高中数学课件-分数指数幂 (1)
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课件2：4.1.1 n次方根与分数指数幂
[解]
4 (
(x－1))4＋6
(x2－4x＋4)3
＝(4 x－1)4＋6 (x－2)6 ∵2≤x≤3，∴x－1>0，x－2≥0， ∴原式＝(x－1)＋|x－2|＝x－1＋x－2＝2x－3.
名师提醒 有限制条件根式的化简策略
(1)有限制条件根式的化简问题，是指被开方数或被 开方的表达式可以通过配方、拆分等方式进行化简． (2)有限制条件根式的化简经常用到配方的方法．当 根指数为偶数时，在利用公式化简时，要考虑被开 方数或被开方的表达式的正负．
题型三 有限制条件的根式化简 典例 3 设 x∈[1,2]，化简(4 x－1)4＋6 x2－4x＋43.
[解]
4 (
x－1)4＋6
(x2－4x＋4)3
＝(4 x－1)4＋6 (x－2)6 ∵1≤x≤2，∴x－1≥0，x－2≤0. ∴原式＝(x－1)＋|x－2|＝(x－1)＋(2－x)＝1.
变式 若本例中的“x∈[1,2]”改为“x∈[2,3]”，其他条件 不变，化简求值．
2．若4 x－2有意义，则实数 x 的取值范围是________．
[解析] 要使4 x－2有意义，则需 x－2≥0，即 x≥2. 因此实数 x 的取值范围是[2，＋∞)． [答案] [2，＋∞)
题型二 简单根式的化简与求值 典例 2 化简下列各式： (1) 5 －25；(2) 4 －104； (3) 4 －92；(4) 4 a－b4.
4.1.1 n次方根与分数指数幂
学习目标 1．理解 n 次方根、n 次根式的概念． 2．正确运用根式运算性质化简、求值． 3．体会分类讨论思想、符号化思想的作用．
要点梳理 1．根式的概念 一般地，如果 xn＝a，那么 x 叫做 a 的 n 次方根 ，其 中 n>1，且 n∈N*. (1)当 n 是奇数时，正数的 n 次方根是一个正数，负数 的 n 次方根是一个负数，这时，a 的 n 次方根用符号
高中数学第2章函数2.2.1分数指数幂第1课时函数的单调性课件苏教版必修1
知识点一 单调增函数与单调减函数的定义 一般地，设函数y＝f(x)的定义域为A，区间I⊆A，如果对于区间I内的任意 两个值x1，x2，当x1＜x2时，都有f(x1)＜f(x2)(f(x1)＞f(x2))，那么就说y＝f(x) 在区间I上是单调增(减)函数，I称为y＝f(x)的单调增(减)区间.
知识点二 单调性与单调区间
解析答案
12345
4.函数y＝f(x)在R上为增函数，且f(2m)>f(－m＋9)，则实数m的取值范围 是__m_＞__3___. 解析 因为函数y＝f(x)在R上为增函数，且f(2m)>f(－m＋9)， 所以2m>－m＋9，即m>3.
解析答案
1 5.函数y＝x|x－1|的单调递增区间是_(_－__∞__，_2_]_，__[_1_，__＋__∞__) .
fa－fb 解析 由 a－b >0 知，当 a>b 时，f(a)>f(b)；
当a<b时，f(a)<f(b)，所以函数f(x)是R上的增函数.
解析答案
2.函数y＝x2－6x的减区间是_(_－__∞__，__3_] __. 解析 y＝x2－6x＝(x－3)2－9，故减区间为(－∞，3].
12345
答案
(2)若函数f(x)在定义域内的两个区间D1，D2上都是减函数，那么f(x)的 减区间能写成D1∪D2吗？ 答 单调区间不能取并集，如 y＝1x在(－∞，0)上递减，在(0，＋∞) 上也递减，但不能说 y＝1x在(－∞，0)∪(0，＋∞)上递减.
答案
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题型探究
重点突破
题型一 求函数的单调区间 例1 画出函数y＝－x2＋2|x|＋1的图象并写出函数的单调区间.
