2019-2020年初中数学竞赛试题及其答案
2019年“大梦杯”福建省初中数学竞赛试题参考答案(PDF版)
2019年“大梦杯”福建省初中数学竞赛试题参考答案考试时间2019年3月17日9∶00－11∶00满分150分一、选择题（共5小题，每小题7分，共35分）。
每道小题均给出了代号为A ，B ，C ，D 的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的。
请将正确选项的代号填入题后的括号里，不填、多填或错填都得0分）1．若一次函数2y x =+与反比例函数4y x=的图像交于11()A x y ，，22()B x y ，两点，则1212x x y y +的值为（）A ．8B ．6C ．6-D ．8-【答案】D【解答】由24y x y x =+⎧⎪⎨=⎪⎩，得2240x x +-=……………①。
依题意，1x ，2x 是方程①的两根，于是122x x +=-，124x x =-。
∴121212121212441616484x x y y x x x x x x x x +=+⋅=+=-+=--。
2．如图，ABC △为圆O 的内接三角形，D 为BC 中点，E 为OA 中点，40ABC ∠=︒，80BCA ∠=︒，则OED ∠的大小为（）A ．15︒B ．18︒C ．20︒D ．22︒【答案】C【解答】如图，连结OC 。
由40ABC ∠=︒，80BCA ∠=︒，得60BAC ∠=︒。
∵D 为BC 中点，∴OD BC ⊥，1602DOC BOC BAC ∠=∠=∠=︒。
∴30OCD ∠=︒，12OD OC =。
又E 为OA 中点，∴12OE OA OD ==。
结合40ABC ∠=︒，知24060140EOD AOC COD ∠=∠+∠=⨯︒+︒=︒，（第2题图）（第2题答题图）11(180)(180140)2022OED EOD ∠=︒-∠=︒-︒=︒。
3．已知二次函数2()2f x x ax b =++，若()(1)f a f b =+，其中1a b ≠+，则(1)(2)f f +的值为（）A ．8B ．10C ．12D ．14【答案】A【解答】由已知条件及二次函数图像的对称性，知124a b a ++=-。
2020年初中数学竞赛《排列与组合问题》练习题及答案 (20)
2020年初中数学竞赛《排列与组合问题》练习题
1．有一个7级台阶，小明每一步走1级台阶或者是2级台阶，则小明走完7级台阶一共有21种不同的走法．
【分析】我们可以从1级，2级，3级，4级，…，研究找出规律，即从第3级开始，每一级都等于它前两级的方法的和，依此类推，以后的每一级的方法数都是前两级方法的和，直到7级，每一级的方法数都求出，因此求解．
【解答】解：1级有：1种；
2级有：2种；
3级有：3种，分别是111，12，21；1+2＝3；
4级有：5种，分别是1111，112，121，211，22；2+3＝5；
发现：从第3级开始，每一级都等于它前两级的方法的和，
故5级有：8种，3+5＝8；
6级有：13种，5+8＝13；
7级有：21种，8+13＝21，
则小明走完7级台阶一共有21种不同的走法．
故答案为：21
【点评】此题考查了排列与组合问题，解题的关键是：在方法上，要从个别现象研究得出一般规律，即从第3级开始，每一级都等于它前两级的方法的和．。
2019-2020年八年级下数学竞赛试题及参考答案.docx
⋯_ ⋯__⋯_ _ ⋯ _ _ ⋯_ _⋯_：⋯ 号 ⋯⋯座 ⋯东宅中学 2012 年春季八年级数学竞赛试卷2019-2020年八年 下数学 及参考答案( 分： 150分 ： 120分 )一二三号分1-56-12 13141516得分A 、-196B 、 196C 、 ±196D 、以上都不12、如 ， ABCD 是凸四 形， x 的取 范 是（）A 、 2<x<7B 、 2<x<13C 、 0<x<13D 、 1<x<13三、耐心做一做（ 64 分）13、 关于 x 的一次函数 ya 1 xb 1 与 y a 2 x b 2 ， 称函数y m(a 1 x b 1 ) n(a 2 x b 2 ) （其中 m n 1 ） 此两个函数的生成函数．（ 1）当 x=1 ，求函数 y x 1 与 y 2x 的生成函数的 ；（2）若函数 ya 1 xb 1 与 y a 2 x b 2 的 象的交点 P ，判断点 P 是否在此两个_ ⋯ ____⋯_ _ ⋯ _ _ ⋯_ _ ⋯_ _ ⋯__ ⋯ 名 ⋯ 姓 生 ⋯A ．5B ．6C ． 7D ．88．已知一个梯形的四条边长分别为2、 3、 4、 5，则此梯形的面积为（）DA ．5B ． 810 314 5C ．D ．33．如图， 、 分别是矩形 的边、 的中点，连 、，设、相G 函数的生成函数的 象上，并 明理由． （15 分）CF 学 ⋯ ⋯ 9 E FABCDAB BCCE AFCE AF交于 G ，则 S ∶ SA等于（）EB班⋯_ ⋯__⋯__ ⋯ _⋯ 学 ⋯中 装_ ⋯ __⋯_ _ ⋯ _ _ ⋯_ _ ⋯_ _ ⋯ _ _ ⋯ _ _ ⋯__ ⋯四边形 BEGF四边形 ABCDA ．1B ．2C ．1D ．34 961010、如果 P 与 q+2 成反比，当 q=4 ， P=1， q=1 ， P 的（）A 、3B 、－3C 、2D 、－211、如果 ( x1)( x 3)( x 4)( x8) m是一个完全平方式， m 是（）（第 9题图）14、因式分解： (ab) 4 (a b) 4 (a b)2 (a b)2 （15 分）15、在矩形 ABCD中，已知 AD=12，AB=5，P 是 AD上任意一点， PE⊥BD于 E，PF⊥AC于 F，求 PE+PF的值（ 15 分）2012 春八年数学竞赛试卷参考答案16．