1.分式的概念
1.分式的概念与基本性质(整理)
2 x 10x 2x 2 x( x 5) 2 x 5 ( x 5)(x 5) x 25
3 x 15x 3x 3x( x 5) 2 x 5 ( x 5)(x 5) x 25
2
2
x 与 (3) 2 4 2 x 4 x
解： （3）最简公分母是
x x-2
x-1 4x+1
练习：当x取什么值时,下列分式无意义 ?
3 x 1 , x 1 . x 2 x 5
当m取何值时,下列分式的值为零?
m m 1 1 2 m2 4m 1 m 1 m 2 3 m2
分式 当y 当y
当y
y +2 y-3
，
时，分式有意义； 时，分式没有意义；
分式的通分
与分数的通分类似，也可以利用 分式的基本性质，使分子和分母同乘 适当的整式，不改变分式的值，把 分式变形叫做分式的通分。
2a b 和 2 化成相同分母的分式，这样的 a ab ab
把各分式化成相同 3 分母的分式叫做 a b （ 1） 2 2 b 与 a 2 c 分式的通分. a b 1 x 2x 3x 与 2 （ 2） x 5 与 (3) 4 2 x 4 x5 x
2 1 , 已知分式 3 x 2 12 x 2，其中m是这两个分式中分母的公因式，n是
这两个分式的最简公分母，且则x= .
时，分式的值为0。
1、分式的概念； 2、什么情况下分式有意义、 无意义？ 3、什么情况下分式的值为零？
分式的基本性质 ------约分
与通分
分式的基本性质
分式的分子与分母同乘（或除以） 一个不等于０的整式，分式的值不变。
用式子表示为：
分式讲义(一))
分式讲义（一）一、知识点： 1．分式的概念：（1）分式的定义：一般地A ，B 是两个_______，且_____中含有字母，那么BA 叫分式（2）分式有意义的条件是___________不等于0 （3）分式无意义的条件是___________等于0（4）分式为零的条件是________不等于0，且_________等于0 2．分式的基本性质：（1）分式的分子分母同乘（或除以）一个__________________，分式的值_________ （2）分子，分母的公因式,系数的_________与各______因式的_________的积（3）各分式的最简公分母，各分母系数的___________与_______因式___________的积 3．分式的运算法则：（1）乘法法则________________________________________ （2）除法法则________________________________________ 二、范例讲解：题型一：考查分式的定义【例1】下列代数式中：yx y x yx yxba b a y x x -++-+--1,,,21,22π，是分式的有： .题型二：考查分式有意义的条件【例2】当x 有何值时，下列分式有意义（1）44+-x x （2）232+xx （3）122-x（4）3||6--x x （5）xx 11-题型三：考查分式的值为0的条件【例3】当x 取何值时，下列分式的值为0.（1）31+-x x （2）42||2--xx （3）653222----x xx x题型四：考查分式的值为正、负的条件【例4】（1）当x 为何值时，分式x-84为正；（2）当x 为何值时，分式2)1(35-+-x x 为负；（3）当x 为何值时，分式32+-x x 为非负数.练习：1．当x 取何值时，下列分式有意义：（1）3||61-x （2）1)1(32++-x x （3）x111+2．当x 为何值时，下列分式的值为零：（1）4|1|5+--x x （2）562522+--x x x（二）分式的基本性质及有关题型1．分式的基本性质：MB M A MB M A B A ÷÷=⨯⨯=2．分式的变号法则：ba ba ba ba =--=+--=--题型一：化分数系数、小数系数为整数系数【例1】不改变分式的值，把分子、分母的系数化为整数.（1）yx yx 41313221+-（2）ba b a +-04.003.02.0题型二：分数的系数变号【例2】不改变分式的值，把下列分式的分子、分母的首项的符号变为正号.（1）yx y x --+- （2）ba a ---（3）ba ---题型三：化简求值题【例3】已知：511=+y x ，求yxy x y xy x +++-2232的值.【例4】已知：21=-xx ，求221xx +的值.【例5】若0)32(|1|2=-++-x y x ，求yx 241-的值.练习：1．不改变分式的值，把下列分式的分子、分母的系数化为整数.（1）yx y x 5.008.02.003.0+- （2）ba ba 10141534.0-+2．已知：31=+xx ，求1242++x xx 的值. 3．已知：311=-ba，求aab b b ab a ---+232的值.4．若0106222=+-++b b a a ，求ba b a 532+-的值.（三）分式的运算1．确定最简公分母的方法：①最简公分母的系数，取各分母系数的最小公倍数； ②最简公分母的字母因式取各分母所有字母的最高次幂.2．确定最大公因式的方法：①最大公因式的系数取分子、分母系数的最大公约数；②取分子、分母相同的字母因式的最低次幂.