弹性力学及有限元介绍
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弹性力学与有限元完整版
2. 均匀性假设
假设弹性物体是由同一类型的均匀材料组成的， 物体各个部分的物理性质都是相同的，不随 坐标位置的变化而改变。在处理问题时，可 以取出物体的任意一个小部分讨论。。
3. 各向同性假设
– 假定物体在各个不同的方向上具有相同的物理性质，物体的弹性 常数不随坐标方向变化。
像木材、竹子以及纤维增强材料等，属于各向异性材料，它们是复合材 料力学研究的对象。
• 弹性：假定“完全弹性”关系，是抽象出
来的理想模型。 • 完全弹性是指在一定温度条件下，材料的
应力和应变之间具有一一对应的关系。
• 应力—应变关系称为本构关系。
• 材料模型包括：
–线性弹性体 –非线性弹性体
1.2 弹性力学的基本假定
1. 连续性假设
根据这一假设，物体的所有物理量，例如位 移、应变和应力等均成为物体所占空间的连 续函数。
但物理方程不同。 从空间问题推得。
• ① 平面应力的物理关系
• ① 平面应力的物理关系
D
1 μ 0
[D]
E 1 μ2
μ
1
0 1 μ
0 0
2
• ② 平面应变的物理关系
z yz = zx 0
• ② 平面应变的物理关系
u
f
v
w
形变和位移之间的关系：
• 位移确定 → 形变完全确定：
从物理概念看，各点的位置确定，则微分线段上的形变 确定 。
从数学推导看，位移函数确定，则其导数（形变）确定 。
• 形变确定，位移不完全确定 ：
从物理概念看，ε、γ确定，物体还可作刚体位移。 从数学推导看，ε、γ确定，求位移是积分运算，出现待 定函数。
假设弹性物体是由同一类型的均匀材料组成的， 物体各个部分的物理性质都是相同的，不随 坐标位置的变化而改变。在处理问题时，可 以取出物体的任意一个小部分讨论。。
3. 各向同性假设
– 假定物体在各个不同的方向上具有相同的物理性质，物体的弹性 常数不随坐标方向变化。
像木材、竹子以及纤维增强材料等，属于各向异性材料，它们是复合材 料力学研究的对象。
• 弹性：假定“完全弹性”关系，是抽象出
来的理想模型。 • 完全弹性是指在一定温度条件下，材料的
应力和应变之间具有一一对应的关系。
• 应力—应变关系称为本构关系。
• 材料模型包括：
–线性弹性体 –非线性弹性体
1.2 弹性力学的基本假定
1. 连续性假设
根据这一假设，物体的所有物理量，例如位 移、应变和应力等均成为物体所占空间的连 续函数。
但物理方程不同。 从空间问题推得。
• ① 平面应力的物理关系
• ① 平面应力的物理关系
D
1 μ 0
[D]
E 1 μ2
μ
1
0 1 μ
0 0
2
• ② 平面应变的物理关系
z yz = zx 0
• ② 平面应变的物理关系
u
f
v
w
形变和位移之间的关系：
• 位移确定 → 形变完全确定：
从物理概念看，各点的位置确定，则微分线段上的形变 确定 。
从数学推导看，位移函数确定，则其导数（形变）确定 。
• 形变确定，位移不完全确定 ：
从物理概念看，ε、γ确定，物体还可作刚体位移。 从数学推导看，ε、γ确定，求位移是积分运算，出现待 定函数。
弹性力学与有限元的关系
弹性力学和有限元关系：
弹性力学也称弹性理论，主要研究弹性体在外力作用或温度变化等外界因素下所产生的应力、应变和位移，从而解决结构或机械设计中所提出的强度和刚度问题。
在研究对象上，弹性力学同材料力学和结构力学之间有一定的分工。
材料力学基本上只研究杆状构件；结构力学主要是在材料力学的基础上研究杆状构件所组成的结构，即所谓杆件系统；而弹性力学研究包括杆状构件在内的各种形状的弹性体。
在有限单元法中，选择节点位移作为基本未知量时称为位移法；选择节点力作为基本未知量时称为力法；取一部分节点力和一部分节点位移作为基本未知量时称为混合法。
