北师大版数学八年级下册数学课件：第一章1等腰三角形第二课时
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北师大版数学八年级下册1.1.1全等三角形和等腰三角形的性质课件(共39张)
几何语言：
∵△ABC ≌△DEF ∴∠A =∠D，∠B =∠E， ∠C =∠F， AB = DE，AC = DF， BC = EF
A BC
D EF
例1 如图，点B，D在线段AE上，AD=BE，
AC∥EF，∠C=∠F.求证：BC=DF. C
A
D
E
B
F
证明：∵AD=BE，
∴AD－BD=BE－BD，即AB=ED.
第一章 三角形的证明 1 等腰三角形
第1课时 全等三角形和等腰三角形的性质
北师版八年级数学下册
学习目标
1、巩固全等三角形的判定及性质 2、了解并掌握等腰三角形的性质定理及推论
回顾复习
我们已经学了哪些判定三角形全等的方法？
边边边（SSS）：三边分别相等的两个三角形全等.
边角边（SAS）：两边及其夹角分别相等的两个三 角形全等.
如图，BC=CD=DE=AE,∠A=20°. (1)求∠DEC的度数； (2)求∠B的度数.
解：
练习
知识点三：等腰三角形性质定理的推论
想一想
A
在图中，线段 AD 还具有怎
样的性质？为什么？由此你能得
到什么结论？
B
C
D
推论 等腰三角形顶角的平分线、底边 上的中线及底边上的高线互相重合.
可分解成下面三个方面来理解：
角边角（ASA）：两角及其夹边分别相等的两个三 角形全等.
新课导入
建筑工人在建造房子时,为了确定房梁是否水平,常用 这样的方法:把一块等腰三角形板放在梁上,从顶角顶点系 一重物,如果系重物的绳子刚好经过三角形的底边中点,则 认为房梁就是水平的。你知道为什么吗？
新课探究
知识点一：全等，∴∠A=∠E.
北师大版数学八下1.等腰三角形的判定与反证法课件
点作这两个角的公共边的平行线，如图，EF与BE，CF
三者有何数量关系？
A
分析：可证BE=DE,CF=DF
E
F
D
∴EF=DE-DF=BE-CF B
G C
Part 3 典例Part精1 析
新课探索
变式4 若过△ABC的两个外角平分线的交点作这两个
角的公共边的平行线，则EF与BE，CF三者有何数量
关系？
A
（2）EF,EB,FC 之间有什么关系？
分析：由（1）知，EO=EB,FO=FC
∴EF=EO+FO=EB+FC
E OF
B
C
Part 3 典例Part精1 析
新课探索
变式2 在△ABC中,∠ABC≠∠ACB，BO平分∠ABC ，CO平
分∠ACB,过O点作EF, 使EF∥BC
A
（1）此时有几个等腰三角形？
（2）BE＋CF=EF仍然成立吗？
（3）在上述条件下当AB=12，AC=8时，
你能求ΔAEF的周长吗？
分析：（1）2个：△BOE、△FOC
E
OF
（2）成立
B
C
（3） C△AEF =AE+BE+CF+AF=AC+AB=20
Part 3 典例Part精1 析
新课探索
变式3 若过△ABC的一个内角和一个外角平分线的交
E
D
（两直线平行，内错角相等） ∴∠ABD=∠EDB（等量代换）
B
C
∴BE=DE（等角对等边）
即△BDE是等腰三角形.
基本构图:角平分线+平行线构造等腰三角形.
新课探索
Part 3 典例Part精1 析
北师大版数学八年级下册1.等腰三角形的特殊性质及等边三角形的性质课件
新课讲授
典例分析
例 如图，已知△ABC，△BDE都是等边三角形． 求证：AE＝CD.
分析：要证AE＝CD，可通过证AE，CD所在的两个三角 形全等来实现，即证△ABE≌△CBD，条件可从 等边三角形中去寻找．
新课讲授
证明：∵△ABC和△BDE都是等边三角形， ∴AB＝BC，BE＝BD，∠ABC＝∠DBE＝60°. AB＝CB， 在△ABE与△CBD中， ABE＝CBD， BE＝BD， ∴△ABE≌△CBD(SAS)． ∴AE＝CD.
