绝对值的意义及应用(最新整理)
《绝对值》知识简要与举例
《绝对值》知识简要与举例1.绝对值的概念是代数的重要概念之一，它是学习代数后续内容的基础.同时，利用绝对值的概念，能使我们进一步认识已学过的概念.例如，我们可以把任何一个有理数看成是由符号与绝对值两部分组成；又如，互为相反数的两个数，其实质是绝对值相等而符号相反的两个数.像－6和6，它们的符号相反，而其绝对值|－6|=|6|=6.2.理解绝对值的意义，应注意以下三点：(1)绝对值的非负性即任何一个数a的绝对值，总是非负的.即|a|≥0.当a≠0时，|a|＞0；当a=0时，|a|=0.(2)绝对值相等的两个数或相等，或互为相反数.如|2|=|+2|=2，|+2|=|－2|=2.一般地，若|x|=|y|，则有x=y或x=－y.3.用正负数可以表示具有相反意义的量.但在实际生产和生活中，有时不考虑方向性.如：计算汽车的耗油量时，知道行驶单位路程的耗油量，只需求出汽车行驶的总路程，便可求出耗油量，与行驶的方向无关而汽车所走的路程就只需用正数表示，因此，引出绝对值的概念.4.绝对值的三种表达方法.（1）文字语言表达法（绝对值的概念）：一个正数的绝对值是它本身，一个负数的绝对值是它的相反数，零的绝对值是零.（2）用数学式子法：设a为任意有理数，则(3)绝对值的几何意义：一个数的绝对值就是表示这个数的点离开原点的距离.［例1］判断题(2)|－0.01|＜0.( )(3)－（－4）＜|－4|.( )(4)|a|=a.( )(5)当a≤0时，|a|+a=0.( )答案：(1)√；(2)×；(3)×；(4)×；(5)√.说明：在有理数的大小比较中，如果含有绝对值或相反数时，可先化简，然后再进行比较.［例2］填空题（5）______________与它的绝对值互为相反数；（6）如果|a|=|－7|，那么a=________.说明：如果两个数相等或互为相反数，那么这两个数的绝对值相等；反之，如果这两个数的绝对值相等，那么这两个数相等或互为相反数.［例3］a为何值时，下列各式成立?(1)|a|=a；（2）|a|=－a；（3）|a|≥a；（4）|a|＜a；（5）|a|=5；（6）|a|=－5.解：（1）a≥0；（2）a≤0；（3）a为任意有理数时，都使|a|≥a成立；（4）a为任意有理数时，|a|＜a都不成立；（5）a=±5；（6）a为任意有理数时，|a|=－5都不成立.说明：本题解决的关键是牢固掌握绝对值的非负性，即|a|≥0.另外，（3）、（4）小题还要准确理解有理数大小的比较法则.［例4］比较大小：［例5］把下列各数按照从大到小的顺序用“＞”连接起来：说明：学了绝对值的概念之后，比较两有理数大小的基本方法，我们便有了两种：(1)数轴法；(2)绝对值法.在这小节的后一部分，介绍了利用绝对值比较两个负数的大小的办法.这既可巩固绝对值的概念，又把比较有理数大小的方法提高了一步.利用绝对值来比较两有理数大小的方法是我们常用的方法之一.前面提到绝对值的概念是代数中重要的概念之一，我们应该很好地掌握它.［例6］（1）若a＞3,则|a－3|=________;（2）若a=3,则|a－3|=________;（3）若a＜3,则|a－3|=________.分析：要想正确地化简|a－3|的结果.关键是确定a－3的符号.当a＞3时，a －3＞0,即a－3为正，由正数的绝对值是它本身，可得结果为a－3;当a=3时，a －3=0,所以|a－3|=|0|=0;当a＜3时，a－3＜0,即a－3为负数，由负数的绝对值等于它的相反数可得|a－3|=－(a－3).解：（1）a＞3时，|a－3|=a－3;（2）a=3时，|a－3|=0;（3）a＜3时，|a－3|=－(a－3)说明：由本题的解法说明，化简含有字母的式子的绝对值时，必须先讨论这个式子的计算结果的正负性.否则会出现错误，如|a－3|=a－3(×).。
绝对值和反比例函数的应用
绝对值和反比例函数的应用在数学中，绝对值函数和反比例函数是两个非常重要的函数。
在实际生活中，我们可以看到这两种函数被广泛应用，并起到了非常重要的作用。
本文将介绍绝对值和反比例函数的定义和性质，以及它们在实际中的应用。
一、绝对值函数绝对值函数是指以0为中心，向两边对称的函数。
它的函数表达式为：f(x) = |x|其中|x|表示x的绝对值。
绝对值函数的图像是一条以原点为中心，斜率为1的直线，也就是一条下倾斜45度的直线。
