图形的变换与坐标.ppt
计算机图形学第4章图形变换
反射变换
总结词
反射变换是将图形关于某一平面进行镜像反射的变换。
详细描述
反射变换可以通过指定一个法向量和反射平面来实现。法向量垂直于反射平面，指向反射方向。在二 维空间中，反射变换可以将图形关于x轴或y轴进行镜像反射；在三维空间中，反射变换可以将图形关 于某一平面进行镜像反射。
03
复合图形变换
组合变换
01
02
03
04
组合变换是指将多个基本图形 变换组合在一起，形成一个复
杂的变换过程。
组合变换可以通过将多个变换 矩阵相乘来实现，最终得到一
个复合变换矩阵。
组合变换可以应用于各种图形 变换场景，如旋转、缩放、平
移、倾斜等。
组合变换需要注意变换的顺序 和矩阵的乘法顺序，不同的顺 序可能导致不同的变换结果。
矩阵变换
矩阵变换是指通过矩阵运算对图形进 行变换的方法。
常见的矩阵变换包括平移矩阵、旋转 矩阵、缩放矩阵和倾斜矩阵等。
矩阵变换可以通过将变换矩阵与图形 顶点坐标相乘来实现，得到变换后的 新坐标。
矩阵变换具有数学表达式的简洁性和 可操作性，是计算机图形学中常用的 图形变换方法之一。
仿射变换
仿射变换是指保持图形中点与 点之间的线性关系不变的变换。
05
应用实例
游戏中的图形变换
角色动画
通过图形变换技术，游戏中的角 色可以完成各种复杂的动作，如
跑、跳、攻击等。
场景变换
游戏中的场景可以通过图形变换 技术实现动态的缩放、旋转和平 移，为玩家提供更加丰富的视觉
体验。
特效制作
图形变换技术还可以用于制作游 戏中的特效，如爆炸、火焰、水
流等，提升游戏的视觉效果。
THANKS
《比例尺》图形的变换和确定位置
遥感图像的比例尺可以根据实际需求进行调 整，通常分为大比例尺、中比例尺和小比例 尺等不同类型。为了提高遥感图像的精度和 分辨率，现代遥感技术还采用了多种传感器
和数据处理技术。
05
比例尺的局限性
比例尺与精度关系
比例尺越大，精度越高
比例尺越大，表示地图上的距离与实 际距离的比例越接近，因此精度越高 。
比例尺越小，精度越低
比例尺越小，地图上的距离与实际距 离的比例差距越大，因此精度越低。
大比例尺的限制
大比例尺地图制作难度大
大比例尺地图需要更详细的地形和地貌 数据，制作难度较大，成本也较高。
VS
大比例尺地图更新频率低
大比例尺地图需要更频繁的更新来反映地 形的变化，但由于制作难度大，更新频率 相对较低。
比例尺的表示方法
数字比例尺
用数字表示图上距离与实际距离 的比例，如1:1000表示图上1单位
长度代表实际1000单位长度。
文字比例尺
用文字描述图上距离与实际距离的 比例，如“一寸代十”表示图上1 寸代表实际10单位长度。
直线比例尺
用一条直线段表示图上距离与实际 距离的比例，通常用于地图的侧边 或下方。
工程设计中使用的比例尺通常比较严格，需要遵循相关的 标准和规范。同时，为了确保图纸的可读性和准确性，工 程师还需要在图纸上标注相关的尺寸和单位。
遥感技术
遥感技术是一种通过卫星、飞机等平台获取 地球表面信息的现代技术。在遥感技术中， 比例尺用于表示遥感图像中像素与地面实际 长度的比例关系。通过使用比例尺，可以更 加准确地解读和分析遥感图像中的信息，从 而为环境监测、资源调查、城市规划等领域 提供重要的数据支持。
极坐标系
一种基于角度和距离的坐标系，通过从固定点出发的角度和距离来定位点。
《第1课时 图形的平移与坐标变化》课件 (同课异构)2022年精品课件
∴PD = PE 〔在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等〕.
