例谈平面向量教学中的数学思想方法
高中数学教案《平面向量及其应用》
教学设计：《平面向量及其应用》一、教学目标1.知识与技能：使学生理解平面向量的基本概念，包括向量的定义、表示方法（有向线段、坐标表示）、向量的模、方向角等；掌握向量的加法、减法、数乘及数量积的运算法则和几何意义；能运用向量知识解决简单的几何与物理问题。
2.过程与方法：通过观察、实验、推理等数学活动，培养学生的空间想象能力和逻辑推理能力；引导学生运用数形结合的思想，理解向量运算的几何背景，提高解决实际问题的能力。
3.情感态度与价值观：激发学生对数学的兴趣，培养学生严谨的科学态度和勇于探索的精神；通过团队合作解决问题，增强学生的沟通能力和团队协作能力。
二、教学重点和难点●重点：平面向量的基本概念、向量的基本运算（加法、减法、数乘、数量积）及其几何意义。
●难点：理解向量数量积的概念、性质及其在解决实际问题中的应用；向量运算的坐标表示法及其应用。
三、教学过程1.导入新课o情境创设：通过展示风力发电机叶片的运动、航海中的航向与速度变化等实例，引出向量的概念，说明向量在现实生活中的应用价值。
o问题引入：提问学生如何描述这些运动中的方向和大小，引导学生思考向量的必要性。
o概念引入：正式给出平面向量的定义，强调其作为“有方向的量”的特性。
2.新知讲授o基本概念讲解：详细解释向量的表示方法（有向线段、坐标表示）、模长、方向角等概念，并通过图示加深理解。
o向量运算教学：●加法与减法：通过“平行四边形法则”和“三角形法则”演示向量的加法与减法，强调其几何意义。
●数乘：讲解数乘的定义，通过伸缩变换的直观演示，理解数乘对向量方向和大小的影响。
●数量积：引入数量积的概念，通过投影长度的计算，讲解其计算公式和性质，强调其在度量角度、判断方向等方面的应用。
3.例题解析o选取典型例题，覆盖向量运算的所有类型，逐步引导学生分析、解题，重点讲解解题思路和方法。
o强调解题过程中向量运算的几何背景，促进学生数形结合思维的发展。
4.学生活动o小组讨论：分组讨论向量在日常生活或专业领域的应用实例，每组选代表分享，增强课堂互动性。
平面向量基本定理教案(精选10篇)
平面向量基本定理教案(精选10篇)(实用版)编制人：______审核人：______审批人：______编制单位：______编制时间：__年__月__日序言下载提示：该文档是本店铺精心编制而成的，希望大家下载后，能够帮助大家解决实际问题。
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“平面向量基本定理”探究性教学的实践和思考
Ｎｏ． ２
ＴＩ ＥＤＵＣ ＭＥ ＡＴ１ ０Ｎ
Ｆｅｂ
“ 面 向量基 本 定 理 ＂ 究性 教 学 的 实践 和 思考 平 探
黄奎 飞 何耀 煌
摘要 ： 本文结合笔者一堂示范课 的教 学实践 ， 论述如何在数学课堂教学 中开展 “ 学探 究” 数 活动。 关 键 词 ： 面向 量 探 究 性教 学 实 践 平 中 图 分 类 号 ： ６ ３７ Ｇ ３ 文 献 标 识 码 ： Ａ 文 章 编 号 ：６２ ８ ８ （０ ００ － １０ ０ １７ — １ｌ ２ １ ）２ ０ ５ — １
学 生 按 照 这 个 做 法 在 下 面 画 图形 了 ， 通 过 向量 共 线 定 理 ， 再