如图，在直角梯形ABCD 中， AB=BC=12 ， E 为 AB 中点，∠ DCE=45°，求 DE的长（ 19 分）一、填空题（每小题 6 分，共 30分）1、5；2、－ 5；3、30°>64、 4b－ a5、 60°二、选择题（每小题 5 分，共 25分）6、 C7、 D8、 D9、 C10、 C11、B12、 DA D三、解答题（共 95 分）13、解：（ 1）当 x =1 时，y m( x1) n(2x)Em(11) n(2 1)2m2n2(m n) ，∵m n 1 ，∴ y2．（5分）（ 2）点 P 在此两个函数的生成函数的图象上．设点 P 的坐标为（ a， b），B C∵ a1 a b1 b ，a2 a b2 b ，∴当 x = a 时，y m(a1 x b1 )n(a2 x b2 )m(a1 a b1 ) n(a2 a b2 )mb nb b(m n) b ，即点 P 在此两个函数的生成函数的图象上．（15 分）14、解：设 a－b=x, a+b=y, 则a2－b2=(a－b)(a+b)=xy ··············· ···········1 分原式 =x 4+y4+x2y2=(x2+y2)2－x2y2·······················7 分=(x 2+y2+xy)( x 2+y2－xy)··············· ··········10分=(2a2 +2b2+a2－b2)( 2a2+2b2－a2+b2) ·····················14 分=(3a2 +b2)( a2+3b2) ··········· ············· ·····15 分15 、（ 15 分）16、解：过 D 作 DF 垂直 BC 于 G，过 C 作∠DCF为90度交 AB的延长线于 F设 DE=X ，∵∠DCE=45°，三角形 BCF 全等于三角形 GDC∴ 62(18 x) 2x2∴DE=10DAEB CGF。
初中数学经典竞赛几何题20道及答案
解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A＝∠D＝∠BCD＝90°，
∵EF⊥BE，
∴∠BEF＝90°，
∴∠BEF+∠BCF＝180°，
∴B，C，F，E四点共圆，
∴∠EBF＝∠ECF，∵∠BEF＝∠D＝90°，
∴△BEF∽△CDE，
∴ ＝ ，
∵∠ABE+∠AEB＝90°，∠AEB+∠DEF＝90°，
∴∠DEF＝∠ABE，
（1）求y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围；
（2）在点O运动的过程中，△EFD的周长是否发生变化？如果发生变化，请用x的代数式表示△EFD的周长；如果不变化，请求出△EFD的周长；
（3）以点A为圆心，OA为半径作圆，在点O运动的过程中，讨论⊙O与⊙A的位置关系，并写出相应的x的取值范围．
参考答案
A． B． C． D．
6．如果一个三角形的三边长分别为1，k，3，则化简 的结果是（）
A．-5 B．1 C．13 D．19-4k
7．已知：如图，正方形ABCD的边长为8，M在DC上，且DM＝2，N是AC上一动点，则DN＋MN的最小值为（ ）
A．8B．10C．11D．12
第II卷（非选择题)
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二、填空题
8．如图，在矩形ABCD中，点E是边AD上的点，EF⊥BE，交边CD于点F，联结CE、BF，如果tan∠ABE＝ ，那么CE：BF＝_____．
9．如图，平行四边形ABCD的对角线相交于点O，且AB≠AD，过点O作OE⊥BD交BC于点E，若△CDE的周长为10，则平行四边形ABCD的周长为____．
∵BD=AD，
∴AD=DC，
∵∠CDA=90°，
∴∠ACD=45°，
2020年全国初中数学联合竞赛试题参考答案第1试
2020年全国初中数学联合竞赛试题参考答案第第一试求符合条件且周长不超过 解由等式可得30的三角形的个数.令a b m,b c n ,那么a c m n ，其中m,n 均为自然数、选择题：〔此题总分值42分，每题 7分〕1.假设a,b,c 均为整数且满足(a b)10(a c)101，那么 |a b| |b c| |c a |1.B . 2.C . 3.4.2. 假设实数a,b,c 满足等式 2、一5 3|b|4、,5 9|b|6c , 那么c 可能取的最大值为0.B . 1.假设a,b 是两个正数，且C . 2.a 1~b~ 1 .B . a b33.0, 那么假设方程x 2 3x 1. D . - a b32.1 0的两根也是方程ax 2 bx0的根，那么a b 2c 的值为—13.B . — 9.C . 6.在厶ABC 中， CAB 60 , D , E 分不是边AB ,A . 5 . CDB 2 CDE ,那么 DCBD . 0.15 °B . 20° .C . 25° . AC 上的点，且 AED(30° .60 , ED DB CE, B )关于自然数n ，将其各位数字之和记为a n ,如a 2009 2 0 0 9 11 , a 2010 2 3，那么a 3Il la2009a201028062. 二、填空题: B . 28065. 〔此题总分值28 分, C . 28067. 每题7分〕 D . 28068.1 .实数X, y 满足方程组19,x y 1,那么x 2132.