判一判：〔1〕∵ 如下左图，AD平分∠BAC〔〕， ∴ BD = CD ，
× ( 在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等 )
B
B
A
D
A
C
(2)∵ 如上右图， DC⊥AC，DB⊥AB 〔〕.
D C
∴ BD = CD ,
5 得到点A1( _3__ , _-3__ );
4
3
2
1
-6 -5 -4 -3 -2 -1-1 O1 2 3 4 5 6 x
-2 A2 A -3
A1 2.将点A(-2,-3)向左平移
-4
2个单位长度，得到点
-5
-6
A2(__-_4_ , __-_3__)；
3.将点A(-2,-3)向上平移4个单位长
学习目标
1.会表达角平分线的性质及判定;〔重点〕 2.能利用三角形全等，证明角平分线的性质定理， 理解和掌握角平分线性质定理和它的逆定理，能应 用这两个性质解决一些简单的实际问题;〔难点〕 3.经历探索、猜测、证明的过程，进一步开展学 生的推理证明意识和能力．
导入新课
情境引入
如图，要在S区建一个贸易市场，使它到铁路
例2 如图,在平面直角坐标系中,P(a,b)是△ABC的边AC
上一点,△ABC经平移后点P的对应点为P1(a＋6,b＋2)．
(1)请画出上述平移后的△A1B1C1， 并写出点A、C、A1、C1的坐标；
y
A1
解：〔1〕△A1B1C1如 以下图，各点的坐标分别 B 为A(－3线段AB向上平 移2个单位，作出它的 像A′B′,并写出点A′,B′ 的坐标.
1. 作出线段两个端点平 移后的对应点.
第4章图形变换
y
xy
x' y'
A
A 10 26 2 0 0 20 13 1 A '
B
10
10
0
0 .5
0
=
20
5
1
B
'
C 20 10 0 0 1
40 5 1 C '
20
A’
10 B
C
B’
C’ x
图4.2 不等比例变换
10 20 30 40
2. 对称变换
对称变换可分为对坐标轴、±45°线和原点的对称变换。
1. 比例变换
比例变换是让点的x,y坐标各乘以一个比例因子，其变换 公式为：
x' = ax
y' = dy
因此，可令比例变换矩阵Ts为：
Ts=
a
0
0
0 b 0
0
0
，则：[X
1
Y
a
1]
0
0
0 b 0
0
0
= [ax dy 1] =
[X'
1
Y'
1]
其中a，d分别为x，y方向上的比例因子(a，d>0)。讨论：
xy
x” y”
A 10 26 1 1 2 0
10 46 1 A "
B 10
10
1
0
1
0
=
10
30
1
B"
C 20 10 1 0 0 1
20 50 1 C "
变换后的图见图4.6。
变换的结果是X坐标不变，而Y坐标产生一增量bx，使原 来平行于X轴的线倾斜θ角且tgθ= x/bx = 1/b。当b>0时,没+Y 向错切；b<0时沿–Y向错切。
图形变换概述
0 1 ty
100÷÷÷÷÷÷÷÷÷
(x',y') (x,y)
0
辽宁师范大学计算机与信息技术学院 宋传鸣
X
《计算机图形学》
平移变换的特性
二维图形变换 平移是不产生变形而移动物体的刚体变换,物体上
图形变换概述 的每个点移动相同的坐标
几何变换
直线的平移是将平移方程加到线的每个端点上
平移变换
平移变换 旋转变换 放缩变换 错切变换
关于原点的对称变换 关于直线y=x的对称变换 关于直线y= –x的对称变换
对称变换 复合变换
视象变换
(-x,y) Y(x,y)
视窗变换
(y,x)
(-y,-x)
X
辽宁师范大学计算机与信息技术学院 宋传鸣
