分数指数幂复习-课件
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4.1.1n次方根与分数指数幂第一课时PPT课件(人教版)
万年前就存在的吗?
探究新知
【1】 当n是奇数时，正数的n次方根是一个正数，负数的n次方根是一个负数.
这时，a的n次方根用符号 表示.例如 = ， − = −.
【2】 当n是偶数时，正数的n次方根有两个，这两个数互为相反数.正的n次方
根用 表示，负的n次方根用− 表示.两者也可以合并成±
和果实是什么
树的吗？
银杏,是全球最古老的树种.在200多万年前,第四纪冰川出
现,大部分地区的银杏毁于一旦,残留的遗体成为了印在石头
里的植物化石.在这场大灾难中,只有中国保存了一部分活的
银杏树,绵延至今,成了研究古代银杏的活教材.所以,人们把
它称为“世界第一活化石”.
复习引入
树干化石
树叶化石
你知道考古学家是根据什么推断出银杏于200多
3
)
变式训练
5.求下列各式的值
(1) 2
5
5
2
3
，
(2)3 2
结论:an开奇次方根,则有
(2) 3 3 ，
(3)2
2
(3) 2 2 ，
4
4
4
n
3
a n a.
.
(2) 2
4
结论:an开偶次方根,则有
n
.
(3)2 3
.
4
(2)4 2
a n | a | .
2
3
1
2
1
2
1
3
1
6
5
6
1
4
(1) (2a b )(6a b ) (3a b );
解析：
2
3
探究新知
【1】 当n是奇数时，正数的n次方根是一个正数，负数的n次方根是一个负数.
这时，a的n次方根用符号 表示.例如 = ， − = −.
【2】 当n是偶数时，正数的n次方根有两个，这两个数互为相反数.正的n次方
根用 表示，负的n次方根用− 表示.两者也可以合并成±
和果实是什么
树的吗？
银杏,是全球最古老的树种.在200多万年前,第四纪冰川出
现,大部分地区的银杏毁于一旦,残留的遗体成为了印在石头
里的植物化石.在这场大灾难中,只有中国保存了一部分活的
银杏树,绵延至今,成了研究古代银杏的活教材.所以,人们把
它称为“世界第一活化石”.
复习引入
树干化石
树叶化石
你知道考古学家是根据什么推断出银杏于200多
3
)
变式训练
5.求下列各式的值
(1) 2
5
5
2
3
，
(2)3 2
结论:an开奇次方根,则有
(2) 3 3 ，
(3)2
2
(3) 2 2 ，
4
4
4
n
3
a n a.
.
(2) 2
4
结论:an开偶次方根,则有
n
.
(3)2 3
.
4
(2)4 2
a n | a | .
2
3
1
2
1
2
1
3
1
6
5
6
1
4
(1) (2a b )(6a b ) (3a b );
解析：
2
3
《分数指数幂时》课件
分数指数幂与几何变换
在几何学中，分数指数幂可以用于描述各种几何变换，如旋转、缩放和剪切等。
分形几何中的分数指数幂
分形几何是一种描述自然界中复杂形状和结构的几何学方法，分数指数幂在分形几何中有着广泛的应用，如Mandelbrot集和Julia集等。
THANKS
感谢您的观看
《分数指数幂时》ppt课件
目录
CONTENTS
分数指数幂的定义分数指数幂的运算分数指数幂的应用分数指数幂的扩展知识
分数指数幂的定义
分数指数幂的数学定义
分数指数幂是一种数学运算，用于表示一个数的指数为分数的情况。具体来说，如果a是一个正实数，n是一个正整数，那么a的n次方表示a自乘n次；如果n是一个正分数，那么a的n次方表示a的整数次方的n次方根。
举例说明
03
举例说明
如果 a = 2，m = 3，n = 2，p = 3，则 (a^(3/2))^(2/3) = 2^(3/2 * 2/3) = 2^1 = 2。
01
总结词
掌握分数指数幂的幂运算规则
02
详细描述
分数指数幂的幂运算规则是底数相乘，指数相乘。例如，(a^(m/n))^(n/p) = a^(m/n * n/p)。
