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因式分解知识点总结及典型试题
因式分解知识点总结及典型试题知识点一：因式分解的总体思路第一步：定项（以加减号为准，区分三项以下的和三项以上的两种因式分解）第二步：三项以下的要观察是否有公因式，有公因式先公因式提再分解。
第三步：三项以上的要分组，分组后再用公式法分解。
第四步：用公式法分解（如果是两项用平方差；三项用完全平方或十字相乘法）知识点二：公因式确定方法：各项中系数取最大公因数，相同字母取最低次幂，乘起来作为公因式1．（2016•平南县二模）分解因式m﹣ma2的结果是（）A．m（1+a）（1﹣a）B．m（1+a）2C．m（1﹣a）2D．（1﹣a）（1+a）2．（2016春•东湖区校级月考）计算：22014﹣（﹣2）2015的结果是（）A．22015B．22014C．﹣22014D．3×220143．（2015•菏泽）把代数式ax2﹣4ax+4a分解因式，下列结果中正确的是（）A．a（x﹣2）2B．a（x+2）2 C．a（x﹣4）2D．a（x+2）（x﹣2）4．（2015•宜宾）把代数式3x3﹣12x2+12x分解因式，结果正确的是（）A．3x（x2﹣4x+4）B．3x（x﹣4）2C．3x（x+2）（x﹣2）D．3x（x﹣2）2 5．（2015•长沙校级自主招生）多项式a n﹣a3n+a n+2分解因式的结果是（）A．a n（1﹣a3+a2）B．a n（﹣a2n+a2）C．a n（1﹣a2n+a2）D．a n（﹣a3+a n）6．（2015•杭州模拟）下列代数式3（x+y）3﹣27（x+y）因式分解的结果正确的是（）A．3（x+y）（x+y+3）（x+y﹣3）B．3（x+y）[（x+y）2﹣9]C．3（x+y）（x+y+3）2D．3（x+y）（x+y﹣3）27．（2016•温州校级一模）多项式x2﹣1与多项式x2﹣2x+1的公因式是（）A．x﹣1B．x+1C．x2﹣1D．（x﹣1）28．（2016•赵县模拟）若ab=﹣3，a﹣2b=5，则a2b﹣2ab2的值是（）A．﹣15B．15C．2D．﹣89．-6xyz+3xy2-9x2y的公因式是（）A．-3x B．3xz C．3yz D．-3xy10.（1）m（a-2）+n（2-a）（2）（y-x）2+2x-2y．11．（2014春•玉环县期中）分解因式：x3﹣2x2﹣8x=．12．（2014春•诸城市校级月考）分解因式：x3﹣4x2﹣21x=．13．（2013秋•瑞安市校级期末）分解因式a3﹣a2﹣2a=．14．（2013•南充模拟）分解因式：2x2﹣2x﹣12=．15．（2015春•文昌校级期中）分解因式：x4﹣3x3﹣28x2=知识点三：平方差公式使用的条件：前提是两项；必须是平方的形式；平方的两项符号必须相反；只有具备上述三个条件才能平方差公式。
因式分解常用方法及练习
1、用提公因式法把多项式进行因式分解【知识精读】如果多项式的各项有公因式，根据乘法分配律的逆运算，可以把这个公因式提到括号外面，将多项式写成因式乘积的形式。
提公因式法是因式分解的最基本也是最常用的方法。
它的理论依据就是乘法分配律。
多项式的公因式的确定方法是：（1）当多项式有相同字母时，取相同字母的最低次幂。
（2）系数和各项系数的最大公约数，公因式可以是数、单项式，也可以是多项式。
下面我们通过例题进一步学习用提公因式法因式分解【分类解析】1. 把下列各式因式分解（1）a xabxacxaxm m mm 2213（2）a ab a b a ab b a ()()()32222分析：（1）若多项式的第一项系数是负数，一般要提出“－”号，使括号内的第一项系数是正数，在提出“－”号后，多项式的各项都要变号。
解：a xabxacxaxax axbx c x m m mm m 221323()（2）有时将因式经过符号变换或将字母重新排列后可化为公因式，如：当n 为自然数时，()()()()a b b a a b b a nn n n 222121；，是在因式分解过程中常用的因式变换。
解：a ab a b a ab ba ()()()32222)243)((]2)(2))[(()(2)(2)(222223b babab aa b b a a b a b a a b a ab b a a b a a 2. 利用提公因式法简化计算过程例：计算1368987521136898745613689872681368987123分析：算式中每一项都含有9871368，可以把它看成公因式提取出来，再算出结果。
解：原式)521456268123(1368987987136813689875、中考点拨：例1。
因式分解322x x x ()()解：322x xx ()()322231x x xxx ()()()()说明：因式分解时，应先观察有没有公因式，若没有，看是否能通过变形转换得到。
三十道因式分解练习题
