第12讲 平面直角坐标系

第12讲平面直角坐标系一、【知识要点】1）各象限内点的坐标的符号特征P(x，y)为第一象限内的点，则x______，y______；P(x，y)为第二象限内的点，则x______，y______；P(x，y)为第三象限内的点，则x_______，y______；P(x，y)为第四象限内的点，则x______，y______．2）x轴上点的坐标特征所有纵坐标为O的点在上；3）y轴上点的坐标特征：所有横坐标为O的点在上；坐标轴上的点不属于 .4）第一、三象限角平分线上点的坐标有什么特点？所有横、纵坐标相等的点在上；5 ) 第二、四象限角平分线上点的坐标有什么特点？所有横、纵坐标互为相反数的点在上；6）关于x轴对称的两点，坐标特征.关于y轴对称的两点的坐标特征.关于x轴对称的两点，相同，互为相反数.关于y轴对称的两点，横坐标互为相反数，纵坐标相同.关于原点对称的两点，横坐标互为相反数，纵坐标也互为相反数.即P1、P2两点关于x轴对称⇔x1=x2，且y1= -y2，P1、P2两点关于y轴对称⇔x1=-x2，且y1=y2；P1、P2两点关于原点对称⇔x1=-x2，且y1=-y2．补充：A(a,b)关于直线y=x对称的点的坐标是A’（b,a）A(a,b)关于直线y=x对称的点的坐标是A’（-b,-a）7）设A(a,b),B(c,d)AB⊥x轴⇔a=c且b≠d; AB⊥y轴⇔ b=d,且a≠c;8）距离：（1）点A(x，y)到轴的距离点A到x轴的距离为；点A到y轴的距离为 .(2)同一坐标轴上两点之间的距离：A(m，0)，B(n，0)，则AB＝|m－n|A(0，s)，B(0，t)，则AB＝|s－t|点A(x，y)到坐标原点的距离AB（3）x轴上点A与y轴上点B之间的距离：A(m，0)与B(0，n)之间的距离AB＝9）会画直角坐标系，能由点的坐标确定点的位置，由点的位置确定点的坐标； 10）求点的坐标的方法： 一般有两种： （1）定域定量法：先根据点所在区域（坐标轴，四个象限）确定此点横、纵坐标与0相比的大小关系，再根据点到x 轴、y 轴的距离确定此点横、纵坐标的绝对值.(2)构造方程法根据题目所提供的“形”的信息转化为“数”的信息，比如：若已知两点特殊的位置关系，可以将其转化为两点坐标间特殊的数量关系，构造方程求出点的坐标. 二、【典型例题】一、考查各象限内点的符号特征，有关试题常出选择题1. 点(213)P m -，在第二象限，则m 的取值范围是（ ） A ．12m >B ．12m ≥C ．12m <D ．12m ≤2. 对任意实数x ，点2(2)P x x x -，一定不在．．（ ）C A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3. 在平面直角坐标系中，设点P 到原点O 的距离为ρ，OP 与x 轴正方向的夹角为α，则用][αρ,表示点P 的极坐标，显然，点P 的极坐标与它的坐标存在一一对应关系.例如：点P 的坐标为（1，1），则其极坐标为[]︒45,2.若点Q 的极坐标为[]︒60,4，则点Q 的坐标为 AA.()32,2 B.()32,2- C.（23,2） D.（2，2）4. 如图，在平面直角坐标系中，点A 在第一象限，⊙A 与轴相切于B ，与轴交于C （0，1），D （0，4）两点，则点A 的坐标是 （ ）CA.35(,)22B.3(,2)2C.5(2,)2D.53(,)225. 直线1y x =-与坐标轴交于A 、B 两点，点C 在坐标轴上，△ABC 为等腰三角形，画出满足条件的点C ，并试着求出C 点的坐标？（2y x =-呢？）6. 正方形ABCD 在平面直角坐标系中的位置如图，在平面内确定一点P ，使△P AB 、△PBC 、△PCD 、△PDA 同时为等腰三角形（保留作图痕迹，不写作法），你能写出它们的坐标吗？A BO xy-11-11CDBAyxO7. 如图，已知在矩形ABCD 中，AB =4，BC =252，O 为BC 上一点，BO =72，如图所示，以BC 所在直线为x 轴，O 为坐标原点建立平面直角坐标系，M 为线段OC 上的一点。

