1.1.3 集合的基本运算 第1课时 并集、交集
【总结提升】
两个集合求交集，结果还是一个集合，由
集合A与B的公共元素组成的集合，当两个集合 没有公共元素时，两个集合的交集是空集，而 不能说两个集合没有交集.
【变式练习】 （1）设集合A＝{4，5，6，8}，集合B＝{3，5，
7，8，9}，求A B.
A B 5,8
（2）设集合A＝{x |1＜x＜5}，集合B ＝{x|2＜x ＜6}，求A B．
A ．∅
C．{-2，2}
B．{2}
D．{-2，1，2，3}
【解析】因为集合A={1，2，3}，集合B={-2，2}，
所以A∩B={2}．
3. 若集合A={1，2，3}，B={1，3，4}，则A∩B的子集 个数为（ C ） A．2 B ．3 C ．4 D．16
【解析】因为A={1，2，3}，B={1，3，4}，
所以A∩B={1，3}，则A∩B的子集个数为22=4．
例 已知A={x|x≤4}, B={x|x>a},若A∪B=R，求
实数a的取值范围.
a
如图 a≤4.
4
x
两个定义
并集 A∪B＝{x|x∈A或x∈B}，
交集 A∩B＝{x|x∈A且x∈B}.
并集与交集 两种方法 数轴和Venn图.
几个性质 A∩A＝A，A∪A＝A，
（） 1 A -1,1,2 ,3 , B -2 ,-1,1 , C -1,1;
（3）A x x为高一（）班语文测验优秀者 1 ， B x x为高一（）班英语测验优秀者 1 ， C x x为高一（）班语文、英语两门测验都优秀者 1 .
1.1.3 集合的基本运算 第1课时 并集、交集
1.理解并集与交集的概念,并体会它们的区别与 联系.（重点） 2.会求两个已知集合的并集和交集.（重点） 3.能正确应用它们解决一些简单问题.
探究点1 并集
观察下列各个集合,你能说出集合C与集合A,B
之间的关系吗?
(1) A={1,3,5}, B={2,4,6} ,C={1,2,3,4,5,6} (2) A={x|x是有理数},B={x|x是无理数}, C={x|x是实数}.
则M∪N=（ D ）
A.{0} C.{-2，0} B.{0，2} D.{-2，0，2}
【解析】分析可得，M为方程x2+2x=0的解集，则M= {0，-2}，N为方程x2-2x=0的解集，则N={0，2}，故 集合M∪N={-2，0，2}.
2. 设集合A={1，2，3}，集合B={-2，2}，则 A∩B=（ B ）
｛ｘ∣1<ｘ<3｝,求A∪B. 解：A∪B＝ {ｘ∣－1<ｘ<2}∪ {ｘ∣1<ｘ<3} ＝ ｛ｘ∣－1<ｘ< 3｝
A∪B
A
B
画数轴、找端 点是关键
-2
-1ห้องสมุดไป่ตู้
0
1
2
3
4
5
X
【总结提升】 两个集合求并集，结果还是一个集合，由
集合A与B的所有元素组成的集合，它们的公共
元素在并集中只能出现一次.对于表示不等式解
A B x 2 x 5
【总结提升】 并集、交集的定义、表示及性质
定义 符号 表示 Venn 图
并集 由所有属于集合A或属于集 合B的元素组成
交集 由所有属于集合A且属于集合B的元 素组成
x ∈A 或x ∈B A∪B＝{x|____________}
x ∈A 且x ∈B A∩B＝{x|_______________}
A∩＝，A∪＝A； A∩B＝B∩A，A∪B＝B∪A.
例4 设平面内直线l1上点的集合为L1，直线l2上点的集
合为L2，试用集合的运算表示l1，l2的位置关系. 解：平面内直线l1,l2可能有三种位置关系，即相交于
一点，平行或重合.
(1)直线l1,l2相交于一点P可表示为L1∩L2=｛点P｝；
(2)直线l1 ，l2平行可表示为L1∩ L2=
；
(3)直线l1 ，l2重合可表示为L1∩L2= L1=L2.
( √)
(3)若集合A和集合B有公共元素，根据集合元素的互
异性，则在A∪B中仅出现一次.
( √)
例1
设A={4,5,6,8}, B={3,5,7,8},
求A∪B. 解: A∪B={4,5,6,8} ∪ {3,5,7,8}
={3,4,5,6,7,8}
元素全部拿过来，重复的只写一次
例2
设集合A＝｛ｘ∣-1<ｘ<2｝，集合B＝
性质
＝ ∪ A； A∪B____B A∪A＝_____ A ； A∪∅＝___ A ； ⊇ A∪B_____A ； ⊇ A∪B______B
＝ ∩A ； A∩B_____B A∩A____A ＝ ； ＝ ∅； A∩∅____ ⊆ ； A∩B____A ⊆ A∩B____B
1. 设集合M={x|x2+2x=0，x∈R},N={x|x2-2x=0，x∈R}，
（2）A x x 3 , B x x 0 , C x 0 x 3;
交集
一般地，由属于集合A且属于集合B的所有元
素组成的集合，称为A与B的交集，记作A∩B（读作 {x|x∈A，且x∈B } “A交B”），即 A∩B＝___________________.
