绝对值不等式的恒成立问题
绝对值不等式恒成立
h( x) 0 恒成立，转化为最值问题： h( x)max 0
当a=0时，原式为：0<0，不恒成立。
h( x) 是开口向上的二次函数。 当 a 0时，
最大值只与两个端点有关，此时不用讨论。
只需把两个端点代入不等式中。有：
h(0) 0 h(1) 0
0 a 2,
写成区间形式： a (0, 2]
即取 f(x)>-a和f(x)<a的交集
f ( x) a f ( x) a.or. f ( x) a
即取f(x)<-a、f(x)>a的并集
一、去绝对值的方法： 定义法、公式法、平方法
3、平方法:
a
2
a
2
f ( x) g ( x) f ( x) g ( x)
2 2
不等号两边保证为非负的情况
绝对值不等式恒成立问题
2018年高考数学第23题第二问解法初探 主讲人：河北保定 周率（老π）
本文总结去绝对值的三种方法，并结合历届高
考题给出恒成立转化为最值的求法，对解答高考数
学23题具有很好的指导意义。
绝对值不等式恒成立问题，其实很简单，因为它有规律可依：
一是去掉绝对值 二是把恒成立问题转化为最值问题
详细讲解请观看本人【恒成立】有关讲座
例3、（2018年高考文科数学23题）已知：
若 x (0,1) 时，不等式
f ( x) x 1 ax 1
f ( x) x 恒成立，求a的取值范围。
解：一系列等价变形，先去掉绝对值：
f ( x) x x 1 ax 1 x
x 1 对应的零点是：x 1
2 2
2
(ax 1) 1
含两个绝对值不等式的恒成立问题的研究
结论 2 关于 x 的不等式 |f (x)| + |g(x)| > h(x) 成立的 充要条件是 |f (x) + g(x)| > h(x) 或 |f (x) − g(x)| > h(x) 成 立.
解析 根据结论 1, 因为 x2 − a + |2x + a| < 10 对 x ∈ [0, 2] 恒成立, 所以 x2 + 2x < 10 且 x2 − 2x − 2a < 10 对 x ∈ [0, 2] 恒成立, 所以 x2 + 2x < 10 对 x ∈ [0, 2]
引理 2 关于 x 的不等式 |f (x)| > g(x) 成立的充要条件 是 f (x) > g(x) 或 f (x) < −g(x) 成立.
结论 1 关于 x 的不等式 |f (x)| + |g(x)| < h(x) 成立的 充要条件是 |f (x) + g(x)| < h(x) 且 |f (x) − g(x)| < h(x) 成 立.
⇔
|g(x)| < f (x) + h(x)
g(x) < −f (x) + h(x) g(x) > f (x) − h(x)
⇔
g(x) < f (x) + h(x) g(x) > −f (x) − h(x)
−h(x) < f (x) + g(x) < h(x)
⇔
−h(x) < f (x) − g(x) < h(x)
点题 不等 式 |f (x)| + |g(x)| < h(x) 对 x ∈ D 恒成
⃝1 当 a < − 9 时, 因为 −x − 2a > 0, 根据参考文献
绝对值不等式恒成立
1． 已知当[]1,3x ∈，不等式21a x a -≥-恒成立，则a 的取值范围是．解法一：结合()2f x a x =-的图象分类讨论： 当21a ≤，即12a ≤时，112a a -≤-，解得12a ≤ 当23a ≥，即32a ≥时，123a a -≤-，解得2a ≥ 当123a <<，即1322a <<时，10a -≤，解得112a <≤ 综上可知： 1a ≤或2a ≥解法二：当1a ≤时显然成立当1a >时，有2121a x a x a a -≥-⇔-≥-或21x a a -≤-进而有：min13x a +⎛⎫≤ ⎪⎝⎭或()max 1a x ≥-所以23a ≤或2a ≥ 综上：1a ≤或2a ≥2．设实数a 使得不等式2232x a x a a -+-≥对任意实数x 恒成立，则满足条件a 组成的集合是。