题型一：约分【例2】约分： （1）322016xyy x -； （3）nm mn--22； （3）6222---+x xx x题型二：通分【例1】将下列各式分别通分. （1）cb ac a bab c225,3,2--； （2）ab bb a a22,--；（3）22,21,1222--+--x xx x xx x ； （4）aa -+21,2三、作业：⒈当x 时，分式1223+-x x 有意义；当x 时，分式xx --112的值等于零.⒉分式ab c32、bc a3、acb25的最简公分母是 ；化简：242--x x ＝ .⒊xx 231--=32(_____)-x =－32____)-x （⒋当x 、y 满足关系式________时，)(2)(5y x x y --=－255．若使下列各分式值为零，x 的值分别为：（1）2213xx +-，则x = ；（2）1233--x x ，则x = ；（3）)2)(3(2+--x x x ，则x = ；（4）)1)(3(1+--x x x ，则x = ．6、分式xx ---112的结果是________.7、2241ba 与cab x36的最简公分母是__________.8、b a 1,1,31通分后,它们分别是_________, _________,________. 9、acb b ac c b a 107,23,5422的最简公分母是______,通分时,这三个分式的分子分母依次乘以______, ， 。
1.分式的概念
第十六章 分式 NO.1 从分数到分式主编：雷 杨 审核：初二年级数学组 班别： 姓名： 学习目标:1、能判断一个代数式是否分式，会区别分式和整式。
2、理解和掌握判断一个分式有意义、无意义的方法。
3、分式的值是0的求法。
学习重点：分式的概念学习难念：理解和掌握判断一个分式有意义、无意义的方法。
【复习】1、 判断下列各式是否整式，并说明理由 （1）533+x （2）41-y （3）45+x （4）54+x （5）112-+x x2、求下列函数有意义的x 取值范围 （1）23+=x y （2）142--=x y （3）4352-+=x x y （4）8489++=x x y【新课探究】 思考：（1）如果长方形的面积是S ，长是a ，那么宽是（2）一项工作，如果小李用了()2+x 小时完成，那么小李的工作效率是 （3）AB 两码头相距100km ，船在静水中的速度是20km/h,水流速度是y km/h,那么船顺流航行的时间是 ，逆流航行的时间是上面的答案里，有什么相同点？ 1、 都是两个整式相分式BA 中，A 叫做分子，B 叫做分母。
注意：分式是不同于整式的另一类式子。
分式的分母中一定要含有字母。
练习1、在下列各式中，哪些是整式？哪些是分式？（1）、5x-7 ；（2）、3x 2-1 ；（3）123+-a b ；（4）、7)(p n m +；（5）、—5 ；（6）、1222-+-x yxy x 。
（7）、72；（8）、cb +54。
其中整式有：分式有：由于字母可以代表不同的数，所以分式比分数更有一般性。
我们小学的时候学过，分数有意义的条件是 ，那么我们今天学习的分式有意义的条件是 例1、填空 （1）要使得分式x 32有意义，必须x （2）要使得分式1-x x 有意义，必须x（3）要使得分式y 351-有意义，必须y（4）要使得分式yx y x -+有意义，必须例2、x 为何值时，下列分式的值为0？ （1）、11+-x x ；（2）、392+-x x ；（3）、112+-a a （4）11--x x解：要求分式的值为0，必须 1、 分子等于0 2、 分母不能等于0【本课小结】1、分式的概念是2、分式有意义的条件是3、分式等于0的条件是【课后作业】 1、下列各式中，（1）yx y x -+（2）132+x （3）xx 13-（4）π22yxy x ++（5）14.3--πba （6）0.整式是 ，分式是 。
§17.1.1 分式的概念奇哥OK2
第十七章 分式 第1课时分式的概念教案编写 张思奇 审定 胥洪军教学目标知识与技能目标 使学生经历分式概念的形成过程,了解分式、整式、有理式的概念以及它们区别与联系.过程与方法目标 使学生掌握分式有意义的条件,认识事物的联系与制约关系.情感与态度目标 培养学生对事物用类比的思想方法进行探索分析.教学重点 了解分式的形式 （A 、B 是整式）并理解分式概念中的“一个特点”：分母含有字母；“一个要求”：字母的取值要使分母的值不能为零；教学难点 理解分式中的分母含有字母以及字母的取值要使分母的值不能为零.教学用具 小黑板 教学过程一、创设情境引入新课 ：做一做（1）面积为2平方米的长方形一边长3米，则它的另一边长为_____米； （2）面积为S 平方米的长方形一边长a 米，则它的另一边长为_____米； （3）一箱苹果售价p 元，总重m 千克，箱重n 千克，则每千克苹果的售价是___。
二、合作交流自主探究：形如B A (A 、B 是整式，且B 中含有字母，B ≠0)的式子，叫做分式.其中A 叫做分式的分子,B 叫做分式的分母.注意：在分式中，分母的值不能是零。
整式和分式统称有理式。
