2020届高三上学期四调考试数学(理)试题(解析版)
弦长为 4 3 ．
故选 B．
11．如图，三棱柱 ABC A1B1C1 的高为 6，点 D，E 分别在线段 A1C1 ， B1C 上， A1C1 3DC1 ， B1C 4B1E.点 A，D，E 所确定的平面把三棱柱切割成体积不相等的 两部分，若底面 ABC 的面积为 6，则较大部分的体积为 ( )
延长 PE 交 B1B 为 M，与面 ABC 交于点 Q，
得到截面为 DNMA，
A1C1 3DC1 ， B1C 4B1E ，M ，N 分别为 C1B1 ， B1B 的中点，
下部分体积
V下
VPAQC
VPDNC1
VMABQ
1 3
SAQC
h
1 2
h
1S 3
ABQ
1 2
h
1S 3
DNC1
h 2
23
【详解】
由题意，知 S3 ， S9 ， S27 成等比数列，所以 S92 S3 S27 ，
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即
9(a1 2
a9 )
2
3(a1 2
a3 )
27(a1 2
a27 )
，
整理得 81a52 3a2 27a14 ，所以 (a1 4d )2 (a1 d )(a1 13d ) ，解得 d 2a1 ，
D． 3 1
【答案】C
【解析】分析：由 (x a)2 (ex 2 a ) 表示两点 C(x, ex ) 与点 A(a, 2 a ) 的距离，
而点 A 在抛物线 y2 4x 上，抛物线的焦点 F(1,0) ，准线为 x 1 ，则 D 表示 A 与 C 的距离和 A 与准线的距离的和加上 1，由抛物线的定义可得 D 表示 A 与 C 的距离和加 上 1，画出图象，当 F, A,C 三点共线时，可求得最小值.
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圆心与直线的定点 Q 与弦垂直，然后利用勾股定理可求得弦长. 【详解】
解：设圆心坐标 P 为（a,-2），则 r2＝ 1 a2 3 22 4 a2 2 22 ，解得 a=1，
所以 P（1，-2）.又直线过定点 Q（-2，0），当直线 PQ 与弦垂直时，弦长最短，根据圆
所以 x1
x2
3 ，故 x0
x1 x2 2
3 2
.
故选 B
【点睛】
本题主要考查抛物线的定义和抛物线的简单性质，只需熟记抛物线的焦点弦公式即可求 第 1 页 共 22 页
解，属于基础题型.
3．如图，圆柱的轴截面 ABCD 为正方形， E 为弧 BC 的中点，则异面直线 AE 与 BC
所成角的余弦值为（ ）
2020 届高三上学期四调考试数学（理）试题
一、单选题
1．已知集合 A x | x x 1 0，B x | y ln x a，若 A B A ，则实数 a
的取值范围为（ ）
A． ,0
B． ,0
C． 1,
D．1,
【答案】A
【解析】分别求出集合 A 集合 B 范围，根据 A B A 得到 A 是 B 子集，根据范围大
【解析】由题意得出
AP
1 4
AB
3 4
AC
，再由
AM
AB ，
AN
AC
，可得出
AP 1 AM 3 AN ，由三点共线得出 1 3 1 ，将代数式 与 1 3
4
4
4 4
4 4
相乘，展开后利用基本不等式可求出 的最小值.
【详解】 如下图所示：
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BP 3PC ，即 AP AB 3
AC AP
， AP 1 AB 3 AC ， 44
AM
AB
，
AN
AC
0,
0
， AB
1
AM
，
AC
1
AN
，
AP 1 AM 3 AN ，
4
4
M
、P、
N
三点共线，则
1 4
3 4
1.
1 4
3 4
3 4
4
1
2
3 1 4 4
3 1， 2
当且仅当 3 时，等号成立，因此， 的最小值为 3 1 ，故选 B. 2
A．1 个
B．2 个
C．3 个
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D．4 个
【答案】C 【解析】利用空间中线线、线面、面面间的位置关系求解． 【详解】
对于 ① ，由题意知 AD1 / / BC1 ，从而 BC1 / / 平面 AD1C ，
故 BC 1 上任意一点到平面 AD1C 的距离均相等，
所以以 P 为顶点，平面 AD1C 为底面，则三棱锥 A D1PC 的体积不变，故 ① 正确；
小得到答案. 【详解】
A x | x x 1 0 0 x 1
B x | y ln x a x a
AB A A B
所以 a 0 故答案选 A 【点睛】 本题考查了集合的包含关系求取值范围，属于简单题.
2．已知 AB 是抛物线 y2 2x 的一条焦点弦，AB 4 ，则 AB 中点 C 的横坐标是 ( )
详解：由题意 a 0 ， D (x a)2 (ex 2 a) a 2 ， 由 (x a)2 (ex 2 a ) 表示两点 C(x, ex ) 与点 A(a, 2 a ) 的距离， 而点 A 在抛物线 y2 4x 上，抛物线的焦点 F(1,0) ，准线为 x 1 ， 则 D 表示 A 与 C 的距离和 A 与准线的距离的和加上 1， 由抛物线的定义可得 D 表示 A 与 C 的距离和加上 1， 由图象可知 F, A,C 三点共线时，且 QF 为曲线 y ex 的垂线，此时 D 取得最小值，
6．已知 F 是双曲线 C : x2 y2 1 的一个焦点，点 P 在 C 上， O 为坐标原点，若 45
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OP = OF ，则△OPF 的面积为（ ）
A． 3 2
B． 5 2
C． 7 2
D． 9 2
【答案】B
【解析】设 P x0, y0 ，因为 OP = OF 再结合双曲线方程可解出 y0 ，再利用三角形
A．22
B．23
C．26
D．27
【答案】B
【解析】延长 AD 与 CC1 的交点为 P，连接 PE 与 C1B1 的交点为 N，延长 PE 交 B1B 为 M，与面 ABC 交于点 Q，得到截面为 DNMA，由题意得 A1D＝2DC1，由此能求出较大 部分的体积．
【详解】
如图，延长 AD 与 CC1 的交点为 P，连接 PE 与 C1B1 的交点为 N，
7．已知等差数列 an 的公差不为零，其前 n 项和为 Sn ，若 S3 ， S9 ，S27 成等比数列，
则 S9 （） S3
A． 3
【答案】C
B． 6
C． 9
D．12
【解析】由题意，得 S92 S3 S27 ，利用等差数列的求和公式，列出方程求得 d 2a1 ，
即可求解
S9 S3
的值，得到答案.
5．设 ，
.若对任意实数 x 都有
实数对（a,b）的对数为（ ）.A．1B．2C．3【答案】B
，则满足条件的有序 D．4
【解析】试题分析：
，
，
又
，
，
注意到
，只有这两组．故选 B．
【考点】三角函数
【名师点睛】本题根据三角函数的图象和性质及三角函数的诱导公式，利用分类讨论的
方法，确定得到 的可能取值.本题主要考查考生的逻辑思维能力、基本运算求解能力、 数形结合思想、分类讨论思想等.
10．过三点 A(1,3) ，B(4, 2) ，C(1, 7) 的圆截直线 x ay 2 0 所得弦长的最小值等
于（ ）
A． 2 3
B． 4 3
C． 13
D． 2 13
【答案】B 【解析】因为圆心在弦 AC 的中垂线上，所以设圆心 P 坐标为（a，-2），再利用
r2 AP2 BP2 ，求得 a 1，确定圆的方程.又直线过定点 Q，则可以得到弦长最短时
连接 ED, ED 6, 因为 BC / / AD,
所以异面直线 AE 与 BC 所成角即为 EAD,
在 EAD 中 cosEAD 6 4 6 6 , 22 6 6
故选: D
【点睛】 本题主要考查异面直线所成角的计算，考查余弦定理，意在考查学生对这些知识的理解 掌握水平和分析推理计算能力.
【点睛】 本题考查三点共线结论的应用，同时也考查了利用基本不等式求和式的最小值，解题时 要充分利用三点共线得出定值条件，考查运算求解能力，属于中等题.