⑴若点M 的坐标为()1,0，如图①，以OM 为一边作等腰△OMP ，使点P 在矩形ABCD 的一边上，则符合条件的等腰三角形有几个？请直接写出所有符合条件的点P 的坐标；⑵若将⑴中的点M 的坐标改为()4,0，其他条件不变，如图②，那么符合条件的等腰三角形有几个？求出所有符合条件的点P 的坐标；⑶若将⑴中的点M 的坐标改为()5,0，其他条件不变，如图③，请直接写出符合条件的等腰三角形有几个。

（不必求出点P 的坐标）MA BC OD xyMA BCOD xyMA BC OD xy8. 在平面直角坐标系中，点A 的坐标为(11)，，点B 的坐标为(111)，，点C 到直线AB 的距离为4，且ABC △是直角三角形，则满足条件的点C 有 个．89. 如图，平行四边形ABCD 中，A 在坐标原点，D 在第一象限角平分线上, 又知AB=6,AD=求B 、C 、D 点坐标.分析：因为D 点在第一象限角平分线上，所以D 点的横坐标与纵坐标相同，又D 、C 在平行x 轴直线上，所以D 、C 点纵坐标相同，结合平行四边形性质，即可求出各顶点坐标了． 在引导分析的基础上，由同学们完成此题，D(2，2)、C(8，2)、B(6，0)．10. 如图，点A ，B ，C 的坐标分别为(0，1)，(－1，0)，(1，0)，设点D 与A ，B ，C 三点构成平行四边形，(1)写出所有符合条件的点D 的坐标；(2)选择(1)中的一点D ，求直线BD 的解析式. 11. 如图，A 、B 、C 为一个平行四边形的三个顶点，且A 、B 、C 三点的坐标分别为(3，3)、(6，4)、(4，6)．(1)请直接写出这个平行四边形第四个顶点的坐标；(2)求这个平行四边形的面积．x12. 如图，在平面直角坐标系中，点A 的坐标是（10，0），点B 的坐标为（8，0），点C 、D 在以OA为直径的半圆M 上，且四边形OCDB 是平行四边形．求点C 的坐标．13. 如图，在平面直角坐标系中，点AB 分别在x 轴、y 轴上，线段OA 、OB 的长（OA <OB ）是方程218720x x -+=的两个根，点C 是线段AB 的中点，点D 在线段OC 上，OD =2CD 。

⑴求点C 的坐标； ⑵求直线AD 的解析式；⑶P 是直线AD 上的点，在平面内是否存在点Q ，使以O 、A 、P 、Q 为顶点的四边形是菱形？ 若存在，请直接写出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由。

y xD OC B A14. 在平面直角坐标系中，以点（2，3）为圆心，2为半径的圆必定（ ） A ．与x 轴相离、与y 轴相切 B ．与x 轴、y 轴都相离 C ．与x 轴相切、与y 轴相离 D ．与x 轴、y 轴都相切15. 如图，直角坐标系中，已知两点(00)(20)O A ，，，，点B 在第一象限且OAB △为正三角形，OAB △的外接圆交y 轴的正半轴于点C ，过点C 的圆的切线交x 轴于点D ． （1）求B C ，两点的坐标； （2）求直线CD 的函数解析式；（3）设E F ，分别是线段AB AD ，上的两个动点，且EF 平分四边形ABCD 的周长．试探究：AEF △的最大面积？（1）(20)A ，，2OA ∴=． 解:作BG OA ⊥于G ，OAB △为正三角形，1OG ∴=，BG =B ∴．连AC ，90AOC ∠=，60ACO ABO ∠=∠=，tan 303OC OA ∴== ．03C ⎛∴ ⎝⎭，．（2）90AOC ∠=，AC ∴是圆的直径， 又CD 是圆的切线，CD AC ∴⊥．30OCD ∴∠= ，2tan 303OD OC ==． 203D ⎛⎫∴- ⎪⎝⎭，．设直线CD 的函数解析式为(0)y kx b k =+≠，则203b k b⎧=⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩，解得k b ⎧=⎪⎨=⎪⎩．∴直线CD的函数解析式为3y =+． （3）2AB OA == ，23OD =，423CD OD ==，3BC OC ==， （第24题）（第24题）∴四边形ABCD的周长6+． 