解析
－1≤a≤1， 由题意得－1≤2－3a≤1，
《分数指数幂时》课件
分数指数幂与几何变换
在几何学中，分数指数幂可以用于描述各种几何变换，如旋转、缩放和剪切等。
分形几何中的分数指数幂
分形几何是一种描述自然界中复杂形状和结构的几何学方法，分数指数幂在分形几何中有着广泛的应用，如Mandelbrot集和Julia集等。
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《分数指数幂时》ppt课件
目录
CONTENTS
分数指数幂的定义分数指数幂的运算分数指数幂的应用分数指数幂的扩展知识
分数指数幂的定义
分数指数幂的数学定义
分数指数幂是一种数学运算，用于表示一个数的指数为分数的情况。具体来说，如果a是一个正实数，n是一个正整数，那么a的n次方表示a自乘n次；如果n是一个正分数，那么a的n次方表示a的整数次方的n次方根。
举例说明
03
举例说明
如果 a = 2，m = 3，n = 2，p = 3，则 (a^(3/2))^(2/3) = 2^(3/2 * 2/3) = 2^1 = 2。
01
总结词
掌握分数指数幂的幂运算规则
02
详细描述
分数指数幂的幂运算规则是底数相乘，指数相乘。例如，(a^(m/n))^(n/p) = a^(m/n * n/p)。
交换律是指分数指数幂可以交换底数和指数的位置，即a^(m/n)=a^m^(1/n)=(a^m)^(1/n)。结合律是指分数指数幂可以按照任意组合进行计算，即(a^m)^(n/p)=a^(mn/p)。分配律是指分数指数幂可以与乘法或除法运算结合使用，即(ab)^(m/n)=a^(m/n)b^(m/n)。
分数指数幂的数学定义示例
例如，如果我们要计算2的3/2次方，那么我们可以将其表示为2^(3/2)，根据分数指数幂的数学定义，这等于2的3次方的平方根，即√(2^3)。
分数指数幂 课件
2
1.3 3
可化为(
)
A. 2
3 C. 9
B. 3 D． 9
[答案] C
[解析]
2
33
＝3 32＝3 9.
2．若 a>0，n，m 为实数，则下列各式中正确的是( )
A．am÷an＝amn
B．an·am＝am·n
C．(an)m＝am＋n
D．1÷an＝a0－n
[答案] D [解析] 由指数幂的运算法则知1÷an＝a0÷an＝a0－n正确， 故选D.
3 a15÷
a－3 a－1.
2
[思路分析] 将根式化为分数指数幂的形式，利用分数指 数幂的运算性质计算．
[解析] (1)原式＝1＋14×(49)12 －(1100)12 ＝1＋16－110＝1165.
37 3 (2)原式＝ a2 a－2 ÷
8
a－3
15
a3
3 ÷
3
a－2
1
a－2
＝3 a2÷
7
a3
3 ÷
[思路分析] (1)关键是理解分数指数幂的意义，先将根式
化为分数指数幂的形式．
(2)运用分数指数幂的运算性质进行化简．
23
23
13
[解析] (1)原式＝a3 ·a2 ＝a3 ＋2 ＝a 6 ；
111
111
111
7
(2)原式＝[a·(a·a2 )2 ]2 ＝a2 ·a4 ·a8 ＝a2 ＋4 ＋8 ＝a8 ；
有条件的求值问题
已知
1
a2
＋a－12
＝3，求下列各式的值.