9．如图，点 P 在正方体 ABCD A1B1C1D1 的面对角线 BC1 上运动，则下列四个结论： ① 三棱锥 A D1PC 的体积不变； ②A1P / / 平面 ACD1 ； ③DP BC1 ； ④ 平面 PDB1 平面 ACD1 ． 其中正确的结论的个数是 ( )
．
故选 B．
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【点睛】 本题考查几何体中两部分体积之比的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间不 规则几何体体积的求解方法的培养．
12．设 D x a2 ex 2 a 2 a 2 ,其中 e 2.71828 ，则 D 的最小值为( )
A． 2
B． 3
C． 2 1
BC1 PC ，则 P 为中点，与 P 为动点矛盾，故 ③ 错误；
对于 ④ ，连接 DB1 ，由 DB1 AC 且 DB1 AD1 ，
可得 DB1 面 ACD1 ，从而由面面垂直的判定知，故 ④ 正确．
故选：C． 【点睛】 本题考查命题真假的判断，解题时要注意三棱锥体积求法中的等体积法、线面平行、垂 直的判定，要注意使用转化的思想．
2020届高三数学上学期调研考试试题理(含解析)
2020届高三数学上学期调研考试试题理（含解析）第Ⅰ卷一、选择题：本题共12小题。
每小题5分。
共60分．在每小题给出的四个选项中。
只有一项是符合题目要求的．1.设集合，则（）A. {｜}B. {｜－}C. {｜}D. {｜}【答案】B【解析】【分析】分别求出解出集合A，B，利用交集的运算即可求出。
【详解】，，故选B。
【点睛】本题主要考查交集的运算。
2.设i为虚数单位，则复数的共轭复数（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】利用复数的运算法则，分子分母同时乘以，得出，再利用共轭复数的定义即可得出。
【详解】解：，故选：A．【点睛】本题考查了复数的运算法则、共轭复数的定义。
若，，，，在进行复数的除法运算时，分子分母同时应乘以分母的共轭复数。
3.已知m＞0，则“m=3”是“椭圆=1的焦距为4”的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】通过讨论焦点的位置，得到关于m的方程，求出对应的m的值，根据充分必要条件的定义判断即可．【详解】解：∵2c=4，∴c=2，若焦点在x轴上，则c2=m2-5=4，又m＞0，∴m=3，若焦点在y轴上，则c2=5-m2=4，m＞0，∴m=1，故“m=3”是“椭圆的焦距为4”的充分不必要条件，故选：A．【点睛】本题考查了充分必要条件，考查椭圆的定义，是一道基础题．4.记等差数列的前项和为，若，，则（）A. 36B. 72C. 55D. 110【答案】C【解析】【分析】根据等差数列前n项和性质得，再根据等差数列性质求.【详解】因为，所以，因为，所以，因为，所以.选C.【点睛】本题考查等差数列前n项和性质以及等差数列性质，考查基本分析求解能力，属基础题.5.执行如图所示的程序框图，若输入的，则输出的j=（）A. 1B. 3C. 5D. 7【答案】C【解析】【分析】根据框图流程，依次计算运行的结果，直到不满足条件，输出j 值．【详解】由程序框图知：n=4，第一次运行， i＝1，j＝1,j=2i-j=1,满足i<4，第二次运行i＝2，j=2i-j＝3；满足i<4，第三次运行i＝3，j=2i-j＝3；满足i<4，第四次运行i＝4，j=2i-j＝5；不满足i<4，程序运行终止，输出j＝5．故选：C．【点睛】本题考查了循环结构的程序框图，根据框图流程依次计算运行结果是解答此类问题的常用方法．6.设，，，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】先利用对数的运算性质将化成以2为底的对数，再利用对数的单调性即可得出的大小。
《精品》2020届高三入学调研考试试卷 理科数学(四)-解析版
2020届高三入学调研考试卷理 科 数 学（四）注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设{1}A x x =>，2{20}B x x x =--<，则()R A B =ð（ ）A ．{1}x x >-B ．{11}x x -<≤C ．{11}x x -<<D ．{12}x x <<【答案】B【解析】由题得{1}R C A x x =≤，{12}B x x =-<<， 所以(){11}R A B x x =-<≤ð．故选B ．2．已知i 为虚数单位，复数z 满足121ii z-=++，则z =（ ） A ．1BC D ．5【答案】A【解析】由题可得1(2)(1)i i z -=+-，整理得4355z i =--，1z ==．故选A ．3．cos()24πθ+=-，则cos2θ的值为（ ） A ．18 B ．716C ．18±D ．1316【答案】A【解析】因为cos()2πθ+=，所以sin θ= 所以21cos 212sin8θθ=-=．故选A ．4．如图是2020年春运期间十二个城市售出的往返机票的平均价格以及相比去年同期变化幅度的数据统计图，给出下列4个结论①深圳的变化幅度最小，北京的平均价格最高；②深圳和度厦门往返机票的平均价格同去年相比有所下降；③平均价格从高到低位于前三位的城市为北京，深圳，广州； ④平均价格的涨幅从高到低位于前三位的城市为天津，西安，上海． 其中正确结论的个数是（ ） A ．1 B ．2C ．3D ．4【答案】C此卷只装订不密封班级 姓名 准考证号 考场号 座位号【解析】变化幅度看折线图，越接近零轴者变化幅度越小，位于零轴下方者表明价格下跌；平均价格看条形图，条形图越高，所以结论①②③都正确，结论④错误，故选C ．5．斜率为2的直线l 过双曲线22221x y a b-=（0a >，0b >）的右焦点，且与双曲线的左右两支分別相交，则双曲线的离心率e 的取值范固是（ ） A．e <B．1e <<C．1e <<D．e >【答案】D【解析】依题意，结合图形分析可知双曲线的一条渐近线的斜率ba必大于2，即2b a >，因此该双曲线的离心率c e a ===>D ． 6．已知实数x ，y 满足210102x y x y x -+≥⎧⎪+-≥⎨⎪<⎩，则2z x y =-的取值范围是（ ）A ．[0,5]B ．411[,]32C ．45[,]32D ．[0,5)【答案】D【解析】画出不等式组所表示的区域，如图阴影部分所示，作直线l ：20x y -=，平移l 可知，12222(1)33z ⨯-≤<⨯--， 即z 的取值范围是[0,5)，故选D ．7．函数()ln f x x x =的大致图象是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】函数的定义域为(,0)(0,)-∞+∞，且为定义域上的奇函数．排除C ，D ，当12x =时，()0f x <排除B ，故选A ． 8．本次模拟考试结束后，班级要排一张语文、数学、英语、物理、化学、生物六科试卷讲评顺序表，若化学排在生物前面，数学与物理不相邻且都不排在最后，则不同的排表方法共有（ ） A ．72种 B ．144种C ．288种D ．360种【答案】B【解析】第一步排语文，英语，化学，生物4科，且化学排在生物前面，有2412A =种排法；第二步将数学和物理插入前4科除最后位置外的4个空挡中的2个，有2412A =种排法，所以不同的排表方法共有1212144⨯=，故选B ．9．在ABC ∆中，90A ∠=︒，1AB =，2AC =，设点D 、E 满足AD AB λ=，(1)()AE AC λλ=-∈R ，若5BE CD ⋅=，则λ=（ ）A ．13- B ．2C ．95D ．3【答案】D【解析】因为90A ∠=︒，则0AB AC ⋅=， 所以()()BE CD AE AB AD AC ⋅=-⋅-[(1)]()AC AB AB AC λλ=--⋅-22(1)AC ABλλ=---4(1)34λλλ=---=-．由已知，345λ-=，则3λ=，故选D ．10．若即时起10分钟内，305路公交车和202路公交车由南往北等可能进入二里半公交站，则这两路公交车进站时间的间隔不超过2分钟的概率为（ ） A ．0.18 B ．0.32C ．0.36D ．0.64【答案】C【解析】设305路车和202路车的进站时间分别为x 、y ，“进站时间的间隔不超过2分钟”为时间A ，则{(,)010,010,2}A x y x y x y =≤≤≤≤-≤．图中阴影区域的面积10108836S =⨯-⨯=，则36()0.36100P A ==，故选C ． 11．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，且11a =，2(1)()nn S a n n n=+-∈*N ，则数列1{}3n S n+的前10项的和是（ ）A ．290B ．920C ．511D ．1011【答案】C 【解析】由2(1)()nn S a n n n=+-∈*N 得2(1)n n S na n n =--， 当2n ≥时，11(1)4(1)n n n n n a S S na n a n --=-=--⋅--，整理得14n n a a --=， 所以{}n a 是公差为4的等差数列．又11a =，所以43()n a n n =-∈*N ，从而21()33222(1)2n n n a a S n n n n n n ++=+=+=+， 所以11111()32(1)21n S n n n n n ==-+++， 数列1{}3n S n +的前10项的和115(1)21111S =-=．故选C ． 12．长方体1111ABCD A B C D -中，1AB BC ==，1BB =设点A 关于直线1BD 的对称点为P ，则P 与1C 两点之间的距离为（ ） A ．2 BC ．1D ．12【答案】C【解析】将长方形中含有1ABD 的平面取出，过点A 作1AM BD ⊥，垂足为M ，延长AM 到AP ，使MP AM =，则P 是A 关于1BD 的对称点，如图所示，过P 作1PE BC ⊥，垂足为E ，连接PB ，1PC ，依题意1AB =，1AD ，12BD =，160ABD ∠=︒，30BAM ∠=︒，12PE =，BE =，所以11PC =．故选C ．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，112a =-，若6378S S =，则3a = ． 【答案】18-【解析】由题知公比1q ≠，所以6136313(1)711(1)81a q S q q a q S q--==+=--，解得12q =-， 所以23118a a q ==-． 14．下图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的体积为 ．【答案】20π【解析】由三视图可得，2212423203V πππ=⋅⋅+⋅⋅⋅=．15．已知点(0,1)A ，抛物线C ：2(0)y ax a =>的焦点为F ，连接FA ，与抛物线C 相交于点M ，延长FA ，，与抛物线C 的准线相交于点N ，若:1:2FM MN =，则实数a 的值为 ．【答案】3【解析】依题意得焦点F 的坐标为(,0)4a，过M 作抛物线的准线的垂线且垂足为K ，连接MK ，由抛物线的定义知MF MK =，因为:1:2FM MN =，所以:KN KM =，又01404FN k a a -==--，FN KN k KM =-=4a -=a = 16．