ax ＋By ＋C 2＝0间的距离为d ＝|C 1－C 2|A 2＋B 2. [问题3] 两平行直线3x ＋2y －5＝0与6x ＋4y ＋5＝0间的距离为________．4．两直线的平行与垂直(1)l 1：y ＝k 1x ＋b 1，l 2：y ＝k 2x ＋b 2(两直线斜率存在，且不重合)，则有l 1∥l 2⇔k 1＝k 2；l 1⊥l 2⇔k 1·k 2＝－1.(2)l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0，则有l 1∥l 2⇔A 1B 2－A 2B 1＝0且B 1C 2－B 2C 1≠0；l 1⊥l 2⇔A 1A 2＋B 1B 2＝0.特别提醒：(1)A 1A 2＝B 1B 2≠C 1C 2、A 1A 2≠B 1B 2、A 1A 2＝B 1B 2＝C 1C 2仅是两直线平行、相交、重合的充分不必要条件；(2)在解析几何中，研究两条直线的位置关系时，有可能这两条直线重合，而在立体几何中提到的两条直线都是指不重合的两条直线．[问题4] 设直线l 1：x ＋my ＋6＝0和l 2：(m －2)x ＋3y ＋2m ＝0，当m ＝________时，l 1∥l 2；当m ＝________时，l 1⊥l 2；当________时l 1与l 2相交；当m ＝________时，l 1与l 2重合．5．圆的方程(1)圆的标准方程：(x －a )2＋(y －b )2＝r 2.(2)圆的一般方程：x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0(D 2＋E 2－4F >0)，只有当D 2＋E 2－4F >0时，方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0才表示圆心为(－D 2，－E 2)，半径为12D 2＋E 2－4F 的圆． [问题5] 若方程a 2x 2＋(a ＋2)y 2＋2ax ＋a ＝0表示圆，则a ＝________.6．直线、圆的位置关系(1)直线与圆的位置关系直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0和圆C ：(x －a )2＋(y －b )2＝r 2(r >0)有相交、相离、相切．可从代数和几何两个方面来判断：①代数方法(判断直线与圆方程联立所得方程组的解的情况)：Δ>0⇔相交；Δ<0⇔相离；Δ＝0⇔相切；②几何方法(比较圆心到直线的距离与半径的大小)：设圆心到直线的距离为d ，则d <r ⇔相交；d >r ⇔相离；d ＝r ⇔相切．(2)圆与圆的位置关系已知两圆的圆心分别为O 1，O 2，半径分别为r 1，r 2，则①当|O 1O 2|>r 1＋r 2时，两圆外离；②当|O 1O 2|＝r 1＋r 2时，两圆外切；③当|r 1－r 2|<|O 1O 2|<r 1＋r 2时，两圆相交；④当|O 1O 2|＝|r 1－r 2|时，两圆内切；⑤当0≤|O 1O 2|<|r 1－r 2|时，两圆内含．[问题6] 双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的左焦点为F 1，顶点为A 1、A 2，P 是双曲线右支上任意一点，则分别以线段PF 1、A 1A 2为直径的两圆的位置关系为________．7．对圆锥曲线的定义要做到“咬文嚼字”，抓住关键词，例如椭圆中定长大于定点之间的距离，双曲线定义中是到两定点距离之差的“绝对值”，否则只是双曲线的其中一支．在抛物线的定义中必须注意条件：FD ∈/l ，否则定点的轨迹可能是过点F 且垂直于直线l 的一条直线．[问题7] 已知平面内两定点A (0,1)，B (0，－1)，动点M 到两定点A 、B 的距离之和为4，则动点M 的轨迹方程是________．8．求椭圆、双曲线及抛物线的标准方程，一般遵循先定位，再定型，后定量的步骤，即先确定焦点的位置，再设出其方程，求出待定系数．(1)椭圆的标准方程：焦点在x 轴上，x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)；焦点在y 轴上，y 2a 2＋x 2b 2＝1(a >b >0)． (2)双曲线的标准方程：焦点在x 轴上，x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)；焦点在y 轴上，y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0)．(3)与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1具有共同渐近线的双曲线系为x 2a 2－y 2b 2＝λ(λ≠0)． (4)抛物线的标准方程焦点在x 轴上：y 2＝±2px (p >0)；焦点在y 轴上：x 2＝±2py (p >0)．[问题8] 与双曲线x 29－y 216＝1有相同的渐近线，且过点(－3,23)的双曲线方程为________________________________________________________________________．9．(1)在用圆锥曲线与直线联立求解时，消元后得到的方程中要注意二次项的系数是否为零，利用解的情况可判断位置关系：有两解时相交；无解时相离；有唯一解时，在椭圆中相切．在双曲线中需注意直线与渐近线的关系，在抛物线中需注意直线与对称轴的关系，而后判断是否相切．(2)直线与圆锥曲线相交时的弦长问题斜率为k 的直线与圆锥曲线交于两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)，则所得弦长|P 1P 2|＝(1＋k 2)[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2]或|P 1P 2|＝(1＋1k2)[(y 1＋y 2)2－4y 1y 2]. (3)过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F 的直线l 交抛物线于C (x 1，y 1)、D (x 2，y 2)，则①焦半径|CF |＝x 1＋p 2； ②弦长|CD |＝x 1＋x 2＋p ；③x 1x 2＝p 24，y 1y 2＝－p 2. [问题9] 已知F 是抛物线y 2＝x 的焦点，A ，B 是该抛物线上的两点，|AF |＋|BF |＝3，则线段AB 的中点到y 轴的距离为________．易错点1 直线的倾斜角与斜率关系不清例1 已知点P 在曲线y ＝4e x ＋1上，α为曲线在点P 处的切线的倾斜角，则α的取值范围是______．错因分析 本题易出现的错误有两个：一是利用导函数的几何意义求出曲线在点P 处的切线的斜率之后，不能利用基本不等式求出斜率的取值范围；二是混淆直线倾斜角的取值范围以及直线的倾斜角和斜率之间的关系，不能求出倾斜角的取值范围．解析 设曲线在点P 处的切线斜率为k ，则k ＝y ′＝－4e x (1＋e x )2＝－4e x ＋1e x ＋2， 因为e x ＞0，所以由基本不等式，得k ≥－42e x ×1e x ＋2 又k ＜0，所以－1≤k ＜0，即－1≤tan α＜0.所以3π4≤α＜π. 答案 [3π4，π) 易错点2 忽视直线的特殊位置例2 已知l 1：3x ＋2ay －5＝0，l 2：(3a －1)x －ay －2＝0.求使l 1∥l 2的a 的值．错因分析 本题易出现的问题是忽视直线斜率不存在的特殊情况，即忽视a ＝0的情况． 解 当直线斜率不存在，即a ＝0时，有l 1：3x －5＝0，l 2：－x －2＝0，符合l 1∥l 2；当直线斜率存在时，l 1∥l 2⇔－32a ＝3a －1a ⇔a ＝－16， 经检验，a ＝－16符合题意． 故使l 1∥l 2的a 的值为－16或0. 易错点3 焦点位置考虑不全例3 已知椭圆x 24＋y 2m ＝1的离心率等于32，则m ＝_____________________________. 错因分析 本题易出现的问题就是误以为给出方程的椭圆，其焦点在x 轴上导致漏解．该题虽然给出了椭圆的方程，但并没有确定焦点所在坐标轴，所以应该根据其焦点所在坐标轴进行分类讨论．解析 ①当椭圆的焦点在x 轴上时，则由方程，得a 2＝4，即a ＝2.又e ＝c a ＝32， 所以c ＝3，m ＝b 2＝a 2－c 2＝22－(3)2＝1.②当椭圆的焦点在y 轴上时，椭圆的方程为y 2m ＋x 24＝1. 则由方程，得b 2＝4，即b ＝2.又e ＝c a ＝32，故a 2－b 2a ＝32， 解得b a ＝12，即a ＝2b ， 所以a ＝4.故m ＝a 2＝16.综上，m ＝1或16.答案 1或16易错点4 忽视“判别式”致误例4 已知双曲线x 2－y 22＝1，过点A (1,1)能否作直线l ，使l 与双曲线交于P 、Q 两点，并且A 为线段PQ 的中点？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，说明理由．错因分析 只利用根与系数的关系考虑中点坐标，而忽视直线与双曲线相交于两点的条件． 解 设被A (1,1)所平分的弦所在直线方程为y ＝k (x －1)＋1.代入双曲线方程x 2－y 22＝1，整理得， (2－k 2)x 2＋2k (k －1)x －3＋2k －k 2＝0，由Δ＝4k 2(k －1)2－4(2－k 2)(2k －3－k 2)>0，解得k <32. 设直线与双曲线交点为M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，由根与系数的关系，得x 1＋x 2＝2k (k －1)k 2－2， 点A (1,1)是弦中点，则x 1＋x 22＝1. ∴k (k －1)k 2－2＝1，解得k ＝2>32， 故不存在被点A (1,1)平分的弦．易错点5 求离心率范围忽视特殊情况例5 双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1 (a >0，b >0)的两个焦点为F 1、F 2，若P 为双曲线上一点，且|PF 1|＝2|PF 2|，则双曲线离心率的取值范围为________．错因分析 忽视P 为双曲线右顶点的情况，导致离心率范围缩小．解析 设|PF 2|＝m ，∠F 1PF 2＝θ (0<θ≤π)，当点P 在右顶点处时，θ＝π.e ＝c a ＝2c 2a ＝3m m＝3. 当θ≠π时，由条件，得|PF 1|＝2m ，|F 1F 2|2＝m 2＋(2m )2－4m 2cos θ，且||PF 1|－|PF 2||＝m ＝2a .所以e ＝2c 2a ＝m 2＋(2m )2－4m 2cos θm ＝5－4cos θ.又－1<cos θ<1，所以e ∈(1,3)．综上，e ∈(1,3]．答案 (1,3]易错点6 定点问题意义不明例6 已知抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，过F 作两条相互垂直的弦AB ，CD ，设弦AB ，CD 的中点分别为M ，N .求证：直线MN 恒过定点．错因分析 直线恒过定点是指无论直线如何变动，必有一个定点的坐标适合这条直线的方程，问题就归结为用参数把直线的方程表示出来，无论参数如何变化这个方程必有一组常数解．本题容易出错的地方有两个：一是在用参数表示直线MN 的方程时计算错误；二是在得到了直线系MN 的方程后，对直线恒过定点的意义不明，找错方程的常数解．证明 由题设，知F (1,0)，直线AB 的斜率存在且不为0，设l AB ：y ＝k (x －1)(k ≠0)，代入y 2＝4x ，得k 2x 2－2(k 2＋2)x ＋k 2＝0，得x M ＝x A ＋x B 2＝k 2＋2k 2，又y M ＝k (x M －1)＝2k， 故M (k 2＋2k 2，2k)． 因为CD ⊥AB ，所以k CD ＝－1k .以－1k代k ， 同理，可得N (2k 2＋1，－2k )．所以直线MN 的方程为(2k 2＋1－k 2＋2k 2)(y ＋2k ) ＝(－2k －2k)(x －2k 2－1)， 化简整理，得yk 2＋(x －3)k －y ＝0，该方程对任意k 恒成立，故⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝0，x －3＝0，－y ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝0. 故不论k 为何值，直线MN 恒过点(3,0)．1．(2014·安徽)过点P (－3，－1)的直线l 与圆x 2＋y 2＝1有公共点，则直线l 的倾斜角的取值范围是( )A.⎝⎛⎦⎤0，π6 B.⎝⎛⎦⎤0，π3 C.⎣⎡⎦⎤0，π6 D.⎣⎡⎦⎤0，π3 2．(2014·广东)若实数k 满足0<k <9，则曲线x 225－y 29－k ＝1与曲线x 225－k －y 29＝1的( ) A ．焦距相等B ．实半轴长相等C ．虚半轴长相等D ．离心率相等3．(2015·天津模拟)已知抛物线C 的方程为y 2＝8x ，设抛物线C 的焦点为F ，准线为l ，P 为抛物线上一点，P A ⊥l ，A 为垂足，如果直线AF 的斜率为－3，那么|PF |等于( )A ．2B ．4C ．6D ．84．若双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的渐近线与圆(x －2)2＋y 2＝2相交，则此双曲线的离心率的取值范围是( )A ．(2，＋∞)B ．(1,2)C ．(1，2)D ．(2，＋∞)5．已知点F 1、F 2是椭圆x 2＋2y 2＝2的左、右两个焦点，点P 是该椭圆上的一个动点，那么|PF 1→＋PF 2→|的最小值是( )A ．0B ．1C ．2D ．2 26．(2014·课标全国Ⅰ)已知抛物线C ：y 2＝8x 的焦点为F ，准线为l ，P 是l 上一点，Q 是直线PF 与C 的一个交点，若FP →＝4FQ →，则|QF |等于( )A.72B.52C ．3D ．2 7．在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为x 2＋y 2－8x ＋15＝0，若直线y ＝kx －2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C 有公共点，则k 的最大值是________．8．抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，准线为l ，经过F 的直线与抛物线交于A 、B 两点，交准线于C 点，点A 在x 轴上方，AK ⊥l ，垂足为K ，若|BC |＝2|BF |，且|AF |＝4，则△AKF 的面积是________．9．(2015·兰州、张掖联考)如图，过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F 的直线l 依次交抛物线及其准线于点A ，B ，C ，若|BC |＝2|BF |，且|AF |＝3，则抛物线的方程是______________．10．过双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的右焦点F 向其一条渐近线作垂线，垂足为M ，已知∠MFO ＝30°(O 为坐标原点)，则该双曲线的离心率为________．11．已知点A (－2,0)，B (2,0)，过点A 作直线l 与以A ，B 为焦点的椭圆交于M ，N 两点，线段MN 的中点到y 轴的距离为45，且直线l 与圆x 2＋y 2＝1相切，则该椭圆的标准方程是________．学生用书答案精析6．解析几何要点回扣[问题1] (1)错 (2)[0，π6]∪[5π6，π)[问题2] 5x －y ＝0或x ＋y －6＝0[问题3] 151326[问题4] －1 12 m ≠3且m ≠－1 3[问题5] －1[问题6] 内切[问题7] x 23＋y 24＝1[问题8] 4x 29－y 24＝1[问题9] 54解析 ∵|AF |＋|BF |＝x A ＋x B ＋12＝3，∴x A ＋x B ＝52.∴线段AB 的中点到y 轴的距离为x A ＋x B 2＝54.查缺补漏1．D [方法一 如图，过点P 作圆的切线P A ，PB ，切点为A ，B . 由题意知|OP |＝2，|OA |＝1，则sin α＝12，所以α＝π6，∠BP A ＝π3.故直线l 的倾斜角的取值范围是⎣⎡⎦⎤0，π3.方法二 设过点P 的直线方程为y ＝k (x ＋3)－1，则由直线和圆有公共点知|3k －1|1＋k2≤1. 解得0≤k ≤ 3.故直线l 的倾斜角的取值范围是[0，π3]．] 2．A [因为0<k <9，所以两条曲线都表示双曲线．双曲线x 225－y 29－k ＝1的实半轴长为5，虚半轴长为9－k ，焦距为225＋(9－k )＝234－k ，离心率为34－k 5.双曲线x 225－k －y 29＝1的实半轴长为25－k ，虚半轴长为3，焦距为2(25－k )＋9＝234－k ，离心率为34－k 25－k ，故两曲线只有焦距相等．故选A.]3．D [设P (x 0，y 0)，直线AF 的倾斜角为α，准线l 与x 轴交于点B ，由题意知，F (2,0)，直线l ：x ＝－2.又tan α＝－3，∴α＝23π，∴∠AFB ＝π3，∵|BF |＝4，∴|AB |＝43，即A (－2,43)．∵P A ⊥l ，∴P (x 0，43)，代入y 2＝8x 得x 0＝6，∴|PF |＝x 0＋2＝8.]4．C [双曲线的渐近线为bx ±ay ＝0，因为它与圆(x －2)2＋y 2＝0相交，所以圆心(2,0)到该直线的距离小于圆的半径，即|2b |a 2＋b 2<2，整理得b 2<a 2， 所以c 2－a 2<a 2，得c 2a 2<2， 所以1<e < 2.]5．C [设P (x 0，y 0)，则PF 1→＝(－1－x 0，－y 0)，PF 2→＝(1－x 0，－y 0)．∴PF 1→＋PF 2→＝(－2x 0，－2y 0)，∴|PF 1→＋PF 2→|＝4x 20＋4y 20＝22－2y 20＋y 20＝2－y 20＋2，∵点P 在椭圆上，∴0≤y 20≤1.∴当y 20＝1时，|PF 1→＋PF 2→|取最小值为2.]6．C [∵FP →＝4FQ →，∴|FP →|＝4|FQ →|，∴|PQ ||PF |＝34.如图，过Q 作QQ ′⊥l ，垂足为Q ′，设l 与x 轴的交点为A ，则|AF |＝4，∴|PQ ||PF |＝|QQ ′||AF |＝34， ∴|QQ ′|＝3，根据抛物线定义可知|QQ ′|＝|QF |＝3，故选C.]7.43解析 圆C 的标准方程为(x －4)2＋y 2＝1，圆心为(4,0)．由题意知(4,0)到kx －y －2＝0的距离应不大于2， 即|4k －2|k 2＋1≤2. 整理，得3k 2－4k ≤0.解得0≤k ≤43.故k 的最大值是43. 8．4 3解析 设点A (x 1，y 1)，其中y 1>0.过点B 作抛物线的准线的垂线，垂足为B 1，则有 |BF |＝|BB 1|；又|CB |＝2|FB |，因此有|CB |＝2|BB 1|，cos ∠CBB 1＝|BB 1||BC |＝12，∠CBB 1＝π3，即直线AB 与x 轴的夹角为π3. 又|AF |＝|AK |＝x 1＋p 2＝4，因此y 1＝4sin π3＝23，因此△AKF 的面积等于 12|AK |·y 1＝12×4×23＝4 3. 9．y 2＝3x解析 如图，分别过点A ，B 作准线的垂线AE ，BD ，分别交准线于点E ，D ，则|BF |＝|BD |，∵|BC |＝2|BF |，∴|BC |＝2|BD |，∴∠BCD ＝30°，又|AE |＝|AF |＝3，∴|AC |＝6，即点F 是AC 的中点，根据题意得p ＝32，∴抛物线的方程是y 2＝3x . 10．2解析 由已知得点F 的坐标为(c,0)(c ＝a 2＋b 2)， 其中一条渐近线方程为bx －ay ＝0，则|MF |＝bca 2＋b 2＝b ，由∠MFO ＝30°可得|MF ||OF |＝b c ＝cos 30°＝32， 所以c 2－a 2c ＝32， 所以e ＝c a＝2. 11.x 28＋y 24＝1 解析 根据题意，知直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为y ＝k (x ＋2)，①由题意设椭圆方程为x 2a 2＋y 2a 2－4＝1(a 2＞4)，② 由直线l 与圆x 2＋y 2＝1相切，得|2k |1＋k 2＝1，解得k 2＝13. 将①代入②，得(a 2－3)x 2＋a 2x －34a 4＋4a 2＝0，设点M 的坐标为(x 1，y 1)，点N 的坐标为(x 2，y 2)，由根与系数的关系，得x 1＋x 2＝－a 2a 2－3.又线段MN 的中点到y 轴的距离为45，所以|x 1＋x 2|＝85，即－a 2a 2－3＝－85， 解得a 2＝8.2 8＋y24＝1.所以该椭圆的标准方程为x。