交换律是指分数指数幂可以交换底数和指数的位置，即a^(m/n)=a^m^(1/n)=(a^m)^(1/n)。结合律是指分数指数幂可以按照任意组合进行计算，即(a^m)^(n/p)=a^(mn/p)。分配律是指分数指数幂可以与乘法或除法运算结合使用，即(ab)^(m/n)=a^(m/n)b^(m/n)。
分数指数幂的数学定义示例
例如，如果我们要计算2的3/2次方，那么我们可以将其表示为2^(3/2)，根据分数指数幂的数学定义，这等于2的3次方的平方根，即√(2^3)。
分数指数幂ppt
→→ (2)
������������������
=
������������
=
������������
������ ������
被开方数的指数 根指数
(3)������
������������������
=
������������
=
������������
������ ������
(4)
������
������������
=
__������__���_���_������
定义正数a的分数指数幂意义是：
������
������ ������
=
������
������������
������−
������ ������
=
������
������ ������������
(其中a>0, m, n均为正整数且n>1)
2
(m n)3
p6 q5 ( p 0)
5
p3 q2
例2、利用分数指数幂的运算法则计算下列各式：
(1)������.
������������������−
������ ������
(2)������������−
������ ������
������
(3)������������������
1
(1) a5 (2)
3
a4 (3)
5a
4 a3
2、用分数指数幂表示下列各式：
a
(
3
54
)
1 5 a3
2
a3
1 3 a2
பைடு நூலகம்
2025年高考数学一轮复习-4.1.1-n次方根与分数指数幂【课件】
3
③( a)2· ab3.
1
2
1
3
73
解 原式＝ a3 a 2 b2 a 6b2 .
跟踪训练3 把下列根式表示为分数指数幂的形式，把分数指数幂表示为根式的 形式：
3
(1) (a b) 4 (a>b)；
解
(a
3
b) 4
＝
1
；
4
a－b3
3
(2) x－15；
3
5
解 x－15＝ (x 1)3 ;
4
4
5
4
2.在① －42n；② －42n＋1，③ a4，④ a5中，n∈N*，a∈R 时各式子有意义的是
A.①② C.①②③④
√B.①③
D.①②④
3
6
3.化简 －a· a的结果为
√A.－ a
B.－ －a
C. －a
解析 显然a≥0.
3
6
11
11
1
∴ －a· a＝a3 a6 a3 6 a2＝－ a.
式子 a 叫做根式，这里n叫做 根指数 ，a叫做被开方数.
知识点二 根式的性质
n
1. 0＝ 0 (n∈N*，且 n>1).
n
2.( a)n＝ a (a≥0，n∈N*，且 n>1).
nБайду номын сангаас
3. an＝a(n 为大于 1 的奇数).
n
4.
an＝|a|＝
a ，a≥0， -a，a<0
(n 为大于 1 的偶数).
(3) 1 ； 3 a2
解
1
3
＝a
2 3
;
a2
3
(4)(a b)7 .
4.1.1n次方根与分数指数幂课件(人教版)
③负数没有偶次方根
④ 0的任何次方根都是0.记作：n 0 0.
学习目标
新课讲授
课堂总结
思考：为什么负数没有偶次方根？
因为在实数的定义里，两个数的偶次方根结果是非负数，即任意 实数的偶次方是非负数.
学习目标
新课讲授
课堂总结
式子 n a 叫做根式，这里n叫做根指数 ，a叫做被开方数．
根指数
被开方数
学习目标
新课讲授
课堂总结
①当n是奇数时，正数的n次方根是一个正数，负数的n次方根是一个负数.
这时，a的n次方根用符号 n a 表示.例如 5 32 2, 5 32 2, 3 a6 a2.