三十道因式分解练习题一、提取公因式类1. 因式分解：$6x^2 + 9x$2. 因式分解：$8a^3 12a^2$3. 因式分解：$15xy 20xz$4. 因式分解：$21m^2n 35mn^2$5. 因式分解：$4ab^2 + 6a^2b$二、公式法类6. 因式分解：$x^2 9$7. 因式分解：$a^2 4$8. 因式分解：$4x^2 25y^2$9. 因式分解：$9m^2 16n^2$10. 因式分解：$25p^2 49q^2$三、分组分解类11. 因式分解：$x^3 + x^2 2x 2$12. 因式分解：$a^3 a^2 3a + 3$13. 因式分解：$3x^2 + 3x 2x 2$14. 因式分解：$4m^2 4m 3m + 3$15. 因式分解：$5n^3 10n^2 + 3n 6$四、十字相乘法类16. 因式分解：$x^2 + 5x + 6$17. 因式分解：$a^2 7a + 10$18. 因式分解：$2x^2 9x 5$20. 因式分解：$4n^2 13n + 3$五、综合运用类21. 因式分解：$x^3 2x^2 5x + 10$22. 因式分解：$a^3 + 3a^2 4a 12$23. 因式分解：$2x^2 + 5x 3$24. 因式分解：$3m^2 7m + 2$25. 因式分解：$4n^2 + 10n 6$六、特殊因式分解类26. 因式分解：$x^4 16$27. 因式分解：$a^4 81$28. 因式分解：$16x^4 81y^4$29. 因式分解：$25m^4 49n^4$30. 因式分解：$64p^4 81q^4$一、平方差公式类1. 因式分解：$x^2 25$2. 因式分解：$4y^2 9$3. 因式分解：$49z^2 100$4. 因式分解：$25a^2 121b^2$5. 因式分解：$16m^2 36n^2$二、完全平方公式类6. 因式分解：$x^2 + 8x + 16$7. 因式分解：$y^2 10y + 25$8. 因式分解：$z^2 + 14z + 49$10. 因式分解：$b^2 + 22b + 121$三、交叉相乘法类11. 因式分解：$x^2 + 7x + 12$12. 因式分解：$y^2 5y 14$13. 因式分解：$z^2 + 11z + 30$14. 因式分解：$a^2 13a 42$15. 因式分解：$b^2 + 17b + 60$四、多项式乘法公式类16. 因式分解：$x^3 + 3x^2 + 3x + 1$17. 因式分解：$y^3 3y^2 + 3y 1$18. 因式分解：$z^3 + 6z^2 + 12z + 8$19. 因式分解：$a^3 6a^2 + 12a 8$20. 因式分解：$b^3 + 9b^2 + 27b + 27$五、分组分解法类21. 因式分解：$x^4 + 4x^3 + 6x^2 + 4x + 1$22. 因式分解：$y^4 4y^3 + 6y^2 4y + 1$23. 因式分解：$z^4 + 8z^3 + 18z^2 + 8z + 1$24. 因式分解：$a^4 8a^3 + 18a^2 8a + 1$25. 因式分解：$b^4 + 12b^3 + 54b^2 + 108b + 81$六、多项式长除法类26. 因式分解：$x^5 x^4 2x^3 + 2x^2 + x 1$27. 因式分解：$y^5 + y^4 + 2y^3 2y^2 y + 1$28. 因式分解：$z^5 3z^4 + 3z^3 z^2 + z 1$29. 因式分解：$a^5 + 3a^4 3a^3 + a^2 a + 1$30. 因式分解：$b^5 5b^4 + 10b^3 10b^2 + 5b 1$答案一、提取公因式类1. $6x^2 + 9x = 3x(2x + 3)$2. $8a^3 12a^2 = 4a^2(2a 3)$3. $15xy 20xz = 5x(3y 4z)$4. $21m^2n 35mn^2 = 7mn(3m 5n)$5. $4ab^2 + 6a^2b = 2ab(2b + 3a)$二、公式法类6. $x^2 9 = (x + 3)(x 3)$7. $a^2 4 = (a + 2)(a 2)$8. $4x^2 25y^2 = (2x + 5y)(2x 5y)$9. $9m^2 16n^2 = (3m + 4n)(3m 4n)$10. $25p^2 49q^2 = (5p + 7q)(5p 7q)$三、分组分解类11. $x^3 + x^2 2x 2 = (x^2 + 2)(x 1)$12. $a^3 a^2 3a + 3 = (a^2 3)(a 1)$13. $3x^2 + 3x 2x 2 = (3x 2)(x + 1)$14. $4m^2 4m 3m + 3 = (4m 3)(m 1)$15. $5n^3 10n^2 + 3n 6 = (5n^2 3)(n 2)$四、十字相乘法类16. $x^2 + 5x + 6 = (x + 2)(x + 3)$17. $a^2 7a + 10 = (a 2)(a 5)$18. $2x^2 9x 5 = (2x + 1)(x 5)$19. $3m^2 + 11m + 4 = (3m + 1)(m + 4)$20. $4n^2 13n + 3 = (4n 1)(n 3)$五、综合运用类21. $x^3 2x^2 5x + 10 = (x^2 5)(x 2)$22. $a^3 + 3a^2 4a 12 = (a^2 + 