位移法易于实现计算自动化，所以，在有限单元法中位移法应用范围最广。
当采用位移法时，物体或结构物离散化之后，就可把单元总的一些物理量如位移，应变和应力等由节点位移来表示。
这时可以对单元中位移的分布采用一些能逼近原函数的近似函数予以描述。
通常，有限元法我们就将位移表示为坐标变量的简单函数。
这种函数称为位移模式或位移函数。
(同济大学)第1讲_弹性力学及有限元方法概述
有限元分析
的一般规律物体在空间的位置随时间的改变
对象内容
任务
对象内容
任务
概述
ANSYS 静力分析z起重机械有限元应用
整机模态分析
车辆安全性
工件淬火3.06 min 时的温度、组织分布(NSHT3D)
同济大学
同济大学
金属反挤压成型：温度分布和变化铸造成型：温度变化和气泡
速度
压力导流管分析
超音速飞行压力分布汽车气动分析
高速导弹气动
同济大学
两根热膨胀系数不同的棒焊接在一起，加热后的变形情况
子结构方法分析大型结构的早期应用法
梁单元
建模时充分利用重复性。
弹性力学与有限元完整版
xy、 xz、 yx yz、 zx、 zy
Z面 X面
•②应力符号意义
•正应力： 由法线方向确定
x、 y、 z
•剪应力： xy
作用面
作用方向
•符号规定：
正面上与坐标轴正向一致，为正；
负面上与坐标轴负向一致，为正。
正面 负面
Z面
X面
•③剪应力互等定理
xy yx
相等
yz zy
xz zx
4. 完全弹性假设
应力和应变之间存在一一对应关系，与时间及变形历史无关。满 足胡克定理。
5. 小变形假设
在弹性体的平衡等问题讨论时，不考虑因变形所引起的几何尺寸 变化，使用物体变形前的几何尺寸来替代变形后的尺寸。采用这 一假设，在基本方程中，略去位移、应变和应力分量的高阶小量 ，使基本方程成为线性的偏微分方程组。
大小和方向不同。
体力分量：将体力沿三个坐标轴xyz 分解，用X
、Y、Z表示，称为体力分量。
符号规定：与坐标轴方向一致为正，反之为负
。 应该注意的是：在弹性力学中，体力是指单位
体积的力 。
体力的因次：[力]/[长度]^3
表示：F={X Y Z}
② 面力
与体力相似，在物体表面上任意一点P 所受面力的大小 和方向，在P点区域取微小面积元素△S ，
压力，物体之间的接触力等。
集中力——作用物体一点上的力。（在弹性力学中一
般所受体力的大小和方向，在P点区域取
一微小体积元素△V， 设△V 的体力合力为△F，则
△V 的平均体力为
当△V 趋近于0， 则为P点的体力
体力是矢量：一般情况下，物体每个点体力的
第一篇 弹性力学
第一章 弹性力学基本方程
1.1 绪论 1.2 弹性力学的基本假定 1.3 几个基本概念 1.4 弹性力学基本方程
Z面 X面
•②应力符号意义
•正应力： 由法线方向确定
x、 y、 z
•剪应力： xy
作用面
作用方向
•符号规定：
正面上与坐标轴正向一致，为正；
负面上与坐标轴负向一致，为正。
正面 负面
Z面
X面
•③剪应力互等定理
xy yx
相等
yz zy
xz zx
4. 完全弹性假设
应力和应变之间存在一一对应关系，与时间及变形历史无关。满 足胡克定理。
5. 小变形假设
在弹性体的平衡等问题讨论时，不考虑因变形所引起的几何尺寸 变化，使用物体变形前的几何尺寸来替代变形后的尺寸。采用这 一假设，在基本方程中，略去位移、应变和应力分量的高阶小量 ，使基本方程成为线性的偏微分方程组。
大小和方向不同。
体力分量：将体力沿三个坐标轴xyz 分解，用X
、Y、Z表示，称为体力分量。
符号规定：与坐标轴方向一致为正，反之为负
。 应该注意的是：在弹性力学中，体力是指单位
体积的力 。
体力的因次：[力]/[长度]^3
表示：F={X Y Z}
② 面力
与体力相似，在物体表面上任意一点P 所受面力的大小 和方向，在P点区域取微小面积元素△S ，
压力，物体之间的接触力等。
集中力——作用物体一点上的力。（在弹性力学中一
般所受体力的大小和方向，在P点区域取
