集合的运算性质 交集和并集
1.3.1集合的基本运算(并集与交集)
定义
一般地,由既属于集合A又属于集合 B的所有元素组成的集合叫做A与 B的交集.
记作 A∩B 读作 A交 B
即 A∩B={x x∈A,且x∈B}
A
B
A∩B
性质
⑴ A∩A = A A∩φ = φ A∩B =B∩A
⑵ A∪A = A A∪φ = A A∪B = B∪A
例6 设A={x x2+4x=0}, bbbbbcB={x x2+2(a+1)x+a2－1=0},
(1) 若A∩B=B,求a的值．
(2) 若A∪B=B,求a的值．
探究
(A∩B)∩C = A∩( B∩C ) A∩B∩C
(A∪B)∪C= A∪( B∪C ) A∪B∪C
课堂小结
1. 理解两个集合交集与并集的概念 bb和性质. 2. 求两个集合的交集与并集,常用 bbb数轴法和图示法． 3．注意灵活、准确地运用性质解题;
观察集合A,B,C元素间的关系: A={4，5，6，8}， B={3，5，7，8}， C={3，4，5，6，7，8}
定义
一般地,由属于集合A或属于集合B 的所有元素组成的集合叫做A与B
的并集,
记作 A∪B 读作 A并 B
即A∪B={x x∈A,或x∈B}
A
B
A∪B
观察集合A,B,C元素间的关系:
则A∩B= Φ
A∪B= {斜三角形}
例3 设A={x x＞－2},B={x x＜3}, 求A∩B, A∪B．
例4 已知A={2,－1,x2－x+1}, B={2y,－4,x+4}, C={－1,7}
且A∩B=C 求x,y的值及A∪B．
并集交集
解
由 x2－3x＋2＝0，得 x＝1 或 x＝2，所以 A＝{1，2}.
又 A∪B＝A，所以 B⊆A. (1)若 B＝∅，即方程 ax－2＝0 无解，此时 a＝0. (2)若 B≠∅，则 B＝{1}或 B＝{2}. 当 B＝{1}时，有 a－2＝0，即 a＝2； 当 B＝{2}时，有 2a－2＝0，即 a＝1. 综上可知， 适合题意的实数 a 所组成的集合 C＝{0， 1， 2}.
答案 2
4.已知集合A＝ {x|3<x≤4} ，集合 B＝ {x|k ＋ 1≤x≤2k ＋3} ，且 A∪B＝B，试求k的取值范围.
解 由 A∪B＝B，知 A⊆B.又 A＝{x|3<x≤4}，
B＝{x|k＋1≤x≤2k＋3}可知 B≠∅，此时，k＋ 1≤2k＋3，即 k≥－2，
k＋1≤3， 1 结合数轴可知 解得2≤k≤2. 2k＋3≥4，
规律方法
1.在利用集合的交集、并集性质解题时，常常
会遇到 A∩B＝A，A∪B＝B 等这类问题，解答时常借助于 交、并集的定义及上节学习的集合间的关系去分析，如 A ∩B＝A⇔A⊆B，A∪B＝B⇔A⊆B 等，解答时应灵活处理. 2.当集合 B⊆A 时，如果集合 A 是一个确定的集合，而集合 B 不确定，运算时要考虑 B＝∅的情况，切不可漏掉.
【训练 1】 (1)已知集合 A＝{x|(x－1)(x＋2)＝0}；B＝{x|(x ＋2)(x－3)＝0}，则集合 A∪B 是( A.{－1，2，3} C.{1，－2，3} )
B.{－1，－2，3} D.{1，－2，－3}
(2)设集合 A＝{m|m－2>0}，B＝{m|－1≤m<5}，则 A∪B ＝________.
A∪A＝__ A∪∅＝__ A∪B__B (A∪B)∪ A； A； ＝ ∪A； C___A ＝ ∪(B∪C)； (A∪B)___ ； A∩B ＝ ⊇ A ； A∪B ＝ A⇔B___A ⊆ A⇔A⊆B；A∩B＝A∪B⇔A＝B. Nhomakorabea 时 自 测
集合间的基本运算(交集,并集,补集)非常全面的题型分类
集合间的基本运算一、并集(1)文字语言：由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合，称为集合A 与B的并集.(2)符号语言：A∪B＝{x|x∈A，或x∈B}.(3)图形语言；如图所示.二、交集交集的三种语言表示：(1)文字语言：由属于集合A且属于集合B的所有元素组成的集合，称为A与B 的交集.(2)符号语言：A∩B＝{x|x∈A，且x∈B}.(3)图形语言：如图所示.三、并集与交集的运算性质题型一 并集及其运算例1 (1)设集合M ＝{4,5,6,8}，集合N ＝{3,5,7,8}，那么M ∪N 等于( ) A.{3,4,5,6,7,8} B.{5,8} C.{3,5,7,8} D.{4,5,6,8}(2)已知集合P ＝{x |x ＜3}，Q ＝{x |－1≤x ≤4}，那么P ∪Q 等于( ) A.{x |－1≤x ＜3} B.{x |－1≤x ≤4} C.{x |x ≤4}D.{x |x ≥－1} (3).已知集合=A {}31<≤-x x ，=B {}52≤<x x ，则B A ⋃=（ ）A .{}32<<x xB .{}51≤≤-x xC .{}51<<-x xD .{}51≤<-x x变式练习1 已知集合A ＝{x |(x －1)(x ＋2)＝0}；B ＝{x |(x ＋2)(x －3)＝0}，则集合A ∪B 是( ) A.