已知函数11,1()3ln ,1x x f x x x ⎧+≤⎪=⎨⎪>⎩，则当函数()()F x f x ax =-恰有两个不同的零点时，实数a 的取值范围是 ． 【答案】11[,)3e【解析】由题可知方程()f x ax =恰有两个不同的实数根， 所以()y f x =与y ax =有2个交点．因为a 表示直线y ax =的斜率，当1x >时，1()f x x'=， 设切点坐标为00(,)x y ，01k x =，所以切线方程为0001()y y x x x -=-， 而切线过原点，所以01y =，0x e =，1k e =，所以直线1l 的斜率为1e， 直线2l 与113y x =+平行，所以直线2l 的斜率为13， 所以实数a 的取值范围是11[,)3e．三、解答题：本大题共6大题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（12分）在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分別为a 、b 、c ，若3cos 4A =，2B A =，3b =．（1）求a ；（2）已知点M 在边BC 上，且AM 平分BAC ∠，求ABM ∆的面积． 【答案】（1）2a =；（2【解析】（1）由0A π<<，3cos 4A =，得sin A = 所以sin sin 22sin cos B A A A ==324==． 由正弦定理sin sin a b A B =，可得sin 2sin b Aa B==． （2）2231cos cos 22cos 12()148B A A ==-=⨯-=， 在ABC ∆中，由余弦定理2222cos b a c ac B =+-，得22100c c --=，解得52c =或2c =-（舍去），1sin 2ABC S bc A ∆==， 因为36552ACM ABMCM AC S S BM AB ∆∆====，所以5511116176ABM ABC S S ∆∆==⨯=． 18．（12分）在四棱锥P ABCD -中，BC BD DC ===2AD AB PD PB ====．（1）若点E 为PC 的中点，求证：//BE 平面PAD ；（2）当平面PBD ⊥平面ABCD 时，求二面角C PD B --的余弦值．【答案】（1）见解析；（2．【解析】（1）取CD 的中点为M ，连结EM ，BM ．由已知得，BCD ∆为等边三角形，BM CD ⊥．∵2AD AB ==，BD =30ADB ABD ∠=∠=︒， ∴90ADC ∠=︒，∴//BM AD ．又∵BM ⊄平面PAD ，AD ⊂平面PAD ，∴//BM 平面PAD ， ∵E 为PC 的中点，M 为CD 的中点，∴//EM PD ．又EM ⊄平面PAD ，PD ⊂平面PAD ，∴//EM 平面PAD ， ∵EMBM M =，∴平面//BEM 平面PAD ．∵BE ⊂平面BEM ，∴//BE 平面PAD ．（2）连结AC ，交BD 于点O ，连结PO ，则O 为BD 的中点，且AC BD ⊥，PO BD ⊥，∵平面PBD ⊥平面ABCD ，PO BD ⊥，∴PO ⊥平面ABCD ， 可求得1PO AO ==，3CO =，以O 为坐标原点，OC 的方向为x 轴正方向，OB 的方向为y 轴正方向，OP 的方向为z 轴正方向，建立空间直角坐标系O xyz -，则(0,D ，(3,0,0)C ，(0,0,1)P，DC =，DP =， 平面PBD 的一个法向量为1(1,0,0)=n ．设平面PCD 的法向量为2(,,)x y z =n ，有22DC DP ⎧⊥⎪⎨⊥⎪⎩n n ，得220DC DP ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n ，即30x z ⎧+=⎪+=，令y =1x =-，3z =-，∴2(13)=--n ．∴121212cos ,13⋅===-⋅n n n n n n ．二面角C PD B --． 19．（12分）某社区消费者协会为了解本社区居民网购消费情况，随机抽取了100位居民作为样本，就最近一年来网购消费金额（单位：千元），网购次数和支付方式等进行了问卷调查．经统计这100位居民的网购消费金额均在区间[0,30]内，按[0,5]，[5,10)，(10,15]，(15,20]，(20,25]，(25,30]分成6组，其频率分布直方图如图所示．（1）估计该社区居民最近一年来网购消费金额的中位数；（2）将网购消费金额在20千元以上者称为“网购迷”，补全下面的22⨯列联表，并判断有多大把握认为“网购迷与性别有关系”．（3）调查显示，甲、乙两人每次网购采用的支付方式相互独立，两人网购时间与次数也互不影响．统计最近一年来两人网购的总次数与支付方式，得到数据如下表所示：将频率视为概率，若甲、乙两人在下周内各自网购2次，记两人采用支付宝支付的次数之和为ξ，求ξ的数学期望．附：观测值公式：22()()()()()()a b c d ad bc K a b c d a c b d +++-=++++．临界值表：【答案】（1）17.5千元；（2）有97.5%的把握认为；（3）见解析． 【解析】（1）在直方图中，从左至右前3个小矩形的面积之和为(0.010.020.04)50.35++⨯=，后2个小矩形的面积之和为(0.040.03)50.35+⨯=， 所以中位数位于区间(15,20]内．设直方图的面积平分线为15x +，则0.060.50.350.15x =-=，得 2.5x =， 所以该社区居民网购消费金额的中位数估计为17.5千元．（2）由直方图知，网购消费金额在20千元以上的频数为0.3510035⨯=，所以“网购迷”共有35人．由列联表知，其中女性有20人，则男性有15人，所以补全的列联表如下：因为22100(45201520)600 6.593 5.0246040356591K ⨯-⨯==≈>⨯⨯⨯，查表得2( 5.024)0.025P K ≥=，所以有97.5%的把握认为“网购迷与性别有关”．（3）由表知，甲，乙两人每次网购采用支付宝支付的概率分别为12，23． 设甲，乙两人采用支付宝支付的次数分别为X ，Y ， 据题意，1(2,)2X B ∼，2(2,)3Y B ∼．所以1()212E X =⨯=，24()233E Y =⨯=． 因为X Y ξ=+，则7()()()3E E X E Y ξ=+=，所以ξ的数学期望为73． 20．（12分）已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>过点，右焦点F 是抛物线28y x =的焦点． （1）求椭圆C 的方程；（2）已知动直线l 过右焦点F ，且与椭圆C 分别交于M ，N 两点．试问x 轴上是否存在定点Q ，使得13516QM QN ⋅=-恒成立？若存在求出点Q 的坐标；若不存在，说明理由．【答案】（1）2211612x y +=；（2）存在，11(,0)4Q ．【解析】（1）因为椭圆C过点，所以221231a b+=． 又抛物线的焦点为(2,0)，所以2c =，所以2212314a a +=-， 解得33a =（舍去）或216a =． 所以椭圆C 的方程为2211612x y+=． （2）假设在x 轴上存在定点(,0)Q m ，使得13516QM QN ⋅=-，①当直线l 的斜率不存在时，则(2,3)M ，(2,3)N -，(2,3)QM m =-，(2,3)QN m =-，由2135(2)916QM QN m ⋅=--=-，解得54m =或114m =；②当直线l 的斜率为0时，则(4,0)M -，(4,0)N ，(4,0)QM m =--，(4,0)QN m =-，由21351616QM QN m ⋅=-=-，解得114m =-或114m =． 由①②可得114m =，即点Q 的坐标为11(,0)4．下面证明当114m =时，13516QM QN ⋅=-恒成立，当直线l 的斜率不存在或斜率为0时，由①②知结论成立．当直线斜率存在或且不为0时，设其方程为(2)(0)y k x k =-≠，11(,)M x y ，22(,)N x y ，由22(2)11612y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，得2222(34)1616(3)0k x k x k +-+-=，直线经过椭圆内一点，一定与椭圆有两个交点，且21221643k x x k +=+，212216(3)43k x x k -=+． 22212121212(2)(2)2()4y y k x k x k x x k x x k =-⋅-=-++，所以11221111(,)(,)44QM QN x y x y ⋅=-⋅- 222222216(3)1116121135(1)(2)4434431616k k k k k k k -=+-+++=-++． 综上所述，在x 轴上存在定点11(,0)4Q ，使得13516QM QN ⋅=-恒成立． 21．（12分）已知函数1()ln af x a x x x-=-++． （1）当2a ≥时，求函数()f x 的单调区间；（2）设2()3xg x e mx =+-，当21a e =+时，对任意1[1,)x ∈+∞，存在2[1,)x ∈+∞，使212()2()f x e g x +≥，证明：2m e e ≤-．【答案】（1）见解析；（2）见解析． 【解析】（1）函数()f x 的定义域为(0,)+∞， 又221(1)[(1)]()1a a x x a f x x x x----'=-++=， 由()0f x '=，得1x =或1x a =-，当2a >即11a ->时，由()0f x '<得11x a <<-；由()0f x '>得01x <<或1x a >-；当2a =即11a -=时，当0x >时都有()0f x '≥，∴当2a >时，单调减区间为(1,1)a -，单调增区间为(0,1)，(1,)a -+∞当2a =时，单调增区间是(0,)+∞，没有单调减区间．（2）当21a e =+时，由（1）知()f x 在2(1,)e 单调递减，在2(,)e +∞单调递增，从而()f x 在[1,)+∞上的最小值为22()3f e e =--．对任意1[1,)x ∈+∞，存在2[1,)x ∈+∞，使得212()2()f x e g x +≥，即存在2[1,)x ∈+∞，使得2()g x 的值不超过2()2f x e +在区间[1,)+∞上的最小值为23e -．由222323x e e e mx --+≥+-得22x e mx e +≤，∴22x e e m x -≤． 令22()xe e h x x-=，则当[1,)x ∈+∞时，max ()m h x ≤． ∵2222232()2()()()x x x xe x e e x xe e e h x x x---+-'==-，当[1,2]x ∈时，()0h x '<； 当[2,)x ∈+∞时，22()20xxxxxe e e xe e +->-≥，()0h x '<，故()h x 在[1,)+∞上单调递减，从而2max ()(1)h x h e e ==-，从而实数2m e e ≤-．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分． 22．（10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】在平面直角坐标系xOy 中，直线l的参数方程为112x y t ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）， 以坐标原点为极点，以x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρθ=-．