二次函数ybx c 的图象与x 轴正方向交于 A , B 两点，与y 轴正方向交于点 C . AB、3AC ,CAO 30，那么 3.在等腰直角△ ABC 中，AB = BC = 5, P 是厶 ABC 内一点，且 PA = ,PC = 5,那么 PB = _ . 10 4.将假设干个红、黑两种颜色的球摆成一行，要求两种颜色的球都要显现，且任意中间夹有 球的两个球必为同一种颜色的球 .按这种要求摆放，最多能够摆放 _______ 15_个球. 5个或10个 第二试 〔A 〕.〔此题总分值20分〕设整数a,b,c 〔 a b c 〕为三角形的三边长，满足a 2 b 2 2c ab ac bc 13,(a b)2 (b c)2 (a c)2 26因此，等式①变为m 2 n 2 (m n)226，即1)(2)设m,n 是方程的两个整数根，且m n .(c (c 2n mn 13由于m,n 均为自然数，判定易知，使得等式②成立的〔1〕当 m 3,n 1 时，b c 1 , a b 3 c1) c c 4，解得c 3.又因为三角形的周长不超过号.因此3m,n 只有两组：m 3,和m 1,n 1 n 3.4 .又a,b,c 为三角形的三边长，因此30,即 a b c (c 4) (cc 25，因此c 能够取值4, 5, 6, 7 8,对应可得到5个符合条件的三角形 3〔2〕当m 1,n3时，b c 3, a b 1 c 4.又a,b,c 为三角形的三边长，因此3) c c 解得c 1•又因为三角形的周长不超过30,即a b c (c 4) (c3)c a ，即30,解得c a ，即30，解得23 •因此1 3综合可知：符合条件且周长不超过30的三角形的个数为 5+ 6= 11.二.〔此题总分值 25分〕等腰三角形△ ABC 中，AB = AC , 的内切圆OI 与BC 边的切点，作MD//AC ，交O I 于点D.证明： PD 是O I 的切线. 证明 过点P 作O I 的切线PQ 〔切点为Q 〕并延长，交 BC 于点N.因为CP 为/ ACB 的平分线，因此/ ACP = / BCP. 又因为PA 、PQ 均为O I 的切线，因此/ APC = / NPC. 又 CP 公共，因此△ ACP ◎△ NCP ，因此/ PAC =Z PNC. 由 NM = QN , BA = BC ,因此△ QNM BAC ,故/ NMQ =Z ACB ，因此 MQ//AC. 又因为 MD//AC ，因此 MD 和MQ 为同一条直线. 又点Q 、D 均在O I 上，因此点Q 和点 23，因此c 能够取值2, 3, 4, 5, 6, 7,对应可得到6个符合条件的三角形3/ C 的平分线与AB 边交于点P , M ABCD 重合，故PD 是O 的切线• 三.〔此题总分值25分〕二次函数y x 2 bx c 的图象通过两点 P (1,a), Q (2,10a). 〔1〕假如a, b, c 差不多上整数，且c 8a ，求a, b,c 的值. 〔2〕设二次函数 2 y x bx c 的图象与x 轴的交点为 A 、B ,与y 轴的交点为 x 2 bx c 0的两个根差不多上整数，求△ ABC 的面积. bx c 的图象上，故1 b c 解得b 9a 3, c8a 2.8a 2 9a 3,. 口〔1〕由 c b 8a 知解得19a 3 8a,又a 为整数，因此a2, b 9a 3 15, c解 点P (1,a)、Q (2,10a)在二次函数 2a 3. 8a 2 14.C.假如关于x 的方程a , 4 2a c 10a ,由根与系数的关系可得 m n b 3 9a , mn c 2 8a ，消去a ，得9mn 8(m n) 6,10 2 1/ m —, m —, m ——, 解得m 1，或 9或 9或 93n 2, 13 7 2n —, n -, n -,9 9 3又m,n 是整数，因此后面三组解舍去，故 m 1,n 2.号.因此3 c 25，因此c 能够取值4，5，6, 7, 8,对应可得到5个符合条件的三角形 〔2〕当m 1,n3时，b c 3， a b 1 c 4.又a,b,c 为三角形的三边长，因此(c 3) c c 4，解得c 1.又因为三角形的周长不超过30,即a b c (c 4) (c 3) c 30，解得23 23c .因此1 c ，因此c 能够取值2，3，4，5，6，7,对应可得到6个符合条件的三角形.3 3综合可知：符合条件且周长不超过30的三角形的个数为 5+ 6= 11.54，分解因式，得(9m 8)(9n 8) 10.—9m8 1,亠 9m 8 2,亠 9m 8 因此 或 或 9n 8 10, 9n 8 5, 9n 8 因此，b (m n) 3， c mn2，二次函数的解析式为 y x 2 3x 2 .(c 1易求得点A 、B 的坐标为〔1,0〕和〔2,0〕，点C 的坐标为〔0,2〕，因此△ ABC 的面积为一2第二试 〔B 〕a 2b 2c 2 ab ac bc解不妨设a bc ， 由等式可得2 2(a b) (b c)(a 2c)226①令 a b m,b cn ，那么a c m n ，其中m,n 均为自然数.因此，等式①变为 2m 2 2n (m n)26，即2 2m n mn 13②由于m,n 均为自然数，判定易知，使得等式②成立的〔1〕当 m 3,n 1 时，b c 1， a b 3 c1) c c 4，解得c 3.又因为三角形的周长不超过m, n 只有两组: m 3,和n 1m 1, n 3.4 .