{－1,2,3}B.{－1，－2,3}C.{1，－2,3}D.{1，－2，－3}2.若集合=A {}x ,3,1，=B {}2,1x ，B A ⋃={}x ,3,1，则满足条件的实数x 有（ ）A .1个B .2个C .3个D .4个题型二 交集及其运算例2 (1)设集合M ＝{m ∈Z |－3<m <2}，N ＝{n ∈Z |－1≤n ≤3}，则M ∩N 等于( ) A.{0,1} B.{－1,0,1} C.{0,1,2}D.{－1,0,1,2}(2)若集合A ＝{x |1≤x ≤3}，B ＝{x |x >2}，则A ∩B 等于( ) A.{x |2<x ≤3} B.{x |x ≥1} C.{x |2≤x <3} D.{x |x >2}变式练习2(1)设集合A ＝{x |x ∈N ，x ≤4}，B ＝{x |x ∈N ，x >1}，则A ∩B ＝________. (2)集合A ＝{x |x ≥2或－2<x ≤0}，B ＝{x |0<x ≤2或x ≥5}，则A ∩B ＝________.（3）.设集合=M {}23<<-∈m Z m ，{}31≤≤-∈=n Z n N ，则N M ⋂=( ) A .{}1,0 B .{}1,0,1- C .{}2,1,0 D .{}2,1,0,1-（4）.集合=A {}121+<<-a x a x ，=B {}10<<x x ，若=⋂B A ∅，求实数a 的取值范围.题型三已知集合的交集、并集求参数例3已知集合A＝{x|2a≤x≤a＋3}，B＝{x|x＜－1，或x＞5}，若A∩B＝∅，求实数a的取值范围变式练习3设集合M＝{x|－3≤x＜7}，N＝{x|2x＋k≤0}，若M∩N≠∅，则实数k的取值范围为________.例4设集合A＝{x|x2－x－2＝0}，B＝{x|x2＋x＋a＝0}，若A∪B＝A，求实数a 的取值范围.变式练习4设集合A＝{x|x2－3x＋2＝0}，集合B＝{x|2x2－ax＋2＝0}，若A∪B ＝A，求实数a的取值范围.例5 (1)设集合A＝{(x，y)|x－2y＝1}，集合B＝{(x，y)|x＋y＝2}，则A∩B 等于( )A.∅B.{53，13}C.{(53，13)} D.{x＝53，y＝13}(2)已知集合A＝{y|y＝x2－2x－3，x∈R}，B＝{y|y＝－x2＋2x＋13，x∈R}，求A∩B.变式练习5（1）设集合A＝{y|y＝x2－2x＋3，x∈R}，B＝{y|y＝－x2＋2x＋10，x∈R}，求A∪B；（2）设集合A ＝{(x ，y )|y ＝x ＋1，x ∈R }，集合B ＝{(x ，y )|y ＝－x 2＋2x ＋34，x ∈R }，求A ∩B .6.设集合A ＝{x |x 2＝4x }，B ＝{x |x 2＋2(a －1)x ＋a 2－1＝0}． (1)若A ∩B ＝B ，求a 的取值范围； (2)若A ∪B ＝B ，求a 的值．课后练习 一、选择题1.设集合A ＝{－1,0，－2}，B ＝{x |x 2－x －6＝0}，则A ∪B 等于( ) A.{－2} B.{－2,3} C.{－1,0，－2}D.{－1,0，－2,3}2.已知集合M ＝{x |－1≤x ≤1，x ∈Z }，N ＝{x |x 2＝x }，则M ∩N 等于( ) A.{1} B.{－1,1} C.{0,1}D.{－1,0,1}3.已知集合M ＝{0,1,2,3,4}，N ＝{1,3,5}，P ＝M ∩N ，则P 的子集共有( )A.2个B.4个C.6个D.8个4.已知集合M＝{x|－3<x≤5}，N＝{x|x<－5或x>5}，则M∪N等于( )A.{x|x<－5或x>－3}B.{x|－5<x<5}C.{x|－3<x<5}D.{x|x<－3或x>5}三、解答题5.已知集合A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|2a≤x≤a＋3}，若A∪B＝A，求实数a的取值范围.6.已知集合A＝{x|x2－px＋15＝0}和B＝{x|x2－ax－b＝0}，若A∪B＝{2,3,5}，A∩B＝{3}，分别求实数p，a，b的值.7.(1)已知集合A＝{－4,2a－1，a2}，B＝{a－5,1－a,9}，若A∩B＝{9}，求a的值；(2)若P＝{1,2,3，m}，Q＝{m2,3}，且满足P∩Q＝Q，求m的值.四、全集(1)定义：如果一个集合含有我们所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集.(2)记法：全集通常记作U.五、补集对于一个集合A，由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集，记作∁U A符号语言为∁U A＝{x|x∈U，且x∉A}图形语言为六、补集的性质①A∪(∁U A)＝U；②A∩(∁U A)＝∅；③∁U U＝∅，∁U∅＝U，∁U(∁U A)＝A；④(∁U A)∩(∁U B)＝∁U(A∪B)；⑤(∁U A )∪(∁U B )＝∁U (A ∩B ).