②当n是偶数时，正数的n次方根有两个，这两个数互为相反数.正数a的正
的n次方根用符号 n a 表示，负的n次方根用符号n a表示.两者也可以合 并写成 n a (a 0) .例如 4 16 2, 4 16 2, 4 16 2.
(2)在对根式进行化简时,若被开方数中含有字母参数,则要注意字母参数的 取值范围,即确定 n an 中a的正负,再结合n的奇偶性给出正确结果.
学习目标
新课讲授
课堂总结
知识点2：分数指数幂
视察以下式子,试总结出规律(a＞0):
10
210 (25 )2 25 2 2 ;
12
3 312 3 (34 )3 34 3 3 ;
学习目标
新课讲授
课堂总结
练一练
11
化简 (1 a)[(a 1)2(a)2 ]2.
1
解：由 (a)2 有意义，可知-a≥0，故a≤0，
11
所以 (1 a)[(a 1)2(a)2 ]2
1
11
(1 a)[(a 1)2]2[(a)2 ]2
④ 0的任何次方根都是0.记作：n 0 0.
学习目标
新课讲授
课堂总结
思考：为什么负数没有偶次方根？
因为在实数的定义里，两个数的偶次方根结果是非负数，即任意 实数的偶次方是非负数.
学习目标
新课讲授
课堂总结
式子 n a 叫做根式，这里n叫做根指数 ，a叫做被开方数．
根指数
被开方数
学习目标
新课讲授
课堂总结
①当n是奇数时，正数的n次方根是一个正数，负数的n次方根是一个负数.
这时，a的n次方根用符号 n a 表示.例如 5 32 2, 5 32 2, 3 a6 a2.
②当n是偶数时，正数的n次方根有两个，这两个数互为相反数.正数a的正
的n次方根用符号 n a 表示，负的n次方根用符号n a表示.两者也可以合 并写成 n a (a 0) .例如 4 16 2, 4 16 2, 4 16 2.
(2)在对根式进行化简时,若被开方数中含有字母参数,则要注意字母参数的 取值范围,即确定 n an 中a的正负,再结合n的奇偶性给出正确结果.
学习目标
新课讲授
课堂总结
知识点2：分数指数幂
视察以下式子,试总结出规律(a＞0):
10
210 (25 )2 25 2 2 ;
12
3 312 3 (34 )3 34 3 3 ;
学习目标
新课讲授
课堂总结
练一练
11
化简 (1 a)[(a 1)2(a)2 ]2.
1
解：由 (a)2 有意义，可知-a≥0，故a≤0，
11
所以 (1 a)[(a 1)2(a)2 ]2
1
11
(1 a)[(a 1)2]2[(a)2 ]2
1分数指数幂课件
;
2
（3）（4 3
1
63）-3
3
；（4）（52
ห้องสมุดไป่ตู้
25
31
4）3 .
有理数指数幂计算 的一般步骤：
判断先进行什么运算
运用法则计算
练一练2：学案 巩固练习2
拓展练习
例3 利用幂的运算性质计算： (3 4 2)4
拓展练习
例4 已知 10a
2,10b
4
8
,
求102a
2 3
b的值.