设AE t =，AEF △的面积为S ，则3AF t =+，1sin 6032S AF AE t ⎛⎫==+- ⎪ ⎪⎝⎭．2973434632S t t ⎡⎛⎫⎛⎢=+-=--++ ⎪ ⎪ ⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦． ∴当96t =时，max 3128S =+．点E F ，分别在线段AB AD ，上，0220323t t ⎧⎪∴⎨-+⎪⎩≤≤≤≤2t ≤．t =2t ≤， AEF ∴△38+． 二、规律探究16. 如图，将边长为1的正三角形OAP 沿x 轴正方向连续翻转2008次，点P 依次落在点1232008P P P P ，，，，的位置，则点2008P 的横坐标为 ．17. 如图，将边长为1的正方形OAPB 沿x 轴正方向连续翻转2006次，点P 依次落在点1P ,2P ,3P ,4P ,…,2006P 的位置，则2006P 的横坐标2006x ＝__________18. 如图，已知()11,0A ，()21,1A ，()31,1A -，()41,1A --，()52,1A -，…，则点2007A 的坐标为19. 如图，一个机器人从O 点出发，向正东方向走3米到达1A 点，再向正北方向走6米到达2A 点，再向正西方向走9米到达3A 点，再向正南方向走12米到达4A 点，再向正东方向走15米到达5A 点，按如此规律下去，当机器人走到6A 点时，离O 点的距离是_______米。

A 10A 9A 8A 7y xO A 6A 5A 4A 3A 2A 1y xO A 6A 5A 4A 3A 2A 120. 如图，在直角坐标系中，已知点)0,3(-A ，)4,0(B ，对△OAB 连续作旋转变换，依次得到三角形①、②、③、④…，则三角形⑩的直角顶点的坐标为 ▲ ．(360)，21. 如图，已知ABC △的三个顶点的坐标分别为(23)A -，、(60)B -，、(10)C -，． （1）请直接写出点A关于y 轴对称的点的坐标；（2）将ABC △绕坐标原点O 逆时针旋转90°．画出图形，直接写出点B 的对应点的坐标及点B 经过的路线长（结果保留π）；（3）请直接写出：以A B C 、、解：（1）（2，3）；（2）图形略．（0，6-）；（3）（7-3，）或(53)--，或(33)，．x22. 如图，在平面直角坐标系中，直线l 是第一、三象限的角平分线． 实验与探究：(1) 由图观察易知A （0，2）关于直线l 的对称点A '的坐标为（2，0），请在图中分别标明 B (5,3) 、C (-2,5) 关于直线l 的对称点B '、C '的位置，并写出他们的坐标: B ' 、 C ' ； 归纳与发现：(2) 结合图形观察以上三组点的坐标，你会发现：坐标平面内任一点P (a ,b )关于第一、三象限的角平分线l 的对称点P '的坐标为 （不必证明）； 运用与拓广：(3) 已知两点D (1,-3)、E (-1,-4)，试在直线l 上确定一点Q ，使点Q 到D 、E 两点的距离之和最小，并求出Q 点坐标．（-13/7说明：由点E 关于直线l 的对称点也可完成求解．）23. 如图，当四边形PABN 的周长最小时，a = ．7/4转化思想四边形转化为三角形24. 如图，ABC △与A B C '''△是位似图形，25. 已知：等腰三角形OAB （－6，0）.（1）若三角形OAB 关于y 轴的轴对称图形是三角形O A B ''，请直接写出A 、B 的对称点A 'B '、的坐标； （2）若将三角形OAB 沿x 轴向右平移a 个单位，此时点A恰好落在反比例函数y a 的值； （3）若三角形OAB 绕点O 按逆时针方向旋转α度（090α<<）.①当α=30时点B 恰好落在反比例函数ky x=的图像上，求k 的值． ②问点A 、B 能否同时落在①中的反比例函数的图像上，若能，求出α 的值；若不能，请说明理由.答案：解：（1）(6,0)A B ''（2） ∵3y = ∴3=∴x =∴a =(3)① ∵030α=∴相应B 点的坐标是 (3)--∴.k =② 能 当060α=时，相应A ,B 点的坐标分别是(3),(3,----，经经验：它们都在y =的图像上∴060α= 26. 