(-x,-y) (x,-y)
《计算机图形学》
旋转变换的特性
二维图形变换 旋转是一种不变形地移动物体的刚体变换,物体上
图形变换概述 的所有点旋转相同的角度
几何变换
直线段旋转是将每个端点旋转指定的旋转角
平移变换 旋转变换 放缩变换
多边形的旋转则是将每个顶点旋转指定的旋转角 曲线的旋转则是旋转控制取样点
0 -1 0
100÷÷÷÷÷÷÷÷
(xⅱ y
1)= (x
y
1)骣 ççççççç桫100
0 -1 0
100÷÷÷÷÷÷÷÷
Y (x,y)
X
辽宁师范大学计算机与信息技术学院 宋传鸣
(x,-y)
《计算机图形学》
对称(Mirror)变换
二维图形变换 关于Y轴进行对称变换的解析表示
图形变换概述
x'= –x
《图形的放大与缩小》图形的变换和确定位置
方法
可以通过几何作图、计算 机图形软件等方式实现图 形的放大。
注意事项
放大图形时应注意保持图 形的比例和特征，避免失 真或变形。
缩小图形
定义
缩小图形是指将图形按比 例或非比例地缩小尺寸， 以适应不同的需求或展示 效果。
方法
可以通过几何作图、计算 机图形软件等方式实现图 形的缩小。
注意事项
缩小图形时应注意保持图 形的比例和特征，避免失 真或变形。
类型
顺时针旋转和逆时针旋转。
应用
在几何、代数和实际问题中都有广泛 的应用。
平移与旋转的组合
定义
将一个图形先进行平移，然后再 进行旋转的变换称为平移与旋转
的组合。
性质
平移与旋转的组合可以产生新的 图形，并改变图形的位置和方向
。
应用
在几何、代数和实际问题中都有 广泛的应用，如建筑设计、机械
制造等领域。
坐标系原点
坐标系中与两个轴平行 的两条数轴相交于原点 ，原点是坐标系的起点 。
坐标系中的点
在坐标系中，每一个点 都对应一个坐标，横坐 标表示在x轴上的位置 ，纵坐标表示在y轴上 的位置。
点的坐标表示
点的坐标
在二维平面坐标系中，点的坐标用一对有序数对表示，第 一个数表示横坐标，第二个数表示纵坐标。
坐标轴上的点
图形在坐标系中的位置
图形的位置可以通过其各个顶点的坐标来确定，顶点之间通 过几何关系来描述图形的形状和大小。
05 图形的变换和确定位置的 应用
图形变换在几何中的应用
1 2 3
相似形
通过放大或缩小图形，可以研究相似形的性质和 关系，例如在等比尺缩放的情况下，两个相似形 的对应线段成比例。
黄金分割
第3章 图形变换
对Y轴镜射 O
原始位置 X
对原点镜射
对X轴镜射
图3.4 镜射变换
Y 原始位置
4.对±45°线的镜射变换 （1）对+45°线的镜射
对+45°线 镜射
O
X
对+45°线的镜射应有： x* y, y* x ,
其镜射变换为
对-45°线镜
x
y y
x x
y
0 1
1 0
x
yT
射
图3.5 ±45°线镜射变换
在沿X轴的错切变换中，y坐标不变，x坐标有一增量。变换后原来 平行于Y轴的直线，向X轴方向错切成与X轴成一定的角度。而在沿 Y轴的错切变换中，x坐标不变，y坐标有一增量。变换后原来平行 于X轴的直线，向Y轴方向错切成与Y轴成一定的角度。
x *
y * x cy
y bx x
y
1 c
b 1
x
yT
式中
T
x1 y1 1 1 1 1
x2
y2 1 3 1 1
x3
y3
1
x4 y4 1
3 2 1 1 2 1
Y D(1,2)
A(1,1) O
C(3,2)
B(3,1) X
采用齐次坐标表示点主要有以下两个优点： （1）它为几何图形的二维、三维甚至高维空间的坐标变换提供了统 一的矩阵运算方法，并可以方便地将它们组合在一起进行组合变换。 （2）对于无穷远点的处理比较方便。例如，对于二维的齐次坐标