解法一：设()232f x x a x a =-+-当0a ≥时，()53,22,23253,3a x a x a a f x x a x a x a x ⎧-+≤⎪⎪⎪=-+<≤⎨⎪⎪->⎪⎩所以()min 233a a f x f ⎛⎫== ⎪⎝⎭ 所以23a a ≤，解得103a ≤≤ 当0a <时，()253,32,3253,2a x a x a a f x x a x a x a x ⎧-+≤⎪⎪⎪=-<≤⎨⎪⎪->⎪⎩所以()min 233a a f x f ⎛⎫==-⎪⎝⎭所以23a a ≤-，解得103a -≤< 综上，1133a -≤≤解法二：由齐次化思想，令()x at t =∈R ，则原不等式为22132a t a t a -+-≥ 转化为2132a t t ≤-+-对任意t ∈R 恒成立易得()min 121323t t -+-= 所以13a ≤，解得1133a -≤≤2015年浙江第18题3.设函数()()2,f x x ax b a b =++∈R ，记(),M a b 为()y f x =在[]1,1-上的最大值 （1）设2a ≥，求证：(),2M a b ≥（2）若(),2M a b ≤，请求出a b +的最值。
考点121 含绝对值不等式的恒成立问题
或 或
或 ．
(2)原命题 在 上恒成立
在 上恒成立
在 上恒成立
．
当 时， ；当 时， ，∴不等式 的解集为 ．
（2）因为 ，∴ ．
当 ， 时，
∴ 的取值范围是 ．
8．（2018全国Ⅰ文理）已知 ．
(1)当 时，求不等式 的解集；
(2)若 时不等式 成立，求 的取值范围．
【解析】(1)当 时， ，即
故不等式 的解集为 ．
(2)当 时 成立等价于当 时 成立．
若 ，则当 时 ；
（2）当 时， ，∴ 的解集包含 ，等价于当 时 ．
又 在 的最小值必为 与 之一，∴ 且 ，得 ，∴ 的取值范围为 ．
13．（2017全国Ⅲ文理）已知函数 ．
(1)求不等式 的解集；
(2)若不等式 的解集非空，求 的取值范围．
【解析】（1） ，
当 时， 无解；
当 时，由 得， ，解得 ；
当 时，由 解得 ．
若 ， 的解集为 ，∴ ，故 ．
综上， 的取值范围为 ．
9．（2018全国Ⅱ文理）设函数 ．
(1)当 时，求不等式 的解集；
(2)若 ，求 的取值范围．
【解析】(1)当 时，
可得 的解集为 ．
(2) 等价于 ．
而 ，且当 时等号成立．故 等价于 ．
由 可得 或 ，∴ 的取值范围是 ．
10．（2018全国Ⅲ文理）设函数 ．
考点121含绝对值不等式的恒成立问题
6．（2020全国Ⅱ文理22）已知函数 ．
（1）当 时，求不等式 的解集；
（2）若 ，求 的取值范围．
【答案】（1） 或 ；（2） ．
【思路导引】（1）分别在 、 和 三种情况下解不等式求得结果；
含绝对值不等式的恒成立的问题
a>0
a＝0
a<0
|x|<a
(－a，a)
∅
∅
|x|>a
(－∞，－a)∪(a，＋∞)
(－∞，0)∪(0，＋∞)
R
(2)|ax＋b|≤c(c>0)和|ax＋b|≥c(c>0)型不等式的解法
①|ax＋b|≤c⇔－c≤ax＋b≤c；
②|ax＋b|≥c⇔ax＋b≥c或ax＋b≤－c.
(3)|x－a|＋|x－b|≥c(c>0)和|x－a|＋|x－b|≤c(c>0)型不等式的解法
(3)利用绝对值的几何意义，数形结合求解.
例2(2017·全国Ⅲ)已知函数f(x)＝|x＋1|－|x－2|.
(1)求不等式f(x)≥1的解集；
(2)若不等式f(x)≥x2－x＋m的解集非空，求m的取值范围.
解(1)f(x)＝
当x<－1时，f(x)≥1无解；
当－1≤x≤2时，由f(x)≥1，得2x－1≥1，解得1≤x≤2；
题型一 绝对值不等式的解法
题型二 利用绝对值不等式求最值
题型三 绝对值不等式的综合应用
例1(2017·全国Ⅰ)已知函数f(x)＝－x2＋ax＋4，g(x)＝|x＋1|＋|x－1|.
①当a＝1时，求不等式f(x)≥g(x)的解集；
②若不等式f(x)≥g(x)的解集包含[－1,1]，求a的取值范围.