又a,b,c 为三角形的三边长，因此30，即卩 a b c (c 4) (c1)(2 1) 2 1 .13，求符合条c a ，即30，解得c a ，即两边同时乘以9,得81mn 72(m n)10,亠 9m 8 5, 或1, 9n 8 2,〔此题总分值20分〕设整数a,b,c 为三角形的三边长，满足件且周长不超过 30的三角形的个数〔全等的三角形只运算1次〕第二试 〔C 〕〔此题总分值20分〕题目和解答与〔B 〕卷第一题相同• 〔此题总分值25分〕题目和解答与〔A 〕卷第二题相同•〔此题总分值25分〕设p 是大于2的质数，k 为正整数.假设函数y x 2 px (k 1)p 4的图象与x 轴的两个交点的横坐标至少有一个为整数，求k 的值.解由题意知，方程x 2 px (k 1)p 4 0的两根x 1, x 2中至少有 '个为整数.由根与系数的关系可得 x 1X2p, x 1x 2 (k 1)p 4，从而有(X 1 2)(X 2 2) X 1X 22(x 1X 2) 4 (k 1)p①〔1〕假设k 1，那么方程为: x 2 px 2( p2) 0，它有两个整数根2和2 p〔2〕假设k 1，那么k 1 0.因为x 1 x 2p 为整数， 假如 X 1,X 2中至少有-个为整数，那么 X 1,X 2差不多上整数k 1k 1假如m 为负整数，那么(m 1)p 0 , 0，从而(m 1)p0 ,与②式矛盾mm综上所述，k 1 .二. 〔此题总分值三. 〔此题总分25分〕题目和解答与〔 25分〕题目和解答与〔 A 〕卷第二题相同 A 〕卷第三题相同又因为 p 为质数，由①式知 p 1X 1 2 或 p|X 22 .不妨设 p 1 X 1 2 ，那么可设 x 1 2mp 〔其中m 为非零整数〕，那么由①式可得c k 1 X 2 2 -m故(X2) (X 2 2) mp k 1 即X x 2 4 mpk 1mm又X-i X 2p , 因此 p 4 mp ——1，即mk 1 (m 1)p4②m假如m 为正整数，那么 (m 1)p(1 1) 3 6 , k 1k 0,从而(m 1)p - 16，与②式矛盾mm 因此，k 1时，方程x 2px (k 1) p 4不可能有整数根.。
2019年全国初中数学联赛试题及详解
2019年全国初中数学联合竞赛试题及详解第一试一、选择题：（本题满分42分，每小题7分）1. 若,,a b c 均为整数且满足1010()()1a b a c -+-=，则||||||a b b c c a -+-+-= （ B ）A ．1.B ．2.C ．3.D ．4.解： 由已知可推得011a b b c a c -=⎧⇒-=±⎨-=±⎩ 或 110a b b c a c -=±⎧⇒-=±⎨-=⎩，分别代入即得。
2．若实数,,a b c 满足等式23||6a b =，9||6a b c =，则c 可能取的最大值为 （ C ）A ．0.B ．1.C ．2.D ．3.解：由已知，6492(23)15121512c a b a b b b ==-=-≤，∴2c ≤.3．若b a ,是两个正数，且,0111=+-+-ab b a 则 （ C ） A ．103a b <+≤. B ．113a b <+≤. C ．413a b <+≤. D ．423a b <+≤. 解：当a b =时，可计算得23a b ==，从而43a b +=。
观察4个选项，只能选C. 4．若方程2310x x --=的两根也是方程420x ax bx c +++=的根，则2a b c +-的值为 （ A ）A ．－13.B ．－9.C ．6.D ． 0.解：由已知：42x ax bx c +++一定能被231x x --整除。
∵4222(31)(310)[(333)(10)]x ax bx c x x x x a a b x a c +++=--+++++++++∴(333)(10)0a b x a c +++++=，故3330213100a b a b c a c ++=⎧⇒+-=-⎨++=⎩5．在△ABC 中，已知︒=∠60CAB ，D ，E 分别是边AB ，AC 上的点，且︒=∠60AED ，CE DB ED =+，CDE CDB ∠=∠2,则=∠DCB ( B )A ．15°.B ．20°.C ．25°.D ．30°.解：如图，由已知，ADE 是正三角形。
2019-2020年初中数学竞赛专题复习 第三篇 初等数论 第20章 同余试题 新人教版
2019-2020年初中数学竞赛专题复习 第三篇 初等数论 第20章 同余试题新人教版20.1.1★(1)证明：任意平方数除以4，余数为0或1；(2)证明：任意平方数除以8，余数为0、1或4．解析 (1)因为奇数()222214411(mod 4)k k k =+=++≡，偶数，所以，正整数(2)奇数可以表示为，从而奇数()22441411k k k k =++=++．因为两个连续整数、中必有一个是偶数，所以是8的倍数，从而奇数．又，偶数(为整数)．若偶数，则．若奇数，则 ()()22244211644(mod8)k t t t =+=++≡． 所以，平方数()()()0mod8,1mod8,4mod8.⎧⎪≡⎨⎪⎩评注 事实上，我们也可以这样来证：因为对任意整数，有，±1，2()，所以，，1()；又0，±1，±2，±3，4()，所以，0，1，．20.1.2★求证：一个十进制数被9除所得的余数，等于它的各位数字被9除所得的余数． 解析 设这个十进制数．因101()，故对任何整数≥1，有．因此1110101010n n n n a a a a --=⨯+⨯++⨯+ ()110mod9n n a a a a -≡++++．即被9除所得的余数等于它的各位数字之和被9除所得的余数．评注 (1)特别地，一个数能被9整除的充要条件是它的各位数字之和能被9整除．