4)(a 3)$23. $2x^2 + 5x 3 = (2x 1)(x + 3)$24. $3m^2 7m + 2 = (3m 1)(m 2)$25. $4n^2 + 10n 6 = (2n 1)(2n + 6)$六、特殊因式分解类26. $x^4 16 = (x^2 + 4)(x + 2)(x 2)$27. $a^4 81 = (a^2 + 9)(a + 3)(a 3)$28. $16x^4 81y^4 = (4x^2 + 9y^2)(2x + 3y)(2x 3y)$29. $25m^4 49n^4 = (5m^2 + 7n^2)(5m + 7n)(5m 7n)$30. $64p^4 81q^4 = (8p^2 + 9q^2)(4p + 3q)(4p 3q)$一、平方差公式类1. $x^2 25 = (x + 5)(x 5)$2. $4y^2 9 = (2y + 3)(2y 3)$3. $49z^2 100 = (7z + 10)(7z 10)$4. $25a。
《因式分解500题》(含答案)
服务内核部-初数教研
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25. 因式分解：−4 3 2 + 6 2 3 − 12 2 2
26. 分解因式：−6 − 142 3 + 123
27. 分解因式：−26 3 2 + 13 2 2 + 52 5 2 4
28. 因式分解：
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43. 分解因式：( − )5 + ( − )5
44. 分解因式：(1 − + 2 ) − 1 + − 2
45. 将下列各式因式分解：
①53 ( − )3 − 104 3 ( − )2 ；
②( − )2 + ( − ) + ( − )；
6. 分解因式：32 + 6 2
7. 因式分解：2 2 −
8. 分解因式：32 − 6
9. 分解因式：12 − 3 2
10. 用提公因式法因式分解：22 3 + 6 2
11. 因式分解：2( − ) − ( − )
12. 分解因式：( − ) − ( − )
29. 分解因式：( − 3)2 − (2 − 6)；
30. 分解因式：18( − )2 − 12( − )3
31. 因式分解：10( − )2 + 5( − )
32. 计算：( + )2 − ( + )( − )
33. 分解因式：( + 1)( − 1) + ( − 1)
19. 因式分解：−43 + 162 − 26
20. 分解因式：6 2 − 9 + 3
21. 分解因式：−82 − 2 + 6 2
22. 因式分解：−14 − 7 + 49 2
《因式分解专题训练》有答案
因式分解专题训练一、整式有关概念：1.单项式（单个字母或数）（次数，系数）；2.多项式（次数，项数）3.同类项与合并同类项二、幂的运算性质：1. n m n m aa a +=⋅ 2. ()mn n m a a = 3. ()n n nb a ab = 4. n n n b a b a =⎪⎭⎫ ⎝⎛ 5. n m n m a a a -=÷ 6. 10=a 7.p p a a 1=- 8. pp b a a b ⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛- 三、整式的运算：加、减、乘、除（乘方、开方） 1. m （a+b+c ）=ma+mb+mc 2. （a+b ）（m+n ）=am+an+bm+bn3. （a+b ）（a-b ）＝22b a -4. ()2222a b ab a b +±=± 5. ()ca bc ab c b a c b a 2222222+++++=++ 6.()()3322b a b ab a b a ±=+± 7. ()()()ca bc ab c b a a c c b b a 222222222222+++++=+++++ 四、因式分解：1.把一个多项式化成几个整式的积的形式. 2.方法（一提二套三分组） （套公式包括十字相乘法）五、方法·规律·技巧：1.性质、公式的逆向使用；2.整体代入（配方、换元）3.非负数 的运用（配方）六、实际运用1.下列变形中，正确的是（ ）A. ()123422+-=+-x x xB. ()112+=+÷xx x x C. ()()22y x y x y x -=+--- D. xx x x -=-11 2.若n m n m b b a ++-224a 52与可以合并成一项，则nm 的值是（ ） A. 2 B. 0 C. －1 D. 13.若22=+b a ，ab ＝2，则22b a +的值为（ ） A. 6 B. 4 C. 23 D. 324.把多项式x x x 1212323+-分解因式，结果正解的是（ ）A. ()4432+-x x x B. ()243-x x C. ()()223-+x x x D. ()223-x x 5.已知0322=--x x ，则x x 422-的值为（ ）A. －6B. 6C. －2或6D. －2或306.