绝对值函数的应用非常广泛。
例如在测量误差方面，我们可以使用绝对值函数来计算误差。
又如在金融投资中，我们经常会遇到股票价格涨跌情况，这种上涨和下跌是在绝对值函数的作用下进行的。
二、反比例函数反比例函数是指一个函数，它与它的自变量的倒数成反比例关系。
它的函数表达式如下：f(x) = k/x其中k为常数。
反比例函数的图像是一条由原点开始的开口向右的双曲线。
反比例函数在实际生活中也非常常见。
例如，在公路上行驶的车速与所用时间的关系就是反比例关系。
又如，在制造业中，原材料用量与生产数量的关系也是反比例关系。
三、在实际生活中，绝对值和反比例函数被广泛应用。
下面我们将分别以两者为例进一步介绍它们在实际中的应用。
（一）绝对值函数的应用1、测量误差测量误差是指在测量中由于各种因素而引起的误差。
这种误差会对测量结果造成影响。
例如，在香港体温检测站，为了确保检测准确度，通常会在实际温度值的上下0.5度之间通行。
在测量误差的情况下，我们可以使用绝对值函数来计算误差。
例如，当我们的测量结果为x，实际值为y时，误差就可以表示为：E = | x - y |这就是绝对值函数的应用之一。
2、股票涨跌股票涨跌是指股票价格上涨或下跌的情况。
在金融投资中，股票价格的涨跌是非常重要的。
当股票价格上涨时，投资者可以获得收益，反之则会亏损。
在股票涨跌的情况下，我们同样可以使用绝对值函数来计算收益或亏损。
例如，当我们买入股票的价格为x，卖出股票的价格为y时，我们所获得的收益或亏损就可以表示为：G = (y - x) / x * 100%其中，x为买入价格，y为卖出价格。
1.2.4绝对值-绝对值的意义和性质(教案)
（三）实践活动（用时10分钟）
1.分组讨论：学生们将分成若干小组，每组讨论一个与绝对值相关的实际问题，比如计算温度变化、海拔高度差等。
2.实验操作：为了加深理解，我们将进行一个简单的实验操作。比如，使用数轴模型来演示绝对值的基本原理。
举例：解释为什么负数的绝对值是它的相反数，可以通过数轴上的点来形象说明。
（2）绝对值性质的运用：学生可能难以理解如何运用性质解决问题，需要通过具体题目进行讲解。
举例：说明如何利用绝对值的性质比较两个负数的大小。
（3）绝对值在实际问题中的应用：学生可能不知道如何将绝对值应用于实际问题，需要给出具体情境，引导学生思考。
（二）新课讲授（用时10分钟）
1.理论介绍：首先，我们要了解绝对值的基本概念。绝对值是一个数到原点的距离，它是非负的，对于任何实数a，绝对值记作|a|，其值要么是a本身（如果a是正数或0），要么是a的相反数（如果a是负数）。
2.案例分析：接下来，我们来看一个具体的案例。比如，数轴上点-3和点2的位置，我们可以通过计算绝对值来比较它们距离原点的远近，即|-3|=3，|2|=2。
举例：|-3| = 3，说明绝对值具有非负性；|-(-3)| = |3|，说明绝对值具有对称性。
（3）应用绝对值解决实际问题：如求两个数的距离、比较大小等，这是绝对值知识在实际中的运用。
举例：比较|-2|和|3|的大小，求点-2和点3在数轴上的距离。
2.教学难点
（1）绝对值定义的理解：学生容易混淆正数、负数和0的绝对值，需要通过实例帮助学生理解。
在小组讨论环节，我观察到学生们在分享成果时能够较好地表达自己的观点，这说明他们已经能够在一定程度上掌握绝对值的运用。但是，我也发现有些小组在讨论时过于依赖个别学生的意见，其他成员的参与度不高。为了提高全体学生的积极性，我考虑在下次的讨论中加入更多互动性强的活动，鼓励每个学生都参与到讨论中来。
初中数学知识点：绝对值
初中数学知识点：绝对值在数轴上，表示一个数的点到原点的距离叫做这个数的绝对值。
绝对值用“||”来表示。
在数轴上，表示一个数a的点到数b的点之间的距离的值，叫做a-b的绝对值，记作|a-b|。
绝对值的意义：1、几何的意义：在数轴上，一个数到原点的距离叫做该数的绝对值．如：5指在数轴上表示数5的点与原点的距离，这个距离是5，所以5的绝对值是5。
2、代数的意义：非负数（正数和0,）非负数的绝对值是它本身，非正数的绝对值是它的相反数。
互为相反数的两个数的绝对值相等。
a的绝对值用“|a |”表示．读作“a的绝对值”。
实数a的绝对值永远是非负数，即|a |≥0。
互为相反数的两个数的绝对值相等，即|-a|=|a|。