（1）求直线l 的普通方程及曲线C 的直角坐标方程；（2）设点(1,P ，直线l 与曲线C 相交于两点A 、B ，求11PA PB+的值． 【答案】（1）20x ++=，220x y ++=；（2）2． 【解析】（1）消去参数得直线l的普通方程为20x +=；因为ρθ=-，所以2sin ρθ=-， 所以曲线C的直角坐标方程是220x y ++=．（2）点(1,P 是直线l 上的点，设A ，B 两点对应的参数分别为1t ，2t ， 将直线l 的参数方程代入曲线C的直角坐标方程，得220t -=， 方程判别式0Δ>，可得12t t +122t t ⋅=-．于是1212112PA PB t t PA PB PA PB t t +-+====⋅． 23．（10分）【选修4-5：不等式选讲】 已知函数()13f x x x a =+++．（1）当1a =-时，解不等式()2f x ≥；（2）若存在0x 满足00()211f x x ++<，求实数a 的取值范围．【答案】（1）102x x x ⎧⎫≤≥⎨⎬⎩⎭或；（2）24a <<．【解析】（1）当1a =-时，()131f x x x =++-，当13x ≥时，不等式等价于1312x x ++-≥，解得12x ≥，∴12x ≥； 当113x -<<时，不等式等价于1312x x +-+≥，解得0x ≤，∴10x -<≤； 当1x ≤-时，不等式等价于1312x x ---+≥，解得12x ≤-，∴1x ≤-， 综上所述，原不等式的解集为102x x x ⎧⎫≤≥⎨⎬⎩⎭或． （2）由00()211f x x ++<，得003131x x a +++<，而000000313333(33)(3)3x x a x x a x x a a +++=+++≥+-+=-， （当且仅当00(33)(3)0x x a ++≤时等号成立，） 由题可知，min (()21)1f x x ++<，即31a -<， 解得实数a 的取值范围是24a <<．。
河北省衡水中学2020届高三上学期四调考试数学(理)试题
…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………河北省衡水中学2020届高三上学期四调考试数学（理）试题题号 一 二 三 总分 得分评卷人 得分一、选择题 本大题共12道小题。
1.设a R ∈，[0,2]b π∈.若对任意实数x 都有sin(3)=sin()3x ax b π-+，则满足条件的有序实数对（a,b ）的对数为（ ）. A. 1 B. 2C. 3D. 42.如图，三棱柱ABC -A 1B 1C 1的高为6，点D ，E 分别在线段A 1C 1，B 1C 上，A 1C 1=3DC 1，B 1C =4B 1E .点A ，D ，E 所确定的平面把三棱柱切割成体积不相等的两部分，若底面△ABC 的面积为6，则较大部分的体积为A. 22B. 23C. 26D. 273.已知等差数列{a n }的公差不为零，其前n 项和为S n ，若3S ，9S ，27S 成等比数列，则93S S =（） A. 3 B. 6C. 9D. 124.已知F 是双曲线22:145x y C -=的一个焦点，点P 在C 上，O 为坐标原点，若=OP OF ，则OPF△答案第2页，总22页…○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※…○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………A. 32B.52C.72D.925.在△ABC 中，点P 满足3BP PC =u u u v u u u v ，过点P 的直线与AB 、AC 所在的直线分别交于点M 、N ，若AM AB λ=u u u u r u u u r，()0,0AN AC μλμ=>>u u u r u u u r，则λμ+的最小值为（ ）A. 212+ B.31+ C.32D.526.已知AB 是抛物线y 2＝2x 的一条焦点弦，|AB |＝4，则AB 中点C 的横坐标是 ( ) A. 2 B.32C.12D.527.如图，圆柱的轴截面ABCD 为正方形，E 为弧»BC 的中点，则异面直线AE 与BC 所成角的余弦值为（ ）A. 3B.5 C.30 D.68.已知集合(){}|10A x x x =-≤，(){}|ln B x y x a ==-，若A ∩B =A ，则实数a 的取值范围为（ ） A.(－∞,0) B. (－∞,0]C. (1,+∞)D. [1,+∞))9.已知α、β都为锐角，且217sin α=21cos β=，则α﹣β＝（ ）…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………A. 3π- B.3π C. 6π-D.6π 10.如图，点P 在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的面对角线BC 1上运动，则下列四个结论： ①三棱锥1A D PC -的体积不变； ②1//A P 平面1ACD ； ③1DP BC ⊥；④平面1PDB ⊥平面1ACD ． 其中正确的结论的个数是( )A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个11. 设()()2222xD x a e aa =-+-+,其中e ≈2.71828，则D 的最小值为( )A. 2B.3 C.21D.3112.过三点A (1,3)，B (4,2)，C (1,－7)的圆截直线20x ay ++=所得弦长的最小值等于（ ） A. 23 B. 43 C.13 D. 13评卷人 得分一、填空题 本大题共3道小题。
河北省衡水中学2019-2020学年度高三年级上学期四调考试数学(理)试题(解析版)
2019-2020学年度高三年级上学期四调考试数学（理科）试卷一、选择题（本大题共12小题，每题5分，共60分，下列每小题所给选项只有一项符合题意，请将正确答案的序号填涂在答题卡上）1.已知集合(){}|10A x x x =-≤，(){}|ln B x y x a ==-，若A B A =I ，则实数a 的取值范围为（ ） A. (),0-∞ B. (],0-∞C. ()1,+∞D. [)1,+∞【答案】A 【解析】 【分析】分别求出集合A 集合B 范围，根据A B A =I 得到A 是B 子集，根据范围大小得到答案. 【详解】(){}|1001A x x x x =-≤⇒≤≤(){}|ln B x y x a x a ==-⇒>A B A A B ⋂=⇒⊆所以0a < 故答案选A【点睛】本题考查了集合的包含关系求取值范围，属于简单题.2.已知AB 是抛物线22y x =的一条焦点弦，4AB =，则AB 中点C 的横坐标是 ( )A. 2B.32C.12D.52【答案】B 【解析】 【分析】先设A B ，两点的坐标，由抛物线的定义表示出弦长，再由题意，即可求出中点的横坐标. 【详解】设()()1122A ,B ,x y x y ，，C 的横坐标为0x ，则1202x x x +=， 因为AB 是抛物线22y x =的一条焦点弦，所以121214AB x x p x x =++=++=，所以123x x +=，故120322x x x +==. 故选B【点睛】本题主要考查抛物线的定义和抛物线的简单性质，只需熟记抛物线的焦点弦公式即可求解，属于基础题型.3.如图，圆柱的轴截面ABCD 为正方形，E 为弧»BC的中点，则异面直线AE 与BC 所成角的余弦值为（ ）A.3B.C.6D.6【答案】D 【解析】 【分析】取BC 的中点H ，连接,,?EH AH ED ，则异面直线AE 与BC 所成角即为EAD ∠，再利用余弦定理求cos EAD ∠得解.【详解】取BC 的中点H ，连接,,90,EH AH EHA ∠=o设2,AB =则1,BH HE AH ===所以AE =连接,ED ED =因为//,BC AD所以异面直线AE 与BC 所成角即为,EAD ∠在EAD V 中cosEAD ∠== 故选:D【点睛】本题主要考查异面直线所成角的计算，考查余弦定理，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理计算能力.4.已知α、β都为锐角，且7sin α=、cos β=α﹣β＝（ ）A. 3π-B.3π C. 6π-D.6π 【答案】C 【解析】 【分析】由同角三角函数的关系以及两角和与差的公式即可求解.【详解】因α、β都为锐角，且7sin α=、14cos β=，所以cos α=sin β=，由()491sin sin cos cos sin 714714982αβαβαβ-=-=⋅-⋅=-=-， 且α、β都为锐角， 所以6παβ-=-故选：C【点睛】本题主要考查同角三角函数的关系以及两角和与差的正弦公式，属于基础题. 5.设a R ∈，[0,2]b π∈.若对任意实数x 都有sin(3)=sin()3x ax b π-+，则满足条件的有序实数对（a,b ）的对数为（ ）.A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】B 【解析】试题分析：5sin(3)sin(32)sin(3)333x x x ππππ-=-+=+，，又4sin(3)sin[(3)]sin(3)333x x x ππππ-=--=-+，4(,)(3,)3a b π=-， 注意到[0,2)b π∈，只有这两组．故选B ． 【考点】三角函数【名师点睛】本题根据三角函数的图象和性质及三角函数的诱导公式，利用分类讨论的方法，确定得到,a b 的可能取值.本题主要考查考生的逻辑思维能力、基本运算求解能力、数形结合思想、分类讨论思想等. 【此处有视频，请去附件查看】6.已知F 是双曲线22:145x y C -=的一个焦点，点P 在C 上，O 为坐标原点，若=OP OF ，则OPF △的面积为（ ） A.32B.52C.72D.92【答案】B 【解析】 【分析】设()00,P x y ，因为=OP OF 再结合双曲线方程可解出0y ，再利用三角形面积公式可求出结果.【详解】设点()00,P x y ，则2200145x y -=①．又3OP OF ===，22009x y ∴+=②．由①②得20259y =，即053y =， 0115532232OPFS OF y ∆∴==⨯⨯=g ， 故选B ．【点睛】本题易错在忽视圆锥曲线方程和两点间的距离公式的联系导致求解不畅． 7.已知等差数列{}n a 的公差不为零，其前n 项和为n S ，若3S ，9S ，27S 成等比数列，则93S S =（） A. 3 B. 6 C. 9 D. 12【答案】C 【解析】 【分析】由题意，得29327S S S =⨯，利用等差数列的求和公式，列出方程求得12d a =，即可求解93S S 的值，得到答案.【详解】由题意，知3S ，9S ，27S 成等比数列，所以29327S S S =⨯，即219131279()3()27()222a a a a a a +++⎛⎫=⨯ ⎪⎝⎭， 整理得2521437821a a a =⨯，所以2111(4)()(13)a d a d a d +=++，解得12d a =，所以919135329()3()9223S a a a a a S a ++=÷=＝11113(4)2793a d a a d a +==+， 故选C.