3.1 点的矩阵表示 3.2二维图形的基本变换 3.3 二维齐次坐标和齐次变换矩阵 3.4二维图形的组合变换 3.5三维图形的变换
3.6三维图形的投影变换
3.1 点的矩阵表示 3.1.1 点的矩阵表示
图形变换与坐标规律总结
图形变换与坐标规律总结一、图形变换与坐标变化点的坐标的变化与图形的变换的关系，通过点的坐标的变化可得到图形变换的规律．总结如下：问题：在直角坐标系中描出点（1，2）、（2，6）、（3，2）、（4，6）、（5，2），并将各点用线段依次连接起来，观察所得的图形，你认为它是一个什么图形？解析：通过正确的作图可得，按题目的要求连接后，得到一个图形，如图1所示，这是一个“M”型。
图1 图2变换1：将图1中的点A、B、C、D、E的纵坐标不变，横坐标分别变成原来的2倍，再将所得的点A1、B1、C1、D1、E1按题目中的连接方式连接，所得的图形与原来的图形相比有什么变化？解析：点A1(2，2)，B1(4，6)，C1(6，2)，D1(8，6)，E1(10，2)，按要求连接起来如图2所示．和原图形比较，M字图被横向拉长为原来的2倍．总结规律:(1)当纵坐标不变，横坐标变为原来的n(n>1)倍时，则图形被横向拉长原来n倍;(2)当横坐标不变，纵坐标变为原来的n(n>1)时，则图形被纵向拉长原来的n倍．（3）当横坐标、纵坐标分别变为原来的n(n>1)倍，则所得图形形状不变，大小变为原来的n2倍．变换2:将图1中的点A，B，C，D，E的点横坐标不变，纵坐标都加上3，再将所得A2，B2，C2，D2，E2点按题目的要求连接，所得的图形与原图形比较有什么变化?解析:点A2(1，5)、B2(2，9）、C2(3，5）、D2(4，9）、E2(5，5）．按要求连接后，所得的图形如图3所示，与原来的图形相比，M字形大小、形状不变，而向上平移了3个单位长度．图3总结规律:（1）横坐标不变，纵坐标分别增加(或减少)n个单位长度，则图形向上(或向下)平移了n个单位长度．(n>0);(2)当纵坐标不变，横坐标分别增加(或减少)n个单位长度，则图形向右(或左)平移了n个单位长度．(n>0)变换3:将图1中的点A，B，C，D，E的横坐标，纵坐标都乘以－1，再将所得A3，B3，C3，D3，E3点按题目的要求连接，所得的图形与原图形比较有什么变化?图4解析: A3(－1，－2）、B3(－2，－6）、C3(－3，－2）、D3(－4，－6）、E3(－3，－2）．所得的图形如图4所示，与原图形相比，M字形绕O点旋转了180度，即两个图形关于O点成中心对称．总结规律:（1）横、纵坐标分别乘以－1，则所得图形与原图形关于原点成中心对称；（2）当横坐标不变，纵坐标都乘以－1时，所得图形与原图形关于横轴成轴对称；（3）当纵坐标不变，横坐标都乘以－1时，所得的图形与原图形关于纵轴成轴对称．二、图形变换与坐标变化的应用例1如图5，已知△ABC三个顶点的坐标是：A(－2，5)、B(－4，3)、C(－1，2)，这三个顶点的纵坐标不变，将横坐标都加上5，得到A′、B′、C′，写出点A′、B′、C′的坐标，并画出△A′B′C′，△A′B′C′与△ABC相比发生了怎样的变化？解析：A(－2，5)、B(－4，3)、C(－1，2)的纵坐标不变，横坐标都加上5，得到对应点的坐标分别是：A′(3，5)、B′(1，3）、C′(4，2），顺次连结A′B′、B′C′、C′A′，即得△A′B′C′．比较△A′C′B′与△ABC可以发现：△ABC向右平移5个单位长度后，得到的△A′B′C′．