33 图形的变换与坐标的关系
图形变化与图形上点的坐标之间的关系
4.将点P（m,1）向右平移5个单位长度，得 到点Q（3，1），则点P坐标为 (-2,1.)
回顾反思 平移定义
A
A
C
B
B
C
在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离，
这样的图形运动称为图形的平移.
y
B
实践应用
4
3
2
D
1A
C
-1 0 1 2 3F 4
x
-1
E
-2
1
G
纵坐标不变，横坐标都加上5，鱼身有何变化？
横坐标不变，纵坐标都加上4，鱼身有何变化？
横坐标不变，纵坐标都减去8，鱼身有何变化？
2 若一个四边形的其中一顶点P在平移的过程中， 坐标变化为P(x，y)―→P′(x＋3，y)，则该四边 形的平移情况是( B ) A．向左平移3个单位长度 B．向右平移3个单位长度 C．向上平移3个单位长度 D．向下平移3个单位长度
二. 探索图形上点的坐标变化与图形平移间的关系
1.例题探索
y
如图,△ABC三个顶点的坐
(-5,2)
标A(4,3),B(3,1),C(1,2) C1
4 A(1-2,3) 3(1,2)
C 2
（1）将三角形ABC三个
B1 (-3,1) 1
顶点的横坐标都减去6，
-5 -4 -3 -2 -1
12
-1
-2
纵坐标不变，分别得到
第十九章 平面直角坐标系
图形变化与图形上点的坐标之间的关系
第2课时 唐县第五中学 作课教师 马伟娟
课堂学习
坐标系中点的平移 坐标系中图形的平移 图形变化与图形上点的坐标之间的关系
111第三章位置与坐标33轴对称与坐标变化PPT课件
–3
(x,y) (0,0) (5,4) (3,0) (5,1) (5,-1) (3,0) (4,-2) (0,0)
–4
(-x,-y) (0,0) (-5,-4) –5(-3,0) (-5,-1) (-5, 1) (-3,0) (-4, 2) (0,0)
1.横坐标互为相反数、纵坐标相同的两点 ，即
③A、B关于原点对称； ④A、B之间的距离为4，
其中正确的有( B ) A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
总结 归纳
1.横坐标互为相反数、纵坐标相同的两点 ，即
(x , y)
(-x , y)
关于y轴对称；
2.横坐标相同、纵坐标互为相反数的两点，即
(x , y)
(x , -y)
关于x轴对称;
3.横、纵坐标都互为相反数的两点，即
(x , y)
(-x , y)
关于y轴对称；
2.横坐标相同、纵坐标互为相反数的两点，即
(x , y)
(x , -y)
关于x轴对称；
3.横、纵坐标都互为相反数的两点，即
(x , y)
(-x , -y)
关于原点对称；
目标训练
1.点A（2，- 3）关于x轴对称的点的坐标是（2，3 ）. 2.点B（ - 2，1）关于 y 轴 对 称 的 点 的 坐 标 是（ 2，1 ）. 3.点（4，3）与点（4，- 3）的关系是（ B ） .
–5
(x,-y) (0,0) (5,-4) (3,0) (5,-1) (5, 1) (3,0) (4, 2) (0,0)
1.横坐标互为相反数、纵坐标相同的两点 ，即
(x 轴对称；
2.横坐标相同、纵坐标互为相反数的两点，即
《坐标与图形的变化》课件
VS
详细描述
点的旋转是指将图形中的点以某一点为中 心，按照一定的角度进行旋转。在直角坐 标系中，点的旋转可以表示为在x轴和y轴 上的分量分别乘以对应的旋转矩阵，并加 上旋转中心的位置。通过这种方式，我们 可以实现对图形进行旋转操作。
点的缩放
总结词
点的缩放是图形变化中常见的形式之一，通过改变点的大小，可以实现对图形 的缩放操作。
详细描述
点的缩放是指将图形中的点的大小进行缩放，以改变其所在的位置。在直角坐 标系中，点的缩放可以表示为在x轴和y轴上的分量分别乘以对应的缩放因子。 通过这种方式，我们可以实现对图形进行缩放操作。
点的反射Biblioteka 总结词点的反射是图形变化中常见的形式之一，通过对点进行镜像反射，可以实现对图 形的对称操作。
详细描述
OpenCV中的坐标与图形变换实例
图像坐标系
OpenCV中，图像坐标系 的原点位于图像的左上角 ，x轴向右，y轴向下。
图像变换
OpenCV中，可以通过多 种变换方法对图像进行处 理，如平移、旋转、缩放 等。
例子
通过仿射变换，实现将一 张图像映射到另一张图像 上。
Pygame中的坐标与图形变换实例
《坐标与图形的变化》课件
汇报人： 2023-11-29
目 录