例如，在分式aS 中，a ≠0；在分式nm -9中，m ≠n. 一般的，对分式B A 都有：分式有意义 B ≠0. 分式没有意义 B=0. 分式的值为0A=0且B ≠0.三、随堂练习巩固新知：例1、下列各式中，哪些是整式？哪些是分式？（1）x 1； （2）2x ； （3）y x xy +2； （4）33y x -.例2、 当x 取什么值时，下列分式有意义？ （1）2-x x ； （2）141+-x x . (3) 32522-+-x x x分析(3) : 对分式32522-+-x x x ，要使这个分式有意义，就必须满足x 2＋2x －3≠0，即 (x －1)(x ＋3)≠0，∴ x ≠1且x ≠－3,当x ≠1且x ≠－3时,分式32522-+-x x x 才有意义．例3、当x 是什么数时，分式522-+x x 的值是零？四、目标检测形成练习：练习1．下列各式分别回答哪些是整式？哪些是分式？ 52+x ， m n ， 2a-3b, 32-y y , )2)(1(92---x x x ,53- 练习2 分式 23y y +-，当y 时，分式有意义， 当y 时，分式没有意义；当y 时，分式的值为0。
分式(1)(分式概念、基本性质)
分式（1）（分式概念、基本性质） 一、基础知识梳理：1.分式的概念：一般地，如果A ，B 表示两个整式，并且B 中含有字母，那么式子BA做分式。
A 叫做分子，B 叫做分母. 分式的概念要注意以下几点：（1）分式是两个整式相除的商，其中分母是除式，分子是被除式，而分数线则可以理解为除号，还含有括号的作用；（2）分式的分子可以含字母，也可以不含字母，但分母必须含有字母；（3）分式有意义的条件是分母不能为0.2.分式的基本性质：分式的分子分母同时乘以或除以同一个不为0的整式，分式的值不变.3.分式的约分(1)约分的概念：把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫做分式的约分． (2)分式约分的依据：分式的基本性质．(3)分式约分的方法：把分式的分子与分母分解因式，然后约去分子与分母的公因式． 4.最简分式的概念：一个分式的分子与分母没有公因式时，叫做最简分式． 二、针对性练习： （一）、填空题： 1.对于分式122x x -+（1）当________时，分式的值为0 ；（2）当________时，分式的值为1；（3）当________时，分式无意义； （4）当________时，分式有意义.2．填充分子，使等式成立；()222(2)a a a -=++； ()22233x x x -=-+- 3．填充分母，使等式成立：()2223434254x x x x -+-=--- ； ()21a a a c ++=（a ≠0）. 4．化简：233812a b c a bc =_______；6425633224a b c a b c = ；224488a ba b-=- ；223265a a a a ++=++ ；()()x y a y x a --322= . 5.不改变分式的值，把下列各式的分子和分母中各项系数都化为整数：0.010.50.30.04x y x y -=+ ；y x y x 6.02125.054-+= ；=-+b a ba 41323121 . 6.不改变分式的值，使下列各分式的分子、分母中最高次项的系数都是正数：（1）2211x x x y +++-= ； （2）343223324x x x x -+---= .7.（1）已知：34y x =，则2222352235x xy y x xy y-++-= . （2）已知0345x y m==≠，则x y m x y m +++-= . 8.若||x x x x -+-=+123132成立，则x 的取值范围是 . （二）、选择题：9.在下列有理式221121a x x m n x y x y ya b ，，，，++-+-()()中，分式的个数是（ ） A. 1B. 2C. 3D. 410.把分式xx y+（x ≠0，y ≠0）中的分子、分母的x ，y 同时扩大2倍，那么分式的值 （ ） A ．扩大2倍 B ．缩小2倍 C ．改变 D ．不改变 11．下列等式正确的是 （ ）A ．22b b a a =B ．1a b a b -+=--C ．0a b a b +=+D ．0.10.330.22a b a ba b a b--=++12.与分式a ba b-+--相等的是 （ ）A ．a b a b +- B ．a b a b -+ C ．a b a b +-- D a ba b--+ 13．下列等式从左到右的变形正确的是 （ ）A ．b a ＝11b a ++B b bm a am =C ．2ab b a a= D ．22b b a a =14．不改变分式的值，使21233xx x --+-的分子、分母中的最高次项的系数都是正数，则分式可化为 （ ）A ．22133x x x -+- B ．22133x x x +++ C ．22133x x x ++- D ．22133x x x --+ 15．将分式253xyx y -+的分子和分母中的各项系数都化为整数，应为 （ ）A ．235x y x y -+ B ．151535x y x y -+ C ．1530610x y x y -+ D ．253x yx y-+16．下列各式正确的是 （ ）A ．c c a b a b -=-++ B ．c c a b b a -=-+- C ．c c a b a b -=-++ D ．c ca b a b-=-+- 17．不改变分式的值，分式22923a a a ---可变形为 （ ）A ．31a a ++ B ．