题型一 补集运算例1 (1)设全集U ＝{1,2,3,4,5}，集合A ＝{1,2}，则∁U A 等于( ) A.{1,2} B.{3,4,5} C.{1,2,3,4,5}D.∅(2)若全集U ＝R ，集合A ＝{x |x ≥1}，则∁U A ＝________.变式练习 1 已知全集U ＝{x |x ≥－3}，集合A ＝{x |－3＜x ≤4}，则A C U ＝________.2.已知全集U ＝{x |1≤x ≤5}，A ＝{x |1≤x ＜a }，若∁U A ＝{x |2≤x ≤5}，则a ＝________.题型二 补集的应用例2 设全集U ＝{2,3，a 2＋2a －3}，A ＝{|2a －1|,2}，∁U A ＝{5}，求实数a 的值.变式练习2若全集U＝{2,4，a2－a＋1}，A＝{a＋4,4}，∁U A＝{7}，则实数a＝________.题型三并集、交集、补集的综合运算例3 已知全集U＝{x|－5≤x≤3}，A＝{x|－5≤x<－1}，B＝{x|－1≤x<1}，求∁U A，∁U B，(∁U A)∩(∁U B).变式练习3设全集为R，A＝{x|3≤x＜7}，B＝{x|2＜x＜10}，求∁R(A∪B)及(∁R A)∩B.题型四利用Venn图解题例4 设全集U＝{不大于20的质数}，A∩∁U B＝{3,5}，(∁U A)∩B＝{7,11}，(∁U A)∩(∁UB)＝{2,17}，求集合A，B.变式练习4全集U＝{x|x<10，x∈N*}，A⊆U，B⊆U，(∁U B)∩A＝{1,9}，A∩B＝{3}，(∁U A)∩(∁U B)＝{4,6,7}，求集合A，B.变式练习5已知集合A＝{x|x2－4ax＋2a＋6＝0}，B＝{x|x<0}，若A∩B≠∅，求a的取值范围.课后作业一、选择题1.已知全集U＝{1,2,3,4}，集合A＝{1,2}，B＝{2,3}，则∁U(A∪B)等于( )A.{1,3,4}B.{3,4}C.{3}D.{4}2.已知全集U＝{1,2,3,4,5,6,7}，A＝{3,4,5}，B＝{1,3,6}，则A∩(∁U B)等于( )A.{4,5}B.{2,4,5,7}C.{1,6}D.{3}3.设全集U＝{a，b，c，d，e}，集合M＝{a，c，d}，N＝{b，d，e}，那么(∁U M)∩(∁N)等于( )UA.∅B.{d }C.{a ，c }D.{b ，e }4.已知集合A ＝{x |x <a }，B ＝{x |1<x <2}，且A ∪(∁R B )＝R ，则实数a 的取值范围是( )A.{a |a ≤1}B.{a |a <1}C.{a |a ≥2}D.{a |a >2}5.设全集是实数集R ，M ＝{x |－2≤x ≤2}，N ＝{x |x <1}，则(∁R M )∩N 等于( )A.{x |x <－2}B.{x |－2<x <1}C.{x |x <1}D.{x |－2≤x <1}6.已知集合A ＝{x |－4≤x ≤－2}，集合B ＝{x |x －a ≥0}，若全集U ＝R ，且A ⊆∁U B ，则a 的取值范围为________.7.设U ＝{1,2,3,4,5,6,7,8,9}，(∁U A )∩B ＝{3,7}，(∁U B )∩A ＝{2,8}，(∁U A )∩(∁U B )＝{1,5,6}，则集合A ＝________，B ＝________.8.已知全集U ＝R ，A ＝{x ||3x －1|≤3}，B ＝{x |⎩⎨⎧ 3x ＋2>0，x －2<0}，求∁U (A ∩B ).9.已知集合A ＝{x |3≤x <6}，B ＝{x |2<x <9}.(1)分别求∁R (A ∩B )，(∁R B )∪A ；(2)已知C ＝{x |a <x <a ＋1}，若C ⊆B ，求实数a 的取值范围.10.已知A ＝{x |－1＜x ≤3}，B ＝{x |m ≤x ＜1＋3m }.(1)当m ＝1时，求A ∪B ；(2)若B ⊆∁R A ，求实数m 的取值范围.11.已知集合{}31<≤-=x x A ；{}242-≥-=x x x B .（1）求B A ⋂；（2）若集合{}02>+=a x x C ，满足C C B =⋃,求实数a 的取值范围.12.设集合A ＝{x |x 2＝4x }，B ＝{x |x 2＋2(a －1)x ＋a 2－1＝0}．(1)若A ∩B ＝B ，求a 的取值范围；(2)若A ∪B ＝B ，求a 的值．。
集合的五种基本运算
集合的五种基本运算集合的五种基本运算包括并集、交集、差集、补集和笛卡尔积。
下面将对这五种运算进行详细介绍。
1. 并集：并集是指将两个或多个集合中的所有元素组合起来形成一个新的集合。
符号表示为"A∪B"，表示集合A和集合B的并集。
并集操作将去除重复元素，只保留一个。
例如，如果集合A={1,2,3}，集合B={3,4,5}，则A∪B={1,2,3,4,5}。
2. 交集：交集是指取两个集合中相同的元素形成一个新的集合。
