高中数学 1.3 集合的基本运算 第2课时学案 北师大必修1

1.3 集合的基本运算 第2课时

【学习目标】

1． 了解全集的意义，理解补集的概念，能利用Venn 图和数轴表达集合间的关系；

2． 渗透辩证的观点.

【课前导学】

一、复习回顾

1．A ?B ? 对任意的x ∈A 有______，此时我们称A 是B 的______；如果_______，且_______，则称A 是B 的真子集，记作______；如果______ ，且______，则称集合A 与集合B 相等，记作_______；空集是指____________的集合，记作_____．

2．子集的性质？

① A ? A ；

② A ??；

③ ,A B B C ??,则A C ?；

④?是任何非空集合的真子集；

⑤真子集具备传递性．

二、问题情境

指出下列各组的三个集合中，哪两个集合之间具有包含关系．

(1){}{}{}2,1,1,2,1,1,2,2S A B =--=-=-；

(2){}{},|0,,|0,S R A x x x R B x x x R ==≤∈=>∈；

(3){}{}{}|||S x x A x x B x x ===是地球人，是中国人，是外国人．

【答案】在（1）（2）（3）中都有A S ，B S ．

【思考】观察上述A ，B ，S 三个集合，它们的元素之间还存在什么关系？

答：A ，B 中的所有元素共同构成了集合S ，即S 中除去A 中元素，即为B 元素；反之亦然． 请同学们举出类似的例子：

如：A ＝{班上男同学}，B ＝{班上女同学}，S ＝{全班同学}．

【课堂活动】

一、建构数学：

【共同特征】集合B 就是集合S 中除去集合A 中的元素之后余下来的集合，可以用文氏图表示．我们称B 是A 对于全集S 的补集．

补集：设A ?S ，由S 中不属于A 的所有元素组成的集合称为S 中A 的补集，记作S A e，比如若S ＝{2，3，4}，A ＝{4，3}，则eS A ＝_｛2｝__．

全集：如果集合S 包含我们要研究的各个集合，这时S 可以看作一个全集．全集通常用字母U 表示．

【注意】（1）,U A U A U ??则e．（2）一个集合的补集的补集等于它本身．

（3）U U U U =??=，痧． （4）对于不同的全集，同一集合A 的补集不相同．

（如：例1）

二、应用数学：

例1 {}{}{}U S U 1,2,3,4,5S=1,2,3,4,A 1,2C A,C A.==，，求

解：{}{}U S C A=3,4,5, C A=3,4．

【解后反思】对于不同的全集，同一集合A 的补集不相同．

例2 {}

U U=R,A=x -1x 3,C A ≤<求．

解：{}U C A=x|x<-1x 3≥或．

【解后反思】数形结合---数轴的使用．

例3 ①不等式组210360x x -≥??-1}，B={x|x+a<0}，B 是R C A 的真子集，求实数a 的取值范围． 解：①A=1|22x x ?

?≤

或，数轴略； ② B={x|x+a<0}={x|x<-a} ，R C A ={x|x≤1}，

∵ B 是R C A 的真子集 ， 如图所示：

x 1-a

∴ -a ≤ 1即a≥-1．

例4 设全集Ｕ＝Ｒ，Ａ＝｛ｘ｜３ｍ－１＜ｘ＜２ｍ｝，Ｂ＝｛ｘ｜－１＜ｘ＜３｝， Ｂ?≠ＣU Ａ，求ｍ的取值范围．

解：由条件知，若Ａ＝Φ，则３ｍ－１≥２ｍ即ｍ≥１，满足题意；

若Ａ≠Φ，即ｍ＜１时，ＣU Ａ＝｛ｘ｜ｘ≥２ｍ或ｘ≤３ｍ－１｝，

则应有 －１≥２ｍ即ｍ≤－

21 或３ｍ－１≥３即ｍ≥43

与前提ｍ＜１矛盾，舍去． 综上可知：ｍ的取值范围是ｍ≥１或ｍ≤－2

1． 【解后反思】空集是任何集合的子集，注意空集的特殊性．

【变式】 设全集Ｕ＝｛１，２，３，４｝，且Ａ＝｛ｘ｜ｘ2－ｍｘ＋ｎ＝０，ｘ∈Ｕ｝，若ＣU

Ａ＝｛２，３｝，求ｍ，ｎ的值．

解：∵Ｕ＝｛１，２，３，４｝，ＣU Ａ＝｛２，３｝∴Ａ＝｛１，４｝．

∴１，４是方程ｘ2－ｍｘ＋ｎ＝０的两根．

∴ｍ＝１＋４＝５，ｎ＝１×４＝４．

三、理解数学：

1．设{}{}34|,|,<>=≤≤==x x x A C b x a x A R U U 或，则___________,__________

==b a ． 解：a=3，b=4．

2．设Ｕ＝｛２，４，３－a 2｝,Ｐ＝｛２，a 2＋２－a ｝，ＣU Ｐ＝｛－１｝，求a ． 解：∵－１∈ＣU Ｐ∴－１∈Ｕ∴３－a 2＝－１得a ＝±２．

当a ＝２时，Ｐ＝｛２，４｝满足题意．

当a ＝－２时，Ｐ＝｛２，８｝，８?Ｕ舍去．因此a ＝２．

［点评］由集合、补集、全集三者关系进行分析，特别注意集合元素的互异性，所以解题时不要忘记检验，防止产生增解．

3．已知Ａ＝｛０，２，４，６｝，ＣS Ａ＝｛－１，－３，１，３｝，ＣS Ｂ＝｛－１，０，２｝，用列举法写出集合Ｂ．

解：∵Ａ＝｛０，２，４，６｝，ＣS Ａ＝｛－１，－３，１，３｝

∴Ｓ＝｛－３，－１，０，１，２，３，４，６｝又ＣS Ｂ＝｛－１，０，２｝

∴Ｂ＝｛－３，１，３，４，６｝．

【课后提升】

1．若S={2，3，4}，A={4，3}，则C S A={2} ．

2．若S={三角形}，B={锐角三角形}，则C S B={直角三角形或钝角三角形} ．

3．若S={1，2，4，8}，A=?，则C S A= S ．

4．若U={1，3，a 2+2a+1}，A={1，3}，C U A={5}，则a=-1±

5．已知A={0，2，4}，C U A={-1，1}，C U B={-1，0，2}，则B={1，4}；

6．设全集U={2，3，m 2+2m-3}，A={|m+1|，2}，C U A={5}，求m 的值．

解：m= - 4或m=2．

7．已知全集U={1，2，3，4}，A={x|x 2-5x+m=0，x ∈U}，求C U A 、m ．

解：C U A={2，3}，m=4；C U A={1，4}，m=6）．

8．已知全集U=R,集合A={x|0

解：C U A={}|1x 6x x ≤>或，C U (C U A)=A={}|16x x <≤