(完整版)离散型随机变量的期望与方差习题课
离散型随机变量的期望和方差课件公开课获奖课件
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5．随机变量 ξ 的分布如下：
ξ －1 0 1
P a bc
其 a，b，c 成等差数列．若 Eξ＝31，则 Dξ 的值是________．
a＋b＋c＝1 解析：根据已知条件：2b＝a＋c
－a＋c＝13
，解得：b＝13，a＝16，c＝12，
∴Dξ＝16(－1－13)2＋13(0－13)2＋12(1－13)2＝59.
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2．均值、方差性质及应用 (1)EC＝C(C为常数)； (2)E(aξ＋b)＝aEξ＋b(a、b为常数)； (3)D(aξ＋b)＝a2Dξ.
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1．设随机变量ξ～B(n，p)，且Eξ＝1.6，Dξ＝1.28，则( )
A．n＝8，p＝0.2
B．n＝4，p＝0.4
C．n＝5，p＝0.32
D．n＝7，p＝0.45
解析：由已知nnpp＝1－1.6p，＝1.28， 解得np＝ ＝80， .2.
答案：A
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2．假如ξ是离散型随机变量，η＝3ξ＋2，那么( ) A．Eη＝3Eξ＋2，Dη＝9Dξ B．Eη＝3Eξ，Dη＝3Dξ＋2 C．Eη＝3Eξ＋2，Dη＝9Eξ＋4 D．Eη＝3Eξ＋4，Dη＝3Dξ＋2 答案：A
答案：59
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热点之一 求离散型随机变量期望与方差 求离散型随机变量X均值与方差环节：
1．理解X意义，写出Y所有也许取值； 2．求X取每个值概率； 3．写出X分布列； 4．由均值定义求EX； 5．由方差定义求DX.
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【例】某商场举行抽奖促销活动，抽奖规则是：从装有9个白 球，1个红球箱子中每次随机地摸出1个球，记下颜色后放回，摸 出1个红球可获得奖金10元；摸出2个红球可获得奖金50元，既有 甲、乙两位顾客，规定：甲摸一次，乙摸两次，令X表达甲，乙摸 球后获得奖金总额．求：
20-21版：习题课 离散型随机变量的期望与方差(步步高)
习题课 离散型随机变量的期望与方差一、放回与不放回问题例1 箱子中有4个形状、大小完全相同的小球，其中红色小球2个、黑色和白色小球各1个，现从中有放回的连续摸4次，每次摸出1个球. (1)求4次中恰好有1次红球和1次黑球的概率； (2)求4次摸出球的颜色种数ξ的分布列与期望.解 (1)记事件A 为“摸出1个球是红色小球”，事件B 为“摸出1个球是黑色小球”，事件C 为“摸出1个球是白色小球”，则A ，B ，C 相互独立，且P (A )＝12，P (B )＝14，P (C )＝14.记事件D 为“有放回的连续摸4次，恰好有1次红球和1次黑球”，则P (D )＝A 24×12×14×⎝⎛⎭⎫142＝332. 故4次中恰好有1次红球和1次黑球的概率是332.(2)随机变量ξ的可能值为1,2,3.记事件A i 为“摸出i 个红色小球”，事件B i 为“摸出i 个黑色小球”，事件C i 为“摸出i 个白色小球”. P (ξ＝1)＝P (A 4＋B 4＋C 4) ＝P (A 4)＋P (B 4)＋P (C 4) ＝⎝⎛⎭⎫124＋⎝⎛⎭⎫144＋⎝⎛⎭⎫144＝9128； P (A 1·B 3＋A 2·B 2＋A 3·B 1)＝C 14⎝⎛⎭⎫12⎝⎛⎭⎫143＋C 24⎝⎛⎭⎫122⎝⎛⎭⎫142＋C 34⎝⎛⎭⎫123⎝⎛⎭⎫14 ＝132＋332＋18＝14， P (A 1·C 3＋A 2·C 2＋A 3·C 1)＝C 14⎝⎛⎭⎫12⎝⎛⎭⎫143＋C 24⎝⎛⎭⎫122⎝⎛⎭⎫142＋C 34⎝⎛⎭⎫123⎝⎛⎭⎫14 ＝132＋332＋18＝14， P (B 1·C 3＋B 2·C 2＋B 3·C 1)＝C 14⎝⎛⎭⎫14⎝⎛⎭⎫143＋C 24⎝⎛⎭⎫142⎝⎛⎭⎫142＋C 34⎝⎛⎭⎫143⎝⎛⎭⎫14＝164＋3128＋164＝7128， P (ξ＝2)＝P (A 1·B 3＋A 2·B 2＋A 3·B 1)＋P (A 1·C 3＋A 2·C 2＋A 3·C 1)＋P (B 1·C 3＋B 2·C 2＋B 3·C 1) ＝14＋14＋7128＝71128； P (ξ＝3)＝P (A 2·B 1·C 1＋A 1·B 2·C 1＋A 1·B 1·C 2) ＝A 24⎝⎛⎭⎫122⎝⎛⎭⎫142＋A 24⎝⎛⎭⎫142⎝⎛⎭⎫14⎝⎛⎭⎫12＋A 24⎝⎛⎭⎫142·⎝⎛⎭⎫14⎝⎛⎭⎫12 ＝316＋332＋332＝38. 故随机变量ξ的分布列为所以期望E (ξ)＝1×9128＋2×71128＋3×38＝295128.反思感悟 不放回抽样服从超几何分布，放回抽样服从二项分布，求期望可利用公式代入计算. 跟踪训练1 在10件产品中有2件次品，连续抽3次，每次抽1件，求： (1)不放回抽样时，抽取次品数ξ的期望； (2)放回抽样时，抽取次品数η的期望. 解 (1)P (ξ＝0)＝C 38C 310＝715；P (ξ＝1)＝C 12C 28C 310＝715；P (ξ＝2)＝C 22C 18C 310＝115.∴随机变量ξ的分布列为E (ξ)＝0×715＋1×715＋2×115＝35.(2)由题意知1次取到次品的概率为210＝15，随机变量η服从二项分布η～B ⎝⎛⎭⎫3，15， ∴E (η)＝3×15＝35.二、与排列、组合有关的分布列例2 将4本不同的书随机放入如图所示的编号为1,2,3,4的四个抽屉中.(1)求4本书恰好放在四个不同抽屉中的概率；(2)设随机变量X 表示放在2号抽屉中书的本数，求X 的分布列和期望E (X ).解 (1)将4本不同的书放入编号为1,2,3,4的四个抽屉中，共有44＝256(种)不同放法. 记“4本书恰好放在四个不同抽屉中”为事件A ， 则事件A 共包含A 44＝24(个)基本事件， 所以P (A )＝24256＝332，所以4本书恰好放在四个不同抽屉中的概率为332.(2)方法一 X 的所有可能取值为0,1,2,3,4， P (X ＝0)＝3444＝81256，P (X ＝1)＝C 14×3344＝2764，P (X ＝2)＝C 24×3244＝27128，P (X ＝3)＝C 34×344＝364，P (X ＝4)＝C 4444＝1256.