向量的数量积
第七讲。数量积,向量积讲解
2
所以
( a,b ) 3
（3） 因为
4
a • b | a || b | cos( a,b ) | b | Pr jba
所以
Pr
ju AB
a•b |b|
9 3
3
例2 试用向量证明三角形的余弦定理.
证明 在DABC中, ∠BCA, |CB|a, |CA|b, |AB|c,
要证c2a2b22abcos .
3 运算律 （1）交换律 a •b b • a
（2）分配律 (a b) • c a • c b • c
（3）结合律 (a) • b (a • b) a • (b)
其中λ为常数。 4 数量积的计算公式 设向量
a x1i y1 j z1k, b x2i y2 j z2k
则有
a • b x1x2 y1 y2 z1z2
| a || b |
3 两向量的向量积的运算律 （1） a×b=-b×a； （2）（λa）×b=a×（λb）=λ（a×b （λ为常数） （3）（a+b）×c=a×c+b×c
向量积还可用三阶行列式表示
i j k a b ax ay az
bx by bz
由上式可推出
ห้องสมุดไป่ตู้
a// b
ax ay az
θ
A
S
B
W | F || S | cos
2 性质： （1） a·a=|a|2
i • i 1, j • j 1, k • k 1
（2）a b a •b 0
i • j 0, j • k 0, k • i 0
（3）θ表示两非零向量a和b的夹角，则有
cos a • b
| a || b |
向量的数量积
向量的数量积向量的数量积是线性代数中的一个重要概念，也是向量运算中的一种常用运算。
它可以帮助我们计算向量之间的夹角、判断向量是否垂直等问题。
本文将详细介绍向量的数量积的定义、性质以及应用。
一、定义在二维空间或三维空间中，我们可以用向量来表示有方向和大小的量。
设有两个向量A和B，向量A的坐标表示为（A1，A2，A3），向量B的坐标表示为（B1，B2，B3），则向量A和向量B的数量积定义为：A·B=|A||B|cosθ，其中|A|表示向量A的长度，|B|表示向量B的长度，θ表示向量A和向量B之间的夹角。
二、性质1. 交换律：A·B=B·A2. 结合律：(kA)·B=A·(kB)=k(A·B)，其中k为实数3. 分配律：(A+B)·C=A·C+B·C三、计算方法1. 若向量A和向量B的坐标分别为（A1，A2，A3）和（B1，B2，B3），则A·B=A1B1+A2B2+A3B3。
2. 若向量A和向量B的坐标形式为A=a1i+a2j+a3k和B=b1i+b2j+b3k，其中i，j，k分别是坐标轴上的单位向量，则A·B=a1b1+a2b2+a3b3。
四、应用1. 判断向量是否垂直：如果向量A·B的结果为0，则向量A和向量B垂直；如果向量A·B的结果大于0，则向量A和向量B之间的夹角为锐角；如果向量A·B的结果小于0，则向量A和向量B之间的夹角为钝角。
2. 计算向量的模长：|A|=√(A·A)3. 计算向量的夹角：cosθ=(A·B)/(|A||B|)4. 计算向量的投影：向量A在向量B上的投影记作projBA=(A·B)/|B|总结：本文详细介绍了向量的数量积的定义、性质和应用。
向量的数量积是一种常用的向量运算，可以帮助我们计算向量之间的夹角、判断向量是否垂直等问题。
向量的数量积和向量积的性质
向量的数量积和向量积的性质向量的数量积和向量积是向量运算中非常重要的两种运算方式。
在数学和物理学中，它们具有独特的性质和应用。
本文将详细讨论向量的数量积和向量积的性质。
向量的数量积（也称点积或内积）是两个向量相乘所得的标量。
设有两个向量a和b，它们的数量积记作a·b。
数量积的计算方式为：a·b = |a||b|cosθ其中，|a|和|b|分别为向量a和b的模长，θ为a和b之间的夹角。
向量的数量积具有以下性质：1. 对于任意向量a，a·a = |a|^2。
这表示一个向量的数量积与其自身的模长的平方相等。
2. 属于向量的交换律。
即，对于任意向量a和b，a·b = b·a。