符号表示为"A∩B"，表示集合A和集合B的交集。
交集操作将保留两个集合中共有的元素，去除不同的元素。
例如，如果集合A={1,2,3}，集合B={3,4,5}，则A∩B={3}。
3. 差集：差集是指从一个集合中去除与另一个集合中相同的元素形成一个新的集合。
符号表示为"A-B"，表示集合A和集合B的差集。
差集操作将保留集合A中与集合B不同的元素。
例如，如果集合A={1,2,3}，集合B={3,4,5}，则A-B={1,2}。
4. 补集：补集是指一个集合中不属于另一个集合的元素形成的集合。
符号表示为"A'"或"A^c"，表示集合A的补集。
补集操作将保留集合A中不在另一个集合中的元素。
例如，如果集合A={1,2,3}，集合B={3,4,5}，则A'={1,2}。
5. 笛卡尔积：笛卡尔积是指将两个集合中的所有元素按照一定规律组合起来形成一个新的集合。
符号表示为"A×B"，表示集合A和集合B的笛卡尔积。
笛卡尔积操作将取两个集合中的元素进行组合，形成一个新的集合。
例如，如果集合A={1,2}，集合B={a,b}，则A×B={(1,a),(1,b),(2,a),(2,b)}。
这五种基本的集合运算在数学和计算机科学中都有广泛的应用。
它们可以用来解决集合之间的关系、求解问题和进行数据分析。
集合的基本运算(1)-交集,并集
意思。”“哦？为什么？”明秀饶有兴趣。“奴婢当这个差，忠人之事„„”乐韵回答。“那你为什么不问准了你家姑娘的意 思，再传这东西？”明秀飞快的问。“姑娘应该不会信的，我不敢跟她商量。”乐韵老老实实道。明秀上下打量乐韵：“你又 是什么时候开始怀疑起的呢？”“四 那次要给我们家姑娘喂药，我看见您往我们家姑娘碗里放了什么东西。”乐韵直截了当 回答。明秀偏过脸去，也深悔那次做得孟浪了。筱筱在旁边啐道：“这蹄子，发昏头胡说，满口嚼血哪？！”乐韵只是磕头。 明秀冷冷道：“私相授受。你是作好准备领这罪了？”乐韵拼命摇头。明秀并不放过她，沉着脸叱了一声，筱筱到外头去，叫 进一个婆子来，乃是司掌丫头们刑罚的婆子，眼皮半耷拉着，看也不看乐韵，一半像在沉思、一半像在梦游似的，到明秀面前 唱了个大喏：“四 ！”两只手里抱了一大捆浸过水的粗麻绳，行动间衣裳里也叮铃当啷的，不知鼓囊囊塞了些什么。第五十 九章 早露用心在宴前(3)乐韵脸白了。“文大娘，”明秀道，“今日叫你来，你可知是何事？”“老身听说有丫头私下传递贴 身东西。”文大娘回答。“什么叫贴身东西？”明秀真的不懂似的，继续问。文大娘也就详详尽尽的回答：“大至一衣一镜， 小至一丝一缕，皆不可出闺阁。此防犹如高堤堵洪水一般，只要一个蚁穴，注进一丝水来，后头它就只管滔滔了。所以那胆敢 咬出个小小的穴来的蝼蚁，甚为可恶，一露头就该掐死。”“大娘要如何掐死？”明秀还在问。文大娘也就不回答了，先把那 粗麻绳往乐韵面前一丢，浸了水的绳头打在乐韵膝头，热辣辣的，真要动手绑时，那是要剥了衣裳绑的，粗麻紧紧勒进肉里， 那种滋味！文大娘袖口也挽起来了，衣襟也掀起来，一件一件，往外拿几样敲扑刑罚的东西，倒都不大。要在人身上造成痛苦 的东西，本来就不用特别大的。她且拿且说，才说了三件，明秀已经悲悯的把眼睛紧紧合起来，苦吟：“不当人子，不当人 子。”文大娘放下衣裳，道：“人是苦虫，不打不招。 ，您不知道，有些坏东西，只能如此处置哩！却不知今日叫老身来， 是要对付哪一个？”乐韵膝行至明秀裙边，咚咚叩头，只求饶命。明秀缓缓对文大娘道：“请大娘来，只为我自己想听听这些 规矩，日后好教导丫头们。劳顿大娘了。”文大娘屈身道：“不敢称劳。 但有差遣，尽管叫老身。”明秀笑道：“目下没什 么事了，倘有需要时，少不得再烦请大娘。”便着筱筱还送文大娘出去。乐韵跪着，不断啜泣。明秀静了静，道：“你如今知 道怕了。”乐韵哀求：“四 赏乐韵一条生路！”明秀叹道：“你啊„„好生糊涂。忠心为主，原是好的，岂不知良禽择木而 栖？思来算去，把自己推到火坑里，何苦
第八讲 集合的基本运算(精讲)(解析版)
2023年初高中衔接素养提升专题讲义第八讲集合的基本运算（精讲）（解析版）【知识点透析】一、交集1、文字语言：对于两个给定的集合A ，B ，由属于A 又属于B 的所有元素构成的集合，叫做A ，B 的交集，记作A ∩B ，读作“A 交B ”2、符号语言：A ∩B ＝{x |x ∈A 且x ∈B }3、图形语言：阴影部分为A ∩B4、性质：A ∩B ＝B ∩A ，A ∩A ＝A ，A ∩∅＝∅∩A ＝∅，如果A ⊆B ，则A ∩B ＝A5、解题思路：单个数字交集找相同，不等式的交集画数轴，不同集合高度画不同。