• 坐标与图形的概述 • 坐标与图形的变化 • 坐标与图形的变换矩阵 • 坐标与图形的变换应用 • 坐标与图形的变化实例
01
坐标与图形的概述
坐标与图形的定义
坐标
坐标是数学中的一个概念，是确定平面点位和空间点位的数学工具。在平面直角坐标系中，横轴和纵轴分别称为 x轴和y轴，其上任一点P(x,y)称为平面坐标。在空间直角坐标系中，有三个互相垂直的坐标轴，分别称为x轴、y 轴、z轴，其上任一点P(x,y,z)称为空间坐标。
图形变化与图形上点的坐标之间的关系
A1(3,-3)
点（x，y） 向右平移a个单位 （x+a，y） 点（x，y） 向左平移a个单位 （x-a，y）
点（x，y） 向上平移b个单位 （x，y+b） 点（x，y） 向下平移b个单位 （x，y-b）
巩固应用
在平面直角坐标系中，有一点P（-4，2），若将P：
(1)向左平移2个单位长度，所得点的坐标为（_-_6_，__2_）； (2)向右平移3个单位长度，所得点的坐标为（_-_1_，__2_）； (3)向下平移4个单位长度，所得点的坐标为（_-_4_，__-_2；） (4)先向右平移3个单位长度，再向下平移4个单位长
点（x，y）向上平移b个单位 （x，y+b） 点（x，y）向下平移b个单位 （x，y-b）
巩固应用
1.Q（2，-5）平移后得到Q1（-2，-5），点Q是如 何平移的？
2.R（3，-5）平移后得到R1（3，0），点R是 如何平移的？ 3.P（2，3）平移后得到P1（-3，-3），点P是如 何平移的？
回顾旧知 引入新课
把一个图形整体沿某一方向移动一定的距离， 图形的这种移动，叫做平移。
平移后图形的形状、大小不变,图形的位置改变。
想一想
图形平移后，图形的形状、大小不变， 但位置发生了变化，那图形上点的坐标也 随着发生了怎样的变化呢？
1、掌握点平移前后坐标的变化规律。 2、根据点的坐标的变化，得出点的平移变化。
（1）如图，将点A（-2,-3） 向右平移5个单位长度，得 到点A1，在图上标出它的 坐标，观察坐标的变化，你
能从中发现什么规律吗？
A1(3,-3)
（2）点A向左平移1个单位长度得到A2。 （3）点A向上平移4个单位长度得到A3。 （4）点A向下平移4个单位长度得到A4。
初三数学一轮复习教案第33课图形的变换与坐标的关系
初三数学一轮复习教案第33课图形的变换与坐标的关系主备人：朱玮（定稿）教学目标：在同一平面直角坐标系中，掌握图形变换与点的坐标变化之间的关系1. 以平行四边形ABCD的顶点A为原点，直线AD为x轴建立直角坐标系，已知B、D点的坐标分别为（1,3），（4,0），把平行四边形向上平移2个单位，那么C点平移后相对应的点的坐标是（）（A）（3，3）（B）（5,3）（C）（3,5）（D）（5,5）2.若点A的坐标为（6，3），O为坐标原点，将OA绕点O按顺时针方向旋转900得到OA＇，则点A＇的坐标为（）A.(3,-6)B.(-3,6)C.(-3,-6)D.(3,6)3.平面直角坐标系中，与点（2，－3）关于原点中心对称的点是（）A．（－3，2） B．（3，－2） C．（－2，3） D．（2，3）4.图(三)的坐标平面上有一正五边形ABCDE，其中C、D两点坐标分别为(1,0)、 (2,0) ．若在没有滑动的情况下，将此正五边形沿着x轴向右滚动，则滚动过程中，下列何者会经过点(75 , 0)？（）A． A B． B C． C D． D5．点M（－sin60°，cos60°）关于x轴对称的点的坐标是（）A．（32，12）B．（32-，12-）C．（32-，12）D．（12-，32-）6.在平面直角坐标系中，□ABCD的顶点A、B、C的坐标分别是（0，0）、（3，0）、（4，2）则顶点D的坐标为（）A．（7，2） B. （5，4） C.（1，2） D. （2，1）7.在平面直角坐标中，点M(－2，3)在（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限8.（2011山东滨州，8，3分）如图,在平面直角坐标系中,正方形ABCD的顶点A、C分别在y轴、x轴上,以AB为弦的⊙M与x轴相切.若点A的坐标为(0,8),则圆心M的坐标为( )A.(-4,5)B.(-5,4)C.(5,-4)D.(4,-5)9.如图所示，在平面直角坐标系中，菱形MNPO 的顶点P 坐标是（3，4），则顶点M 、N 的坐标分别是（ ）A ．M (5，0)，N (8，4)B ．M (4，0)，N (8，4)C ．M (5，0)，N (7，4)D ．M (4，0)，N (7，4)10.