因此，数量积可以看作是一种可交换运算。
3. 属于向量的分配律。
即，对于任意向量a、b和c，(a + b)·c = a·c + b·c。
这意味着在分配律的条件下，我们可以将向量的数量积展开为多项式的形式。
4. 数量积的结果可以用来判断向量之间的关系。
当且仅当两个非零向量的数量积为0时，它们是垂直的；当数量积大于0时，它们的夹角为锐角；当数量积小于0时，夹角为钝角。
向量的向量积（也称叉积或外积）是两个向量相乘所得的新向量。
向量积记作a×b。
向量积的计算方式为：a×b = |a||b|sinθn其中，|a|和|b|分别为向量a和b的模长，θ为a和b之间的夹角，n 为垂直于a和b所在平面的单位向量。
向量的向量积具有以下性质：1. 对于任意向量a和b，它们的向量积垂直于a和b所在平面。
这表明向量积的结果是与原向量a和b均垂直的新向量。
2. 向量积满足右手法则。
将右手的四指指向a，然后握紧拇指，向量积的方向将由突起的中指所确定。
3. 向量积的模长可以用来计算平行四边形的面积。
即，对于向量a 和b，其向量积的模长等于由a和b两边所组成的平行四边形的面积。
向量积和数量积的运算公式
向量积和数量积的运算公式向量积又称为叉积或矢量积，用符号"×"表示。
给定两个向量a和b，它们的向量积c可以表示为：c=a×b向量积的计算公式如下：1.向量积的计算方法有两种：几何法和代数法。
在几何法中，我们可以根据a和b的方向及其夹角来计算向量积。
而在代数法中，我们可以使用坐标来计算向量积。
2.几何法计算向量积的公式为：c = ，a，，b，sinθ n其中，a，表示向量a的模，b，表示向量b的模，θ表示a和b的夹角，n是一个垂直于平面的单位向量。
3.代数法计算向量积的公式为：c=(a2b3-a3b2)i+(a3b1-a1b3)j+(a1b2-a2b1)k其中，i、j和k是分别表示x、y和z轴的单位向量。
a1、a2和a3是向量a的坐标分量，b1、b2和b3是向量b的坐标分量。
4.叉积满足右手定则，即当右手的食指指向向量a的方向，中指指向向量b的方向时，大拇指所指的方向即为向量积c的方向。
5. 向量积的模可以通过公式，c， = ，a，，b，sinθ 来计算，其中θ为a和b的夹角。
向量积的运算公式非常重要，它有助于解决关于平面及其运动、力学等方面的问题，下面是一些应用案例：（1）力矩的计算：力矩可以通过向量积来计算。
对于一个由作用力F产生的力矩M，可以表示为：M=r×F其中，r是从力的作用点到旋转轴的矢量。
（2）平面的法向量计算：给定一平面上的两个向量a和b，可以通过叉积来计算平面的法向量n。
具体公式为：n=a×b法向量可以用来计算平面的方程以及平面上点的投影等问题。
（3）力的分解：向量积可以用于将一个力分解为两个分力的向量和。
假设力F的两个分力分别为F1和F2，那么可以计算得到：F=F1+F2其中，F1为向量积c的方向与F相同的分力，F2为向量积c的方向与F相反的分力。
（4）等式的转化：叉积可以用于将复杂的向量等式转化为不同形式的等式，以简化计算。
向量的数量积与向量垂直的判定
向量的数量积与向量垂直的判定向量是线性代数中的重要概念，而向量的数量积与向量的垂直关系更是其中的核心内容之一。
本文将针对向量的数量积与向量垂直的判定进行详细介绍，希望能够帮助读者更好地理解和掌握这一部分知识。
一、向量的数量积向量的数量积，也称为内积或点积，是两个向量之间的一种运算。
给定两个向量a=(a1, a2)和b=(b1, b2)，它们的数量积定义为：a·b = a1b1 + a2b2其中，“·”表示两个向量的数量积。
根据数量积的定义，可以得出以下性质：1.数量积的交换律：a·b = b·a2.数量积的分配律：a·(b+c) = a·b + a·c3.数量积的数乘性：k(a·b) = (ka)·b = a·(kb)，其中k是一个实数由此可见，向量的数量积是一个重要的线性运算，具有一些特殊的性质和规律。
二、向量的数量积与夹角的关系向量的数量积与向量的夹角有着密切的关系。