若a为正数，则满足|x|=a的x有两个值±a，如|x|=3，,则x=±3.绝对值的有关性质：①任何有理数的绝对值都是大于或等于0的数，这是绝对值的非负性；②绝对值等于0的数只有一个，就是0；③绝对值等于同一个正数的数有两个，这两个数互为相反数；④互为相反数的两个数的绝对值相等。
绝对值的化简：绝对值意思是值一定为正值，按照“符号相同为正，符号相异为负”的原则来去绝对值符号。
①绝对值符号里面为负，在去掉绝对值时必须要加一个负的符号老确保整个值为正值，也就是当：│a│=a (a为正值，即a≥0 时）；│a│=-a （a为负值，即a≤0 时）②整数就找到这两个数的相同因数；③小数就把这两个数同时扩大相同倍数成为整数,一般都是扩大10、100倍；④分数的话就相除，得数是分数就是分子：分母，要是得数是整数，就这个数比1。
(完整版)绝对值的意义及应用
绝对值的意义及应用绝对值是初中代数中的一个重要概念，应用较为广泛．在解与绝对值有关的问题时，首先必须弄清绝对值的意义和性质。
对于数x而言，它的绝对值表示为：|x|.一. 绝对值的实质：正实数与零的绝对值是其自身，负实数的绝对值是它的相反数，即也就是说，|x|表示数轴上坐标为x的点与原点的距离。
总之，任何实数的绝对值是一个非负数，即|x|≥0，请牢牢记住这一点。
二. 绝对值的几何意义：一个数的绝对值就是数轴上表示这个数的点到原点的距离。
例1. 有理数a、b、c在数轴上的位置如图所示，则式子|a|+|b|+|a+b|+|b-c|化简结果为( )A．2a+3b-c B．3b-c C．b+c D．c-b(第二届“希望杯”数学邀请赛初一试题)解：由图形可知a＜0，c＞b＞0，且|c|＞|b|＞|a|，则a+b＞0，b-c＜0．所以原式＝-a+b+a+b-b+c＝b+c，故应选(C)．三. 绝对值的性质：1. 有理数的绝对值是一个非负数，即|x|≥0，绝对值最小的数是零。
2. 任何有理数都有唯一的绝对值，并且任何一个有理数都不大于它的绝对值，即x≤|x|。
3. 已知一个数的绝对值，那么它所对应的是两个互为相反数的数。
4. 若两个数的绝对值相等，则这两个数不一定相等(显然如|6|＝|-6|，但6≠-6)，只有这两个数同号，且这两个数的绝对值相等时，这两个数才相等。
四. 含绝对值问题的有效处理方法1. 运用绝对值概念。
即根据题设条件或隐含条件，确定绝对值里代数式的正负，再利用绝对值定义去掉绝对值的符号进行运算。
例2. 已知：|x-2|+x-2＝0，求：(1)x+2的最大值；(2)6-x的最小值。
解：∵|x-2|+x-2＝0，∴|x-2|＝-(x-2)根据绝对值的概念，一个数的绝对值等于它的相反数时，这个数为负数或零，∴x-2≤0，即x≤2，这表示x的最大值为2(1)当x＝2时，x+2得最大值2+2＝4；(2)当x＝2时，6-x得最小值6-2＝42. 用绝对值为零时的值分段讨论．即对于含绝对值代数式的字母没有条件限制或限制不确切的，就需先求零点，再分区间定性质，最后去掉绝对值符号。
绝对值的意义及应用
绝对值的意义及应用绝对值是初中代数中的一个重要概念，应用较为广泛．在解与绝对值有关的问题时，首先必须弄清绝对值的意义和性质。
对于数x而言，它的绝对值表示为：|x|.一. 绝对值的实质：正实数与零的绝对值是其自身，负实数的绝对值是它的相反数，即也就是说，|x|表示数轴上坐标为x的点与原点的距离。
总之，任何实数的绝对值是一个非负数，即|x|≥0，请牢牢记住这一点。
二. 绝对值的几何意义：一个数的绝对值就是数轴上表示这个数的点到原点的距离。
例1. 有理数a、b、c在数轴上的位置如图所示，则式子|a|+|b|+|a+b|+|b-c|化简结果为( )A．2a+3b-c B．3b-c C．b+c D．c-b(第二届“希望杯”数学邀请赛初一试题)解：由图形可知a＜0，c＞b＞0，且|c|＞|b|＞|a|，则a+b＞0，b-c＜0．所以原式＝-a+b+a+b-b+c＝b+c，故应选(C)．三. 绝对值的性质：1. 有理数的绝对值是一个非负数，即|x|≥0，绝对值最小的数是零。
2. 任何有理数都有唯一的绝对值，并且任何一个有理数都不大于它的绝对值，即x≤|x|。
3. 已知一个数的绝对值，那么它所对应的是两个互为相反数的数。
4. 若两个数的绝对值相等，则这两个数不一定相等(显然如|6|＝|-6|，但6≠-6)，只有这两个数同号，且这两个数的绝对值相等时，这两个数才相等。