得到了笔者所 提出的问题 ， 而很 容易地给出教材 中平 面向量 的 从 基本定理 的内容 。表面上看 ， 这个探究 是 比较容易完成 的 ， 结论 也很清 晰。关键 是引导学生真 正的领会探究 的意义和价值 。为 此， 我们还要继续在教学 中对这个定理进行 更多的探 究设 问。 设 问 １对 于 ＝ ＋ 这 个式 子 中 ， 是 不 是 唯 一 的 ？ ： 天 强调唯一性有 向量共线定理作保证 的 ， 通过作 图形 ， 可 并 也 以很容易说明它们 的唯一性 。 设 问２ 平面 内任意 向量万， ： 当然包 括零 向量 ， 么这个时候 那 九 ， 又是 多 少 呢 ？ 设 问３ 如果这个 任意 向量和这两个 不共 线的向量 中一个共 ： 线 ， 这个时候九，２ 是怎么样的情况呢？ 则 Ｚ又 引导学生分 别从 式子和 形 中去分析这个 问题 。从而调动 学 生 的 积 极性 。 在此基础上 ， 分析该 定理的作用 。从 中我们可 以得到该定理 中蕴涵着一个重要 的数学思想——转化思想 。 ２ 重 视 探 究 － 问 题 延 续 ， 用 定 理 探 究 问题 陛的 运 课 标 指 出 ， 师 应 根 据 内 容 目标对 有关 课 题 进 行 探 究 。新 教 教 材 中有很多开放性 和探索性 的问题 。因此 ， 这类 问题在教学设计 中用多启发学生 ， 导学生进行探 究性 的学 习。笔者在这节示范 诱 课 中充分利用几何 画板的动画功能 形象的展示一类 重要的问题 二 点共 线 问题 。 师 ： 面我们给 出了平面向量基本定理 的 内容 ， 前 这是我们这 节课的第一个任 务， 那么下面我们 第二 个任 务就是运用这个定理 去 探 究 一 类 重 要 的 数 学 问题 — — 点 共 线 问题 。 比如 点 Ａ、 置 Ｂ、 Ｐ 共线 ， 那么根据 向量共线 定理 ， 我们知道 ： 存在 唯一 的实数 使 ，
高中数学_《平面向量的概念及其线性运算》教学设计学情分析教材分析课后反思
《平面向量的概念及其线性运算》教学设计一、教材分析：本节课对平面向量的概念及其线性运算的复习，是对学生所学知识的融通和运用，也是学生对学习平面向量的总结和探索。
正确理解和熟练掌握平面向量的概念及其线性运算是之后学好空间向量的关键。
二、学情分析：本节课是在学习平面向量的概念及其线性运算，继续深入学习，是一节复习课。
学生已经掌握了平面向量的概念及其线性运算的基础知识，，这为本节课的学习提供了一定的知识保障，在此基础上，本节课将继续加深学生对基础知识的理解，加强平面向量的线性运算，这也是为后面学习空间向量内容做好知识储备的课．为了让学生能更加直观、形象地理解平面向量的概念及其线性运算，将采用多媒体课件进行演示，以提高学生的学习兴趣，使之能达到良好的教学效果。
三、教学目标：1、了解向量的实际背景；2、理解平面向量的概念，理解两个向量相等的含义；3、理解向量的几何表示；4、掌握向量加法、减法的运算，并理解其几何意义；5、掌握向量数乘的运算及其儿几何意义,理解两个向量共线的含义；6、了解向量线性运算的性质及其几何意义；四、教学重点和教学难点：（一）教学重点：1、理解平面向量的概念，理解两个向量相等的含义；2、理解向量的几何表示；3、掌握向量加法、减法的运算，并理解其几何意义；4、掌握向量数乘的运算及其儿几何意义,理解两个向量共线的含义；5、了解向量线性运算的性质及其几何意义；（二）教学难点：平面向量的线性运算以及共线定理的应用五、教学工具：多媒体、粉笔等。
六、教学过程：向量运算定义法则(或几何意义)运算律加法求两个向量和的运算(1)交换律：abba+=+；(2)结合律：cbacba++=++)()(减法求a与b的相反向量－b的和的运算)(baba-+=-相等向量长度且方向的向量两向量只有相等或不等，不能比较大小相反向量长度且方向的向量的相反向量为0教师展示表格，布置任务学生加深学生对新知识的理解共线．其中错误说法的序号是________． 考点二 平面向量的线性运算(基础之翼练牢固)[题组练通]1．在△ABC 中，D 为AB 的中点，点E 满足EC EB 4=，则ED ＝ ( ) A. AD AB 3465- B. AD AB 6534- C. AD AB 3465+ D. AD AB 6534+2．