下列等式从左到右的的变形，属于因式分解的是（ ）A. a （x-y ）=ax-ayB.()12122++=++x x x xC. ()()34312++=++x x x xD. ()()11x 3-+=-x x x x7.因式分解：()()21622---x x x ＝ .8.分解因式：（a-b ）（a-4b ）+ab ＝ .9.分解因式：()9332--+x x x ＝ . 10.分解因式：22my mx -＝ .11.多项式4x 2+1加上一个单项式后能成为一个完全平方式，请你写出符合条件的所有的单 项式： .12.计算：()20172016201642125.0⨯⨯-＝ . 13.已知===-n m n m a a a 4323,16,64则 .14.已知=+-=+-634x 964322x x x ，则 . 15.若()()222222,121y x y x y x +=-++＝ . 16、将下列各式分解因式：（1）x ax x 2842+-- （2）xy xy y x 2712322-+-（3）()b a b a +--22 （4）()()321612-+-x a x 17.将下列各式分解因式：（1）42161259y x - （2） 3394xy y x - （3）()()221162-++-x x （4）()()222516b a b a +--（5）2244y xy x -+- （6）22363ay axy ax ++（7）172x 4912+-x （8）()()9326322++-+y x y x （9）()()()()222510b a b a b a b a -+-+++ （10）()()1222222+-+-x x x x18.将下列各式分解因式： （1）232+-x x （2）1322++x x（3）22144y xy x -- （4）()()()32212-+-+-m x m x m 19.将下列各式分解因式：（1）()()a b y b a x -+-2249 （2）212+++-n n n x x x（3）()()xy y x41122--- （4）()133********-+-+-x x x x （5）()()15222222--+-x x x x （6）（x+1）（x+2）（x+3）（x+4）-12020.将下列各式分解因式：（1）9622-++-y x x （2）ab b a 44422-+-（3）2212b a a +--- （4）3223y xy y x x --+21.简便计算：（1）1323.16523.14823.1⨯⨯+⨯－ （2）814.13125.06.18⨯+⨯ （3）2.48.1425.042.032⨯+⨯+⨯ （4）7582－2582 （5）99992+19998+1 （6）20162－2015×2017 （7）⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-2222201611411311211 （8）420172014201320132016201420142016222-⨯-⨯-+ 22.已知()()()()137373212-----x x x x 可分解因式为()()b x a x ++3，其中a 、b 都是整数，求a+3b 的值.23.已知2222912x 4,010644y xy y x y x +-=++-+求的值.24.已知13,022232++=-+x x x x 求的值.25.已知n 为正整数，试说明n n 332-+能被24整除. 26.若()5522,,1,1n m n m n n m m +≠+=+=求的值.27.设()()222222211212,...,35,13--+=-=-=n n a a a n （n 是大于0的自然数）。
(完整版)第十四章--整式乘除及因式分解(知识点+题型分类练习),推荐文档
C. ﹣2（3x﹣1）=﹣6x﹣2
D. ﹣2（3x﹣1）=﹣6x+2
2．（ 2015•济宁）化简 ﹣16（ x﹣0.5）的结果是（ ）
A． ﹣16x﹣0.5
B． ﹣16x+0.5
C． 16x﹣8
3.（2016·佛山）化简 m n (m n) 的结果是( )．
D． ﹣16x+8
A． 0
B． 2m
C．0.2a2b 与﹣ a2b D．a2b3 与﹣a3b2
4．（2015•柳州）在下列单项式中，与 2xy 是同类项的是（ ）
A．2x2y2
B．3y
C．xy
D．4x
5.（2014•毕节）若 2 am b4 与 5 an2 b2mn 可以合并成一项，则 mm 的值是（ ）
A．2
B． 0
C．﹣1
D．1
C. x·x2= x4 C.(-x2)3=-x6 C.(a2)3＝a6
D.（2x2）2=6x6 D.(x3)2＝x5
D.a6÷a3＝a2
8.下列运算正确的是 （ ）
A. 3 = 3
9.下列计算正确的是 (
B. ( 1 ) 1 22
)
A.a3·a2=a6
B．a2＋a4=2a2
10.下列计算正确的是（ ）
A. 6a－5a=1
B. a+2a2=3a3
） C.－(a－b)=－a+b
D.2(a+b)=2a+b
7.（2012•浙江）化简： 2(a 1) a _______ .