(2)算术中的“弃九验算法”就是依据本题的结论．20.1.3★★求证：(1)；(2)；(3)．解析 (1)因，所以，()19995517117160mod8+≡-+=≡，于是．(2)因为，，所以，即．(3)因为，，所以()()()25025010004191911mod17=≡-≡，于是．20.1.4★★对任意的正整数，证明：2903803464261n n n n A =--+能被1897整除．解析 ，7与271互质．因为，，，，所以()290380346426155220mod7n n n n n n n n A =--+≡--+=，故7|又因为，，，所以2903803464261n n n n A =--+()1932611932610mod271n n n n ≡--+=，故271|因(7，271)=1，所以1897整除．20.1.5★证明：能被7整除．解析 因为，，所以 ()22222222222205555444162mod 7≡≡⋅≡≡．因为 ，，，所以．于是()()()222255555555222225mod 70mod 7+≡+≡，即 ．20.1.6★★求最大的正整数，使得能被整除．解析 因为()()()()()1024512256112831313313131+-=+++-，①而对于整数≥1，有 ()()2231112mod4kk +≡-+=，所以，①式右边的11个括号中，(3+1)是4的倍数，其他的10个都是2的倍数，但不是4的倍数．故的最大值为12．20.1.7★求使为7的倍数的所有正整数．解析 因为，所以对按模3进行分类讨论．(1)若，则()()3212181110mod7kn k k -=-=-≡-=； (2)若，则()321221281kn k -=⋅-=⋅- ;(3)若，则()2321221481kn k -=⋅-=⋅- ．所以，当且仅当3|时，为7的倍数．20.1.8★设是正整数，求证：7不整除．解析 因为，，．所以当时，()()34141112mod7kn +=+=+=； 当时，()()341441415mod7kn +=⋅+=+=； 当时，()()34141611613mod7kn +=⋅+=+=． 所以，对一切正整数，7不整除．20.1.9★今天是星期日，过天是星期几?解析 ，所以()()()333310033331334mod7=⋅≡-⋅=-≡． 因此，过天是星期四．20.1.10★★求被50除所得的余数．解析 ，．又，所以．．即．从而()33257467463mod50+≡+≡．．由于．，所以．于是()()262053333732129mod50=⋅⋅≡-⋅=-≡．故除以50所得的余数为29．20.1.11★(1)求33除的余数；(2)求8除的余数．解析 (1)先找与同余的数．因为，所以．()()199199810532222825mod33=⋅⋅≡-≡．故所求的余数为25．(2)因为，所以，．即余数为6．20.1.12★求除以4所得的余数．解析 因为，，所以()213599500mod4≡++++=≡．20.1.13★形如，0，1，2，…的数称为费马数．证明：当≥2时，的末位数字是7．解析 当≥2时，是4的倍数，故令．于是()421161617mod10t t t =+=+=+≡．即的末位数字是7．评注 费马数的头几个是，，，，，它们都是素数．费马便猜测：对所有的正整数，都是素数．然而，这一猜测是错误的．首先推翻这个猜测的是欧拉，他证明了下一个费马数是合数．有兴趣的读者可以自己去证明．20.1.14★★已知，求被9除后所得商的个位数字是多少?解析 因为()191920224mod9≡⨯≡⨯≡．所以．又的个位数字是5，故被9除后所得商的个位数字是5．20.1.15★★求的末两位数．解析 因为，，()()()10010010211mod25≡-=，．所以的末两位数字只可能是00、25、50、75，即的末两位数字只可能是01、26、5l 、76． 又是4的倍数，故的末两位数字只可能是76．又，所以的末两位数字只可能是38、88，而4|88，438，故的末两位数字是88．20.1.16★★求所有的正整数，使得是一个立方数．解析 假设存在正整数、，使得，则，于是．设，则，易知不能被3整除，故不存在正整数，使得是一个立方数．20.1.17★★有一列数排成一行，其中第一个数是3，第二个数是7，从第三个数开始，每个数恰好是两个数的和，那么，第1997个数被3除，余数是多少?解析 该数列是：3，7，10，17，27，44，71，115，186，301，487，788，…除以3的余数分别是：0，1，1，2，0，2，2，1，0，1，1，2，0，2，2，1，…余数刚好是按“0，1，1，2，0，2，2，1”八个一循环．又19975(8)，因此所求余数为0．20.1.18★★★求的末位数字和的末两位数字，其中是大于1的正整数．解析 我们知道，求一个数的末位数字就是求这个数除以10的余数，求一个数的末两位数字就是求这个数除以100的余数．为此，先设法求出中的，然后求出(，是整数)中的．这样，问题归结为求被10除所得的余数．因为()()2371mod1073mod10≡-≡，，()()4471mod1071mod10m ≡≡，，是正整数．而()()()66673mod 47311mod 4≡≡≡-≡，． 所以，．可设．于是．所以，的末位数字是3．考虑的末两位数字．这时，由，，，得．而，其中是整数且≥0．于是()()217721211777313mod 4t t t k +++-≡≡≡-≡个． 可设，那么()774331777743mod100n k +-=≡≡个．所以，所求的末两位数字是43．