集的集合的运算，可借助数轴解题.
【变式练习】
A x x 3 , B x x 6 ，求 A U B.
解： A U B R.
本题通过数轴求得集合A与集合B的并集，思考
在数轴上集合A与集合B的公共部分对应集合的什么 运算呢？
3
6
x
探究点2 交集
观察下列各组中的3个集合；
用Venn图表示为：
例3 新华中学开运动会，设 A={x︳x是新华中学高一年级参加百米赛跑的同学}，
B ={x︳x是新华中学高一年级参加跳高比赛的同学}，
求A∩B. 解：A∩B就是新华中学高一年级中那些既参加百米 赛跑又参加跳高比赛的同学组成的集合. 所以，A∩B={x︳x是新华中学高一年级既参加百米 赛跑又参加跳高比赛的同学}.
一般地，由所有属于集合A或属于集合B的元素
组成的集合，称为集合A与B的并集， ={x|x∈A，或x∈B} 即：A∪B__________________.
记作A∪B（读作“A并B”），
用Venn图表示为：
即时训练:
(1)两个集合的并集中的元素就是将两个集合中的元
素合在一起.
( ×)
（2）A∪B仍是一个集合，由所有属于集合A或属于 集合B的元素组成.
1.1.3 集合的基本运算(1)并集与交集-讲义版
1.1.3
集合的基本运算
第 1 课时 并集和交集
已知一个班有 30 人，其中 5 人有兄弟，5 人有姐妹，你能判断这个班有多少是独生子女吗？如果不能 判断，你能说出需哪些条件才能对这一问题做出判断吗？ 事实上，如果注意到“有兄弟的人也可能有姐妹”，我们就知道，上面给出的条件不足以判断这个班独 生子女的人数，为了解决这个问题，我们还必须知道“有兄弟且有姐妹的同学的人数”．应用本小节集 合运算的知识，我们就能清晰地描述并解决上述问题了. 1、并集和交集的定义 定义 自然语言 符号语言
变式训练 3： 已知集合 M＝{x|2x－4＝0}，N＝{x|x2－3x＋m＝0}． (1)当 m＝2 时，求 M∩N，M∪N；(2)当 M∩N＝M 时，求实数 m 的值．
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高中数学必修系列： 《集合与函数的概念》 专题 4：利用交集、并集运算求参数
精讲例题 4： 已知集合 A＝{－4,2a－1，a2}，B＝{a－5，1－a，9}，分别求适合下列条件的 a 值. (1)9∈A∩B； (2){9}＝A∩B.
(3)已知 A＝{(x，y)|4x＋y＝6}，B＝{(x，y)|3x＋2y＝7}，则 A∩B＝________. 变式训练 2： (1)若综合 M＝{x|(x＋4)(x＋1)＝0}，N＝{x|(x－4)(x－1)＝0}，则 M∩N＝( A．{1,4} A．{2} B．{－1，－4} B．{x|1＜x＜3} C．{0} ) D．{x|3＜x＜5} C．{x|2＜x＜3} D． (2)已知集合 A＝{x|1＜x＜3}，B＝{x|2＜x＜5}，则 A∩B＝(
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高中数学必修系列： 《集合与函数的概念》 专题 1：并集的概念及运算
必修一课件：1.1.3(第1课时)并集、交集及综合应用
类型 二 集合交集的运算
【典型例题】
1.(2013·安阳高一检测)若A={0,1,2,3},B={0,3,6,9},则
A∩B=( )
A.{1,2}
B.{0,1}
C.{0,3}
D.{3}
2.(2013·潍坊高一检测)已知M＝{x｜y＝x2-1}，N＝{y|y＝
【解题探究】1.两个集合求并集的实质是什么？ 2.题2中在已知M∪N及集合M的条件下，如何确定集合N？ 3.当并集中的元素个数与构成并集的两个集合的元素个数和 相等时，如何确定其中的参数？
探究提示： 1.两个集合求并集的实质是把两个集合中的所有元素合在一 起，组成一个新的集合. 2.根据集合M∪N及集合M的关系，可以确定集合N一定含有 的元素，集合的个数则由可能含有的元素确定. 3.此类问题，一般是去掉已知元素，把参数与并集中的元素 对应相等，构成方程(组)求解.
提示：(1)错误.虽然两集合无公共元素，但两个集合的交集存 在且为空集，故不正确.(2)错误.当两个集合有公共元素时， 在并集中只能算作一个，故不正确.(3)错误.若A∩B=C∩B，A 与C也可能不相等，故不正确. 答案：(1)×(2)×(3)×
【知识点拨】 1.对并集概念的理解(关键词“或”) (1)并集概念中的“或”字与生活中的“或”字含义不同.生活 中的“或”字是非此即彼，必居其一，而并集中的“或”字 可以是兼有的，但不是必须兼有的.x∈A，或 x∈B包含三种 情况： ①x∈A，但x∉B; ②x∈B，但x∉A; ③x∈A且x∈B.