31a a -- C ．31a a +- D ．31a a -+ 18．不改变分式的值，把分式23427431a a a a a a -++--+-中的分子和分母按a 的升幂排列，是其中最高项系数为正，正确的变形是 （ ）A ．23437431a a a a a a -++-+- B ．23347413a a a a a a -+--++C ．23434731a a a a a a +-+--+-D ．23347413a a a a a a -++--++19.已知a b ，为有理数，要使分式ab的值为非负数，a b ，应满足的条件是（ ） A. a b ≥≠00， B. a b ≤<00，C. a b ≥>00，D. a b ≥>00，，或a b ≤<00，20.已知113a b-=，求2322a ab b a ab b ----的值（ ） A. 12 B. 23 C. 95D. 4（三）、解答题：21.已知：3x y -=20，求x xy y x xy y 2222323-++-的值.22.已知：x x 210--=，求x x441+的值. 23.化简：x x x x x x 32325396512++-++-. 24.把分式1882483222a b ab a b++++化为一个整式和一个分子为常数的分式的和，并且求出这个整式与分式的乘积等于多少？25. 已知：x y y y +=--=22402，，求y xy-的值.26. 已知：a b c ++=0，求a b c b c a c a b()()()1111113++++++的值. 27.已知：,ac zc b y b a x -=-=-求z y x ++的值.28.已知：,0,1=++=++z cy b x a c z b y a x 求222222cz b y a x ++的值.。
分式1 分式定义和分式的基本性质
分式定义和分式的基本性质一、基础知识：1. 分式定义:（1）、代数式：用运算符号（包括加、减、乘、除、乘方、开方）把数或表示数的字母连结而成的式子叫做代数式；单独一个数或一个字母 代数式；（2）、单项式：只含 运算的代数式叫做单项式；单独一个数或一个字母 单项式； 单项式中的叫做单项式的系数，单项式中所有字母指数的叫做单项式的次数；（3）、多项式：几个 的和叫做多形式；多形式中的每个单项式叫做多形式的 ，多形式里含有几项，就把这个多形式叫做 ，其中次数最高的项的次数叫做这个多形式的 ，不含字母的项叫做 ； （4）、整式： 和 统称为整式；（5）、分式:一般地，如果A 、B 表示两个整式，并且B 中含有 ，那么代数式 叫做分式，其中A 是分式的分子，B 是分式的分母。
2.分式的基本性质：（1）、分式的基本性质：分式的分子和分母都乘（或除以） 一个不等于 的整式，分式的值 ； 即A B =A×CB×C , A B =A÷CB÷C （其中C 是不等于0的整式）； （2）、有关概念：①分式的约分：根据分式的基本性质，把一个分式的分子和分母分别除以它们的 ，叫做分式的约分；约分的目的是把分式 ；②最简分式：分子和分母没有 的分式叫做最简分式；③分式的通分：根据分式的基本性质，把几个 分母的分式变形成 分母的分式，叫做分式的通分，变形后的分母叫做这几个分式的公分母；④最简公分母：几个分式中各分母系数（都是整数）的最小 与所有字母的最高次幂的 叫做这几个分式的最简公分母。
二、经典例题： 题型一：考查分式的定义例1、下列代数式中：yx yx y x y x b a b a y x x -++-+--1,,,21,22π，分式有： 个。
变式训练：下列各式中哪些是分式：9x+4, x 7 , 209y +, 54-m , 238y y -，91-x题型二：考查分式有意义的条件 例2、当x 有何值时，下列分式有意义（1）44+-x x （2）122-x （3）xx 11-变式训练：当x 有何值时，下列分式有意义 （1）232+x x（2）3||6--x x题型三：考查分式的值为0的条件 例3、当x 取何值时，下列分式的值为0. （1）31+-x x（2）42||2--x x （3）653222----x x x x变式训练：当x 取何值时，下列分式的值为0. （1）x x 37+ （2）xx 3217- （3）x 2−1x 2−x题型四：考查分式的值为正、负的条件例4、（1）当x 时，分式x-84为正； （2）当x 时，分式2)1(35-+-x x 为负；变式训练：当x 时，分式32+-x x 为非负数. 题型五：化分数系数、小数系数为整数系数例5、不改变分式的值，把分子、分母的系数化为整数. （1）y x yx 41313221+- （2）ba ba +-04.003.02.0变式训练：不改变分式的值，把分子、分母的系数化为整数. yx yx 5.008.02.003.0+-题型六：分数的系数变号例6、不改变分式的值，把下列分式的分子、分母的首项的符号变为正号. （1）yx yx --+- （2）ba a---（3）b a ---变式训练：不改变分式的值，使下列分式的分子和分母都不含“-”号.