考点 3、根据题意列代数式
1.（2014•盐城）“x 的 2 倍与 5 的和”用代数式表示为
．
2.（2010·嘉兴）用代数式表示“a、b 两数的平方和”，结果为_______。
因式分解分类分成习题总汇【最新】(附加测试卷及答案)
因式分解分类分成习题总汇（附加测试卷及答案）一、提取公因式1.确定下列各多项式的公因式。
a.单项式类型1、ay ax +2、36mx my -3、2410a ab +4、2155a a +5、22x y xy -6、22129xyz x y - b.多项式类型7、()()m x y n x y -+- 8、()()2x m n y m n +++9、3()()abc m n ab m n --- 10、2312()9()x a b m b a ---2.把下列各式分解因式。
单项式类型 1、nx ny - 2、2a ab + 3、3246x x - 4、282m n mn +5、23222515x y x y -6、22129xyz x y -7、2336a y ay y -+8、259a b ab b -+9、2x xy xz -+- 10、223241228x y xy y --+11、323612ma ma ma -+- 12、32222561421x yz x y z xy z +-13、3222315520x y x y x y +- 14、432163256x x x --+3.乘法分配律的逆运算填空。
（实际应用）1、22____()R r R r ππ+=+2、222(______)R r πππ+=3、2222121211___()22gt gt t t +=+ 4、2215255(_______)a ab a +=4.填写适当的符号。
（符号辨析）1、__()x y x y +=+2、__()b a a b -=-3、__()z y y z -+=-4、()22___()y x x y -=- 5、33()__()y x x y -=- 6、44()__()x y y x --=-7、22()___()()n n a b b a n -=-为自然数 8、2121()___()()n n a b b a n ++-=-为自然数 9、()1(2)___(1)(2)x y x y --=-- 10、()1(2)___(1)(2)x y x y --=-- 11、23()()___()a b b a a b --=- 12、246()()___()a b b a a b --=-5.把下列各式分解因式。
八年级上册数学因式分解基础知识点和典型习题分类汇总附答案
第13讲 因式分解基础❖ 基本知识（熟记，会推导，会倒过来写，要提问．） （1）把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种恒等变形叫因式分解．（2）因式分解的结果中，每个因式都必须是整式．(1)yx y x x+=+不是因式分解． （3）因式分解要分解到不能再分解为止．222(1)(1)(1)()x x x y x x y -+-=-+ 这样的分解是(1)(1)()x x x y +-+不彻底的，应该分解到．因式分解的方法 （1）提取公因式法()ma mb mc m a b c ++=++ （2）公式法22()()x y x y x y -=+-平方差公式： 2222222()2()a ab b a b a ab b a b ++=+-+=-完全平方公式：（3）十字相乘法2()()()x p q x pq x p x q +++=++p q 可以用解二元一次方程的办法来找到和，因为方程2()0x p q x pq +++=p -q -的解是和．❖ 习题——因式分解 题型一：直接提公因式=-y xy 1、______________________=---)(3)(2a b n b a m 2、_____________________=-2242ab b a 3、______________________=-232x x 4、______________________参考答案1)1(-x y 、 2)32)((n m b a +-、 3)2(2b a ab -、 4)12(2-x x 、题型二：直接用公式225x -=1、______________________21a -=2、______________________=-229y x 3、______________________=-142x 4、______________________41242++x x 5、=______________________=-+--2)()(816y x y x 6、___________________811824+-x x 7、=______________________=+-22224129n m xymn y x 8、_____________________参考答案1)5)(5(-+x x 、 2)1)(1(-+a a 、 3)3)(3(y x y x -+、 4)12)(12(-+x x 、 52)212(+x 、 62)4(y x +-、722)3()3(+-x x 、 82)23(mn xy -、题型三：先提公因式，再套平方差或者完全平方公式． A ：先提后套平方差822-x 1、＝______________________=-x x 32、______________________=-x x 433、______________________=-1822x 4、______________________=-29ab a 5、______________________=-282a 6、______________________=-523x y x 7、______________________参考答案1)2)(2(2-+x x 、 2)1)(1(-+x x x 、 3)2)(2(-+x x x 、 4)3)(3(2-+x x 、 5)3)(3(b b a -+、 6)12)(22(2-+a a 、 7))((3x y x y x -+、B ：先提后套完全平方122x y xy y -+、=______________________3222x x y xy -+2、=_____________________=+-223363xy y x x 3、______________________x x x 48423-+-4、=______________________=-+-21422a a 5、______________________32214a ab ab -+-=6、_____________________参考答案12)1(-x y 、 22)(y x x -、 32)(3y x x -、 42)1(4--x x 、 52)21(2--a 、 62)2(b a a --、。