具体而言，两个向量a和b的数量积等于这两个向量的模长之积与它们夹角的余弦值的乘积，即：a·b = |a||b|cosθ其中，θ为向量a和b之间的夹角，|a|和|b|分别表示向量a和b的模长。
这个公式是向量的数量积与夹角之间的重要关系，也是进行向量垂直判定的基础。
三、向量的垂直判定根据向量的数量积与夹角的关系，可以得出向量垂直的判定方法。
具体而言，如果两个向量a和b的数量积为零，则这两个向量互相垂直，即：a·b = 0这是因为当两个向量的夹角为90度时，它们的余弦值为0，从而可以推出它们的数量积为0。
因此，向量的数量积为零是判定两个向量垂直的一个充分必要条件。
四、向量垂直判定的应用向量的垂直关系在实际问题中有着广泛的应用。
比如，在几何问题中，可以利用向量的垂直关系求解垂直平分线、垂直抛物线等问题；在物理问题中，可以根据向量的垂直关系求解受力平衡、矢量运动等问题。
向量的数量积公式
向量的数量积公式向量的数量积公式，又称为“矢量积”，是一种有关多维空间中两个向量之间关系的实用计算工具。
它被广泛应用于几何、力学、流体力学、磁学、电学等科学领域，被用来表示向量对外界作用的物理意义。
向量的数量积概念最早出现在17世纪，由英国数学家和物理学家斯坦利·斯特里克（Stanely Stricke）提出。
他将这种积的概念延伸到三维空间中，并命名为“矢量积”，即用“矢量”表示某一方向上的量或变化量。
用数学语言来说，向量的数量积就是把两个向量A (a1, a2, a3) 和 B(b1, b2, b3) 乘起来得到的结果：A×B= (a1*b1, a2*b2, a3*b3)其中，a1, a2, a3分别是向量A的三个分量，b1,b2, b3分别是向量B的三个分量。
如果两个向量的分量都是实数，那么这种数量积也叫标量积，公式为：A×B=a1b1+a2b2+a3b3，可以看出，标量积是将两个向量的分量分别相乘再求和得到的结果。
如果两个向量的分量都是复数，那么这种数量积也叫复数积，公式为：A×B=a1b1-a2b2-a3b3，可以看出，复数积是将两个向量的分量分别相乘，然后相减得到的结果。
另外，向量的数量积还可以是三个向量的积，比如A, B, C三个向量，其中A=(a1, a2, a3), B=(b1, b2, b3), C=(c1, c2, c3)，那么它们的数量积就是：A×B×C = (a1*b1*c1, a2*b2*c2, a3*b3*c3)向量的数量积在多维空间中具有重要的物理意义。
它可以用来表示两个向量之间的相互作用，以及描述物体在外力作用下受到的变形。
例如，如果给定一个平面上的两个力F1和F2，那么这两个力之间的数量积就可以表示出平面上物体受到的变形，即形变矩阵。
此外，由于向量的数量积具有多种物理意义，它也被广泛应用于几何、力学、流体力学、磁学、电学等领域。
向量的数量积
向量的数量积【知识概要】1. 向量的夹角对于两个非零向量,a b ，如果以O 为起点，作,0OA a B b ==，则射线OA 、0B 的夹角θ称为向量,a b 的夹角.注：（1）当θ＝０时，a 与b 同向；（2）当θ＝π时，a 与b 反向；（3）当θ＝2π时，a 与b 垂直，记a b ⊥；（4）注意在两向量的夹角定义，两向量必须是同起点的.范围0︒≤θ≤180︒.2. 向量的数量积定义：如果两个非零向量a ，b 的夹角为θ(0)θπ≤≤，那么我们把cos a b θ⋅叫做向量a 与向量b 的数量积（或内积），记作a b ⋅即a b ⋅=cos a b θ⋅.注：（1）两个向量的数量积是一个实数，不是向量，符号由cos θ的符号所决定； （2）两个向量的数量积称为内积，写成a ⋅b ；今后要学到两个向量的外积a ×b ，而a ⋅b 是两个向量的数量的积，书写时要严格区分.符号“· ”在向量运算中不是乘号，既不能省略，也不能用“×”代替； （3）“投影”的概念：作图定义：|b |cos θ叫做向量b 在a 方向上的投影.投影也是一个数量，不是向量；当θ为锐角时投影为正值；当θ为钝角时投影为负值；当θ为直角时投影为0；当θ = 0︒时投影为 |b |；当θ = 180︒时投影为 -|b |.