20.1.19★★求1×3×5×…×1997×xx 的末三位数字．解析 这个积显然是5×25=125的倍数，设5×25×1×3×7×…×23×27×…×xx=．由于1000=8×125，所以，我们只需求出除以8所得的余数，进而便可求得除以1000的余数． (1× 3×7)×(9×11×13×15)×(17×19×21×23)×(27×29×31)×(33×35×37×39)×…×(1985×1987×1989×1991)×(1993×1995×1997×xx)在上述乘积中，除第一和第四个括号外，每个括号中都是四个数的乘积，这个积是()()()()81838587k k k k ++++×3×5×7．而 ，于是 ．所以，()()125125851255625mod1000m k =⨯+≡⨯=，即的末三位数字是625．20.1.20★★★★如果是大于1的整数，是的根．对于大于10的任意正整数，的个位数字总是7，求是的个位数字．解析 首先，我们证明的个位数字不可能是偶数．其次，根据与7对模10同余，从中确定的个位数字． 因为是的根，所以这方程的另一个根是．于是．如果的个位数字是偶数，那么2222122a a a k a -⎛⎫+=+-=- ⎪⎝⎭ 的个位数字仍是偶数．的个位数字也是偶数．对于，的个位数字也是偶数，与题设矛盾．的末位数字不能是偶数．(1)如果的个位数字是1或9，那么，由此得()221mod101n na a n -+≡-，≥． (2)如果的个位数字是3或7，那么，由此得，．(3)如果的个位数字是5，那么，．所以，．综上所述，的个位数字是3或5或7．20.1.21★★2005年12月15日，美国中密苏里州大学的数学家Curtis Cooper 和Steven Boone 教授发现了第43个麦森质数，求这个质数的末两位数．解析 因为，所以()()3040545304024530402457107722212≡⋅≡-⋅，所以，的末两位数只能是22、47、72、97．又0()，所以，的末两位数只能是72．从而，的末两位数是71．20.1.22★★★求最小的正整数，使得存在正整数，满足．解析 因为xx=3×23×29，所以，要使，只要使，，．易知()()553211mod3nn n a a +⋅≡+-，()()55329919mod 23n n n n n a a a +⋅≡+⋅≡+⋅，()()553233mod 29nn n n a a +⋅≡-+⋅． (1)若是奇数，则，，，而(3，29)=1，故．令，则，所以，即，所以，则能取的最小正整数是5．所以是奇数时，的最小正整数解是．(2)若是偶数，则， ，，由于(3，23)=1，(3，29)=1，(23，29)=1，所以(×23×29)．故当是偶数时，的最小正整数解是等于xx ．综上所述，满足条件的最小正整数为436．20.1.23★★证明：对任意正整数，不可能是三个整数的平方和．解析 假设存在整数、、，使得．由于对任意整数，0，1，4()，于是0，1，2，3，4，5，6()．而，矛盾！20.1.24★证明不定方程无整数解．解析 因为，显然，是奇数．(1)若为偶数，则．又．所以，矛盾，故不能为偶数．(2)若为奇数，则．但，矛盾，故不能为奇数．由(1)，(2)可知：原方程无整数解．20.1.25★证明：不定方程没有整数解．解析 如果0，1，2，3()，那么0，1，4()．所以0，1，2，4，5()．但与矛盾．从而原不定方程无整数解．20.1.26★证明：不定方程没有整数解．解析 以5为模，如果，±1，±2()，那么0，1，4()，0，1，1()．即对任一整数，0，1()．同样，对任一整数，0，1()．所以2，3，4()．从而原不定方程无整数解．20.1.27★★★求最小的正整数，使得存在整数，，…，，满足．解析 对任意整数，可知或，由此可得 或．利用这个结论，可知，若<15，设()44412mod16n x x x m +++=，则 ≤<15，而 ，矛盾，所以≥15．另外，当=15时，要求()444121mod16n x x x ≡≡≡≡，即，，…，都为奇数，这为我们找到合适的数指明了方向．事实上。
2020年全国初中数学竞赛历年竞赛试题以及参考答案：八
2020年全国初中数学竞赛试题八答题时注意：1．用圆珠笔或钢笔作答； 2．解答书写时不要超过装订线； 3．草稿纸不上交.一、选择题（共5小题，每小题7分，共35分. 每道小题均给出了代号为A ，B ，C ，D 的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的. 请将正确选项的代号填入题后的括号里，不填、多填或错填都得0分）1．设1a =，则代数式32312612a a a +--的值为( ).（A ）24 （B ）25 （C ）10 （D ）12 2．对于任意实数a b c d ，，，，定义有序实数对a b （，）与c d （，）之间的运算“△”为：（a b ，）△（c d ，）＝（ac bd ad bc ++，）．如果对于任意实数u v ，， 都有（u v ，）△（x y ，）＝（u v ，），那么（x y ，）为( ).（A ）（0，1） （B ）（1，0） （C ）（﹣1，0） （D ）（0，-1）3．若1x >，0y >，且满足3y y xxy x x y==，，则x y +的值为( ).（A ）1 （B ）2 （C ）92 （D ）1124．点D E ，分别在△ABC 的边AB AC ，上，BE CD ，相交于点F ，设1234BDF BCF CEF EADF S S S S S S S S ∆∆∆====四边形，，，，则13S S 与24S S 的大小关系为( ).