2024届高三数学二轮复习策略课件
1.离心率的计算 2.圆锥曲线与三角形内心、重心相关的 问题
3.圆锥曲线与内接三角形 4.圆锥曲线中常用的二级结论
专
1.函数的图像与性质 2.利用导数研究函数的性质
题 函数与导数 3.导数与恒成立问题
六
4.导数与不等关系 5.导数与函数的零点
1.抽象函数的性质 2.切线与公切线 3.以指数、对数为载体的情景题 3.导数中的构造问题 4.端点效应问题
【分析】当x 时0 ， xf (x) ，f (x即) 0 [xf (x)] 0
构造函数 g(x) xf (x)
A 【例 1】（2020 新课标Ⅱ理11）若 2x 2y 3x 3y ，则 (
)
A． ln(y x 1) 0 B． ln(y x 1) 0
C． ln | x y | 0
二轮复习六大专题：
大专题
专 三角函数、 题 解三角形 一 和平面向量
专 题 数列 二
专 题 立体几何 三
子专题
微专题
1.三角恒等变换 2.三角函数的图像与性质 3.解三角形
1.平面向量数量积的求解策略 2.三角函数中与 相关的问题探究 3.三角形中的特殊线段 4.三角中的数学建模与情景题
1.数列的通项求法
【案例3】 微专题：同构式
【引例】（2015 年理12 改编）设函数 f (x) 是奇函数 f (x)(x R)的导
函数， f (1) 0 ，当 x 0 时，xf '(x) f (x) 0 ，则使得 xf (x) 0
成立的 x 的取值范围是（
）
A．,1 0,1
B．1,0 0,1
C．,1 1,0 D．0,1 1,
3.确定备考策略
(1)对数列的概念及表示方法的理解和应用； (2)等差数列、等比数列的性质、通项公式、递推公式、前项和公式中基本量的运算或者利用它们之 间的关系式通过多角度观察所给条件的结构，深入剖析其特征，利用其规律进行恰当变形与转化求解 数列的问题； (3)会利用等差、等比数列的定义判断或证明数列问题； (4)通过转化与化归思想利用错位相减、裂项相消、分组求和等方法求数列的前项和； (5)数列与不等式、函数等的交汇问题； (6)关注数学课本中有关数列的阅读与思考、探究与发现的学习材料，有意识地培养学生的阅读能力 和符号使用能力，也包括网络资料中与数列有关的数学文化问题，与实际生活有关的数列的应用问题； (7)关注结构不良试题、举例问题等创新题型。
高考数学大二轮总复习与增分策略(全国通用,理科)配套
【模板特征概述】数学解答题是高考数学试卷中的一类重要题型，通常是高考的把关题和压轴题，具有较好的区分层次和选拔功能．目前的高考解答题已经由单纯的知识综合型转化为知识、方法和能力的综合型解答题．在高考考场上，能否做好解答题，是高考成败的关键，因此，在高考备考中学会怎样解题，是一项重要的内容．本节以著名数学家波利亚的《怎样解题》为理论依据，结合具体的题目类型，来谈一谈解答数学解答题的一般思维过程、解题程序和答题格式，即所谓的“答题模板”．“答题模板”就是首先把高考试题纳入某一类型，把数学解题的思维过程划分为一个个小题，按照一定的解题程序和答题格式分步解答，即化整为零．强调解题程序化，答题格式化，在最短的时间内拟定解决问题的最佳方案，实现答题效率的最优化．典例1 (12分)(2015·天津)已知函数f (x )＝sin 2x －sin 2⎝⎛⎭⎫x －π6，x ∈R . (1)求f (x )的最小正周期；(2)求f (x )在区间⎣⎡⎦⎤－π3，π4上的最大值和最小值． 审题路线图 利用和角公式展开→降幂整理→用辅助角公式化f (x )为y ＝A sin (ωx ＋φ)＋k 的形式→利用T ＝2π|ω|求周期→利用单调性或数形结合求最值评分细则 第(1)问得分点：1 无化简过程，直接得到f (x )＝12sin(2x －π6)，扣5分2 化简结果错误，中间某一步正确，给2分 第(2)问得分点：1 只求f (－π3)，f (π4)得出最值，给1分2 若单调性出错，给1分3 单调性正确，计算错误，扣2分4 求出2x －π6范围，利用数形结合求最值，同样得分．跟踪演练1 (2014·福建)已知函数f (x )＝cos x (sin x ＋cos x )－12.(1)若0<α<π2，且sin α＝22，求f (α)的值；(2)求函数f (x )的最小正周期及单调递增区间．典例2 (14分)(2014·山东)△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知a ＝3，cos A ＝63，B ＝A ＋π2. (1)求b 的值； (2)求△ABC 的面积．审题路线图 (1)利用同角公式、诱导公式→求得sin A 、sin B →利用正弦定理求b (2)方法一余弦定理求边c →S ＝12ac sin B方法二用和角正弦公式求sin C →S ＝12ab sin C评分细则 第(1)问得分点1．没求sin A 而直接求出sin B 的值，不扣分． 2．写出正弦定理，但b 计算错误，得1分． 第(2)问得分点1．写出余弦定理，但c 计算错误，得1分． 2．求出c 的两个值，但没舍去，扣2分． 3．面积公式正确，但计算错误，只给1分． 4．若求出sin C ，利用S ＝12ab sin C 计算，同样得分．跟踪演练2 (2015·浙江)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，已知A ＝π4，b 2－a 2＝12c 2.(1)求tan C 的值；(2)若△ABC 的面积为3，求b 的值．典例3(12分)(2014·浙江)已知数列{a n}和{b n}满足a1a2a3…a n＝(2) (n∈N*)．若{a n}为等比数列，且a1＝2，b3＝6＋b2.(1)求a n与b n；(2)设c n＝1a n－1b n(n∈N *)．记数列{cn}的前n项和为S n.①求S n；②求正整数k，使得对任意n∈N*，均有S k≥S n.审题路线图a n，b n关系、特殊项→基本量法求a n→代入a n，b n关系求b n→求a n →分组求和求S n→利用数列的单调性、最值确定k评分细则(1)求出a3＝8得2分，给出b2，b3的关系得1分；(2)求出q给1分，但q＝－2不舍去不得分；(3)裂项得1分，每个求和写出正确结果得1分；(4)验算前4项给2分；(5)验算法给出最后结果得3分．跟踪演练3(2014·山东)已知等差数列{a n}的公差为2，前n项和为S n，且S1，S2，S4成等比数列．(1)求数列{a n}的通项公式；(2)令b n＝(－1)n－14na n a n＋1，求数列{b n}的前n项和T n.典例4 (12分)(2014·山东)如图，在四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，底面ABCD 是等腰梯形，∠DAB ＝60°，AB ＝2CD ＝2，M 是线段AB 的中点． (1)求证：C 1M ∥平面A 1ADD 1；(2)若CD 1垂直于平面ABCD 且CD 1＝3，求平面C 1D 1M 和平面ABCD 所成的角(锐角)的余弦值．审题路线图 (1)M 是AB 中点，四边形ABCD 是等腰梯形――→AB ＝2CDCD ∥AM CD ＝AM ⇒▱AMC 1D 1→C 1M ∥平面A 1ADD 1 (2)CA ，CB ，CD 1两两垂直→建立空间直角坐标系，写各点坐标→求平面ABCD 的法向量→将所求两个平面所成的角转化为两个向量的夹角A 1B 1C 1D 1中，CD ＝C 1D 1，可得C 1D 1∥D 为平行四边形，3分且CD＝AM，AMCD为平行四边形，MC，评分细则(1)得出C1D1∥AM给1分，得出C1D1＝MA给1分；(2)线面平行条件不完整扣1分；(3)建系得1分；(4)写正确向量坐标给2分；(5)求出平面C1D1M的一个法向量给2分．跟踪演练4(2015·四川)一个正方体的平面展开图及该正方体的直观图的示意图如图所示，在正方体中，设BC的中点为M，GH的中点为N.(1)请将字母F，G，H标记在正方体相应的顶点处(不需说明理由)；(2)证明：直线MN∥平面BDH；(3)求二面角AEGM的余弦值．典例5 (12分)甲、乙两人参加某电视台举办的答题闯关游戏，按照规则，甲先从6道备选题中一次性抽取3道题独立作答，然后由乙回答剩余3题，每人答对其中2题就停止答题，即闯关成功．已知在6道备选题中，甲能答对其中的4道题，乙答对每道题的概率都是23.(1)求甲、乙至少有一人闯关成功的概率；(2)设甲答对题目的个数为ξ，求ξ的分布列及均值． 审题路线图 (1)标记事件→对事件分解→计算概率 (2)确定ξ取值→计算概率→得分布列→求均值评分细则(1)P(A)，P(B)计算正确每个给2分；(2)对甲、乙至少有一人闯关成功事件分解、计算正确的参照给分；(3)P(ξ＝1)，P(ξ＝2)计算正确每个给1分，列表给1分．跟踪演练5(2015·安徽)已知2件次品和3件正品混放在一起，现需要通过检测将其区分，每次随机检测一件产品，检测后不放回，直到检测出2件次品或者检测出3件正品时检测结束．(1)求第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品的概率；(2)已知每检测一件产品需要费用100元，设X表示直到检测出2件次品或者检测出3件正品时所需要的检测费用(单位：元)，求X的分布列和均值(数学期望)．典例6 (12分)(2014·课标全国Ⅰ)已知点A (0，－2)，椭圆E ：x a 2＋y b 2＝1(a >b >0)的离心率为32，F 是椭圆E 的右焦点，直线AF 的斜率为233，O 为坐标原点．(1)求E 的方程；(2)设过点A 的动直线l 与E 相交于P ，Q 两点，当△OPQ 的面积最大时，求l 的方程． 审题路线图 待定系数法求E 的方程→设l 方程→联立l 、E 方程→求|PQ |→求S △OPQ→求S△OPQ的最值评分细则(1)列出关于c的方程，结果算错给1分；(2)求出a＝2，给2分，得E的方程给1分；(3)没有考虑斜率不存在的情况扣1分； (4)求|PQ |时结果正确没有过程扣1分； (5)没有验证Δ>0扣1分．跟踪演练6 (2015·天津)已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左焦点为F (－c,0)，离心率为33，点M 在椭圆上且位于第一象限，直线FM 被圆x 2＋y 2＝b 24截得的线段的长为c ，|FM |＝433.(1)求直线FM 的斜率； (2)求椭圆的方程；(3)设动点P 在椭圆上，若直线FP 的斜率大于2，求直线OP (O 为原点)的斜率的取值范围．典例7 (12分)已知定点C (－1,0)及椭圆x 2＋3y 2＝5，过点C 的动直线与椭圆相交于A ，B 两点．(1)若线段AB 中点的横坐标是－12，求直线AB 的方程；(2)在x 轴上是否存在点M ，使MA →·MB →为常数？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．审题路线图 (1)设AB 的方程y ＝k (x ＋1)→待定系数法求k →写出方程(2)设M 存在即为(m ，0)→求MA →·MB →→在MA →·MB →为常数的条件下求m →下结论评分细则 (1)不考虑直线AB 斜率不存在的情况扣1分； (2)不验证Δ>0扣1分； (3)没有假设存在点M 不扣分；(4)MA →·MB →没有化简至最后结果，直接下结论扣1分．跟踪演练7 (2014·湖南)如图，O 为坐标原点，双曲线C 1：x 2a 21－y 2b 21＝1(a 1>0，b 1>0)和椭圆C 2：y 2a 22＋x 2b 22＝1(a 2>b 2>0)均过点P (233，1)，且以C 1的两个顶点和C 2的两个焦点为顶点的四边形是面积为2的正方形． (1)求C 1，C 2的方程；(2)是否存在直线l ，使得l 与C 1交于A ，B 两点，与C 2只有一个公共点，且|OA →＋OB →|＝|AB →|？证明你的结论．典例8 (12分)(2015·课标全国Ⅱ)设函数f (x )＝e mx ＋x 2－mx . (1)证明：f (x )在(－∞，0)单调递减，在(0，＋∞)单调递增；(2)若对于任意x 1，x 2∈[－1,1]，都有|f (x 1)－f (x 2)|≤e －1，求m 的取值范围． 审题路线图 (1)求导f ′(x )＝m (e mx －1)＋2x →讨论m 确定f ′(x )符号→证明结论(2)条件转化为(|f (x 1)－f (x 2)|)max ≤e －1――→结合(1)知f (x )min ＝f (0)⎩⎪⎨⎪⎧f (1)－f (0)≤e －1f (－1)－f (0)≤e －1→⎩⎪⎨⎪⎧e m－m ≤e －1e －m＋m ≤e －1→构造函数g (t )＝e t －t －e ＋1→研究g (t )单调性→寻求⎩⎨⎧g (m )≤0g (－m )≤0的条件→对m 讨论得适合条件的范围评分细则(1)讨论时漏掉m＝0扣1分；(2)确定f′(x)符号时只有结论无中间过程扣1分；(3)写出f(x)在x＝0处取得最小值给1分；(4)无最后结论扣1分；(5)其他方法构造函数同样给分．跟踪演练8设函数f(x)＝a2ln x－x2＋ax，a>0.(1)求f(x)的单调区间；(2)求所有的实数a，使e－1≤f(x)≤e2对x∈[1，e]恒成立．学生用书答案精析第三篇 建模板，看细则，突破高考拿高分跟踪演练1 解 (1)因为0<α<π2，sin α＝22，所以cos α＝22. 所以f (α)＝22×(22＋22)－12＝12. (2)因为f (x )＝sin x cos x ＋cos 2x －12＝12sin 2x ＋1＋cos 2x 2－12 ＝12sin 2x ＋12cos 2x ＝22sin(2x ＋π4)， 所以T ＝2π2＝π.由2k π－π2≤2x ＋π4≤2k π＋π2，k ∈Z ，得k π－3π8≤x ≤k π＋π8，k ∈Z .所以f (x )的单调递增区间为[k π－3π8，k π＋π8]，k ∈Z . 跟踪演练2 解 (1)由b 2－a 2＝12c 2及正弦定理得sin 2B －12＝12sin 2C .所以－cos 2B ＝sin 2C . 又由A ＝π4，即B ＋C ＝34π，得－cos 2B ＝sin 2C ＝2sin C cos C ＝sin 2C ， 解得tan C ＝2.(2)由tan C ＝2，C ∈(0，π)得 sin C ＝255，cos C ＝55，又因为sin B ＝sin(A ＋C )＝sin ⎝⎛⎭⎫π4＋C ，所以sin B ＝31010， 由正弦定理得c ＝223b ， 又因为A ＝π4，12bc sin A ＝3， 所以bc ＝62，故b ＝3.跟踪演练3 解 (1)因为S 1＝a 1，S 2＝2a 1＋2×12×2＝2a 1＋2， S 4＝4a 1＋4×32×2＝4a 1＋12， 由题意得(2a 1＋2)2＝a 1(4a 1＋12)，解得a 1＝1，所以a n ＝2n －1.(2)b n ＝(－1)n －14n a n a n ＋1＝(－1)n －14n (2n －1)(2n ＋1)＝(－1)n －1(12n －1＋12n ＋1)． 当n 为偶数时，T n ＝(1＋13)－(13＋15)＋…＋(12n －3＋12n －1)－(12n －1＋12n ＋1)＝1－12n ＋1＝2n 2n ＋1. 当n 为奇数时，T n ＝(1＋13)－(13＋15)＋…－(12n －3＋12n －1)＋(12n －1＋12n ＋1)＝1＋12n ＋1＝2n ＋22n ＋1. 所以T n ＝⎩⎪⎨⎪⎧ 2n ＋22n ＋1，n 为奇数，2n 2n ＋1，n 为偶数.(或T n ＝2n ＋1＋(－1)n －12n ＋1)跟踪演练4 (1)解 点F ，G ，H 的位置如图所示．(2)证明 连接BD ，设O 为BD 的中点，因为M ，N 分别是BC ，GH 的中点，所以OM ∥CD ，且OM ＝12CD ，HN ∥CD ，且HN ＝12CD ， 所以OM ∥HN ，OM ＝HN ，所以四边形MNHO 是平行四边形，从而MN ∥OH ，又MN ⊄平面BDH ，OH ⊂平面BDH ，所以MN ∥平面BDH .(3)解 方法一 连接AC ，过M 作MP ⊥AC 于P ，在正方体ABCD-EFGH 中，AC ∥EG ，所以MP ⊥EG ，过P 作PK ⊥EG 于K ，连接KM ，所以EG ⊥平面PKM ，从而KM ⊥EG ，所以∠PKM 是二面角AEGM 的平面角，设AD ＝2，则CM ＝1，PK ＝2，在Rt △CMP 中，PM ＝CM sin 45°＝22， 在Rt △PKM 中，KM ＝PK 2＋PM 2＝322，所以cos ∠PKM ＝PK KM ＝223， 即二面角AEGM 的余弦值为223.方法二 如图，以D 为坐标原点，分别以DA →，DC →，DH →方向为x ，y ，z轴的正方向，建立空间直角坐标系D-xyz ，设AD ＝2，则M (1,2,0)，G (0,2,2)，E (2,0,2)，O (1,1,0)，所以GE →＝(2，－2,0)，MG →＝(－1,0,2)，设平面EGM 的一个法向量为n 1＝(x ，y ，z )，由⎩⎪⎨⎪⎧ n 1·GE →＝0，n 1·MG →＝0，⎩⎪⎨⎪⎧2x －2y ＝0，－x ＋2z ＝0，取x ＝2，得n 1＝(2,2,1)， 在正方体ABCD-EFGH 中，DO ⊥平面AEGC ，则可取平面AEG 的一个法向量为n 2＝DO →＝(1,1,0)， 所以n 1，n 2＝n 1·n 2|n 1|·|n 2|＝2＋2＋04＋4＋1·1＋1＋0＝223， 故二面角AEGM 的余弦值为223. 跟踪演练5 解 (1)记“第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品”为事件A .P (A )＝A 12A 13A 25＝310. (2)X 的可能取值为200,300,400.P (X ＝200)＝A 22A 25＝110， P (X ＝300)＝A 33＋C 12C 13A 22A 35＝310， P (X ＝400)＝1－P (X ＝200)－P (X ＝300)＝1－110－310＝610. 故X 的分布列为E (X )＝200×110＋300×310＋400×610＝350. 跟踪演练6 解 (1)由已知有c 2a 2＝13， 又由a 2＝b 2＋c 2，可得a 2＝3c 2，b 2＝2c 2. 设直线FM 的斜率为k (k ＞0)，F (－c,0)，则直线FM 的方程为y ＝k (x ＋c )．由已知，有⎝ ⎛⎭⎪⎫kc k 2＋12＋⎝⎛⎭⎫c 22＝⎝⎛⎭⎫b 22，解得k ＝33. (2)由(1)得椭圆方程为x 23c 2＋y 22c 2＝1，直线FM 的方程为y ＝33(x ＋c )，两个方程联立，消去y ，整理得3x 2＋2cx －5c 2＝0，解得x ＝－53c ，或x ＝c . 因为点M 在第一象限，可得M 的坐标为⎝⎛⎭⎫c ，233c . 由|FM |＝ (c ＋c )2＋⎝⎛⎭⎫233c －02＝433. 解得c ＝1，所以椭圆的方程为x 23＋y 22＝1. (3)设点P 的坐标为(x ，y )，直线FP 的斜率为t ，得t ＝y x ＋1，即y ＝t (x ＋1)(x ≠－1)，与椭圆方程联立． ⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝t (x ＋1)，x 23＋y 22＝1，消去y ，整理得2x 2＋3t 2(x ＋1)2＝6， 又由已知，得t ＝ 6－2x 23(x ＋1)2＞2，解得－32＜x ＜－1，或－1＜x ＜0. 设直线OP 的斜率为m ，得m ＝y x ，即y ＝mx (x ≠0)，与椭圆方程联立，整理得m 2＝2x 2－23. ①当x ∈⎝⎛⎭⎫－32，－1时，有y ＝t (x ＋1)＜0， 因此m ＞0，于是m ＝ 2x 2－23，得m ∈⎝⎛⎭⎫23，233. ②当x ∈(－1,0)时，有y ＝t (x ＋1)＞0. 因此m ＜0，于是m ＝－2x 2－23， 得m ∈⎝⎛⎭⎫－∞，－233. 综上，直线OP 的斜率的取值范围是⎝⎛⎭⎫－∞，－233∪⎝⎛⎭⎫23，233. 跟踪演练7 解 (1)设C 2的焦距为2c 2，由题意知，2c 2＝2,2a 1＝2.从而a 1＝1，c 2＝1.因为点P (233，1)在双曲线x 2－y 2b 21＝1上， 所以(233)2－1b 21＝1.故b 21＝3. 由椭圆的定义知2a 2＝ (233)2＋(1－1)2＋(233)2＋(1＋1)2＝2 3. 于是a 2＝3，b 22＝a 22－c 22＝2.故C 1，C 2的方程分别为x 2－y 23＝1，y 23＋x 22＝1. (2)不存在符合题设条件的直线．①若直线l 垂直于x 轴，因为l 与C 2只有一个公共点， 所以直线l 的方程为x ＝2或x ＝－ 2.当x ＝2时，易知A (2，3)，B (2，－3)，所以|OA →＋OB →|＝22，|AB →|＝2 3.此时，|OA →＋OB →|≠|AB →|.当x ＝－2时，同理可知，|OA →＋OB →|≠|AB →|.②若直线l 不垂直于x 轴，设l 的方程为y ＝kx ＋m . 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 2－y 23＝1得(3－k 2)x 2－2kmx －m 2－3＝0. 当l 与C 1相交于A ，B 两点时，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则x 1，x 2是上述方程的两个实根，从而x 1＋x 2＝2km 3－k 2，x 1x 2＝m 2＋3k 2－3.于是y 1y 2＝k 2x 1x 2＋km (x 1＋x 2)＋m 2＝3k 2－3m 2k 2－3. 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，y 23＋x 22＝1得(2k 2＋3)x 2＋4kmx ＋2m 2－6＝0. 因为直线l 与C 2只有一个公共点，所以上述方程的判别式Δ＝16k 2m 2－8(2k 2＋3)·(m 2－3)＝0. 化简，得2k 2＝m 2－3，因此OA →·OB →＝x 1x 2＋y 1y 2＝m 2＋3k 2－3＋3k 2－3m 2k 2－3＝－k 2－3k 2－3≠0， 于是OA →2＋OB →2＋2OA →·OB →≠OA →2＋OB →2－2OA →·OB →， 即|OA →＋OB →|2≠|OA →－OB →|2，故|OA →＋OB →|≠|AB →|.综合①②可知，不存在符合题设条件的直线． 跟踪演练8 解 (1)因为f (x )＝a 2ln x －x 2＋ax ，其中x >0，所以f ′(x )＝a 2x －2x ＋a ＝－(x －a )(2x ＋a )x. 由于a >0，所以f (x )的增区间为(0，a )，减区间为(a ，＋∞)．(2)由题意得f (1)＝a －1≥e －1，即a ≥e.由(1)知f (x )在[1，e]内单调递增，要使e －1≤f (x )≤e 2对x ∈[1，e]恒成立． 只要⎩⎪⎨⎪⎧ f (1)＝a －1≥e －1，f (e )＝a 2－e 2＋a e ≤e 2，解得a ＝e.。