【点睛】本题主要考查了等比中项公式，以及等差数列的通项公式和前n 项和公式的应用，其中解答中熟练应用等差数列的通项公式和前n 项和公式，准确运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.8.在ABC ∆中，点P 满足3BP PC =uu v uu u v，过点P 的直线与AB 、AC 所在的直线分别交于点M 、N ，若AM AB λ=u u u u r u u u r ，()0,0AN AC μλμ=>>uuur uu u r ，则λμ+的最小值为（ ）A.12+ B.1+ C.32D.52【答案】B 【解析】 【分析】由题意得出1344AP AB AC =+uu u r uu u r uuu r ，再由AM AB λ=u u u u r u u u r ，AN AC μ=u u ur u u u r ，可得出1344AP AM AN λμ=+uu u r uuu r uuu r ，由三点共线得出13144λμ+=，将代数式λμ+与1344λμ+相乘，展开后利用基本不等式可求出λμ+的最小值.【详解】如下图所示：3BP PC =uu r uu u rQ ，即()3AP AB AC AP -=-uu u r uu u r uuu r uu u r ，1344AP AB AC ∴=+uu u r uu u r uu u r ，AM AB λ=uuu r uu u r Q ，()0,0AN AC μλμ=>>uuur uu u r ，1AB AM λ∴=uu u r uuu r ，1AC AN μ=uuu r uuu r ，1344AP AM AN λμ∴=+uu u r uuu r uuu r ，M Q 、P 、N 三点共线，则13144λμ+=.()133********λμλμλμλμμλ⎛⎫∴+=++=++≥=+ ⎪⎝⎭，当且仅当μ=时，等号成立，因此，λμ+1+，故选B. 【点睛】本题考查三点共线结论的应用，同时也考查了利用基本不等式求和式的最小值，解题时要充分利用三点共线得出定值条件，考查运算求解能力，属于中等题.9.如图，点P 在正方体1111ABCD A B C D -的面对角线1BC 上运动，则下列四个结论：①三棱锥1A D PC -的体积不变；1//A P ②平面1ACD ； 1DP BC ⊥③；④平面1PDB ⊥平面1ACD ．其中正确的结论的个数是( )A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个【答案】C 【解析】 【分析】利用空间中线线、线面、面面间的位置关系求解．【详解】对于①，由题意知11//AD BC ，从而1//BC 平面1AD C ，故BC 1上任意一点到平面1AD C 的距离均相等，所以以P 为顶点，平面1AD C 为底面，则三棱锥1A D PC -的体积不变，故①正确； 对于②，连接1A B ，11A C ，111//AC AD 且相等，由于①知：11//AD BC ， 所以11//BA C 面1ACD ，从而由线面平行的定义可得，故②正确； 对于③，由于DC ⊥平面11BCB C ，所以1DC BC ⊥， 若1DP BC ⊥，则1BC ⊥平面DCP ，1BC PC ⊥，则P 为中点，与P 为动点矛盾，故③错误；对于④，连接1DB ，由1DB AC ⊥且11DB AD ⊥，可得1DB ⊥面1ACD ，从而由面面垂直的判定知，故④正确． 故选C ．【点睛】本题考查命题真假的判断，解题时要注意三棱锥体积求法中的等体积法、线面平行、垂直的判定，要注意使用转化的思想．10.过三点(1,3)A ，(4,2)B ，(1,7)C -的圆截直线20x ay ++=所得弦长的最小值等于（ ）A. B. D. 【答案】B 【解析】 【分析】因为圆心在弦AC 的中垂线上，所以设圆心P 坐标为（a ，-2），再利用222r AP BP =+，求得1a =，确定圆的方程.又直线过定点Q ，则可以得到弦长最短时圆心与直线的定点Q 与弦垂直，然后利用勾股定理可求得弦长.【详解】解：设圆心坐标P 为（a,-2），则r 2＝()()()()2222132422a a -++=-++，解得a=1，所以P （1，-2）.又直线过定点Q （-2，0），当直线PQ 与弦垂直时，弦长最短，根据圆内特征三角形可知弦长20x ay ++=被圆截得的弦长为故选B ．11.如图，三棱柱111ABC A B C -的高为6，点D ，E 分别在线段11A C ，1B C 上，111A C 3DC =，11B C 4B =E.点A ，D ，E 所确定的平面把三棱柱切割成体积不相等的两部分，若底面ABC V 的面积为6，则较大部分的体积为( )A. 22B. 23C. 26D. 27【答案】B 【解析】 【分析】延长AD 与CC 1的交点为P ，连接PE 与C 1B 1的交点为N ，延长PE 交B 1B 为M ，与面ABC 交于点Q ，得到截面为DNMA ，由题意得A 1D ＝2DC 1，由此能求出较大部分的体积． 【详解】如图，延长AD 与1CC 的交点为P ，连接PE 与11C B 的交点为N ， 延长PE 交1B B 为M ，与面ABC 交于点Q ， 得到截面为DNMA ，111A C 3DC =Q ，11B C 4B E =，M ∴，N 分别为11C B ，1B B 的中点，下部分体积11P AQC P DNC M ABQ AQC ABQ DNC 11111h V V V V S h h S h S 23323232---⎛⎫=--=⨯⨯+-⨯⨯-⨯⨯= ⎪⎝⎭V V 下． 故选B ．【点睛】本题考查几何体中两部分体积之比的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间不规则几何体体积的求解方法的培养．12.设D2a=+,其中 2.71828e≈，则D的最小值为( )11【答案】C【解析】表示两点(,)xC x e与点(,A a距离，而点A在抛物线24y x=上，抛物线的焦点(1,0)F，准线为1x=-，则D表示A与C的距离和A与准线的距离的和加上1，由抛物线的定义可得D表示A与C的距离和加上1，画出图象，当,,F A C三点共线时，可求得最小值.详解：由题意0a≥，2D a=+，表示两点(,)xC x e与点(,A a的距离，而点A在抛物线24y x=上，抛物线的焦点(1,0)F，准线为1x=-，则D表示A与C的距离和A与准线的距离的和加上1，由抛物线的定义可得D表示A与C的距离和加上1，由图象可知,,F A C三点共线时，且QF为曲线xy e=的垂线，此时D取得最小值，即Q为切点，设(,)mm e，由11mmeem-⋅=--，可得21mm e+=，设()2mg m m e=+，则()g m递增，且(0)1g=，可得切点(0,1)Q，即有FQ D1，故选C.点睛：本题考查直线与抛物线的综合应用问题，解答中注意运用两点间的距离公式和抛物线的定义，以及的三点共线等知识综合运用，着重考查了转化与化归思想，以及推理与运算能力，属于中档试题.二、填空题：（本大题共4小题，每题5分，共20分）13.已知函数()2log ,042,0x x x f x x ->⎧=⎨-≤⎩，则18f f ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭______. 【答案】-4【解析】【分析】 先求18f ⎛⎫⎪⎝⎭，再求18f f ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 【详解】因为函数()2log ,042,0x x x f x x ->⎧=⎨-≤⎩， 则211log 388f ⎛⎫==- ⎪⎝⎭ ()1348f f f ⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.故答案为-4. 【点睛】本题考查了分段函数求值，属于简单题型.14.已知1F ，2F 分别为椭圆22:1259x y C +=的左、右焦点，且点A 是椭圆C 上一点，点M 的坐标为(2,0)，若AM 为12F AF ∠的角平分线，则2AF =___________. 【答案】52【解析】【分析】由题意可知：A 在y 轴左侧，1122AF F M AF MF ==3，根据椭圆的性质可知：|AF 1|+|AF 2|＝2a ＝10，即可求得|AF 2|的值．【详解】解：由题意可知：∠F 1AM ＝∠MAF 2，设A 在y 轴左侧， ∴1122AF F M AF MF ==3，由|AF 1|+|AF 2|＝2a ＝10，A 在y 轴右侧时，|AF 2|10542==， 故答案为：52．【点睛】本题考查椭圆的几何性质及角平分线的性质，属于基本知识的考查．15.如图（1），在等腰直角ABC ∆中，斜边4AB =，D 为AB 的中点，将ACD ∆沿CD 折叠得到如图（2）所示的三棱锥C A BD '-，若三棱锥C A BD '-A DB '∠=_________.图（1） 图（2） 【答案】23π 【解析】【分析】【详解】解：球是三棱锥C ﹣A 'BD 的外接球，所以球心O 到各顶点的距离相等，如图．根据题意，CD ⊥平面A 'BD ，取CD 的中点E ，A 'B 的中点G ，连接CG ，DG ，因为A 'D ＝BD ，CD ⊥平面A 'BD ，所以A '和B 关于平面CDG 对称，在平面CDG 内，作线段CD 的垂直平分线，则球心O 在线段CD 的垂直平分线上，设为图中的O 点位置，过O 作直线CD 的平行线，交平面A 'BD 于点F ，则OF ⊥平面A 'BD ，且OF ＝DE ＝1，因为A 'F 在平面A 'BD 内，所以OF ⊥A 'F ，即三角形A 'OF 为直角三角形，且斜边OA '＝R =∴A 'F ==2，所以，BF ＝2，所以四边形A 'DBF 为菱形，又知OD ＝R ，三角形ODE 为直角三角形，∴OE ==2，∴三角形A 'DF 为等边三角形，∴∠A 'DF 3π=，故∠A 'DB 23π=， 故填：23π．【点睛】本题考查了三棱锥的外接球的问题，找到球心的位置是解决本题的关键．属于中档题． 16.设定义在D 上的函数()y h x =在点00(,())P x h x 处的切线方程为:()l y g x =，当0x x ≠时，若0()()0h x g x x x ->-在D 内恒成立，则称P 点为函数()y h x =的“类对称中心点”，则函数22()ln 2x f x x e=+的“类对称中心点”的坐标是________.【答案】3(,)2e【解析】【分析】由求导公式求出函数f （x ）的导数，由导数的几何意义和条件求出切线方程，再求出y ＝g （x ），设F （x ）＝f （x ）﹣g （x ），求出导数化简后利用分类讨论和导数与函数单调性的关系，判断出F （x ）的单调性和最值，从而可判断出()()0f x g x x x --的符号，再由“类对称中心点”的定义确定“类对称中心点”的坐标．