所以X 的分布列为所以X 的期望为E (X )＝0×81256＋1×2764＋2×27128＋3×364＋4×1256＝1. 方法二 每本书放入2号抽屉的概率为P (B )＝14，P (B )＝1－14＝34.根据题意X ～B ⎝⎛⎭⎫4，14， 所以P (X ＝k )＝C k 4⎝⎛⎭⎫14k ·⎝⎛⎭⎫344－k ，k ＝0,1,2,3,4， 所以X 的分布列为X 0 1 2 3 4 P812562764271283641256所以X 的期望为E (X )＝4×14＝1.反思感悟 解此类题的关键是搞清离散型随机变量X 取每个值时所对应的随机事件，然后利用排列、组合知识求出X 取每个值时的概率，利用期望的公式便可得到.跟踪训练2 如图所示，从A 1(1,0,0)，A 2(2，0,0)，B 1(0,1,0)，B 2(0，2,0)，C 1 (0，0,1)，C 2(0,0,2)这6个点中随机选取3个点，将这3个点及原点O 两两相连构成一个“立体”，记该“立体”的体积为随机变量V (如果选取的3个点与原点在同一个平面内，此时“立体”的体积V ＝0).(1)求V ＝0的概率； (2)求期望E (V ). 考点 常见的几种期望题点 与排列、组合有关的随机变量的期望解 (1)从6个点中随机选取3个点总共有C 36＝20(种)取法，选取的3个点与原点在同一个平面内的取法有C 13C 34＝12(种)，因此V ＝0的概率为P (V ＝0)＝1220＝35.(2)V 的所有可能取值为0，16，13，23，43，则P (V ＝0)＝35，P ⎝⎛⎭⎫V ＝16＝C 33C 36＝120，P ⎝⎛⎭⎫V ＝13＝C 23C 36＝320， P ⎝⎛⎭⎫V ＝23＝C 23C 36＝320， P ⎝⎛⎭⎫V ＝43＝C 33C 36＝120. 因此V 的分布列为V 0 16 13 23 43 P35120320320120所以E (V )＝0×35＋16×120＋13×320＋23×320＋43×120＝940.三、与互斥、独立事件相关的分布列例3 某公司有A ，B ，C ，D 四辆汽车，其中A 车的车牌尾号为0，B ，C 两辆车的车牌尾号为6，D 车的车牌尾号为5，已知在非限行日，每辆车都有可能出车或不出车.已知A ，D 两辆汽车每天出车的概率为34，B ，C 两辆汽车每天出车的概率为12，且四辆汽车是否出车是相互独立的.该公司所在地区汽车限行规定如下：(1)求该公司在星期四至少有两辆汽车出车的概率；(2)设ξ表示该公司在星期一和星期二两天出车的车辆数之和，求ξ的分布列和期望. 解 (1)记该公司在星期四至少有两辆汽车出车为事件A ，则A 为该公司在星期四最多有一辆汽车出车.P (A )＝⎝⎛⎭⎫142⎝⎛⎭⎫122＋C 12⎝⎛⎭⎫34⎝⎛⎭⎫14⎝⎛⎭⎫122＋ C 12⎝⎛⎭⎫12⎝⎛⎭⎫12⎝⎛⎭⎫142＝964. 所以P (A )＝1－P (A )＝5564.答 该公司在星期四至少有两辆汽车出车的概率为5564.(2)由题意，ξ的可能值为0,1,2,3,4. P (ξ＝0)＝⎝⎛⎭⎫122⎝⎛⎭⎫142＝164；P (ξ＝1)＝C 12⎝⎛⎭⎫12⎝⎛⎭⎫12⎝⎛⎭⎫142＋C 12⎝⎛⎭⎫34⎝⎛⎭⎫14⎝⎛⎭⎫122 ＝18； P (ξ＝2)＝⎝⎛⎭⎫122⎝⎛⎭⎫142＋⎝⎛⎭⎫342⎝⎛⎭⎫122＋C 12⎝⎛⎭⎫12⎝⎛⎭⎫12·C 12⎝⎛⎭⎫34⎝⎛⎭⎫14＝1132；P (ξ＝3)＝⎝⎛⎭⎫122C 12⎝⎛⎭⎫34⎝⎛⎭⎫14＋⎝⎛⎭⎫342C 12⎝⎛⎭⎫12⎝⎛⎭⎫12 ＝38； P (ξ＝4)＝⎝⎛⎭⎫342⎝⎛⎭⎫122＝964. 所以ξ的分布列为E (ξ)＝18＋2×1132＋3×38＋4×964＝52.答 ξ的期望为52.反思感悟 若随机变量取某一值的概率较为复杂或不好求时，可以利用分布列的性质求其概率. 跟踪训练3 某学生需依次进行身体体能和外语两个项目的训练及考核.每个项目只有一次补考机会，补考不及格者不能进入下一个项目的训练(即淘汰)，若该学生身体体能考核合格的概率是12，外语考核合格的概率是23，假设每一次考核是否合格互不影响.假设该生不放弃每一次考核的机会.用ξ表示其参加补考的次数，求随机变量ξ的期望. 考点 常见的几种期望 题点 相互独立事件的期望 解 ξ的可能取值为0,1,2.设该学生第一次，第二次身体体能考核合格分别为事件A 1，A 2，第一次，第二次外语考核合格分别为事件B 1，B 2， 则P (ξ＝0)＝P (A 1B 1)＝12×23＝13，P (ξ＝2)＝P (A 1A 2B 1 B 2)＋P (A 1A 2B 1 B 2)＝⎝⎛⎭⎫1－12×12×⎝⎛⎭⎫1－23×23＋⎝⎛⎭⎫1－12×12×⎝⎛⎭⎫1－23×⎝⎛⎭⎫1－23＝112. 根据分布列的性质，可知P (ξ＝1)＝1－P (ξ＝0)－P (ξ＝2)＝712.所以ξ的分布列为E (ξ)＝0×13＋1×712＋2×112＝34.四、期望问题的实际应用例4 为回馈顾客，某商场拟通过摸球兑奖的方式对1 000位顾客进行奖励，规定：每位顾客从一个装有4个标有面值的球的袋中一次性随机摸出2个球，球上所标的面值之和为该顾客所获的奖励额.(1)若袋中所装的4个球中有1个所标的面值为50元，其余3个均为10元，求： ①顾客所获的奖励额为60元的概率； ②顾客所获的奖励额的分布列及期望；(2)商场对奖励总额的预算是60 000元，并规定袋中的4个球只能由标有面值10元和50元的两种球组成，或标有面值20元和40元的两种球组成.为了使顾客得到的奖励总额尽可能符合商场的预算且每位顾客所获的奖励额相对均衡，请对袋中的4个球的面值给出一个合适的设计，并说明理由. 考点 期望与方差的应用 题点 期望与方差的综合应用 解 (1)设顾客所获的奖励额为X ， ①依题意，得P (X ＝60)＝C 11·C 13C 24＝12，即顾客所获的奖励额为60元的概率为12.②依题意得X 的所有可能取值为20,60， P (X ＝20)＝C 23C 24＝12，P (X ＝60)＝12，即X 的分布列为所以这位顾客所获奖励额的期望为E (X )＝20×12＋60×12＝40.(2)根据商场的预算，每位顾客的平均奖励额为60元，所以先寻找期望为60元的可能方案. 对于面值由10元和50元组成的情况，如果选择(10,10,10,50)的方案，因为60元是面值之和的最大值，所以期望不可能为60元.