（A ）1324S S S S < （B ）1324S S S S = （C ）1324S S S S > （D ）不能确定 5．设3333111112399S =++++，则4S 的整数部分等于( ). （A ）4 （B ）5 （C ）6 （D ）7二、填空题（共5小题，每小题7分，共35分）6．若关于x 的方程2(2)(4)0x x x m --+=有三个根，且这三个根恰好可 以作为一个三角形的三条边的长，则m 的取值范围是 .7．一枚质地均匀的正方体骰子的六个面上的数字分别是1，2，2，3，3，4；另一枚质地均匀的正方体骰子的六个面上的数字分别是1，3，4，5，6，8. 同时掷这两枚骰子，则其朝上的面两数字之和为奇数的概率是 .8．如图，点A B ，为直线y x =上的两点，过A B ，两点分别作y 轴的平行线交双曲线1y x=（x ＞0）于C D ，两点. 若2BD AC =，则224OC OD - 的值为 .9．若112y x x =-+-的最大值为a ，最小值为b ，则22a b +的值为 .10．如图，在Rt △ABC 中，斜边AB 的长为35，正方形CDEF 内接于△ABC ，且其边长为12，则△ABC 的周长为 .三、解答题（共4题，每题20分，共80分）11．已知关于x 的一元二次方程20x cx a ++=的两个整数根恰好比方程（第8题）（第10题）20x ax b ++=的两个根都大1，求a b c ++的值.12．如图，点H 为△ABC 的垂心，以AB 为直径的⊙1O 和△BCH 的外接圆⊙2O 相交于点D ，延长AD 交CH 于点P ，求证：点P 为CH 的中点.13．如图，点A 为y 轴正半轴上一点，A B ，两点关于x 轴对称，过点A 任作直线交抛物线223yx =于P ，Q 两点. （1）求证：∠ABP =∠ABQ ；（2）若点A 的坐标为（0，1），且∠PBQ =60º，试求所有满足条件的直线PQ 的函数解析式.14．如图，△ABC 中，60BAC ∠=︒，2AB AC =．点P 在△ABC 内，且352PA PB PC ===，，，求△ABC 的面积．（第13题）（第12题）。
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2011年中山华附“我爱数学初中夏令营”选拔赛 一、填空题（共14小题，每小题5分，共70分）
1．若20 10abbc，，则abbc的值为 ______________.
2．若实数a，b满足21202aabb，则a的取值范围是_________________. 3．如图，在四边形ABCD中，∠B＝135°，∠C＝120°，AB=23，BC=422，CD＝42，则AD边的长为________________.
4．在一列数123xxx，，，……中，已知11x，且当k≥2时，1121444kkkkxx，（取整符号a表示不超过实数a的最大整数，例如2.62，0.20），则2010x等于____________.
5．如图，在平面直角坐标系xOy中，等腰梯形ABCD的顶点坐标分别为A（1，1），B（2，－1），C（－2，－1），D（－1，1）．y轴上一点P（0，2）绕点A旋转180°得点P1，点P1绕点B旋转180°得点P2，点P2绕点C旋转180°得点P3，点P3绕点D旋转180°得点P4，……，重复操作依次得到点P1，P2，…， 则点P2010的坐标是 ______________.
6．已知非零实数a，b 满足 2242(3)42ababa，则ab等于_________. 7．菱形ABCD的边长为a，点O是对角线AC上的一点，且OA＝a，OB＝OC＝OD＝1，则a等于____________.
8．已知a＝5－1，则2a3＋7a2－2a－11 的值等于 ．
9. 如图，在平面直角坐标系xOy中，多边形OABCDE的顶点坐标分别是O（0，0），A（0，6），B（4，6），C（4，4），D（6，4），E（6，0）．若直线l经过点M（2，3），且将多边形OABCDE分割成面积相等的两部分，则直线l的函数表达式是 ．
10．如图，射线AM，BN都垂直于线段AB，点E为AM上一点，过点A作BE的垂线AC分别交BE，BN于点F，C，过点C作AM的垂线CD，垂足为D．若CD＝CF，则AEAD ．
11．一个自行车轮胎，若把它安装在前轮，则自行车行驶5000 km后报废；若把它安装在后轮，则自行车行驶 3000 km后报废，行驶一定路程后可以交换前、后轮胎．如果交换前、后轮胎，要使一辆自行车的一对新轮胎同时报废，那么这辆车将能行驶 km ．
12．已知线段AB的中点为C，以点A为圆心，AB的长为半径作圆，在线段AB的延长线上取点D，使得BD＝AC；再以点D为圆心，DA的长为半径作圆，与⊙A分别相交于F，G两点，连接FG交
AB于点H，则AHAB的值为 ．
13．已知12345aaaaa，，，，是满足条件123459aaaaa的五个不同的整数，若b是关于x的方程123452009xaxaxaxaxa的整数根，则b的值为 ．
14．如图，在△ABC中，CD是高，CE为ACB的平分线．若AC＝15，BC＝20，CD＝12，则CE的长等于 ．
二、解答题（共3题，每题20分，共60分） 15．设实数a，b满足：2231085100aabbab，求u29722ab的最小值. 16．如图，AB为⊙O的直径，C为圆上一点，AD平分∠BAC交⊙O于点D，DE⊥AC交AC的延长线于点E，FB是⊙O的切线交AD的延长线于点F. （1）求证：DE是⊙O的切线. （2）若DE = 3，⊙O的半径为5，求BE的长.