(1)a＋a－1；
(2)a2＋a－2；
3
a2
－a－32
(3) 1 a2
人教版高中数学必修第一册4.1指数 课时1n次方根与分数指数幂【课件】
(2) 先乘除后加减，负指数幂化成正指数幂的倒数．
(3) 底数是负数，先确定符号；底数是小数，先化成分数；底数是带分
数，先化成假分数．
(4) 若是根式，应化为分数指数幂，尽可能用指数幂的形式表示，运用
指数幂的运算性质来解答．
【变式训练3】 计算下列各式：
【解】
【备选例题】
思路点拨：含字母的根式与分数指数幂的互化,从分数指数
15.5年，薇甘菊的侵害面积是多少？可否表示为S0·1.05715.5 hm2？
如果可以，数1.05715.5表示什么含义呢？
情境导学
2.初中我们已经学习过整数指数幂．在学习幂函数时，我们把
正方形场地的边长c关于面积S的函数c＝ 记作c＝ ，像 这样以
分数为指数的幂，叫做分数指数幂．
3.在初中，我们学习了平方根和立方根.4的平方根是多少？8
的立方根是多少？是不是任何数的平方根都有两个、立方根都只有
一个？若x5＝32，x可以取什么值？若x4＝16，x可以取什么值？你
能发现它们的共同特点吗？
初探新知
【活动1】探究n次方根的概念,深化对根式的认识和理解
【问题1】 我们知道:若x2=2,则x=± 2 ,± 2 称为2的平方根,(2)3=-8,-2称为-8的立方根.如果xn=a(n>1,n∈N*),那么x称为a的什
化成自然对数或常用对数；通过具体实例，引导学生了解对数函数的概念，
并能借助描点法、信息技术画出具体对数函数的图象， 探索并了解对数
函数的单调性与特殊点；让学生知道对数函数y＝log x与指数函数y＝ax
互为反函数(a>0，且a≠1)．
知识要点及教学要求
3. 结合指数函数与对数函数的图象，指导学生进一步了解函数的零点与方
(3) 底数是负数，先确定符号；底数是小数，先化成分数；底数是带分
数，先化成假分数．
(4) 若是根式，应化为分数指数幂，尽可能用指数幂的形式表示，运用
指数幂的运算性质来解答．
【变式训练3】 计算下列各式：
【解】
【备选例题】
思路点拨：含字母的根式与分数指数幂的互化,从分数指数
15.5年，薇甘菊的侵害面积是多少？可否表示为S0·1.05715.5 hm2？
如果可以，数1.05715.5表示什么含义呢？
情境导学
2.初中我们已经学习过整数指数幂．在学习幂函数时，我们把
正方形场地的边长c关于面积S的函数c＝ 记作c＝ ，像 这样以
分数为指数的幂，叫做分数指数幂．
3.在初中，我们学习了平方根和立方根.4的平方根是多少？8
的立方根是多少？是不是任何数的平方根都有两个、立方根都只有
一个？若x5＝32，x可以取什么值？若x4＝16，x可以取什么值？你
能发现它们的共同特点吗？
初探新知
【活动1】探究n次方根的概念,深化对根式的认识和理解
【问题1】 我们知道:若x2=2,则x=± 2 ,± 2 称为2的平方根,(2)3=-8,-2称为-8的立方根.如果xn=a(n>1,n∈N*),那么x称为a的什
化成自然对数或常用对数；通过具体实例，引导学生了解对数函数的概念，
并能借助描点法、信息技术画出具体对数函数的图象， 探索并了解对数
函数的单调性与特殊点；让学生知道对数函数y＝log x与指数函数y＝ax
互为反函数(a>0，且a≠1)．
知识要点及教学要求
3. 结合指数函数与对数函数的图象，指导学生进一步了解函数的零点与方
n次方根与分数指数幂的说课课件
n次方根与分数指数幂的说课课件一、引言首先，让我们回顾一下分数指数幂这一基本概念。
分数指数幂是既具有数学历史感又具有现实实用性的概念，它的产生基于实数指数幂的推广，具有广泛的现实应用背景。
本节课将深入探讨n次方根和分数指数幂的关系及其应用。
二、n次方根1.定义：n次方根是指一个数的n次方根，用符号“√”表示，如2√表示2的n次方根。
2.性质：n次方根具有非负性，即被开方数必须大于或等于零。
3.应用：n次方根在科学计算、工程设计等领域有广泛应用。
三、分数指数幂1.定义：分数指数幂是指以正分数为底数的指数幂，通常称为分母指数幂。
2.性质：分母指数幂具有倒数性质，即倒数等于分子指数幂的倒数。
3.运算规则：分母指数幂可以与整数、正数、负数相乘，而分子指数幂不能与负数相乘。