如果选择(50,50,50,10)的方案，因为60元是面值之和的最小值，所以期望也不可能为60元，因此可能的方案是(10,10,50,50)记为方案1，对于面值由20元和40元组成的情况，同理可排除(20,20,20,40)和(40,40,40,20)的方案，所以可能的方案是(20,20,40,40)， 记为方案2，以下是对这两个方案的分析：对于方案1，即方案(10,10,50,50)，设顾客所获的奖励额为X 1，则X 1的分布列为X 1的期望E (X 1)＝20×16＋60×23＋100×16＝60.X 1的方差D (X 1)＝(20－60)2×16＋(60－60)2×23＋(100－60)2×16＝1 6003，对于方案2，即方案(20,20,40,40)，设顾客所获的奖励额为X 2，则X 2的分布列为X 2的期望E (X 2)＝40×16＋60×23＋80×16＝60，X 2的方差D (X 2)＝(40－60)2×16＋(60－60)2×23＋(80－60)2×16＝4003.由于两种方案的奖励额的期望都符合要求，但方案2奖励额的方差比方案1小，所以应该选择方案2.反思感悟 把实际问题转化为数学问题，利用期望、方差可以来解决问题，最后通过下结论把数学问题回到解决的实际问题上去.跟踪训练4 随着网络营销和电子商务的兴起，人们的购物方式变得多样，某调查机构随机抽取10名购物者进行采访，5名男性购物者中有3名倾向于选择网购，2名倾向于选择实体店，5名女性购物者中有2名倾向于选择网购，3名倾向于选择实体店.(1)若从这10名购物者中随机抽取2名，其中男、女各一名，求至少1名倾向于选择实体店的概率；(2)若从这10名购物者中随机抽取3名，设X 表示抽到倾向于选择网购的男性购物者的人数，求随机变量X 的分布列及期望.解 (1)设“至少1名倾向于选择实体店”为事件A ，则A 表示事件“随机抽取2名，其中男、女各一名，他们都选择网购”，则P (A )＝1－P (A )＝1－C 13×C 12C 15×C 15＝1925.(2)X 的可能取值为0,1,2,3，则P (X ＝k )＝C k 3C 3－k 7C 310，k ＝0,1,2,3，P (X ＝0)＝724，P (X ＝1)＝2140，P (X ＝2)＝740，P (X ＝3)＝1120，故随机变量X 的分布列为X 0 1 2 3 P72421407401120期望为E (X )＝0×724＋1×2140＋2×740＋3×1120＝910.1.甲击中目标的概率是12，如果击中赢10分，否则输11分，用X 表示他的得分，计算X 的期望为( )A.0.5B.－0.5C.1D.5 答案 B解析 E (X )＝10×12＋(－11)×12＝－0.5.2.某一供电网络有n 个用电单位，每个单位在一天中用电的机会是p ，则供电网络中一天平均用电的单位个数是( ) A.np (1－p ) B.np C.n D.p (1－p )答案 B解析 用电单位个数X ～B (n ，p )，∴E (X )＝np .3.抛掷一枚硬币，规定正面向上得1分，反面向上得－1分，则得分X 的期望与方差分别为( )A.E (X )＝0，D (X )＝1B.E (X )＝12，D (X )＝12C.E (X )＝0，D (X )＝12D.E (X )＝12，D (X )＝1答案 A解析 由题意知，随机变量X 的分布列为X－11∴E (X )＝(－1)×12＋1×12＝0，D (X )＝12×(－1－0)2＋12×(1－0)2＝1.4.2018年全国数学奥赛试行改革：在高二一年中举行5次全区竞赛，学生其中2次成绩达到全区前20名即可进入省队培训，不用参加其余的竞赛，而每个学生最多也只能参加5次竞赛.规定：若前4次竞赛成绩都没有达到全区前20名，则第5次不能参加竞赛.假设某学生每次成绩达到全区前20名的概率都是14，每次竞赛成绩达到全区前20名与否互相独立.(1)求该学生进入省队的概率；(2)如果该学生进入省队或参加完5次竞赛就结束，记该学生参加竞赛的次数为ξ，求ξ的分布列及ξ的期望.解 (1)记“该生进入省队”为事件A ，其对立事件为A ， 则P (A )＝C 14×14×⎝⎛⎭⎫343×34＋⎝⎛⎭⎫344＝81128. ∴P (A )＝1－P (A )＝1－81128＝47128.(2)该生参加竞赛次数ξ的可能取值为2,3,4,5. P (ξ＝2)＝⎝⎛⎭⎫142＝116， P (ξ＝3)＝C 12×14×34×14＝332， P (ξ＝4)＝C 13×14×⎝⎛⎭⎫342×14＋⎝⎛⎭⎫344 ＝27256＋81256＝2764， P (ξ＝5)＝C 14×14×⎝⎛⎭⎫343＝2764. 故ξ的分布列为E (ξ)＝2×116＋3×332＋4×2764＋5×2764＝26964.。
离散型随机变量的数学期望和方差同步训练
离散型随机变量的数学期望和方差同步训练(选修2—3）姓名____________班级___________学号____________分数______________一、选择题1 ．已知随机变量ηηξηξ，D E B 则,32),2.0,10(+=≈的值A ．4,1。
6B ．7，0.8C ．7，6。
4D ．4，0.82 ．设ξ是离散型随机变量,21(),()33P a P b ξξ====，且a 〈b ．又42,,39E D ξξ==则a+b 的值为（ ）A ．35B ．73C ．3D ．1133 ．设ξ～B （n ，P )，若有12E ξ=,4D ξ=，则n ，P 之值分别为A ．15和14B ．16和12C ．20和13D ．18和234 ．抛掷两个骰子,至少有一个4点或5点出现时，就说这些试验成功，则在10次试验中，成功次数ξ的期望是（ ）.A ．103B ．559C ．809D ．5095 ．已知随机变量ξ服从二项分布，且E ξ＝2。
4，D ξ＝1。
44,则二项分布的参数n ,p 的值为A ．n =4，p ＝0.6B ．n ＝6，p ＝0.4C ．n ＝8，p ＝0。
3D ．n ＝24，p =0.1 6 ．设随机变量~(0,1)N ξ，若()(01)P x m m ξ>=<<，则(||)P x ξ≤的值等于（ ）A ．2m B ．12m -C ．12m -D ．12m -7 ．已知随机变量ξ~B （n ， p),且E （ξ）=1.6， D （ξ）=1。