一微小体积元素△V， 设△V 的体力合力为△F，则
△V 的平均体力为
当△V 趋近于0， 则为P点的体力
体力是矢量：一般情况下，物体每个点体力的
第一篇 弹性力学
第一章 弹性力学基本方程
1.1 绪论 1.2 弹性力学的基本假定 1.3 几个基本概念 1.4 弹性力学基本方程
第2章_弹性力学基础及有限元法的基本原理1
W U
当外力的形式是多样的时，外力的虚功等于：
W f Pc f Pv dV f Ps dS
T T T v s
• 1.4 平面问题定义
严格地讲，任何结构都是空间的。对于某些特殊情 况，空间问题可以转化为平面问题。
（1）平面应力问题 满足条件： 1）几何条件 厚度尺寸远远小于截面尺寸； 2）载荷条件 载荷平行于板平面且沿厚度方向均匀 分布，而板平面不受任何外力作用。
1）位移函数 分片插值→ 假设一种函数来表示单元位移分布 一般选取多项式（简单而且易求导）
可用于离散的单元： • 三角形单元； • 矩形单元； • 不规则四边形单元。 DOF 节点的自由度：节点所具有的位移分量的数量。 一个单元所有节点的自由度总和称为单元自由度。 （1）单元参数只能通过节点传递到相邻单元 （2）单元和节点必须统一编号
2.2 单元分析（位移、应力、应变） 任务：形成单元刚度矩阵，建立单元特性方程 因此必须建立坐标系，如下图：
1D问题的弹性模量
E杨氏弹性模量
泊松比是指材料在单向受拉或受压时，横向正应变与轴向 正应变的绝对值的比值，也叫横向变形系数，它是反映材 料横向变形的弹性常数。 若在弹性范围内加载，横向应变εx与纵向应变εy之间存 在下列关系： εx=- νεy 式中ν为材料的一个弹性常数，称为泊松比。泊松比是 量纲为一的量。 可以这样记忆：空气的泊松比为0，45#钢0.3，水的泊松 比为0.5，中间的可以推出。
• 未知数 应力 6个+应变 6个+位移 3个=15个 • 方程个数 平衡方程 3个+几何方程6个+物理方程6个=15个 原则上可以根据15个方程求出15个未知物理量 但实际求解时先求出一部分再通过方程求解剩下的。 目前有限元法主要采用的是位移法，以三个位移 分量为基本未知量。位移-应变-应力，应力和外力平衡
2 弹性力学与有限元法
•剪应力
图1
2013-7-21
8
Institute of Mechanical Engineering and Automation
[ 应力的概念 ]
•正应力 为了表明这个正应力的作用面和作用方向，加上一个 角码，例如，正应力σx是作用在垂直于x轴的面上同时也 沿着x轴方向作用的。 •剪应力 加上两个角码，前一个角码表明作用面垂直于哪一个坐 标轴，后一个角码表明作用方向沿着哪一个坐标轴。例如， 剪应力τxy是作用在垂直于x轴的面上而沿着y轴方向作用的。
[ 几何方程、刚体位移 ]
•求剪应变 xy ，也就是线素AB与AD之间的直角的改变 •x向线素AB的转角 a y向线素AD的转角 b
y
u u dy y
C'
v
v dy y
D" b D '
D C
•A点在y方向的位移分量 为v； •B点在y方向的位移分量：
v
u
A
A'
a
dy
B'
v v dx x
连续性假设
2013-7-21
完全弹性假设 均匀性和各向同性假设 小变形、小转动假设 自然状态假设（无初始应力）
4
Institute of Mechanical Engineering and Automation
基本定律
牛顿定律
动量平衡原理
⇨ 平衡(运动)微分方程
⇨ 应力张量的对称性
u dx x
u
A'
a
A dx 0
2013-7-21
B
u u dx x
B"
x
图2
弹性力学及有限元法：第1章 弹性力学基本理论
（1.7）
z
A
o
y
x
zy
zx
x
yx xz xy
yz x P
xy
xz zx
yz
y yx
B
zy z
zx zy z
图1-2 微小正方体元素的应力状态