图5 图6例2如图6，已知△ABC三个顶点A(－2，4)，B(－4，2)，C(－1，1)，将点A、B、C的横坐标，纵坐标都乘以－1，得对应点A′、B′、C′．写出点A′、B′、C′的坐标，并画出△A′B′C′，△A′B′C′与△ABC相比，发生了怎样的变化？解析：A(－2，4)，B(－4，2)，C(－1，1)的横、纵坐标都乘以－1，得对应点的坐标分别为：A′(2，－4)，B′(4，－2)，C′(1，－1)．作出点A′、B′、C′，顺次连结A′B′、B′C′、C′A′，即得△A′B′C′．比较△A′B′C′与△ABC可以发现：△A′B′C′是由△ABC绕坐标原点顺时针旋转180°后得到．例3如图7，已知△ABC，A(1，4)，B(3，1)，C(－2，2)．将点A、B、C三点的纵坐标都乘以－1，横坐标不变，得对应点A′、B′、C′，写出点A′、B′、C′点的坐标，并画出△A′B′C′，比较△A′B′C′与△ABC，△A′B′C′与△ABC相比发生了怎样的变化？图7解析：A(1，4)，B(3，1)，C(－2，2)的纵坐标都乘以－1，得A′(1，－4)，B′(3，－1)，C′(－2，－2)．顺次连接A′B′、B′C′、C′A′，得△A′B′C′．比较△A′B′C′与△ABC可以发现：△A′B′C′是由△ABC关于x轴对称得到的．例4已知△ABC各顶点的坐标分别是A(0，2)，B(1，3)，C(2，－2)，各点的纵坐标不变，横坐标都乘以2，所得的对应点分别是A′、B′、C′，写出A′、B′、C′点的坐标，并连接A′B′、B′C′、C′A′，比较所得△A′B′C′与原△ABC，发生了怎样的变化？解析：A(0，2)，B(1，3)，C(2，－2)各点的横坐标分别乘以2，得对应点的坐标分别是A′(0，2)，B′(2，3)，C′(4，－2)，顺次连结A′B′、B′C′、C′A′，得△A′B′C′′，可以发现△ABC 被横向拉伸了2倍．图8 图9例5 如图9，已知△ABC ．各顶点的坐标分别是A (－4，0)，B (1，0)，C (－1，4)，将各点的横坐标不变，纵坐标都乘以21后，得对应点为A ′、B ′、C ′，作出△A ′B ′C ′，将 △A ′B ′C ′与△ABC 比较，发生了怎样的变化？ 解析：A (－4，0)，B (1，0)，C (－1，4)纵坐标乘以21，得对应点的坐标分别为A ′(－4，0)，B ′(1，0)，C ′(－1，2)，顺次连结A ′B ′、B ′C ′、C ′A ′得△A ′B ′C ′，比较△A ′B ′C ′与△ABC ，△ABC 被纵向压缩了21． 试一试身手1、在直角坐标系中，（1）描出下列各点，并将这些点用线段依次连接起来．（－5，0），（－5，4），（－8，7），（－5，6），（－2，8），（－5，4）；（2）把（1）中的图案向右平移10个单位，作出平移后的图案．2、如图，在直角坐标系中，第一次将△OAB变换成△OA1B1，第二次将△OA1B1变换成△OA2B2，第三次将△OA2B2变换成△OA3B3……已知：A（1，3），A1（2，3），A2（4，3），A3（8，3），B（2，0），B1（4，0），B2（8，0），B3（16，0）．观察每次变换前后的三角形有何变化，按照变换规律，第五次变换后得到的三角形A5的坐标是，B5的坐标是．参考答案1、解析：首先根据题意在下面的坐标系中描出各点，再依次用线段将其连接起来，即可得出坐标系中y轴左边的图形，再依据要求将各点分别向右平移10个单位，并依次连接各点即可得出y轴左边的图形向右平移10个单位后的图形，如下图所示．2、解析：观察给出的各点的坐标可知：对A、A1，A2，A3而言，后面各点的横坐标分别是前面点的横坐标的2倍，为2n（其中n为各点的下标序数）．而纵坐标不变都为3；对2 n（其中n为B、B1，B2，B3而言后面各点的横坐标分别是前面点的横坐标的2倍，为1各点的下标序数），纵坐标不变都为0，由此可知第五次变换后A5的坐标为（32，3），B5的坐标为（64，0）．。