(山东专版)高考数学二轮专题复习与策略 第2部分 必考补充专题 技法篇 6招巧解客观题,省时、省力得
必考补充专题技法篇 6招巧解客观题，省时、省力得高分教师用书理必考补充专题中的4个突破点在高考考查中较为简单，题型为选择、填空题，属送分题型，通过一轮复习，大多数考生已能熟练掌握，为节省宝贵的二轮复习时间，迎合教师与考生的需求，本部分只简单提炼核心知识，构建知识体系，讲解客观题解法，其余以练为主.建知识网络明内在联系[高考点拨] 必考补充专题涉及的知识点比较集中，多为新增内容，在高考中常以“四小”的形式呈现．本专题的考查也是高考中当仁不让的高频考点，考查考生应用新知识解决问题的能力和转化与化归能力等．综合近年高考命题规律，本专题主要从“集合与常用逻辑用语”“不等式与线性规划”“算法初步、复数、推理与证明”“排列组合、二项式定理”四大角度进行精练，引领考生明确考情，高效备考．技法篇：6招巧解客观题，省时、省力得高分[技法概述] 选择题、填空题是高考必考的题型，共占有75分，因此，探讨选择题、填空题的特点及解法是非常重要和必要的．选择题的特点是灵活多变、覆盖面广，突出的特点是答案就在给出的选项中．而填空题是一种只要求写出结果，不要求写出解答过程的客观性试题，不设中间分，所以要求所填的是最简最完整的结果．解答选择题、填空题时，对正确性的要求比解答题更高、更严格．它们自身的特点决定选择题及填空题会有一些独到的解法．解法1 直接法直接法是直接从题设出发，抓住命题的特征，利用定义、性质、定理、公式等，经过变形、推理、计算、判断得出结果.直接法是求解填空题的常用方法.在用直接法求解选择题时，可利用选项的暗示性作出判断，同时应注意：在计算和论证时尽量简化步骤，合理跳步，还要尽可能地利用一些常用的性质、典型的结论，以提高解题速度.(1)(2016·高考)将函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3图象上的点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，t 向左平移s (s >0)个单位长度得到点P ′.若P ′位于函数y ＝sin 2x 的图象上，则( )A ．t ＝12，s 的最小值为π6B ．t ＝32，s 的最小值为π6C ．t ＝12，s 的最小值为π3D ．t ＝32，s 的最小值为π3(2)(2015·某某高考)已知向量a ＝(2,1)，b ＝(1，－2)，若m a ＋n b ＝(9，－8)(m ，n ∈R)，则m －n 的值为______．[解题指导] (1)先求点P 坐标，再求点P ′的坐标，最后将点P ′的坐标代入y ＝sin 2x 求s 的最小值．(2)可以利用向量的坐标运算，通过坐标相等，直接得出参量m ，n 的值． (1)A (2)－3 [(1)因为点P ⎝⎛⎭⎪⎫π4，t 在函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3的图象上，所以t ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π4－π3＝sin π6＝12.所以P ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，12.将点P 向左平移s (s >0)个单位长度得P ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－s ，12.因为P ′在函数y ＝sin 2x 的图象上，所以sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－s ＝12，即cos 2s ＝12，所以2s＝2k π＋π3或2s ＝2k π＋53π，即s ＝k π＋π6或s ＝k π＋5π6(k ∈Z)，所以s 的最小值为π6.(2)∵m a ＋n b ＝(2m ＋n ，m －2n )＝(9，－8)，∴⎩⎪⎨⎪⎧2m ＋n ＝9，m －2n ＝－8，∴⎩⎪⎨⎪⎧m ＝2，n ＝5，∴m －n ＝－3.][变式训练1] (2015·某某高考)为了解某社区居民的家庭年收入与年支出的关系，随机调查了该社区5户家庭，得到如下统计数据表：收入x (万元) 8.2 8.6 10.0 11.3 11.9 支出y (万元)6.27.58.08.59.8根据上表可得回归直线方程y ^＝b ^x ＋a ^，其中b ^＝0.76，a ^＝y －b ^x .据此估计，该社区一户年收入为15万元家庭的年支出为( )A ．11.4万元B ．11.8万元C ．12.0万元D ．12.2万元B [由题意知，x ＝8.2＋8.6＋10.0＋11.3＋11.95＝10，y ＝6.2＋7.5＋8.0＋8.5＋9.85＝8，∴a ^＝8－0.76×10＝0.4，∴当x ＝15时，y ^＝0.76×15＋0.4＝11.8(万元)．] 解法2 等价转化法所谓等价转化法，就是通过“化复杂为简单、化陌生为熟悉”，将问题等价地转化成便于解决的问题，从而得出正确的结果.(1)(2016·某某模拟)设四边形ABCD 为平行四边形，|AB →|＝6，|AD →|＝4，若点M ，N 满足BM →＝3MC →，DN →＝2NC →，则AM →·NM →＝( )A ．20B ．15C ．9D ．6(2)(2015·某某高考)若直线3x －4y ＋5＝0与圆x 2＋y 2＝r 2(r >0)相交于A ，B 两点，且∠AOB ＝120°(O 为坐标原点)，则r ＝__________.[解题指导] (1)把向量AM →，NM →用AB →，BC →表示，再求数量积．(2)利用∠AOB ＝120°，得到圆心到直线的距离，最后用点到直线的距离公式求解．(1)C (2)2 [(1)依题意有AM →＝AB →＋BM →＝AB →＋34BC →，NM →＝NC →＋CM →＝13DC →－14BC →＝13AB →－14BC →，所以AM →·NM →＝⎝⎛⎭⎪⎫AB →＋34BC →·⎝ ⎛⎭⎪⎫13AB →－14BC →＝13AB →2－316BC →2＝9.故选C.(2)如图，过点O 作OD ⊥AB 于点D ，则|OD |＝532＋－42＝1.∵∠AOB ＝120°，OA ＝OB ， ∴∠OBD ＝30°，∴|OB |＝2|OD |＝2，即r ＝2.][变式训练2] (1)在平行四边形ABCD 中，AD ＝1，∠BAD ＝60°，E 为CD 的中点，若AC →·BE →＝1，则AB 的长为( ) 【导学号：67722071】A ．2B.32 C ．1D.12(2)若直线y ＝kx ＋1(k ∈R)与圆x 2＋y 2－2ax ＋a 2－2a －4＝0恒有交点，则实数a 的取值X 围是________．(1)D (2)[－1,3] [(1)因为AC →＝AD →＋DC →，BE →＝BC →＋CE →＝AD →－12DC →，所以AC →·BE →＝(AD →＋DC →)·⎝ ⎛⎭⎪⎫AD →－12DC →＝AD →2＋12AD →·DC →－12DC 2，所以1＋12|DC →|·cos 60°－12|DC →|2＝1，|DC →|＝12，故AB 的长为12.(2)直线y ＝kx ＋1恒过定点(0,1)，则直线与圆恒有交点等价于点(0,1)在圆内或圆上，即02＋12－2a ×0＋a 2－2a －4≤0，即a 2－2a －3≤0，解得－1≤a ≤3.]解法3 特殊值法在解决选择题和填空题时，可以取一个或一些特殊数值或特殊位置、特殊函数、特殊点、特殊方程、特殊数列、特殊图形等来确定其结果，这种方法称为特值法.特值法由于只需对特殊数值、特殊情形进行检验，省去了推理论证、繁琐演算的过程，提高了解题的速度.特值法是考试中解答选择题和填空题时经常用到的一种方法，应用得当可以起到“四两拨千斤”的功效.(1)(2015·某某高考)设f (x )＝ln x,0<a <b ，若p ＝f (ab )，q ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 2，r＝12(f (a )＋f (b ))，则下列关系式中正确的是( )A ．q ＝r <pB ．q ＝r >pC ．p ＝r <qD ．p ＝r >q(2)(2015·某某高考)“对任意x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，k sin x cos x <x ”是“k <1”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件[解题指导] (1)从条件看这应是涉及利用基本不等式比较函数值大小的问题，若不等式在常规条件下成立，则在特殊情况下更能成立，所以不妨对a ，b 取特殊值处理，如a ＝1，b ＝e.(2)正常来说分析不等式k sin x cos x ＜x 成立的条件很复杂，也没必要，所以可以尝试在满足条件的情况下对x 取特殊值进行分析，这样既快又准确．(1)C (2)B [(1)根据条件，不妨取a ＝1，b ＝e ，则p ＝f (e)＝ln e ＝12，q ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋e 2＞f (e)＝12，r ＝12(f (1)＋f (e))＝12，在这种特例情况下满足p ＝r ＜q ，所以选C.(2)若对任意x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，k sin x cos x ＜x 成立，不妨取x ＝π4，代入可得k ＜π2，不能推出k ＜1，所以是非充分条件；因为x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，恒有sin x ＜x ，若k ＜1，则k cos x ＜1，一定有k sin x cos x ＜x ，所以选B.][变式训练3] (1)如果a 1，a 2，…，a 8为各项都大于零的等差数列，公差d ≠0，那么( ) A ．a 1a 8＞a 4a 5 B ．a 1a 8＜a 4a 5 C ．a 1＋a 8＞a 4＋a 5D ．a 1a 8＝a 4a 5(2)(2016·某某模拟)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若a ，b ，c成等差数列，则cos A ＋cos C1＋cos A cos C＝________.(1)B (2)45 [(1)取特殊数列1,2,3,4,5,6,7,8，显然只有1×8＜4×5成立．(2)令a ＝b ＝c ，则A ＝C ＝60°，cos A ＝cos C ＝12.从而cos A ＋cos C 1＋cos A cos C ＝45.]解法4 数形结合法数形结合法是指在处理数学问题时，能够将抽象的数学语言与直观的几何图形有机结合起来思考，促使抽象思维和形象思维有机结合，通过对规X 图形或示意图形的观察分析，化抽象为直观，化直观为精确，从而使问题得到简捷解决的方法.(1)(2016·某某模拟)已知x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥0，x ＋y －4≤0，y ≥1，则z ＝－2x＋y 的最大值是( )【导学号：67722072】A ．－1B ．－2C ．－5D ．1(2)(2015·某某高考)函数f (x )＝4cos 2x 2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x －2sin x －|ln(x ＋1)|的零点个数为______．[解题指导] (1)要确定目标函数的最大值，需知道相应的x ，y 的值，从约束条件中不可能解出对应的x ，y 的值，所以只有通过图解法作出约束条件的可行域，据可行域数形结合得出目标函数的最大值．(2)函数的零点即对应方程的根，但求对应方程的根也比较困难，所以进一步转化为求两函数的图象的交点，所以作出两函数的图象确定交点个数即可．(1)A (2)2 [(1)二元一次不等式组表示的平面区域为如图所示的△ABC 内部及其边界，当直线y ＝2x ＋z 过A 点时z 最大，又A (1,1)，因此z 的最大值为－1.(2)f (x )＝4cos 2x 2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x －2sin x －|ln(x ＋1)| ＝2(1＋cos x )sin x －2sin x －|ln(x ＋1)| ＝2sin x cos x －|ln(x ＋1)|＝sin 2x －|ln(x ＋1)|. 由f (x )＝0，得sin 2x ＝|ln(x ＋1)|.设y 1＝sin 2x ，y 2＝|ln(x ＋1)|，在同一平面直角坐标系中画出二者的图象，如图所示．由图象知，两个函数图象有两个交点，故函数f (x )有两个零点．] [变式训练4] (1)(2016·某某模拟)方程x lg(x ＋2)＝1的实数根的个数为( )A ．1B ．2C ．0D ．不确定(2)已知偶函数y ＝f (x )(x ∈R)在区间[0,2]上单调递增，在区间(2，＋∞)上单调递减，且满足f (－3)＝f (1)＝0，则不等式x 3f (x )＜0的解集为________．(1)B (2)(－3，－1)∪(0,1)∪(3，＋∞) [(1)方程x lg(x ＋2)＝1⇔lg(x ＋2)＝1x，在同一坐标系中画出函数y ＝lg(x ＋2)与y ＝1x的图象，可得两函数图象有两个交点，故所求方程有两个不同的实数根．(2)由题意可画出y ＝f (x )的草图，如图．①x ＞0，f (x )＜0时，x ∈(0,1)∪(3，＋∞)； ②x ＜0，f (x )＞0时，x ∈(－3，－1)．故不等式x 3f (x )＜0的解集为(－3，－1)∪(0,1)∪(3，＋∞)．] 解法5 构造法用构造法解客观题的关键是利用已知条件和结论的特殊性构造出新的数学模型，从而简化推理与计算过程，使较复杂的数学问题得到解决，它需要对基础知识和基本方法进行积累，需要从一般的方法原理中进行提炼概括，积极联想，横向类比，从曾经遇到的类似问题中寻找灵感，构造出相应的具体的数学模型，使问题简化.(1)(2016·某某一模)已知f (x )为定义在(0，＋∞)上的可导函数，且f (x )＞xf ′(x )恒成立，则不等式x 2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －f (x )＞0的解集为( )A ．(0,1)B ．(1,2)C ．(1，＋∞)D ．(2，＋∞)(2)如图1，已知球O 的面上有四点A ，B ，C ，D ，DA ⊥平面ABC ，AB ⊥BC ，DA ＝AB ＝BC ＝2，则球O 的体积等于________．图1[解题指导] (1)构造函数g (x )＝f xx，可证明函数g (x )在(0，＋∞)上是减函数，再利用 x 2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －f (x )＞0⇔f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 1x＞f x x ⇔g ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＞g (x )求解． (2)以DA ，AB ，BC 为棱长构造正方体，则球O 是此正方体的外接球，从而球O 的直径是正方体的体对角线长．(1)C (2)6π [(1)设g (x )＝f x x ，则g ′(x )＝xf ′x －f xx 2，又因为f (x )＞xf ′(x )，所以g ′(x )＝xf ′x －f xx 2＜0在(0，＋∞)上恒成立，所以函数g (x )＝f x x 为(0，＋∞)上的减函数，又因为x 2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －f (x )＞0⇔f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 1x＞f x x ⇔g ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＞g (x )，则有1x＜x ，解得x ＞1，故选C.(2)如图，以DA ，AB ，BC 为棱长构造正方体，设正方体的外接球球O 的半径为R ，则正方体的体对角线长即为球O 的直径，所以CD ＝22＋22＋22＝2R ，所以R ＝62，故球O 的体积V ＝4πR33＝6π.][变式训练5] (1)(2016·某某高三诊断)已知定义在R 上的可导函数f (x )的导函数为f ′(x )，满足f ′(x )＜f (x )，且f (x ＋2)为偶函数，f (4)＝1，则不等式f (x )＜e x 的解集为( )A ．(－2，＋∞)B ．(0，＋∞)C ．(1，＋∞)D ．(4，＋∞)(2)已知a ，b 为不垂直的异面直线，α是一个平面，则a ，b 在α上的射影有可能是：①两条平行直线；②两条互相垂直的直线；③同一条直线；④一条直线及其外一点．在上面的结论中，正确结论的序号是________(写出所有正确结论的序号)． (1)B (2)①②④ [(1)因为f (x ＋2)为偶函数， 所以f (x ＋2)的图象关于x ＝0对称， 所以f (x )的图象关于x ＝2对称， 所以f (4)＝f (0)＝1， 设g (x )＝f xex(x ∈R)，则g ′(x )＝f ′x e x －f x e xex2＝f ′x －f xex，又因为f ′(x )＜f (x )， 所以g ′(x )＜0(x ∈R)，所以函数g (x )在定义域上单调递减， 因为f (x )＜e x⇔g (x )＝f xex＜1，而g (0)＝f 0e＝1，所以f (x )＜e x⇔g (x )＜g (0)，所以x ＞0，故选B.(2)用正方体ABCD A 1B 1C 1D 1实例说明A 1D 与BC 1在平面ABCD 上的射影互相平行，AB 1与BC 1在平面ABCD 上的射影互相垂直，BC 1与DD 1在平面ABCD 上的射影是一条直线及其外一点．故正确的结论为①②④.]解法6 排除法排除法就是充分运用选择题中单选题的特征，即有且只有一个正确选项这一信息，从选项入手，根据题设条件与各选项的关系，通过分析、推理、计算、判断，对选项进行筛选，将其中与题设相矛盾的干扰项逐一排除，从而获得正确结论的方法.