解①当a＝1时，不等式f(x)≥g(x)等价于
x2－x＋|x＋1|＋|x－1|－4≤0.(*)
当x<－1时，(*)式化为x2－3x－4≤0，无解；
当－1≤x≤1时，(*)式化为x2－x－2≤0，
从而－1≤x≤1；
当x>1时，(*)式化为x2＋x－4≤0，
高一不等式恒成立问题3种基本方法
高一不等式恒成立问题3种基本方法文章标题：探讨高一不等式恒成立问题的三种基本方法在高中数学学习中，不等式恒成立问题是一个很常见的题型。
学生们通常需要掌握多种方法来解决这类问题，而这些方法通常可以分为三种基本类型。
本文将会详细介绍这三种基本方法，帮助读者全面理解这一数学概念。
1. 方法一：代数法我们来介绍代数法。
这种方法是在不等式两边进行代数变换，使得不等式变成一个容易解决的形式。
代数法通常包括加减变形、乘除变形以及平方去根等技巧。
以不等式ax+b>0为例，我们可以通过移项得到ax>-b，然后再除以a的正负来确定不等式的方向，从而得到不等式的解集。
代数法在解决不等式恒成立问题中应用广泛，能够快速简便地找到解的范围和规律。
2. 方法二：图像法我们介绍图像法。
图像法是通过绘制不等式所代表函数的图像，来直观地找出不等式恒成立的区间。
对于一元一次不等式ax+b>0，我们可以画出函数y=ax+b的图像，从而通过观察图像的上升或下降趋势来确定不等式的解集。
图像法能够帮助我们更直观地理解不等式的性质和范围，提高我们的思维逻辑和空间想象能力。
3. 方法三：参数法我们介绍参数法。
参数法是通过引入一个或多个参数，将不等式转化为一个有参数的等式问题，进而进行求解。
参数法的典型应用包括辅助角法、二次函数法等。
以不等式ax²+bx+c>0为例，我们可以引入Δ=b²-4ac，然后根据Δ的正负来确定不等式的解集。
参数法在解决不等式问题中能够简化问题的复杂度，将不等式的求解转化为参数的求解，从而提高解题的效率和准确度。
总结回顾通过对以上三种基本方法的介绍，我们可以发现它们各有特点，应用范围和解题思路有所不同。
代数法能够利用代数变形快速求解不等式问题，图像法能够帮助我们直观地理解不等式的性质，而参数法则能够将问题转化为参数的求解，提高解题的效率。
个人观点和理解在实际解题中，我们应该根据具体情况灵活选用这三种方法，结合题目的特点和自身的掌握程度来选择合适的解题方法。
不等式恒成立
不等式恒成立
不等式恒成立,就是一边的式子结果,无论里面的变量如何,一定符合要求.
如：绝对值的（X-2）大于等于0 就不管X取何值,永远成立
主要判断定一边一定是某种结果,另一边符合大于或小于的特征对一元二次不等式恒成立问题，可有以下两种思路：
(1)转化为一元二次不等式解集为R的情况
(2)分离参数，将恒成立问题转化为求最值问题，即：k≥f(x)恒成立⇔k≥f(x)max；k≤f(x)恒成立⇔k≤f(x)min．
典例分析
例1：对任意的x∈R，函数f(x)＝x2＋(a－4)x＋(5－2a)的值恒大于0，则a的取值范围为．
答案(－2，2)
解析由题意知，f(x)开口向上，故要使f(x)＞0恒成立，
只需Δ＜0即可，即(a－4)2－4(5－2a)＜0，解得－2＜a＜2.
例2：对任意a∈[－1，1]，函数f(x)＝x2＋(a－4)x＋4－2a的值
恒大于零，则x的取值范围是( )
A．1＜x＜3 B．x＜1或x＞3
C．1＜x＜2 D．x＜1或x＞2
答案 B
解析f(x)＞0，∴x2＋(a－4)x＋4－2a＞0，
即(x－2)a＋(x2＋4－4x)＞0，设g(a)＝(x－2)a＋(x2－4x＋4)
总结：有关不等式恒成立求参数的取值范围的问题，通常处理方法有两种：
(1)考虑能否进行参变量分离，若能，则构造关于变量的函数，转化为求函数的最大(小)值，从而建立参数的不等式；
(2)若参变量不能分离，可以考虑转换主元，构造关于变量的函数(如一元一次、一元二次函数)，并结合图象建立关于参数的不等式求解．。
解绝对值不等式恒成立应注意的问题