在四边形ABCD 中，AB ∥CD ，AB ＝3DC ，E 为BC 的中点，则AE 等于 （ ）A.AD AB 2132+ B.AD AB 3221+ C.AD AB 3165+ D.AD AB 6531+ 3．在△ABC 中，AB ＝2，BC ＝3，∠ABC ＝60°，AD 为BC 边上的高，O 为AD 的中点，若BC AB AO μλ+=，其中λ，μ∈R ，则λ＋μ等于 ( )教师板书讲题过程教师提出问题学生自主完成，并回答问题培养学生语音表达能力，激发学生七、板书设计：平面向量的概念及其线性运算一、知识梳理二、典例分析1、向量的有关概念考点一：2、向量的线性运算考点二：3、共线向量定理考点三：八、教学反思：总体情况良好，基本满意，大多数学生可以换换掌握！九、作业反馈：分析作业中存在的问题，查找原因，并进行总结和反馈。
例谈高中数学单元教学设计的框架和要素——以《平面向量》单元为例
例谈高中数学单元教学设计的框架和要素———以《平面向量》单元为例罗海兵（江苏省淮安市淮阴区教师发展中心，２２３００３） 《普通高中数学课程标准（２０１７年版）》（以下简称《课标２０１７》）在教学建议中强调：“教师要整体把握教学内容，把握数学知识的本质，理解数学知识产生与发展过程中所蕴含的数学思想，在此基础上，探索通过什么样的途径能够引发学生思考，让学生在掌握知识技能的同时，感悟知识的本质，实现教育价值”．落实这个建议的关键是实施单元教学，即提倡整体教学观，在整体视角下确定教学目标、设计教学情境、把握课程内容、选择教学方法，用数学中的“大观念”统领相关教学内容，使学生经历前后一致、逻辑连贯的完整学习．本文以《平面向量》单元为例，探讨单元设计的框架和要素．２ 数学单元教学设计概述２．１ 数学单元教学设计的涵义单元教学萌芽于１９世纪末的欧美新教育运动，五四运动之后，单元教学思想传入中国，梁启超、叶圣陶都曾对单元教学的思想做过论述．１９９５年，覃可霖教授提出了大单元（即把教材中的几个教学单元组成更大的单元）的概念，使得单元的内涵得到了丰富和拓展．近年来，西北师范大学吕世虎教授对单元教学设计的解释得到了数学界专家的普遍认同，他认为数学单元教学设计是在整体思维指导下，从提升学生数学核心素养的角度出发，通过教学团队之间的合作对教材内容进行统筹重组和优化，以突出高中数学的内容主线、思想主线和素养主线，在此基础上对这个教学单元整体进行循环改进的动态数学教学设计．对于这个观点，笔者认为含有四层涵义：首先，强调的是整体思维，就是要用系统的观点把握知识内容，统揽教学安排，理清不同阶段学生的认知规律和心理特征；其次，说明设计的最终目标是提升学生数学核心素养，单元教学是指向深度学习的路径，深度学习必然有利于发展思维、提升素养；第三，强调单元设计需要团队合作，需要集体智慧和集体力量．教学设计的前期准备、具体实施、评价修改等阶段都有大量的工作，需要备课组教师高度协作、集思广益，这其实就是集体备课的主要任务．第四，教学设计是动态发展的，单元整体教学设计后留给老师课时教学设计是动态的，它会随学情、教情不同有所调整；实施教学之后的反思，也会出现有价值的修改和调整，而下一届教学时也会根据自己的思考和认识在此改进，因而教学设计一直处于改进完善之中．２．２ 数学单元的确定《课标２０１７》的课程结构体现了主题教学，将高中数学课程内容分为函数、几何与代数、概率与统计、数学建模活动和数学探究活动四条主线，又在每个主题下安排若干单元，新教材（以２０１９年苏教版为例）的编写也充分体现了主题教学特点，在老教材基础上进行更合理的整合，便于教师和学生整体把握课程内容和知识结构．现有的教材很好的体现了数学内容的层次性和逻辑性，每一章节就是一个最理想的数学单元．像这样以核心数学知识或数学概念为主线组织的知识类单元，一般呈现出来的是递进关系，学习这样的单元知识一般是由先后顺序的，表现出“线串式”的特点，我们称之为“线串式”单元．