【详解】解：由题意得，f ′（x ）21x e x =+，f （x 0）20022x lnx e=+（x ＞0）， 即函数y ＝f （x ）的定义域D ＝（0，+∞），所以函数y ＝f （x ）在点P （x 0，f （x 0））处的切线方程l 方程为：y ﹣（20022x lnx e +）＝（0201x e x +）（x ﹣x 0）， 则g （x ）＝（0201x e x +）（x ﹣x 0）+（20022x lnx e+）， 设F （x ）＝f （x ）﹣g （x ）222x e =+lnx ﹣[（0201x e x +）（x ﹣x 0）+（20022x lnx e +）]， 则F （x 0）＝0，所以F ′（x ）＝f ′x ）﹣g ′（x ）21x e x =+-（0201x e x +）02011x x e x x -=+- ()()0002200111x x x x x x x e xx x e x ⎛⎫-=-+=-- ⎪⎝⎭当0＜x 0＜e 时，F （x ）在（x 0，2e x ）上递减， ∴x ∈（x 0，20e x ）时，F （x ）＜F （x 0）＝0，此时()()00f x g x x x --＜， 当x 0＞e 时，F （x ）在（2e x ，x 0）上递减；∴x ∈（20e x ，x 0）时，F （x ）＞F （x 0）＝0，此时()()00f x g x x x --＜， ∴y ＝F （x ）在（0，e ）∪（e ，+∞）上不存在“类对称点”．若x 0＝e ，()22211()x x e x e x e e xe -⎛⎫--= ⎪⎝⎭＞0，则F （x ）在（0，+∞）上是增函数， 当x ＞x 0时，F （x ）＞F （x 0）＝0，当x ＜x 0时，F （x ）＜F （x 0）＝0，故()()00f x g x x x --＞，即此时点P 是y ＝f （x ）的“类对称点”，综上可得，y ＝F （x ）存在“类对称点”，e 是一个“类对称点”的横坐标，又f （e ）22322e lne e =+=，所以函数f （x ）的“类对称中心点”的坐标是32e ⎛⎫ ⎪⎝⎭，， 故答案为：32e ⎛⎫ ⎪⎝⎭，．【点睛】本题考查利用导数求函数的单调增区间，求函数的最值问题、新定义的问题，考查了分类讨论思想和等价转化思想的合理运用，以及化简变形能力，此题是难题． 三、解答题：（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17.在平面四边形ABCD 中，A C π∠+∠=，1AB =，3BC =，2CD DA ==.（1）求C ∠；（2）若E 是BD 的中点，求CE .【答案】（1）60C =o ；（2）2CE =【解析】【分析】（1）利用余弦定理进行化简，求出C ；（2）利用向量法求出CE ．【详解】（1）由题设及余弦定理得：2222cos BD BC CD BC CD =+-⋅1312cos C C =-， BD 2＝AB 2+DA 2﹣2AB •DA cos A ＝5+4cos C ，所以cos C 12=，60C ∴=o ；（2）由1()2CE CD CB =+u u u r u u u r u u u r ，得2221(2)4CE CD CB CD CB =++⋅u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r 1119(49223)424=++⨯⨯⨯=所以2CE =.【点睛】本题考查余弦定理的应用，考查了向量数量积运算，属于中档题．18. 如图，已知正三棱锥P-ABC 的侧面是直角三角形，PA=6，顶点P 在平面ABC 内的正投影为点D ，D 在平面PAB 内的正投影为点E ，连结PE 并延长交AB 于点G.（Ⅰ）证明：G 是AB 的中点；（Ⅱ）在图中作出点E 在平面PAC 内的正投影F （说明作法及理由），并求四面体PDEF 的体积．【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）作图见解析，体积为43. 【解析】试题分析：证明.AB PG ⊥由PA PB =可得G 是AB 的中点.（Ⅱ）在平面PAB 内，过点E 作PB 的平行线交PA 于点F ，F 即为E 在平面PAC 内的正投影.根据正三棱锥的侧面是直角三角形且6PA =，可得2,==DE PE 在等腰直角三角形EFP 中，可得 2.==EF PF 四面体PDEF 的体积114222.323V =⨯⨯⨯⨯= 试题解析：（Ⅰ）因为P 在平面ABC 内的正投影为D ，所以.AB PD ⊥因为D 在平面PAB 内的正投影为E ，所以.AB DE ⊥所以AB ⊥平面PED ，故.AB PG ⊥又由已知可得，PA PB =，从而G 是AB 的中点.（Ⅱ）在平面PAB 内，过点E 作PB 的平行线交PA 于点F ，F 即为E 在平面PAC 内的正投影. 理由如下：由已知可得PB PA ⊥，PB PC ⊥，又EF PB P ,所以EF PA EF PC ⊥⊥，,因此EF ⊥平面PAC ，即点F 为E 在平面PAC 内的正投影.连结CG ，因为P 在平面ABC 内的正投影为D ，所以D 是正三角形ABC 的中心.由（Ⅰ）知，G 是AB 的中点，所以D 在CG 上，故2.3=CD CG 由题设可得PC ⊥平面PAB ，DE ⊥平面PAB ，所以DE PC P ，因此21,.33==PE PG DE PC由已知，正三棱锥的侧面是直角三角形且6PA =，可得2,==DE PE在等腰直角三角形EFP 中，可得 2.==EF PF所以四面体PDEF 的体积114222.323V =⨯⨯⨯⨯= 【考点】线面位置关系及几何体体积计算【名师点睛】文科立体几何解答题主要考查线面位置关系的证明及几何体体积的计算,空间中线面位置关系的证明主要包括线线、线面、面面三者的平行与垂直关系,其中推理论证的关键是结合空间想象能力进行推理,注意防止步骤不完整或考虑不全致推理片面,该类题目难度不大,以中档题为主.【此处有视频，请去附件查看】19.设椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的右顶点为A ，上顶点为BAB = ，1）求椭圆方程；，2，设直线:(0)l y kx k =<与椭圆交于P ，Q 两点，l 与直线AB 交于点M ，且点P，M 均在第四象限．若BPM △的面积是BPQ V 面积的2倍，求k 的值．【答案】，1，22194x y +=，(2)12-， 【解析】分析：，I ）由题意结合几何关系可求得3,2a b ==.则椭圆的方程为22194x y +=. ，II ）设点P 的坐标为()11,x y ，点M 的坐标为()22,x y ，由题意可得215x x =.易知直线AB 的方程为236x y +=，由方程组236,,x y y kx +=⎧⎨=⎩可得2632x k =+.由方程组221,94,x y y kx ⎧+⎪=⎨⎪=⎩可得1x =结合215x x =，可得89k =-，或12k =-.经检验k 的值为12-. 详解：（I ）设椭圆的焦距为2c ，由已知得2259c a =，又由222a b c =+，可得23a b =．由||AB ==,从而3,2a b ==． 所以，椭圆的方程为22194x y +=． （II ）设点P 的坐标为11(,)x y ，点M 的坐标为22(,)x y ，由题意，210x x >>，点Q 的坐标为11(,)x y --．由BPM △的面积是BPQ V 面积的2倍，可得||=2||PM PQ ，从而21112[()]x x x x -=--，即215x x =．易知直线AB 的方程为236x y +=，由方程组236,,x y y kx +=⎧⎨=⎩消去y ，可得2632x k =+．由方程组的221,94,x y y kx ⎧+⎪=⎨⎪=⎩消去y ，可得1x =．由215x x =，5(32)k =+，两边平方，整理得2182580k k ++=，解得89k =-，或12k =-． 当89k =-时，290x =-<，不合题意，舍去；当12k =-时，212x =，1125x =，符合题意． 所以，k 的值为12-． 点睛：解决直线与椭圆的综合问题时，要注意：(1)注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、椭圆的条件；(2)强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题．20.如图，四边形ABCD 是平行四边形，平面AED ⊥平面ABCD ，//EF AB ，2AB =，3DE =，1BC EF ==，AE =60BAD ︒∠=，G 为BC 的中点.（1）求证：平面BED ⊥平面AED ；（2）求直线EF 与平面BED 所成角的正弦值.【答案】（1）见解析；（2【解析】【分析】 （1）根据余弦定理求出BD =BD ⊥AD ，再根据面面垂直的判定定理即可证明；（2）先判断出直线EF 与平面BED 所成的角即为直线AB 与平面BED 所形成的角，再根据余弦定理和解直角三角形即可求出答案． 的【详解】（1）证明：在ABD ∆中，1AD =，2AB =，60BAD ︒∠=，由余弦定理可得BD =90ADB ︒∠=，即BD AD ⊥，又∵平面AED ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，平面AED I 平面ABCD AD =，∴BD ⊥平面AED ，∵BD ⊂平面BED ，∴平面BED ⊥平面AED .（2）∵//EF AB ，∴直线EF 与平面BED 所成的角即为直线AB 与平面BED 所形成的角， 过点A 作AH DE ⊥于点H ，连接BH ，又平面BED I 平面AED ED =，由（1）知AH ⊥平面BED ，∴直线AB 与平面BED 所成的角为ABH ∠，在ADE ∆，1AD =，3DE =，AE =2cos 3ADE ∠=，∴sin ADE ∠=，∴AH AD =Rt AHB ∆中，sin AH ABH AB ∠==∴直线EF 与平面BED 所成角的正弦值6.【点睛】本题考查了平面与平面的垂直，直线与平面所成的角，考查了空间想象能力，运算能力和推理论证能力，属于中档题．21.设抛物线Γ的方程为22y px =，其中常数0p >，F 是抛物线Γ的焦点.（1）设A 是点F 关于顶点O 的对称点，P 是抛物线Γ上的动点，求||||PA PF 的最大值； （2）设2p =，1l ，2l 是两条互相垂直，且均经过点F 的直线，1l 与抛物线Γ交于点A ，B ，2l 与抛物线Γ交于点C ，D ，若点G 满足4FG FA FB FC FD =+++u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，求点G 的轨迹方程.【答案】（1；（2）23y x =-【解析】【分析】（1）求得A 的坐标，设出过A 的直线为y ＝k （x 2p +），k ＝tan α，联立抛物线方程，运用判别式为0，求得倾斜角，可得所求最大值；（2）求得F （1，0），设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），C （x 3，y 3），D （x 4，y 4），G （x ，y ），设l 1：y ＝k （x ﹣1），联立抛物线方程，运用韦达定理，以及两直线垂直的条件：斜率之积为﹣1，结合向量的坐标表示，以及消元，可得所求轨迹方程．