4.应用：分数指数幂广泛应用于数学、物理、化学等领域。
四、分数指数幂与n次方根的关系我们将讨论分数指数幂与n次方根的关系。
根据运算法则，我们首先讨论当n为正整数时的情况。
对于分母指数幂大于等于1的数，可以通过分子分母同乘或除以同一个正整数n来得到n次方根。
反之，对于分子分母同乘或除以同一个正整数n的数，其n次方根可以表示为分数指数幂的形式。
因此，我们可以得出结论：当分母指数幂大于等于1时，分数指数幂与n次方根之间存在一一对应关系。
五、教学重点与难点本节课的重点是理解分数指数幂和n次方根的概念及其关系，掌握分数指数幂的运算规则及其应用。
难点则是如何引导学生将数学知识与实际问题相结合，理解分数指数幂在实际问题中的应用价值。
为了帮助学生克服难点，我们将通过实例讲解、小组讨论等方式，引导学生将数学知识与实际问题相结合，深入理解分数指数幂的应用价值。
六、总结通过本节课的学习，学生将掌握n次方根和分数指数幂的概念及其关系，了解它们在实际问题中的应用价值。
同时，我们将通过实例讲解、小组讨论等方式，帮助学生深入理解数学知识，提高他们的数学素养和应用能力。
4.1.1n次方根与分数指数幂(教学课件)-高中数学人教A版(2019)必修第一册
提示 这样的 x 有 2 个，它们都称为 3 的平方根，记作± 3.
知识点一 n次方根，根式
1.a的n次方根的定义
一般地，如果xn＝a，那么x叫做a的 n次方根 ，其中n>1，且n∈N*.
2.a的n次方根的表示
n
±n a
a的取值范围 R
[0，＋∞)
4.1.1n次方根与分数指数幂
新知探究
公元前五世纪，古希腊有一个数学学派名叫毕达哥拉斯学派，其学派中的一
个成员希帕索斯考虑了一个问题：边长为 1 的正方形其对角线长度是多少
呢？他发现这一长度既不能用整数、也不能用分数来表示，希帕索斯的发现
促进了数学史上第一个无理数 2的诞生.
希帕索斯
问题 若x2＝3，这样的x有几个？它们叫做3的什么？怎么表示？
一、 利用根式的性质化简或求值 【例1】 化简：
(1) 4 3 4 ；
(2) （a－b）2(a>b)；
(3)( a－1)2＋ （1－a）2＋ 3 1 a3 .
解 (1) 4 3 4 ＝|3－π|＝π－3.
(2) a b2 ＝|a－b|＝a－b.
(3)由题意知 a－1≥0，即 a≥1.原式＝a－1＋|1－a|＋1－a＝a－1＋a－1＋1－a＝a－1.
例 3 求使等式 a－3a2－9＝(3－a) a＋3成立的实数 a 的取值范围.
解 a－3a2－9＝ a－32a＋3＝|a－3| a＋3， 要使|a－3| a＋3＝(3－a) a＋3成立， 需aa－ ＋33≤ ≥00， ， 解得 a∈[－3,3].
反思 感悟
正确区分n an与(n a)n (1)( n a)n 已暗含了n a有意义，根据 n 的奇偶性可知 a 的范围． (2)n an中的 a 可以是全体实数，n an的值取决于 n 的奇偶性．
高中数学必修一第二章第一节：指数幂及其运算课件
分数指数幂与根式可以相互转化；
1
(2)通常规定分数指数幂的底数 a>0，但要注意在像(－a)4
＝4 －a中的 a，则需要 a≤0.
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有理数指数幂的运算性质
[导入新知] 有理数指数幂的运算性质 (1)aras＝__a_r＋__s _(a>0，r，s∈Q)； (2)(ar)s＝__a_r_s__(a>0，r，s∈Q)； (3)(ab)r＝__a_rb_r__(a>0，b>0，r∈Q)．
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结束
根式与分数指数幂的互化
[例 1] (1)下列根式与分数指数幂的互化正确的是( )
1
A．－ x＝(－x)2 (x>0)
6 B.
1
y2＝y3(y<0)
3
C．x－4＝
4
1x3(x>0)
D．x－13＝－3 x(x≠0)
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(2)用分数指数幂的形式表示下列各式：
(1)a3·3 a2； (2) a a；
33
11
(3) a2· a－3· a－5－2a－213 .