【解析】1.选B.结合数轴分析可知，A∪B＝{x|-1≤x≤5}. 2.选D.∵M={1,2}，M∪N={1,2,3,4}， ∴N={3,4}或{1,3，4}或{2，3,4}或{1,2,3,4}，即集合N有4 个. 3.选D.∵A＝{0,2，a}，B＝{1，a2}，A∪B＝{0,1,2,4,16}， ∴a=4，a2=16或a=16，a2=4，解得a=4.
1.1.3集合的基本运算(并集交集)
评卷人 王
得分 0
解：由y＝－x2－2x，(y＝x2－4x＋3，) 得2x2－2x＋3＝0， ∵Δ＝(－2)2－4×2×3＝4－24＝－20<0， ∴方程2x2－2x＋3＝0无解． 故M∩N＝∅.
提示：在上述问题中，集合C是由那些既属于集合A同时 又属于集合 B的所有元素组成的.
交集 且 属于集合 B 一般地， 由属于集合 A_____ 自然 所有元素 组成的集合，称为 A 与 的____________ 语言 B 的交集 A∩B＝{x|x∈A且x∈B} (读作“A 交 符号 _______________________ 语言 B”)
（6）两个集合的交集是其中任一集合的子集，即 ( A B) A,( A B) B
1．设集合 M＝{x|－3<x<2}，N＝{x|1≤x≤3}，则 M∩ N ＝ ( ) A．{x|1≤x<2} B．{x|1≤x≤2} C．{x|2<x≤3} D．{x|2≤x≤3}
解析：
在数轴上表示集合 M、N 为
1．1.3
集合的基本运算
第1课时 并集、交集
考察下列各个集合，你能说出集合C与集合A、B之间的关系 吗？ （1）A={1,3,5} B={2,4,6} C={1,2,3,4,5,6} （2）A={x|x是有理数}，B={x|x是无理数}，C={x|x是实数} 提示：在上述两个问题中，集合A，B与集合C之间都具有 这样一种关系：集合C是由所有属于集合A或属于集合B的 元素组成的.
①当B＝∅时，只需2a＞a＋3， 即a ＞ 3 ； ②当 B≠∅时，根据题意作出如图所示的数轴，
集合的基本运算(已修改)
• 解：(1)如下图所示，
• ∴A∩B＝{x|－2≤x<－1}． • (2)如下图所示， •
• ∴M∪N＝{x|x<1}．
题型二 已知集合的交集、并集求 参数问题
【例2】 已知A＝{x|2a≤x≤a＋3}，B＝{x|x< －1或x>5}，若A∩B＝Ø，求a的取值范 围．
解：由 A∩B＝Ø， (1)若 A＝Ø， 有 2a>a＋3，∴a>3. (2)若 A≠Ø， 如下图：
1.1.3 集合的基本运算
第1课时 并集、交集
• 在一起交通事故中，肇事者逃逸，交警开 始对目击者询问，有人说：“撞人的是男 性．”有人说：“我看见是一个穿黑色衣 服的人．”还有人说，“是一个胖子．” 假设目击者的话都是真的，那么交警就应 该在男人集合、穿黑衣服的人的集合、胖 子集合等几个集合的交叉中去审查了．你 知道这是一种什么思想吗？
3．并集的性质 (1)A∪B ⊇ A，A∪B ⊇ B； (2)A∪A ＝A； (3)A∪Ø ＝ A； (4)A∪B ＝ B∪A. 4．交集的性质 (1)A∩B ⊆ A，A∩B ⊆ B； (2)A∩A ＝ A； (3)A∩Ø ＝ Ø； (4)A∩B ＝ B∩A.
自测自评
1．U＝{1,2,3,4,5,6,7,8}，S＝{1,3,5}，T＝ {3,6}，则S∪T等于 ( C ) A．Ø C．{1,3,5,6} B．{2,4,7,8} D．{2,4,6,8}
2．已知S＝{x|x＋1≥2}，T＝{-2，-1,0,1,2}， 则S∩T＝ ( B ) A．{2} B．{1,2} C．{0,1,2} D．{－1,0,1,2}
3．设A＝{1,2,3,4}，B＝{2,3,5,6}，则 {2,3} {1,2,3,4,5,6} A∩B＝________，A∪B＝________.
第一章 1.1.3.1交集并集第1课时
明目标、知重点
填要点、记疑点
主目录
探要点、究所然
当堂测、查疑缺
探要点、究所然
1.1.3 第1课时
探究点一 ：并集
思考 2 在思考 1 中，我们称集合 C 为集合 A、B 的并集，那么如何定义
两个集合的并集？
答 一般地，由所有属于集合 A 或属于集合 B 的元素所组成的集合，称为
集合 A 与 B 的并集．
明目标、知重点
填要点、记疑点
主目录
探要点、究所然
当堂测、查疑缺
当堂测、查疑缺
1.1.3 第1课时
1．设集合 A＝{x|x∈Z 且－15≤x≤－2}，B＝{x|x∈Z 且|x|<5}，则 A∪B 中 的元素个数是 A．10 B．11 C．20 D．21 ( )
2．若集合 M＝{－1,0,1}，N＝{0,1,2}，则 M∩N 等于 A．{0,1} C．{0,1,2} B．{－1,0,1} D．{－1,0,1,2}
解析
( A )
B．{－1,0,1} D．{－1,0,1,2}
M∩N＝{0,1}，故选 A.