如图1所示，直角梯形OABC 的顶点A 、C 分别在y 轴正半轴与x 轴负半轴上.过点B 、C 作直线l ．将直线l 平移，平移后的直线l 与x 轴交于点D ，与y 轴交于点E ． （1）将直线l 向右平移，设平移距离CD 为t (t ≥0)，直角梯形OABC 被直线l 扫过的面积（图中阴影部份）为s ，s 关于t 的函数图象如图2所示， OM 为线段，MN 为抛物线的一部分，NQ 为射线，N 点横坐标为4．①求梯形上底AB 的长及直角梯形OABC 的面积； ②当42<<t 时，求S 关于t 的函数解析式；（2）在第（1）题的条件下，当直线l 向左或向右平移时（包括l 与直线BC 重合），在直线．．AB ．．上是否存在点P ，使PDE ∆为等腰直角三角形?若存在，请直接写出所有满足条件的点P 的坐标;若不存在，请说明理由．解：（1）①2AB = ……………………………………………………………………………2分842OA ==，4OC =，S 梯形OABC =12 ……………………………………………2分 ②当42<<t 时，直角梯形OABC 被直线l 扫过的面积=直角梯形OABC 面积－直角三角开DOE 面积2112(4)2(4)842S t t t t =--⨯-=-+-…………………………………………4分（2） 存在 ……………………………………………………………………………………1分123458(12,4),(4,4),(,4),(4,4),(8,4)3P P P P P --- …（每个点对各得1分）……5分 对于第（2）题我们提供如下详细解答（评分无此要求）.下面提供参考解法二：① 以点D 为直角顶点，作1PP x ⊥轴Rt ODE ∆ 在中，2OE OD =∴，设2OD b OE b ==，.1Rt ODE Rt PPD ∆≈∆，（图示阴影） 4b ∴=，28b =，在上面二图中分别可得到P 点的生标为P （－12，4）、P （－4，4）E 点在0点与A 点之间不可能； ② 以点E 为直角顶点同理在②二图中分别可得P 点的生标为P （－83，4）、P （8，4）E 点在0点下方不可能.③ 以点P 为直角顶点同理在③二图中分别可得P 点的生标为P （－4，4）（与①情形二重合舍去）、P （4，4）， E 点在A 点下方不可能.综上可得P 点的生标共5个解，分别为P （－12，4）、P （－4，4）、P （－83，4）、 P （8，4）、P （4，4）．下面提供参考解法二：以直角进行分类进行讨论（分三类）：第一类如上解法⑴中所示图22P DE y x b ∠=+为直角：设直线：，D 此时（-b,o)，E(O,2b) 的中点坐标为b (-,b)2，直线DE 的中垂线方程：1()22b y b x -=-+，令4y =得3(8,4)2b P -．由DE ==2332640b b -+=解得 121883b b P P ==∴=3b ，将之代入（-8，4）（4，4)、22(4,4)P -； 第二类如上解法②中所示图22E DE y x b ∠=+为直角：设直线：，D 此时（-b,o)，E(O,2b) ，直线PE 的方程：122y x b =-+，令4y =得(48,4)P b -．由已知可得PE DE =即=22(28)b b =-解之得 ，123443b b P P ==∴=，将之代入（4b-8，4）（8，4)、48(,4)3P - 第三类如上解法③中所示图22D DE y x b ∠=+为直角：设直线：，D 此时（-b,o)，E(O,2b)，直线PD 的方程：1()2y x b =-+，令4y =得(8,4)P b --．由已知可得PD DE =即=12544b b P P ==-∴=，将之代入（-b-8，4）（-12，4)、 6(4,4)P -（6(4,4)P -与2P 重合舍去）． 综上可得P 点的生标共5个解，分别为P （－12，4）、P （－4，4）、P （－83，4）、 P （8，4）、P （4，4）．事实上，我们可以得到更一般的结论： 如果得出AB a OC b ==、、OA h =、设b a k h-=，则P 点的情形如下。