二、并集1、文字语言：对于两个给定的集合A ，B ，由两个集合的所有的元素组成的集合，叫做A 与B 的并集，记作A ∪B ，读作“A 并B ”2、符号语言：A ∪B ＝{x |x ∈A 或x ∈B }3、符号语言：阴影部分为A ∪B4、性质：A ∪B ＝B ∪A ，A ∪A ＝A ，A ∪∅＝∅∪A ＝A ，如果A ⊆B ，则A ∪B ＝B .5、解题思路：两个集合所有元素集中在一起，但是重复元素只写一次，要满足集合中的互异性三、补集1、全集：在研究集合与集合之间的关系时，如果所要研究的集合都是某一给定集合的子集，那么称这个给定的集合为全集．记法：全集通常记作U .2、补集（1）文字语言：如果给定集合A 是全集U 的一个子集，由U 中不属于A 的所有元素构成的集合，叫做A 在U 中的补集，记作A C U .（2）符号语言：}|{A x U x x A C U ∉∈=且（3）符号语言：（4）性质：A ∪∁U A ＝U ；A ∩∁U A ＝∅；∁U (∁U A )＝A .【注意】并不是所有的全集都是用字母U 表示，也不是都是R，要看题目的。
四、利用交并补求参数范围的解题思路1、根据并集求参数范围：=⇒⊆ A B B A B ，若A 有参数，则需要讨论A 是否为空集；若B 有参数，则≠∅B 2、根据交集求参数范围：=⇒⊆ A B A A B 若A 有参数，则需要讨论A 是否为空集；若B 有参数，则≠∅B 【知识点精讲】题型一并集、交集、补集的运算【例题1】（2022·浙江·杭十四中高一期中）设全集{}1,2,3,4,5,6U =，集合{}{}1,3,5,2,3,4,5S T ==，则S T ⋃=（）A ．{}3,5B ．{}2,4C ．{}1,2,3,4,5D ．{}1,2,3,4,5,6【答案】C【分析】根据并集的定义直接求解即可.【详解】因为{}{}1,3,5,2,3,4,5S T ==，所以S T ⋃={}1,2,3,4,5，故选：C【例题2】（2021春•山西大同期中）设集合{|1}A x x =<，{|22}B x x =-<<，则(A B = )A ．{|21}x x -<<B ．{|2}x x <C ．{|22}x x -<<D ．{|1}x x <【答案】B【解析】{|1}A x x =< ，{|22}B x x =-<<，{|2}A B x x ∴=< ．故选B．【例题3】．（2022·江苏·高二期末）已知集合{}1,2A =，{}21,2B a a =-+，若{}1A B ⋂=，则实数a 的值为（）A ．0B ．1C ．2D ．3【答案】C【解析】因为{}1A B ⋂=，所以11a -=或221a +=，解得：2a =．故选：C．【例题4】．（2022·陕西·宝鸡市陈仓高级中学高三开学考试（理））已知集合{}21A x x =-<≤，{}0B x x a =<≤，若{|23}A B x x =-<≤ ，A B = （）【例题5】．（2021·北京昌平区·高二期末）已知全集，集合，{3,4}B =，则()U A B = ð___________.【答案】．{}3,4,5【解析】解：{0U = ，1，2，3，4，5}，{0A =，1，2，3}，{3B =，4}，{4U A ∴=ð，5}，(){3U A B ⋃=ð，4，5}.故答案为：{3，4，5}.【例题6】．（2022·四川南充高一课时检测）已知全集{}16A x x =≤≤，集合{}15B x x =<<，则A B =ð（）．A ．{}5x x ≥B ．{1x x ≤或}5x ≥C ．{1x x =或}56x <≤D ．{1x x =或}56x ≤≤【例题7】．41．（2021·陕西商洛市·镇安中学高一期中）已知集合{}25A x x =-≤≤，{}121B x m x m =+≤≤-．（1）若4m =，求A B ；（2）若A B =∅ ，求实数m 的取值范围．【答案】．（1）{}27x x -≤≤；（2）{2m m <或}4m >.【解析】（1）当4m =时，{}57B x x =≤≤，故{}27A B x x ⋃=-≤≤；（2）当121m m +>-时，即当2m <时，B =∅，则A B =∅ ；当121m m +≤-时，即当2m ≥时，B ≠∅，因为A B =∅ ，则212m -<-或15m +>，解得12m <-或4m >，此时有4m >.综上所述，实数m 的取值范围是{2m m <或}4m >.【变式1】．（2022·河北邢台高二期末）若集合{}|24M x x =-<≤，{}|46N x x =≤≤，则A ．M N⊆B ．{}4M N = C ．M N⊇D ．{}26|M N x x =-<< 【答案】B【分析】利用集合的交并运算求M N ⋂、M N ⋃，注意,M N 是否存在包含关系，即可得答案.【详解】因为{}|24M x x =-<≤，{}|46N x x =≤≤，所以{}4M N = ，{}|26M N x x =-<≤ ，,M N 相互没有包含关系.故选：B【变式2】．（2022·江苏常州高三开学考试）设集合{}11A x x =-<<，{}220B x x x =-≤，则A B ⋃=（）A ．(]1,2-B ．()1,2-C ．[)0,1D ．(]0,1【变式3】（2022·青海·海东市第一中学模拟预测（文））已知集合{}1,1,2M =-，{}2N x x x =∈=R ，则M N ⋃=（）A ．{}1B ．