其中，σ为正应力，下标表示作用面和作用方向；τ是剪应力，第
一下标表示截面外法线方向，第二下标表示剪应力的方向。
14
1.1.3 应力
应力分量的符号规定：若应力作用面的外法线方向与坐标轴 的正方向一致，则该面上的应力分量就以沿坐标轴的正方向为正 ，沿坐标轴的负方向为负。相反，如果应力作用面的外法线是指 向坐标轴的负方向，那么该面上的应力分量就以沿坐标轴的负方 向为正，沿坐标轴的正方向为负。
4
1.1.1 弹性力学及其基本假设
弹性力学与材料力学的区别
弹性力学与材料力学(Strengths of Materials)在研究对象、研究 内容和基本任务方面有许多是相同的，但是二者的研究方法有较大 差别。
研究对象几何形状
描述方程 求解难易程度
适用范围
材料力学
杆状构件
常微分方程 容易 窄
弹性力学
8
1.1.2 外力与内力
（1）外力
作用于物体的外力通常可分为两类： 面力(Surface Force) 体力(Body Force)
9
1.1.2 外力与内力
面力是指分布在物体表面上的外力，包括分布力(Distributed Force)和集中力(Concentrated Force)，如压力容器所受到的内压、 水坝所受的静水压力、物体和物体之间的接触压力等等。通常情 况下，面力是物体表面各点的位置坐标的函数。
弹性力学及有限元
热传导案例
总结词
热传导是有限元分析中用于模拟物体内部热量传递规律的应用之一。
详细描述
在电子、机械、化工和材料等领域，热传导分析用于研究材料的热性能、热应力和热变形等。通过有 限元方法，可以模拟物体内部的热量传递过程，预测温度分布和热应力分布，优化材料和系统的热设 计。
06
结论展望
结论
01
02
有限元分析
有限元分析是一种数值分析方法，通过将复杂的物体或系统离散 化为有限个小的单元（或称为元素），并分析这些单元的应力、 应变和位移，从而对整个物体或系统的行为进行预测和分析。
主题的重要性
工程应用
弹性力学和有限元分析在工程领域中具有广泛的应用，如结 构分析、机械设计、航空航天、土木工程等。通过这些方法 ，工程师可以更准确地预测和分析结构的性能，优化设计， 提高安全性。
03
04
研究意义
弹性力学及有限元分析在工程 领域具有广泛应用，为复杂结 构的分析提供了有效方法。
主要成果
本文系统地介绍了弹性力学的 基本原理和有限元分析的方法 ，并通过实例验证了其有效性 。
研究限制
由于时间和资源的限制，本研 究未能涵盖所有相关领域，未 来研究可进一步拓展。
对实践的指导意义
本文为实际工程中的结构分析 提供了理论依据和实践指导， 有助于提高结构的安全性和稳 定性。
优势
有限元方法具有广泛的适用性，可以用于求解各种复杂的物理问题；能够处理 复杂的几何形状和边界条件；可以通过增加单元数目来提高解的精度；可以方 便地处理非线性问题和材料非均质性问题等。
局限性
有限元方法需要较大的计算资源和时间，尤其对于大规模问题；对于某些特殊 问题（如高速冲击、爆炸等），需要采用特殊处理方法；对于多物理场耦合问 题，需要采用多场耦合有限元方法等。
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有限元法是一种高效能、常用的求解微分方程的计算方法。有限元法在早期是以变分原理为基础发展起来的，所以它广泛地应用于以拉普拉斯方程和泊松方程所描述的各类物理场中。其基本思想是由解给定的泊松方程化为求解泛函的极值问题。基本原理是将连续的求解域离散为一组单元的组合体，用在每个单元内假设的近似函数来分片的表示求解域上待求的未知场函数，近似函数通常由未知场函数及其导数在单元各节点的数值插值函数来表达，从而使一个连续的无限自由度问题变成离散的有限自由度问题。
第一题（20分）
变分法中的符号与微积分中的符号均表示微小变化，请问二者有何关系？如何理解在理论上有了则不需要有符号。