值， 因为 点 Ｎ为一 动点 ， 以需求 Ｏ ・ Ｍ 的值 ． 所 Ｎ Ｏ
解 连结 Ｏ 因 为 Ａ Ｃ 是 正方 形 ， 以 Ａ． Ｂ０ 所
０ ＡＭ ＋ Ｃ ＝ ４。 ５．
关 面积 的问题 ， 能抓 住 与 之有 关 的 面积 的基 本 若
图形 ， 析问题 ， 分 常能化 难 为易 ， 繁为简 ， 问题 化 使
迎刃 而解 ．
又由 Ｏ ＡＭ ＋ Ｏ ＡＮ ＝ ４ 。 ５，
解 绝对值 不等 式恒 成 立应 注 意 的 问题
蒋鼎 宏 （ 江苏省 淮 阴中学 ２３０ ） ２ ０ ０
在处 理含绝 对值不 等式 恒成 立 问题 时 ， 常 常 会 遇 到 这 样 两 种 类 型 ： ｌ， ｚ Ｉ ｇ ） 和 （） ≥ （
即 ｎ＞ ｉ ｎ ｚ— Ｉ ｎ
解
将 原 命 题 先 转 化 为 ｆ口一 Ｉ ＋ ｎＸ Ｉ
≥ ｏ 又 Ｉ — ・ ｎ
对 意 ｚ 『，］成 ， ① Ｉ ≤ ｏ， 法 ２知 Ｉ 任 的 ∈百÷恒 立 １ ｎ 由解 ｎ 故ｎ ＞ ｉ ｌ ３ ｎｘｍ ｎ ｚ ｘ ［，］ Ｉ ｌ ０， 以 ｌ 一 Ｉ — Ｉ ／ ∈吉÷或 ｎ ≥ 所 以 ｎＸ ｌ ｎ ｎ （ ＋ ￣３ｒ ∈百号． ② 号的条件是 ｎ— Ｉ ＜ ・ ・ Ｘｉ ［， ｎ ｎ ）Ｘ １ ］ ａ ｎ ｎ÷．
≤ ｇ（ ）一 ５， 以 一 １≤ ｄ≤ ３， 为 所 求 ． ２ 所 即
解法 １是 利用 绝 对值 不 等式 的定义 ， 结 合 再 解不 等式 恒 成 立 的 通 用 方 法 将 其 转 化 为 最 值 问 题 ； 法 ２是 利用数 形结 合的思 想 ， 合 函数 的性 解 结 质 ， 出两个 函数值 的大小 关 系 ， 找 从而解 出 ｎ的取 值 范 围． 这两种 方法 各有千 秋 ， 是解决 这类 问题 都
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绝对值不等式的恒成立问题
【例4】(2016·新课标全国卷Ⅲ)已知函数f(x)＝|2x－a|＋a.
(Ⅰ)当a＝2时，求不等式f(x)≤6的解集；
(Ⅱ)设函数g(x)＝|2x－1|.当x∈R时，f(x)＋g(x)≥3，求a的取值范围．
【解】(Ⅰ)当a＝2时，f(x)＝|2x－2|
＋2.解不等式|2x－2|＋2≤6得－1≤x≤3.因此f(x)≤6的解集为{x|－1≤x≤3}．
(Ⅱ)当x∈R时，f(x)＋g(x)＝|2x－a|＋a＋|1－2x|≥|2x－a＋1－2x|＋a＝|1－a|＋a.所以当x∈R时，f(x)＋g(x)≥3等价于|1－a|＋a≥3.①当a≤1时，①等价于1－a＋a≥3，无解．
当a>1时，①等价于a－1＋a≥3，解得a≥2.
所以a的取值范围是[2，＋∞).
(2017·郑州模拟)已知函数f (x )＝|2x ＋1|＋|2x －3|.
(1)求不等式f (x )≤6的解集．
(2)若关于x 的不等式f (x )<|a －1|的解集非空，求实数a 的取值范围．
解：(1)原不等式等价于
⎩⎨⎧ x >32
，(2x ＋1)＋(2x －3)≤6，
或 ⎩⎨⎧ －12
≤x ≤32，(2x ＋1)－(2x －3)≤6，
或 ⎩⎨⎧ x <－12，－(2x ＋1)－(2x －3)≤6.
解之得32<x ≤2或－12≤x ≤32或－1≤x <－12.即不等式的解集为{x |
－1≤x ≤2}．
(2)因为f (x )＝|2x ＋1|＋|2x －3|≥|(2x ＋1)－(2x －3)|＝4，所以|a －1|>4，解此不等式得a <－3或a >5.
1．对于绝对值三角不等式，易忽视等号成立的条件．对|a ＋b |≥|a |－|b |，当且仅当|a |≥|b |且ab ≤0时，等号成立，对|a |－|b |≤|a －b |≤|a |＋|b |，当且仅当|a |≥|b |且ab ≥0时左边等号成立，当且仅当ab ≤0时
右边等号成立．
2．形如|x－a|＋|x－b|≥c(c>0)的不等式解法在讨论时应注意分类讨论点处的处理及c的符号判断，若c<0，则不等式解集为R.。