28，则n, p 分别是（ ）A ．n=10, p=0.2B ．n=8, p=0.2C ．n=10， p=0.4D ．n=8， p=0.48 ．若()~,B n p ξ，且6,3E D ξξ==，则P （1ξ=｜）的值为A ．42-B ．82-C ．232-⨯D ．1032-⨯9 ．已知随机变量ξ的分布列为且设12+=ξη，则η的期望值是A ．1B ．3629 C ．32 D ．61- 10．如图，旋转一次圆盘，指针落在圆盘3分处的概率为a ，落在圆盘2分处的概率为b ，落在圆盘0分处的概率为c ，已知旋转一次圆盘得分的数学期望为2分，则ab 的最大值A ．481 B ．241C ．121 D ．6111．随机变量ξ服从二项分布ξ～()p n B ,，且,200,300==ξξD E 则p 等于（ ）A ．32 B ．31C ．1D ．012．已知随机变量ξ的分布列为ξ2- 1- 0 1 2 3p121mn121 61 121 其中)1,0[,∈n m ,且6=ξE ,则n m ,的值分别为( ) A ．121,21 B ．61,61 C ．41，31 D ．31，41二、填空题13．随机变量ξ的分布列如下:ξ-1 0 1Pa13 12则(31E ξ+）的值是_____________． 14．三封信随机投入A ，B ，C ，D 四个空邮箱，则A 邮箱的信件数ξ的数学期望E ξ=15．一射手对靶射击,直到第一次命中为止，每次命中率为0.6，现在共有4颗子弹,则尚余子弹数目ξ的期望为16．从1，2，3，4,5这五个数中有放回地取两个数字，则这两个数之积的数学期望为 ． 三、解答题17．某君向一目标射击，击中目标的概率为31 （Ⅰ）若他连续射击5次，求他至少2次击中目标的概率；（Ⅱ）若他只有5颗子弹，每次射击一发,一旦击中目标或子弹打完了就立刻转移到别的地方去，求他转移前射击次数的分布列和期望。
离散型随机变量的期望与方差(一)最新版ppt课件
二项分布
如果在一次试验中某事件发生的概率是p，那么在 n次独立重复试验中这个事件恰好发生k次的概率是
（设在n次独立重复试验中这个事件发生的次数ξ）
称这样的随机变量ξ服从二项分布， 记作ξ～B(n，p)，其中n，p为参数，
并记
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离散型随机变量的期望与方差（一）
： 某射手射击所得环数ξ的分布LI 列SAN如XIN下G SUI JI BIAN LIANG DE QI WANG YU FANG CHA
解：抛掷骰子所得点数ξ的概率分布为 所以
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离散型随机变量的期望与方差（一）
LI SAN XING SUI JI BIAN LIANG DE QI WANG YU FANG CHA
例3 有一批数量很大的产品，其次品率是15％．对这批产
品进行抽查，每次抽出1件，如果抽出次品，则抽查终止，
LI SAN XING SUI JI BIAN LIANG DE QI WANG YU FANG CHA
一般地，若离散型随机变量ξ的概率分布为
则称 Eξ＝x1p1＋x2p2＋…＋xnpn＋… 为ξ的数学期望 或平均数、均值，数学期望又简称为期望．
设η＝aξ＋b，其中a，b为常数，则η也是随机变量． 因为P(η＝axi＋b)＝P(ξ＝xi)，i＝1，2，3，… 所以，η的分布列为
离散型随机变量的期望与方差（一）
一.复习提问
LI SAN XING SUI JI BIAN LIANG DE QI WANG YU FANG CHA
离散型随机变量的分布列和性质
一般地，设离散型随机变量ξ可能取的值为 x1，x2，……，xi，…，
ξ取每一个值xi(i＝1，2，…)的概率P(ξ＝xi)＝pi，则称下表
高中数学离散型随机变量的期望与方差练习(含答案)
离散型随机变量均值与方差专题练习一、单选题（共16题；共32分）1.将三颗骰子各掷一次，记事件A=“三个点数都不同”，B=“至少出现一个6点”，则条件概率P（A|B），P （B|A）分别是（）A. ，B. ，C. ，D. ，2.已知随机变量ξ服从正态分布N（1，1），若P（ξ＜3）=0.977，则P（﹣1＜ξ＜3）=（）A. 0.683B. 0.853C. 0.954D. 0.9773.随机变量X的取值为0，1，2，若P（X=0）= ，E（X）=1，则D（X）=（）A. B. C. D.4.已知随机变量X服从正态分布N（3，1），且P（X≥4）=0.1587，则P（2＜X＜4）=（）A. 0.6826B. 0.3413C. 0.4603D. 0.92075.甲乙等人参加米接力赛，在甲不跑第一棒的条件下，乙不跑第二棒的概率是（）A. B. C. D.6.不透明袋子中装有大小、材质完全相同的2个红球和5个黑球，现从中逐个不放回地摸出小球，直到取出所有红球为止，则摸取次数的数学期望是（）A. B. C. D.7.下面说法中正确的是（）A. 离散型随机变量ξ的均值E（ξ）反映了ξ取值的概率的平均值B. 离散型随机变量ξ的方差D（ξ）反映了ξ取值的平均水平C. 离散型随机变量ξ的均值E（ξ）反映了ξ取值的平均水平D. 离散型随机变量ξ的方差D（ξ）反映了ξ取值的概率的平均值8.每次试验的成功率为，重复进行10次试验，其中前7次都未成功，后3次都成功的概率为（）A. B. C. D.9.已知随机变量，则（）A. B. C. D.10.设随机变量的分布列为，，则等于（）A. B. C. D.11.现在有张奖券，张元的，张元的，某人从中随机无放回地抽取张奖券，则此人得奖金额的数学期望为（）A. B. C. D.12.已知X～B（n，p），E（X）＝2，D（X）＝1.6，则n，p的值分别为（）A. 100，0.8B. 20，0.4C. 10，0.2D. 10，0.813.袋中有大小相同的5个球，分别标有1，2，3，4，5五个号码，现在在有放回抽取的条件下依次取出两个球，设两个球号码之和为随机变量，则所有可能取值的个数是（）A. 5B. 9C. 10D. 2514.电灯泡使用时数在1 000小时以上的概率为0.2，则三个灯泡在1 000小时以后最多有一个坏了的概率是（）A. 0.401B. 0.104C. 0.410D. 0.01415.已知随机变量的概率分布列如下表所示：50.4且的数学期望，则（）A. B. C. D.16.用电脑每次可以从区间（0，1）内自动生成一个实数，且每次生成每个实数都是等可能性的，若用该电脑连续生成3个实数，则这3个实数都大于的概率为（）A. B. C. D.二、解答题（共7题；共65分）17.某班有6名班干部，其中男生4人，女生2人，任选3人参加学校组织的义务植树活动．（I）求男生甲、女生乙至少有1人被选中的概率；（II）设“男生甲被选中”为事件A，“女生乙被选中”为事件B，求P （A）和P （B|A）．18.某射手每次射击击中目标的概率是，求这名射手在10次射击中，（1）恰有8次击中目标的概率；（2）至少有8次击中目标的概率．19.“中国人均读书4.3本（包括网络文学和教科书），比韩国的11本、法国的20本、日本的40本、犹太人的64本少得多，是世界上人均读书最少的国家.”