解答：（1）二者的关系。
d是无限小的增量，是一个微分符号，表示了一个函数的局部线性近似。对于函数，dx反应的是一个函数在x=x0附近的微小变化，也就是自变量的变化。d作为一个微分符号，dx必须与其他微分符号如同dy、dt成对出现。
有限元方法在基础沉降计算中的应用及工程实例：在连续介质中，对于一般土体可以采用非线性弹性本构模型或弹塑性本构模型，考虑复杂的边界条件、土体应力应变关系的非线性特性、土体的应力历史和水与骨架上应力的耦合效应，可以考虑土与结构的共同作用、土层的各向异性，还可以模拟现场逐级加荷，能考虑侧向变形及三维渗流对沉降的影响，并能求得任意时刻的沉降、水平位移、孔隙压力和有效应力的变化。从计算方法上来说，由于其计算参数多，且需通过三轴试验确定，程序复杂难以为一般工程设计入员接受，在实际工程中没有得到普遍应用，只能用于重要工程、重要地段的地基沉降的计算。有限元的发展趋势及方向：
以位置函数作为基本未知量，消Fra bibliotek其他未知量，其基本过程为：
将 代入得
将平衡方程代入上式，得：
弹性力学应力法的数学模型：以应力函数为基本未知量，消去其他未知量，其基本过程如下：
（1）几何方程
（2）将数学方程代入上式得
（3）平衡方程
第四题（20分）
以平面应力弹性力学问题为例说明最小位能原理（能量法－泛函极值）对问题的描述完全等价于第一题中的位移法描述（微分形式）。由于能量变分法得到的最终结果是虚位移原理，那么上述问题就变换为证明虚位移原理同原来位移法微分数学模型等价。
到目前为止，有一大批的有限元分析软件，如ANSYS，ABAQUS等。现在这些大型有限元通用软件已经可以解决比较复杂的问题了。
限元法在群桩基础中的应用：将有限元数值模拟分析方法应用于群桩工作性状的分析上，在此基础上运用ANSYS软件对群桩进行有限元数值模拟，采用三维建模，得到桩数、承台尺寸，对群桩效应的影响；不同位置的基桩的受力情况；以及桩侧摩阻力的分布性状。通过分析结果达到改进和提高群桩设计及施工的安全和经济的目的。
第三题（20分）
以平面应力弹性力学问题为例，写出其8方程数学模型。并从中导出位移解法数学模型以及应力解法数学模型。
第四题（20分）
以平面应力弹性力学问题为例说明最小位能原理（能量法－泛函极值）对问题的描述完全等价于第一题中的位移法描述（微分形式）。
第五题（20）
谈一谈有限单元法在工程上的使用（可结合具体实例）；说明有限单元法今后的发展方向（理论与软件两个层面）（20分）。
虚位移原理（最小位能原理）
由于
所以有：
由于（1）
（2）
（3）
所以
从而有：
于是
第五题（20）
谈一谈有限单元法在工程上的使用（可结合具体实例）；说明有限单元法今后的发展方向（理论与软件两个层面）（20分）。
我对有限元法的认识：1960年，Clough在求解平面弹性问题时，第一次提出了“有限单元法”的概念，从此，有限元诞生并成为一门新兴的学科。
平面问题的几何方程: 揭示的是形变分量与位移分量间的相互关系。应注意当物体的位移分量完全确定时，形变量即完全确定。反之，当形变分量完全确定时，位移分量却不能完全确定。
平面问题中的物理方程：揭示的是形变分量与应力分量间的相互关系。应注意平面应力问题和平面应变问题物理方程的转换关系。
弹性力学位移法的数学模型：
有限元法作为一种求解偏微分方程的数值计算方法。它具有通用性和实用性。有限元数值计算方法有：位移有限单元法、应力有限元法和杂交有限元法。最传统的有限元法为位移有限单元法，以位移作为基本求解。对于一个力学问题的描述有两种方法：（1）微元分析法；（2）虚位移原理。弹性力学数学模型的求解问题可以等价为求解某个泛函指标的极值宗量问题。有限元方法最早应用于结构力学，后来随着计算机的发展慢慢用于流体力学的数值模拟。
证明：
第三题（20分）
以平面应力弹性力学问题为例，写出其8方程数学模型。并从中导出位移解法数学模型以及应力解法数学模型。