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解：(1)a3·3
2
2 11
a2＝a3·a3＝a3＋3＝a 3 .
11
31 3
(2) a a＝(a·a2)2＝(a2)2＝a4.
3 31
1 11
(3)原式＝(a2·a－2)3·[(a－5)－2·(a－2)13]2
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21
11
15
(2) (2a3b2 )(6a2b3 ) (3a6b6 );
7
1
3
(3) a a a (3) a8 a a • a 2 a a 2
归纳：（3）
3
7
7
由里到外， a • a 4 a 4 a 8
层层计算
例4：
1
已知a 2
a1 2
3,
求(1)a a1
(2)a2 a2
3
3
(3) a 2 a 2 2 的值
（2）分数指数幂与根式互换
m
an
n
am
m
（3） a n m·an=am+n； ②(am)n=amn； ③(ab)n=an bn
注 意 ： ①— ③中满足 a,b>0,m,n 为 任意实数
例3(P30例2（1）)计算（式中a>0)
(1)2 3 3 1.5 6 12 ,
原式 2 3 3 3 21 6 22 3
1
1
1
1
1
232 33 2 3 23 36
11 1
111
2 3 3 32 3 6
6
归纳：(1)底 数一般分解为 质数 （2）根式一 般化为分数指 数幂形式
练习:计算下列各式的值(式中字母全为正数):
(1) 1 18 12
1
(1)2 6
24a
a(a为奇数 )
a
(a为偶数 )
变式 (P30变式1)：
使等式 x 2x2 4 x 2 x 2
成立的x的取值范围是 2,
归纳：做题紧抓公式
3、分数指数幂
（1）概念：
给定正实数a，对于任意给定的整数m，
n(m，n互素)，存在唯一的正实数b，使
得
bn
am
，就把b叫作，记作
m
b an
它就是分数指数幂．
的n次方根，记作：x n a 其中 n 1,且n N 。 • 式子 n a 叫做根式，其中n叫做根 指数， a叫做被开方数。
(2)几个重要公式
⑴
在n
a 有意义作用下， n
n
a
a
⑵
n
an
a a
(a为奇数) (a为偶数)
.
注意：n的位置不同，得到的答案
也不同
例1.(P29例1)已知 a,b R，下列各式
分数指数幂
高一数学备课组
教学目标：
能 1、掌握根式与分数指数幂的互化。 力 2、掌握根式与分数指数幂的互化。 训 3、熟练运用有理指数幂运算性质 练： 进行化简、求值。
教学重点： 有理指数幂运算性质运用。
教学难点： 化简求值的技巧与整体代换 思想。
• 一、根式 • （1）根式的概念：
• 一般地，如果 xn a ，那么叫做a
总能成立的是
(1)错
2
a b a b 2 ab,
6次同理
1
6
a 6
b
6
a b
对，应用n an
a(a为奇数)
a
(a为偶数)
(2)n a2 b2 n a2 b2 a2 b2 0
n a2 b2 n a2 b2
(3)4
a4
4
b4
a b(2)错，应用n
an
a(a为奇数) a (a为偶数)
a2 a2 3
练习 .
已知a a1 3,
1
求(1)a 2
1
a2
2
3
a2
a3 2
小结：
1、掌握根式与分数指数幂的互化。 2、根式与分数指数幂的化简、求值。 3、掌握化简求值的技巧与整体代换 思想。
4 a4 4 b4 a b
(4) a b a b 10
10
(4)错，应用n
an
a(a为奇数)
a
(a为偶数)
10 a b 10 a b
(5) 4 a 4 4 b 4 a b 5对。应用n a n a
(6)9 a b 9 a b
(6)对，应用 n
an