苏教版数学必修四同步练习：1.2 1.2.3 第2课时 诱导公式五、六 应用案巩固提升

[学生用书P86(单独成册)])
[A 基础达标]
1．化简：sin ⎝⎛⎭⎫92π＋x ＝( ) A ．sin x B ．cos x C ．－sin x
D ．－cos x
解析：选B ．sin ⎝⎛⎭⎫92π＋x
＝sin ⎣⎡⎦
⎤4π＋⎝⎛⎭⎫π2＋x ＝sin ⎝⎛⎭⎫
π2＋x ＝cos x .
2．若cos ⎝⎛⎭⎫π12－θ＝1
3，则sin ⎝⎛⎭⎫5π12＋θ＝( ) A ．1
3
B ．22
3
C ．－13
D ．－223
解析：选A ．因为cos ⎝⎛⎭⎫π12－θ＝13， 所以sin ⎝⎛⎭⎫5π12＋θ＝sin ⎣⎡⎦
⎤π
2－⎝
⎛⎭⎫π12－θ ＝cos ⎝⎛⎭⎫π12－θ＝13
. 3．已知α∈⎝⎛⎭⎫0，3π2，cos ⎝⎛⎭⎫3π2－α＝3
2，则tan (2 018π－α)＝( ) A ． 3 B ．－ 3 C ．3或－ 3
D ．
33或－3
3
解析：选B ．由cos ⎝⎛⎭⎫3π2－α＝32得sin α＝－3
2， 又0<α<3π
2，
所以π<α<3π
2，
所以cos α＝－1－⎝⎛⎭
⎫－322＝－12， tan α＝ 3.
因为tan (2 018π－α)＝tan(－α)＝－tan α＝－3，故选B ．
4．已知sin ⎝⎛⎭⎫α－π4＝13，则cos ⎝⎛⎭⎫π
4＋α的值为( ) A ．－1
3
B ．1
3
C ．－223
D ．223
解析：选A ．cos ⎝⎛⎭⎫π
4＋α ＝sin ⎣⎡⎦
⎤π2－⎝⎛⎭
⎫π
4＋α ＝sin ⎝⎛⎭⎫π4－α＝－sin ⎝⎛⎭⎫α－π4＝－13
. 5．已知f (sin x )＝cos 3x ，则f (cos 10°)的值为( ) A ．－1
2
B ．12
C ．－
32
D ．
32
解析：选A ．f (cos 10°)＝f (sin 80°)＝cos 240°＝cos(180°＋60°)＝－cos 60°＝－1
2.
6．若角A ，B ，C 是△ABC 的三个内角，则下列等式中一定成立的是________． ①cos(A ＋B )＝cos C; ②sin(A ＋B )＝－sin C ； ③sin
B ＋
C 2＝cos A
2
. 解析：因为A ＋B ＋C ＝π， 所以A ＋B ＝π－C ，
所以cos(A ＋B )＝－cos C ，sin(A ＋B )＝sin C ， 所以①②都不正确；同理B ＋C ＝π－A ， 所以sin B ＋C 2＝sin ⎝⎛⎭⎫π2－A 2＝cos A
2， 所以③是正确的． ★答案★：③
7．已知cos ⎝⎛⎭⎫5π12＋α＝13，且－π＜α＜－π2， 则cos ⎝⎛⎭⎫π12－α＝________． 解析：因为－π＜α＜－π
2，
所以－7π12＜5π12＋α＜－π12.
又cos ⎝⎛⎭⎫5π12＋α＝13＞0，
所以sin ⎝⎛⎭⎫
5π12＋α＝－1－cos 2⎝⎛⎭⎫5π12＋α＝－22
3
. 由⎝⎛⎭⎫π12－α＋⎝⎛⎭⎫5π12＋α＝π
2， 得cos ⎝⎛⎭⎫π12－α＝cos ⎣⎡⎦
⎤π2－⎝
⎛⎭⎫5π
12＋α ＝sin ⎝⎛⎭⎫5π12＋α＝－223. ★答案★：－22
3
8．sin 21°＋sin 22°＋sin 23°＋…＋sin 288°＋sin 289°＋sin 290°的值为________． 解析：因为sin 21°＋sin 289°＝sin 21°＋cos 21°＝1， sin 22°＋sin 288°＝sin 22°＋cos 22°＝1，
sin 2x °＋sin 2(90°－x °)＝sin 2x °＋cos 2x °＝1(1≤x ≤44，x ∈N )，
所以原式＝(sin 21°＋sin 289°)＋(sin 22°＋sin 288°)＋…＋(sin 244°＋sin 246°)＋sin 290°＋sin 245°＝45＋
⎝⎛⎭⎫222
＝912
. ★答案★：91
2
9．化简：sin （θ－5π）cos ⎝⎛⎭
⎫－π
2－θcos （8π－θ）sin ⎝⎛⎭⎫θ－3π2 sin （－θ－4π）.