第一章 三角形的证明
1 等腰三角形
课时2 等腰三角形的特殊性质及等边三角形的性质
学习目标
等腰三角形中相等的线段 等边三角形的性质.（重点、难点）
新课导入
等腰三角形有哪些性质？
1．等腰三角形的性质：等边对等角. 2．等腰三角形性质的推论：三线合一，即等腰三角形
顶角的平分线、底边上的中线及底边上的高线互相 重合.
新课讲授
典例分析
例 求证：等腰三角形两腰上的中线相等．
分析：先根据命题分析出题设和结论，画出图形，写 出已知和求证，然后利用等腰三角形的性质和 三角形全等的知识证明．
新课讲授
解：如图，在△ABC中，AB＝AC，CE和BD分别是AB 和AC上的中线， 求证：CE＝BD.
证明：∵AB＝AC，CE和BD分别是AB 和AC上的中线，
新课讲授
知识点2 等边三角形的性质
1．等边三角形的定义是什么？ 2．想一想
等边三角形是特殊的等腰三角形，那么等边三角 形的内角有什么特征呢?
新课讲授
定理 等边三角形的三个内角都相等，并且每个角 都等于60°.
新课讲授
典例分析
例 已知：如图, 在△ABC中，AB= AC=BC. 求证：∠A= ∠ B = ∠ C = 60°. ∵AB = AC， ∴∠ B = ∠ C (等边对等角). 又∵AC = BC， ∴∠A= ∠ B (等边对等角). ∴∠A= ∠ B = ∠ C. 在△ABC中，∠A+∠ B+∠ C = 180°. ∴∠A= ∠ B = ∠ C = 60°.
北师大版八年级数学下册第一章《等腰三角形》优质公开课课件
达标检测二：
1、如图，CD是等腰直角三角形ABC斜边 上的高，找出图中有哪些等腰直角三角形。
C
A
B
答：图中的等腰直角三角形有： 等腰Rt△ABC、等腰Rt△ADC和 等腰Rt△ CDB
2、已知：如图，AD∥BC，BD 平分∠ABC
求证：AB=AD
A
D
B
C
证明：∵AD ∥BC（已知） ∴∠ADB= ∠CBD（两直线平行，内错 角相等）
证法二：作AD⊥BC，垂足为D
在 △BAD和△CAD中，
∠ADB= ∠ADC，
B
D
∠B=∠C, C AD=AD(公共边），
∵△BAD≌△CAD（AAS）
∴AB=AC（全等三角形的对应边 相等）
请同学们想一想：作等腰三角形底边上的 中线可以证明吗？为什么？
已知：在△ABC中，∠A=∠B=∠C 求证：AB=AC=BC A
例 如图，求证：如果三角形一个
外角的平分线平行于三角形的一边，
那么这个三角形是等腰三角形.
E
1
A2
B
已知：如图， D ∠CAE是△ABC
的外角， ∠1=∠2， AD∥BC C 求证：AB=AC
解：∵AD∥BC， ∴∠1= ∠B (两直线平行，同位角相等）， ∠ 2 ＝ ∠C(两直线平行，内错角相等）， ∴ ∠1= ∠2 ∵ ∠1= ∠2 ∴ ∠B ＝ ∠C ∴AB=AC (等角对等边）
1 等腰三角形
请同学们回答下面的问题：
1、等腰三角形的性质是什么？
①有两个相等的角. ②有两条相等的边. ③底边上的中线、高和顶角的平分线重合.
2、什么叫互逆命题，什么叫互逆定理？
答：在两个命题中，如果第一个命题的题设是 第二个命题的结论，而第一个命题的结论 又是第二个命题的题设，那么这两个命题 叫做互逆命题.如果一个定理的逆命题经过 证明是真命题，那么它是一个定理，这两 个定理叫做互逆定理.
北师版八年级数学下册1.1.1 等腰三角形的性质 课件(共28张ppt)
导引：给出的条件中，若底角、顶角已确定，可直接运用三 角形的内角和定理与等腰三角形的两底角相等的性质 求解；若给出的条件中底角、顶角不确定，则要分两 种情况求解．
解：(1)∵AB＝AC，∴∠B＝∠C. ∵∠A＋∠B＋∠C＝180°， ∴50°＋2∠B＝180°，解得∠B＝65°.