四. 含绝对值问题的有效处理方法1. 运用绝对值概念。
即根据题设条件或隐含条件，确定绝对值里代数式的正负，再利用绝对值定义去掉绝对值的符号进行运算。
例2. 已知：|x-2|+x-2＝0，求：(1)x+2的最大值；(2)6-x的最小值。
解：∵|x-2|+x-2＝0，∴|x-2|＝-(x-2)根据绝对值的概念，一个数的绝对值等于它的相反数时，这个数为负数或零，∴x-2≤0，即x≤2，这表示x的最大值为2(1)当x＝2时，x+2得最大值2+2＝4；(2)当x＝2时，6-x得最小值6-2＝42. 用绝对值为零时的值分段讨论．即对于含绝对值代数式的字母没有条件限制或限制不确切的，就需先求零点，再分区间定性质，最后去掉绝对值符号。
绝对值全面分析
一、绝对值的意义及其化简（1）绝对值的几何意义：一个数a 的绝对值就是数轴上表示a 的点与原点的距离。
数a 的绝对值记作a（2）绝对值的代数意义：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0.（3）绝对值的性质：①(0)0(0)(0)a a a a a a >⎧⎪==⎨⎪-<⎩，②(0)(0)a a a a a ≥⎧=⎨-<⎩或(0)(0)a a a a a >⎧=⎨-≤⎩（4）绝对值其他的重要性质：①任何一个数的绝对值都不小于这个数，也不小于这个数的相反数，即a a ≥且a a ≥- ②若a b =，则a b =或a b =- ③a b a b ⋅=⋅，a ab b=（0b ≠） ④ 222a a a ==二、绝对值的非负性（1）非负性：若有几个非负数的和为0，那么这几个非负数均为0 （2） 绝对值的非负性；若0a b c ++=，则必有0a =，0b =，0c = （3） 若 a b b += ，则 0a =，0b ≥ （4） 若=1a a则0a >= - 1a a则0a < 对于任意非零实数a ，= 1a a ±（5） 若 2()a +2()b = 0 ，则0a =，0b = （6） 若 2()0a b += ，则0a =，0b =三、绝对值的化简零点分段法的一般步骤：①找零点→②分区间→③定符号→④去绝对值符号．四、绝对值的几何意义（1）a 的几何意义：在数轴上，表示这个数的点离开原点的距离．（2）a b -的几何意义：在数轴上，表示数a 、b 对应数轴上两点间的距离．绝对值全面分析知识讲解一、绝对值的意义【例1】 在数轴上表示数a 的点到原点的距离是13，那么a = 【变式练习】绝对值等于2的数有 个，是【变式练习】绝对值不大于7且大于4的整数有 个，是【例2】 下列说法正确的有（ ）①有理数的绝对值一定比0大；②如果两个有理数的绝对值相等，那么这两个数相等； ③互为相反数的两个数的绝对值相等；④没有最小的有理数，也没有绝对值最小的有理数；⑤所有的有理数都可以用数轴上的点来表示；⑥符号不同的两个数互为相反数． A ．②④⑤⑥ B ．③⑤ C ．③④⑤ D ．③⑤⑥【例3】 已知：a ＞0，b ＜0，|a|＜|b|＜1，那么以下判断正确的是（ ）A ．1-b ＞-b ＞1+a ＞aB ．1+a ＞a ＞1-b ＞-bC ．1+a ＞1-b ＞a ＞-bD ．1-b ＞1+a ＞-b ＞a二、绝对值的化简【例4】 计算：3π- = ，若23x -=，则x = 【变式练习】若220x x -+-=，则x 的取值范围是【变式练习】已知：52a b ==，，且a b <；分别求a b ，的值【例5】 如果有理数a 、b 、c 在数轴上的位置如图所示，求11a b b a c c +------的值.【变式练习】已知00x z xy y z x <<>>>，，，那么x z y z x y +++--=同步练习【变式练习】数,a b 在数轴上对应的点如右图所示，化简a b b a b a a ++-+--【例6】 设a,b,c 为非零实数，且0a a +=，ab ab =，0c c -=．化简b a b c b a c -+--+-【例7】 已知a ．b 互为相反数，且|a -b |=6，则|b -1|的值为（ ）A ．2B ．2或3C ．4D ．2或4【例8】 已知：abc ≠0，且M =abca b c++，当a ，b ，c 取不同值时，M 有 ____种不同可能． 