{}1,0-C ．{}1,0,1,2-D ．{}1,0,2-【答案】C【解析】{}{}20,1N x x x =∈==R ，{}1,0,1,2M N ∴=- .故选：C.【变式4】．（2022·浙江·三模）已知集合{}{}25,36P x x Q x x =≤<=≤<，则P Q = （）A ．{}25x x ≤<B ．{}26x x ≤<C ．{}35x x ≤<D ．{}36x x ≤<【答案】C【解析】由题意知：P Q = {}35x x ≤<.故选：C.题型二并集、交集、补集综合运算及性质的应用【例题8】．（2022·河南洛阳高一课时检测）已知全集U ，集合{}1,3,5,7,9A =，{}2,4,6,8U C A =，{}1,4,6,8,9U C B =，则集合B =（）A ．{}1,5,7B ．{}3,5,7,9C ．{}2,3,5,7,9D ．{}2,3,5,7【答案】D【分析】根据集合补集的运算法则进行求解.【详解】 集合{}=1,3,5,79A ，，{}2468U C A =，，，{}=1,2,3,4,5,6,7,8,9U ∴又{}=1,4,6,8,9U C B {}=2,3,5,7B 故选：D【例题9】．（2022·重庆·西南大学附中模拟预测）已知集合{}|10A x ax =-=，{}*|14B x x =∈≤<N ，且A B B ⋃=，则实数a 的所有值构成的集合是（）A ．11,2⎧⎫⎨⎬B ．11,23⎧⎫⎨⎬C ．111,,23⎧⎫⎨⎬D ．110,1,,23⎧⎫⎨⎬【例题10】．（湖北省“宜荆荆恩”2022-2023学年高三上学期起点考试）已知集合(,1][2,)A =-∞⋃+∞，{|11}B x a x a =-<<+，若A B =R ，则实数a 的取值范围为（）A ．(1,2)B ．[1,2)C ．(1,2]D ．[1,2]【答案】D【分析】依题意可得1112a a -≤⎧⎨+≥⎩，解得即可.【详解】解：因为(,1][2,)A =-∞⋃+∞，{|11}B x a x a =-<<+且A B =R ，所以1112a a -≤⎧⎨+≥⎩，解得12a ≤≤，即[]1,2a ∈；故选：D【例题11】．（2022·云南昆明一中高一检测）已知A ，B 都是非空集合，(){}&A B x x A B =∈⋃且()x A B ∉ ．若{}02A x x =<<，{}0B x x =≥，则&A B =（）A ．{}0x x ≥B ．{}02x x <<C ．{0x x =或}2x <-D ．{0x x =或}2x ≥【例题12】．（2021·江苏高一专题练习）已知集合{}42A x x =-<<，{}110B x m x m m =--<<->，．（1）若A B B ⋃=，求实数m 的取值范围；（2）若A B ⋂≠∅，求实数m 的取值范围．【答案】（1）3m ≥；（2）0m >.【解析】：（1）因为A B B ⋃=，所以A B ⊆，014312m m m m >⎧⎪∴--≤-⇒≥⎨⎪-≥⎩；（2）若A B = ∅，则014m m >⎧⎨-≤-⎩或012m m >⎧⎨--≥⎩，不等式组无解，所以A B ⋂≠∅时，所以0.m >【变式1】（2022·辽宁沈阳高一课前预习）集合{}2320A x x x =-+=，{}2220B x x ax =-+=，若A B A ⋃=，求实数a 的取值范围.【答案】．{}44a a -<≤由题意，知{}1,2A =，因为A B A ⋃=，所以B A ⊆.（1）若1B ∈，则1是方程2220x ax -+=的根，所以4a =.当4a =时，{}1B A =⊆，符合题意.（2）若2B ∈，则2是方程2220x ax -+=的根，所以5a =.当5a =时，{}2125202,2B x x x ⎧⎫=-+==⎨⎬⎩⎭，此时不满足B A ⊆，所以5a =不符合题意.（3）若B =∅，则2160a ∆=-<，解得44a -<<，此时B A ⊆.综上所述，a 的取值范围为{}44a a -<≤.【变式2】．（2023·浙江高二开学考试）已知R a ∈，设集合{}22210A x x ax a =-+-<，{}2B x x =>，（1）当2a =时，求集合A ．（2）若R A B ⊆ð，求实数a 的取值范围．【答案】（1）{}13A x x =<<；（2）32a ≤．【解析】（1）当2a =时，有2430x x -+<，解得13x <<，故{}13A x x =<<．（2）∵{}2B x x =>，∴{}2R B x x =≤ð，不等式22210x ax a -+-<可以表示成()()1210x x a ---<⎡⎤⎣⎦，当1a <时，{}211A x a x =-<<，此时R A B ⊆ð成立，当1a =时，A =∅，R A B ⊆ð成立，当1a >时，{}121A x x a =<<-，若此时R A B ⊆ð成立，则212a -≤，解得32a ≤，故312a <≤．综上所述，32a ≤．【变式3】．