例题精析
(2)由题意可知，70°的角可以为顶角或底角，当底角 为70°时，顶角为180°－70°×2＝40°.因此顶角 为40°或70°.
形顶角的平分线、底边上的中线及底边上的高线 互相重合. 2．思想方法：转化思想的应用，等腰三角形的性质是 证明角相等、边相等的重要方法.
课堂精练
7. 【中考·台州】如图，在等腰三角形ABC中，AB ＝AC，若以点B为圆心，BC长为半径画弧，交腰 AC于点E，则下列结论一定正确的是( C ) A．AE＝EC B．AE＝BE C．∠EBC＝∠BAC D．∠EBC＝∠ABE
课堂精练
8. 【中考·苏州】如图，在△ABC中，AB＝AC，D 为 BC的 中 点 ， ∠ BAD ＝ 35° ， 则 ∠ C 的 度 数 为 () A．35° B．45° C．55° D．60°
易错点拨
已知等腰三角形的一个外角等于110°，这个等腰三
角形的一个底角的度数为( D )
A．40°
B．55°
C．70°
D．55°或70°
易错点：求等腰三角形的角时易出现漏解的错误
易错点拨
本题应用分类讨论思想，分顶角为70°和 底角为70°两种情况，解题时易丢掉一种情况 而漏解．
课堂小结
1．知识方面： （1）等腰三角形的性质：等边对等角. （2）等腰三角形性质的推论：三线合一，即等腰三角
EF⊥AB，垂足为F.
解：(1)∵AB＝AC，∴∠B＝∠C. ∵∠A＋∠B＋∠C＝180°， ∴50°＋2∠B＝180°，解得∠B＝65°.
例题精析
(2)由题意可知，70°的角可以为顶角或底角，当底角 为70°时，顶角为180°－70°×2＝40°.因此顶角 为40°或70°.
形顶角的平分线、底边上的中线及底边上的高线 互相重合. 2．思想方法：转化思想的应用，等腰三角形的性质是 证明角相等、边相等的重要方法.
课堂精练
7. 【中考·台州】如图，在等腰三角形ABC中，AB ＝AC，若以点B为圆心，BC长为半径画弧，交腰 AC于点E，则下列结论一定正确的是( C ) A．AE＝EC B．AE＝BE C．∠EBC＝∠BAC D．∠EBC＝∠ABE
课堂精练
8. 【中考·苏州】如图，在△ABC中，AB＝AC，D 为 BC的 中 点 ， ∠ BAD ＝ 35° ， 则 ∠ C 的 度 数 为 () A．35° B．45° C．55° D．60°
易错点拨
已知等腰三角形的一个外角等于110°，这个等腰三
角形的一个底角的度数为( D )
A．40°
B．55°
C．70°
D．55°或70°
易错点：求等腰三角形的角时易出现漏解的错误
易错点拨
本题应用分类讨论思想，分顶角为70°和 底角为70°两种情况，解题时易丢掉一种情况 而漏解．
课堂小结
1．知识方面： （1）等腰三角形的性质：等边对等角. （2）等腰三角形性质的推论：三线合一，即等腰三角
EF⊥AB，垂足为F.
北师大版八年级数学下册等腰三角形和直角三角形复习课件
选一选 你真棒
6.下列关于直角三角形的判定，正确的有（ D） (1)有一个角是直角的三角形是直角三角形. (定义) (2)两内角互余的三角形是直角三角形。 (3)一条边上的中线等于该边的一半，这条边所对的
角是直角，则这个三角形是直角三角形。 (4)较小两边的平方和等于较大边的平方的三角形是
直角三角形. (勾股定理的逆定理)
则底角度数为______顶角度数为_______。
2 如图，已知在直角△ABC中， ∠C=90 °， BD平分∠ABC交AC于D；
（1）若∠BAC=30 °，则AD=——； A
D
B
C
例1.如图，已知在△ABC中，AB=AC，BD⊥AC于D，
CE⊥AB于E，BD与CE相交于M点。求证：
BM=CM。 A
▪ 证明：∵AB=AC
▪ ∴∠ABC=∠ACB（等边对等角）
▪ ∵ BD⊥AC于D，CE⊥AB于E ▪ ∴∠BEC=∠CDB=90° ▪ ∴∠1+∠ACB=90°，
∠2+∠ABC=90°（直角三角形 两个锐角互余）
E
Mபைடு நூலகம்
D
1 B
2 C
说明：本题易习惯性地用全等来
▪ ∴∠1=∠2（等角的余角相等） ▪ ∴BM=CM（等角对等边）
（1）求证ME=MF；
课后思考 （2）若CD为AB边上的高， ME+MF与CD有什
么数量关系？
（3）若M在BC上移动,ME+MF为定值吗？试说明理由。
总结：许多问题可以用基本的性质、判定解决，
用探讨研究的精神去看待
3. 如图，线段OD的一个端点O在直线a上，以 OD为一边画等腰三角形，并且使另一个顶点在直 线a上，这样的等腰三角形能画多少个?