使用该法的前提是“答案唯一”，即四个选项中有且只有一个答案正确.排除法适用于定性型或不宜直接求解的选择题，当题目中的条件多于一个时，先根据某些条件，在选项中找到明显与之矛盾的予以否定，再根据另一些条件，在剩余的选项内找出矛盾，这样逐步筛选，直至得出正确的答案.(1)(2016·北师大附中模拟)函数y ＝cos 6x2x －2－x 的图象大致为( )【导学号：67722073】A BC D(2)(2015·某某高考)设x ∈R ，定义符号函数sgn x ＝⎩⎪⎨⎪⎧ 1，x >0，0，x ＝0，－1，x <0，则( )A ．|x |＝x |sgn x |B ．|x |＝x sgn|x |C ．|x |＝|x |sgn xD ．|x |＝x sgn x [解题指导] (1)根据函数的奇偶性和x →＋∞时函数值的正负，以及x →0且x ＞0时函数值的正负，排除可得答案．(2)可验证当x ＜0时，等式成立的情况．(1)D (2)D [(1)函数y ＝cos 6x 为偶函数，函数y ＝2x －2－x为奇函数，故原函数为奇函数，排除A.又函数y ＝2x －2－x 为增函数，当x →＋∞时，2x －2－x →＋∞且|cos 6x |≤1，∴y ＝cos 6x 2x －2－x →0(x →＋∞)，排除C.∵y ＝cos 6x 2x －2－x ＝2x ·cos 6x 4x －1为奇函数，不妨考虑x ＞0时函数值的情况，当x →0时，4x →1,4x －1→0,2x →1，cos 6x →1，∴y →＋∞，故排除B ，综上知选D.(2)当x <0时，|x |＝－x ，x |sgn x |＝x ，x sgn|x |＝x ，|x |sgn x ＝(－x )·(－1)＝x ，排除A ，B ，C ，故选D.] [变式训练6] (1)(2015·某某高考)函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1x cos x (－π≤x ≤π且x ≠0)的图象可能为( )(2)(2015·高考)设{a n }是等差数列，下列结论中正确的是( )A ．若a 1＋a 2>0，则a 2＋a 3>0B ．若a 1＋a 3<0，则a 1＋a 2<0C ．若0<a 1<a 2，则a 2>a 1a 3D ．若a 1<0，则(a 2－a 1)(a 2－a 3)>0(1)D (2)C [(1)函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1x cos x (－π≤x ≤π且x ≠0)为奇函数，排除选项A ，B ；当x ＝π时，f (x )＝⎝⎛⎭⎪⎫π－1πcos π＝1π－π<0，排除选项C ，故选D. (2)设等差数列{a n }的公差为d ，若a 1＋a 2>0，a 2＋a 3＝a 1＋d ＋a 2＋d ＝(a 1＋a 2)＋2d ，由于d 正负不确定，因而a 2＋a 3符号不确定，故选项A 错；若a 1＋a 3<0，a 1＋a 2＝a 1＋a 3－d ＝(a 1＋a 3)－d ，由于d 正负不确定，因而a 1＋a 2符号不确定，故选项B 错；若0<a 1<a 2，可知a 1>0，d >0，a 2>0，a 3>0，∴a 22－a 1a 3＝(a 1＋d )2－a 1(a 1＋2d )＝d 2>0，∴a 2>a 1a 3，故选项C 正确；若a 1<0，则(a 2－a 1)(a 2－a 3)＝d ·(－d )＝－d 2≤0，故选项D 错．]客观题常用的6种解法已初步掌握，在突破点19～22的训练中一展身手吧！。
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3．三角函数、解三角形、平面向量1．α终边与θ终边相同(α的终边在θ终边所在的射线上)⇔α＝θ＋2k π(k ∈Z )，注意：相等的角的终边一定相同，终边相同的角不一定相等．任意角的三角函数的定义：设α是任意一个角，P (x ，y )是α的终边上的任意一点(异于原点)，它与原点的距离是r ＝x 2＋y 2>0，那么sin α＝y r ，cos α＝x r ，tan α＝yx (x ≠0)，三角函数值只与角的大小有关，而与终边上点P 的位置无关．[问题1] 已知角α的终边经过点P (3，－4)，则sin α＋cos α的值为________． 2．同角三角函数的基本关系式及诱导公式 (1)平方关系：sin 2α＋cos 2α＝1. (2)商数关系：tan α＝sin αcos α.(3)诱导公式记忆口诀：奇变偶不变、符号看象限[问题2] cos9π4＋tan ⎝⎛⎭⎫－7π6＋sin 21π的值为_______________________________． 3．三角函数的图象与性质 (1)五点法作图；(2)对称轴：y ＝sin x ，x ＝k π＋π2，k ∈Z ；y ＝cos x ，x ＝k π，k ∈Z ；对称中心：y ＝sin x ，(k π，0)，k ∈Z ；y ＝cos x ，⎝⎛⎭⎫k π＋π2，0，k ∈Z ；y ＝tan x ，⎝⎛⎭⎫k π2，0，k ∈Z . (3)单调区间：y ＝sin x 的增区间：⎣⎡⎦⎤－π2＋2k π，π2＋2k π (k ∈Z )， 减区间：⎣⎡⎦⎤π2＋2k π，3π2＋2k π (k ∈Z )； y ＝cos x 的增区间：[]－π＋2k π，2k π (k ∈Z )，减区间：[2k π，π＋2k π] (k ∈Z )；y ＝tan x 的增区间：⎝⎛⎭⎫－π2＋k π，π2＋k π (k ∈Z )． (4)周期性与奇偶性：y ＝sin x 的最小正周期为2π，为奇函数；y ＝cos x 的最小正周期为2π，为偶函数；y ＝tan x 的最小正周期为π，为奇函数．易错警示：求y ＝A sin(ωx ＋φ)的单调区间时，容易出现以下错误： (1)不注意ω的符号，把单调性弄反，或把区间左右的值弄反； (2)忘掉写＋2k π，或＋k π等，忘掉写k ∈Z ；(3)书写单调区间时，错把弧度和角度混在一起．如[0,90°]应写为⎣⎡⎦⎤0，π2. [问题3] 函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫－2x ＋π3的递减区间是________________． 4．两角和与差的正弦、余弦、正切公式及倍角公式 sin(α±β)＝sin αcos β±cos αsin β――→令α＝βsin 2α＝2sin αcos α.cos(α±β)＝cos αcos β∓sin αsin β――→令α＝βcos 2α＝cos 2α－sin 2α＝2cos 2α－1＝1－2sin 2α. tan(α±β)＝tan α±tan β1∓tan αtan β.cos 2α＝1＋cos 2α2，sin 2α＝1－cos 2α2，tan 2α＝2tan α1－tan 2α.在三角的恒等变形中，注意常见的拆角、拼角技巧，如： α＝(α＋β)－β，2α＝(α＋β)＋(α－β)， α＝12[(α＋β)＋(α－β)]．α＋π4＝(α＋β)－⎝⎛⎭⎫β－π4，α＝⎝⎛⎭⎫α＋π4－π4. [问题4] 已知α，β∈⎝⎛⎭⎫3π4，π，sin(α＋β)＝－35，sin ⎝⎛⎭⎫β－π4＝1213，则cos ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝________. 5．解三角形(1)正弦定理：a sin A ＝b sin B ＝csin C ＝2R (R 为三角形外接圆的半径)．注意：①正弦定理的一些变式：(ⅰ)a ∶b ∶c ＝sin A ∶sin B ∶sin C ；(ⅱ)sin A ＝a 2R ，sin B ＝b 2R ，sin C ＝c2R；(ⅲ)a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ，c ＝2R sin C ；②已知三角形两边及一对角，求解三角形时，若运用正弦定理，则务必注意可能有两解，要结合具体情况进行取舍．在△ABC 中A >B ⇔sin A >sin B .(2)余弦定理：a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc等，常选用余弦定理判定三角形的形状．[问题5] 在△ABC 中，a ＝3，b ＝2，A ＝60°，则B ＝________. 6．向量的平行与垂直设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，且b ≠0，则a ∥b ⇔b ＝λa ⇔x 1y 2－x 2y 1＝0. a ⊥b (a ≠0)⇔a·b ＝0⇔x 1x 2＋y 1y 2＝0.0看成与任意向量平行，特别在书写时要注意，否则有质的不同．[问题6] 下列四个命题：①若|a |＝0，则a ＝0；②若|a |＝|b |，则a ＝b 或a ＝－b ；③若a ∥b ，则|a |＝|b |；④若a ＝0，则－a ＝0.其中正确命题是________． 7．向量的数量积 |a |2＝a 2＝a·a ，a·b ＝|a||b |cos θ＝x 1x 2＋y 1y 2， cos θ＝a·b |a||b |＝x 1x 2＋y 1y 2x 21＋y 21x 22＋y 22，a 在b 上的投影＝|a |cos 〈a ，b 〉＝a·b |b|＝x 1x 2＋y 1y 2x 22＋y 22. 注意：〈a ，b 〉为锐角⇔a·b >0且a 、b 不同向； 〈a ，b 〉为直角⇔a·b ＝0且a 、b ≠0； 〈a ，b 〉为钝角⇔a·b <0且a 、b 不反向．易错警示：投影不是“影”，投影是一个实数，可以是正数、负数或零．[问题7] 已知|a |＝3，|b |＝5，且a ·b ＝12，则向量a 在向量b 上的投影为________． 8．当a ·b ＝0时，不一定得到a ⊥b ，当a ⊥b 时，a ·b ＝0；a ·b ＝c ·b ，不能得到a ＝c ，消去律不成立；(a ·b )c 与a (b ·c )不一定相等，(a ·b )c 与c 平行，而a (b ·c )与a 平行．[问题8] 下列各命题：①若a ·b ＝0，则a 、b 中至少有一个为0；②若a ≠0，a ·b ＝a ·c ，则b ＝c ；③对任意向量a 、b 、c ，有(a ·b )c ≠a (b ·c )；④对任一向量a ，有a 2＝|a |2.其中正确命题是________．9．几个向量常用结论(1)P A →＋PB →＋PC →＝0⇔P 为△ABC 的重心； (2)P A →·PB →＝PB →·PC →＝PC →·P A →⇔P 为△ABC 的垂心；(3)向量λ(AB →|AB →|＋AC→|AC →|) (λ≠0)所在直线过△ABC 的内心；(4)|P A →|＝|PB →|＝|PC →|⇔P 为△ABC 的外心．易错点1 忽视角的范围例1 已知sin α＝55，sin β＝1010，且α，β为锐角，则α＋β＝________. 错因分析 只考虑α，β为锐角． 没有注意到 sin α＝55，sin β＝1010本身对角的范围的限制，造成错解． 解析 因为α，β为锐角，所以cos α＝1－sin 2α＝255，cos β＝1－sin 2β＝31010.所以cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β ＝255×31010－55×1010＝22. 又因为0＜α＋β＜π，所以α＋β＝π4.答案 π4易错点2 图象平移把握不准例2 已知函数f (x )＝sin(2x ＋π4)，为了得到函数g (x )＝cos 2x 的图象，只要将y ＝f (x )的图象( )A ．向左平移π8个单位长度B ．向右平移π8个单位长度C ．向左平移π4个单位长度D ．向右平移π4个单位长度错因分析 ①没有将f (x )，g (x )化为同名函数；②平移时看2x 变成了什么，而没有认识到平移过程只是对“x ”而言．解析 g (x )＝sin(2x ＋π2)＝sin[2(x ＋π8)＋π4]，∴y ＝f (x )的图象向左平移π8个单位长度即可得到y ＝g (x )的图象．答案 A易错点3 三角函数单调性判断错误例3 求函数y ＝12sin(π4－2x3)的单调区间．错因分析 由于受思维定势的影响，本题容易出现仍然按照函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(ω＞0)的单调区间的判断方法进行，如认为当x 满足2k π－π2≤π4－23x ≤2k π＋π2(k ∈Z )时函数单调递增，就会求错函数的单调区间．解 原函数变形为y ＝－12sin(2x 3－π4)，令u ＝2x 3－π4，则只需求y ＝sin u 的单调区间即可，所以y ＝sin u 在2k π－π2≤2x 3－π4≤2k π＋π2(k ∈Z )，即3k π－3π8≤x ≤3k π＋9π8(k ∈Z )上单调递增；y＝sin u 在2k π＋π2≤u ＝2x 3－π4≤2k π＋3π2(k ∈Z )，即3k π＋9π8≤x ≤3k π＋218π(k ∈Z )上单调递减．故y ＝12sin(π4－2x 3)＝－sin u 的单调递减区间为[3k π－3π8，3k π＋9π8](k ∈Z )，单调递增区间为[3k π＋9π8，3k π＋21π8](k ∈Z )． 易错点4 解三角形忽视检验例4 在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且a ＝1，c ＝ 3. (1)若角C ＝π3，则角A ＝________；(2)若角A ＝π6，则b ＝________.错因分析 在用正弦定理解三角形时，易出现漏解或多解的错误，如第(1)问中没有考虑c 边比a 边大，在求得sin A ＝a sin C c ＝12后，得出角A ＝π6或5π6；在第(2)问中没有考虑角C 有两解，由sin C ＝c sin A a ＝32，只得出角C ＝π3，所以角B ＝π2，解得b ＝2，这样就出现漏解的错误．解析 (1)由正弦定理a sin A ＝csin C，得sin A ＝a sin C c ＝12，又a ＜c ，所以A ＜C .所以A ＝π6.(2)由a sin A ＝c sin C， 得sin C ＝c sin A a ＝32，得C ＝π3或2π3，当C ＝π3时，B ＝π2，可得b ＝2；当C ＝2π3时，B ＝π6，此时得b ＝1.答案 (1)π6(2)2或1易错点5 忽视向量共线致误例5 已知a ＝(2,1)，b ＝(λ，1)，λ∈R ，a 与b 的夹角为θ.若θ为锐角，则λ的取值范围是________________________________________________________________________． 错因分析 误认为θ为锐角⇔cos θ>0，没有排除θ＝0即两向量同向的情况． 解析 由θ为锐角，有0<cos θ<1. 又∵cos θ＝a·b|a|·|b |＝2λ＋15·λ2＋1，∴0<2λ＋15·λ2＋1<1， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ 2λ＋1>0，2λ＋1<5·λ2＋1，解得⎩⎪⎨⎪⎧λ>－12，λ≠2.∴λ的取值范围是⎩⎨⎧⎭⎬⎫λ|λ>－12且λ≠2.答案 ⎩⎨⎧⎭⎬⎫λ|λ>－12且λ≠21．(2014·大纲全国)已知角α的终边经过点(－4,3)，则cos α等于( ) A.45 B.35 C ．－35 D ．－452．设a ＝sin 33°，b ＝cos 55°，c ＝tan 35°，则( )A ．a >b >cB ．b >c >aC ．c >b >aD ．c >a >b3．(2015·东北三校联考)已知sin αcos α＝13，则cos 2(α＋π4)的值为( )A.12B.13C.16D.23 4．函数y ＝2sin(π6－2x )(x ∈[－π，0])的单调递增区间是( )A ．[－π，－5π6]B ．[－π3，0]C ．[－2π3，－π6]D ．[－π3，－π6]5.函数f (x )＝A sin(2x ＋φ)(A ，φ∈R )的部分图象如图所示，那么f (0)等于( ) A ．－12B ．－1C ．－32D ．－ 36．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对边的长分别为a ，b ，c ，若a 2＋b 2＝2c 2，则cos C 的最小值为( ) A.32 B.22 C.12 D ．－127．(2015·陕西省五校第一次联考)如图，平行四边形ABCD 中，AB ＝2，AD ＝1，∠A ＝60°，点M 在AB 边上，且AM ＝13AB ，则DM →·DB →等于( )A ．－32 B.32C ．－1D ．1 8．在△ABC 中，B ＝60°，AC ＝3，则AB ＋2BC 的最大值为________．9．如图是函数y ＝sin(ωx ＋φ)图象的一部分，A ，B 是图象上的一个最高点和一个最低点，O 为坐标原点，则OA →·OB →的值为________．10．(2014·天津)已知函数f (x )＝cos x ·sin(x ＋π3)－3cos 2x ＋34，x ∈R .(1)求f (x )的最小正周期；(2)求f (x )在闭区间[－π4，π4]上的最大值和最小值．学生用书答案精析3．三角函数、解三角形、平面向量要点回扣 [问题1] －15[问题2]22－33[问题3] ⎣⎡⎦⎤k π－π12，k π＋512π(k ∈Z ) [问题4] －5665[问题5] 45° [问题6] ④ [问题7]125[问题8] ④ 查缺补漏1．D [因为角α的终边经过点(－4,3)，所以x ＝－4，y ＝3，r ＝5， 所以cos α＝x r ＝－45.]2．C [∵a ＝sin 33°，b ＝cos 55°＝sin 35°， c ＝tan 35°＝sin 35°cos 35°，又0<cos 35°<1， ∴c >b >a .]3．C [∵sin αcos α＝13，∴sin 2α＝2sin αcos α＝23，∴cos 2(α＋π4)＝1＋cos (2α＋π2)2＝1－sin 2α2＝1－232＝16.]4．C [因为y ＝2sin(π6－2x )＝－2sin(2x －π6)，所以函数y ＝2sin(π6－2x )的单调递增区间就是函数y ＝sin(2x －π6)的单调递减区间．由π2＋2k π≤2x －π6≤3π2＋2k π(k ∈Z )， 解得π3＋k π≤x ≤5π6＋k π(k ∈Z )，即函数y ＝2sin(π6－2x )的单调递增区间为[π3＋k π，5π6＋k π](k ∈Z ) 又x ∈[－π，0]，所以k ＝－1，故函数y ＝2sin(π6－2x )(x ∈[－π，0])的单调递增区间为[－2π3，－π6]．]5．B [由题图可知，函数的最大值为2，因此A ＝2. 又因为函数经过点⎝⎛⎭⎫π3，2， 则2sin ⎝⎛⎭⎫2×π3＋φ＝2， 即2×π3＋φ＝π2＋2k π，k ∈Z ，得φ＝－π6＋2k π，k ∈Z .f (0)＝2sin φ＝2sin ⎝⎛⎭⎫－π6＋2k π＝－1.] 6．C [∵cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝c 22ab ，又∵a 2＋b 2≥2ab ，∴2ab ≤2c 2. ∴cos C ≥12.∴cos C 的最小值为12.]7．D [DM →＝DA →＋AM →＝DA →＋13AB →，又DB →＝DA →＋AB →，所以DM →·DB →＝(DA →＋13AB →)·(DA →＋AB →)＝DA →2＋13AB →2＋43DA →·AB →＝1＋43－43AD →·AB → ＝73－43|AD →|·|AB →|cos 60°＝73－43×1×2×12＝1.] 8．27解析 由正弦定理知AB sin C ＝3sin 60°＝BC sin A， ∴AB ＝2sin C ，BC ＝2sin A .又A ＋C ＝120°，∴AB ＋2BC＝2sin C ＋4sin(120°－C )＝2(sin C ＋2sin 120°cos C －2cos 120°sin C )＝2(sin C ＋3cos C ＋sin C )＝2(2sin C ＋3cos C )＝27sin(C ＋α)，其中tan α＝32，α是第一象限角， 由于0°＜C ＜120°，且α是第一象限角，因此AB ＋2BC 有最大值27. 9.19π2－1 解析 由题意可知A (π6，1)，B (2π3，－1)，OA →·OB →＝π6×2π3＋1×(－1)＝19π2－1. 10．解 (1)由已知，有f (x )＝cos x ·(12sin x ＋32cos x )－3cos 2x ＋34＝12sin x ·cos x －32cos 2x ＋34＝14sin 2x －34(1＋cos 2x )＋34＝14sin 2x －34cos 2x ＝12sin(2x －π3)． 所以f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π. (2)因为f (x )在区间[－π4，－π12]上是减函数，在区间[－π12，π4]上是增函数， f (－π4)＝－14，f (－π12)＝－12， f (π4)＝14，所以，函数f (x )在闭区间[－π4，π4]上的最大值为14，最小值为－12.。