当a 、b 、c 都是正数时，M = ______；当a 、b 、c 中有一个负数时，则M = ________； 当a 、b 、c 中有2个负数时，则M = ________； 当a 、b 、c 都是负数时，M =__________ ．三、绝对值的非负性【例9】 若42a b -=-+，则 _______a b +=【例10】2+50a b --=，则 _______ab = 【变式练习】若7322102m n p ++-+-=，则23_______p n m +=＋ 【例11】若()2130a b -++=，则a b +=【例12】设a,b 同时满足①2(2)|1|1a b b b -++=+；②|3|0a b +-=．那么ab =【变式练习】已知2()55a b b b +++=+，且210a b --=，那么ab =______四、零点分段法【例13】阅读下列材料并解决相关问题：我们知道()()()0000x x x x x x >⎧⎪==⎨⎪-<⎩，现在我们可以用这一结论来化简含有绝对值的代数式，如化简代数式12x x ++-时，可令10x +=和20x -=，分别求得12x x =-=，（称12-，分别为1x +与2x -的零点值），在有理数范围内，零点值1x =-和2x =可将全体有理数分成不重复且不易遗漏的如下3中情况：⑴当1x <-时，原式()()1221x x x =-+--=-+ ⑵当12x -<≤时，原式()123x x =+--= ⑶当2x ≥时，原式1221x x x =++-=- 综上讨论，原式()()()211312212x x x x x -+<-⎧⎪=-<⎨⎪-⎩≤≥12x x ++-的最小值为两零点之间的距离，即12x -≤≤时12x x ++-=3为最小值通过阅读上面的文字，请你解决下列的问题： ⑴分别求出2x +和4x -的零点值 ⑵化简代数式24x x ++-，并求出最小值五、绝对值的几何意义拓展【例14】m n -的几何意义是数轴上表示m 的点与表示n 的点之间的距离⑴ x 的几何意义是数轴上表示 的点与 之间的距离； 0-（>，=，<）；⑵ 21-的几何意义是数轴上表示2的点与表示1的点之间的距离；则21-= ； ⑶ 3x -的几何意义是数轴上表示 的点与表示 的点之间的距离，若31x -=， 则x = ．⑷ 2x +的几何意义是数轴上表示 的点与表示 的点之间的距离，若22x +=， 则x = ．⑸ 当1x =-时，则22x x -++=【例15】15x x -+- 的最小值为_______，此时x 的范围为______ 【变式练习】23x x ++- 的最小值为_______，此时x 的范围为______ 【例16】324x x ++-+的最小值是_______【变式练习】化简12m m m +-+-的值【变式练习】已知m 是实数，求2468m m m m -+-+-+-的最小值【例17】如图所示，在一条笔直的公路上有7个村庄，其中A 、B 、C 、D 、E 、F 到城市的距离分别为4、10、15、17、19、20千米，而村庄G 正好是AF 的中点．现要在某个村庄建一个活动中心，使各村到活动中心的路程之和最短，则活动中心应建在什么位置？【变式练习】如图所示为一个工厂区的地图，一条公路（粗线）通过这个地区，7个工厂1A ，2A ，…，7A 分布在公路的两侧，由一些小路（细线）与公路相连．现在要在公路上设一个长途汽车站，车站到各工厂（沿公路、小路走）的距离总和越小越好，那么这个车站设在什么地方最好？如果在P 点又建立了一个工厂，并且沿着图上的虚线修了一条小路，那么这时车站设在什么地方好？【习题1】若a 的绝对值是12，则a 的值是（ ）A ．2B ．-2C ．12D ．12±【习题2】若|x |=-x ，则x 一定是（ ）A ．负数B ．负数或零C ．零D ．正数【习题3】如果|x -1|=1-x ，那么（ ）A ．x ＜1B ．x ＞1C ．x ≤1D ．x ≥1【习题4】若|a -3|=2，则a +3的值为（ ）A ．5B ．8C ．5或1D ．8或4FEDCBPA 7A 6A 5A 4A 3A 2A 1课后练习【习题5】若x ＜2，则|x -2|+|2+x |=________________【习题6】绝对值小于6的所有整数的和与积分别是__________【习题7】如图所示，a ．b 是有理数，则式子|a |+|b |+|a +b |+|b -a |化简的结果为 __________【习题9】如图，有理数x ，y 在数轴上的位置如图，化简：|y-x |-3|y +1|-|x |= ________【习题10】若3230x y -++=，则x的值是多少？【习题11】4x -的几何意义是数轴上表示 的点与表示 的点之间的距离，若42x -=，则x = ．【习题12】化简：212x x x -++-ba-11yx-121。