北师大版八年级数学下册课件 1.1.2等腰三角形课件(新版)北师大版(共17张PPT)
A
D C
想一想, 做一做
刚才，我们只是发现并证明了等腰三角形中 比较特殊的线段(角平分线、中线、高)相等，还 有其他的结论吗?你能从上述证明的过程中得到什 么启示?
把腰二等分的线段相等，把底角二等分的线 段相等．如果是三等分、四等分……结果如何呢?
想一想, 做一做
1．在等腰三角形ABC中，
(1)如果∠ABD= 1∠ABC，∠ACE= ∠1ACB，那么BD=CE
证法2：
已知：如图，在△ABC中，AB=AC，BD和 CE是△ABC的角平分线． 求证：BD=CE．
证明：∵AB=AC， ∴∠ABC=∠ACB． 又∵∠3=∠4． 在△ABC和△ACE中， ∠3=∠4，AB=AC，∠A=∠A． ∴△ABD≌△ACE(ASA)． ∴BD=CE(全等三角形的对应边相等)．
在等腰三角形中作出一些线段(如 角平分线、中线、高等)，你能发现其 中一些相等的线段吗?你能证明你的结 论吗?
探究相等线段
（一）证明“等腰三角形两底角的平分线相等”
证法1：已知：如图，在△ABC中， AB=AC，BD和CE是△ABC的角平分 线． 求证：BD=CE． 证明：∵AB=AC， ∴∠ABC=∠ACB(等边对等角)． ∵∠1=∠ABC，∠2=∠ABC， ∴∠1=∠2． 在△BDC和△CEB中， ∠ACB=∠ABC，BC=CB，∠1=∠2． ∴△BDC≌△CEB(ASA)． ∴BD=CE(全等三角形的对应边相等)
（三）证明“等腰三角形两腰上的高线相等”
方法二： 已知：如图，在△ABC中，AB=AC，BD 和CE是△ABC两腰上的高线． 求证：BD=CE． 证明：∵BD和CE是△ABC两腰上的高线 ∴∠AEC=∠ADB=90°（垂直的定 E
义）． 在△AEC和△ADB中， ∠A=∠A，AB=AC，∠AEC=∠ADB．B ∴△AEC≌△ADB (AAS)． ∴BD=CE(全等三角形的对应边相等)
北师版数学八年级下册第1章第1节等腰三角形课件
A
N
M
B
C
1.如图,在△ABC中,AB=AC，点D，E分别在边AC和AB上.
（1）如果∠ABD=
1 3
ABC
,
∠ACE=
1 3
ACB，那么BD=CE
吗?如果∠ABD= 1 ABC ,∠ACE=
4
1 ACB 4
呢?
由此你能得到一
个什么结论?
A
（2）如果AD= 1 AC,AE= 1 AB,那么
∵CD是腰AB上的高，
∴∠ADC=90°. ∴CD= 1 AC（在直角三角形中，如果一个锐角等于
2
30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半）. ∴CD= 1 AB.
2
A
B
C
前面已经证明了等腰三角形的两个底角相等.反过来，有
两个角相等的三角形是等腰三角形吗? A
如图, 在△ABC中, ∠B＝∠C.要想证
明AB=AC，只要能构造两个全等的三角形，
使AB与AC成为对应边就可以了.你是怎样构
B
C
造的？
定理 有两个角相等的三角形是等腰三角形.
这一定理可以简单叙述为：等角对等边.
一个三角形满足什么条件时是等边三角形? 一个等腰三角形满足什么条件时是等边三角形? 请证明自己的结论，并与同伴交流.