这个论断被各种媒体反复引用，出现这样的统计结果无疑是令人尴尬的，而且和其他国家相比，我国国民的阅读量如此之低，也和我国是传统的文明古国、礼仪之邦的地位不相符.某小区为了提高小区内人员的读书兴趣，特举办读书活动，准备进一定量的书籍丰富小区图书站，由于不同年龄段需看不同类型的书籍，为了合理配备资源，现对小区内看书人员进行年龄调查，随机抽取了一天40名读书者进行调查，将他们的年龄分成6段：，，，，，后得到如图所示的频率分布直方图.问：（1）估计在40名读书者中年龄分布在的人数；（2）求40名读书者年龄的平均数和中位数；（3）若从年龄在的读书者中任取2名，求这两名读书者年龄在的人数的分布列及数学期望.20.某篮球队与其他6支篮球队依次进行6场比赛，每场均决出胜负，设这支篮球队与其他篮球队比赛中获胜的事件是独立的，并且获胜的概率均为．（1）求这支篮球队首次获胜前已经负了两场的概率；（2）求这支篮球队在6场比赛中恰好获胜3场的概率；（3）求这支篮球队在6场比赛中获胜场数的期望．21.某学校有甲、乙两个实验班，为了了解班级成绩，采用分层抽样的方法从甲、乙两个班学生中分别抽取8名和6名测试他们的数学成绩与英语成绩（单位：分），用表示（m，n）．下面是乙班6名学生的测试分数：A（138，130），B（140，132），C（140，130），D（134，140），E（142，134），F（134，132），当学生的数学、英语成绩满足m≥135，且n≥130时，该学生定为优秀学生．（1）已知甲班共有80名学生，用上述样本数据估计乙班优秀生的数量；（2）从乙班抽出的上述6名学生中随机抽取3名，求至少有两名优秀生的概率；（3）从乙班抽出的上述6名学生中随机抽取2名，其中优秀生数记为ξ，求ξ的分布列和数学期望．22.甲参加A，B，C三个科目的学业水平考试，其考试成绩合格的概率如下表，假设三个科目的考试甲是否成绩合格相互独立．（I）求甲至少有一个科目考试成绩合格的概率；（Ⅱ）设甲参加考试成绩合格的科目数量为X，求X的分布列和数学期望．23.由于当前学生课业负担较重，造成青少年视力普遍下降，现从某高中随机抽取16名学生，经校医用对数视力表检查得到每个学生的视力状况的茎叶图（以小数点前的一位数字为茎，小数点后的一位数字为叶）如图：（Ⅰ）指出这组数据的众数和中位数；（Ⅱ）若视力测试结果不低丁5.0，则称为“好视力”，求校医从这16人中随机选取3人，至多有1人是“好视力”的概率；（Ⅲ）以这16人的样本数据来估计整个学校的总体数据，若从该校（人数很多）任选3人，记ξ表示抽到“好视力”学生的人数，求ξ的分布列及数学期望．答案解析部分一、单选题1.【答案】A【考点】条件概率与独立事件【解析】【解答】解：根据条件概率的含义，P（A|B）其含义为在B发生的情况下，A发生的概率，即在“至少出现一个6点”的情况下，“三个点数都不相同”的概率，∵“至少出现一个6点”的情况数目为6×6×6﹣5×5×5=91，“三个点数都不相同”则只有一个6点，共C31×5×4=60种，∴P（A|B）= ；P（B|A）其含义为在A发生的情况下，B发生的概率，即在“三个点数都不相同”的情况下，“至少出现一个6点”的概率，∴P（B|A）= ．故选A．【分析】根据条件概率的含义，明确条件概率P（A|B），P（B|A）的意义，即可得出结论．2.【答案】C【考点】正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义【解析】【解答】解：随机变量ξ服从正态分布N（1，1），∴曲线关于x=1对称，∵P（ξ＜3）=0.977，∴P（ξ＞3）=0.023，∴P（﹣1≤ξ≤3）=1﹣2P（ξ＞3）=1﹣0.046=0.954．故选：C．【分析】根据随机变量ξ服从正态分布，知正态曲线的对称轴是x=1，且P（ξ＞3）=0.023，依据正态分布对称性，即可求得答案．3.【答案】B【考点】离散型随机变量的期望与方差【解析】【解答】解：设P（X=1）=p，P（X=2）=q，∵E（X）=0× +p+2q=1①，又+p+q=1，②由①②得，p= ，q= ，∴D（X）= （0﹣1）2+ = ，故选：B．【分析】设P（X=1）=p，P（X=2）=q，则由P（X=0）= ，E（X）=1，列出方程组，求出p= ，q= ，由此能求出D（X）．4.【答案】A【考点】正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义【解析】【解答】解：∵随机变量X服从正态分布N（3，1），∴正态曲线的对称轴是x=3，∵P（X≥4）=0.1587，∴P（2＜X＜4）=1﹣2P（X≥4）=1﹣0.3174=0.6826．故选：A．【分析】根据随机变量X服从正态分布，可知正态曲线的对称轴x=μ=3，利用对称性，即可求得P（2＜X ＜4）．5.【答案】D【考点】古典概型及其概率计算公式，条件概率与独立事件【解析】【解答】由题得甲不跑第一棒的总的基本事件有个，甲不跑第一棒，乙不跑第二棒的基本事件有,由古典概型的概率公式得在甲不跑第一棒的条件下，乙不跑第二棒的概率是.故答案为：D.【分析】由题得甲不跑第一棒的总的基本事件有18 个,甲不跑第一棒，乙不跑第二棒的基本事件有14个,由古典概型的概率公式求得在甲不跑第一棒的条件下，乙不跑第二棒的概率.6.【答案】D【考点】离散型随机变量及其分布列，离散型随机变量的期望与方差【解析】【解答】当时，第次取出额必然是红球，而前k-1次中，有且只有1次取出的是红球，其余次数取出的皆为黑球，故，于是得到X的分布列为故故答案为：D【分析】X的可能取值为2，3，4，5，6，7，利用互斥事件概率加法公式、相互独立事件概率乘法公式分别求出相应的概率，由此能求出摸取次数X的分布列，最后利用数学期望求解即可．7.【答案】C【考点】离散型随机变量的期望与方差【解析】【解答】离散型随机变量ξ的均值E（ξ）反映ξ取值的平均水平，它的方差反映ξ的取值的离散程度．故答案为：C.【分析】由离散型随机变量的均值与方差的意义判断。
数学23《离散型随机变量的均值方差》习题课(人教a版)PPT课件
E E 3 E 3 2
4.某一大学毕业生参加某一公司的笔试，共有 5个问题需要解答，如该同学答对每个问题的 概率均为 ，且每个问题的解答互不影 响．
(1)求该同学答对问题的个数ξ的期望与方差；
(2)设答对一个题目得10分，否则扣一分，求
该同学得分η的期望与方差．
[解] (1)由题意知，解答这 5 个问题，答对的个数 ξ 服从二项分布，即 ξ～B(5，23)，
5
5
5
(43)2 1 (53)2 1
5
5
1(4101 4) 2. 5
D(2ξ-1)=4D(ξ)=8,
D (1)D ()2.