这在高中数学单元教学中占主导地位．比如三角函数内容按照章节顺序构成如图１所示的“线串式”单元．!"#$%!&'()%!&'*+,-.%!&'/01!,"23%!&'45!3%!&'67%!89:图１需要说明的是“线串式”单元既可以是章节内的，也可以是跨章节的，甚至跨学科的．如函数的单调性的研究贯穿高中数学课程，高三复习时可以以这个核心数学概念为主题构成一个跨章节的“线串式”单元（如图２）．!"#$ %&'$%()!""*+),-./"图２除此之外，数学单元还可以以数学思想方法或数学学科核心素养为主题形成方法类单元和素养类单元，比如“分类讨论思想”、“数学运算”等为主题的单元，这些主题表现出“张网式”的特点，我们称为“张网式”单元，这里不作赘述．总的来说，主题单元的划分没有特别严格的规定，重点依据教学内容的整体性、教学单元的逻辑性、思想方法的一致性划分单元，通过单元教学让学在掌握基本知识和基本技能的同时领悟数学思想、积累数学活动经验，从而提升“四能”、发展数学学科核心素养．３ 单元教学设计３．１ 单元教学设计的框架单元设计总体呈现“整体———局部———整体”的框架结构，分为三个阶段．第一阶段对大单元（如“章”、数学核心概念等）及其包含的子单元（如“节”、相关概念等）做整体设计，这是单元教学设计区别于传统教学设计的显著特征，主要研究单元内容、课程标准、单元目标、学情诊断、重难点分析以及教学方法分析，这一阶段的研究主要以集体备课形式为主，集思广益、发挥集体智慧．第二阶段进行课时教学设计，课时备课要在单元整体设计的统领下实施备课，能将单元目标很好的分解到每一节课的课时目标，将每一个教学环节、教学方法、学法指导都放到大系统中考量．另外课时与课时既要相对独立又要相互联系，注意课时之间的逻辑关系，知识和方法的衔接和渗透等．第三阶段是单元评价和反思，教师在单元教学实施之后，依据《课标２０１７》的课程目标、课程内容和学业质量标准，设置好单元测评试题，试题要围绕本单元内容，聚焦重要的数学概念、定理、方法、思想的理解和应用，强调基础性和综合性，注重通法，淡化技巧．同时还要重视教学过程中的学习行为、学习态度和核心素养发展的评价，注意记录、分析学生学习过程中的表现．另外教师要反思单元教学的实施过程、发现问题、提出修改意见，以改进下一轮单元教学的效果．３．２ 单元教学设计要素分析要素１：内容分析．分析本单元内容的数学价值、数学文化和数学思想，该内容在数学课程中的地位，以及和初中、高中、大学知识的联系，同时对分析课时的科学划分．要素２：教材分析．分析本单元教材的结构体系，情境创设、概念引入、例题习题的编排方式，比较与老教材和其他版本教材的异同．要素３：学情分析．了解学生已有的知识储备和能力水平，对新知识的学习会有什么障碍．要素４：教学目标分析．研究《课标２０１７》中对本单元的内容要求和学业要求，深入理解目标达成的条件和达成的表现，准确表述出指向学生变化的目标，做到显性目标可测量，隐性目标有渗透．要素５：教学方式分析．从单元整体角度出发，选择适合教学内容和学情的教学方式，体现方式的多样性，特别关注学生的活动和参与．４ 单元教学设计示例———以“平面向量”单元为例 “平面向量”是《课标２０１７》设置的几何与代数主题下的一个大单元，根据课程内容的特点和逻辑关系，《２０１９苏教版普通高中教科书数学必修二》（以下简称《２０１９苏教版》）将平面向量分为四个子单元：向量的概念、向量的运算、向量基本定理和坐标表示，向量的应用．受篇幅限制，子单元教学设计以“向量运算”为例，为突出重点，本单元课时教学设计和教学评价从略．４．１ “平面向量”单元教学设计４．１．１ “平面向量”单元的内容分析向量理论具有深刻的数学内涵、丰富的物理背景．向量既是代数研究对象，也是几何研究对象，是沟通几何与代数的桥梁．