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因式分解练习题 ( 提取公因式 ) 专项训练一：确定下列各多项式的公因式。
1、 ay ax2、3mx 6my3、4a210ab4、15a2 5a5、x2y xy 26、12xyz 9x2 y 27、 m x y n x y8、 x m n y m n 29、abc(m n)3 ab(m n) 10、12x(a b)2 9m(b a)3 专项训练二：利用乘法分配律的逆运算填空。
1、2 R 2 r ____( R r )2、2 R 2 r 2 (______)3、1gt121gt22___(t12 t2 2 ) 4、15a2 25ab 2 5a(_______) 2 2专项训练三、在下列各式左边的括号前填上“+”或“－”，使等式成立。
1、x y __( x y)2、b a __(a b)3、z y __( y z)4、 y2___(x y)2 x5、( y x) 3 __( x y)36、(x y)4 __( y x) 47、( a b) 2n ___(b a) 2n (n为自然数 )8、( a b) 2n 1 ___(b a)2 n 1 (n为自然数 )9、 1 x (2 y) ___(1 x)( y 2) 10、 1 x (2 y) ___(x 1)( y 2) 11、(a b)2 (b a) ___( a b)3 12、(a b)2 (b a)4 ___( a b)6专项训练四、把下列各式分解因式。
1、 nx ny2、a2ab3、4x36x24、8m2n2mn5、25x2y315x2 y26、12 xyz9x2 y27、3a2y3ay 6 y8、a2b5ab 9b9、x2xy xz10、24 x2 y 12xy228 y3 11、3ma36ma212ma12、56 x3yz14x2 y2 z21xy2 z213、15x3y25x2 y 20 x2 y314、16x432 x356x2专项训练五：把下列各式分解因式。
1、x(a b) y( a b)2、5x( x y) 2 y( x y)3、6q( p q) 4 p( p q)4、(m n)( P q) ( m n)( p q)5、a( a b) (a b)26、x( x y) 2y(x y)7、(2 a b)(2 a 3b) 3a(2a b)8、x( x y)( x y) x( x y) 29、p( x y) q( y x)10、m(a3) 2(3 a)11、(a b)(a b) (b a)12、a(x a) b( a x) c( x a)13、3( x1)3 y (1 x)3 z14、ab(a b) 2a(b a)215、mx(a b) nx(b a)16、( a2b)(2 a 3b) 5a(2 b a)(3b 2a) 17、(3a b)(3a b) (a b)(b 3a)18、a(x y)2b( y x)19、x(x y)22( y x)3( y x)220、(x a)3 (x b) (a x) 2 (b x)21、( y x) 2x(x y)3( y x) 422、3(2a3b) 2n 1(3b 2a)2 n ( a b)(n为自然数 )专项训练六、利用因式分解计算。
1、 7.6 199.8 4.3 199.8 1.9 199.82、 2.186 1.237 1.237 1.1863、( 3)21( 3)20 6 3194、 1984 20032003 2003 19841984专项训练七：利用因式分解证明下列各题。
1、求证：当 n 为整数时，n2n 必能被2整除。
2、证明：一个三位数的百位上数字与个位上数字交换位置，则所得的三位数与原数之差能被 99 整除。
3、证明：32002 4 320011032000能被 7整除。
专项训练八：利用因式分解解答列各题。
1、已知a+b=13，ab=40，求2a2b+2ab2的值。
2， ab 1，求 a3b+2a2b2 +ab3的值。
2、已知a b3 2因式分解习题 ( 二 )专题训练一：利用平方差公式分解因式题型 (一 )：把下列各式分解因式1、x242、9y23、1a24、4x2y25、125b26、x2y2z27、4m2 0.01b2 8、a21x2 9、36 m2n29 92 22 16b2 12、25 p2 49q210、4x 9 y 11、0.81a13、a2x4b2 y214、x4 115、16a4 b4 16、1a4 16b4 m4 81题型 (二 )：把下列各式分解因式1、( x p)2(x q)22、(3m2n)2(m n)23、16(a b) 29(a b)24、9( x y) 24( x y) 25、( a b c) 2( a b c)26、4a2(b c) 2题型 (三 )：把下列各式分解因式1、x5 x32、4ax2 ay 23、2ab3 2ab4、x3 16x5、3ax2 3ay 46、x2(2 x 5) 4(5 2x)7、x34xy 28、32x3y42x39、ma416mb410、8a( a 1)22a311、ax 416 a12、16 mx( a b)29mx(a b)2题型 (四 )：利用因式分解解答下列各题1、证明：两个连续奇数的平方差是8 的倍数。