已知：如图，在△ABC中，AB=AC，∠B=60°. 求证：△ABC是等边三角形.
A
B
C
定理 三个角都相等的三角形是等边三角形. 定理 有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形.
A
B
C
小明是这样想的:
在 △ ABC 中 , 已 知 ∠ B≠∠C, 此 时 ,AB 与 AC 要 么相等,要么不相等.
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第一章 三角形的证明
1 等腰三角形 第 2 课时 等腰三角形（二）
课前预习
1. 等边三角形的三个内角都____相__等____，并且每个角都 等于____6_0_°____. 2. 等边三角形的边长为2，则它的周长为_____6_____. 3. 下列条件中，不能得到等边三角形的是
（A） A. 有两个外角相等的等腰三角形是等边三角形 B. 三边都相等的三角形是等边三角形 C. 有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形 D. 有两个内角等边△ABC剪去一个角后，则
∠1+∠2的大小为
（D ）
A. 120° B. 180° C. 200°
D. 240°
课后作业
4. 如图1-1-24，D是等边△ABC的边AC上一点，E是等
边△ABC外一点，若BD=CE，∠1=∠2，则△ADE的形
状是
（B）
A. 等腰三角形
课后作业
夯实基础
新知 等边三角形的性质定理
1. 在等边△ABC中，已知BC边上的中线AD=16，则∠BAC的
平分线长等于
（ C）
A. 4
B. 8
C. 16
D. 32
2. 如图1-1-22,在等边△ABC中，BD=CE，AD与BE相交于点P，
则∠APE的度数是 A. 45° B. 55°
（C ）
C. 60° D. 75°
B. 等边三角形
C. 直角三角形
D. 不等边三角形
课后作业
5. 如图1-1-25，已知等边△ABC的边长为2，AD平分∠BAC. （1）求BD的长； （2）求△ABC的面积.
解：（1）∵等边△ABC的边长为2，AD平分∠BAC， ∴AD⊥BC，且BD= BC=1. （2）在Rt△ABD中， AD=AB2-BD2 = 3， 则S△ABC= BC·AD= ×2× 3 = 3
8. 如图1-1-28，已知在等边△ABC中，AD⊥BC，AD=AC，
连接CD并延长，交AB的延长线于点E，求∠E的度数.
解：∵在等边△ABC中，AB=AC，AD⊥BC， ∴∠CAD= ∠BAC. ∵∠BAC=60°， ∴∠CAD=30°. ∵AD=AC，∴∠ACD=∠ADC. ∵在△ACD中，∠ACD+∠ADC+∠CAD=180°， ∴∠ACD=75°. ∵在△ACE中，∠EAC+∠ACE+∠E=180°， ∴∠E=45°.
课堂讲练
新知 等边三角形的性质定理
典型例题
【例1】如图1-1-19，△ABC是等边三角形，则∠1+∠2=
（ C）
A. 60° B. 90°
C. 120°
D. 180°
课堂讲练
【例2】如图1-1-20，在等边△ABC中，AN=BM， 求证： （1）△BMC≌△ANB； （2）∠MOB=∠ACB.
课堂讲练
课后作业
6. 已知：如图1-1-26，在等边△ABC中，D是AC中点， 过点C作CE∥AB，且AE⊥CE. 求证：BD=AE. 证明：∵在等边△ABC中，D是AC中点， ∴AB=CA，BD⊥AC. ∵AE⊥CE，∴∠ADB=∠E. ∵CE∥AB，∴∠BAD=∠ACE.
在△BAD和△ACE中，
∴△BAD≌△ACE（AAS）. ∴BD=AE.
证明：（1）∵在等边△ABC中，AN=BM， ∴AB=BC，∠A=∠CBM.
∵在△BMC和△ANB中，
∴△BMC≌△ANB（SAS）. （2）由（1）知△BMC≌△ANB， ∴∠BCM=∠ABN. ∵∠ABN+∠NBC=60°， ∴∠BCM+∠OBC=60°. ∴∠MOB=∠ACB=60°.
课堂讲练
课后作业
9. 如图1-1-29，△ABC是等边三角形，△BDC是顶角 ∠BDC=120°的等腰三角形，以D为顶点作一个60°角，角 两边分别交AB，AC边于M，N两点，连接MN. 探究线段BM， MN，NC之间的关系，并加以证明.