通过今天的学习你有什么收获或疑问？
1
1
或 (123 43)6
123 43 6
解 4 1
12 43 6
1
1
= 123 6 43 6
12
4 3
1 6
11
=122 42
12
1
42
1
= 12 42
1
482
1
=482
判断是什么运算 运用法则计算
练一练1：学案 巩固练习1
例2 计算：
1
11
（1）（8 27）3 ；（2）22 82
答：同底数幂的乘（除）法： a p aq a pq a p aq a pq
幂的乘方： a p q a pq
积的乘方： abp a pb p
a p b
ap bp
(a 0,b 0, p、q为整数）
另外，我们规定：a0 1, a p 1
ap
问4：类似于整数指数幂，你能说说有理数指数幂的运 算性质吗？
21
（1） 53 52 ；
1
（2） 6 3 6 ；
2 1
（3） (8 3 ) 4 ；
《分数指数幂》课件
《分数指数幂》ppt课件
目录
• 分数指数幂的定义 • 分数指数幂的运算 • 分数指数幂的应用 • 分数指数幂的扩展知识 • 练习题与答案
01
分数指数幂的定义
分数指数幂的数学定义
分数指数幂的数学定义
对于任意实数a和正整数m、n，a的m/n次方定义为a的m次方根的n次方。即 ，如果b是a的m次方根，那么a^(m/n) = b^n。
3}{2}}$
分数的指数幂应用练习题
总结词
应用分数指数幂解决实际问题
练习题1
已知 $a^{frac{1}{2}} = frac{1}{2}$，求 $a$ 的值。
练习题2
已知 $left(frac{a}{b}right)^{-frac{1}{2}} = frac{1}{3}$，求 $a$ 和 $b$ 的值。
分数指数幂在解决化学问题中的应用
在解决化学问题时，分数指数幂也具有广泛的应用。例如，在计算化学键的强度、研究分子的性质和 行为以及解决化学反应的平衡问题时，使用分数指数幂可以简化问题的求解过程，提高解题效率。
04
分数指数幂的扩展知识
分数指数幂与整数指数幂的关系
分数指数幂是整数指数幂的扩展，当分数指数的分子大于分母时，相当于整数指 数幂的指数加1；当分子等于分母时，相当于整数指数幂的指数；当分子小于分 母时，相当于整数指数幂的指数减1。
ac{1}{2}}$
感谢您的观看
THANKS
运算规则一
乘法运算。当底数相同时，分 数指数幂相乘等于将指数相加 。即，a^(m/n) * a^(m/n) =
a^(m/n+m/n)。
举例
2^(2/3) * 2^(2/3) = 2^(4/3) 。
运算规则二
目录
• 分数指数幂的定义 • 分数指数幂的运算 • 分数指数幂的应用 • 分数指数幂的扩展知识 • 练习题与答案
01
分数指数幂的定义
分数指数幂的数学定义
分数指数幂的数学定义
对于任意实数a和正整数m、n，a的m/n次方定义为a的m次方根的n次方。即 ，如果b是a的m次方根，那么a^(m/n) = b^n。
3}{2}}$
分数的指数幂应用练习题
总结词
应用分数指数幂解决实际问题
练习题1
已知 $a^{frac{1}{2}} = frac{1}{2}$，求 $a$ 的值。
练习题2
已知 $left(frac{a}{b}right)^{-frac{1}{2}} = frac{1}{3}$，求 $a$ 和 $b$ 的值。
分数指数幂在解决化学问题中的应用
在解决化学问题时，分数指数幂也具有广泛的应用。例如，在计算化学键的强度、研究分子的性质和 行为以及解决化学反应的平衡问题时，使用分数指数幂可以简化问题的求解过程，提高解题效率。
04
分数指数幂的扩展知识
分数指数幂与整数指数幂的关系
分数指数幂是整数指数幂的扩展，当分数指数的分子大于分母时，相当于整数指 数幂的指数加1；当分子等于分母时，相当于整数指数幂的指数；当分子小于分 母时，相当于整数指数幂的指数减1。
ac{1}{2}}$
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THANKS
运算规则一
乘法运算。当底数相同时，分 数指数幂相乘等于将指数相加 。即，a^(m/n) * a^(m/n) =
a^(m/n+m/n)。
举例
2^(2/3) * 2^(2/3) = 2^(4/3) 。
运算规则二
n次方根与分数指数幂ppt课件
而已.
（2） 0的指数幂：0的正分数指数幂是0，0的负分数指数
幂没有意义.
（3） 指数概念在引入了分数指数幂概念后 ，指数概念就
实现了由整数指数幂向有理指数幂的扩充.