明目标、知重点
填要点、记疑点
主目录
探要点、究所然
当堂测、查疑缺
当堂测、查疑缺
1.1.3 第1课时
{x|－2≤x≤1} 3．已知集合 A＝{x||x|≤2}，B＝{x|x≤1}，则 A∩B＝____________.
1.1.3 第1课时
探究点一 ：并集
思考 1 请同学们考察下列各个集合，你能说出集合 C 与集合 A、B 之间
的关系吗？ (1)A＝{1,3,5}，B＝{2,4,6}，C＝{1,2,3,4,5,6}； (2)A＝{x|x 是有理数}，B＝{x|x 是无理数}，C＝{x|x 是实数}．
数学课件：1.1.3集合的基本运算(第1课时并集、交集)
第十页，编辑于星期日：十一点 三十七分。
第十一页，编辑于星期日：十一点 三十七分。
已知集合A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|2m－1≤x≤2m＋1}，若A∪B ＝A，求实数m的取值范围．
【思路点拨】 由题目可获取以下主要信息： ①集合A确定，集合B中元素不确定； ②A∪B＝A.解答本题时，可由A∪B＝A知B⊆A.从而分B＝Ø和 B≠Ø分类讨论． ③本题中B＝{x|2m－1<x<2m＋1}，由于2m＋1>2m－1，故B≠Ø.
1.(1)若本例(1)中，问题改为求A∪B. (2)本例(2)中，问题改为求M∩N. 【解析】 (1)由例1中的数轴表示知A∪B＝R，故选D. (2)由例1中的数轴表示知M∩N＝{x|－3<x<5}，故选C. 【答案】 (1)D；(2)C
第九页，编辑于星期日：十一点 三十七分。
设集合A＝{x|－1<x<a}，B＝{x|1<x<3}且A∩B＝Ø，求a的取值范 围．
①当a－1＝2，即a＝3时，B＝{1,2}； ②当a－1＝1，即a＝2时，B＝{1}． 于是a＝2或a＝3都满足题意． 所以a的取值范围是{a|a＝2，或a＝3}．
第十八页，编辑于星期日：十一点 三十七分。
1．对并集概念的理解 “x∈A，或x∈B”包含三种情况：“x∈A，但x∉B”；“x∈B， 但x∉A”；“x∈A，且x∈B”．Venn图如图．另外，在求两个集合的 并集时，它们的公共元素只出现一次．
1.1.3 第1课时 并集和交集
(2)若集合A是集合B的子集,则A⊆B⇔A∩B=A⇔A∪B=B.若集合B 是集合A的子集,则B⊆A⇔A∩B=B⇔A∪B=A.
(3)若集合A,B没有公共元素,则A∩B=⌀.
一二三
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课前篇 自主预习
3.判断正误: (1)若A∪B=⌀,则A=B=⌀.( ) (2)若A∩B=⌀,则A=B=⌀.( ) (3)若A∪B=A∪C,则B=C.( ) (4)(A∩B)⊆(A∪B).( )
p,q为常数,x∈R,当A∩B=
1 2
时,求p,q的值和A∪B.
解:∵A∩B=
1 2
,∴12∈A,
∴2×
1 2
2+3p×12+2=0,
∴p=-53,∴A=
1 2
,2
.
又∵A∩B=
1 2
,∴12∈B,
∴2×
1 2
2
+ 12+q=0,∴q=-1.
∴B=
1 2
,-1
.∴A∪B=
-1,
1 2
,2
.
探究一
探究二
(2)①、③中,不妨设集合A,B,C中元素个数分别为a,b,c,试分析
a+b与c的关系.
提示:①中,a=2,b=2,c=4,所以a+b=c; ③中,a=2,b=3,c=4,所以a+b>c.
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课前篇 自主预习
一二三
2.填表:
自然语言
符号语言
图形语言
一般地,由所有属于集合 A 或属于 集合 B 的元素组成的集合,称为集 合 A 与 B 的并集
探究一
探究二
探究三 思想方法 当堂检测
解:(1)如图所示,A∪B={-1,0,1,2,3,4,5}, A∩B={1,2,3}.
1.1.3-1交集和并集
A A B
B A B
A B B A
【思考6】集合A∪A =？， A∪∅ =？
A A A, A A
【思考7】若A⊆B，则A∪B=？反之成立吗？
A B A B B
【思考8】若A∪B=∅ ，则说明什么？
A B
理论迁移（一）
例1 (1)设 A＝{4,5,6,8}，B＝{3,5,7,8}，求 A∪B.
理论迁移（二）
跟踪训练 2 设集合 P＝{1,2,3,4,5}，集合 Q＝{x∈R|2≤x≤5}，
那么下列结论正确的是 ( C ) A．P∩Q＝P C．P∩Q⊆P B．P∩Q⊇Q D．P∩Q＝Q
解析
∵P∩Q＝{2,3,4,5}，
∴P∩Q⊆P. 因此选 C.