(1) 233ab y x -- (2) 2317ba ---题型七：约分例7、将下列各式 化为最简分式：（1）c ab bc a 2321525- （2）96922++-x x x （3）yx y xy x 33612622-+-变式训练：将下列各式 化为最简分式：（1）ac bc 2 （2）22)(y x xyx ++ (3)b a b ab a +++36922题型八：通分例8、通分：（1）xab ,yac ; (2)yx (y +1) ,xy (y +1); (3)aab−b ,bab +a.变式训练：通分:（1）cb ac a b ab c 225,3,2--； （2）a b b b a a 22,--；题型九：化简求值题例9、已知：511=+y x ，求yxy x yxy x +++-2232的值. 变式训练：已知：311=-b a ，求a ab b b ab a ---+232的 ;例10、已知：21=-x x ，求221xx +的值. 变式训练：已知：31=+x x ，求1242++x x x 的值.例11、若0)32(|1|2=-++-x y x ，求yx 241-的值.变式训练：若0106222=+-++b b a a ，求ba ba 532+-的值.三、巩固练习：1．当x 取何值时，下列分式有意义：（1）3||61-x（2）1)1(32++-x x2．当x 为何值时，下列分式的值为零： （1）4|1|5+--x x（2）562522+--x x x3．解下列不等式 （1）012||≤+-x x （2）03252>+++x x x4．不改变分式的值，把分式b a ba 10141534.0-+的分子、分母的系数化为整数. 5．如果21<<x ，试化简x x --2|2|xx x x |||1|1+---.6.分式11−x ,11+x ,12x1+x 的最简公分母为四、课后作业：1．当x 取何值时，分式x111+有意义：2当x 为何值时，分式 的值为零x x x --213.约分： （1）2)(xy yy x + （2）222)(y x y x --（3）b a abc ab 22369+ (4)122362+-x x4.通分：（1）22,21,1222--+--x x x x xx x ； （2）aa -+21,25．已知：31=+x x ，求1242++x x x 的值.。
八上数学第一章知识点总结
第１章 分式一、分式的概念１、分式的定义：如果Ａ、Ｂ表示两个整式，并且Ｂ中含有字母，那么式子叫做分式。
３、分式有意义、无意义的条件（１）分式有意义的条件：分式的分母不等于０；（２）分式无意义的条件：分式的分母等于０。
４、分式的值为０的条件：当分式的分子等于０，而分母不等于０时，分式的值为０。
即，使的条件是：Ａ＝０，Ｂ≠０。
二、分式的基本性质通分：利用分式的基本性质，使分子和分母都乘以适当的整式，不改变分式的值，把几个异分母分式化成同分母的分式，这样的分式变形叫做分式的通分。
通分的关键是：确定几个分式的最简公分母。
确定最简公分母的一般方法是：（１）如果各分母都是单项式，那么最简公分母就是各系数的最小公倍数、相同字母的最高次幂、所有不同字母及指数的积。
（２）如果各分母中有多项式，就先把分母是多项式的分解因式，再参照单项式求最简公分母的方法，从系数、相同因式、不同因式三个方面去确定。
约分：根据分式的基本性质，约去分式的分子和分母的公因式，不改变分式的值，这样的分式变形叫做分式的约分。
在约分时要注意：（１）如果分子、分母都是单项式，那么可直接约去分子、分母的公因式，即约去分子、分母系数的最大公约数，相同字母的最低次幂；（２）如果分子、分母中至少有一个多项式就应先分解因式，然后找出它们的公因式再约分；（３）约分一定要把公因式约完。
三、分式的符号法则：（１）；（２）四、分式的乘除法两个分式相乘，把分子相乘的积作为积的分子，分母相乘的积作为积的分母；两个分式相除，把除式的分子、分母颠倒位置后再与被除式相乘．即：应用法则时要注意：（１）分式中的符号法则与有理数乘除法中的符号法则相同，即“同号得正，异号得负，多个负号出现看个数，奇负偶正”；（２）当分子分母是多项式时，应先进行因式分解，以便约分；（３）分式乘除法的结果要化简到最简的形式。
八上数学第一章知识点总结１、定义：任何不等于零的实数的零次幂都等于１，即ａ°＝１（ａ≠０）。
第3章 分式(第1—2节)
例6、如果把分式 中的x、y的值都扩大2倍，那么分式的值（）
A.扩大2倍B.扩大6倍C.扩大3倍D.不变
【思路分析】分子分母中的各项都扩大相同的倍数，实际就是将分子和分母同时乘以相同的数（不为零），分式的值不变.
解：D
方法与规律：理解分式的基本性质是解决问题的关键.
考点三：分式的乘除法
例7、计算：（1）
教师：_万老师_____学生：______时间:_____年___月___日段
课题：分式
授课目的与考点分析：1、分式的基本性质，相关概念及运算。2、正确运用分式乘除法则进行分式的乘除运算。
重、难点：1、分式的概念和分式的基本性质的理解和运用。
2、正确找出分式的分子、分母的最高公因式，用约分运算化简分式。
2、分式的基本性质：
（1） 分子、分母同时乘以c（c≠0）
分式的分子与分母都乘以这个c（c≠0）整式，分式的值没有改变，根据这条性质可以对分式进行变形.
（2） 分子、分母同时除以c（c≠0）
分式的分子与分母都除以这个c（c≠0）整式，分式的值没有改变，根据这条性质可以对分式进行变形.
分式的约分：把一个分式的分子和分母的公因式约去，这种变形称为分式的约分.
最简分式：分式的分子与分母没有公因式的分式称为最简分式.