在平面直角坐标系中，已知线段AB 的两个端点分别是A( 4 ,-1).B(1,1) 将线段AB 平移后得到线段A 'B'，若点A'的坐标为 (-2 , 2 ) ，则点 B'的坐标为（ ）A . ( -5 , 4 )B . ( 4 , 3 ) C. ( -1 , -2 ) D .(-2,-1) 11一只跳蚤在第一象限及x 轴、y 轴上跳动，在第一秒钟，它从原点 跳动到(0，1)，然后接着按图中箭头所示方向跳动[即(0，0)→(0，1) →(1，1) →（1，0）→…]，且每秒跳动一个单位 ，那么第35秒时跳蚤所在位置的坐标是（ ）A ．(4，O) B.(5，0) C ．(0，5) D ．(5，5)12.如图，矩形OABC 的顶点O 为坐标原点，点A 在x 轴上，点B 的坐标为(2，1).如果将矩形OABC 绕点0 旋转180°，旋转后的图形为矩形OA 1B 1C 1，那么点B 1 的坐标为( ).A. (2，1)B.(-2,l)C.(-2,-l)D.(2，-1)二，例题讲解：例题1在平面直角坐标系中，一蚂蚁从原点O 出发，按向上、向右、向下、向右的方向依次持续移动，每次移动1个单位．其行走路线如下图所示．（1）填写下列各点的坐标：A 4（ ， ），A 8（ ， ），A 12（ ， ）；O 1 A 1A 2A 3 A 4 A 5A 6A 7 A 8 A 9A 10A 11 A 12A 12 xy第11题y x MO CB A（第8题图）（2）写出点A4n的坐标（n是正整数）；（3）指出蚂蚁从点A100到点A101的移动方向．例题2如图23—121所示，把一个直角三角尺ACB绕着30°角的顶点B顺时针旋转，使得点A与CB的延长线上的点E重合．(1)三角尺旋转了多少度?(2)连接CD，试判断△CBD的形状；(3)求∠BDC的度数．例题3如图23-126所示，已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A(-2，3)，B(-6，0)，C(-1，0)．(1)请直接写出点A关于y轴对称的点的坐标；(2)将△ABC绕坐标原点O逆时针旋转90°，画出图形，直接写出点B的对应点的坐标；(3)请直接写出：以A，B，C为顶点的平行四边形的第四个顶点D的坐标．三、当堂检测1如图，在平面直角坐标系中，△ABC 和△A 1B 1C 1关于点E 成中心对称，则E 点坐标是（ ， ）． 2. 在平面直角坐标系中，点4的坐标为（3，1），将O 绕D 逆时针旋转 120°至OA ′,则点A ′的坐标为_________。
九年级数学图形与坐标知识点分析
图形与坐标情境切入学海导航完全解读知能点1、用坐标确定位置知能点2、图形的变换与坐标（一）平移变换与坐标变化（1）点的平移在平面直角坐标系中，将点(),x y 向右或向左平移()0a a >个单位长度，可以得到对应点(),x a y +或(),x a y -；向上或向下平移()0b b >个单位长度，可以得到对应点(),x y b +或(),.x y b -（2）图形的平移在平面直角坐标系内，如果把一个图形各个点的横坐标都加上（或减去）一个正数k ，相应的新图形就是把原图形向右（或向左）平移k 个单位长度；如果把它各点的纵坐标都加上（或减去）一个正数k ，相应的新图形就是把原图形向上（或向下）平移k 个单位长度.反之，也成立，即将一个图形向上（或向下）平移k 个单位后，其图形上各点的横坐标不变，纵坐标加上（或减去）k 个单位；将一个图形向右（或向左）平移k 个单位后，其图形上各点的纵坐标不变，横坐标加上（或减去）k 个单位.（二）对称变换与坐标变化（1）一个图形沿x 轴对折，则翻折前后两个图形的对应顶点坐标之间的关系是：横标相等,纵坐标互为相反数．（2）一个图形沿y 轴对折，则翻折前后两个图形的对应顶点坐标之间的关系是：横标互为相反数，横坐标相等．（3）在同一直角坐标系中，一个图形绕原点旋转180°，旋转前后两个图形对应顶点之间的关系是：横坐标和纵坐标都互为相反数. （三）图形放大或缩小与坐标变化在同一象限内，把一个图形放大或缩小，变换前后两个图形对应顶点之间的关系是：对应顶点的同名坐标的比等于相似比；不在同一象限内，把一个图形放大或缩小，变换后的图形的顶点坐标可比照上述方法并结合图形求解.友情提醒：（1）在直角坐标系中，求图形运动(就换)后的点的坐标．应先根据题意画出图形,利用图形的直观性求解;（2）求点的坐标应注意各象限内点的坐标的符号特征．特别是在坐标平面内放大(或缩小)的图形的点的坐标．