绝对值的性质及运用
绝对值的性质及运用知识精讲绝对值的几何意义：一个数a的绝对值就是数轴上表示数a的点与原点的距离.绝对值的代数意义：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0.①取绝对值也是一种运算，运算符号是“”，求一个数的绝对值，就是根据性质去掉绝对值号.②一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0.③绝对值具有非负性，取绝对值的结果总是正数或0.④任何一个有理数都是由两部分组成：符号和它的绝对值，如：5-符号是负号，绝对值是5. 求字母a的绝对值：①(0)0(0)(0)a aa aa a>⎧⎪==⎨⎪-<⎩②(0)(0)a aaa a≥⎧=⎨-<⎩③(0)(0)a aaa a>⎧=⎨-≤⎩利用绝对值比较两个负有理数的大小：两个负数，绝对值大的反而小.绝对值非负性：如果若干个非负数的和为0，那么这若干个非负数都必为0.例如：若0a b c++=，则0a=，0b=，0c=绝对值的其它重要性质：（1）任何一个数的绝对值都不小于这个数，也不小于这个数的相反数，即a a≥，且a a≥-；（2）若a b=，则a b=或a b=-；（3）ab a b=⋅；aab b=(0)b≠；（4）222||||a a a==；a的几何意义：在数轴上，表示这个数的点离开原点的距离．a b-的几何意义：在数轴上，表示数a．b对应数轴上两点间的距离．【例题精讲】模块一、绝对值的性质绝对值【例1】到数轴原点的距离是2的点表示的数是（ ）A ．±2B ．2C ．-2D ．4【例2】下列说法正确的有（ ）①有理数的绝对值一定比0大；②如果两个有理数的绝对值相等，那么这两个数相等；③互为相反数的两个数的绝对值相等；④没有最小的有理数，也没有绝对值最小的有理数；⑤所有的有理数都可以用数轴上的点来表示；⑥符号不同的两个数互为相反数．A ．②④⑤⑥B ．③⑤C ．③④⑤D ．③⑤⑥【例3】如果a 的绝对值是2，那么a 是（ ）A ．2B ．-2C ．±2D ．12±【例4】若a ＜0，则4a +7|a |等于（ ）A ．11aB ．-11aC ．-3aD ．3a【例5】一个数与这个数的绝对值相等，那么这个数是（ ）A ．1，0B ．正数C ．非正数D ．非负数【例6】已知|x |=5，|y |=2，且xy ＞0，则x -y 的值等于（ ）A ．7或-7B ．7或3C ．3或-3D ．-7或-3【例7】若1-=x x，则x 是（ ） A ．正数 B ．负数 C ．非负数 D ．非正数【例8】已知：a ＞0，b ＜0，|a|＜|b|＜1，那么以下判断正确的是（ ）A ．1-b ＞-b ＞1+a ＞aB ．1+a ＞a ＞1-b ＞-bC ．1+a ＞1-b ＞a ＞-bD ．1-b ＞1+a ＞-b ＞a【例9】已知a ．b 互为相反数，且|a -b |=6，则|b -1|的值为（ ）A ．2B ．2或3C ．4D ．2或4【例10】a ＜0，ab ＜0，计算|b -a +1|-|a -b -5|，结果为（ ）A ．6B ．-4C ．-2a +2b +6D ．2a-2b-6【例11】若|x +y |=y -x ，则有（ ）A ．y ＞0，x ＜0B ．y ＜0，x ＞0C ．y ＜0，x ＜0D ．x =0，y ≥0或y =0，x ≤0【例12】已知：x ＜0＜z ，xy ＞0，且|y |＞|z |＞|x |，那么|x +z |+|y +z |-|x -y |的值（ ）A ．是正数B ．是负数C ．是零D ．不能确定符号【例13】给出下面说法：（1）互为相反数的两数的绝对值相等；（2）一个数的绝对值等于本身，这个数不是负数；（3）若|m |＞m ，则m ＜0；（4）若|a |＞|b |，则a ＞b ，其中正确的有（ ）A ．（1）（2）（3）B ．（1）（2）（4）C ．（1）（3）（4）D ．