（4）b a ⋅的几何意义：b a ⋅等于a 的长度与b 在a 方向上的投影的乘积.（5）数量积的运算性质（1）20a a a ⋅=≥，当且仅当0a a ⋅=时，0a = （2）a b b a ⋅=⋅（3）()()()()a b a b a b R λλλλ⋅=⋅=⋅∈ （4）()a b c a b a c ⋅+=⋅+⋅注：① 结合律不成立：()()c b a c b a ⋅⋅≠⋅⋅；② 消去律不成立c a b a ⋅=⋅不能得到b c =；③ b a ⋅=0不能得到a =0或b =0；④ 22a a =在向量的运算中有广泛的应用，予以重视.（6） 向量的数量积的坐标表示方法设),(11y x a = ，),(22y x b = ，则b a⋅2121y y x x +=，即两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和，a 与b 夹角为θ，则121222221122cos .x x y y a b a bx y x y θ+⋅==⋅+⋅+（7）向量垂直的充要条件设11(,)0a x y =≠，22(,)0b x y =≠，则0a b a b ⊥⇔⋅=，或02121=+y y x x .例1 已知,,a b c 是三个非零向量，下列命题中哪些是真命题？（1）//;a b a b a b ⋅=⋅⇔ （2）,;a b a b a b ⇔⋅=-反向 （3）;a b a b a b ⊥⇔+=- （4）.a b a c b c =⇔⋅=⋅ 解：（1）（2）（3）例2 下列各式中正确的是（ C ）(A) 00;a ⋅= (B) 00;a ⋅= (C) 00;a ⋅= (D) 00a ⋅=. 例3 已知向量a 与b 夹角为120θ=，且4,2a b ==，求：1）(2)();a b a b -⋅+ 2）34.a b - 解：1) 12 2) 419例4 已知(2,1),(3,4),1,9,a b a c b c =-=-⋅=-⋅=求c . 解：(1,3)c =--.例5 已知3,2,a b ==a 与b 的夹角为3π，35c a b =+，3d ma b =-.当m 为何值时，c 与d 相互垂直？解：29.14m =例6 在边长为1的等边三角形ABC 中，若,,,BC a CA b AB c ===求.a b b c c a ⋅+⋅+⋅ 解：注意夹角，结果为32-. 例7 已知向量3a b +与433a b -垂直，且向量23a b +与3a b -垂直，0,0a b ≠≠，求a 与b 的夹角θ.解：6arccos 6θ=.1. 已知a =1, b =2,且a b -与a 垂直,则a 与b 的夹角是 ( )A. 60°B. 30°C. 135°D. 45°答案：D ∵a ·(a -b )=a 2-a ·b =0,∴a ·b =1=1·2cos θ,∴cos θ=21.2. 已知a =2, b =1, a 与b 之间的夹角为3π,则向量4m a b =-的模为 ( ) A. 2 B. 23 C. 6 D. 12答案：B |m |=2m =323cos 1620cos 128162816222=πθ-=θ⨯⨯-+=⋅-+b a b a3. a 与b 是两个非零向量, 222()a b a b +=+是a b ⊥的 ( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分又不必要条件答案：C 展开得:a 2+b 2+2a ·b =a 2+b 2⇔a ·b =0. 4. 若a =(-4,3), b =(5,6),则234a a b -⋅等于 ( ) A.23 B.57 C.63 D.83 答案：D 原式=3(42+32)-4·(-20+18)=83.5. 已知a =(λ,2), b =(-3,5)且a 与b 的夹角为钝角，则λ的取值范围是 ( )A.λ>310 B.λ≥310 C.λ<310 D.λ≤310 答案：A ∵a ·b =10-3λ,|a |=24λ+,|b |=34,∴由cos α=2434310λ+⋅λ-<0得λ>310. 