平面问题中的平衡微分方程：揭示的是应力分量与体力分量间的相互关系。应注意两个微分方程中包含着三个未知函数 σx、σy、τxy=τyx ，所以，决定应力分量的问题是超静定的，还必须考虑形变和位移。
弹性力学与有限单元法（报告）
姓名：尚建波学号：201314010624班级：土木F1307
第一题（20分）
变分法中的 符号与微积分中的 符号均表示微小变化，请问二者有何关系？如何理解在理论上有了 则不需要有 符号。
第二题（20分）
设 ， 不显含x，证明：当 满足固定边界条件 ， 时， 取极值的必要条件为： ， 为常数。
由于δ作用于泛函类似于d作用于函数，所以δ与d的运算规律大体上是类似的。
（2）如何理解在理论上有了 则不需要有 符号？
d是无限小的增量，只是微分符号，表示函数的局部线性近似。δ是无限小的量，是一种假想的移动量是两个函数的线性近似，比d更能表述函数的微小变化，所以我个人理解有δ的时候就不需要d。
第二题（20分）设 ， 不显含x，证明：当 满足固定边界条件 ， 时， 取极值的必要条件为： ， 为常数。
δ是无限小的量，这个符号表示变分，所谓变分是一种假想的移动量，比如我假象一条路径x(t)如果x做了一个微小改变，那么记做δx。δ(x)反应的是对某个函数在其定义域内的变化，也就是如果f(x)是一个函数，f(x)+δ(x)也是一个函数，且||δ(x)||很小。这个涉及泛函。泛函是函数的一种推广，是以函数为自变量的映射J=J[y]，该自变量不是以函数的值为自变量，而是以函数本身为自变量，比如一个函数在某个区间上的积分。同时，函数本身也可以当作特别的泛函。
试 卷 要 求
1 要求字迹工整，书写清楚；
2绝对不允许以任何形式整体拷贝讲义或他人试卷，如有雷同卷子（包括个别题的雷同），一律按不及格处理（评阅教师具有试卷雷同认定权）；
3 本试卷页作为报告的扉页，与报告内容采用统一纸张装订；
4 不符合要求的报告按不及格处理（评阅教师具有不符合要求报告的认定权）。
解答报告
第一题（20分）
变分法中的符号与微积分中的符号均表示微小变化，请问二者有何关系？如何理解在理论上有了则不需要有符号。
解答：（1）二者的关系。
d是无限小的增量，是一个微分符号，表示了一个函数的局部线性近似。对于函数，dx反应的是一个函数在x=x0附近的微小变化，也就是自变量的变化。d作为一个微分符号，dx必须与其他微分符号如同dy、dt成对出现。
有限元方法在基础沉降计算中的应用及工程实例：在连续介质中，对于一般土体可以采用非线性弹性本构模型或弹塑性本构模型，考虑复杂的边界条件、土体应力应变关系的非线性特性、土体的应力历史和水与骨架上应力的耦合效应，可以考虑土与结构的共同作用、土层的各向异性，还可以模拟现场逐级加荷，能考虑侧向变形及三维渗流对沉降的影响，并能求得任意时刻的沉降、水平位移、孔隙压力和有效应力的变化。从计算方法上来说，由于其计算参数多，且需通过三轴试验确定，程序复杂难以为一般工程设计入员接受，在实际工程中没有得到普遍应用，只能用于重要工程、重要地段的地基沉降的计算。有限元的发展趋势及方向：
以位置函数作为基本未知量，消Fra bibliotek其他未知量，其基本过程为：
将 代入得
将平衡方程代入上式，得：
弹性力学应力法的数学模型：以应力函数为基本未知量，消去其他未知量，其基本过程如下：
（1）几何方程
（2）将数学方程代入上式得
（3）平衡方程
第四题（20分）
以平面应力弹性力学问题为例说明最小位能原理（能量法－泛函极值）对问题的描述完全等价于第一题中的位移法描述（微分形式）。由于能量变分法得到的最终结果是虚位移原理，那么上述问题就变换为证明虚位移原理同原来位移法微分数学模型等价。
到目前为止，有一大批的有限元分析软件，如ANSYS，ABAQUS等。现在这些大型有限元通用软件已经可以解决比较复杂的问题了。
