山东省曲阜市第一中学2020届高三数学上学期第一次月考试题

山东省曲阜市第一中学2020届高三数学上学期第一次月考试题一、选择题：本题共12题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1. 已知集合{|lg 0},{|21}xA x xB x =≤=≤则A B =U （ ） A.(,1)-∞ B.(,1]-∞ C.(1,)+∞ D.[1,)+∞2. =-+a i iai则实数是虚数单位）为纯虚数（已知,11（ ） A ．1 B ．2 C ．1- D ．2-3.△ABC 中，AB =2，AC=3，∠B =60°，则cos C =（ ）A.3B. 3±C. 3-D.34. 已知平面向量a r =（2，-1），b r =（1，1），c r =（-5，1），若()a kb +r r∥c r ，则实数k 的值为（ ） A ．2 B.12 C.114 D.114- 5.已知13241,log 3,log 72a b c ⎛⎫=== ⎪⎝⎭， 则a ，b ，c 的大小关系为（ ） A ．a ＜b ＜c B ．b ＜a ＜cC ．c ＜a ＜bD ．a ＜c ＜b6.若22cos()4θθπθ=+，则sin 2θ=（ ）A ．13 B ．23 C. 23- D ．13- 7.“a ≤－1”是“函数f (x )＝ln x ＋ax ＋1x在[1，＋∞)上为单调函数”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件8.已知函数()4f x x =+，x x x g 2)(2-=，(),()()()(),()()f x f xg x F x g x f x g x ≥⎧⎪=⎨<⎪⎩，则)(x F 的最值是（ ）A ．最大值为8，最小值为3；B ．最小值为-1，无最大值；C ．最小值为3，无最大值；D ．最小值为8，无最大值．9.已知△ABC 的边AB ，AC 的长分别为2，3，∠BAC =120°，则△ABC 的角平分线AD 的长为（ ）A.335B.35C.635D.6510.已知函数)2||,0,0)(sin()(πϕωϕω<>>+=A x A x f 的最大值为2，其图象相邻两条对称轴之间的距离为2π且f (x )的图象关于点)0,12(π-对称，则下列判断正确的是（ ）A ．要得到函数f (x )的图象，只需将x y 2cos 2=的图象向右平移6π个单位B ．函数f (x )的图象关于直线π125=x 对称C ．当]6,6[ππ-∈x 时，函数)(x f 的最小值为2-D ．函数)(x f 在]3,6[ππ上单调递增11.在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述.两颗星的星等与亮度满足212152–lg E m m E =，其中星等为m k 的星的亮度为E k （k =1,2）.已知太阳的星等是–26.7，天狼星的星等是–1.45，则太阳与天狼星的亮度的比值为( ) A. 1010.1B. 10.1C. lg10.1D. 10–10.112.已知'()f x 是函数()f x 的导函数，且对任意的实数x 都有()()()e 23x f x x f x '=++，()01f =，则不等式()5x f x e <的解集为（ ）A ．()4,1-B ．(1,4)-C ．(,4)(1,)-∞-+∞UD ．(,1)(4,)-∞-+∞U二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13. 已知向量a r ，b r满足22a b ==r r ，，且()2a a b ⊥+r r r ，则b r 在a r 方向上的投影为14.函数()f x 在(0,)+∞上单调递增，且(2)f x +关于2x =-对称，若(2)1f -=，则(2)1f x -≤的x 的取值范围是15.已知函数y =log a （x +3）﹣1（a ＞0，且a ≠1）的图象恒过定点A ，若点A 在直线mx+ny+1=0上，其中mn ＞0，则的最小值为16.函数ln 1y x =-的图象与函数()2cos ,24y x x π=--≤≤的图象所有交点的横坐标之和等于 .三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.(本题10分)已知等差数列{a n }中，17a =-，315S =-．（1）求数列{a n }的通项公式； （2）求数列{a n }的前n 项和S n ．18.(本题12分)将函数3sin 2y x =的图像向左平移6π个单位长度，再将图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到()f x 的图像. （1）求()f x 的单调递增区间； （2）若对于任意的,22x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，不等式()3f x m -<恒成立，求实数m 的取值范围.19.(本题12分)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知满足(2)cos cos a c B b C -=.（Ⅰ）求角B 的大小；（Ⅱ）若2b =，求△ABC 的面积的取值范围．20.(本题12分)已知a R ∈，设函数()3ln 1f x x a x =-+ （1）若3a e =，求函数f (x )在[0,2]e 上的最小值； （2）讨论函数f (x )的单调性.21.