课后作业
解：MN=BM+NC. 理由如下. 如答图1-1-3，延长AC至点E，使得CE=BM（或延长AB至点E，使 得BE=CN），并连接DE. ∵△BDC为等腰三角形，△ABC为等边三角形， ∴BD=CD，∠DBC=∠DCB，∠MBC=∠ACB=60°. 又∵∠BDC=120°，∴∠DBC=∠DCB=30°. ∴∠ABC+∠DBC=∠ACB+∠DCB=60°+30°=90°. ∴∠MBD=∠ECD=90°.
模拟演练
1.等边三角形中，两条中线所夹的锐角的度数为（ D ）
A. 30° B. 40° C. 50°
D. 60°
2. 如图1-1-21，等边△ABC中，∠1=∠2=∠3.
（1）求证：DE=EF=DF；
（2）求∠BEC的度数.
课堂讲练
（1）证明：∵△ABC是等边三角形， ∴∠BAC=∠ABC=∠ACB=60°, AB=BC=AC. 又∵∠1=∠2=∠3， ∴∠CAF=∠ABD=∠ECB. ∴△ADB≌△BEC≌△CFA. ∴AD=BE=CF,BD=CE=AF. ∴DE=EF=DF. （2）解：由（1）可知△DEF为等边三角形， ∴∠DFE=∠DEF=∠EDF=60°. ∵∠BEC=∠FDE+∠EFD， ∴∠BEC=120°.
课后作业
能力提升
7. 如图1-1-27所示，已知△ABC和△DCE均是等边三角形，
点B，C，E在同一条直线上，AE与CD交于点G，AC与BD
交于点F，连接FG，则下列结论：
①AE=BD；②AG=BF；③FG∥BE；④CF=CG.
其中正确结论的个数为
（ D）
A. 1个
B. 2个
C. 3个
D. 4个
课后作业
在△MBD和△ECD中，
∴△MBD≌△ECD（SAS）. ∴MD=DE,∠BDM=∠CDE. ∵∠BDC=120°,∠BDM=∠CDE, ∴∠MDE=120°-∠BDM+∠CDE=120°. 又∵∠MDN=60°,∴∠NDE=60°. ∴∠MDN=∠NDE.∴△DMN≌△DEN（SAS）.
1 等腰三角形 第 2 课时 等腰三角形（二）
课前预习
1. 等边三角形的三个内角都____相__等____，并且每个角都 等于____6_0_°____. 2. 等边三角形的边长为2，则它的周长为_____6_____. 3. 下列条件中，不能得到等边三角形的是
（A） A. 有两个外角相等的等腰三角形是等边三角形 B. 三边都相等的三角形是等边三角形 C. 有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形 D. 有两个内角等边△ABC剪去一个角后，则
∠1+∠2的大小为
（D ）
A. 120° B. 180° C. 200°
D. 240°
课后作业
4. 如图1-1-24，D是等边△ABC的边AC上一点，E是等
边△ABC外一点，若BD=CE，∠1=∠2，则△ADE的形
状是
（B）
A. 等腰三角形
课后作业
夯实基础
新知 等边三角形的性质定理
1. 在等边△ABC中，已知BC边上的中线AD=16，则∠BAC的
平分线长等于
（ C）
A. 4
B. 8
C. 16
D. 32
2. 如图1-1-22,在等边△ABC中，BD=CE，AD与BE相交于点P，
则∠APE的度数是 A. 45° B. 55°
（C ）
C. 60° D. 75°
B. 等边三角形
C. 直角三角形
D. 不等边三角形
课后作业
5. 如图1-1-25，已知等边△ABC的边长为2，AD平分∠BAC. （1）求BD的长； （2）求△ABC的面积.
解：（1）∵等边△ABC的边长为2，AD平分∠BAC， ∴AD⊥BC，且BD= BC=1. （2）在Rt△ABD中， AD=AB2-BD2 = 3， 则S△ABC= BC·AD= ×2× 3 = 3
8. 如图1-1-28，已知在等边△ABC中，AD⊥BC，AD=AC，
连接CD并延长，交AB的延长线于点E，求∠E的度数.