题型二、 求离散型随机变量的期望、方差
1.从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛,设 随机变量X表示所选3人中女生的人数. (1)求X的分布列; (2)求X的数学期望和方差; (3) 求“所选3人中女生人数X≤1”的概率.
(2)记 为3人中选择的项目属于基础设施工程或产
业建设工程的人数,求 的分布列及数学期望.
解 记第i名工人选择的项目属于基础设施工程、民 生工程和产业建设工程分别为事件Ai、Bi、Ci,i=1,2, 3.由题意知A1,A2,A3相互独立,B1,B2,B3相互独立, C1,C2,C3相互独立,Ai ,Bj ,Ck(i、j、k=1,2,3且i ,j、k
互不相同)相互独立,且
1
1
1
P (A 1)2,P (B 2)3,P (C 3)6.
(1)他们选择的项目所属类别互不相同的概率
P=3！P(A1B2C3)=6P(A1)P(B2)P(C3)
61111.
(η2,)由设已3名知工, 人中~选B(择3,1的)2项,且 目3属63于民6,生工程的人数为
【选修2-3课件】2.12离散型随机变量的期望、方差习题课
则 Dξ 的值为
5 9
。
6、每人交保险费1000元，出险概率为 、每人交保险费 元 出险概率为3%，若保险公司的 ， 赔偿金为a（ ＞ 赔偿金为 （a＞1000）元，为使保险公司收益的期望值不 ） 低于a的百分之七 则保险公司应将最大赔偿金定为多少元？ 的百分之七， 低于 的百分之七，则保险公司应将最大赔偿金定为多少元？ 7、设X是一个离散型随机变量 ，其概率分布为 、 是一个离散型随机变量
Eξ =1.43
(2009年浙江 年浙江) 个自然数中， 9 、(2009年浙江)在1，2，3，...,9这9个自然数中，任 ， ， ， 这 个自然数中 个数． 取3个数． 个数 个数中恰有1个是偶数的概率 （I）求这 个数中恰有 个是偶数的概率； ）求这3个数中恰有 个是偶数的概率； 为这3个数中两数相邻的组数 （II）设ξ为这 个数中两数相邻的组数（例如：若取 ） 为这 个数中两数相邻的组数（例如： 出的数为1,2,3，则有两组相邻的数 和2,3，此时 的 出的数为 ，则有两组相邻的数1,2和 ，此时ξ的 值是2）．求随机变量ξ的分布列及其数学期望 ）．求随机变量 的分布列及其数学期望Eξ 值是 ）．求随机变量 的分布列及其数学期望 .
审清题意是解决该题的关键. 析:审清题意是解决该题的关键 审清题意是解决该题的关键 1.抓住蝇子一个个有顺序地飞出 易联想到把 只蝇子看作 个元素有序排 抓住蝇子一个个有顺序地飞出,易联想到把 只蝇子看作8个元素有序排 抓住蝇子一个个有顺序地飞出 易联想到把8只蝇子看作 列. ●●☆●●●☆●，由于 表示☆ ●●☆●●●☆●，由于ξ=0“表示☆ ●●●●●☆●”，最后一只必为 表示 ●●●●●☆●”， 果蝇，所以有 果蝇，所以有ξ=1“表示 ● ☆ ●●●☆●●” P （ξ=0 ） 表示 1 7 A2 A7 7 ，同理有P （ξ=1 ）= A21 A61 A66 = 6 = 同理有 8 = 28 A8 8
1.2离散型随机变量的期望与方差典型例题
1.2 离散型随机变量的期望与方差 典型例题例1、一批产品共100件，其中有10件是次品，为了检验其质量，从中以随机的方式选取5件，求在抽取的这5件产品中次品数分布列与期望值，并说明5件中有3件以上（包括3件）为次品的概率．（精确到0．001）分析：根据题意确定随机变量及其取值，对于次品在3件以上的概率是3，4，5三种情况的和．解：抽取的次品数是一个随机变量，设为ξ ，显然ξ 可以取从0到5的6个整数． 抽样中，如果恰巧有k 个（5,4,3,2,1,0=k ）次品，则其概率为510059010)(C C C k P kk-⋅==ξ按照这个公式计算，并要求精确到0．001，则有.0)5( ,0)4( ,07.0)3( ,070.0)2( ,340.0)1( ,583.0)0(============ξ ξ ξ ξ ξ ξ P P P P P P故ξ 的分布列为.501.00504007.03070.02340.01583.00=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=ξ E由分布列可知，.007.0)3( ,00007.0)3( =≥∴++=≥ξ ξ P P这就是说，所抽取的5件品中3件以上为次品的可能性很小，只有7％．例2、 某批数量较大的商品的次品率是5％，从中任意地连续取出10件，ξ为所含次品的个数，求ξE ． 分析：数量较大，意味着每次抽取时出现次品的概率都是0.05，ξ可能取值是：0，1，2，…，10．10次抽取看成10次独立重复试验，所以抽到次品数ξ服从二项分布，由公式np E =ξ可得解．解：由题，()05.0,10~B ξ，所以5.005.010=⨯=ξE ．说明：随机变量ξ的概率分布，是求其数学期望的关键．因此，入手时，决定ξ取哪些值及其相应的概率，是重要的突破点．此题kkkC k P --⋅==1010)05.01()05.0()(ξ，应觉察到这是()05.0,10~B ξ．例3、设ξ 是一个离散型随机变量，其分布列如下表，求q 值，并求ξ ξ D E 、．分析：根据分布列的两个性质，先确定q 的值，当分布列确定时，ξ ξ D E 、只须按定义代公式即可． 解： 离散型随机变量的分布满足 （1）,,3,2,1,0 =≥i P i（2）.1321=+++ P P P 所以有⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤≤-≤=+-+.1,1210,1212122q q q q 解得 .211-=q故ξ 的分布列为⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯+-⨯+⨯-=∴2231)12(021)1(ξ E .2122321 -=-+-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯--+-⨯-+⨯---=223)]21(1[)12()21(21)]21(1[ 222ξ D ⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-+⨯-=2232)12(21)22( 32.12223123622223 -=-+-+-+-=小结：解题时不能忽视条件i i p k P ==)(ξ时，10≤≤i p ，⋅⋅⋅=,2,1i 否则取了1>q 的值后，辛辛苦苦计算得到的是两个毫无用处的计算．例4、有n 把看上去样子相同的钥匙，其中只有一把能把大门上的锁打开．用它们去试开门上的锁．设抽取钥匙是相互独立且等可能的．每把钥匙试开后不能放回．求试开次数ξ的数学期望和方差．