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第2讲 填空题的解法技巧题型概述填空题是一种只要求写出结论，不要求解答过程的客观性试题，有小巧灵活、覆盖面广、跨度大等特点，突出考查准确、严谨、灵活运用知识的能力．由于填空题不像选择题那样有备选提示，不像解答题那样有步骤得分，所填结果必须准确、规范，因此得分率较低，解答填空题的第一要求是“准”，然后才是“快”、“巧”，要合理灵活地运用恰当的方法，不可“小题大做”．方法一 直接法直接法就是直接从题设出发，利用有关性质或结论，通过巧妙地变形，直接得到结果的方法．要善于透过现象抓本质，有意识地采取灵活、简捷的方法解决问题．直接法是求解填空题的基本方法．例1 (1)(2015·湖南)在一次马拉松比赛中，35名运动员的成绩(单位：分钟)的茎叶图如图所示若将运动员按成绩由好到差编为1～35号，再用系统抽样方法从中抽取7人，则其中成绩在区间[139,151]上的运动员人数是________．(2)(2015·北京)在△ABC 中，a ＝4，b ＝5，c ＝6，则sin 2A sin C＝________.解析 (1)由题意知，将1～35号分成7组，每组5名运动员，落在区间[139,151]上的运动员共有4组，故由系统抽样法知，共抽取4名． (2)由余弦定理：cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝25＋36－162×5×6＝34，∴sin A ＝74，cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝16＋25－362×4×5＝18，∴sin C ＝378，∴sin 2Asin C ＝2×34×74378＝1. 答案 (1)4 (2)1思维升华 利用直接法求解填空题要根据题目的要求灵活处理，多角度思考问题，注意一些解题规律和解题技巧的灵活应用，将计算过程简化从而得到结果，这是快速准确地求解填空题的关键．跟踪演练1 (1)(2015·韶关联考)已知椭圆x 28＋y 2＝1的左、右焦点分别为F 1、F 2，点P 在椭圆上，则|PF 1|·|PF 2|的最大值是________．(2)已知方程x 2＋3ax ＋3a ＋1＝0(a >2)的两根tan α，tan β，且α，β∈(－π2，π2)，则α＋β＝________.方法二 特例法当填空题已知条件中含有某些不确定的量，但填空题的结论唯一或题设条件中提供的信息暗示答案是一个定值时，可以将题中变化的不定量选取一些符合条件的恰当特殊值(特殊函数，特殊角，特殊数列，图形特殊位置，特殊点，特殊方程，特殊模型等)进行处理，从而得出待求的结论．这样可大大地简化推理、论证的过程．例2 (1)如图所示，在平行四边形ABCD 中，AP ⊥BD ，垂足为P ，且AP ＝3，则AP →·AC →＝_____________________________________.(2)已知定义在R 上的奇函数f (x )满足f (x －4)＝－f (x )，且在区间[0,2]上是增函数，若方程f (x )＝m (m >0)在区间[－8,8]上有四个不同的根x 1，x 2，x 3，x 4，则x 1＋x 2＋x 3＋x 4＝________. 解析 (1)把平行四边形ABCD 看成正方形， 则点P 为对角线的交点，AC ＝6，则AP →·AC →＝18.(2)此题考查抽象函数的奇偶性，周期性，单调性和对称轴方程，条件多，将各种特殊条件结合的最有效方法是把抽象函数具体化．根据函数特点取f (x )＝sin π4x ，再由图象可得(x 1＋x 2)＋(x 3＋x 4)＝(－6×2)＋(2×2)＝－8.答案 (1)18 (2)－8思维升华 求值或比较大小等问题的求解均可利用特殊值代入法，但要注意此种方法仅限于求解结论只有一种的填空题，对于开放性的问题或者有多种答案的填空题，则不能使用该种方法求解．跟踪演练2 (2015·课标全国Ⅰ)若函数f (x )＝x ln(x ＋a ＋x 2)为偶函数，则a ＝________.方法三 数形结合法对于一些含有几何背景的填空题，若能根据题目中的条件，作出符合题意的图形，并通过对图形的直观分析、判断，即可快速得出正确结果．这类问题的几何意义一般较为明显，如一次函数的斜率和截距、向量的夹角、解析几何中两点间距离等，求解的关键是明确几何含义，准确规范地作出相应的图形．例3 (1)已知点P (x ，y )的坐标x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋1≥0，|x |－y －1≤0，则x 2＋y 2－6x ＋9的取值范围是________________________________________________________________________． (2)已知函数f (x )＝x |x －2|，则不等式f (2－x )≤f (1)的解集为________．解析 (1)画出可行域如图，所求的x 2＋y 2－6x ＋9＝(x －3)2＋y 2是点Q (3,0)到可行域上的点的距离的平方，由图形知最小值为Q 到射线x －y －1＝0(x ≥0)的距离d 的平方， ∴d 2min ＝(|3－0－1|12＋(－1)2)2＝(2)2＝2.最大值为点Q 到点A 的距离的平方，∴d 2max ＝16.∴取值范围是[2,16]．(2)函数y ＝f (x )的图象如图，由不等式f (2－x )≤f (1)知，2－x ≤2＋1，从而得到不等式f (2－x )≤f (1)的解集为[－1，＋∞)． 答案 (1)[2,16] (2)[－1，＋∞)思维升华 数形结合法可直观快捷得到问题的结论，充分应用了图形的直观性，数中思形，以形助数．数形结合法是高考的热点，应用时要准确把握各种数式和几何图形中变量之间的关系．跟踪演练3 (1)(2015·山西大学附中月考)若方程x 3－3x ＝k 有3个不等的实根，则常数k 的取值范围是_________________________________________________________．(2)(2015·兰州一中期中)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋bx ＋c ，x ≤0，2，x >0.若f (－4)＝f (0)，f (－2)＝－2，则函数y ＝g (x )＝f (x )－x 的零点个数为________．方法四 构造法构造型填空题的求解，需要利用已知条件和结论的特殊性构造出新的数学模型，从而简化推理与计算过程，使较复杂的数学问题得到简捷的解决，它来源于对基础知识和基本方法的积累，需要从一般的方法原理中进行提炼概括，积极联想，横向类比，从曾经遇到过的类似问题中寻找灵感，构造出相应的函数、概率、几何等具体的数学模型，使问题快速解决． 例4 (1)如图，已知球O 的球面上有四点A ，B ，C ，D ，DA ⊥平面ABC ，AB ⊥BC ，DA ＝AB ＝BC ＝2，则球O 的体积等于________．(2)e 416，e 525，e 636(其中e 为自然对数的底数)的大小关系是________________．解析 (1)如图，以DA ，AB ，BC 为棱长构造正方体，设正方体的外接球球O 的半径为R ，则正方体的体对角线长即为球O 的直径，所以|CD |＝(2)2＋(2)2＋(2)2＝2R ，所以R ＝62，故球O 的体积V ＝4πR 33＝6π.(2)由于e 416＝e 442，e 525＝e 552，e 636＝e 662，故可构造函数f (x )＝e x x 2，于是f (4)＝e 416，f (5)＝e 525，f (6)＝e 636.而f ′(x )＝(e xx 2)′＝e x ·x 2－e x ·2x x 4＝e x (x 2－2x )x 4，令f ′(x )>0得x <0或x >2，即函数f (x )在(2，＋∞)上单调递增，因此有f (4)<f (5)<f (6)，即e 416<e 525<e 636.答案(1)6π(2)e416<e525<e636思维升华构造法解题的关键是由条件和结论的特征构造数学模型．在立体几何中，补形构造是常用的解题技巧，构造法实质上是转化与化归思想在解题中的应用．跟踪演练4已知三个互不重合的平面α、β、γ，α∩β＝m，n⊂γ，且直线m、n不重合，由下列三个条件：①m∥γ，n⊂β；②m∥γ，n∥β；③m⊂γ，n∥β.能推得m∥n的条件是________．方法五归纳推理法做关于归纳推理的填空题的时候，一般是由题目的已知可以得出几个结论(或直接给出了几个结论)，然后根据这几个结论可以归纳出一个更一般性的结论，再利用这个一般性的结论来解决问题．归纳推理是从个别或特殊认识到一般性认识的推演过程，这里可以大胆地猜想．例5(1)(2014·陕西)观察分析下表中的数据：猜想一般凸多面体中F，V，E所满足的等式是_____________________________．(2)用火柴棒摆“金鱼”，如图所示：按照上面的规律，第n个“金鱼”图需要火柴棒的根数为________．解析(1)观察F，V，E的变化得F＋V－E＝2.(2)观察题图①，共有8根火柴，以后依次增加6根火柴，即构成首项为8，公差为6的等差数列，所以，第n个“金鱼”图需要火柴棒的根数为6n＋2.答案(1)F＋V－E＝2(2)6n＋2思维升华归纳推理法主要用于与自然数有关的结论，这类问题是近几年高考的热点，解题的关键在于找准归纳对象及其规律，如数列中项与项数之间的对应关系．跟踪演练5观察下列各个等式：13＝1；23＝3＋5；33＝7＋9＋11；43＝13＋15＋17＋19；…若某数m3按上述规律展开后，发现等式右边含有“2 016”这个数，则m＝________.方法六正反互推法多选型问题给出多个命题或结论，要求从中选出所有满足条件的命题或结论．这类问题要求较高，涉及图形、符号和文字语言，要准确阅读题目，读懂题意，通过推理证明，命题或结论之间互反互推，相互印证，也可举反例判断错误的命题或结论．例6已知f(x)为定义在R上的偶函数，当x≥0时，有f(x＋1)＝－f(x)，且当x∈[0,1)时，f(x)＝log2(x＋1)，给出下列命题：①f(2 013)＋f(－2 014)的值为0；②函数f(x)在定义域上为周期是2的周期函数；③直线y＝x与函数f(x)的图象有1个交点；④函数f(x)的值域为(－1,1)．其中正确的命题序号有________．解析根据题意，可在同一坐标系中画出直线y＝x和函数f(x)的图象如下：根据图象可知①f(2 013)＋f(－2 014)＝0正确，②函数f(x)在定义域上不是周期函数，所以②不正确，③根据图象确实只有一个交点，所以正确，④根据图象，函数f(x)的值域是(－1,1)，正确．答案①③④思维升华正反互推法适用于多选型问题，这类问题一般有两种形式，一是给出总的已知条件，判断多种结论的真假；二是多种知识点的汇总考查，主要覆盖考点功能．两种多选题在处理上不同，前者需要扣住已知条件进行分析，后者需要独立利用知识逐项进行判断．利用正反互推结合可以快速解决这类问题． 跟踪演练6 给出以下命题：①双曲线y 22－x 2＝1的渐近线方程为y ＝±2x ；②命题p ：“∀x ∈R ＋，sin x ＋1sin x≥2”是真命题；③已知线性回归方程为y ^＝3＋2x ，当变量x 增加2个单位，其预报值平均增加4个单位； ④设随机变量ξ服从正态分布N (0,1)，若P (ξ>1)＝0.2，则P (－1<ξ<0)＝0.6；⑤已知22－4＋66－4＝2，55－4＋33－4＝2，77－4＋11－4＝2，1010－4＋－2－2－4＝2，依照以上各式的规律，得到一般性的等式为nn －4＋8－n (8－n )－4＝2(n ≠4)． 则正确命题的序号为________(写出所有正确命题的序号)． 知识方法总结 六招拿下填空题：(一)直接法 (二)特例法 (三)数形结合法 (四)构造法 (五)归纳推理法 (六)正反互推法填空题突破练A 组 专题通关1．已知集合A ＝{x ，xy ，lg(xy )}，B ＝{0，|x |，y }，若A ＝B ，则x ＝________，y ＝________.2．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ，x ≤1，x 2－2x ＋2，x >1，若关于x 的函数g (x )＝f (x )－m 有两个零点，则实数m的取值范围是________．3．已知函数f (x )＝sin(π3x ＋π3)(x >0)的图象与x 轴的交点从左到右依次为(x 1,0)，(x 2,0)，(x 3,0)，…，则数列{x n }的前4项和为________．4．(2015·杭州外国语学校期中)设a ＞0，在二项式(a －x )10的展开式中，含x 的项的系数与含x 4的项的系数相等，则a 的值为________．5．已知P 为抛物线y 2＝4x 上一个动点，Q 为圆x 2＋(y －4)2＝1上一个动点，那么点P 到点Q 的距离与点P 到抛物线的准线距离之和的最小值是________．6．已知a ＝ln 12 013－12 013，b ＝ln 12 014－12 014，c ＝ln 12 015－12 015，则a ，b ，c 的大小关系为________． 7．观察下列不等式： 1＋122＜32 1＋122＋132＜53 1＋122＋132＋142＜74 ……照此规律，第五个不等式为_____________________________________________．8．若函数f (x )的定义域是R ，f (0)＝2，对任意的x ∈R ，f (x )＋f ′(x )>1，则不等式e x ·f (x )>e x ＋1的解集是________．9．(2015·珠海模拟)已知函数f (x )＝(12)x －sin x ，则f (x )在[0,2π]上的零点个数为________．10．整数数列{a n }满足a n ＋2＝a n ＋1－a n (n ∈N *)，若此数列的前800项的和是2 013，前813项的和是2 000，则其前2 014项的和为________．11．设命题p ：2x －1x －1≤0，命题q ：x 2－(2a ＋1)x ＋a (a ＋1)<0，若p 是q 的充分不必要条件，则实数a 的取值范围是________．12．(2015·山东)执行下边的程序框图，输出的T 的值为________.B 组 能力提高13．已知函数f (x )是定义在实数集R 上的不恒为零的偶函数，且对任意实数x 都有xf (x ＋1)＝(1＋x )f (x )，则f (52)＝________.14．已知O 是坐标原点，点M 的坐标为(2,1)，若点N (x ，y )为平面区域⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤2，x ≥12，y ≥x 上的一个动点，则OM →·ON →的最大值是________．15．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ，x >0，4x ，x ≤0，则f [f (－1)]＝________.若函数g (x )＝f (x )－k 存在两个零点，则实数k 的取值范围是________．16．已知a 、b 为不垂直的异面直线，α是一个平面，则a 、b 在α上的投影有可能是：①两条平行直线；②两条互相垂直的直线；③同一条直线；④一条直线及其外一点． 在上面的结论中，正确结论的序号是________．(写出所有正确结论的序号)学生用书答案精析第2讲 填空题的解法技巧跟踪演练1 (1)8 (2)－34π或π4解析 (1)由椭圆的定义知|PF 1|＋|PF 2|＝42， ∴|PF 1|·|PF 2|≤(|PF 1|＋|PF 2|2)2＝8，(当且仅当|PF 1|＝|PF 2|时取等号) ∴|PF 1|·|PF 2|的最大值是8.(2)由已知可得tan α＋tan β＝－3a ， tan αtan β＝3a ＋1，tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝－3a 1－(3a ＋1)＝1，因为α，β∈(－π2，π2)，所以－π<α＋β<π， 所以α＋β＝－34π或π4.跟踪演练2 1 解析 ∵f (1)＝f (－1)， ∴ln(1＋a ＋1)＋ln(－1＋a ＋1)＝0，∴ln a ＝0，∴a ＝1. 经验证a ＝1符合题意． 跟踪演练3 (1)(－2,2) (2)3解析 (1)设f (x )＝x 3－3x ，令f ′(x )＝3x 2－3＝0，得x ＝±1，当x <－1时，函数f (x )单调递增，当－1<x <1时，函数f (x )单调递减，当x >1时，函数f (x )单调递增，f (－1)＝2，f (1)＝－2，要有三个不等实根，则直线y ＝k 与y ＝f (x )的图象有三个交点，∴－2<k <2.(2)由f (－4)＝f (0)，得16－4b ＋c ＝c .由f (－2)＝－2，得4－2b ＋c ＝－2.联立两方程解得b ＝4，c ＝2.于是，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋4x ＋2，x ≤0，2，x >0. 在同一直角坐标系内，作出函数y ＝f (x )与函数y ＝x 的图象，知它们有3个交点，即函数g (x )有3个零点．跟踪演练4 ①③解析 构建长方体模型，如图，观察选项特点，可优先判断条件②：取平面α为平面ADD ′A ′，平面β为平面ABCD ，则直线m 为直线AD .因为m ∥γ，故可取平面γ为平面A ′B ′C ′D ′，因为n ⊂γ且n ∥β，故可取直线n 为直线A ′B ′.则直线AD 与直线A ′B ′为异面直线，故m 与n 不平行．对于①：α、β取②中平面，取平面γ为平面BCC ′B ′，可取直线n 为直线BC ，故可推得m ∥n ； 对于③：α，β取②中平面，取γ为平面AB ′C ′D ，取直线n 为直线B ′C ′，故可推得结论．跟踪演练5 45解析 某数m 3按上述规律展开后，等式右边为m 个连续奇数的和，由于前4行的最后一个数分别为1＝12＋0,5＝22＋1,11＝32＋2,19＝42＋3，所以m 3的最后一个数为m 2＋(m －1)，因为当m ＝44时，m 2＋(m －1)＝1 979，当m ＝45时，m 2＋(m －1)＝2 069，所以要使等式右边含有“2 016”这个数，则m ＝45.跟踪演练6 ①③⑤解析 ①由y 22－x 2＝0可以解得双曲线的渐近线方程为y ＝±2x ，正确． ②命题不能保证sin x ，1sin x为正，故错误； ③根据线性回归方程的含义正确；④P (ξ>1)＝0.2，可得P (ξ<－1)＝0.2，所以P (－1<ξ<0)＝12P (－1<ξ<1)＝0.3，故错误； ⑤根据验证可知得到一般性的等式是正确的．填空题突破练1．－1 －1解析 由A ＝B 知需分多种情况进行讨论，由lg(xy )有意义，则xy >0.又0∈B ＝A ，则必有lg(xy )＝0，即xy ＝1.此时，A ＝B ，即{0,1，x }＝{0，|x |，y }．∴⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝|x |，xy ＝1，y ＝1，或⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝y ，xy ＝1，|x |＝1，解得x ＝y ＝1或x ＝y ＝－1.当x ＝y ＝1时，A ＝B ＝{0,1,1}与集合元素的互异性矛盾，应舍去；当x ＝y ＝－1时，A ＝B ＝{0，－1,1}满足题意，故x ＝y ＝－1.2．(1,2]解析 g (x )＝f (x )－m 有两个零点等价于函数f (x )与函数y ＝m 的图象有两个交点，作出函数的图象如图，由图可知m 的取值范围是(1,2]．3．26解析 令f (x )＝sin(π3x ＋π3)＝0， 则π3x ＋π3＝k π(k ∈N *)， ∴x ＝3k －1(k ∈N *)，∴x 1＋x 2＋x 3＋x 4＝3(1＋2＋3＋4)－4＝26.4．1解析 T k ＋1＝C k 10(－x )k a10－k ， 令k ＝2时，x 的系数为C 210a 8，令k ＝8时，x 4的系数为C 810a 2，∴C 210a 8＝C 810a 2，即a ＝1，故答案为1. 5.17－1解析 点P 到抛物线的准线距离等于点P 到抛物线焦点F (1,0)的距离．