解：∵在等边△ABC中，AB=AC，AD⊥BC， ∴∠CAD= ∠BAC. ∵∠BAC=60°， ∴∠CAD=30°. ∵AD=AC，∴∠ACD=∠ADC. ∵在△ACD中，∠ACD+∠ADC+∠CAD=180°， ∴∠ACD=75°. ∵在△ACE中，∠EAC+∠ACE+∠E=180°， ∴∠E=45°.
课堂讲练
新知 等边三角形的性质定理
典型例题
【例1】如图1-1-19，△ABC是等边三角形，则∠1+∠2=
（ C）
A. 60° B. 90°
C. 120°
D. 180°
课堂讲练
【例2】如图1-1-20，在等边△ABC中，AN=BM， 求证： （1）△BMC≌△ANB； （2）∠MOB=∠ACB.
课堂讲练
课后作业
6. 已知：如图1-1-26，在等边△ABC中，D是AC中点， 过点C作CE∥AB，且AE⊥CE. 求证：BD=AE. 证明：∵在等边△ABC中，D是AC中点， ∴AB=CA，BD⊥AC. ∵AE⊥CE，∴∠ADB=∠E. ∵CE∥AB，∴∠BAD=∠ACE.
在△BAD和△ACE中，
∴△BAD≌△ACE（AAS）. ∴BD=AE.
证明：（1）∵在等边△ABC中，AN=BM， ∴AB=BC，∠A=∠CBM.
∵在△BMC和△ANB中，
∴△BMC≌△ANB（SAS）. （2）由（1）知△BMC≌△ANB， ∴∠BCM=∠ABN. ∵∠ABN+∠NBC=60°， ∴∠BCM+∠OBC=60°. ∴∠MOB=∠ACB=60°.
课堂讲练
课后作业
9. 如图1-1-29，△ABC是等边三角形，△BDC是顶角 ∠BDC=120°的等腰三角形，以D为顶点作一个60°角，角 两边分别交AB，AC边于M，N两点，连接MN. 探究线段BM， MN，NC之间的关系，并加以证明.
课后作业
解：MN=BM+NC. 理由如下. 如答图1-1-3，延长AC至点E，使得CE=BM（或延长AB至点E，使 得BE=CN），并连接DE. ∵△BDC为等腰三角形，△ABC为等边三角形， ∴BD=CD，∠DBC=∠DCB，∠MBC=∠ACB=60°. 又∵∠BDC=120°，∴∠DBC=∠DCB=30°. ∴∠ABC+∠DBC=∠ACB+∠DCB=60°+30°=90°. ∴∠MBD=∠ECD=90°.
模拟演练
1.等边三角形中，两条中线所夹的锐角的度数为（ D ）
A. 30° B. 40° C. 50°
D. 60°
2. 如图1-1-21，等边△ABC中，∠1=∠2=∠3.
（1）求证：DE=EF=DF；
（2）求∠BEC的度数.
课堂讲练
（1）证明：∵△ABC是等边三角形， ∴∠BAC=∠ABC=∠ACB=60°, AB=BC=AC. 又∵∠1=∠2=∠3， ∴∠CAF=∠ABD=∠ECB. ∴△ADB≌△BEC≌△CFA. ∴AD=BE=CF,BD=CE=AF. ∴DE=EF=DF. （2）解：由（1）可知△DEF为等边三角形， ∴∠DFE=∠DEF=∠EDF=60°. ∵∠BEC=∠FDE+∠EFD， ∴∠BEC=120°.
课后作业
能力提升
7. 如图1-1-27所示，已知△ABC和△DCE均是等边三角形，
点B，C，E在同一条直线上，AE与CD交于点G，AC与BD
交于点F，连接FG，则下列结论：
①AE=BD；②AG=BF；③FG∥BE；④CF=CG.
其中正确结论的个数为
（ D）
A. 1个
B. 2个
C. 3个
D. 4个
课后作业
在△MBD和△ECD中，
∴△MBD≌△ECD（SAS）. ∴MD=DE,∠BDM=∠CDE. ∵∠BDC=120°,∠BDM=∠CDE, ∴∠MDE=120°-∠BDM+∠CDE=120°. 又∵∠MDN=60°,∴∠NDE=60°. ∴∠MDN=∠NDE.∴△DMN≌△DEN（SAS）.