17．如图，给定锐角三角形ABC，BCCA，AD，BE是它的两条高，过点C作△ABC的外接圆的
切线l，过点D，E分别作l的垂线，垂足分别为F，G．试比较线段DF和EG的大小，并证明你的结论．
2019-2020年初中数学竞赛试题及其答案 附：中国数学会普及工作委员会关于举办“2011我爱数学初中夏令营”的通知 参赛办法：每支代表队领队一人、队员三人（队员必须是2011年9月1日以后才可能升入高中的学生）。 活动内容：8月10日全天报到，晚上领队会。8月11日上午进行第一试，时间不超过两个小时；8月12日上午进行第二试，时间不超过两个小时。8月13日白天自由活动，晚上举行颁奖及闭幕式。 奖项设置：个人奖（颁发证书）：第一试一、二、三等奖；第二试一、二、三等奖。团体奖（颁发奖杯和奖状）：第一试团体前六名；第二试团体前六名；团体总分前六名。 重要提示： 1、每支参赛代表队需要交纳“夏令营活动费”1500元。 2、今年初中夏令营与小学夏令营同时进行，故安排一天自由活动，以便于专家组阅卷评奖。 3、参加夏令营如食宿需组委会协助解决的，请提前填写“食宿安排登记表”。
2011年中山华附“我爱数学初中夏令营”选拔赛参考答案 一、填空题 1．解：由题设得12012101111110aabbcbcb． 2．解：因为b是实数，所以关于b的一元二次方程21202baba 21()41(2)2aa＝≥0, 解得a≤2或 a≥4． 3． 解：如图，过点A，D分别作AE，DF垂直于直线BC，垂足分别为E，F． 由已知可得BE=AE=6，CF＝22，DF＝26， 于是 EF＝4＋6． 过点A作AG⊥DF，垂足为G．在Rt△ADG中，根据勾股定理得 AD222(46)(6)(224)＝226． 4． 解：由11x和1121444kkkkxx可得 11x，22x，33x，44x， 51x，62x，73x，84x，…… 因为2010=4×502+2，所以2010x=2． 5． 解：由已知可以得到，点1P，2P的坐标分别为（2，0），（2，2）． 记222 )Pab（，，其中222,2ab．根据对称关系，依次可以求得： 322(42)Pab，－－，422(2)Pab，4，522(2)Pab，，622(4)Pab，． 令662(,)Pab，同样可以求得，点10P的坐标为（624,ab），即10P（2242,ab）， 由于2010=4502+2，所以点2010P的坐标为（2010，2）． 6.解：由题设知a≥3，所以，题设的等式为22(3)0bab，于是32ab，，从而ab＝1． 7. 解：因为△BOC ∽ △ABC，所以BOBCABAC，即 11aaa，所以， 210aa．由0a，解得152a． 8． 解：由已知得 (a＋1)2＝5，所以a2＋2a＝4，于是2a3＋7a2－2a－12＝2a3＋4a2＋3a2－2a－11＝3a2＋6a－11＝1 9．解：如图，延长BC交x轴于点F；连接OB，AF；连接CE，DF，且相交于点N． 由已知得点M（2，3）是OB，AF的中点，即点M为矩形ABFO的中心，所以直线l把矩形ABFO分成面积相等的两部分．又因为点N（5，2）是矩形CDEF的中心，所以， 过点N（5，2）的直线把矩形CDEF分成面积相等的两部分．于是，直线MN即为所求的直线l． 设直线l的函数表达式为ykxb，则2352kbkb+，，
解得 1311.3kb， 故所求直线l的函数表达式为11133yx+．
10． 解：见题图，设,FCmAFn．因为Rt△AFB∽Rt△ABC， 所以2ABAFAC． 又因为 FC＝DC＝AB，所以 2()mnnm，即
2()10nnmm，解得512nm，或512nm（舍去）．
又Rt△AFE∽Rt△CFB，所以AEAEAFnADBCFCm512,即AEAD=512．
11．解：设每个新轮胎报废时的总磨损量为k,则安装在前轮的轮胎每行驶1 km 磨损量为5000k,安装在后轮的轮胎每行驶1km的磨损量为3000k.又设一对新轮胎交换位置前走了x km，交换位置后走了y km.分别以一个轮胎的总磨损量为等量关系列方程,有 ,50003000,50003000kxkykkykxk
两式相加，得 ()()250003000kxykxyk， 则 237501150003000xy．
12.解：如图，延长AD与⊙D交于点E，连接AF，EF ． 由题设知13ACAD，13ABAE，在△FHA和△EFA中， 90EFAFHA，FAHEAF
所以 Rt△FHA∽Rt△EFA， AHAFAFAE.而AFAB，所以AHAB13.
13.解：因为123452009bababababa，且12345aaaaa，，，，是五个不同的整数，所有12345bababababa，，，，也是五个不同的整数．又因为2009117741，所以
1234541bababababa．
由123459aaaaa，可得10b．
14.解：如图，由勾股定理知AD＝9，BD＝16，所以AB＝AD＋BD＝25 ． 故由勾股定理逆定理知△ACB为直角三角形，且90ACB． 作EF⊥BC，垂足为F．设EF＝x，由1452ECFACB，得CF＝x，于是BF＝20－x．由于EF∥AC，所以 EFBFACBC，
即 201520xx，
解得607x．所以60227CEx．
15．解：由2231085100aabbab 可得23450abab，（6分） 所以 20ab，或 3450ab. …………（8分） （i）当20ab时， 22297223672236134uabbbb， 于是1b时，u的最小值为34，此时2a，1b. …………（13分） （ii）当3450ab时，222972216322716111uabbbb， 于是1b时，u的最小值为11，此时3a，1b. …………（18分） 综上可知，u的最小值为34. …………（20分）
16．解：(1)如图，连接OD.因为AD平分∠BAC,所以∠1=∠2.又因为OA=OD,所以∠1=∠3.所以∠2=∠3.所以OD∥AE.因为DE⊥AE,所以DE⊥OD.而点D在⊙O上,所以DE是⊙O的切线. …………（7分） (2)如图,连接BE与OD交于点H，作OG⊥AE于点G. 则 OG = DE =3， EG= DO=5，所以AG =