（2022·四川乐山市高一单元测试）已知集合{}211A x a x a =-<<+，{}01B x x =≤≤．(1)在①1a =-，②0a =，③1a =这三个条件中任选一个作为已知条件，求A B ；(2)若R A B A ⋂=ð，求实数a 的取值范围．【答案】(1)答案见解析(2)(][),11,-∞-⋃+∞【分析】（1）代入a 的值求出集合A ，再求并集可得答案；（2）求出B R ð，根据A B A ⋂=R ð可得A B ⊆R ð，分A =∅、A ≠∅讨论可得答案.（1）选择条件①：因为1a =-，所以()3,0A =-，又[]0,1B =，所以(]3,1A B ⋃=-；选择条件②：因为0a =，所以()1,1A =-，又[]0,1B =，所以(]1,1A B ⋃=-；选择条件③：因为1a =，所以()1,2A =，又[]0,1B =，所以[)0,2A B ⋃=；（2）因为[]0,1B =，所以()(),01,B =-∞⋃+∞R ð，因为A B A ⋂=R ð，所以A B ⊆R ð，当A =∅时，满足R A B ⊆ð，此时211a a -≥+，即2a ≥，当A ≠∅时，则2 10a a <⎧⎨+≤⎩或2211a a <⎧⎨-≥⎩，解得1a ≤-或12a ≤<，综上，a 的取值范围为(][),11,-∞-⋃+∞．题型三Venn 图的应用【例题13】．（2021·贵州省思南中学高三月考（理））已知全集U =R ，集合{}23,A y y x x R ==+∈，{}24B x x =-<<，则图中阴影部分表示的集合为（）A ．[]2,3-B ．()2,3-C ．(]2,3-D ．[)2,3-【答案】．B【解析】233y x =+≥，所以[)3,A =+∞，图象表示集合为()U A B ⋂ð，()U ,3A =-∞ð，()()U 2,3A B ⋂=-ð.故选：B【例题14】．（2021·全国高三其他模拟）已知全集U x y ⎧=∈=⎨⎩Z ，集合{}13M x x =∈-<Z ，{}4,2,0,1,5N =--，则下列Venn 图中阴影部分表示的集合为（）A ．{}0,1B ．{}3,1,4-C ．{}1,2,3-D ．{}1,0,2,3-【答案】．C【解析】{}{}50,565,4,3,2,1,0,1,2,3,4,560x U x x x x ⎧+⎧⎫⎪=∈=∈-≤<=-----⎨⎨⎬->⎩⎭⎪⎩ZZ ，集合{}{}{}313241,0,1,2,3M x x x x =∈-<-<=∈-<<=-Z Z ．因为集合{}4,2,0,1,5N =--，所以{}5,3,1,2,3,4U N =---ð，所以Venn 图中阴影部分表示的集合为(){}1,2,3U M N ⋂=-ð，故选：C．【例题15】．（2021·山东济南·高一期中）国庆期间，高一某班35名学生去电影院观看了《长津湖》、《我和我的父辈》这两部电影中的一部或两部.其中有23人观看了《长津湖》，有20人观看了《我和我的父辈》则同时观看了这两部电影的人数为（）A ．8B ．10C ．12D ．15【答案】A【分析】根据集合的运算可得答案.【详解】解：由已知得同时观看了这两部电影的人数为2320358+-=.故选：A.【变式】．（2021·广东·广州外国语学校高一检测）某公司共有50人，此次组织参加社会公益活动，其中参加A 项公益活动的有28人，参加B 项公益活动的有33人，且A ，B 两项公益活动都不参加的人数比都参加的人数的三分之一多1人，则只参加A 项不参加B 项的有（）【例12】．（2021·全国高一单元测试）已知对于集合A 、B ，定义{|}A B x x A x B -=∈∉，且，()()A B A B B A ⊕=-⋃-.设集合{123456}M =，，，，，，集合{}45678910N =，，，，，，，则M N ⊕中元素个数为（）A ．4B ．5C ．6D ．7【答案】．D【解析】∵{123456}M =，，，，，，{}45678910N =，，，，，，，∴{}{|}123M N x x M x N -=∈∉=，且，，，{}{|}78910N M x x N x M -=∈∉=，且，，，，∴{}{}{}()()1237891012378910M N M N N M ⊕=-⋃-=⋃=，，，，，，，，，，，，其中有7个元素，故选D.（2021·湖北·葛洲坝中学高一期中）已知集合A ，B 是实数集R 的子集，定义{},A B x x A x B -=∈∉，若集合11|,13A y y x x ⎧⎫==≤≤⎨⎬⎩⎭，{}2|1,12B y y x x ==--≤≤，则B A -=（）A ．{}11x x -≤≤B ．{}11x x -≤<C ．{}01x x ≤≤D ．{}01x x ≤<【变式1】（2022·山西太原高三专题检测）设{}1,2,3,4,I =，A 与B 是I 的子集，若{}1,3A B = ，则称(,)A B 为一个“理想配集”.那么符合此条件的“理想配集”（规定(,)A B 与(,)B A 是两个不同的“理想配集”的个数是（）A ．