综合应用
【例3】 写出满足条件{1,2}∪M= {1,2,3} 的所有集合M.
由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集 合，称为集合A与B的并集.
【思考3】我们用符号“A∪B”表示集合A与B 的并集，并读作“A并B”，那么如何用描述法 表示集合A∪B？
A B {x | x A, 或x B}
【思考4】如何用venn图表示A∪B ？
【思考5】集合A、B与集合A∪B的关系如何？ B∪A与A∪B的关系如何？
的所有元素组成的集合，它们的公共元素在并集中只能出现一 次．对于表示不等式解集的集合的运算，可借助数轴解题．
理论迁移（一）
跟踪训练 1 已知集合 A＝{1,2,4}，B＝{2,4,6}，则 A∪B＝
{1,2,4,6} ________________.
解析 A∪B 是由 A，B 的所有元素组成的．
{3}，{1,3}，{2,3}，{1,2,3}
1.1.3.1集合的基本运算 第一课时 并集、交集
第一章
1.1
1.1.3
第1课时
成才之路 ·数学 ·人教A版 · 必修1
【归纳提升】 (1)用符号语言表示为 A∩B＝{x|x∈A 且 x ∈B}． (2)用自然语言叙述为：由属于集合 A 且属于集合 B 的元 素组成的集合． (3)用 Venn 图表示，如下图阴影部分所示．
第一章
1.1
1.1.3
第1课时
第一章
1.1
1.1.3
第1课时
成才之路 ·数学 ·人教A版 · 必修1
(3)如图所示
探究：上述问题中，集合 C 是由那些既属于集合 A，又 属于集合 B 的所有元素组成的，我们称之为交集．
第一章
1.1
1.1.3
第1课时
成才之路 ·数学 ·人教A版 · 必修1
总结：一般地，由属于集合 A 且 属于集合 B，的所有元 素组成的集合称为 A 与 B 的交集，记作 A∩B ，读作 A 交 B.
第一章
1.1
1.1.3
第1课时
成才之路 ·数学 ·人教A版 · 必修1
自主预习 问题 1：观察引入中的(1)(2)，分析集合 C 与集合 A、B 间的关系． 探究：上述两个问题中，集合 A、B 与庥合 C 之间都具有 这样一种关系：集合 C 是由所有属于集合 A 或属于集合 B 的 元素组成的，我们称集合之间的这种运算为并集．
)
B．7 个 D．5 个
[答案]
B
第一章
1.1
1.1.3
第1课时
成才之路 ·数学 ·人教A版 · 必修1
6．下列各式中正确的是( A．{0}∈R C．{0,1}≠{1,0}
[答案] D
) B．{1}∈{1,2,3} D．Ø {1}
第一章 §1 1.3 第1课时 交集与并集
1．3集合的基本运算第1课时交集与并集学习目标 1.理解两个集合的交集与并集的含义，会求两个简单集合的交集和并集.2.能使用Venn图表达集合的关系及运算，体会直观图示对理解抽象概念的作用．知识点一交集思考当集合A，B无公共元素时，A与B有交集吗？答案有交集，交集是空集．知识点二并集思考集合A∪B的元素个数是否等于集合A与集合B的元素个数之和？答案不一定，A∪B的元素个数小于或等于集合A与集合B的元素个数之和．知识点三交集、并集的性质1．A∩B＝B∩A，A∩B⊆A，A∩B⊆B，A∩A＝A，A∩∅＝∅；2．A∪B＝B∪A，A⊆A∪B，B⊆A∪B，A∪A＝A，A∪∅＝A.1．集合A和集合B的公共元素组成的集合就是集合A与B的交集．(√)2．若A∩B＝∅，则A，B均为空集．(×)3．若A ，B 中分别有3个元素，则A ∪B 中必有6个元素. ( × ) 4．若x ∈A ∩B ，则x ∈A ∪B .( √ )一、交集的运算及应用例1 (1)若集合A ＝{x ∈Z |－3<x <3}，B ＝{x ∈N |0≤x ≤3}，则A ∩B 等于( ) A ．{0,1,2} B ．{1,2,3} C ．{1,2} D ．{0,1,2,3}答案 A解析 将集合A ，B 化简，得A ＝{－2，－1,0,1,2}，B ＝{0,1,2,3}，借助Venn 图，可得A ∩B ＝{0,1,2}．(2)M ＝{(x ，y )|x ＋y ＝2}，N ＝{(x ，y )|x －y ＝4}，那么M ∩N 为( ) A ．x ＝3，y ＝－1 B ．(3，－1) C ．{3，－1} D ．{(3，－1)}答案 D解析 由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ＝2，x －y ＝4，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝－1.∴M ∩N ＝{(3，－1)}．反思感悟 求两个集合的交集时，若元素个数有限，则逐个挑出两个集合的公共元素；若集合个数无限，一般要借助数轴求解，要注意端点值的取舍．