圆心坐标是(0,4)，圆心到抛物线焦点的距离为17，即圆上的点Q 到抛物线焦点的距离的最小值是17－1，这个值即为所求．6．a ＞b ＞c解析 令f (x )＝ln x －x ，则f ′(x )＝1x －1＝1－x x.当0＜x ＜1时，f ′(x )＞0，即函数f (x )在(0,1)上是增函数．∵1＞12 013 ＞12 014＞12 015＞0， ∴a ＞b ＞c .7．1＋122＋132＋142＋152＋162<1168．{x |x >0}解析 构造函数g (x )＝e x ·f (x )－e x －1，求导得到g ′(x )＝e x ·f (x )＋e x ·f ′(x )－e x ＝e x [f (x )＋f ′(x )－1]．由已知f (x )＋f ′(x )>1，可得g ′(x )>0，所以g (x )为R 上的增函数．又g (0)＝e 0·f (0)－e 0－1＝0，所以e x ·f (x )>e x ＋1，即g (x )>0的解集为{x |x >0}．9．2解析 因为函数f (x )＝(12)x －sin x ，则 f (x )在[0,2π]上的零点个数等于函数y ＝(12)x 与函数y ＝sin x 在区间[0,2π]内的交点的个数，在同一坐标系中画出上述两个函数的图象如图所示，由图象可知，两函数在区间[0,2π]内有两个不同的交点，所以函数f (x )在[0,2π]上的零点个数为2.10．987解析 a 3＝a 2－a 1，a 4＝a 3－a 2，a 5＝a 4－a 3，a 6＝a 5－a 4，a 7＝a 6－a 5，…，∴a 1＝a 7，a 2＝a 8，a 3＝a 9，a 4＝a 10，a 5＝a 11，…，{a n }是以6为周期的数列，且有a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＋a 6＝0，S 800＝a 1＋a 2＝2 013，S 813＝a 1＋a 2＋a 3＝2 000，a 3＝－13，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1－a 2＝13，a 1＋a 2＝2 013，∴a 2＝1 000，S 2 014＝a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝a 2＋a 3＝1 000＋(－13)＝987.11．[0，12) 解析 由2x －1x －1≤0，得12≤x <1； 由x 2－(2a ＋1)x ＋a (a ＋1)<0，得a <x <a ＋1.因为p 是q 的充分不必要条件，所以⎩⎪⎨⎪⎧ 12>a ，1≤a ＋1，解得0≤a <12. 12.116解析 当n ＝1时，T ＝1＋⎠⎛01x 1d x ＝1＋⎪⎪12x 210＝1＋12＝32； 当n ＝2时，T ＝32＋⎠⎛01x 2d x ＝32＋⎪⎪13x 310＝32＋13＝116；当n ＝3时，结束循环，输出T ＝116. 13．0解析 由题意知f (－12)＝f (12)． 令x ＝－12可得－12f (12)＝12f (－12)，∴f (12)＝－f (－12)， 故f (12)＝0， 又令x ＝12可得12f (32)＝32f (12)， ∴f (32)＝0，同理可得f (52)＝0. 14．3解析 OM →·ON →＝2x ＋y ，如图：当直线2x ＋y ＝z 经过点(1,1)时，达到最大值，z max ＝3.15．－2 (0,1]解析 f [f (－1)]＝f (4－1)＝f (14)＝log 214＝－2. 令f (x )－k ＝0，即f (x )＝k ，设y ＝f (x )，y ＝k ，画出图象，如图所示，函数g (x )＝f (x )－k 存在两个零点，即y ＝f (x )与y ＝k 的图象有两个交点，由图象可得实数k 的取值范围为(0,1]．16．①②④解析 用正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1实例说明A 1D 1与BC 1在平面ABCD 上的投影互相平行，AB 1与BC 1在平面ABCD 上的投影互相垂直，BC 1与DD 1在平面ABCD 上的投影是一条直线及其外一点，故①②④正确．。
高考数学大二轮总复习与增分策略(全国通用,理科)配套
审题是解题的基础，深入细致的审题是成功解题的前提，审题不仅存在于解题的开端，还要贯穿于解题思路的全过程和解法后的反思回顾．正确的审题要多角度地观察，由表及里，由条件到结论，由数式到图形，洞察问题实质，选择正确的解题方向．事实上，很多考生往往对审题掉以轻心，或不知从何处入手进行审题，致使解题失误而丢分．本讲结合实例，教你正确的审题方法，给你制订一条“审题路线图”，攻克高考解答题． 一审条件挖隐含任何一个数学问题都是由条件和结论两部分构成的．条件是解题的主要素材，充分利用条件间的内在联系是解题的必经之路．条件有明示的，有隐含的，审视条件更重要的是要充分挖掘每一个条件的内涵和隐含的信息，发挥隐含条件的解题功能．例1 (2014·重庆)已知函数f (x )＝3sin(ωx ＋φ)(ω>0，－π2≤φ<π2)的图象关于直线x ＝π3对称，且图象上相邻两个最高点的距离为π. (1)求ω和φ的值；(2)若f (α2)＝34(π6<α<2π3)，求cos(α＋3π2)的值．审题路线图(1)条件：f (x )图象上相邻两个最高点距离为π ↓挖掘三角函数图象的特征 f (x )的周期为π ↓T ＝2π|ω|，ω>0(已知)ω＝2条件：f (x )图象关于直线x ＝π3对称↓f (π3)取到最值2×π3＋φ＝k π＋π2(k ∈Z )↓－π2≤φ<π2(已知)φ＝－π6↓(2)条件：f (α2)＝34↓代入f (x ) sin (α－π6)＝14↓条件π6<α<2π3cos (α－π6)＝154↓欲求cos(α＋3π2)＝sin α＝sin[(α－π6)＋π6]sin α＝3＋158↓cos (α＋3π2)＝3＋158解 (1)因为f (x )的图象上相邻两个最高点的距离为π，所以f (x )的最小正周期为T ＝π，从而ω＝2πT＝2. 又因为f (x )的图象关于直线x ＝π3对称，所以2×π3＋φ＝k π＋π2，k ∈Z .由－π2≤φ<π2，得k ＝0，所以φ＝π2－2π3＝－π6.(2)由(1)得f (α2)＝3sin(2·α2－π6)＝34，所以sin(α－π6)＝14.由π6<α<2π3， 得0<α－π6<π2，所以cos(α－π6)＝1－sin 2(α－π6)＝1－(14)2＝154.所以cos(α＋3π2)＝sin α＝sin[(α－π6)＋π6]＝sin(α－π6)cos π6＋cos(α－π6)sin π6＝14×32＋154×12＝3＋158. 跟踪演练1 (2014·四川)已知函数f (x )＝sin(3x ＋π4)．(1)求f (x )的单调递增区间；(2)若α是第二象限角，f (α3)＝45cos(α＋π4)cos 2α，求cos α－sin α的值．二审结论会转换问题解决的最终目标就是求出结论或说明已给结论正确或错误．因而解决问题时的思维过程大多都是围绕着结论这个目标进行定向思考的．审视结论，就是在结论的启发下，探索已知条件和结论之间的内在联系和转化规律．善于从结论中捕捉解题信息，善于对结论进行转化，使之逐步靠近条件，从而发现和确定解题方向． 例2 (2015·北京)已知函数f (x )＝ln 1＋x 1－x .(1)求曲线y ＝f (x )在点(0，f (0))处的切线方程； (2)求证：当x ∈(0,1)时，f (x )＞2⎝⎛⎭⎫x ＋x33； (3)设实数k 使得f (x )＞k ⎝⎛⎭⎫x ＋x 33对x ∈(0,1)恒成立，求k 的最大值．审题路线图 (2)x ∈(0，1)时f (x )>2(x ＋x 33)――→转化要证结论f (x )－2(x ＋x 33)>0在(0，1)上恒成立―――――――→构造函数g (x )＝f (x )－2(x ＋x 33)g (x )>0→研究函数g (x )的单调性求g (x )(3)求k 的最大值 ―――――――→构造函数h (x )＝f (x )－k (x ＋x 33)研究h (x )单调性――――――――――→讨论参数k结合(2)知k ≤2时符合题意k >2时h (x )的单调性解 (1)因为f (x )＝ln(1＋x )－ln(1－x )， 所以f ′(x )＝11＋x ＋11－x，f ′(0)＝2.又因为f (0)＝0，所以曲线y ＝f (x )在点(0，f (0))处的切线方程为y ＝2x . (2)令g (x )＝f (x )－2⎝⎛⎭⎫x ＋x33， 则g ′(x )＝f ′(x )－2(1＋x 2)＝2x 41－x 2.因为g ′(x )>0(0<x <1)，所以g (x )在区间(0,1)上单调递增． 所以g (x )>g (0)＝0，x ∈(0,1)， 即当x ∈(0,1)时，f (x )>2⎝⎛⎭⎫x ＋x 33.(3)由(2)知，当k ≤2时，f (x )>k ⎝⎛⎭⎫x ＋x 33对x ∈(0,1)恒成立．当k >2时，令h (x )＝f (x )－k ⎝⎛⎭⎫x ＋x 33， 则h ′(x )＝f ′(x )－k (1＋x 2)＝kx 4－(k －2)1－x 2.所以当0<x <4k －2k 时，h ′(x )<0，因此h (x )在区间⎝⎛⎭⎪⎫0，4k －2k 上单调递减． 当0<x < 4k －2k时，h (x )<h (0)＝0，即f (x )<k ⎝⎛⎭⎫x ＋x 33.所以当k >2时，f (x )>k ⎝⎛⎭⎫x ＋x33并非对x ∈(0,1)恒成立． 综上可知，k 的最大值为2.跟踪演练2 已知函数f (x )＝12x 2＋a ln x .(1)若a ＝－1，求函数f (x )的极值，并指出是极大值还是极小值； (2)若a ＝1，求函数f (x )在[1，e]上的最大值和最小值；(3)若a ＝1，求证：在区间[1，＋∞)上，函数f (x )的图象在函数g (x )＝23x 3的图象的下方．三审图形抓特点在不少数学高考试题中，问题的条件往往是以图形的形式给出，或将条件隐含在图形之中，因此在审题时，要善于观察图形，洞悉图形所隐含的特殊关系、数值的特点、变化的趋势．抓住图形的特征，运用数形结合的数学思想方法，是破解考题的关键．例3如图(1)所示，在边长为4的菱形ABCD中，∠DAB＝60°.点E、F分别在边CD、CB 上，点E与点C、D不重合，EF⊥AC，EF∩AC＝O.沿EF将△CEF翻折到△PEF的位置，使平面PEF⊥平面ABFED，如图(2)所示．(1)求证：BD⊥平面POA；(2)当PB取得最小值时，求四棱锥P－BDEF的体积．审题路线图(1)(2)(1)证明因为菱形ABCD的对角线互相垂直，所以BD⊥AC.所以BD⊥AO.因为EF⊥AC，所以PO⊥EF.因为平面PEF⊥平面ABFED，平面PEF∩平面ABFED＝EF，且PO⊂平面PEF，所以PO⊥平面ABFED.因为BD ⊂平面ABFED ，所以PO ⊥BD . 因为AO ∩PO ＝O ，所以BD ⊥平面POA .(2)解 设AO ∩BD ＝H . 因为∠DAB ＝60°， 所以△BDC 为等边三角形． 故BD ＝4，HB ＝2， HC ＝2 3.设PO ＝x (0<x <23)，则OH ＝23－x ，OA ＝43－x .连接OB ，由OH ⊥BD ，得OB 2＝(23－x )2＋22. 又由(1)知PO ⊥平面BFED ， 则PO ⊥OB . 所以PB ＝OB 2＋OP 2＝(23－x )2＋22＋x 2＝2(x －3)2＋10.当x ＝3时，PB min ＝10，此时PO ＝3＝OH ， 所以V 四棱锥P －BDEF ＝13×S 梯形BDEF ×PO＝13×(34×42－34×22)×3＝3. 跟踪演练3 如图，在△ABC 中，AB ＝3，AC ＝5，若O 为△ABC 的外心，则AO →·BC →的值为________．四审结构定方案数学问题中的条件和结论，很多都是以数式的结构形式进行搭配和呈现的．在这些问题的数式结构中，往往都隐含着某种特殊关系，认真审视数式的结构特征，对数式结构进行深入分析，加工转化，可以寻找到突破问题的方案．例4 (2015·四川)设数列{a n }(n ＝1,2,3，…)的前n 项和S n 满足S n ＝2a n －a 1，且a 1，a 2＋1，a 3成等差数列．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)记数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 的前n 项和为T n ，求使得|T n －1|＜11 000成立的n 的最小值．审题路线图解 (1)由已知S n ＝2a n －a 1， 有a n ＝S n －S n －1＝2a n －2a n －1(n ≥2)， 即a n ＝2a n －1(n ≥2)， 从而a 2＝2a 1，a 3＝2a 2＝4a 1， 又因为a 1，a 2＋1，a 3成等差数列， 即a 1＋a 3＝2(a 2＋1)，所以a 1＋4a 1＝2(2a 1＋1)，解得a 1＝2，所以，数列{a n }是首项为2，公比为2的等比数列， 故a n ＝2n . (2)由(1)得1a n ＝12n ，所以T n ＝12＋122＋…＋12n ＝12⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫12n 1－12＝1－12n .由|T n －1|＜11 000，得⎪⎪⎪⎪1－12n －1＜11 000， 即2n ＞1 000，因为29＝512＜1 000＜1 024＝210，所以n ≥10， 于是，使|T n －1|＜11 000成立的n 的最小值为10. 跟踪演练4 (1)(2015·临川一中月考)已知数列{a n }满足a 1＝6，a n ＋1－a n ＝2n ，记c n ＝a nn ，且存在正整数M ，使得对一切n ∈N *，c n ≥M 恒成立，则M 的最大值为________．(2)(2014·课标全国Ⅰ)已知a ，b ，c 分别为△ABC 三个内角A ，B ，C 的对边，a ＝2，且(2＋b )·(sin A －sin B )＝(c －b )·sin C ，则△ABC 面积的最大值为________． 五审图表找规律题目中的图表、数据包含着问题的基本信息，往往也暗示着解决问题的目标和方向．在审题时，要认真观察分析图表、数据的特征和规律，常常可以找到解决问题的思路和方法． 例5 下表中的数阵为“森德拉姆素数筛”，其特点是每行每列都成等差数列，记第i 行第j 列的数为a i ，j (i ，j ∈N *)，则 (1)a 9,9＝________；(2)表中的数82共出现________次.审题路线图审视图表数据a i ，j ――→每行成等差数列a 1，9＝a 1，1＋8×1＝10 ――→每列成等差数列a 9，9＝a 1，9＋8×9＝72――→一般规律a i ，j ＝(i ＋1)＋(j －1)·i ＝ij ＋1――→82出现次数ij＋1＝82解的个数解析(1)a9,9表示第9行第9列，第1行的公差为1，第2行的公差为2，……，第9行的公差为9，第9行的首项b1＝10，则b9＝10＋8×9＝82；(2)第1行数组成的数列a1，j(j＝1,2，…)是以2为首项，公差为1的等差数列，所以a1，j＝2＋(j－1)·1＝j＋1；第i行数组成的数列a i，j(j＝1,2，…)是以i＋1为首项，公差为i的等差数列，所以a i，j＝(i＋1)＋(j－1)i＝ij＋1，由题意得a i，j＝ij＋1＝82，即ij＝81，且i，j∈N*，所以81＝81×1＝27×3＝9×9＝1×81＝3×27，故表格中82共出现5次．答案(1)82(2)5跟踪演练5为调查企业工人的身体情况，社保局从某企业800名男职工中随机抽取50名测量其身高，据测量，被测职工的身高全部在155 cm到195 cm之间．将测量结果按如下方式分成8组：第一组[155,160)，第二组[160,165)，……，第八组[190,195]，频率分布直方图的部分图象如图所示，频数统计表的一部分如下表，已知第一组与第八组的人数相同，第七组与第六组的人数差恰好为第八组与第七组的人数差，则x＝________，y＝________.六审细节更完善审题不仅要从宏观上、整体上去分析、去把握，还要更加注意审视一些细节上的问题．例如括号内的标注、数据的范围、图象的特点等．因为标注、范围大多是对数学概念、公式、定理中所涉及的一些量或解析式的限制条件．审视细节能适时地利用相关量的约束条件，调整解决问题的方向．所以说重视审视细节，更能体现审题的深刻性． 例6 各项均为正数的数列{a n }的前n 项和为S n ，S n ＝14a 2n ＋12a n (n ∈N *)． (1)求a n ；(2)令b n ＝⎩⎪⎨⎪⎧a n， n 为奇数，b 2n ， n 为偶数，c n ＝b (n ∈N *)，求{c n }的前n 项和T n .审题路线图 (1)S n ＝14a 2n ＋12a n ↓(注意n ∈N *，a n >0) a 1＝2↓(下面的变形是有条件的，条件是n ≥2) a n ＝S n －S n －1＝14a 2n ＋12a n －14a 2n －1－12a n －1 ↓(进行代数式变形) (a n ＋a n －1)(a n －a n －1－2)＝0 ↓(a n ＋a n －1>0) a n －a n －1＝2↓(利用等差数列的定义) a n ＝2＋(n －1)×2＝2n↓(注意b n 与a n 的关系，n 是分奇偶的) (2)b 1＝a 1＝2；b 2＝a 1＝2；b 3＝a 3＝6； b 4＝b 2＝2↓(注意c n 与b n 的关系) c 1＝b 6＝b 3＝6 c 2＝b 8＝b 4＝2↓(注意下面变化的条件是n ≥3)12221242221n n n n n c b b b a －－－＋＋＋＋＝＝＝＝＝2n －1＋2.↓T n ＝c 1＋c 2＋c 3＋…＋c n＝6＋2＋(22＋2)＋(23＋2)＋…＋(2n －1＋2)＝2n ＋2n↓(当n ＝1，n ＝2时，对T n 的表达式的验证)T n ＝⎩⎪⎨⎪⎧6， n ＝1，2n ＋2n ， n ≥2且n ∈N *.解 (1)a 1＝S 1＝14a 21＋12a 1⇒14a 21－12a 1＝0，因为a 1>0，故a 1＝2； 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1 ＝14a 2n ＋12a n －14a 2n －1－12a n －1， 所以14(a 2n －a 2n －1)－12(a n ＋a n －1)＝0， 即(a n ＋a n －1)(a n －a n －1－2)＝0. 因为a n >0，所以a n －a n －1＝2， 即{a n }为等差数列， 所以a n ＝2n (n ∈N *)．(2)c 1＝b 6＝b 3＝a 3＝6，c 2＝b 8＝b 4＝b 2＝b 1＝a 1＝2， n ≥3时，221212122n n n b a －－－＋＋＝＝＝＋，此时，T n ＝8＋(22＋2)＋(23＋2)＋…＋(2n －1＋2) ＝2n ＋2n ；当n ＝1时，2＋2＝4≠6，不符合上式，当n ＝2时，T 2＝22＋2×2＝8＝c 1＋c 2，符合上式．所以T n ＝⎩⎪⎨⎪⎧6， n ＝1，2n ＋2n ， n ≥2且n ∈N *. 跟踪演练6 (2015·惠州市调研)设数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 1＝1，2S n n ＝a n ＋1－13n 2－n－23，n ∈N *. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)证明：对一切正整数n ，有1a 1＋1a 2＋…＋1a n <74.审题突破练A 组 专题通关1．已知点A (－3,0)，B (0,3)，若点P 在圆x 2＋y 2－2x ＝0上运动，则△P AB 面积的最小值为( ) A ．6 B ．6 2 C ．6＋322D ．6－3222．如图所示，用K ，A 1，A 2三类不同的元件连接成一个系统，当K 正常工作且A 1，A 2至少有一个正常工作时，系统正常工作，已知K ，A 1，A 2正常工作的概率依次是0.9,0.8,0.8，则系统正常工作概率为( )A ．0.960B ．0.864C ．0.70D ．0.5763．一个多面体的三视图如图所示，则该多面体的体积为( )A.233B.476 C ．6D ．74．(2015·重庆)执行如图所示的程序框图，若输出k 的值为8，则判断框内可填入的条件是( )A ．s ≤34？B ．s ≤56？C ．s ≤1112？D ．s ≤2524？5．(2015·佛山市高三上学期期中试题)已知a ＞0，函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧sin π2x ，x ∈[－1，0)，ax 2＋ax ＋1，x ∈[0，＋∞)，若f (t －13)＞－12，则实数t 的取值范围为________．