【详解】（1）A 是点(,0)2p F 关于顶点O 的对称点，可得(,0)2p A -， 设过A 的直线为()2p y k x =+，tan k α=， 联立抛物线方程可得22222(2)04k p k x k p p x +-+=， 由直线和抛物线相切可得2242(2)0k p p k p ∆=--=，解得1k =±，可取1k =，可得切线的倾斜角为45°， 由抛物线的定义可得||11||sin(90)cos PA PF αα︒==-，而α的最小值为45°， ||||PA PF ； （2）由24y x =，可得(1,0)F ，设11(,)A x y ，22(,)B x y ，33(,)C x y ，44(,)D x y ，()G x y ,， 设1:(1)l y k x =-，联立抛物线24y x =，可得2222(24)0k x k x k -++=， 即有12242x x k+=+，12124()2y y k x x k k +=+-=， 由两直线垂直的条件，可将k 换为1k-，可得23424x x k +=+，344y y k +=-， 点G 满足4FG FA FB FC FD =+++u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，可得123412344(1,)(4,)x y x x x x y y y y -=+++-+++， 即为2123424444x x x x x k k =+++=++，1234444y y y y y k k =+++=-+， 可得222211()23y k k x k k=-=+-=-，则G 的轨迹方程为23y x =-. 【点睛】本题考查抛物线的定义和方程、性质，考查直线和抛物线的位置关系，注意联立直线方程和抛物线方程，运用判别式和韦达定理，考查向量的坐标表示，以及化简运算能力，属于中档题．22.设,a b ∈R ，||1a ….已知函数32()63(4)f x x x a a x b =---+，()()xg x e f x =.（1）求()f x 的单调区间；（2）已知函数()y g x =和x y e =的图象在公共点00(,)x y 处有相同的切线，（i ）求()f x 在0x x =处的导数；（ⅱ）若关于x 的不等式()x g x e „在区间[]001,1x x -+上恒成立，求b 的取值范围.【答案】（1）单调递增区间为(,)a -∞，(4,)a -+∞，单调递减区间为(,4)a a -；（2）（ⅰ）0，（ⅱ）[7,1]-【解析】【分析】（1）求出函数f （x ）的导函数，得到导函数的零点，由导函数的零点对定义域分段，列表后可得f （x ）的单调区间；（2）（i ）求出g （x ）的导函数，由题意知()()0000'x x g x e g x e ⎧=⎪⎨=⎪⎩，求解可得()()001'0f x f x ⎧=⎪⎨=⎪⎩．得到f （x ）在x ＝x 0处的导数等于0；（ii ）由（I ）知x 0＝a ．且f （x ）在（a ﹣1，a ）内单调递增，在（a ，a +1）内单调递减，故当x 0＝a 时，f （x ）≤f （a ）＝1在[a ﹣1，a +1]上恒成立，从而g （x ）≤e x 在[x 0﹣1，x 0+1]上恒成立．由f （a ）＝a 3﹣6a 2﹣3a （a ﹣4）a +b ＝1，得b ＝2a 3﹣6a 2+1，﹣1≤a ≤1．构造函数t （x ）＝2x 3﹣6x 2+1，x ∈[﹣1，1]，利用导数求其值域可得b 的范围．【详解】（1）由32()63(4)f x x x a a x b =---+，可得2()3123(4)3()((4))f x x x a a x a x a '=---=---，令()0f x '=，解得x a =，或4x a =-.由||1a „，得4a a <-.当x 变化时，()f x '，()f x 的变化情况如下表：∴()f x 的单调递增区间为(,)a -∞，(4,)a -+∞，单调递减区间为(,4)a a -；（2）（ⅰ）∵()(()())xg x e f x f x ''=+，由题意知0000()()x x g x e g x e ⎧'=⎪⎨=⎪⎩， ∴0000000()(()())x x x x f x e e e f x f x e'⎧=⎪⎨+=⎪⎩，解得00()1()0f x f x =='⎧⎨⎩.∴()f x 在0x x =处的导数等于0； （ⅱ）∵()x g x e „，00[1,1]x x x ∈-+，由0x e >，可得()1f x „.又∵0()1f x =，0()0f x '=，故0x 为()f x 的极大值点，由（1）知0x a =.另一方面，由于||1a „，故14a a +<-，由（1）知()f x 在(1,)a a -内单调递增，在(,1)a a +内单调递减，故当0x a =时，()()1f x f a =„在[1,1]a a -+上恒成立，从而()x g x e „在[]001,1x x -+上恒成立.由32()63(4)1f a a a a a a b =---+=，得32261b a a =-+，11a -剟. 令32()261t x x x =-+，[1,1]x ∈-，∴2()612t x x x '=-，令()0t x '=，解得2x =（舍去），或0x =. ∵(1)7t -=-，(1)3t =-，(0)1t =，故()t x 的值域为[7,1]-.∴b 的取值范围是[7,1]-.【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性，考查了利用研究过曲线上某点处的切线方程，训练了恒成立问题的求解方法，体现了数学转化思想方法，是压轴题．。
湖南湖北四校2020届高三学情调研联考理科数学试题卷(含解析)
3、B 解析：设大正方体的边长为 x,则小正方体的边长为 3 x 1 x ，设落在小正
22
2
方形内的米粒数大约为 N，则
3 2
x
1 2
x
x2
N ，解得： N 27 .
200
4、 A【解析】
，
所以
，从而求得
.
5、D 解析：∵函数 f(x)是偶函数，∴ f x＝f (－x) 在 R 上恒成立，∴ m＝0 ，∴当 x 0 时，易得 f x 2x 1为增函数，∴ a＝f log0.53＝f log23，b＝f log25，c＝f 2，
选项 B C B A D C B D C B A D
1、B.【解析】由题意得， P [0, 4] ， Q (3,3) ，∴ P Q (3, 4]，故选 B.
2、C【解析】设 x a bi, y a bi ，代入得 2a2 3 a2 b2 i 4 6i ，所以 2a2 4,3 a2 b2 6 ，解得 a 1, b 1，所以 x y 2 2 .
a 2
2
3
a 2
2
3
1 ，解得
6ห้องสมุดไป่ตู้
2 a6
2 ，当 a 6
2 时恒存在点满足题
意，故实数 a 的取值范围 6 2,
9 、C【解析】 acosB bcosA 3 c ∴由正弦定理，得 5
sinAcosB sinBcosA 3 sinC， 5
C （A B） sinC si（n A B） ，，
tanB
2
4
10 、 B
解析：∵
2 cos2
x 2
π 4
1
cos x
π 2
1
sin
x
2020年吉林省吉林市高考数学四调试卷(理科) (含答案解析)
2020年吉林省吉林市高考数学四调试卷(理科)一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合A={x|x>0}，B={x|x2<1}，则A∪B=()A. (0,+∞)B. (0,1)C. (−1,+∞)D. (−1,0)2.已知复数z满足z+z⋅i=2(其中i为虚数单位)，则z的虚部为()A. −1B. 1C. −iD. i3.《九章算术》是我国古代第一部数学专著，它有如下问题：“今有圆堡瑽(cong)，周四丈八尺，高一丈一尺．问积几何？’’意思是“今有圆柱体形的土筑小城堡，底面周长为4丈8尺，高1丈1尺．问它的体积是多少？”(注：1丈=10尺，取π=3)()A. 704立方尺B. 2112立方尺C. 2115立方尺D. 2118立方尺4.执行如图所示的程序框图，若输入n的值为8，则输出s的值为()A. 4B. 8C. 10D. 125.△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若A=π3，a=3，b=2，则sinB=()A. √33B. 13C. 12D. √326.曲线f(x)=xlnx在点x=1处的切线方程为()A. y=2x+2B. y=2x−2C. y=x−1D. y=x+17.某单位去年的开支分布的折线图如图1所示，在这一年中的水、电、交通开支(单位：万元)如图2所示，则去年的水费开支占总开支的百分比为()A. 6.25%B. 7.5%C. 10.25%D. 31.25%8.在棱长为2的正方体ABCD−A1B1C1D1中，点P，Q，R分别为棱AA1，BC，C1D1的中点，经过P，Q，R三点的平面为α，平面α被此正方体所截得截面图形的面积为()A. 3√3B. 6√2C. √32D. √29.已知F是抛物线C：y2=8x的焦点，M是C上一点，FM的延长线交y轴于点N.若M为FN的中点，则|FN|=()A. 4B. 6C. 8D. 1010.函数f(x)=sin(x−π3)的图象的一条对称轴方程为()A. π3B. −π3C. π2D. 5π611.在三棱锥P−ABC中，PA⊥平面ABC，∠BAC=2π3，AP=3，AB=2√3，Q是边BC上的一动点，且直线PQ与平面ABC所成角的最大值为π3，则三棱锥P−ABC的外接球的表面积为()A. 45πB. 57πC. 63πD. 84π12.2019年末，武汉出现新型冠状病毒肺炎(COVID−19)疫情，并快速席卷我国其他地区，传播速度很快．因这种病毒是以前从未在人体中发现的冠状病毒新毒株，所以目前没有特异治疗方法，防控难度很大．武汉市出现疫情最早，感染人员最多，防控压力最大，武汉市从2月7日起举全市之力入户上门排查确诊的新冠肺炎患者、疑似的新冠肺炎患者、无法明确排除新冠肺炎的发热患者和与确诊患者的密切接触者等“四类”人员，强化网格化管理，不落一户、不漏一人．在排查期间，一户6口之家被确认为“与确诊患者的密切接触者”，这种情况下医护人员要对其家庭成员随机地逐一进行“核糖核酸”检测，若出现阳性，则该家庭为“感染高危户”.设该家庭每个成员检测呈阳性的概率均为p(0<p<1)且相互独立，该家庭至少检测了5个人才能确定为“感染高危户”的概率为f(p)，当p=p0时，f(p)最大，则p0=()A. 1−√63B. √63C. 12D. 1−√33二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.设随机变量X服从正态分布N(2,σ2)，若P(X<0)=0.1，则P(2<X<4)=______ ．14.已知数列{a n}中，a1=1，a n+1=a n+n−1，则a6=______ ．15.已知双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的两条渐近线与抛物线y2=4x的准线分别交于A，B两点，O为坐标原点，若S△AOB=2√3，则双曲线的离心率e=________．16.若函数f(x)=mx2−e x+1(e为自然对数的底数)在x=x1和x=x2，两处取得极值，且x2≥2x1，则实数m的取值范围是_______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.如图，四棱锥E−ABCD中，ABCD是矩形，平面EAB⊥平面ABCD，AE=EB=BC=2，F为CE上的点，且BF⊥平面ACE．(1)求证：AE⊥BE；(2)求二面角A−CD−E的余弦值．18.已知数列{a n}满足a1=3，a n+1−3a n=3n(n∈N∗)，数列{b n}满足b n=a n3n．(1)证明数列{b n}是等差数列并求数列{b n}的通项公式；(2)求数列{a n}的前n项和S n．19. 为响应绿色出行，某市在推出“共享单车”后，又推出“新能源分时租赁汽车”.