跟踪训练1 已知集合A ＝{x |x >－1}，B ＝{x |x <2}，则A ∩B 等于( ) A ．{x |x >－1} B ．{x |x <2} C ．{x |－1<x <2} D ．∅答案 C解析 在数轴上标出集合A ，B ，如图所示．故A ∩B ＝{x |－1<x <2}． 二、 并集的运算及应用例2 (1)若集合A ＝{x |x >－1}，B ＝{x |－2<x <2}，则A ∪B 等于( ) A ．{x |x >－2} B ．{x |x >－1} C ．{x |－2<x <－1} D ．{x |－1<x <2}答案 A解析 画出数轴如图所示，故A ∪B ＝{x |x >－2}．(2)集合A ＝{0,2，a }，B ＝{1，a 2}，若A ∪B ＝{0,1,2,4,16}，则a 的值为( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．4 答案 D解析 ∵A ∪B ＝{0,1,2，a ，a 2}，又A ∪B ＝{0,1,2,4,16}，∴{a ，a 2}＝{4,16}，∴a ＝4. (学生留)反思感悟 求两个集合的并集的方法(1)两集合用列举法给出：①依定义，直接观察求并集；②借助Venn 图写并集． (2)两集合用描述法给出：①直接观察，写出并集；②借助数轴，求出并集．(3)一个集合用描述法，另一个用列举法：①直接观察，找出并集；②借助图形，观察写出并集．提醒：若两个集合中有相同元素，在求其并集时，只能算作一个．跟踪训练2 设集合A ＝{x |x ≤1或x ≥3}，B ＝{x |2x －3≤0}，则A ∪B 等于( ) A ．{x |x ≤1或x ≥3}B ．{x |1≤x ≤3}C.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪ 32≤x ≤3 D.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≤32或x ≥3 答案 D解析 ∵集合A ＝{x |x ≤1或x ≥3}，B ＝{x |2x －3≤0}＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≤32， ∴A ∪B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≤32或x ≥3. 三、交集、并集的运算性质及综合应用例3 已知集合A ＝{x |－3<x ≤4}，集合B ＝{x |k ＋1≤x ≤2k －1}，且A ∪B ＝A ，试求k 的取值范围．解 (1)当B ＝∅，即k ＋1>2k －1时，k <2，满足A ∪B ＝A .(2)当B ≠∅时，要使A ∪B ＝A ， 只需⎩⎪⎨⎪⎧－3<k ＋1，4≥2k －1，k ＋1≤2k －1，解得2≤k ≤52.综合(1)(2)可知k 的取值范围是⎝⎛⎦⎤－∞，52. (教师) 延伸探究1．把本例条件“A ∪B ＝A ”改为“A ∩B ＝A ”，试求k 的取值范围． 解 由A ∩B ＝A 可知A ⊆B .所以⎩⎪⎨⎪⎧ k ＋1<2k －1，－3≥k ＋1，2k －1≥4，即⎩⎪⎨⎪⎧k >2，k ≤－4，k ≥52，所以k ∈∅.所以k 的取值范围为∅.2．把本例条件“A ∪B ＝A ”改为“A ∪B ＝{x |－3<x ≤5}”，求k 的值．解 由题意可知⎩⎪⎨⎪⎧－3<k ＋1≤4，2k －1＝5，解得k ＝3.所以k 的值为3.反思感悟 (1)在进行集合运算时，若条件中出现A ∩B ＝A 或A ∪B ＝B ，应转化为A ⊆B ，然后用集合间的关系解决问题，并注意A ＝∅的情况． (2)集合运算常用的性质： ①A ∪B ＝B ⇔A ⊆B ； ②A ∩B ＝A ⇔A ⊆B ； ③A ∩B ＝A ∪B ⇔A ＝B .跟踪训练3 已知A ＝{x |a ≤x ≤a ＋3}，B ＝{x |x <－1或x >5}． (1)若A ∩B ＝∅，求实数a 的取值范围； (2)若A ∪B ＝B ，求实数a 的取值范围．解 (1)因为A ∩B ＝∅，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ≥－1，a ＋3≤5，解得－1≤a ≤2.(2)因为A ∪B ＝B ，所以A ⊆B ，所以a >5或a ＋3<－1，即a 的取值范围为a >5或a <－4.含字母的集合运算忽视空集或检验典例 (1)已知M ＝{2，a 2－3a ＋5,5}，N ＝{1，a 2－6a ＋10,3}，M ∩N ＝{2,3}，则a 的值是( ) A ．1或2 B ．2或4 C ．2 D ．1 答案 C解析 ∵M ∩N ＝{2,3}，∴a 2－3a ＋5＝3，∴a ＝1或2.