分析：求)(k P =ξ时，由题知前1-k 次没打开，恰第k 次打开．不过，一般我们应从简单的地方入手，如3,2,1=ξ，发现规律后，推广到一般．解：ξ的可能取值为1，2，3，…，n ．;12112121)111()11()3(;111111)11()2(,1)1(nn n n n n n n n P nn n n n n P nP =-⋅--⋅-=-⋅--⋅-===-⋅-=-⋅-====ξξξnk n k n k n n n n n n n k n k n n n nk P 111212312111)211()211()111()11()(=+-⋅+-+---⋅--⋅-=+-⋅+----⋅--⋅-== ξ；所以ξ的分布列为：211131211+=⋅++⋅+⋅+⋅=n nn nnnE ξ；nn n nn k nn nn nn D 1)21(1)21(1)213(1)212(1)211(22222⋅+-++⋅+-++⋅+-+⋅+-+⋅+-= ξ⎥⎦⎤⎢⎣⎡⋅+++++++-++++=n n n n n n 22222)21()321)(1()321(1 1214)1(2)1()12)(1(611222-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+++-++=n n n n n n n n n 说明：复杂问题的简化处理，即从个数较小的看起，找出规律所在，进而推广到一般，方差的公式正确使用后，涉及一个数列求和问题，合理拆项，转化成熟悉的公式，是解决的关键．例5、甲、乙两个野生动物保护区有相同的自然环境，且野生动物的种类和数量也大致相等．而两个保护区内每个季度发现违反保护条例的事件次数的分布列分别为：甲保护区：乙保护区：试评定这两个保护区的管理水平．分析：一是要比较一下甲、乙两个保护区内每季度发生的违规事件的次数的均值，即数学期望；二是要看发生违规事件次数的波动情况，即方差值的大小．（当然，亦可计算其标准差，同样说明道理．）解：甲保护区的违规次数1ξ的数学期望和方差为：;3.12.032.023.013.001=⨯+⨯+⨯+⨯=ξE;21.12.0)3.13(2.0)3.12(3.0)3.11(3.0)3.10(22221=⨯-+⨯-+⨯-+⨯-=ξD乙保护区的违规次数2ξ的数学期望和方差为：;3.14.025.011.002=⨯+⨯+⨯=ξE41.04.0)3.12(5.0)3.11(1.0)3.10(2222=⨯-+⨯-+⨯-=ξD ；因为2121,ξξξξD D E E >=，所以两个保护区内每季度发生的违规平均次数是相同的，但乙保护区内的违规事件次数更集中和稳定，而甲保护区的违规事件次数相对分散和波动．（标准差64.0,1.12211≈===ξσξξσξD D 这两个值在科学计算器上容易获得，显然，σξσξ>1）说明：数学期望仅体现了随机变量取值的平均大小，但有时仅知道均值大小还是不够的，比如：两个随机变量的均值相等了（即数学期望值相等），这就还需要知道随机变量的取值如何在均值周期变化，即计算其方差（或是标准差）．方差大说明随机变量取值分散性大；方差小说明取值分散性小或者说取值比较集中、稳定．例6、某射手进行射击练习，每射击5发子弹算一组，一旦命中就停止射击，并进入下一组的练习，否则一直打完5发子弹后才能进入下一组练习，若该射手在某组练习中射击命中一次，并且已知他射击一次的命中率为0.8，求在这一组练习中耗用子弹数ξ 的分布列，并求出ξ 的期望ξ E 与方差ξ D （保留两位小数）．分析：根据随机变量不同的取值确定对应的概率，在利用期望和方差的定义求解．解： 该组练习耗用的子弹数ξ 为随机变量，ξ 可以取值为1，2，3，4，5．ξ ＝1，表示一发即中，故概率为;8.0)1(==ξ Pξ ＝2，表示第一发未中，第二发命中，故;16.08.02.08.0)8.01()2(=⨯=⨯-==ξ Pξ ＝3，表示第一、二发未中，第三发命中，故;032.08.02.08.0)8.01()3(22=⨯=⨯-==ξ Pξ ＝4，表示第一、二、三发未中，第四发命中，故0064.08.02.08.0)8.01()4(33=⨯=⨯-==ξ Pξ ＝5，表示第五发命中，故.0016.02.01)8.01()5(44==⋅-==ξ P因此，ξ 的分布列为0016.050064.04032.0316.028.01⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=ξ E ,25.1008.00256.0096.032.08.0 =++++=0016.0)25.15(0064.0)25.14(032.0)25.13(16.0)25.12(8.0)25.11(22222⨯-+⨯-+⨯-+⨯-+⨯-=ξ D.31.00225.00484.0098.009.005.0 =++++=说明：解决这类问题首先要确定随机变量的所有可能取值，然后再根据概率的知识求解对应的概率．例7、某寻呼台共有客户3000人，若寻呼台准备了100份小礼品，邀请客户在指定时间来领取．假设任一客户去领奖的概率为4％．问：寻呼台能否向每一位顾客都发出奖邀请？若能使每一位领奖人都得到礼品，寻呼台至少应准备多少礼品？分析：可能来多少人，是一个随机变量ξ．而ξ显然是服从二项分布的，用数学期望来反映平均来领奖人数，即能说明是否可行．解：设来领奖的人数)3000,,2,1,0(, ==k k ξ，所以kk k C k P --⋅==300003000)04.01()04.0()(ξ，可见()04.0,30000~B ξ，所以，12004.03000=⨯=ξE （人）100>（人）．答：不能，寻呼台至少应准备120份礼品． 说明：“能”与“不能”是实际问题转到数学中来，即用数字来说明问题．数字期望反映了随机变量取值的平均水平．用它来刻画、比较和描述取值的平均情况，在一些实际问题中有重要的价值．因此，要想到用期望来解决这一问题．教你如何用WORD 文档 (2012-06-27 192246)转载▼ 标签： 杂谈1. 问：WORD 里边怎样设置每页不同的页眉？如何使不同的章节显示的页眉不同？答：分节，每节可以设置不同的页眉。
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例4.(07北京高考)某中学号召学
生在今年春节期间至少参加一次
社会公益活动(以下简称活动).该 参加人数 校合唱团共有100名学生,他们参
加活动的次数统计如图所示． 50
（I）求合唱团学生参加活动的 40
人均次数；
30
（II）从合唱团中任意选两名学 20
生，求他们参加活动次数恰好相 10
等的概率． （III）从合唱团中任选两名学生,
(2)P( 5) 2 (1)5 2 1 ;
2 32 16
P(
7)
2C51
(
1)7 2
5; 64
P( 9) 1 1 5 55;
16 64 64
E 5 1 7 5 9 55 275.