注意：化简分式时，通常要使结果成为最简分式或者整式.
3、分式的乘除法：
分式的乘法运算法则：两个分式相乘，把分子相乘的积作积的分子，把分母相乘的积作积的分母.如果分式的分子与分母都是多项式，先给它们分解因式，约分，然后相乘.
分式的除法法则：两个分式相除，把除式的分子和分母颠倒位置后再与被除式相乘.
解：－1
方法与规律：分式值为零的条件是分子=0，分母≠0.
分式及其运算
分式及其运算
一、分式的概念
分式是用一个数除以另一个非零数所得的商。
分式由分子和分母两部分组成,用斜线"/"或水平线"—"隔开,如3/5或3—5。
其中,分子是被除数,分母是除数。
二、分式的基本运算
1. 分式的加减法
- 同分母分式的加减法:只需将分子相加或相减,分母保持不变。
- 异分母分式的加减法:先通分,使分母相同,再将分子相加或相减。
2. 分式的乘法
- 分式相乘时,分子相乘,分母相乘。
3. 分式的除法
- 分式除法可以通过乘以另一个分式的倒数来实现。
4. 分式的化简
- 分子和分母都除以它们的最大公因数,可以化简分式。
三、分式的应用
分式在日常生活和学习中有广泛的应用,例如:
1. 计算比例和百分比
2. 表示概率
3. 解决实际问题(如分配任务、计算利息等)
通过掌握分式的运算规则和应用技巧,我们可以更好地理解和处理涉及分数的各种情况。
分式必考知识点总结(1)(2)
考点卡片1．分式的定义（1）分式的概念：一般地，如果A，B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子叫做分式．（2）因为0不能做除数，所以分式的分母不能为0．（3）分式是两个整式相除的商，分子就是被除式，分母就是除式，而分数线可以理解为除号，还兼有括号的作用．（4）分式的分母必须含有字母，而分子可以含字母，也可以不含字母，亦即从形式上看是AB的形式，从本质上看分母必须含有字母，同时，分母不等于零，且只看初始状态，不要化简．（5）分式是一种表达形式，如x+1x+2是分式，如果形式都不是AB的形式，那就不能算是分式了，如：（x+1）÷（x+2），它只表示一种除法运算，而不能称之为分式，但如果用负指数次幂表示的某些代数式如（a+b）﹣2，y﹣1，则为分式，因为y﹣1=1y仅是一种数学上的规定，而非一种运算形式．2．分式有意义的条件（1）分式有意义的条件是分母不等于零．（2）分式无意义的条件是分母等于零．（3）分式的值为正数的条件是分子、分母同号．（4）分式的值为负数的条件是分子、分母异号．3．分式的值为零的条件分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零．注意：“分母不为零”这个条件不能少．4．分式的值分式求值历来是各级考试中出现频率较高的题型，而条件分式求值是较难的一种题型，在解答时应从已知条件和所求问题的特点出发，通过适当的变形、转化，才能发现解题的捷径．5．约分（1）约分的定义：约去分式的分子与分母的公因式，不改变分式的值，这样的分式变形叫做分式的约分．（2）确定公因式要分为系数、字母、字母的指数来分别确定．①分式约分的结果可能是最简分式，也可能是整式．②当分子与分母含有负号时，一般把负号提到分式本身的前面．③约分时，分子与分母都必须是乘积式，如果是多项式的，必须先分解因式．（3）规律方法总结：由约分的概念可知，要首先将分子、分母转化为乘积的形式，再找出分子、分母的最大公因式并约去，注意不要忽视数字系数的约分．6．分式的乘除法（1）分式的乘法法则：分式乘分式，用分子的积作积的分子，分母的积作积的分母．（2）分式的除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘．（3）分式的乘方法则：把分子、分母分别乘方．（4）分式的乘、除、乘方混合运算．运算顺序应先把各个分式进行乘方运算，再进行分式的乘除运算，即“先乘方，再乘除”．（5）规律方法总结：①分式乘除法的运算，归根到底是乘法的运算，当分子和分母是多项式时，一般应先进行因式分解，再约分．②整式和分式进行运算时，可以把整式看成分母为1的分式．③做分式乘除混合运算时，要注意运算顺序，乘除法是同级运算，要严格按照由左到右的顺序进行运算，切不可打乱这个运算顺序．7．分式的加减法（1）同分母分式加减法法则：同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减．（2）异分母分式加减法法则：把分母不相同的几个分式化成分母相同的分式，叫做通分，经过通分，异分母分式的加减就转化为同分母分式的加减．：说明：①分式的通分必须注意整个分子和整个分母，分母是多项式时，必须先分解因式，分子是多项式时，要把分母所乘的相同式子与这个多项式相乘，而不能只同其中某一项相乘．②通分是和约分是相反的一种变换．约分是把分子和分母的所有公因式约去，将分式化为较简单的形式；通分是分别把每一个分式的分子分母同乘以相同的因式，使几个较简单的分式变成分母相同的较复杂的形式．约分是对一个分式而言的；通分则是对两个或两个以上的分式来说的．8．分式的化简求值先把分式化简后，再把分式中未知数对应的值代入求出分式的值．在化简的过程中要注意运算顺序和分式的化简．化简的最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要化成最简分式或整式．【规律方法】分式化简求值时需注意的问题1．