(本题12分)已知一家电子公司生产某种电子产品的月固定成本为20万元，每生产1千件需另投入5.4万元，设该公司一月内生产该电子产品x 千件能全部销售完，每千件的销售收入为g （x ）万元，且g （x ）= ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>-≤<-)10x (x 32000x 168)10x 0(x 3015.1322（Ⅰ）写出月利润y （万元）关于月产量x （千件）的函数解析式；（Ⅱ）月产量为多少千件时，该公司在这一产品的生产中所获利润最大？并求出最大利润．22.(本题12分)已知32()ln ,()2f x x x g x x ax x ==-++．(1).如果函数()g x 的单调递减区间为1(,1)3-，求函数()g x 的解析式； (2).在(1)的条件下，求函数()y g x =的图象在点(1,1)P -处的切线方程； (3).若不等式2()()2f x g x ≤'+恒成立，求实数a 的取值范围．2020届高三第一次月考数学试题答案一、BADBD CACDA AA二、13. -1 14. [0,4] 15.8 16.6 三、17.（1）依题意，设等差数列{}n a 的公差为d ，因为32315S a ==-，所以25a =-，又17a =-，所以公差2d =， 所以(1)n n a a n d =+-=72(1)29n n -+-=-． （2）由（1）知17a =-，2d =， 所以1(1)2n n n S na d -=+=(1)72(8)2n n n n n --+⨯=- 18.（1）函数3sin 2y x =的图像向左平移6π个单位长度可得3sin 2+3y x π⎛⎫= ⎪⎝⎭， 然后将3sin 2+3y x π⎛⎫= ⎪⎝⎭上所有点的横坐标伸长到原来的2倍可得()3sin 3f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭令22,232k x k k πππππ-≤+≤+∈Z ，即52,2,66x k k k ππππ⎡⎤∈-+∈⎢⎥⎣⎦Z ， 故()f x 的单调递增区间为52,2,66k k k ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦Z . （2）因为,22x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，所以5636x πππ-≤+≤， 所以函数()f x 在,22ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值为3，此时32x ππ+=，即6x π=，最小值为32-，此时36x ππ+=-，即2x π=-. 对于任意的,22x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，不等式()3f x m -<恒成立， 即3()3m f x m -<<+恒成立，()()max min33f x m f x m ⎧<+⎪⎨>-⎪⎩，所以33332m m <+⎧⎪⎨->-⎪⎩，302m <<，故实数m 的取值范围为30,2⎛⎫⎪⎝⎭。

19.（Ⅰ）()2cos cos a c B b C -=Q由正弦定理得：()2sin sin cos sin cos A C B B C -=()2sin cos sin cos sin cos sin sin A B C B B C B C A ∴=+=+= ()0,πA ∈Q sin 0A ∴≠ 1cos 2B ∴= ()0,B π∈Q 3B π∴=（Ⅱ）由正弦定理得：sin sin b A a B=3a A∴==同理：c C =11s in sin 2in 2ABC A C A ac C S B ∆==∴=21sin cos sin sin 33322C C C C C π⎫⎛⎫=-=+⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭1112cos 2sin 23444362C C C π⎫⎫⎛⎫=-+=-+⎪ ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 203C π<<Q 72666C πππ∴-<-< 1sin 2126C π⎛⎫∴-<-≤ ⎪⎝⎭10sin 2362C π⎫⎛⎫∴<-+≤ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭ABC ∆∴的面积的取值范围为：(20.（1）若3a e =，则()33ln 1f x x e x =-+,所以，33()()3e x e f x x x-'=-= 所以，()f x 在(0,)e 上单调递减，在(, 2]e e 上单递增. 故当x e =时，函数f (x )取得最小值，最小值是()1f e = （2）由题意可知，函数f (x )的定义域是(0,)+∞，又3()3a x a f x x x-'=-= 当0a ≤时，()0f x '>，函数f (x )在(0,)+∞上单调递增；当0a >时，令3()0x a f x x -'=>解得，3ax >，此时函数f (x )是单调递增的 令3()0x a f x x -'=<解得，03ax <<，此时函数f (x )是单调递减的 综上所述，当0a ≤时，函数f (x )的单调递增区间是(0,)+∞21.（Ⅰ）当0＜x≤10时，y=x （13.5﹣x 2）﹣20﹣5.4x=8.1x ﹣x 3﹣20，当x ＞10时，y=（﹣﹣）x ﹣20﹣5.4x=148﹣2（+2.7x ），∴y=，（Ⅱ）①当0＜x≤10时，y′=8.1﹣x 2，令y′=0可得x =9，x∈（0，9）时，y′＞0；x∈（9，10]时，y′＜0， ∴x=9时，y max =28.6万元； ②当x ＞10时，y=148﹣2（+2.7x ）≤148﹣120=22（万元）（当且仅当x=时取等号）…综合①②知：当x=9时，y 取最大值…故当年产量为9万件时，服装厂在这一高科技电子产品的生产中获年利润最大。