例3、如图，四边形ABCD 的坐标分别为()()()()6,6,8,2,4,0,2,4A B C D ----，画出它的一个以原点O 为位似中心，相似比为12的位似图形.思维点击：问题的关键是要确定位似图形各个顶点的坐标，根据前面的规律，点A 的对应点A’的坐标为116,622⎛⎫-⨯⨯ ⎪⎝⎭，即()3,3-，类似的，可以确定其他顶点的坐标.解：如上图，利用位似变换中对应点的坐标的变化规律，分别取点()()()()----，依次连结点',',',''3,3,'4,1,'2,0,'1,2A B C DA B C D，四边形''''A B C D 就是要求的四边形ABCD的位似图形.温馨提示：位似图形还可能在第四象限，这时四边形的顶点坐标为()()()()A B C D---，作图请同学们自己完成.'3,3,'4,1,'2,0,'1,2X例探究★基础思维探究探究点1、用坐标确定位置例1、建立适当的平面直角坐标系,表示出图中各点的坐标。
初中数学图形的坐标与变换知识点归纳
初中数学图形的坐标与变换知识点归纳初中数学中，图形的坐标与变换是一个重要且基础的知识点。
它涉及到平面直角坐标系、图形的平移、旋转、翻转等概念和运算。
下面，我们将对初中数学中相关的知识点进行归纳，帮助大家更好地理解和掌握这些内容。
1. 平面直角坐标系平面直角坐标系是研究平面上点的位置关系的工具。
它由两条互相垂直的数轴（x轴和y轴）组成，原点为坐标原点，分别与x轴和y轴的正方向上的单位长度为1的线段为坐标轴。
2. 点的坐标表示在平面直角坐标系中，每个点都可以表示为一个有序数对(x, y)，其中x表示点在x轴上的坐标，y表示点在y轴上的坐标。
这种用数对表示点的方法称为点的坐标。
3. 图形的平移平移是指图形在平面上沿着一定的方向移动一定的距离，但形状和大小保持不变。
平移可以用坐标表示，对于平移向量(a, b)，图形上的每个点(x, y)移动到新位置(x+a, y+b)。
4. 图形的旋转旋转是指图形绕一个固定点旋转一定的角度。
对于顺时针旋转θ度的情况，图形上的每个点(x, y)绕旋转中心点O旋转θ度后的新位置为(x', y')，通过一定的数学公式可以得到旋转后的新坐标。
5. 图形的翻转翻转是指图形相对于某个轴对称的操作。
包括水平翻转和垂直翻转两种情况。
水平翻转是指图形相对于x轴对称，垂直翻转是指图形相对于y轴对称。
翻转后图形上的每个点(x, y)的新坐标可以通过一定的变换公式得到。
6. 点的对称性在平面直角坐标系中，点的对称性也是一个重要的概念。
对称点是指两个在坐标系中关于某个点对称的点，就是它们关于这个点的连线的中点。
7. 图形的对称性除了点的对称性，图形的对称性也是一种重要的性质。
图形如果存在一个中心对称轴，当图形上的每一个点关于该对称轴与对应的对称点重合时，我们说图形具有中心对称性。
如果一个图形既有中心对称性，又有轴对称性，则称为既有中心对称性又有轴对称性。
通过对初中数学中图形的坐标与变换知识点的归纳，我们可以更好地理解和应用这些知识，解决与图形相关的问题。
图形的变换与坐标教案
图形的变换与坐标教案第一章：图形的认识与坐标系的建立1.1 平面直角坐标系的认识讲解平面直角坐标系的定义和构成演示坐标轴上的点与实际物体的对应关系让学生通过实例理解坐标系在几何中的应用1.2 坐标与图形的关系解释点的坐标表示方法分析直线、三角形等基本图形在坐标系中的表示让学生通过实例掌握坐标与图形之间的关系第二章：图形的平移变换2.1 平移变换的概念讲解平移变换的定义和特点演示平移变换对图形的影响让学生通过实例理解平移变换的性质2.2 平移变换的坐标表示讲解平移变换的坐标表示方法分析平移变换对点的坐标的影响让学生通过实例掌握平移变换的坐标表示方法第三章：图形的旋转变换3.1 旋转变换的概念讲解旋转变换的定义和特点演示旋转变换对图形的影响让学生通过实例理解旋转变换的性质3.2 旋转变换的坐标表示讲解旋转变换的坐标表示方法分析旋转变换对点的坐标的影响让学生通过实例掌握旋转变换的坐标表示方法第四章：图形的缩放变换4.1 缩放变换的概念讲解缩放变换的定义和特点演示缩放变换对图形的影响让学生通过实例理解缩放变换的性质4.2 缩放变换的坐标表示讲解缩放变换的坐标表示方法分析缩放变换对点的坐标的影响让学生通过实例掌握缩放变换的坐标表示方法第五章：图形变换的应用5.1 图形变换在几何中的应用讲解图形变换在几何问题中的应用分析实例问题，让学生理解图形变换对几何问题的重要性让学生通过练习题巩固图形变换在几何中的应用5.2 图形变换在实际问题中的应用讲解图形变换在实际问题中的应用分析实例问题，让学生理解图形变换在实际问题中的作用让学生通过练习题巩固图形变换在实际问题中的应用第六章：组合图形的变换6.1 