化简求值，一般是先化简为最简分式或整式，再代入求值．化简时不能跨度太大，而缺少必要的步骤，代入求值的模式一般为“当…时，原式=…”．2．代入求值时，有直接代入法，整体代入法等常用方法．解题时可根据题目的具体条件选择合适的方法．当未知数的值没有明确给出时，所选取的未知数的值必须使原式中的各分式都有意义，且除数不能为0．9．零指数幂零指数幂：a0=1（a≠0）由a m÷a m=1，a m÷a m=a m﹣m=a0可推出a0=1（a≠0）注意：00≠1．10．解一元一次方程（1）解一元一次方程的一般步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1，这仅是解一元一次方程的一般步骤，针对方程的特点，灵活应用，各种步骤都是为使方程逐渐向x=a形式转化．（2）解一元一次方程时先观察方程的形式和特点，若有分母一般先去分母；若既有分母又有括号，且括号外的项在乘括号内各项后能消去分母，就先去括号．（3）在解类似于“ax+bx=c”的方程时，将方程左边，按合并同类项的方法并为一项即（a+b）x=c．使方程逐渐转化为ax=b的最简形式体现化归思想．将ax=b系数化为1时，要准确计算，一弄清求x时，方程两边除以的是a还是b，尤其a 为分数时；二要准确判断符号，a、b同号x为正，a、b异号x为负．11．分式方程的解求出使分式方程中令等号左右两边相等且分母不等于0的未知数的值，这个值叫方程的解．注意：在解方程的过程中因为在把分式方程化为整式方程的过程中，扩大了未知数的取值范围，可能产生增根，增根是令分母等于0的值，不是原分式方程的解．12．解分式方程（1）解分式方程的步骤：①去分母；②求出整式方程的解；③检验；④得出结论．（2）解分式方程时，去分母后所得整式方程的解有可能使原方程中的分母为0，所以应如下检验：①将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值不为0，则整式方程的解是原分式方程的解．②将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值为0，则整式方程的解不是原分式方程的解．所以解分式方程时，一定要检验．13．分式方程的增根（1）增根的定义：在分式方程变形时，有可能产生不适合原方程的根，即代入分式方程后分母的值为0或是转化后的整式方程的根恰好是原方程未知数的允许值之外的值的根，叫做原方程的增根．（2）增根的产生的原因：对于分式方程，当分式中，分母的值为零时，无意义，所以分式方程，不允许未知数取哪些使分母的值为零的值，即分式方程本身就隐含着分母不为零的条件．当把分式方程转化为整式方程以后，这种限制取消了，换言之，方程中未知数的值范围扩大了，如果转化后的整式方程的根恰好是原方程未知数的允许值之外的值，那么就会出现增根．（3）检验增根的方法：把由分式方程化成的整式方程的解代入最简公分母，看最简公分母是否为0，如果为0，则是增根；如果不是0，则是原分式方程的根．14．分式方程的应用1、列分式方程解应用题的一般步骤：设、列、解、验、答．必须严格按照这5步进行做题，规范解题步骤，另外还要注意完整性：如设和答叙述要完整，要写出单位等．2、要掌握常见问题中的基本关系，如行程问题：速度=路程时间；工作量问题：工作效率=工作量工作时间等等．列分式方程解应用题一定要审清题意，找相等关系是着眼点，要学会分析题意，提高理解能力．15．一元一次不等式的应用（1）由实际问题中的不等关系列出不等式，建立解决问题的数学模型，通过解不等式可以得到实际问题的答案．（2）列不等式解应用题需要以“至少”、“最多”、“不超过”、“不低于”等词来体现问题中的不等关系．因此，建立不等式要善于从“关键词”中挖掘其内涵．（3）列一元一次不等式解决实际问题的方法和步骤：①弄清题中数量关系，用字母表示未知数．②根据题中的不等关系列出不等式．③解不等式，求出解集．④写出符合题意的解．。
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的形式，
若分母中含有字
母，那么 A 叫做
分式。 B
分母≠0
①分子=0 ②代入分母≠0 ③最后答案
讨论：
若分式
| x | 3 x2 2x 3
的值为0，则x的值是多少？
解： ① |x|－3 = 0
|x| = 3 ∴x =±3 ②把x= - 3 代入，分母为0，分式没有意义 把x=3代入，分母等于12≠0 . ∴当x = 3时，此分式值为0。
课后作业： 书 P5-6 习题16.1 第1、2、3题
5、当y取什么值时,分式 1 y2 值为负？
6、x取什么值时，分式 x 1 的值为正？
3x 2
1、我们学习了什么新知识？ 2、你有什么收获？ 3、本节课你的最大疑惑是什么？
小结 分式
（1）分式有意义条件:分母不为0； （2）分式无意义条件:分母为0； （3）分式值为0条件:分子为0且分母不为0； （4）分式值为正(负)数条件:分子分母同号时，分 式值为正；分子分母异号时，分式值为负
(2)分式的分子可以含有字母，也可以不含有字母， 但分母必须含有字母
(3)分式分母的值不能为零．如果分母的值为零， 那么分式就无意义．
例2 (1)当x为何值时,分式 x 有意义? x 1
(2)当x为何值时,分式 x 2 有意义? 2x 3
要使分式有意义，必须且只须分母不等于零。
(1) 分母 x 1 0 , 即 x 1.