6. 已知a =(4,3),向量b 是垂直a 的单位向量，则b 等于 ( )A.⎪⎭⎫ ⎝⎛54,53或⎪⎭⎫ ⎝⎛53,54 B ⎪⎭⎫ ⎝⎛53,54或⎪⎭⎫ ⎝⎛--54,53 C ⎪⎭⎫ ⎝⎛-54,53或⎪⎭⎫ ⎝⎛-53,54 D ⎪⎭⎫ ⎝⎛-54,53或⎪⎭⎫ ⎝⎛-54,53 答案：D 设b =(x ,y ),则x 2+y 2=1且4x +3y =0解方程组得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-==5453y x 或⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=5453y x .7. 已知a =(2,3), b =(-4,7),则a 在b 方向上的投影为 ( )A.55 B.55- C.565 D.1313答案：C ∵a ·b =2×(-4)+3×7=13,|a |=13,|b|=65,∴13=6513⨯·cos θ,∴|a |·cos θ=5656513=. 8. 已知向量a 与b 的夹角为3π,2,1,a b ==则a b a b +⋅-= .答案：由已知条件得:a ·b =1,故原式=21)214()214()()(22=-+⋅++=-⋅+b a b a9. 已知a b ⊥，c 与a 、b 的夹角均为60°,且1,2,3,a b c === 则2(2)a b c +-= .答案：由条件得:c ·a =3×1×cos60°=23,c ·b =3×2·cos60°=3. ⇒原式=a 2+4b 2+c 2+2a ·c +4a ·b -4b ·c =1+16+9+3-12=17.10. 已知a =(1,2), b =(1,1), c =b -k a ,若c ⊥a ,则c = . 答案：∵c =(1-k ,1-2k ),∴由c ·a =0得1·(1-k )+2(1-2k )=0得k =53⇒c =⎪⎭⎫ ⎝⎛-51,52.11. 已知点A (1,0),B (3,1),C (2,0),且a =BC ,b =CA ,则a 与b 的夹角为 .答案：a =(-1,-1),b =(-1,0)⇒|a |=2,|b |=1,由a ·b =2cos θ得:(-1)·(-1)+(-1)·0=2cos θ⇒cos θ=22⇒θ=45°.12. 在△ABC 中,AB =(2,3),AC =(1,k ),且△ABC 的一个内角为直角，求k 的值.解： ①当∠A =90°时,因为AB ·AC =0, ∴2×1+3·k =0,∴k =-32. ②当∠B =90°时,BC =AC -AB =(1-2,k -3)=(-1,k -3) ∵AB ·BC =0,∴2×(-1)+3×(k -3)=0⇒k =311. ③当∠C =90°时,∵AC ·BC =0,∴-1+k ·(k -3)=0,k 2-3k -1=0⇒k =233±. ∴k 的取值为:-32,311或233±.13. 已知：a 、b 、c 是同一平面内的三个向量，其中a =（1，2） （1）若|c |52=，且a c //，求c 的坐标； （2）若|b |=,25且b a 2+与b a -2垂直，求a 与b 的夹角θ. 解：（1）设),(y x c =，由a c //和52||=c 可得：⎩⎨⎧2002122=+=⋅-⋅y x x y ∴ ⎩⎨⎧42==y x 或 ⎩⎨⎧42-=-=y x ∴)4,2(=c ，或)4,2(--=c（2） ),2()2(b a b a -⊥+ 0)2()2(=-⋅+∴b a b a 即222320,a a b b +⋅-=222||32||0a a b b ∴+⋅-= ∴ 0452352=⨯-⋅+⨯b a ， 所以25-=⋅b a∴ ,1||||c o s -=⋅⋅=b a ba θ ∵ ],0[πθ∈ ， ∴ πθ=.14. 平面内给定三个向量：)1,4(),2,1(),2,3(=-==c b a 。
向量的数量积与向量积的计算法则