组合图形变换的概念讲解组合图形变换的定义和特点演示组合图形变换对图形的影响让学生通过实例理解组合图形变换的性质6.2 组合图形变换的坐标表示讲解组合图形变换的坐标表示方法分析组合图形变换对点的坐标的影响让学生通过实例掌握组合图形变换的坐标表示方法第七章：坐标与图形变换的综合应用7.1 坐标与图形变换在几何问题中的应用讲解坐标与图形变换在几何问题中的应用分析实例问题，让学生理解坐标与图形变换对几何问题的重要性让学生通过练习题巩固坐标与图形变换在几何中的应用7.2 坐标与图形变换在实际问题中的应用讲解坐标与图形变换在实际问题中的应用分析实例问题，让学生理解坐标与图形变换在实际问题中的作用让学生通过练习题巩固坐标与图形变换在实际问题中的应用第八章：计算机辅助几何设计8.1 计算机辅助几何设计的基本概念讲解计算机辅助几何设计的基本概念和特点演示计算机辅助几何设计在图形变换中的应用让学生通过实例理解计算机辅助几何设计的基本原理8.2 计算机辅助几何设计软件的使用讲解计算机辅助几何设计软件的基本操作分析实例问题，让学生掌握计算机辅助几何设计软件的使用方法让学生通过练习题熟练使用计算机辅助几何设计软件第九章：图形变换与坐标系的拓展9.1 非平面直角坐标系中的图形变换讲解非平面直角坐标系中的图形变换方法演示非平面直角坐标系中图形变换对图形的影响让学生通过实例理解非平面直角坐标系中图形变换的性质9.2 变换群与图形变换讲解变换群的基本概念和性质分析变换群在图形变换中的应用让学生通过实例理解变换群与图形变换的关系第十章：复习与拓展10.1 复习本章所学内容复习本章所学的基本概念、方法和技巧分析典型问题，让学生巩固本章所学知识让学生通过练习题检验自己的学习成果10.2 拓展图形变换的应用领域讲解图形变换在其他学科领域中的应用分析实例问题，让学生了解图形变换的广泛应用激发学生对图形变换在实际问题中应用的兴趣重点和难点解析重点环节一：平面直角坐标系的认识重点关注学生对坐标系的理解和实际物体的对应关系。
坐标与图形的变化
缩放变换是图形变换中常用的一种，它通过改变图形上所有点的坐标值来实现放大或缩小。在缩放变 换中，图形上任意一点都按照相同的比例因子进行放大或缩小，保持了图形之间的相对关系不变。
旋转变换
总结词
旋转变换是指图形绕某一点旋转一定的角度，同时改变其方向和位置。
详细描述
旋转变换是图形变换中常用的一种，它通过旋转图形上所有点的坐标值来实现旋转。在旋转变换中，图形上任意 一点都绕着旋转中心按照相同的旋转角度进行旋转，保持了图形之间的相对关系不变。
在实际应用中，坐标与图形变化的应用非常广泛。例如，在计算机图形学中，坐标与图形变 化被用于生成和处理各种类型的图像；在物理学中，它们被用于描述物体的运动轨迹和状态 变化；在工程学中，它们被用于设计和分析各种机械系统和控制系统。
对未来研究的展望与建议
• 随着科技的不断发展，坐标与图形变化的应用前景将更加广阔。未来，我们可 以进一步探索如何将坐标与图形变化应用于更多领域，以解决更多实际问题。
在机械设计中，可以通过建立坐标系来描述机器部件的位置和运 动轨迹，从而进行精确的设计和制造。
航空航天
在航空航天领域，通过建立三维坐标系，可以描述飞行器的位置和 姿态，从而进行导航和控制。
自动化控制
在自动化控制领域，通过建立坐标系，可以描述机器的位置和状态， 从而进行精确的控制和监测。
05
总结与展望
• 总之，坐标与图形变化是一个充满活力和潜力的研究领域。未来，我们可以通 过不断深入研究和探索，推动该领域的发展和应用，为解决更多实际问题提供 更多有效的方法和工具。THAKS感谢观看04
坐标与图形变化的应用
在几何学中的应用
01
02
03
坐标变换
坐标与图形的变化
19.4 坐标与图形的变化第1课时图形的平移与坐标变化教学目标【知识与技能】1.了解坐标平面内平移点的坐标变化规律，会写出平移变化后点的坐标.2.掌握图形平移与坐标变化的关系，能利用点的平移规律将平面图形进行平移；会根据图形上点的坐标的变化，来判定图形的移动过程.【过程与方法】1.通过坐标平面内, 点的坐标平移变化情况, 进一步提高学生抽象概括的能力.2.通过坐标表示点的平移, 体会数形结合的思想.【情感态度】培养学生主动探索，敢于实践的创新精神，让学生学会主动寻求解决问题的途径，从成功中体会研究数学问题的乐趣，从而增强学生学习数学的兴趣，树立学好数学的信心.【教学重点】掌握图形平移与坐标变化的关系.【教学难点】利用图形平移与坐标变化的关系解决实际问题.