（2）（3）（4）【例14】已知a ，b ，c 为三个有理数，它们在数轴上的对应位置如图所示，则|c -b |-|b -a |-|a -c |= _________c b a 0-11【例15】若x ＜-2，则|1-|1+x||=______若|a|=-a ，则|a-1|-|a-2|= ________【例16】计算111111 (23220072006)-+-++-= ．【例17】已知数,,a b c 的大小关系如图所示，则下列各式：①()0b a c ++->；②0)(>+--c b a ；③1=++c c b b a a ；④0>-a bc ； ⑤b c a b c b a 2-=-++--．其中正确的有 ．（请填写番号）c a 0b【巩固】已知：abc ≠0，且M =a b c a b c ++，当a ，b ，c 取不同值时，M 有 ____种不同可能． 当a 、b 、c 都是正数时，M = ______；当a 、b 、c 中有一个负数时，则M = ________；当a 、b 、c 中有2个负数时，则M = ________；当a 、b 、c 都是负数时，M =__________ ．模块二 绝对值的非负性1. 非负性：若有几个非负数的和为0，那么这几个非负数均为02. 绝对值的非负性；若0a b c ++=，则必有0a =，0b =，0c =【例1】 若42a b -=-+，则_______a b +=【巩固】若7322102m n p ++-+-=，则23_______p n m +=＋【例2】()2120a b ++-=，分别求a b ，的值模块三 零点分段法1. 零点分段法的一般步骤：①找零点→②分区间→③定符号→④去绝对值符号．【例1】阅读下列材料并解决相关问题： 我们知道()()()0000x x x x x x >⎧⎪==⎨⎪-<⎩，现在我们可以用这一结论来化简含有绝对值的代数式，如化简代数式12x x ++-时，可令10x +=和20x -=，分别求得12x x =-=，（称12-，分别为1x +与2x -的零点值），在有理数范围内，零点值1x =-和2x =可将全体有理数分成不重复且不易遗漏的如下3中情况：⑴当1x <-时，原式()()1221x x x =-+--=-+⑵当12x -<≤时，原式()123x x =+--=⑶当2x ≥时，原式1221x x x =++-=-综上讨论，原式()()()211312212x x x x x -+<-⎧⎪=-<⎨⎪-⎩≤≥通过阅读上面的文字，请你解决下列的问题：（1）别求出2x +和4x -的零点值（2）化简代数式24x x ++-【巩固】化简12x x +++【巩固】化简12m m m+-+-的值【巩固】化简523x x++-．【课堂检测】1.若a的绝对值是12，则a的值是（）A．2 B．-2 C．12D．12±2.若|x|=-x，则x一定是（）A．负数B．负数或零C．零D．正数3.如果|x-1|=1-x，那么（）A．x＜1 B．x＞1 C．x≤1D．x≥14.若|a-3|=2，则a+3的值为（）A．5 B．8 C．5或1 D．8或45.若x＜2，则|x-2|+|2+x|=_______________6.绝对值小于6的所有整数的和与积分别是__________7.如图所示，a．b是有理数，则式子|a|+|b|+|a+b|+|b-a|化简的结果为__________ba0-118.已知|x|=2，|y|=3，且xy＜0，则x+y的值为_________9.化简代数式24x x++-【家庭作业】1.-19的绝对值是________2.如果|-a|=-a，则a的取值范围是（A．a＞0 B．a≥0C．a≤0D．a＜03.绝对值大于1且不大于5的整数有__________个．4.绝对值最小的有理数是_________．绝对值等于本身的数是________．5.当x __________时，|2-x|=x-2．6.如图，有理数x，y在数轴上的位置如图，化简：|y-x|-3|y+1|-|x|= ________y x-1217.若3230x y-++=，则yx的值是多少？。
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绝对值的意义及应用
绝对值是初中代数中的一个重要概念，应用较为广泛．在解与绝对值有关的问题时，首
先必须弄清绝对值的意义和性质。
对于数x而言，它的绝对值表示为：|x|.