6．(2015·福建)若锐角△ABC 的面积为103，且AB ＝5，AC ＝8，则BC 等于________． 7．已知在△ABC 中，sin A ＋cos A ＝15.(1)求sin(3π2－A )cos(π2＋A )；(2)求tan A 值．8．数列{a n }，{b n }的通项公式分别为a n ＝ln(1＋1n )，b n ＝1n －1n 2(n ∈N *)，证明：a n ＞b n .B 组 能力提高9．已知a ∈R ，函数f (x )＝16x 3＋12(a －2)x 2＋b ，g (x )＝2a ln x .(1)若曲线y ＝f (x )与曲线y ＝g (x )在它们的交点(1，c )处的切线互相垂直，求a ，b 的值； (2)设F (x )＝f ′(x )－g (x )，若对任意的x 1，x 2∈(0，＋∞)，且x 1≠x 2，都有F (x 2)－F (x 1)＞a (x 2－x 1)，求a 的取值范围．10．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的焦距为2，且过点(1，22)，右焦点为F 2.设A ，B 是C上的两个动点，线段AB 的中点M 的横坐标为－12，线段AB 的中垂线交椭圆C 于P ，Q 两点．(1)求椭圆C 的方程； (2)求F 2P →·F 2Q →的取值范围．学生用书答案精析第一篇 活用审题路线图，教你审题不再难跟踪演练1 解 (1)因为函数y ＝sin x 的单调递增区间为[－π2＋2k π，π2＋2k π]，k ∈Z ，由－π2＋2k π≤3x ＋π4≤π2＋2k π，k ∈Z ，得－π4＋2k π3≤x ≤π12＋2k π3，k ∈Z .所以函数f (x )的单调递增区间为[－π4＋2k π3，π12＋2k π3]，k ∈Z .(2)由已知，有sin(α＋π4)＝45cos(α＋π4)(cos 2α－sin 2α)，所以sin αcos π4＋cos αsin π4＝45(cos αcos π4－sin αsin π4)(cos 2α－sin 2α)， 即sin α＋cos α＝45(cos α－sin α)2(sin α＋cos α)．当sin α＋cos α＝0时，由α是第二象限角，知α＝3π4＋2k π，k ∈Z .此时，cos α－sin α＝－ 2.当sin α＋cos α≠0时，有(cos α－sin α)2＝54.由α是第二象限角，知cos α－sin α<0， 此时cos α－sin α＝－52. 综上所述，cos α－sin α＝－2或－52. 跟踪演练2 (1)解 由于函数f (x )的定义域为(0，＋∞)， 当a ＝－1时，f ′(x )＝x －1x ＝(x ＋1)(x －1)x ，令f ′(x )＝0得x ＝1或x ＝－1(舍去)， 当x ∈(0,1)时，函数f (x )单调递减， 当x ∈(1，＋∞)时，函数f (x )单调递增，所以f (x )在x ＝1处取得极小值为12.(2)解 当a ＝1时，易知函数f (x )在[1，e]上为增函数， 所以f (x )min ＝f (1)＝12，f (x )max ＝f (e)＝12e 2＋1.(3)证明 设F (x )＝f (x )－g (x )＝12x 2＋ln x －23x 3，则F ′(x )＝x ＋1x －2x 2＝(1－x )(1＋x ＋2x 2)x ，当x >1时，F ′(x )<0，故f (x )在区间[1，＋∞)上是减函数， 又F (1)＝－16<0，所以在区间[1，＋∞)上，F (x )<0恒成立． 即f (x )<g (x )恒成立．因此，当a ＝1时，在区间[1，＋∞)上，函数f (x )的图象在函数g (x )的图象的下方． 跟踪演练3 8解析 方法一 取边BC 的中点D ，由于O 为△ABC 的外心，所以DO →⊥BC →，所以DO →·BC →＝0，AO →＝AD →＋DO →＝12(AB →＋AC →)＋DO →，所以AO →·BC →＝[12(AB →＋AC →)＋DO →]·BC →＝12(AB →＋AC →)·(AC →－AB →)＝12(|AC →|2－|AB →|2)＝8. 方法二 取AB 的中点E ，AC 的中点F ，连接OE ，OF ，则OE ⊥AB ，OF ⊥AC .易知向量AO →在AB →上的投影为|AE →|，AO →在AC →上的投影为|AF →|， 所以AO →·BC →＝AO →·(AC →－AB →)＝AO →·AC →－AO →·AB → ＝|AC →|·|AF →|－|AB →|·|AE →|＝5×52－3×32＝8.跟踪演练4 (1)4 (2) 3 解析 (1)∵a n ＋1－a n ＝2n ，∴a n －a n －1＝2n －2，......，a 2－a 1＝2， ∴a n －a 1＝2[(n －1)＋(n －2)＋ (1)＝n (n －1)， ∴a n ＝n (n －1)＋6，∴c n ＝a n n ＝n ＋6n －1≥5－1＝4，∵对一切n ∈N *，c n ≥M 恒成立， ∴M 的最大值为4. (2)∵a sin A ＝b sin B ＝c sin C＝2R ，a ＝2，又(2＋b )·(sin A －sin B )＝(c －b )sin C 可化为(a ＋b )(a －b )＝(c －b )·c ，∴a 2－b 2＝c 2－bc ，∴b 2＋c 2－a 2＝bc . ∴b 2＋c 2－a 22bc ＝bc 2bc ＝12＝cos A ，∴A ＝60°.∴△ABC 中，4＝a 2＝b 2＋c 2－2bc ·cos 60°＝b 2＋c 2－bc ≥2bc －bc ＝bc (“＝”当且仅当b ＝c 时取得)，∴S △ABC ＝12·bc ·sin A ≤12×4×32＝ 3.跟踪演练5 4 3解析 由频率分布直方图可知前五组的频率之和是(0.008＋0.016＋0.04＋0.04＋0.06)×5＝0.82，第八组的频率是0.008×5＝0.04，所以第六、七组的频率之和为1－0.82－0.04＝0.14. 故第八组的人数为50×0.04＝2， 第六、七组的人数之和为50×0.14＝7.由题意，可得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ＝7，y －x ＝2－y ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4，y ＝3.跟踪演练6 (1)解 依题意，2S 1＝a 2－13－1－23，又S 1＝a 1＝1，所以a 2＝4，当n ≥2时，2S n ＝na n ＋1－13n 3－n 2－23n ，2S n －1＝(n －1)a n －13(n －1)3－(n －1)2－23(n －1)，两式相减得2a n ＝(na n ＋1－13n 3－n 2－23n )－[(n －1)·a n －13(n －1)3－(n －1)2－23(n －1)]．整理得(n ＋1)a n ＝na n ＋1－n (n ＋1)， 即a n ＋1n ＋1－a nn ＝1， 又a 22－a 11＝1， 故数列{a nn }是首项为1，公差为1的等差数列，所以a nn ＝1＋1×(n －1)＝n ，所以a n ＝n 2.(2)证明 当n ＝1时，1a 1＝1<74；当n ＝2时，1a 1＋1a 2＝1＋14＝54<74；当n ≥3时，1a n ＝1n 2<1n (n －1)＝1n －1－1n，此时1a 1＋1a 2＋…＋1a n ＝1＋122＋132＋142＋…＋1n 2<1＋14＋(12－13)＋(13－14)＋…＋(1n －1－1n )＝1＋14＋12－1n ＝74－1n <74. 综上，对一切正整数n ，有1a 1＋1a 2＋…＋1a n <74.审题突破练1．D [由圆的方程x 2＋y 2－2x ＝0，得(x －1)2＋y 2＝1， 所以圆的圆心G (1,0)，且圆的半径r ＝1， 由A (－3,0)，B (0,3)，得k AB ＝33＝1，所以AB 的方程为y ＝x ＋3， 即x －y ＋3＝0，所以点G (1,0)到AB 的距离d ＝|1－0＋3|2＝22＞1， 所以AB 与给定的圆相离，圆上到AB 的距离的最小值t ＝d －r ＝22－1，又|AB |＝9＋9＝32，所以△P AB 面积的最小值为12×32× (22－1)＝6－322.] 2．B [由题意可知K ，A 1，A 2三类元件正常工作相互独立．A 1，A 2至少有一个正常工作的概率为P ＝1－(1－0.8)2＝0.96.所以系统正常工作的概率为P K P ＝0.9×0.96＝0.864.]3．A [由题意知，该多面体是由正方体挖去两个小三棱锥后所成的几何体，如图所示，所以该几何体的体积为V ＝2×2×2－2×13×(12×1×1)×1＝233] 4．C [由s ＝0，k ＝0满足条件，则k ＝2，s ＝12，满足条件；k ＝4，s ＝12＋14＝34，满足条件；k ＝6，s ＝34＋16＝1112，满足条件；k ＝8，s ＝1112＋18＝2524，不满足条件，输出k ＝8，所以应填s ≤1112？.] 5．(0，＋∞)解析 ①当－1≤t －13＜0时， f (t －13)＝sin[π2(t －13)]＞－12， ∴－π6＋2k π＜π2(t －13)＜7π6＋2k π(k ∈Z )． ∴－13＋4k ＜t －13＜73＋4k (k ∈Z )． ∵－1≤t －13＜0， ∴－13＜t －13＜0，∴0＜t ＜13. ②当t －13≥0时，f (t －13)＝a (t －13)2＋a (t －13)＋1＞－12(a ＞0)恒成立， ∴t ≥13. 综上可知：实数t 的取值范围为(0，＋∞)．6．7解析 S ＝12AB ·AC ·sin A ，∴sin A ＝32，在锐角三角形中A ＝π3，由余弦定理得 BC ＝AB 2＋AC 2－2AB ·AC ·cos A ＝7.7．解 方法一 (1)∵sin A ＋cos A ＝15， ∴1＋2sin A ·cos A ＝125， ∴sin 2A ＝－2425， sin(3π2－A )cos(π2＋A )＝－cos A · (－sin A )＝sin A cos A ＝12sin 2A ＝－1225. (2)∵sin A ＋cos A ＝15， ∴(sin A －cos A )2＝(sin A ＋cos A )2－4sin A cos A ＝125＋4825＝4925， 又0＜A ＜π且sin A ＋cos A ＝15， ∴π2＜A ＜π， ∴sin A ＞0，cos A ＜0，∴sin A －cos A ＝75， ∴sin A ＝45，cos A ＝－35， ∴tan A ＝sin A cos A ＝－43. 方法二 (1)同方法一．(2)sin 2A ＝2sin A cos A cos 2A ＋sin 2A＝2tan A 1＋tan 2A＝－2425， ∴12tan 2A ＋25tan A ＋12＝0∴tan A ＝－43或tan A ＝－34又0＜A ＜π，sin A ＋cos A ＝15， ∴π2＜A ＜3π4，∴tan A ＜－1， 故tan A ＝－43. 8．证明 欲证原不等式成立，需证明ln(1＋1n )－1n ＋1n 2＞0. 构造函数F (x )＝ln(1＋x )－x ＋x 2(0＜x ≤1)所以F ′(x )＝11＋x －1＋2x ＝x (2x ＋1)x ＋1. 当0＜x ≤1时，F ′(x )＞0，所以函数F (x )在(0,1]上单调递增．所以函数F (x )＞F (0)＝0，即F (x )＞0.所以∀x ∈(0,1]，ln(1＋x )－x ＋x 2＞0，即ln(1＋x )＞x －x 2.令x ＝1n(n ∈N *)， 则有ln(1＋1n )＞1n －1n 2，即a n ＞b n . 9．解 (1)f ′(x )＝12x 2＋(a －2)x ， f ′(1)＝a －32. g ′(x )＝2a x，g ′(1)＝2a . 依题意有f ′(1)g ′(1)＝－1，且f (1)＝g (1)，可得⎩⎨⎧ 2a (a －32)＝－1，16＋12(a －2)＋b ＝0，解得a ＝1，b ＝13，或a ＝12，b ＝712. (2)F (x )＝12x 2＋(a －2)x －2a ln x . 不妨设x 1＜x 2，F (x 2)－F (x 1)＞a (x 2－x 1)，等价于F (x 2)－ax 2＞F (x 1)－ax 1.设G (x )＝F (x )－ax ，则对任意的x 1，x 2∈(0，＋∞)，且x 1≠x 2，都有F (x 2)－F (x 1)x 2－x 1＞a ， 等价于G (x )＝F (x )－ax 在(0，＋∞)上是增函数．G (x )＝12x 2－2a ln x －2x ， 可得G ′(x )＝x －2a x－2 ＝x 2－2x －2a x， 依题意有，对任意x ＞0，有x 2－2x －2a ≥0恒成立．由2a ≤x 2－2x ＝(x －1)2－1，可得a ≤－12. 10．解 (1)因为焦距为2，所以a 2－b 2＝1.又因为椭圆C 过点(1，22)， 所以1a 2＋12b2＝1.故a 2＝2，b 2＝1. 所以椭圆C 的方程为x 22＋y 2＝1.(2)由题意可知，当直线AB 垂直于x 轴时，直线AB 的方程为x ＝－12， 此时P (－2，0)，Q (2，0)，得F 2P →·F 2Q →＝－1.当直线AB 不垂直于x 轴时，设直线AB 的斜率为k (k ≠0)，M (－12，m )(m ≠0)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎨⎧ x 212＋y 21＝1，x 222＋y 22＝1，得(x 1＋x 2)＋2(y 1＋y 2)·y 1－y 2x 1－x 2＝0，则－1＋4mk ＝0， 故4mk ＝1.此时，直线PQ 的斜率为k 1＝－4m ，直线PQ 的方程为y －m ＝－4m (x ＋12)． 即y ＝－4mx －m .联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－4mx －m ，x 22＋y 2＝1消去y ， 整理得(32m 2＋1)x 2＋16m 2x ＋2m 2－2＝0.设P (x 3，y 3)，Q (x 4，y 4)所以x 3＋x 4＝－16m 232m 2＋1，x 3x 4＝2m 2－232m 2＋1. 于是F 2P →·F 2Q →＝(x 3－1)(x 4－1)＋y 3y 4＝x 3x 4－(x 3＋x 4)＋1＋(4mx 3＋m )·(4mx 4＋m ) ＝(4m 2－1)(x 3＋x 4)＋(16m 2＋1)x 3x 4＋m 2＋1＝(4m 2－1)(－16m 2)32m 2＋1＋ (1＋16m 2)(2m 2－2)32m 2＋1＋1＋m 2＝19m 2－132m 2＋1. 由于M (－12，m )在椭圆的内部，故0<m 2<78， 令t ＝32m 2＋1,1<t <29，则F 2P →·F 2Q →＝1932－5132t. 又因为1<t <29，所以－1<F 2P →·F 2Q →<125232. 综上所述，F 2P →·F 2Q →的取值范围为(－1，125232)．。
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第1讲直线与圆1．(2015·安徽)直线3x＋4y＝b与圆x2＋y2－2x－2y＋1＝0相切，则b的值是()A．－2或12 B．2或－12C．－2或－12 D．2或122．(2015·湖南)若直线3x－4y＋5＝0与圆x2＋y2＝r2(r>0)相交于A，B两点，且∠AOB＝120°(O 为坐标原点)，则r＝________.3．(2014·重庆)已知直线ax＋y－2＝0与圆心为C的圆(x－1)2＋(y－a)2＝4相交于A，B两点，且△ABC为等边三角形，则实数a＝________. 4．(2014·课标全国Ⅱ)设点M(x0,1)，若在圆O：x2＋y2＝1上存在点N，使得∠OMN＝45°，则x0的取值范围是________．考查重点是直线间的平行和垂直的条件、与距离有关的问题.直线与圆的位置关系(特别是弦长问题)，此类问题难度属于中低档，一般以选择题、填空题的形式出现.热点一直线的方程及应用1．两条直线平行与垂直的判定若两条不重合的直线l 1，l 2的斜率k 1，k 2存在，则l 1∥l 2⇔k 1＝k 2，l 1⊥l 2⇔k 1k 2＝－1.若给出的直线方程中存在字母系数，则要考虑斜率是否存在． 2．求直线方程要注意几种直线方程的局限性．点斜式、两点式、斜截式要求直线不能与x 轴垂直．而截距式方程不能表示过原点的直线，也不能表示垂直于坐标轴的直线． 3．两个距离公式(1)两平行直线l 1：Ax ＋By ＋C 1＝0， l 2：Ax ＋By ＋C 2＝0间的距离d ＝|C 1－C 2|A 2＋B 2.(2)点(x 0，y 0)到直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0的距离公式d ＝|Ax 0＋By 0＋C |A 2＋B 2.例1 (1)已知直线l 1：(k －3)x ＋(4－k )y ＋1＝0与l 2：2(k －3)x －2y ＋3＝0平行，则k 的值是( ) A ．1或3 B ．1或5 C ．3或5 D ．1或2(2)已知两点A (3,2)和B (－1,4)到直线mx ＋y ＋3＝0的距离相等，则m 的值为( ) A ．0或－12B.12或－6 C ．－12或12D ．0或12思维升华 (1)求解两条直线的平行或垂直问题时要考虑斜率不存在的情况；(2)对解题中可能出现的特殊情况，可用数形结合的方法分析研究．跟踪演练1 已知A (3,1)，B (－1,2)两点，若∠ACB 的平分线方程为y ＝x ＋1，则AC 所在的直线方程为( ) A ．y ＝2x ＋4 B ．y ＝12x －3C ．x －2y －1＝0D ．3x ＋y ＋1＝0热点二 圆的方程及应用1．圆的标准方程当圆心为(a ，b )，半径为r 时，其标准方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2，特别地，当圆心在原点时，方程为x 2＋y 2＝r 2. 2．圆的一般方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，其中D 2＋E 2－4F >0，表示以(－D 2，－E2)为圆心，D 2＋E 2－4F 2为半径的圆．例2 (1)若圆C 经过(1,0)，(3,0)两点，且与y 轴相切，则圆C 的方程为( ) A ．(x －2)2＋(y ±2)2＝3 B ．(x －2)2＋(y ±3)2＝3 C ．(x －2)2＋(y ±2)2＝4 D ．(x －2)2＋(y ±3)2＝4(2)已知圆M 的圆心在x 轴上，且圆心在直线l 1：x ＝－2的右侧，若圆M 截直线l 1所得的弦长为23，且与直线l 2：2x －5y －4＝0相切，则圆M 的方程为( ) A ．(x －1)2＋y 2＝4 B ．(x ＋1)2＋y 2＝4 C ．x 2＋(y －1)2＝4D ．x 2＋(y ＋1)2＝4思维升华 解决与圆有关的问题一般有两种方法：(1)几何法，通过研究圆的性质、直线和圆、圆与圆的位置关系，进而求得圆的基本量和方程；(2)代数法，即用待定系数法先设出圆的方程，再由条件求得各系数．跟踪演练2 (1)(2015·赣州九校联考)经过点A (5,2)，B (3，－2)，且圆心在直线2x －y －3＝0上的圆的方程为________________．(2)已知直线l 的方程是x ＋y －6＝0，A ，B 是直线l 上的两点，且△OAB 是正三角形(O 为坐标原点)，则△OAB 外接圆的方程是____________________．热点三 直线与圆、圆与圆的位置关系1．直线与圆的位置关系：相交、相切和相离，判断的方法主要有点线距离法和判别式法． (1)点线距离法：设圆心到直线的距离为d ，圆的半径为r ，则d <r ⇔直线与圆相交，d ＝r ⇔直线与圆相切，d >r ⇔直线与圆相离．(2)判别式法：设圆C ：(x －a )2＋(y －b )2＝r 2，直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0，方程组⎩⎪⎨⎪⎧Ax ＋By ＋C ＝0，(x －a )2＋(y －b )2＝r 2消去y ，得关于x 的一元二次方程根的判别式Δ，则直线与圆相离⇔Δ<0，直线与圆相切⇔Δ＝0，直线与圆相交⇔Δ>0.2．圆与圆的位置关系有五种，即内含、内切、相交、外切、外离．设圆C 1：(x －a 1)2＋(y －b 1)2＝r 21，圆C 2：(x －a 2)2＋(y －b 2)2＝r 22，两圆心之间的距离为d ，则圆与圆的五种位置关系的判断方法如下： (1)d >r 1＋r 2⇔两圆外离；(2)d ＝r 1＋r 2⇔两圆外切； (3)|r 1－r 2|<d <r 1＋r 2⇔两圆相交； (4)d ＝|r 1－r 2|(r 1≠r 2)⇔两圆内切； (5)0≤d <|r 1－r 2|(r 1≠r 2)⇔两圆内含．