其中一款新能源分时租赁汽车，每次租车收费的标准由两部分组成：①根据行驶里程数按1元/公里计费；②行驶时间不超过40分时，按0.12元/分计费；超过40分时，超出部分按0.20元/分计费．已知张先生家离上班地点15公里，每天租用该款汽车上、下班各一次．由于堵车、红绿灯等因素，每次路上开车花费的时间t(分)是一个随机变量．现统计了50次路上开车花费时间，在各时间段内的频数分布情况如表所示：将各时间段发生的频率视为概率，每次路上开车花费的时间视为用车时间，范围为(20,60]分． (1)写出张先生一次租车费用y(元)与用车时间t(分)的函数关系式；(2)若张先生一次开车时间不超过40分为“路段畅通”，设ξ表示3次租用新能源分时租赁汽车中“路段畅通”的次数，求ξ的分布列和期望；(3)若公司每月给1000元的车补，请估计张先生每月(按22天计算)的车补是否足够上、下班租用新能源分时租赁汽车？并说明理由．(同一时段，用该区间的中点值作代表)20. 已知椭圆E ：：x 2a2+y 2b 2=1(a >b >0)的右顶点为C ，点D(−2b,0)，Q 是E 上且不在y 轴上的点．若E 的离心率为2√23，△QCD 的最大面积等于92．(Ⅰ)求E 的方程；(Ⅱ)若直线l ：y =kx +m 不过原点O 且不平行于坐标轴，l 与椭圆E 交于不同的两点A ，B ，线段中点为M ．(1)证明：直线OM 的斜率与l 的斜率的乘积为定值；(2)若l 过点(1,3)，延长线段OM 与椭圆E 交于点P ，四边形OAPB 能否为平行四边形？若能，求此时l 的斜率，若不能，说明理由．21. 求函数f (x )=(x 2−x −1a )·e ax (a >0)的极值．22. 以平面直角坐标系的原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，已知直线l 的参数方程是{x =√32t +my =12t(t 为参数)，曲线C 的极坐标方程为ρsin 2θ−4cosθ=0(ρ≥0)． (1)求直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程；(2)若直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，且|AB|=16，求实数m 的值．23.已知函数f(x)=|x−a|+2|x−1|(a>0)，(1)当a=−1时，求不等式f(x)>4的解集；(2)若不等式f(x)>4−2x对任意的x∈[−3,−1]恒成立，求a的取值范围-------- 答案与解析 --------1.答案：C解析：解：∵集合A={x|x>0}，B={x|x2<1}={x|−1<x<1}，∴A∪B={x|x>−1}=(−1,+∞)．故选：C．先求出集合A，B，由此能求出A∪B．本题考查并集的求法，考查并集定义等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．2.答案：A解析：本题考查复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题，直接利用复数代数形式的运算化简得答案．解：因为z+z⋅i=2，所以z=21+i =2(1−i)2，故z的虚部为−1，故选A．3.答案：B解析：解：设圆柱形城堡的底面半径为r尺，高为ℎ=11尺，则2πr=48尺，∴r≈8，∴城堡的体积V=πr2ℎ=3×64×11=2112立方尺．故选：B．根据底面周长计算底面半径，代入体积公式计算即可．本题考查了圆柱的体积计算，属于基础题．4.答案：B解析：本题考查的知识点是程序框图，当程序的运行次数不多或有规律时，可采用模拟运行的办法解答．根据已知中的程序框图可得，该程序的功能是计算并输出变量S的值，模拟程序的运行过程，可得答案．解：当i=2时，满足进行循环的条件，故S=2，i=4，k=2；当i=4时，满足进行循环的条件，故S=4，i=6，k=3；当i=6时，满足进行循环的条件，故S=8，i=8，k=4；当i=8时，不满足进行循环的条件，故S输出的S值为8，故选B．5.答案：A解析：根据正弦定理计算即可．本题考查了正弦定理，属基础题．解：由正弦定理得，asinA =bsinB，∴sinB=bsinAa =2×√323=√33，故选：A．6.答案：C解析：解：求导函数，可得y′=lnx+1x=1时，y′=1，y=0∴曲线y=xlnx在点x=1处的切线方程是y=x−1即y=x−1．故选：C．求导函数，确定切线的斜率，求得切点坐标，进而可求切线方程．本题考查导数知识的运用，考查导数的几何意义，求出切线的斜率是关键，属于基础题．7.答案：A。
吉林省吉林市2020届高三数学第四次调研考试试题 理 含答案
3
6
2
A. 1
B. 3
C. 2
D. 3
2
11．三棱锥 P − ABC 中， PA ⊥ 平面 ABC ， BAC = 2 , AP = 3, AB = 2 3 , Q 是 BC 边上的 3
一个动点，且直线 PQ 与面 ABC 所成角的最大值为 则该三棱锥外接球的表面积为 3
A． 45
B． 63
C． 57
（一）必考题：共 60 分 17.（12 分）
如图,五边形 ABSCD 中,四边形 ABCD 为长方形, SBC 为边长为 2 的正三角形,将 SBC 沿 BC 折起,使得点 S 在平面 ABCD 上的射影恰好在 AD 上.
3
（1）当 AB = 2 时,证明:平面 SAB ⊥ 平面 SCD ;
200
5%
150
0%
100
50
0
A． 6.25%
图1
B． 7.5%
C． 10.25%
水
电
交通
图2
D． 31.25%
8. 已知正方体 ABCD − A1B1C1D1 的棱长为 2 ,点 P 在线段 CB1 上，且 B1P = 2PC ，平面 经过
点 A, P,C1 ，则正方体 ABCD − A1B1C1D1 被平面 截得的截面面积为
D． 84
12．在排查期间，一户 6 口之家被确认为“确诊患者的密切接触者”，这种情况下医护人员要对其家
庭成员随机地逐一进行“核糖核酸”检测，若出现阳性，则该家庭为“感染高危户”.设该家庭每个成员
检测呈阳性的概率均为 p(0 p 1) 且相互独立，该家庭至少检测了 5 个人才能确定为“感染高危
户”的概率为 f ( p) ，当 p = p0 ， f ( p) 最大，则 p0 =
湖北省宜昌市2020届高三年级4月统一调研测试数学试题(理科)含答案
A． (1, 2ln 2 2]
B．[2ln 33, 2ln 2 2)
C． (2ln 33, 2ln 2 2]
D．[2 2ln 2,3 2ln 3)
二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分. 请将答案填在答题卡对应题号的位置上. 填错位置，
书13写．不若清向，量模a 棱 两1,可2均，不b得分2., m ，且
xOy
中，直线
l
的参数方程为
x
2
2t 2 ( t 为参数)，以坐标原点 O 为极点，以 x 轴
y
4
2t 2
的非负半轴为极轴，取相同的单位长度建立极坐标系，曲线 C 的极坐标方程为 sin2 2cos ．
（1）写出直线 l 的普通方程和曲线 C 的直角坐标方程； （2）已知定点 M (2, 4) ，直线 l 与曲线 C 分别交于 P、Q 两点，求 MQ MP 的值．
4. 运行如图所示的程序框图，则输出的结果为
A. 0
B. 1
C. 3 D. 2 3
5．已知函数 f (x) sin x 3 cos x ，下列命题：
① f (x) 关于点 ( , 0) 对称；② f (x) 的最大值为 2 ；
3 ③ f (x) 的最小正周期为 ；④ f (x) 在区间 (0, ) 上递增．
截面图形的面积为
A. 6 2
B. 6 4
C. 3 2
D. 3 4
12．定义在 R 上的偶函数
f
(x) 满足
f
(5 x)
f
(3
x) ，且
f
(x)
2 x 2 x2
ln
4x,0x 1 x,1x4
，若关于
x
吉林省吉林市2020届高三第四次调研测试数学(理)试题Word版含解析
令 得
设 是平面 的法向量，
那么有 即
令 得 .
那么
所以平面 与平面 所成二面角的余弦值的绝对值为 .
18. 数列 为等差数列， 是数列 的前 项和，且 ， ，数列 满足： ，当 ， 时， .
〔1〕求数列 ， 的通项公式；
〔2〕令 ，证明： .
【答案】〔1〕 ; ;(2)证明见解析.
【解析】
5. 在 中，内角 的对边分别为 ， ， ， ， ， ，那么 〔 〕
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
先求得 ，然后利用正弦定理求得 .
【详解】因为 ，所以 ，所以 .
应选：C
点睛】此题考查解三角形，考查运算求解能力.
6. 函数 是偶函数，当 时， ，那么曲线 在 处的切线方程为〔 〕
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
首先化简复数z，然后结合复数的定义确定其虚部即可.
【详解】由题意可得： ，
据此可知，复数z的虚部为 .
此题选择D选项.
【点睛】复数的代数形式的运算主要有加、减、乘、除及求低次方根．除法实际上是分母实数化的过程．
3. ?九章算术?是我国古代第一部数学专著，它有如下问题：“今有圆堡瑽 ，周四丈八尺，高一丈一尺.问积几何？〞意思是“今有圆柱体形的土筑小城堡，底面周长为4丈8尺，高1丈1尺，问它的体积是多少？〞〔注：1丈=10尺，取 〕〔 〕
〔Ⅱ〕假设 ,求平面 与平面 所成二面角的余弦值的绝对值.
【答案】(Ⅰ)证明见解析；(Ⅱ) .
【解析】
【详解】
【分析】
试题分析：
〔Ⅰ〕作 ，垂足为 ，依题意得 平面 ，那么 ， 平面 ， ，结合勾股定理可得 ，那么 平面 ，平面 平面 .
衡水中学2020届高三上学期第四次调研考试 理科数学(含答案)
象限．若 BPM 的面积是 BPQ 面积的 2 倍，求 k 的值．
21．（本题满分 12 分）设抛物线 的方程为 y2 2 px ，其中常数 p 0 ， F 是抛物线 的焦点．
（1）设 A 是点 F 关于顶点 O 的对称点， P 是抛物线 上的动点，求 | PA | 的最大值； | PF |
D． 5 2
9.如图，点 P 在正方体 ABCD A1B1C1D1 的面对角线 BC1 上运动，则下列四个结论：
A．
B． C． D．
4．已知 、 都为锐角，且 sin 21 、 cos 21 ，则 ( )
7
14
A． 3
B． 3
C． 6
D． 6
5. 设 a R ， b [0 ， 2 ) ，若对任意实数 x 都有 sin(3x ) sin(ax b) ，则满足条件的有序实数 3
h(x) g(x) 0 在 D 内恒成立，则称 P 点为函数 y h(x) 的“类对称中心点”，则函数 x x0
f
(x)
x2 2e2
lnx 的“类对称中心点”的坐标是
．
三、解答题：（本大题共 6 小题，共 70 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。）
17．（本题满分 10 分）在平面四边形 ABCD 中， A C ， AB 1 ， BC 3 ， CD DA 2 ．
由（Ⅰ）知， G 是 AB 的中点，所以 D 在 CG 上，故 CD 2 CG ． 3
由题设可得 PC 平面 PAB ，DE 平面 PAB ，所以 DE / /PC ，因此 PE 2 PG ，DE 1 PC ．
3
3
由已知，正三棱锥的侧面是直角三角形且 PA 6 ，可得 DE 2 ， PG 3 2 ， PE 2 2 ．