2、计算⑴ 75822582⑵ 42921712⑶ 3.529 2.52 4⑷ (1 12 )(112 )(112 ) (112 )(1 1 2) 2 3 4 9 10专题训练二：利用完全平方公式分解因式题型 (一 )：把下列各式分解因式1、x22x 12、4a24a 13、1 6 y9 y22m2 24、1m5、x 2x 16、a8a 167、14t 4t 28、m214m 499、b222b12110、y2 y 1 11、25m2 80m 64 12、4a2 36 a 81413、4 p2 20 pq 25q2 14、 x2 xy y2 15、4x2 y2 4xy4题型 (二 )：把下列各式分解因式1、( x y)26( x y) 92、a22a(b c) (b c)23、 4 12( x y) 9( x y)24、 (m n)2 4m( m n) 4m 25、 ( x y) 4( x y 1)2 26、 (a 1)4a(a 1) 4a题型 (三 )：把下列各式分解因式1、 2xy x 2y 2 2、 4xy 2 4x 2 y y 3 3、 a 2a 2 a 3题型 (四 )：把下列各式分解因式 1、 1 x22xy 2 y 22、 x 4 25x 2 y 2 10 x 3 y23、 ax 2 2a 2 x a 34、 (x 2 y 2 ) 2 4x 2 y 25、 ( a 2 ab )2 (3ab 4b 2 )26、 ( x y)4 18( x y) 2 817、 ( a 2 1)2 4a( a 2 1) 4a 28、 a 4 2a 2 (b c) 2 (b c) 49、 x 4 8x 2 y 2 16 y 410、 (a b)2 8(a 2 b 2 ) 16(ab) 2题型 (五 )：利用因式分解解答下列各题 1、已知： x 12， y8, 求代数式 1x 2 xy1 y 2的值。
222、已知 a b2， ab 3 ，求代数式 a 3 b+ab 3 -2a 2b 2的值。
23、已知： a 、 b 、 c 为△ ABC 的三边，且 a 2 b 2 c 2 ab bc ac 0，判断三角形的形状，并说明理由。
因式分解习题 ( 三)十字相乘法分解因式(1)对于二次项系数为 1 的二次三项式x2(a b)x ab (x a)( x b)方法的特征是“拆常数项，凑一次项”当常数项为正数时，把它分解为两个同号因数的积，因式的符号与一次项系数的符号相同；当常数项为负数时，把它分解为两个异号因数的积，绝对值较大的因数与一次项系数的符号相同．(2)对于二次项系数不是 1 的二次三项式ax 2bx c a1a2 x2(a1c2a2c1) x c1c2(a1 x c1)( a2 x c2 )它的特征是“ 拆两头，凑中间”当二次项系数为负数时，先提出负号，使二次项系数为正数，然后再看常数项；常数项为正数时，应分解为两同号因数，它们的符号与一次项系数的符号相同；常数项为负数时，应将它分解为两异号因数，使十字连线上两数之积绝对值较大的一组与一次项系数的符号相同注意：用十字相乘法分解因式，还要注意避免以下两种错误出现：一是没有认真地验证交叉相乘的两个积的和是否等于一次项系数；二是由十字相乘写出的因式漏写字母．二、典型例题例、分解因式：x2 5x 6分析：将 6 分成两个数相乘，且这两个数的和要等于5。
由于 6=2× 3=(-2) ×(-3)=1 × 6=(-1) × (-6) ，从中可以发现只有2×3 的分解适合，即 2+3=5 。
1 2解： x 2 5x 6 = x 2 ( 2 3) x 2 3 1 3= (x 2)( x 3) 1× 2+1× 3=5此方法进行分解的关键：将常数项分解成两个因数的积，且这两个因数的和要等于一次项的系数。
例 1、分解因式：x2 7x 6解：原式 = x2 [( 1) ( 6)] x ( 1)( 6) 1 -1= ( x 1)( x 6) 1 -6（-1） +（ -6） = -7练习 1、分解因式(1) x2 14 x 24 (2) a2 15a 36 (3) x2 4x 5练习 2、分解因式(1) x2 x 2 (2) y2 2 y 15 (3) x2 10x 24（二）二次项系数不为 1 的二次三项式——ax 2 bx c条件：（1）a a1a2 a1 c1（ 2）c c1c2 a2 c2（ 3）b a1c2 a2 c1 b a1c2 a2c1分解结果： ax2 bx c = (a1 x c1 )( a2 x c2 )例 2、分解因式：3x211x 10分析： 1 -23-5（-6） +（-5） = -11解： 3x211x 10 = (x 2)(3x5)练习 3、分解因式：（ 1）5x27x 6（2）3x27 x 2（ 3）10 x217x 3（4） 6 y 211y 10（三）多字母的二次多项式例 3、分解因式：a28ab 128b2分析：将 b 看成常数，把原多项式看成关于 a 的二次三项式，利用十字相乘法进行分解。
18b1-16b8b+(-16b)= -8b解： a 2 8ab 128b2 = a2 [8b ( 16b)] a 8b ( 16b)= ( a 8b)( a 16b)练习 4、分解因式(1) x2 3xy 2y 2 (2) m2 6mn 8n 2 (3) a2 ab 6b2例 4、2x2 7 xy 6 y 2 例 10、x2y2 3xy 21 -2y 把 xy 看作一个整体 1 -12 -3y 1 -2(-3y)+(-4y)= -7y (-1)+(-2)= -3解：原式 = (x 2 y)(2x 3y) 解：原式 = (xy 1)( xy 2)练习 5、分解因式：（ 1）15 x2 7 xy 4 y 2 （ 2）a2x2 6ax 8综合练习10、（ 1）8x6 7x3 1 （2）12x2 11xy 15y 2（ 3）( x y) 23( x y) 10（4）( a b) 24a 4b 3（ 5）x2y25x 2 y 6x2（6）m24mn 4n23m 6n 2（ 7）x24xy 4 y 22x 4 y 3（8）5( a b)223(a2 b 2 ) 10( a b) 2（ 9）4x24xy 6x 3y y 210（10）12(x y)211( x2y 2 ) 2( x y) 2思考：分解因式：abcx 2(a 2 b 2c2 )x abc例 5分解因式：( x22x 3)( x22x 24)90 ．