当a ＝1时，N ＝{1,5,3}，M ＝{2,3,5}，不符合题意；当a ＝2时，N ＝{1,2,3}，M ＝{2,3,5}，符合题意．(2)已知集合A ＝{x |x 2－3x ＋2＝0}，B ＝{x |x 2－2x ＋a －1＝0}，若A ∩B ＝B ，则a 的取值范围为________． 答案 [2，＋∞)解析 由题意，得A ＝{1,2}．∵A ∩B ＝B ，∴B ⊆A ， ∴当B ＝∅时，(－2)2－4(a －1)<0，解得a >2；当1∈B 时，1－2＋a －1＝0，解得a ＝2，且此时B ＝{1}，符合题意；当2∈B 时，4－4＋a －1＝0，解得a ＝1，此时B ＝{0,2}，不符合题意．综上所述，a 的取值范围是[2，＋∞)．[素养提升] (1)经过数学运算后，要代入原集合进行检验，这一点极易被忽视． (2)在本例(2)中，A ∩B ＝B ⇔B ⊆A ，B 可能为空集，极易被忽视． (3)通过对空集的讨论，培养逻辑推理素养．1．已知集合A ＝{1,6}，B ＝{5,6,8}，则A ∪B 等于( ) A ．{1,6,5,6,8} B ．{1,5,6,8} C ．{0,2,3,4,5} D ．{1,2,3,4,5}答案 B解析 求集合的并集时，要注意集合中元素的互异性． 2．若集合A ＝{x |x >0}，B ＝{x |x ≤2或x ≥3}，则A ∩B 等于( )A．{x|2≤x≤3} B．{x|x<2或x≥3}C．{x|x≥3} D．{x|0<x≤2或x≥3}答案 D解析借助数轴，可得A∩B＝{x|0<x≤2或x≥3}．3.已知集合M＝{－1,0,1}，P＝{0,1,2,3}，则图中阴影部分所表示的集合是()A．{0,1} B．{0}C．{－1,2,3} D．{－1,0,1,2,3}答案 D解析由Venn图，可知阴影部分所表示的集合是M∪P.因为M＝{－1,0,1}，P＝{0,1,2,3}，故M∪P＝{－1,0,1,2,3}．故选D.4．已知集合M＝{x|－3<x<1}，N＝{x|x≤－3}，则M∩N＝_______.答案∅解析利用数轴表示集合M与N，可得M∩N＝∅.5．已知集合A＝(－1,2)，B＝(0,3)，则A∪B＝________.答案(－1,3)解析因为A＝(－1,2)，B＝(0,3)，所以A∪B＝(－1,3)．1．知识清单：(1)交集、并集的概念及运算．(2)交集、并集的性质．(3)由交集、并集的关系求参数值或范围．2．方法归纳：数形结合、分类讨论．3．常见误区：由交集、并集的关系求解参数时漏掉对集合为空集的讨论；求解参数后，易忽视代入原集合进行检验这一步骤．1．已知集合M＝{－1,0,1}，N＝{0,1,2}, 则M∪N等于()A．{－1,0,1} B．{－1,0,1,2}C．{－1,0,2} D．{0,1}答案 B解析M∪N表示属于M或属于N的元素构成的集合，故M∪N＝{－1,0,1,2}．2．已知集合M＝{x|－3<x<1}，N＝{－3，－2，－1,0,1}，则M∩N等于()A．{－2，－1,0,1} B．{－3，－2，－1,0}C．{－2，－1,0} D．{－3，－2，－1}答案 C解析M∩N＝{－2，－1,0}，故选C.3．已知集合A＝{x|x>0}，B＝{x|－1≤x≤2}，则A∪B等于()A．{x|x≥－1} B．{x|x≤2}C．{x|0<x≤2} D．{x|－1≤x≤2}答案 A解析借助数轴可知A∪B＝{x|x≥－1}．4．设集合A＝{x|x参加自由泳的运动员}，B＝{x|x参加蛙泳的运动员}，对于“既参加自由泳又参加蛙泳的运动员”用集合运算表示()A．A∩B B．A⊇BC．A∪B D．A⊆B答案 A解析因为集合A＝{x|x参加自由泳的运动员}，B＝{x|x参加蛙泳的运动员}，所以“既参加自由泳又参加蛙泳的运动员”用集合运算表示为A∩B，故选A.5．(多选)集合M＝{x|－1≤x≤3}和N＝{x|x＝2k－1，k∈N＋}关系的Venn图如图所示，则阴影部分表示的集合中的元素为()A．－1 B．0C．1 D．3答案CD解析∵M＝{x|－1≤x≤3}，N＝{x|x＝2k－1，k∈N＋}，∴M∩N＝{1,3}，故选CD.6．已知集合A＝{－1,0,1,2}，B＝{－1,0,3}，则A∩B＝________.答案{－1,0}解析由A＝{－1,0,1,2}，B＝{－1,0,3}，得A∩B＝{－1,0}．7．已知集合A＝{x|x≥2}，B＝{x|x≥m}，且A∪B＝A，则实数m的取值范围是________．答案[2，＋∞)解析∵A∪B＝A，∴B⊆A.又A＝{x|x≥2}，B＝{x|x≥m}，∴m≥2.8．已知集合A＝{(0,1)，(1,1)，(－1,2)}，B＝{(x，y)|x－y＝0，x，y∈Z}，则A∩B＝________. 