16 64 64 32
练习: (07浙江15）随机变量的分布列如下
ξ
-1 0
1
P
a
b
解:分别记甲、乙、丙经第一次烧制后合格为事件A1 ,A2,A3
12
用ξ表示这两人参加活动次数之
差的绝对值，求随机变量ξ的分
布列及数学期望E ξ ．
活动次数
3
例5(07安徽)在医学生物学试验中，经常以果蝇作为试 验对象，一个关有6只果蝇的笼子里，不慎混入了两只 苍蝇（此时笼内共有8只蝇子：6只果蝇和2只苍蝇）， 只好把笼子打开一个小孔，让蝇子一只一只地往外飞，
,
b
1 3
,
c
1 2
D
5 9
(07江西)某陶瓷厂准备烧制甲、乙、丙三件不同的工艺 品，制作过程必须先后经过两次烧制，当第一次烧制 合格后方可进入第二次烧制，两次烧制过程相互独 立．根据该厂现有的技术水平，经过第一次烧制后， 甲、乙、丙三件产品合格的概率依次为0.5，0.6，0.4， 经过第二次烧制后，甲、乙、丙三件产品合格的概率 依次为0.6，0.5，0.75． （1）求第一次烧制后恰有一件产品合格的概率； （2）经过前后两次烧制后，合格工艺品的个数为ξ，求 随机变量ξ的期望．
解:设Ak表示第k辆车在一年内发生此种事故k=1,2,3．由
题意知A1，A2，A3独立，且P(A1)=1/9，P(A2)=1/10，
P(A3)=1/11
（1）该单位一年内获赔的概率为
1
P(
A1
A2
A3
)
1
P(
A1
)P(
A2
)
P(
A3
)
1
8 9
9 10
10 11
3 11
(2)ξ的所有可能值为0，9000，18000，27000．
P(
0)
P( A1 A2
A3 )
P( A1)P( A2 )P( A3)
8 9 9 10
10 11
8 11
P( 9000) P(A1 A2 A3) P(A1A2 A3) P(A1 A2 A3)
P(A1)P(A2)P(A3) P(A1)P(A2)P(A3) P(A1)P(A2)P(A3)
c
5
其中a、b、c成等差数列.若E 1 ,则D _9__
3
解析：Q D (1 1)2 a (0 1)2 b (1 1)2 c 16 a 1 b 4 c
3
3
3 9 99
由E 1 a c 1
3
3
a、b、c成等差数列 2b
由分布列性质 a b c
a 1
c
a
1 6
直到两只苍蝇都飞出，再关闭小孔.以ξ表示笼内还剩下 的果蝇的只数. （Ⅰ）写出ξ的分布列（不要求写出计算过程）； （Ⅱ）求数学期望Eξ； （Ⅲ）求概率P（ξ≥Eξ）.
解:（Ⅰ）的分布列为： ξ 0123456 P 7/28 6/28 5/28 4/28 3/28 2/28 1/28
(II )数学期望为E 2 (1 6 2 5 3 4) 2.
解:(1)设正面出现的次数为m，反面出现的次数为n，则
|mmnn|5 可得： 1 9 当m 5, n 0或m 0, n 5时, 5;
当m 6, n 1或m 1, n 6时, 7; 当m 7, n 2或m 2, n 7时, 9; 所以的所有可能取值为 : 5,7,9.
例1：某保险公司新开设了一项保险业务，若在一年内 事件E发生，该公司要赔偿a元.设在一年内E发生的概率 为p,为使公司收益的期望值等于a的10%,公司应要求顾 客交多少保险金？
例2：将一枚硬币抛掷20次，求正面次数与反面次数 之差的概率分布，并求出的期望E 与方差D .
例3(07全国高考）某商场经销某商品，根据以往资料统计， 顾客采用的付款期数ξ的分布列为
18000 3/110
27000 1/990
E 0 8 9000 11 18000 3 27000 1
11
45
110
990
29900 ≈ 2718.18 11
例6(05江西高考)A、B两位同学各有五张卡片，现以投 掷均匀硬币的形式进行游戏，当出现正面朝上时A赢得 B一张卡片，否则B赢得A一张卡片.规定掷硬币的次数 达9次时，或在此前某人已赢得所有卡片时游戏终止.设 ξ表示游戏终止时掷硬币的次数. （1）求ξ的取值范围； （2）求ξ的数学期望Eξ.
28
(III )所求的概率为P( E ) P( 2) 5 4 3 2 1
28 15
28
练习:某单位有三辆汽车参加某种事故保险，单位年初向 保险公司缴纳每辆900元的保险金，对在一年内发生此 种事故的车辆，单位获9000元的赔偿（假设每辆车最多 只赔偿一次）。设这三辆车在一年内发生此种事故的概 率分别为1/9、1/10、1/11，且各车是否发生事故相互独 立。求一年内该单位在此保险中： （1）获赔的概率； （2）获赔金额ξ的分别列与期望。
ξ
1
2
3
4
5
P
0.4 0.2 0.2 0.1 0.1
商场经销一件该商品，采用1期付款，其利润为200元； 分2期或3期付款，其利润为250元；分4期或5期付款，其 利润为300元．η表示经销一件该商品的利润． （Ⅰ）求事件A“购买该商品的3位顾客中，至少有1位采 用1期付款”的概率P(A)； （Ⅱ）求η的分布列及期望E η ．
1 1 10 1 9 1 8 1 1 27 3 9 10 11 9 10 11 9 10 11 990 110
P( 27000) P( A1A2 A3) P( A1)P( A2 )P( A3)
1 1 1 1 9 10 11 990Leabharlann 综上知，的分布列为ξ
0
P
8/11
9000 11/45