（4）在进行指数幂运算时，应化负指数为正指数，化根
式为分数指数幂，化小数为分数进行运算，这样便于进
行乘、除、乘方、开方运算，以达到化繁为简的目的.
③(ab)r=ar·
br(b>0)
④ar÷as=ar－s
r
(5)( ) =
(a>0,b>0,r∈R).
类比推广：实数指数幂
实数指数幂ax(a>0)
整数指数幂
分数指数幂
p
q
正数 a a a a (n个a相乘)
n
负数
0
a
n
1
n
a
a a
a
p
q
q
1
a
p
q
无理数指数幂
为什么负数没有偶
次方根？
构建数学
二、根式运算性质
若n 1且n N , 则 :
①( n a ) n a
注 : n为奇数时, a R; n为偶数时, a 0.
a, n为奇数
②n a n
| a |, n为偶数
2
2 ____
2
3
3
(3 )3 _____
(5)a a
2
12
12
2
( a a 1 ) 2 a 2 a 2 2 25, a 2 a 2 23.
12 2
1
2
1
（2） 0的指数幂：0的正分数指数幂是0，0的负分数指数
幂没有意义.
（3） 指数概念在引入了分数指数幂概念后 ，指数概念就
实现了由整数指数幂向有理指数幂的扩充.
（4）在进行指数幂运算时，应化负指数为正指数，化根
式为分数指数幂，化小数为分数进行运算，这样便于进
行乘、除、乘方、开方运算，以达到化繁为简的目的.
③(ab)r=ar·
br(b>0)
④ar÷as=ar－s
r
(5)( ) =
(a>0,b>0,r∈R).
类比推广：实数指数幂
实数指数幂ax(a>0)
整数指数幂
分数指数幂
p
q
正数 a a a a (n个a相乘)
n
负数
0
a
n
1
n
a
a a
a
p
q
q
1
a
p
q
无理数指数幂
为什么负数没有偶
次方根？
构建数学
二、根式运算性质
若n 1且n N , 则 :
①( n a ) n a
注 : n为奇数时, a R; n为偶数时, a 0.
a, n为奇数
②n a n
| a |, n为偶数
2
2 ____
2
3
3
(3 )3 _____
(5)a a
2
12
12
2
( a a 1 ) 2 a 2 a 2 2 25, a 2 a 2 23.
12 2
1
2
1
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•
14、意志坚强的人能把世界放在手中 像泥块 一样任 意揉捏 。2021年2月27日星期 六2021/2/272021/2/272021/2/27
•
15、最具挑战性的挑战莫过于提升自 我。。2021年2月2021/2/272021/2/272021/2/272/27/2021
•
16、业余生活要有意义，不要越轨。2021/2/272021/2/27Februar y 27, 2021
（1）． aa a
（2）． (a ) a
（3）． (ab) ab
其中 a 0, b 0, , 为有理数.
例
3
5．求值：（1） 6254
3
；（2） 4 2
；（3）
(
1
)
3 2
(2.8)0
(1
7
)
1 2
0.12
4
9
例 6．计算下列各式（式子中字母都是正数）,并把结果化为只含正有理指数的形式：
1
3
例 2：计算：（1） 273 ；（2） 42
1
2
练习：计算（1） 325 ；（2） 27 3
请同学们回顾负整数指数幂的定义,能否类似地引入负分数指数幂 呢?
正数的负分数指数幂的意义与负整数指数幂的意义相仿,我们
m
规定 a n
1
m
(a
0, m, n
N,n
1)
;
an
说明:（1）.0 的正分数指数幂等于 0,0 的负分数指数幂没有意义. （2）规定了分数指数幂的意义后,指数的概念就从整数推广到有
使学生通过学习分数指数幂的运算体会学习指数扩展的重要意义, 增强学习数学的积极性和自信心.
一、 分数指数幂 前面我们已经把正整数指数幂扩充到整数指数幂,还要进
一步扩充到分数指数幂.有许多问题都不是整数指数.例如
33 27 ,若已知 a3 27 ,你能表示出 a 吗？怎样表示？我们引
1
入分数指数幂表示为 a 273 3 .