向量是描述直线、曲线、平面、曲面以及高维空间数学问题的基本工具，是进一步学习和研究其他数学领域问题的基础，在解决实际问题中发挥重要作用．平面向量在高中数学课程中占据及其重要的地位，一方面它是学习空间向量的基础，二是它对复数的几何意义的理解起到决定性作用，三是利用平面向量能顺利解决许多平面几何、解析几何、物理问题，特别是三角问题的解决，如两角差的三角函数和正、余弦定理的向量法证明，让学生深刻感受到向量方法的力量．４．１．２ “平面向量”单元的教材分析本单元首先通过物理背景引入向量的概念，明确所研究的对象；然后仍然从物理背景出发定义向量的运算、研究运算性质，形成其运算体系；进而介绍平面向量基本定理和坐标表示，进一步认识向量的概念和运算；最后运用概念和运算解决问题，体现向量的应用．这个过程本身就渗透了研究一类数学对象的思路与方法．对比老教材，《２０１９苏教版》将平面向量的数量积安排在平面向量的基本定理和坐标运算之前，把数量积和线性运算整合在一起，形成完整的向量运算体系，同时在本章之后的连续三章分别安排“三角恒等变换”、“解三角形”、“复数”，这种编排更加有利于单元整体教学，让学生对向量的应用有更深刻的认识、理解和感悟．４．１．３ “平面向量”单元的学情分析学生经历了数的扩充、数和式的运算及其应用，集合的概念、集合的运算及其应用等学习，积累一定的研究经验，具有研究一个新的数学对象的初步观念，即“抽象出一个数学对象———研究运算———研究运算律———数学应用”；高一下学期，学生已经具备一定的物理基础，对位移、速度、力、功、力的合成和分解都有很好的认识，这也为理解向量及其运算奠定了良好的基础．此外，这个阶段的学生也具备一定的数学抽象、数学运算和逻辑推理能力，有能力学习和理解本章内容．尽管如此，在本章的学习中学生还有可能存在一些不易理解的问题，比如：在抽象向量概念的过程中，物理中强调力的作用点，而平面向量是自由向量；向量线性运算的运算律几何证明的不习惯；投影向量的引入原因等．这些环节需要教师做深入浅出的指导．４．１．４ “平面向量”单元的目标分析本单元的学习，可以帮助学生理解平面向量的几何意义和代数意义；掌握平面向量的概念、运算、向量基本定理以及向量的应用；用向量语言、方法表述和解决现实生活、数学和物理中的问题．能够从多种角度理解向量概念和运算法则，掌握向量基本定理；能够运用向量运算解决简单的几何和物理问题，知道数学运算与逻辑推理的关系．通过本单元学习重点提升直观想象、逻辑推理、数学运算和教学抽象素养．４．１．５ “平面向量”单元的教学方式分析应从力、速度、加速度等实际情境入手，从物理、几何、代数三个角度理解向量的概念与运算法则，引导学生运用类比的方法探索实数运算与向量运算的共性与差异，可以通过力的分解引出向量基本定理，建立基底的概念和向量的坐标表示；主要采用合作交流、自主探究、阅读自学等方式组织教学．可以引导学生运用向量解决一些物理和几何问题．例如，利用向量计算力使物体沿某方向运动所作的功，利用向量解决与平面内两条直线平行或垂直有关的问题等．采用启发发现、独立思考、回顾总结等方法引导学生学会解决问题．４．２ “向量运算”子单元教学设计４．２．１ “向量运算”子单元的内容分析从代数的角度理解向量，它的运算可以通过类比数或式的运算进行学习；从几何角度看，向量的运算都具有对应的几何意义，包括运算律的都探究几何证明．这部分内容的学习为空间向量的运算和向量的进一步应用做充分准备，同时也为高等数学中向量的矢量积和混合积打下坚实基础．本单元划分为８个课时：９．２．１向量的加减法（３），９．２．２向量的数乘（２），９．２．３向量的数量积（２），子单元复习课（１）．４．２．２ “向量运算”子单元的教材分析本单元教材通过力的合成、合位移、做功等物理知识抽象出向量四种运算，并运用几何方法证明运算律，研究运算性质的运算，形成其运算体系．