一. 绝对值的实质：
正实数与零的绝对值是其自身，负实数的绝对值是它的相反数，即
也就是说，|x|表示数轴上坐标为x的点与原点的距离。
总之，任何实数的绝对值是一个非负数，即|x|≥0，请牢牢记住这一点。
二. 绝对值的几何意义：
一个数的绝对值就是数轴上表示这个数的点到原点的距离。
例1. 有理数a、b、c在数轴上的位置如图所示，则式子|a|+|b|+|a+b|+|b-c|化简结果为( )
A．2a+3b-c B．3b-c C．b+c D．c-b
(第二届“希望杯”数学邀请赛初一试题)
解：由图形可知a＜0，c＞b＞0，且|c|＞|b|＞|a|，则a+b＞0，b-c＜0．
所以原式＝-a+b+a+b-b+c＝b+c，故应选(C)．
三. 绝对值的性质：
1. 有理数的绝对值是一个非负数，即|x|≥0，绝对值最小的数是零。
2. 任何有理数都有唯一的绝对值，并且任何一个有理数都不大于它的绝对值，即x≤
|x|。
3. 已知一个数的绝对值，那么它所对应的是两个互为相反数的数。
4. 若两个数的绝对值相等，则这两个数不一定相等(显然如|6|＝|-6|，但6≠-6)，只
有这两个数同号，且这两个数的绝对值相等时，这两个数才相等。
四. 含绝对值问题的有效处理方法
1. 运用绝对值概念。
即根据题设条件或隐含条件，确定绝对值里代数式的正负，再利
用绝对值定义去掉绝对值的符号进行运算。
例2. 已知：|x-2|+x-2＝0，
求：(1)x+2的最大值；(2)6-x的最小值。
解：∵|x-2|+x-2＝0，∴|x-2|＝-(x-2)
根据绝对值的概念，一个数的绝对值等于它的相反数时，这个数为负数或零，
∴x-2≤0，即x≤2，这表示x的最大值为2
(1)当x＝2时，x+2得最大值2+2＝4；
(2)当x＝2时，6-x得最小值6-2＝4
2. 用绝对值为零时的值分段讨论．即对于含绝对值代数式的字母没有条件限制或限制不确切的，就需先求零点，再分区间定性质，最后去掉绝对值符号。
例3. 已知|x-2|+x与x-2+|x|互为相反数，求x的最大值．
解：由题意得(|x-2|+x)+(x-2+|x|)＝0，整理得|x-2|+|x|+2x-2＝0
令|x-2|＝0，得x＝2，令|x|＝0，得x＝0
以0，2为分界点，分为三段讨论：
(1)x≥2时，原方程化为x-2+x+2x-2＝0，解得x＝1，因不在x≥2的范围内，舍去。
(2)0≤x＜2时，原方程化为2-x+x+2x-2＝0，解得x＝0
(3)x＜0时，原方程化为2-x-x+2x-2＝0，从而得x＜0
综合(1)、(2)、(3)知x≤0，所以x的最大值为0
3. 整体参与运算过程．即整体配凑，借用已知条件确定绝对值里代数式的正负，再用绝对值定义去掉绝对值符号进行运算。
例4. 若|a-2|＝2-a，求a的取值范围。
解：根据已知条件等式的结构特征，我们把a-2看作一个整体，那么原式变形为|a-2|＝-(a-2)，又由绝对值概念知a-2≤0，故a的取值范围是a≤2
4. 运用绝对值的几何意义．即通过观察图形确定绝对值里代数式的正负，再用绝对值定义去掉绝对值的符号进行运算．
例5. 求满足关系式|x-3|-|x+1|＝4的x的取值范围．
解：原式可化为|x-3|-|x-(-1)|＝4
它表示在数轴上点x到点3的距离与到点-1的距离的差为4
由图可知，小于等于-1的范围内的x的所有值都满足这一要求。
很容易确定a+c＞0，b+c＜0，a-b＞0，由绝对值的概念，
原式＝(a+c)-(b+c)-(a-b)＝a+c-b-c-a+b＝0
用数轴上的点来表示有理数，用这样的点与原点的距离来表示有理数的绝对值，这里运用了数形结合的思想。