教学过程一、情境导入，初步认识（课件展示）电脑游戏怪兽吃豆豆：图中怪兽要吃到图中的三个豆豆需做怎样的平移？平移以后的坐标是什么？自己设计几个豆豆的位置试一试？【教学说明】结合八年级学生的好奇、好学、好动的特点，以电脑游戏为载体，展开所要研究的问题，进一步激发学生的求知欲，课件中的动画过程使数与形的关系可视化，有利于学生对问题的感知.二、思考探究，获取新知探究1 点的平移与坐标的变化在坐标平面上，一只蚂蚁从原点出发，爬行的路径如图所示.问题1写出A，B，C，D，E这5个点的坐标.问题2指出蚂蚁在各条线段上爬行的方向和距离，并填写下表.问题3在直角坐标系中，将一个图形沿坐标轴的方向平移时，各顶点的坐标是否有相同的变化规律？【教学说明】在教师的指导下，学生通过画图、操作、思考、交流等过程，引导学生去探索、发现、归纳得出结论.经历从特殊到一般，有具体到抽象的探索过程，最终探索出点左右平移和上下平移的坐标变化规律，这样，学生动手实践，利用多种感官全方位参与探究知识的过程，给学生创设充分表现自己的时空，引导学生去探索、发现、归纳.【归纳结论】由此，我们可以推得：在平面直角坐标系中，对于坐标平面上任意一点P（x，y）.将它沿x轴的方向向右（或向左）平移k个单位长度，相当于这个点的横坐标增加（或减少）k，纵坐标不变，即点P（x，y）平移到点P’（x+k，y）（或（x-k，y））；将它沿y轴的方向向上（或向下）平移k个单位长度，相当于这个点的纵坐标增加（或减少）k，横坐标不变，即点P（x，y）平移到点P’’（x，y+k）（或（x，y-k））.探究2 图形的平移与坐标的变化如图，在平面直角坐标系中，长方形ABCD 各顶点的坐标分别为A（-2，1），B（2，1），C（2，3），D（-2，3）.问题1 将长方形ABCD沿x轴的方向向右平移5个单位长度，得到长方形A1B1C1D1. 请写出长方形A1B1C1 D1各顶点的坐标，并指出对应顶点坐标的变化规律.问题2 在上图中，将长方形ABCD沿y轴的方向向下平移4个单位长度，画出平移后的长方形，写出其各顶点的坐标，并说出平移前后对应顶点的坐标是如何变化的.问题3 在上图中，将长方形ABCD先沿x轴的方向向右平移6个单位长度，再沿y轴方向向下平移5个单位长度，画出平移后的长方形，写出其各顶点的坐标，并说出平移前后对应顶点的坐标是如何变化的.【答案】1.将长方形ABCD沿x轴的方向向右平移5个单位长度，各顶点移动的方向一致，移动的距离都是5个单位长度.因此，平移后的长方形A1B1C1 D1，各顶点的坐标为：A1(3，1)，B1(7，1)，C1(7，3) ，D1，(3，3)，顶点坐标的变化规律为：长方形A1B1C1 D1各顶点的横坐标是将长方形ABCD各顶点的横坐标都加5，纵坐标不变而得到的.2．A2(-2，-3)，B2(2，-3)，C2(2，-1) ，D2 (-2，-1)顶点坐标的变化规律为：长方形A2B2C2 D2 各顶点的纵坐标是将的纵坐标都减4，横坐标不变而得到的.3.其顶点坐标依次为：A3（4，-4），B3（8，-4），C3（8，-2），D3（4，-2）.顶点坐标的变化规律为：长方形A3B3C3D3各顶点的纵坐标是将长方形ABCD各顶点的纵坐标都减5，横坐标加6而得到的.【教学说明】学生掌握点的平移与其坐标的变化关系后，将知识迁移到几何图形的平移上来，而图形的平移是建立在点平移的基础上的通过学生动手探索，利于学生对知识的理解与内化.用坐标表示图形平移时，往往通过某些特殊点的平移来解决，加强了学生对知识点间相互联系的认识.【归纳】对一个图形进行平移，就是对这个图形上所有点的平移，因而这个图形上所有点的坐标都要发生相应的变化；反过来，从图形上的点的坐标的某种变化，我们也可以看出对这个图形进行了怎样的平移.三、典例精析，掌握新知例1 一个正方形在平面直角坐标系内的位置如图所示，已知点A的坐标为（3，0），线段AC与BD的交点是M．（1）写出点M、B、C、D的坐标；（2）当正方形中的点M由现在的位置经过平移后，得到点M（-4，6）时，写出点A、B、C、D的对应点A′、B′、C′、D′的坐标．分析（1）根据正方形的性质，结合直角坐标系，可得出点M、B、C、D 的坐标；（2）根据M、M'的坐标，可得出平移的规律，继而可得出点A、B、C、D的对应点A′、B′、C′、D′的坐标.解：（1）点M（3，3），点B（6，3），点C（3，6），点D（0，3）．（2）点M（3，3），平移后的坐标为（-4，6），故可得平移是按照：向左平移7个单位，向上平移3个单位进行的，故A′（-4，3）、B′（-1，6）、C′（-4，9）、D′（-7，6）．