华东师大版九年级上册数学：图形的变换与坐标(公开课课件)
二、合作交流，探究规律
如图，在直角坐标系中，作出下列已知点关于原点O的对称 点，并写出它们的坐标。这些坐标与已知点的坐标有什么关 系？ A（4，0），B（0，-3） C（2，1），D（-1，2） E（-3，-4） A’( , ),B’( , ) C’( , ),D’( , ) E’( , ),
2、本节课所利用的数学方法是 _____；
七、课后作业，自我检评 1、《学业评价》P60 1~10； 2、配套练习
四、学以致用，巩固提高
1、如图，平行四边形ABCD的对角线交点 在原点O上，已知A点为（-3，2） 则C点坐标为（ ） A、（2，-3） B、（-3，-2） C、（3，-2） D、（3，2）
2、如图，阴影部分组成的图案既是关于x轴 成轴对称的图形又是关于坐标原点O成中心对 称的图形．若点A的坐标是（1，3），则点M 和点N的坐标分别是（ ）
榄核二中 江汉标
【教学目标】 1、知识目标 学生掌握在直角坐标系中关于原点对称的点的坐标的关 系。 2、能力目标 学生通过经历——猜想——验证的实践过程，积累数学 活动的经验。 3、情感、态度与价值观目标 学生从坐标的角度揭示中心对称与轴对称之间的关系， 培养观察、分析、合作与探究交流的学习习惯，体验事 物的变化之间是有联系的。
【教学重点】复习： 探究关于原点对称的点的坐标的规律
【教学难点】 关于原点对称的点的坐标的规律的运用
【数学方法】 数形结合
【教学过程】
【教学过程】
一、复习引入 1、填空： 点A（3，2）关于轴对称的点的坐标为_____； 点A（3，2）关于轴对称的点的坐标为_____ ； 2、猜想
#cad-3- 第二章 图形变换
一般是指对图形的几何信息经过几何变换后产生新的图 形。两种方法：① 坐标系不动而图形变换；② 图形不动而坐 标系变换。
· 线框图变换，以点变换作为基础，把图形的一系列顶点 作几何变换后，连接新的点系列即可产生新的图形。
· 对用参数方程描述的图形，可通过对参数方程作几何变 换，实现对图形的变换。
结果，这种由多个基本变换组成的复杂变换的方法称作组合 （级联）变换。
1．图形绕任意点p0(x0 y0)旋转θ角的变换，该变换可通过三 次基本变换来实现。
10p
[xy1 ] 0 01 01 q xyp x q y 1 正 常 p x x q化 y 1p x y p y 11
该变换相当于把H=1平面上的齐次点→变换为H=px+qy+1平面 上 的 点 [x y px+qy+1] ， 即 将 H=1 平 面 上 的 ΔA1B1C1→ 变 换 成 H=px+qy+1平面上的ΔA2B2C2。故p, q参数的存在以及通过齐次坐 标正常化产生了以坐标原点O为投影中心，以H=1的平面为画面的 一种透视投影效果。阵为一单 Nhomakorabea位矩
阵时，变换结果为：
[x
y]
1 0
0 1
[
x
y] [x *
y*]
即 变 换 前后 点 的坐 标 不变 ，故图 形 不 变，这 种变 换 称为 恒等 变 换 ，相
应地称单位变换矩阵为恒等变换矩阵。在计算机绘图软件中，常把变换矩
阵的初始值置为单位矩阵。
令
变
换
矩
阵
T
a
4．对
45º线对称，T