例 6、已知x46x2x 12 有一个因式是x2ax 4，求a值和这个多项式的其他因式．课后练习一、选择题1．如果x2 px q ( x a)( x b) ，那么p等于( )A ． ab B． a＋ b C．－ ab D ．－ (a＋ b)2．如果x2 (a b) x 5b x 2 x 30 ，则b为( )A ． 5 B．－ 6 C．－ 5 D ． 63．多项式x2 3x a可分解为 (x－ 5)(x－ b)，则 a， b 的值分别为( ) A．10和－2 B．－10和 2 C．10 和 2 D．－10 和－ 24．不能用十字相乘法分解的是( )A ．x2 x 2 B．3x2 10x2 3x C． 4x 2 x 2 D．5x2 6xy 8 y2 5．分解结果等于 (x＋ y－ 4)(2x＋ 2y－ 5)的多项式是( )A ．2( x y) 2 13(x y) 20 B．(2x 2 y) 2 13(x y) 20C．2( x y) 2 13( x y) 20 D．2( x y) 2 9( x y) 206．将下述多项式分解后，有相同因式x－ 1 的多项式有( )① x2 7x 6 ；② 3x2 2x 1 ；③ x 2 5x 6 ；④ 4x2 5x 9 ；⑤15x2 23 x 8 ；⑥ x4 11x2 12A．2个B．3 个C．4 个D．5 个二、填空题7．x23x 10 8．m25m 6 __________ ．( m＋ a)(m＋ b)． a＝ __________ ，b＝ __________ ．9．2x2 5x 3 (x－3)(__________)．10．x2 ____ 2y 2 (x－ y)(__________) ．11．a2 n a (_____) (____ ____)2．m12．当 k＝ ______时，多项式3x27x k 有一个因式为(__________)．13．若 x－ y＝ 6，xy 17，则代数式x3y 2x2y2xy3的值为__________．36三、解答题14．把下列各式分解因式：(1) x47 x2 6 ；(2) x45x236 ；(3) 4x465 x2 y216 y4；(4) a67a3b38b6；(5) 6a45a34a 2；(6) 4a637 a4b29a2b4．15．把下列各式分解因式：(1) ( x2 3) 2 4x2；(2) x2( x 2)2 9 ；(3) (3x22x 1)2( 2x23x 3)2；(4) (x2x) 217 (x2x)60 ；(5) (x22x)27(x22x) 8 ；(6) (2a b) 214(2a b)48 ．16．已知 x＋ y＝ 2， xy＝ a＋ 4，x3y326 ，求a的值．十字相乘法分解因式题型 (一)：把下列各式分解因式⑴ x25x 6⑵x25x 6⑶ x25x 6⑷ x25x 6⑸ a27a 10⑹ b28b 20⑺ a2b22ab 15⑻ a4b23a2b 18题型 (二)：把下列各式分解因式⑴ a24ab 3b2⑵ x23xy10 y2⑶ a27ab 10b2⑷ x28xy20 y2⑸ x22xy 15 y2⑹ x25xy 6y2⑺ x24xy 21 y2⑻ x27xy12 y2题型 (三)：把下列各式分解因式⑴ ( x y)24( x y) 12⑵ ( x y)25( x y) 6⑶⑸⑺( x y)28( x y) 20⑷ (x y)23( x y) 28 ( x y)29( x y) 14⑹ ( x y)25( x y) 4 ( x y)26( x y) 16⑻ ( x y)27( x y) 30题型 (四)：把下列各式分解因式⑴ ( x23x) 22( x23x) 8⑵ (x22x)( x22x 2) 3 ⑶ 3x318x2 y 48xy 2⑷ (x25x)22( x25x) 24 ⑸ ( x22x)( x22x 7) 8⑹ x45x2 4⑺x2 y 3xy 210 y3⑻ a2b27ab 310b4因式分解习题 ( 四)分组分解因式练习：把下列各式分解因式，并说明运用了分组分解法中的什么方法.(1)a2－ ab+3b－ 3a；(2)x 2－ 6xy+9y 2－ 1；解(3)am － an－m2+n 2；(4)2ab－ a2－ b2 +c2.第(1) 题分组后，两组各提取公因式，两组之间继续提取公因式.第(2) 题把前三项分为一组，利用完全平方公式分解因式，再与第四项运用平方差公式继续分解因式 .第(3) 题把前两项分为一组，提取公因式，后两项分为一组，用平方差公式分解因式，然后两组之间再提取公因式 .第(4) 题把第一、二、三项分为一组，提出一个“－”号，利用完全平方公式分解因式，第四项与这一组再运用平方差公式分解因式.把含有四项的多项式进行因式分解时，先根据所给的多项式的特点恰当分解，再运用提公因式或分式法进行因式分解 .在添括号时，要注意符号的变化 .这节课我们就来讨论应用所学过的各种因式分解的方法把一个多项式分解因式.二、新课例 1 把 am+bm+an－ cm+bn－ cn 分解因式 .例 2 把 a4b+2a3b2－ a2b－ 2ab2分解因式 .例 3 把 45m2－ 20ax2+20axy －5ay2分解因式 .三、课堂练习把下列各式分解因式：(1)a2+2ab+b2－ac－bc；(2)a2－ 2ab+b2－m2－2mn－ n2；(3)4a2+4a－ 4a2 b+b+1；(4)ax 2+16ay2－ a－ 8axy；五、作业1.把下列各式分解因式：(1)x 3y－xy 3；(2) 4x 2－ y2+2x－ y；(3) a 4b－ ab4；(4) x 4y+2x 3y2－ x2y-2xy 2；(5) a 4+a3+a+1；(6)x 3－8y3－ x2－ 2xy － 4y2；(7)x 2+x － (y2 +y) ；(8)ab(x2－y2)+xy(a 2－b2).（ 9）x26x 7（10）x22xy y 22x 2 y 3。