答案{(1,1)}解析A，B都表示点集，A∩B即是由A中在第一、三象限角平分线上的所有点组成的集合，代入验证即可．9．已知集合A＝{x|x2－px＋15＝0}和B＝{x|x2－ax－b＝0}，若A∪B＝{2,3,5}，A∩B＝{3}，分别求实数p，a，b的值．解因为A∩B＝{3}，所以3∈A.从而可得p＝8，所以A＝{3,5}．又由于3∈B，且A∪B＝{2,3,5}，A∩B＝{3}，所以B＝{2,3}．所以方程x2－ax－b＝0的两个根为2和3.由根与系数的关系可得a＝5，b＝－6.综上可得，p＝8，a＝5，b＝－6.10．集合A＝{x|－1<x<1}，B＝{x|x<a}．(1)若A∩B＝∅，求a的取值范围；(2)若A∪B＝{x|x<1}，求a的取值范围．解(1)如图所示，A＝{x|－1<x<1}，B＝{x|x<a}，且A∩B＝∅，∴数轴上的点x＝a在x＝－1的左侧(含点x＝－1)，∴a≤－1，即a的取值范围为(－∞，－1]．(2)如图所示，A＝{x|－1<x<1}，B＝{x|x<a}，且A∪B＝{x|x<1}，∴数轴上的点x＝a在x＝－1和x＝1之间(含点x＝1，但不含点x＝－1)，∴－1<a≤1，即a的取值范围为(－1,1]．11．(多选)满足{1,3}∪A＝{1,3,5}的集合A可能是()A．{5} B．{1,5}C．{3} D．{1,3}答案AB解析由{1,3}∪A＝{1,3,5}知，A⊆{1,3,5}，且A中至少有1个元素5，故选AB.12．若集合A＝{0,1,2，x}，B＝{1，x2}，A∪B＝A，则满足条件的实数x有()A．1个B．2个C．3个D．4个答案 B解析∵A∪B＝A，∴B⊆A，∴x2＝0或x2＝2或x2＝x，解得x＝0或2或－2或1.经检验，当x＝2或－2时满足题意，故选B.13．已知集合A＝{x|x2－3|x|＋2＝0}，集合B满足A∪B＝{－2，－1,1,2}，则满足条件的集合B的个数为()A．4 B．8C．16 D．32答案 C解析由x2－3|x|＋2＝0，解得|x|＝1或2，∴A＝{－2，－1,1,2}，∵A∪B＝{－2，－1,1,2}＝A，∴B⊆A.∵集合A的子集的个数为24＝16，∴满足条件的集合B的个数为16.14．已知集合A＝{x|1≤x≤2}，B＝{x|x<a}，若A∩B＝A，则实数a的取值范围是____________，若A∩B＝∅，则a的取值范围为____________．答案{a|a>2}{a|a≤1}解析根据题意，集合A＝{x|1≤x≤2}，在数轴上表示为：若A∩B＝A，则有A⊆B，必有a>2，若A∩B＝∅，必有a≤1.15．已知非空集合A，B满足以下两个条件：①A∪B＝{1,2,3,4,5,6}，A∩B＝∅；②A的元素个数不是A中的元素，B的元素个数不是B 中的元素．则有序集合对(A，B)的个数为()A．10 B．12C．14 D．16答案 A解析①当集合A中只有1个元素时，集合B中有5个元素，则1∉A,5∉B，此时集合A中有且只有一个元素为5，集合B＝{1,2,3,4,6}，有一种情况，②当集合A中有2个元素时，集合B中有4个元素，则2∉A，且4∉B，此时集合A中必有一个元素为4，集合B中必有一个元素为2，所以A＝{1,4}，B＝{2,3,5,6}或A＝{3,4}，B＝{1,2,5,6}或A＝{4,5}，B＝{1,2,3,6}或A＝{4,6}，B＝{1,2,3,5}，共4种可能；③易知集合A中不可能有3个元素；④当集合A中有4个元素时，集合B中有2个元素，此情况与情况②相同，只需A，B互换，共4种可能；⑤当集合A中有5个元素时，集合B中只有1个元素，此情况与情况①相同，只需A，B互换，共1种可能，综上所述，有序集合对(A，B)的个数为10.16．已知集合A＝{x|x2－ax＋a2－19＝0}，B＝{x|x2－5x＋6＝0}，是否存在a使A，B同时满足下列三个条件：(1)A≠B；(2)A∪B＝B；(3)∅(A∩B)．若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由．解假设存在a使得A，B满足条件，由题意得B＝{2,3}．∵A∪B＝B，∴A⊆B，即A＝B或A B.由条件(1)A≠B，可知A B.又∵∅(A∩B)，∴A≠∅，即A＝{2}或{3}．当A＝{2}时，代入得a2－2a－15＝0，即a＝－3或a＝5. 经检验：a＝－3时，A＝{2，－5}，与A＝{2}矛盾，舍去；a＝5时，A＝{2,3}，与A＝{2}矛盾，舍去．当A＝{3}时，代入得a2－3a－10＝0.即a＝5或a＝－2.经检验：a＝－2时，A＝{3，－5}，与A＝{3}矛盾，舍去；a＝5时，A＝{2,3}，与A＝{3}矛盾，舍去．综上所述，不存在实数a使得A，B满足条件．。