解：原式＝－sin （5π－θ）cos ⎝⎛⎭⎫
π2＋θcos θ
－sin ⎝⎛⎭⎫3π2－θ[－sin （4π＋θ）]
＝－sin （π－θ）（－sin θ）cos θ
cos θ（－sin θ）
＝
－sin θ（－sin θ）cos θ
cos θ（－sin θ）
＝－sin θ.
10．已知1＋tan （π＋α）1＋tan （2π－α）＝3＋22，求cos 2(π－α)＋sin ⎝⎛⎭⎫3π2＋α·cos ⎝⎛⎭⎫π
2＋α＋2sin 2(α－π)的值．
解：由已知，得1＋tan α
1－tan α＝3＋22，
所以tan α＝2＋224＋22＝1＋22＋2＝2
2
.
所以cos 2(π－α)＋sin ⎝⎛⎭⎫3π2＋αcos ⎝⎛⎭⎫π
2＋α＋2sin 2(α－π) ＝cos 2α＋(－cos α)(－sin α)＋2sin 2α
＝cos 2α＋sin αcos α＋2sin 2α ＝cos 2α＋sin αcos α＋2sin 2αsin 2α＋cos 2α
＝1＋tan α＋2tan 2α1＋tan 2α
＝
1＋22
＋11＋12
＝
4＋2
3
. [B 能力提升]
1．已知角θ的顶点在坐标原点，始边与x 轴正半轴重合，终边在直线3x －y ＝0上，则sin ⎝⎛⎭⎫3π2＋θ＋2cos （π－θ）
sin ⎝⎛⎭⎫π2－θ－sin （π－θ）
等于( )
A ．－32
B ．32
C ．0
D ．23
解析：选B ．设θ的终边上一点为P (x ，3x )(x ≠0)， 则tan θ＝y x ＝3x
x
＝3.
因此sin ⎝⎛⎭⎫3π2＋θ＋2cos （π－θ）sin ⎝⎛⎭⎫π2－θ－sin （π－θ）
＝－cos θ－2cos θcos θ－sin θ＝－3cos θ
cos θ－sin θ
＝
－31－tan θ＝－31－3＝3
2
，
故选B ．
2．已知sin α是方程5x 2－7x －6＝0的根，求 sin ⎝⎛⎭⎫α＋3π2sin ⎝⎛⎭
⎫3π
2－αtan 2（2π－α）tan （π－α）cos ⎝⎛⎭⎫π2－αcos ⎝⎛⎭⎫π2＋α的值．
解：由于方程5x 2－7x －6＝0的两根为2和－3
5，
所以sin α＝－3
5
，
再由sin 2α＋cos 2α＝1，得cos α＝±1－sin 2α＝±4
5，
所以tan α＝±3
4，
所以原式＝
－cos α（－cos α）·tan 2α（－tan α）sin α·（－sin α）
＝tan α＝±3
4.
3．(选做题)已知sin (3π－α)＝2cos ⎝⎛⎭⎫
3π2＋β，3cos(－α)＝－2·cos (π＋β)，且0＜α＜π，0＜β＜π，求α和β的值．
解：因为sin (3π－α)＝2cos ⎝⎛⎭⎫3π2＋β， 所以sin α＝2sin β.①
因为3cos(－α)＝－2cos (π＋β)， 所以3cos α＝2cos β.②
①2＋②2，得sin 2α＋3cos 2α＝2(sin 2β＋cos 2β)， 所以cos 2α＝12，cos α＝±22.
又0＜α＜π， 所以α＝π4或α＝3π
4
.
当α＝π4时，β＝π6；当α＝3π4时，β＝5π
6.
即α＝π4，β＝π6或α＝3π4，β＝5π6.。