例2如图所示的直角坐标系中，已知四边形及点A、B、C、D的坐标分别是A（4，1），B（5，3），C（4，5），D（2，3）．若将四边形ABCD先向上平移2个单位长度，再向右平移3个单位长度后，得到了四边形A1B1C1D1，请在方格中画出四边形A1B1C1D1，并写出A1 、B1 、C1 、D1的坐标．分析（1）根据网格结构的特点找出平移后的点A、B、C、D的对应点A1 、B1 、C1 、D1的位置，然后顺次连接即可；（2）把四边形A1B1C1D1分成两个三角形，然后结合网格结构求出这两个三角形的面积，相加即可．解：（1）如图所示，四边形A1B1C1 D1即为所求作的图形；点A1 、B1 、C1 、D1的坐标分别为：A1（7，3），B1（8，5），C1（7，7），D1（5，5）；四、运用新知，深化理解1. （四川绵阳中考）线段EF是由线段PQ平移得到的，点P（-1，4）的对应点为E（4，7），则点Q（-3，1）的对应点F的坐标为（）A.（-8，-2）B.（-2，-2）C.（2，4）D.（-6，-1）2.（黑龙江牡丹江中考）如图，把ABC经过一定的变换得到△A′B′C′，如果△ABC上点P的坐标为（x，y），那么这个点在△A′B′C′中的对应点P′的坐标为（）A.（-x，y-2）B.（-x，y+2）C.（-x+2，-y）D.（-x+2，y+2）3. 如图，△A′B′C′是由△ABC平移得到的，已知△ABC中任意一点P（x0，y0）经平移后的对应点为点P′（x0+5，y0-2）．（1）已知点A（-1，2）、B（-4，5）、C（-3，0），请写出点A′、B′、C′的坐标；（2）试说明△A′B′C′是如何由△ABC平移得到的？4.如图所示，△ABC三个顶点的坐标分别是A（4，3），B（3，1），C（1，2）．（1）将△ABC三个顶点的横坐标都减去5，纵坐标不变，分别得到点A1、B1、C1，依次连接A1、B1、C1各点，所得△A1B1C1与△ABC的大小、形状和位置上有什么关系？（2）将△ABC三个顶点的纵坐标都减去4，横坐标不变，分别得到点A2、B2、C2，依次连接A2、B2、C2各点，所得△A2B2C2与△ABC的大小、形状和位置上有什么关系？（3）将△ABC三个顶点的横坐标都减去5，纵坐标都减去4，分别得到点A3、B3、C3，依次连接A3、B3、C3各点，所得△A3B3C3与△ABC的大小、形状和位置上有什么关系？（4）求三角形A3B3C3的面积．【教学说明】针对本节知识，设计了以上几道题，及时了解学生运用新知来解决问题的能力，查漏补缺.【答案】1.C 2.B3.解：（1）根据题意三角形ABC的平移规律为：向右平移5个单位，向下平移2个单位，则点A′的坐标为（-1+5，2-2）即（4，0），点B′的坐标为（-4+5，5-2）即（1，3），点C′的坐标为（-3+5，0-2）即（2，-2），（2）根据对应点的坐标平移规律即可得出：△ABC向右平移5个单位，向下平移2个单位得到△A′B′C′．4. 解：（1）点A1（-1，3）、B1（-2，1）、C1（-4，2），所得△A1B1C1与△ABC的大小、形状完全一样，只是把△ABC向左平移了5个单位得到；（2）点A2（4，-1）、B2（3，-3）、C2（1，-2），所得△A2B2C2与△ABC 的大小、形状完全一样，只是把△ABC向下平移了4个单位得到；（3）点A3（-1，1）、B3（-2，-3）、C3（-4，-2），所得△A3B3C3与△ABC 的大小、形状完全一样，只是把△ABC向下平移了4个单位，再向左平移5个单位得到；（4）三角形A3B3C3的面积= ．五、师生互动，课堂小结学完本节课你有什么收获，谈谈自己的体会，最后师生共同总结归纳. 【教学说明】师生进行合作小结，体现了教学的民主性，学生通过自我评价，逐渐形成正确的价值观和科学的学习观，同时养成良好的反思习惯.通过总结，培养学生归纳、概括能力，有助于学生清理知识的脉络，使新旧知识形成体系，教师作为组织者与引导者.作业1.布置作业：从教材中选取.2.完成练习册中本课时练习.自评1.在探索点的坐标变化与平移间的关系时让学生经历一个由特殊到一般的归纳过程，让他们在参与中体验，在活动中发展并总结发现新的规律，给学生以体验成功的空间，激发他们学习的热情和积极性.2.在探究图形上点的坐标变化与图形平移间的关系时，由于学生已经经历了分析点的坐标变化与平移间的关系，故此环节中安排学生独立进行探究活动,教师不再是讲台上的主角,而是作为知识海洋中的导游,引领学生亲自感受数学世界的神奇魅力.3.在小结的设计上给学生一个充分从事数学活动的机会，也体现了学生是数学学习的主人的理念.让学生通过反思给自己打分分析自己知识掌握的情况，初步学会自我评价学习效果.4.这节课难度不大，学生动手机会多，但感觉课堂上学生的热情没有被激发出来，气氛没有预想的热烈。