（1）
35
(x4 y2
)4
1
；（2） (2x 2
1
1
3y 4 )(2x 2
1
3y 4 )
练习： 3,4 小结: 1. 正整数指数幂→负分数指数幂→整数指数幂→正分数指
数幂→负分数指数幂→分数指数幂 2. 正整数指数函数→整数指数函数→有理数指数函数 3. 有理数指数的运算法则. 作业:习题 3-2 A 组 3,4,5
2.正分数指数幂:
一般地,给定正实数 a ,对于任意给定的正整数 m，n ,存在唯一的正
实数 b
,使得
bn
am
,我们把 b
叫做 a
的
m
次幂,记作 b
m
an
,它就
n
是正分数指数幂.
2
3
例如： b3 72 ,则 b 73 ； x5 33 ,则 x 35 等.
说明: 有时我们把正分数指数幂写成根式的形式,即
(1)b5 32; (2)b4 35; (3)b5m 2n m, n N
1
2
例 4．计算：（1） 8 3 ；（2） 27 3
二、有理指数幂的运算 [互动过程 3] 请同学们探讨一下整数指数幂的运算性质对于有理指数幂是 否适用? 结论:整数指数幂的运算性质对于有理指数幂同样适用,即有以下运算性质：
m
理指数.当我们把正整数指数幂推广到有理指数幂 a n 或
m
a n (m, n N ) 时,对底数 a 应有所限制,即 a 0 .
（3）对于每一个有理数我们都定义了一个有理指数与它对应,这 样就可以把整数指数函数扩展到有理指数函数,一个定义在 有理数集上的指数函数.
例 3．把下列各式中的 b 写为负分数指数幂的形式：
•
17、一个人即使已登上顶峰，也仍要 自强不 息。2021/2/272021/2/272021/2/272021/2/27
谢谢观赏
You made my day!
我们，还在路上……
1. a 的 1 次幂: n
一般地,给定正实数 a ,对于给定的正整数 n ,存在唯一的正 实 数 b , 使 得 bn a , 我 们 把 b 叫 做 a 的 1 次 幂 ,记作
n
1
b an .
1
例如： a3 29 ,则 a 293 ； b5 36 ,则 b 365 .
2
由于 43 82 ,我们也可以记作83 4
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9、有时候读书是一种巧妙地避开思考 的方法 。2021/2/272021/2/27Saturday, February 27, 2021
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10、阅读一切好书如同和过去最杰出 的人谈 话。2021/2/272021/2/272021/2/272/27/2021 7:57:56 PM
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11、越是没有本领的就越加自命不凡 。2021/2/272021/2/272021/2/27Feb-2127-Feb-21
m
1
2
a n n am (a 0) ,例如： 252 25 5 ； 273 3 272 9
例 1．把下列各式中的 b 写成正分数指数幂的形式：
(1)b5 32; (2)b4 35; (3)b5m 2n m, n N
练习 1：把下列各式中的 b 写成正分数指数幂的形式： （1） x5 64 ；（2） x2n 453 (n N )
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12、越是无能的人，越喜欢挑剔别人 的错儿 。2021/2/272021/2/272021/2/27Satur day, February 27, 2021
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13、知人者智，自知者明。胜人者有 力，自 胜者强 。2021/2/272021/2/272021/2/272021/2/272/27/2021
§3.2指数概念的扩充 §3.2.2分数指数幂
[教学目标] 1、知识与技能 (1) 在前面学习整数指数幂的运算的基础上引入了分数指数的概
念及运算. (2) 能够利用分数指数幂的运算性质进行运算化简. 2、 过程与方法 (1)让学生了解分数指数幂的扩展,进一步体会数域的扩充对于数 学知识的发展的重要意义. (2)随着数的扩展,相应的运算性质也要判断能否延用和拓展. 3、情感.态度与价值观