向量的数量积与向量积的计算法则向量是数学中的一个重要概念，它在物理学、工程学等领域中有着广泛的应用。
在向量的运算中，数量积和向量积是两个常见的运算法则。
本文将分别介绍向量的数量积和向量积的计算法则。
一、向量的数量积向量的数量积，也称为点积或内积，是两个向量之间的一种运算。
假设有两个向量A和B，它们的数量积记作A·B。
数量积的计算方法如下：A·B = |A| |B| cosθ其中，|A|和|B|分别表示向量A和B的模长，θ表示两个向量之间的夹角。
数量积有一些重要的性质。
首先，数量积是一个标量，即结果是一个实数而不是一个向量。
其次，如果两个向量的数量积为0，那么它们是垂直的。
这是因为当θ=90°时，cosθ=0，所以A·B=0。
这个性质在物理学中有着重要的应用，例如判断力的方向是否与位移方向垂直。
数量积还有一个重要的应用是计算向量的投影。
假设有一个向量A和一个单位向量u，我们可以通过数量积计算A在u方向上的投影。
投影的计算公式为：Proj_u A = (A·u)u这个公式可以用来计算向量在某个方向上的分量，例如计算力在某个方向上的分量。
二、向量的向量积向量的向量积，也称为叉积或外积，是两个向量之间的一种运算。
假设有两个向量A和B，它们的向量积记作A×B。
向量积的计算方法如下：A×B = |A| |B| sinθ n其中，|A|和|B|分别表示向量A和B的模长，θ表示两个向量之间的夹角，n表示一个垂直于A和B所在平面的单位向量，它的方向由右手法则确定。
向量积也有一些重要的性质。
首先，向量积是一个向量，即结果是一个有方向的量。
其次，向量积的模长等于两个向量构成的平行四边形的面积。
这个性质在计算平面几何中有着重要的应用，例如计算两条直线的夹角。
向量积还有一个重要的应用是计算力矩。
假设有一个力F作用在一个点P上，力矩的计算公式为：M = r×F其中，r表示从参考点到作用点P的位矢，F表示力的大小和方向。
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1,共线向量定理:对于空间任意两个向量 ,共线向量定理: a, b,a // b 的充要条件是 a =λb , .
2,共面向量定理:如果两个向量 a ,b 不共 ,共面向量定理: 线,则向量 P 与向量 a, b 共面的充要条件 是存在实数x,y, 是存在实数 ,使 P = x a+ y b .
3,向量的数量积:a=(x1,y1,z1) ,b=(x2,y2,z2) ,向量的数量积: 则 ab=
a b cos < a, b > .
x1x2 + y1 y2 + z1z2 a b = (1) cos < a , b >= 2 2 2 2 2 2 a b x1 + y1 + z1 x2 + y2 + z2
C
A
B
例2 如图,在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,求直线CB1与D1B 所成角的正弦值. z D1 A1 B1 C1
D A x B
C
y
D1 A1 F1 E1 B1
C1
D A B F E
CБайду номын сангаас
用向量方法证明不等式: 例3 用向量方法证明不等式:
(a1b1 +a2b2 +a3b3) ≤(a +a +a )(b +b +b )
2 2 1 2 2 2 3 2 1 2 2 2 3
例4 求证: 求证:如果两条平行直线中的一条垂直 于一个平面,那么另一条也垂直于同一平面. 于一个平面,那么另一条也垂直于同一平面.
已知: ⊥ 已知:AB⊥α于A, AB//CD 求证: ⊥ 求证:CD⊥α
z B D
i α x
k A j
C y
练习:讲义 练习:讲义P69
�
x1 y1 z1 = = x2 y2 z2
(2) a // b 的充要条件是: 的充要条件是:
(3) a⊥b 充要条件是: ⊥b 充要条件是: a b =0 或 x1x2+y1y2+z1z2=0
例1 证明: 证明:ΔABC 中,
AB 2 = AC 2 + BC 2 2 AC BC cos C