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第33课 图形的变换与坐标的关系
1.在直角坐标系中，点P （－5，8）关于x 轴对称点P 1的坐标是 ；点P （－5，8）关于y 轴对称点P 2的坐标是 ；点P （－5，8）关于原点对称点P 3 的坐标是 ．
2.设点M （x , y ）在第三象限，x =2，5+y =3，则点M 关于原点对称的点N 的坐标是 ．
3.若点A （m ，3）在函数y=5x+3的图像上，则点A 关于原点对称的点B 的坐标是 ．
4.若点A 关于y 轴对称的点的坐标是（3,－2）， 那么点A 关于x 轴对称的点C 的坐标是 ．
5.若点P 关于原点对称的点P 1的坐标是（2，2），那么点P 关于x 轴对称的点P 2的坐标是 ．
6.若点P （m , n ）其中m>0、n>0关于原点对称的点P 1的坐标是 ，关于x 轴对称的点P 2的点的坐标是 ，关于y 轴对称的点P 3的坐标是 ，关于直线y=x 对称的点P 4的坐标是 ；关于直线y=－x 对称的点P 5的坐标是 ；
7.若点A （b a -，3）与点B （42-a ，-3）关于原点对称, 则a= ，b= ． 8.若直线y=－x ＋3的图像与抛物线y=x 2
－3x －12的交点坐标是 ，它们关于y 轴对称的点的坐标是 ．
9.若直线y=3x ＋2的图像与直线y=－x+2的交点坐标是A,则点A 关于y 轴对称点B 的坐标是 ．
10.已知，点A （a ＋2 , b －4）与点A （－b ，－3a ）关于原点对称，则20061
+a ×
2007b
= ．
11.已知平面直角坐标系上的三个点O （0，0），A （－1，1），B （－1，0），将△ABO 绕点O 按顺时针方向旋转135
，则点A 、B 的对应点A 1、B 1的坐标分别是A 1（ , ），B 1（ , ）．
12.在△ABC 中A(3,－1)、B(2,－1)、C(0,2) ，若将△ABC 绕点C 顺时针旋转90
后得到△A 1B 1C 1
，则点A 1
的对应点的坐标是 ． 13.已知，点P （x , y ）的坐标满足3-x ＋
5+y =0，
则点P 关于y 轴对称的点P 1在（ ） A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
14.设M(x , y) 点在第三象限，且x =3，y =2，则M 点关于y 轴的对称点的坐标是( ) A.（3，2） B.（－3，－2） C.（－3，2） D.（3，－2） 15.点M （－3，1）绕原点旋转60
后的坐标是（ ）
A.（－3，－1）
B.（3，1）
C.（3，－1）
D.（－3，－1）或（0，2）
16.如图1，在平面直角坐标系中，△ABC为等边三角形，其中点A、B、C的坐标分别为（3，1）、（3，3），（3－3，2），现以y轴为对称轴作△ABC的对称图形，得△A1B1C1，再以x
轴为对称轴作的对称图形，得△A2B2C2
⑴直接写出A2 、B2两点的坐标；
⑵是否能通过一次旋转将△ABC旋转到△A2B2C2的位置？你若认为能，请直接写出绕哪一
点旋转多少度；你若认为不能，请作出否定的回答（不必说明理由）；
⑶设当△ABC的位置发生变化时，△A2B2C2、△A1B1C1与△ABC之间的对称关系始终保持不
变：
①当△ABC向下平移多少个单位时，A1B1C1与A2B2C2完全重合？并直接写出此时C点的坐标；
②将△ABC绕点A顺时针针旋转αº（0≤α≤180），使△A1B1C1与A2B2C2完全重合，此时α的值为多少？点C的坐标又是什么？
第33课 图形的变换与坐标的关系答案
1.（－5，－8），（5，8），（5，－8）。
2.（2， 8）、（2， 2）。
3.（0，－3）。
4.（－3，2）。
5.（－2，2 ）。
6.（－m ，－n ）,（m ，－n ），（－m ，n ）,（n ，m ）,（－n ，－m ）。
7. 2 ，2。
8.(－3，6)、（5，－2），（－5，－2）、（3，6）。
9.（0，2）。
10. 2007。
11. 2 0
22 2
2。
12.（－1，－3） 13.C 14. D 15. D 16.（1）（3，－1），（－3，－3） （2） 能 绕点O 旋转180
① 2 （3－3，0） 180
（3+3，0）。