限元法在群桩基础中的应用：将有限元数值模拟分析方法应用于群桩工作性状的分析上，在此基础上运用ANSYS软件对群桩进行有限元数值模拟，采用三维建模，得到桩数、承台尺寸，对群桩效应的影响；不同位置的基桩的受力情况；以及桩侧摩阻力的分布性状。通过分析结果达到改进和提高群桩设计及施工的安全和经济的目的。
第三题（20分）
以平面应力弹性力学问题为例，写出其8方程数学模型。并从中导出位移解法数学模型以及应力解法数学模型。
第四题（20分）
以平面应力弹性力学问题为例说明最小位能原理（能量法－泛函极值）对问题的描述完全等价于第一题中的位移法描述（微分形式）。
第五题（20）
谈一谈有限单元法在工程上的使用（可结合具体实例）；说明有限单元法今后的发展方向（理论与软件两个层面）（20分）。
虚位移原理（最小位能原理）
由于
所以有：
由于（1）
（2）
（3）
所以
从而有：
于是
第五题（20）
谈一谈有限单元法在工程上的使用（可结合具体实例）；说明有限单元法今后的发展方向（理论与软件两个层面）（20分）。
我对有限元法的认识：1960年，Clough在求解平面弹性问题时，第一次提出了“有限单元法”的概念，从此，有限元诞生并成为一门新兴的学科。
平面问题的几何方程: 揭示的是形变分量与位移分量间的相互关系。应注意当物体的位移分量完全确定时，形变量即完全确定。反之，当形变分量完全确定时，位移分量却不能完全确定。
平面问题中的物理方程：揭示的是形变分量与应力分量间的相互关系。应注意平面应力问题和平面应变问题物理方程的转换关系。
弹性力学位移法的数学模型：
有限元法作为一种求解偏微分方程的数值计算方法。它具有通用性和实用性。有限元数值计算方法有：位移有限单元法、应力有限元法和杂交有限元法。最传统的有限元法为位移有限单元法，以位移作为基本求解。对于一个力学问题的描述有两种方法：（1）微元分析法；（2）虚位移原理。弹性力学数学模型的求解问题可以等价为求解某个泛函指标的极值宗量问题。有限元方法最早应用于结构力学，后来随着计算机的发展慢慢用于流体力学的数值模拟。
证明：
第三题（20分）
以平面应力弹性力学问题为例，写出其8方程数学模型。并从中导出位移解法数学模型以及应力解法数学模型。
平面问题中的平衡微分方程：揭示的是应力分量与体力分量间的相互关系。应注意两个微分方程中包含着三个未知函数 σx、σy、τxy=τyx ，所以，决定应力分量的问题是超静定的，还必须考虑形变和位移。
弹性力学与有限单元法（报告）
姓名：尚建波学号：201314010624班级：土木F1307
第一题（20分）
变分法中的 符号与微积分中的 符号均表示微小变化，请问二者有何关系？如何理解在理论上有了 则不需要有 符号。
第二题（20分）
设 ， 不显含x，证明：当 满足固定边界条件 ， 时， 取极值的必要条件为： ， 为常数。
由于δ作用于泛函类似于d作用于函数，所以δ与d的运算规律大体上是类似的。
（2）如何理解在理论上有了 则不需要有 符号？
d是无限小的增量，只是微分符号，表示函数的局部线性近似。δ是无限小的量，是一种假想的移动量是两个函数的线性近似，比d更能表述函数的微小变化，所以我个人理解有δ的时候就不需要d。
第二题（20分）设 ， 不显含x，证明：当 满足固定边界条件 ， 时， 取极值的必要条件为： ， 为常数。
δ是无限小的量，这个符号表示变分，所谓变分是一种假想的移动量，比如我假象一条路径x(t)如果x做了一个微小改变，那么记做δx。δ(x)反应的是对某个函数在其定义域内的变化，也就是如果f(x)是一个函数，f(x)+δ(x)也是一个函数，且||δ(x)||很小。这个涉及泛函。泛函是函数的一种推广，是以函数为自变量的映射J=J[y]，该自变量不是以函数的值为自变量，而是以函数本身为自变量，比如一个函数在某个区间上的积分。同时，函数本身也可以当作特别的泛函。
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