例3 (1)已知直线2x ＋(y －3)m －4＝0(m ∈R )恒过定点P ，若点P 平分圆x 2＋y 2－2x －4y －4＝0的弦MN ，则弦MN 所在直线的方程是( ) A ．x ＋y －5＝0 B ．x ＋y －3＝0 C ．x －y －1＝0D ．x －y ＋1＝0(2)已知P (x ，y )是直线kx ＋y ＋4＝0(k >0)上一动点，P A ，PB 是圆C ：x 2＋y 2－2y ＝0的两条切线，A ，B 是切点，若四边形P ACB 的最小面积是2，则k 的值为( ) A ．3 B.212C ．2 2D ．2 思维升华 (1)讨论直线与圆及圆与圆的位置关系时，要注意数形结合，充分利用圆的几何性质寻找解题途径，减少运算量．(2)圆上的点与圆外点的距离的最值问题，可以转化为圆心到点的距离问题；圆上的点与直线上点的距离的最值问题，可以转化为圆心到直线的距离问题；圆上的点与另一圆上点的距离的最值问题，可以转化为圆心到圆心的距离问题．跟踪演练3 (1)已知在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为x 2＋y 2＝－2y ＋3，直线l 过点(1,0)且与直线x －y ＋1＝0垂直．若直线l 与圆C 交于A 、B 两点，则△OAB 的面积为( ) A ．1 B. 2 C ．2 D ．2 2(2)两个圆C 1：x 2＋y 2＋2ax ＋a 2－4＝0(a ∈R )与C 2：x 2＋y 2－2by －1＋b 2＝0(b ∈R )恰有三条公切线，则a ＋b 的最小值为( ) A ．－6 B ．－3 C ．－3 2 D ．31．已知圆C 关于y 轴对称，经过点(1,0)且被x 轴分成两段弧长比为1∶2，则圆C 的方程为( ) A ．(x ±33)2＋y 2＝43B．(x±33)2＋y2＝13C．x2＋(y±33)2＝43D．x2＋(y±33)2＝132．已知点A(－2,0)，B(0,2)，若点C是圆x2－2ax＋y2＋a2－1＝0上的动点，△ABC面积的最小值为3－2，则a的值为()A．1 B．－5C．1或－5 D．53．若圆x2＋y2＝4与圆x2＋y2＋ax＋2ay－9＝0(a>0)相交，公共弦的长为22，则a＝________.提醒：完成作业专题六第1讲二轮专题强化练专题六 第1讲 直线与圆A 组 专题通关1．直线l 过点(－1,2)且与直线2x －3y －1＝0垂直，则l 的方程是( ) A ．3x ＋2y －1＝0 B ．3x ＋2y ＋7＝0 C ．2x －3y ＋5＝0D ．2x －3y ＋8＝02．若直线y ＝kx ＋2k 与圆x 2＋y 2＋mx ＋4＝0至少有一个交点，则m 的取值范围是( ) A ．[0，＋∞) B ．[4，＋∞) C ．(4，＋∞)D ．[2,4]3．过P (2,0)的直线l 被圆(x －2)2＋(y －3)2＝9截得的线段长为2时，直线l 的斜率为( ) A ．±24B ．±22C ．±1D ．±334．若圆O ：x 2＋y 2＝4与圆C ：x 2＋y 2＋4x －4y ＋4＝0关于直线l 对称，则直线l 的方程是( ) A ．x ＋y ＝0 B ．x －y ＝0 C ．x －y ＋2＝0D ．x ＋y ＋2＝05．已知圆C 1：(x －2)2＋(y －3)2＝1，圆C 2：(x －3)2＋(y －4)2＝9，M ，N 分别是圆C 1，C 2上的动点，P 为x 轴上的动点，则|PM |＋|PN |的最小值为( ) A ．52－4 B.17－1 C ．6－2 2D.176．已知圆O ：x 2＋y 2＝5，直线l ：x cos θ＋y sin θ＝1(0<θ<π2)．设圆O 上到直线l 的距离等于1的点的个数为k ，则k ＝________.7．(2014·湖北)直线l 1：y ＝x ＋a 和l 2：y ＝x ＋b 将单位圆C ：x 2＋y 2＝1分成长度相等的四段弧，则a 2＋b 2＝____.8．(2015·湖北)如图，已知圆C 与x 轴相切于点T (1,0)，与y 轴正半轴交于两点A ，B (B 在A 的上方)，且|AB |＝2.(1)圆C 的标准方程为_____________________________． (2)圆C 在点B 处的切线在x 轴上的截距为________．9．已知点A (3,3)，B (5,2)到直线l 的距离相等，且直线l 经过两直线l 1：3x －y －1＝0和l 2：x ＋y －3＝0的交点，求直线l 的方程．10．(2015·课标全国Ⅰ)已知过点A (0,1)且斜率为k 的直线l 与圆C ：(x －2)2＋(y －3)2＝1交于M ，N 两点． (1)求k 的取值范围；(2)若OM →·ON →＝12，其中O 为坐标原点，求|MN |.B 组 能力提高11．圆心在曲线y ＝2x (x >0)上，与直线2x ＋y ＋1＝0相切，则面积最小的圆的方程为( )A ．(x －2)2＋(y －1)2＝25B ．(x －2)2＋(y －1)2＝5C ．(x －1)2＋(y －2)2＝25D ．(x －1)2＋(y －2)2＝512．已知圆面C ：(x －a )2＋y 2≤a 2－1的面积为S ，平面区域D ：2x ＋y ≤4与圆面C 的公共区域的面积大于12S ，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，2)B ．(－∞，0)∪(0，＋∞)C ．(－1,1)D ．(－∞，－1)∪(1,2)13．(2015·辽宁师范大学附中期中)若圆x 2＋y 2－4x －4y －10＝0上恰有三个不同的点到直线l ：y ＝kx 的距离为22，则k ＝________.14．已知圆C ：(x －1)2＋(y －2)2＝25，直线l ：(2a ＋1)x ＋(a ＋1)y －7a －4＝0，其中a ∈R . (1)求证：不论实数a 取何值，直线l 和圆C 恒有两个交点； (2)求直线l 被圆C 截得的线段最短时，直线l 的方程和最短的弦长； (3)求过点M (6，－4)且与圆C 相切的直线方程．学生用书答案精析专题六 解析几何第1讲 直线与圆高考真题体验1．D [∵圆方程可化为(x －1)2＋(y －1)2＝1，∴该圆是以(1,1)为圆心，以1为半径的圆，∵直线3x ＋4y ＝b 与该圆相切，∴|3×1＋4×1－b |32＋42＝1，解得b ＝2或b ＝12，故选D.]2．2 解析 如图，过O 点作OD ⊥AB 于D 点，在Rt △DOB 中，∠DOB ＝60°， ∴∠DBO ＝30°，又|OD |＝|3×0－4×0＋5|5＝1，∴r ＝2|OD |＝2.3．4±15解析 圆心C (1，a )到直线ax ＋y －2＝0的距离为|a ＋a －2|a 2＋1.因为△ABC 为等边三角形，所以|AB |＝|BC |＝2，所以(|a ＋a －2|a 2＋1)2＋12＝22，解得a ＝4±15.4．[－1,1]解析 如图，过点M 作⊙O 的切线， 切点为N ，连接ON . M 点的纵坐标为1， MN 与⊙O 相切于点N . 设∠OMN ＝θ，则θ≥45°， 即sin θ≥22，即ON OM ≥22. 而ON ＝1，∴OM ≤ 2. ∵M (x 0,1)，∴x 20＋1≤2，∴x 20≤1，∴－1≤x 0≤1，∴x 0的取值范围为[－1,1]． 热点分类突破 例1 (1)C (2)B解析 (1)当k ＝4时，直线l 1的斜率不存在，直线l 2的斜率存在，则两直线不平行；当k ≠4时，两直线平行的一个必要条件是3－k 4－k ＝k －3，解得k ＝3或k ＝5.但必须满足1k －4≠32(截距不相等)才是充要条件，经检验知满足这个条件． (2)依题意，得|3m ＋5|m 2＋1＝|－m ＋7|m 2＋1. 所以|3m ＋5|＝|m －7|. 所以(3m ＋5)2＝(m －7)2， 所以8m 2＋44m －24＝0. 所以2m 2＋11m －6＝0. 所以m ＝12或m ＝－6.跟踪演练1 C [由题意可知，直线AC 和直线BC 关于直线y ＝x ＋1对称．设点B (－1,2)关于直线y ＝x ＋1的对称点为B ′(x 0，y 0)，则有⎩⎪⎨⎪⎧y 0－2x 0＋1＝－1，y 0＋22＝x 0－12＋1⇒⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝1，y 0＝0，即B ′(1,0)．因为B ′(1,0)在直线AC 上，所以直线AC 的斜率为k ＝1－03－1＝12，所以直线AC 的方程为y －1＝12(x －3)，即x －2y －1＝0. 故C 正确．] 例2 (1)D (2)B解析 (1)因为圆C 经过(1,0)，(3,0)两点，所以圆心在直线x ＝2上，又圆与y 轴相切，所以半径r ＝2，设圆心坐标为(2，b )，则(2－1)2＋b 2＝4，b 2＝3，b ＝±3，所以选D. (2)由已知，可设圆M 的圆心坐标为(a,0)，a >－2，半径为r ，得⎩⎪⎨⎪⎧(a ＋2)2＋(3)2＝r 2，|2a －4|4＋5＝r ，解得满足条件的一组解为⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，r ＝2，所以圆M 的方程为(x ＋1)2＋y 2＝4.故选B.跟踪演练2 (1)(x －2)2＋(y －1)2＝10 (2)(x －2)2＋(y －2)2＝8 解析 (1)由题意知K AB ＝2，AB 的中点为(4,0)， 设圆心为C (a ，b )，∵圆过A (5,2)，B (3，－2)两点， ∴圆心一定在线段AB 的垂直平分线上．则⎩⎨⎧b a －4＝－12，2a －b －3＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝1∴C (2,1)，∴r ＝|CA |＝(5－2)2＋(2－1)2＝10.∴所求圆的方程为(x －2)2＋(y －1)2＝10.(2)设△OAB 的外心为C ，连接OC ，则易知OC ⊥AB ，延长OC 交AB 于点D ，则|OD |＝32，且△AOB 外接圆的半径R ＝|OC |＝23|OD |＝2 2.又直线OC 的方程是y ＝x ，容易求得圆心C 的坐标为(2,2)，故所求圆的方程是(x －2)2＋(y －2)2＝8. 例3 (1)A (2)D解析 (1)对于直线方程2x ＋(y －3)m －4＝0(m ∈R )，取y ＝3，则必有x ＝2，所以该直线恒过定点P (2,3)．设圆心是C ，则易知C (1,2)， 所以k CP ＝3－22－1＝1，由垂径定理知CP ⊥MN ，所以k MN ＝－1. 又弦MN 过点P (2,3)，故弦MN 所在直线的方程为y －3＝－(x －2)， 即x ＋y －5＝0.(2)如图，把圆的方程化成标准形式得x 2＋(y －1)2＝1，所以圆心为(0,1)，半径为r ＝1，四边形P ACB 的面积S ＝2S △PBC ，所以若四边形P ACB 的最小面积是2，则S △PBC 的最小值为1.而S △PBC ＝12r ·|PB |，即|PB |的最小值为2，此时|PC |最小，|PC |为圆心到直线kx ＋y ＋4＝0的距离d ，此时d ＝|5|k 2＋1＝12＋22＝5，即k 2＝4，因为k >0，所以k ＝2. 跟踪演练3 (1)A (2)C解析 (1)因为圆C 的标准方程为x 2＋(y ＋1)2＝4，圆心为C (0，－1)，半径r ＝2，直线l 的斜率为－1，其方程为x ＋y －1＝0.圆心C 到直线l 的距离d ＝|0－1－1|2＝2，弦长|AB |＝2r 2－d 2＝24－2＝22，又坐标原点O 到线段AB 的距离为12， 所以S △OAB ＝12×22×12＝1，故选A.(2)两个圆恰有三条公切线，则两圆外切，两圆的标准方程分别为圆C 1：(x ＋a )2＋y 2＝4， 圆C 2：x 2＋(y －b )2＝1， 所以|C 1C 2|＝a 2＋b 2＝2＋1＝3，即a 2＋b 2＝9.由(a ＋b 2)2≤a 2＋b 22，得(a ＋b )2≤18，所以－32≤a ＋b ≤32，当且仅当“a ＝b ”时取“＝”．所以选C. 高考押题精练1．C [由已知得圆心在y 轴上，且被x 轴所分劣弧所对圆心角为23π.设圆心坐标为(0，a )，半径为r ， 则r sin π3＝1，r cos π3＝|a |，解得r ＝23，即r 2＝43，|a |＝33，即a ＝±33， 故圆C 的方程为x 2＋(y ±33)2＝43.故应选C.]2．C [圆的标准方程为(x －a )2＋y 2＝1，圆心M (a,0)到直线AB ：x －y ＋2＝0的距离为d ＝|a ＋2|2，圆上的点到直线AB 的最短距离为 d －1＝|a ＋2|2－1，(S △ABC )min ＝12×22×|a ＋2|－22＝3－2，解得a ＝1或－5.]3.102解析 联立两圆方程⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＝4，x 2＋y 2＋ax ＋2ay －9＝0，可得公共弦所在直线方程为 ax ＋2ay －5＝0，故圆心(0,0)到直线ax ＋2ay －5＝0的距离为|－5|a 2＋4a 2＝5a(a >0)． 故222－(5a )2＝22，解得a 2＝52， 因为a >0，所以a ＝102.二轮专题强化练答案精析专题六 解析几何第1讲 直线与圆1．A [方法一 由题意可得l 的斜率为－32，所以直线l 的方程为y －2＝－32(x ＋1)，即3x ＋2y －1＝0.方法二 设直线l 的方程为3x ＋2y ＋C ＝0，将点(－1,2)代入，得C ＝－1， 所以l 的方程是3x ＋2y －1＝0.]2．C [由y ＝k (x ＋2)得直线恒过定点(－2,0)，因此可得点(－2,0)必在圆内或圆上，故有(－2)2＋02－2m ＋4≤0⇒m ≥4.又由方程表示圆的条件，故有m 2－4×4>0⇒m <－4或m >4.综上可知m >4.故选C.]3．A [由题意得直线l 的斜率存在，设为k ，则直线l 的方程为y ＝k (x －2)，即kx －y －2k ＝0.由点到直线的距离公式得，圆心到直线l 的距离d ＝|2k －3－2k |k 2＋1＝3k 2＋1，由圆的性质可得d 2＋12＝r 2， 即(3k 2＋1)2＋12＝9， 解得k 2＝18，即k ＝±24.]4．C [圆x 2＋y 2＋4x －4y ＋4＝0，即(x ＋2)2＋(y －2)2＝4，圆心C 的坐标为(－2,2)． 直线l 过OC 的中点(－1,1)，且垂直于直线OC ，易知k OC ＝－1，故直线l 的斜率为1，直线l 的方程为y －1＝x ＋1，即x －y ＋2＝0. 故选C.]5．A [两圆的圆心均在第一象限，先求|PC 1|＋|PC 2|的最小值，作点C 1关于x 轴的对称点C 1′(2，－3)，则(|PC 1|＋|PC 2|)min ＝|C 1′C 2|＝52，所以(|PM |＋|PN |)min ＝52－(1＋3)＝52－4.] 6．4解析 圆心O 到直线l 的距离d ＝1cos 2θ＋sin 2θ＝1，而圆O 半径为5，所以圆O 上到l 的距离等于1的点有4个． 7．2解析 依题意，不妨设直线y ＝x ＋a 与单位圆相交于A ，B 两点， 则∠AOB ＝90°.如图，此时a ＝1， b ＝－1， 满足题意， 所以a 2＋b 2＝2.8．(1)(x －1)2＋(y －2)2＝2 (2)－2－1解析 (1)由题意，设圆心C (1，r )(r 为圆C 的半径)，则r 2＝⎝⎛⎭⎫|AB |22＋12＝2，解得r ＝ 2.所以圆C 的方程为(x －1)2＋(y －2)2＝2. (2)方法一 令x ＝0，得y ＝2±1，所以点B (0，2＋1)．又点C (1，2)，所以直线BC 的斜率为k BC ＝－1，所以过点B 的切线方程为y －(2＋1)＝x －0，即y ＝x ＋(2＋1)． 令y ＝0，得切线在x 轴上的截距为－2－1. 方法二 令x ＝0，得y ＝2±1，所以点B (0，2＋1)．又点C (1，2)，设过点B 的切线方程为y －(2＋1)＝kx ，即kx －y ＋(2＋1)＝0.由题意，得圆心C (1，2)到直线kx －y ＋(2＋1)＝0的距离d ＝|k －2＋2＋1|k 2＋1＝r ＝2，解得k ＝1.故切线方程为x －y ＋(2＋1)＝0.令y ＝0，得切线在x 轴上的截距为－2－1.9．解 解方程组⎩⎪⎨⎪⎧3x －y －1＝0，x ＋y －3＝0，得交点P (1,2)．①若点A ，B 在直线l 的同侧，则l ∥AB . 而k AB ＝3－23－5＝－12，由点斜式得直线l 的方程为 y －2＝－12(x －1)，即x ＋2y －5＝0.②若点A ，B 分别在直线l 的异侧，则直线l 经过线段AB 的中点(4，52)，由两点式得直线l 的方程为y －2x －1＝52－24－1，即x －6y ＋11＝0.综上所述，直线l 的方程为 x ＋2y －5＝0或x －6y ＋11＝0.10．解 (1)由题设，可知直线l 的方程为y ＝kx ＋1， 因为l 与C 交于两点，所以|2k －3＋1|1＋k 2<1.解得4－73<k <4＋73.所以k 的取值范围为⎝⎛⎭⎪⎫4－73，4＋73.(2)设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)．将y ＝kx ＋1代入方程(x －2)2＋(y －3)2＝1， 整理得(1＋k 2)x 2－4(1＋k )x ＋7＝0.所以x 1＋x 2＝4(1＋k )1＋k 2，x 1x 2＝71＋k 2. OM →·ON →＝x 1x 2＋y 1y 2 ＝(1＋k 2)x 1x 2＋k (x 1＋x 2)＋1 ＝4k (1＋k )1＋k 2＋8.由题设可得4k (1＋k )1＋k 2＋8＝12，解得k ＝1， 所以l 的方程为y ＝x ＋1. 故圆心C 在l 上，所以|MN |＝2.11．D [设圆心坐标为C (a ，2a )(a >0)，则半径r ＝2a ＋2a ＋15≥22a ×2a＋15＝5， 当且仅当2a ＝2a，即a ＝1时取等号．所以当a ＝1时圆的半径最小，此时r ＝5，C (1,2)，所以面积最小的圆的方程为(x －1)2＋(y －2)2＝5，故选D.]12．D [依题意并结合图形分析可知(图略)，圆面C ：(x －a )2＋y 2≤a 2－1的圆心(a,0)应在不等式2x ＋y ≤4表示的平面区域内，且(a,0)不在直线2x ＋y ＝4上，即有⎩⎪⎨⎪⎧a 2－1>0，2a ＋0<4，由此解得a <－1或1<a <2.因此，实数a 的取值范围是(－∞，－1)∪(1,2)．] 13．2±3解析 x 2＋y 2－4x －4y －10＝0， 即(x －2)2＋(y －2)2＝18， 其圆心为C (2,2)，半径为r ＝3 2.圆x 2＋y 2－4x －4y －10＝0上恰有三个不同的点到直线l ：y ＝kx 的距离为22，应满足图中A ，B ，D 到直线l ：y ＝kx 的距离为22，所以，C (2,2)到直线l ：y ＝kx 的距离为32－|2k －2|1＋k2＝22，整理得k 2－4k ＋1＝0，解得k ＝2±3.14．(1)证明 方法一 在直线l 的方程中，分别取a ＝0，a ＝－1，得x ＋y －4＝0，－x ＋3＝0，联立方程得直线l 恒过定点N (3,1)． 因圆心C 的坐标为(1,2)， 圆C 的半径为r ＝5， |CN |＝(3－1)2＋(1－2)2＝5<5，故点N 在圆C 内，所以，不论实数a 取何值，直线l 和圆C 恒有两个交点． 方法二 直线l 的方程可以化为(2x ＋y －7)a ＋x ＋y －4＝0，由a 的任意性得⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y －7＝0，x ＋y －4＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝1.所以直线l 恒过定点N (3,1)．下面的解答过程与方法一相同． (2)解 当l ⊥CN 时，直线l 被圆C 截得的线段最短． 因为k CN ＝2－11－3＝－12，所以－2a ＋1a ＋1＝2，解得a ＝－34，这时，直线l 的方程为2x －y －5＝0.又|CN|＝5，r＝5，所以半弦长为52－5＝25，最短的弦长为4 5.(3)解因为(6－1)2＋(－4－2)2>25，所以M(6，－4)在圆外，过点M(6，－4)且与圆C相切的直线有两条．当斜率不存在时，所求的切线为x＝6；当斜率存在时，设所求的切线方程为y＋4＝k(x－6)，即kx－y－6k－4＝0，由|k－2－6k－4|k2＋1＝5，得k＝－1160，这时，所求的切线方程为11x＋60y＋174＝0.综上，所求的直线方程为x＝6或11x＋60y＋174＝0.。