16B ．9C ．8D ．4【答案】B【解析】由题意，对子集A 分类讨论：当集合{}1,3A =，集合B 可以是{1,2,3,4},{1,3,4},{1,2,3},{1,3}，共4中结果；当集合{}1,2,3A =，集合B 可以是{1,3,4},{1,3}，共2种结果；当集合{}1,3,4A =，集合B 可以是{1,2,3},{1,3}，共2种结果；当集合{}1,2,3,4A =，集合B 可以是{1,3}，共1种结果，根据计数原理，可得共有42219+++=种结果.故选：B.【变式2】．（2023·四川成都高三专题模拟）对于两个正整数m ，n ，定义某种运算“⊙”如下，当m ，n 都为正偶数或正奇数时，m ⊙n ＝m +n ；当m ，n 中一个为正偶数，另一个为正奇数时，m ⊙n ＝mn ，则在此定义下，集合M ＝{（p ，q ）|p ⊙q ＝10，*N p ∈，q ∈*N }中元素的个数是_____.【答案】13【解析】∵当m ，n 都为正偶数或正奇数时，m ⊙n ＝m +n ；当m ，n 中一个为正偶数，另一个为正奇数时，m ⊙n ＝mn ，∴集合M ＝{（p ，q ）|p ⊙q ＝10，*N p ∈，q ∈*N }＝{（1，9），（2，8），（3，7），（4，6），（5，5），（6，4），（7，3），（8，2），（9，1），（1，10），（2，5），（5，2），（10，1）}，共13个元素，故答案为：13。
交集、并集的性质
交集、并集的性质交集和并集是集合论中两个非常重要的概念，它们描述了集合之间的关系和运算。
交集是两个或多个集合中共有元素的集合，而并集则是将两个或多个集合中的元素合并成一个新的集合。
交集和并集具有一些基本的性质，这些性质在数学和计算机科学中经常被用到。
以下是交集和并集的一些重要性质：交集的性质：1.交换律：A ∩ B = B ∩ A这个性质表明，交集的运算满足交换律，即交换两个集合的位置，交集的结果不变。
2.结合律：A ∩ (B ∩ C) = (A ∩ B) ∩ C这个性质表明，交集的运算满足结合律，即多个集合的交集运算可以任意地加括号，结果不变。
3.空集与任何集合的交集都是空集：∅∩ A = ∅这个性质表明，空集与任何集合的交集都是空集，因为空集中没有任何元素可以与其他集合的元素共同出现。
4.幂等律：A ∩ A = A这个性质表明，一个集合与自身的交集还是该集合本身。
5.吸收律：A ∩ (A ∪ B) = A这个性质表明，一个集合与包含它的并集的交集还是该集合本身。
并集的性质：1.交换律：A ∪ B = B ∪ A这个性质表明，并集的运算满足交换律，即交换两个集合的位置，并集的结果不变。
2.结合律：A ∪ (B ∪ C) = (A ∪ B) ∪ C这个性质表明，并集的运算满足结合律，即多个集合的并集运算可以任意地加括号，结果不变。
3.空集与任何集合的并集都是该集合本身：∅∪ A = A这个性质表明，空集与任何集合的并集都是该集合本身，因为空集中的任何元素都可以加入到其他集合中。
4.幂等律：A ∪ A = A这个性质表明，一个集合与自身的并集还是该集合本身。
5.吸收律：A ∪ (A ∩ B) = A这个性质表明，一个集合与包含它的交集的并集还是该集合本身。
除了以上这些基本性质外，交集和并集还有一些其他的性质，例如德摩根定律、分配律等。
这些性质在集合论和数学中有广泛的应用，可以帮助我们更好地理解和处理集合之间的关系和运算。
并集、交集、差集
2.3.2、使用difference()方法进行差集运算
同理，使用difference()方法进行集合B和集合A的差 集也是不同的
2.4、集合的对称差集运算方法
集合的差集运算也有两种方式:
一种是使用“^”运算符进行操作
另一种是使用symmetric_difference()方法来实现。
2.4.2、使用symmetric_difference()方法进 行对称差集运算
A = {'语文','数学','英语','政治','历史','地理’} B = {'语文','数学','英语','物理','化学','生物'}
2.1、集合的交集运算方法
我们使用集合的交集运算的时候可以采用两种方式：
“&” 一种是使用
运算符进行操作，
另一种是使用intersection()方法来实现
结论:
集合中进行交集、并集、对称差集进行运算的时候， 集合A与集合B，位置替换的时候，结果相同。
集合中进行差集运算的时候，集合A与集合B，位置替 换的时候，结果不同，为的含义：
给定两个集合A、B，把他们所有的元素合并在一起组 成的集合，叫做集合A与集合B的并集。 在Python中，进行并集运算时使用“|”符号。
Seta={1,2,3} Setb={4,5,6} Setc={1,2,3,4,5,6}
1.3、集合的差集的含义： 设A，B是两个集合，则所有属于A且不属于B的元素构 成的集合，叫做集合A与集合B的差集。 在Python中，进行差集运算时使用“-”符号