有理式
多项式
分式
到本节课,我们一共学习了哪些 代数式呢?请同学们讨论一下!
整式和分式统称为有理式。
例1：下列代数式，哪些是整式？哪些是分式？
①
1 x2
,②
1 (x 5
y),③
3 ，④ 0,⑤
x
ab 1 , 2c
⑥ x y,⑦ x y ,⑧ 5x 1 ,⑨ 2x y ,⑩ 1 2,
2
2
3
a
⑾ a ,⑿ 1 (x y),⒀ 4
33
x
②④ ⑥⑦ ⑧ ⑨⑾ ⑿
①③⑤
⑩⒀
1、判断一个有理式是不是分式，
关键看是否符合下式：
A(整式) B(整式)
且B中含有字母,
B
0.
分母是否含字母
2、整式包括单项式和多项式，单个字母 或数字是单项式。
从分式的意义中，应注意以下三点：
(1)分式是两个整式相除的商，分数线可以理解 为除号，并含有括号的作用；
例4
2y 1 当y取什么值时，分式 4y - 1 的值是零？
解：①使得分式的值为0，则2y+1=0 ∴y = 1
②使得分式2有意义，则4y－1≠0 ∴y ≠ 1
4
∴当y = 1 时，此分式的值是零。
2
友情提示：
分式的定义 分式有意义 分式的值为0
整式A、B相除可
写为
A B
自主练习：
1、当x为何值时，代数式
x1 x 1 有意义？
2、当x为何值时，分式
x2 2 x1 x2 2 x1
无意义？
3、 x分别取哪些范围值时，下列分式值为0？
(2) (3) 1 x2 1 x 1
x2 4 x2
x2 2 x1 x2 2x3
4、当x为何值时， 12 的值为整数， x 1 y2
一、我们在小学学习分数时，把两个整数相
除，如2÷3，可表示为
2 3
的形式，并把
2 3
叫做
分数。类似地，如果用A、B表示两个整式，
A÷B可表示成
A B
的形式，若B中含有字母，
且B≠0，式子 A叫做分式。
B
分式的概念：即形如
A（A、B是整式，
B
且B中含有字母，B≠0）的式子叫分式。
二、代数式分类：
单项式 整式
第16章 分式
洪雅实验中学 代廷君
要装配30台机器，在装配好6台后，采用了新的技 术，工作效率提高了一倍，结果总共用了3天就完成了 任务。原来每天能装配多少台？
设原来每天能装配x台。
6 30 6 3 x 2x
两个整数相除,不能
整除时结果可用分
请你来ห้องสมุดไป่ตู้一填:
数表示,当两个整式
(1)面积为2平方米的长方形一边不长能3整米除,则时它,它的们另的一
所以， 当 x 1时， 分式 x 有意义。
(2)
分母
2
x
3
0
,
即
2x
x 1 3, x
3
.
2
所以， 当 x 3 时， 分式 x 2 有意义。
2
2x 3
例3 当x为何值时,分式 x 1 无意义? 3x 2
分母 3x 2 0 ,即3x 2 , x 2 . 3
2
商怎么表示呢?
边长为____3___米;
(2)面积为S平方米的长方形一边长a米,则它的另一 s
边长为___a____米;
a
(3)已知正方形的周长是 a cm，则一边的长是__4__cm，
a2
面积是___1_6___cm2； (4)一箱苹果售价P元,总重m千克,箱重n千克,则每
p
千克苹果的售价是_m___n__元.
所以， 当 x 2 时， 分式 x 1 无意义。
3
3x 2
请你来做一做：
1、当x为何值时，代数式 1有意义？
1 x
x 2
2
2、当x为何值时，分式 x 2有意1义？
x 1
1 x
3、当x为何值时，分式 x2 有1意义？
x 1
x 1
当x为何值时，上面这些代数式无意义呢?
分式的概念
问：在上面所列出的代数式中，哪些是整式？ 哪些不是？它们之间有什么区别？ 答：整式有①③④ ，整式的特点是分母不含字 母；②⑤，这两个代数式不同于前面学过的整 式，是两个分母含有字母的代数式．在实际应 用中，某些数量关系只用整式来表示是不够的， 因此，我们需要学习新的式子，以满足解决实 际问题的需求．