体现了研究运算的统一套路：“背景—运算定义—运算律—应用”，能很好的帮助学生建立一般观念．《２０１９苏教版》将平面向量的数量积安排在平面向量的基本定理和坐标运算之前，把数量积和线性运算整合在一起，虽然两类运算有封闭和不封闭之分，但是整合整合在一起，更容易形成对比，有利于学生对比学习，从而更好的形成完整的向量运算体系．４．２．３ “向量运算”子单元的学情分析学生学习了向量的概念后，明白它是一个既有大小、又有方向的量，类比数的运算，自然会想到要进一步学习向量的相关运算，同时结合物理学中矢量一些运算，能较主动的定义运算法则．特别在学习完向量的加法之后，另外三种运算就可以在一般观念的指引下自觉有序的探究．本单元学习中，学生对向量运算律几何证明的不习惯；数量积运算式不封闭的，学生没有遇到过，数量的一些性质研究觉得不自然；投影向量的引入原因不明等．这些环节需要教师加强研究和指导．４．２．４ “向量运算”子单元的目标分析①借助实例和平面向量的几何表示，掌握平面向量加、减运算及运算规则，理解其几何意义．②通过实例分析，掌握平面向量数乘运算及运算规则，理解其几何意义．理解两个平面向量共线的含义．③了解平面向量的线性运算性质及其几何意义．④通过物理中功等实例，理解平面向量数量积的概念及其物理意义，会计算平面向量的数量积．⑤通过几何直观，了解平面向量投影概念以及投影向量的意义．⑥会用数量积判断两个平面向量的垂直关系．４．２．５ “向量运算”子单元的教学方式分析类比实数运算、借助物理背景得出研究向量加法运算的流程，再在一般观念指引下探究另外三种运算．主要采用合作交流、自主探究、阅读自学等方式组织教学，倡导学生演讲、学生评价、学生小节．以上分析可以看出，站在高位从高观点的眼光审视数学知识，会发现底层不能发现的数学之间的联系和区别．对于教学而言，单元教学更加有利于教师从整体上把握内容，避免纠缠于细枝末节；有利于教师教师对教学的长远规划；有利于学生主体地位的凸显，给学生提供更多的参与和活动，促进学生学科数学核心素养的发展．值得提醒的是，单元教学不是形式主义，要靠广大教师积极参与、团结合作、不断实践，才能产生其应有的效益．参考文献：［１］中华人民共和国教育部．普通高中数学课程标准（２０１７年版）［Ｊ］．北京：人民教育出版社，２０１８．［２］余文森．核心素养导向的课堂教学［Ｍ］．上海：上海教育出版社，２０１７．［３］陈小波．高中数学单元教学整体设计的区域研究和实践［Ｊ］．中学数学教学参考，２０２０，（４）：１０－１５．［４］吕世虎，杨婷，吴振英．数学单元教学设计的内涵、特征以及基本操作步骤［Ｊ］．数学通报，２０１７，（６）：檸檸檸檸檸檸檸檸檸檸檸檸檸檸檸檸檸檸檸檸檸檸檸檸檸檸檸檸檸檸檸檸檸檸檸檸檸檸檸檸檸檸檸檸檸檸２３－１６．（上接第６３页） （４）思考：角由哪些特征？（略）简析：角的形成历史大致分为四个阶段，一是直线方向发生改变，就有了角度，因此，直线的方向改变是认识角的基础．二是直角作为比较大小的标准，古代的垂直是相对于地面讲的，物体自然下垂，就与地面形成直角．三是角的测量．四是运动的眼光看待角，即一条射线绕一端旋转形成角．从整体教学的视角和角的历史发展来看，角的出现可以从直线方向的改变开始．学生通过前面学习的知识就清楚了角的两条边是射线．不用告诉，而是学生自己就能发现．这样设计就把前面的内容融合进来了，形成一个整体．４ 教学思考射线、直线和角的教学历来都存在以下问题：一是抽象性，由于生活中缺少知识的原型，对学生来说缺乏生活经验为支撑；二是理解难度大，从有限到无限，学生少有知识经验；三是内容呈散点状，这节课教学的知识点很多，如果不去建立知识结构，学生将很难理解知识的本质．基于“童心数学”思想的教学设计，试图解决这些问题，具体体现是：首先通过情境创设，让儿童在操作中感受无限延长，并在情境中自然地实现知识的“再创造”，体现了游戏性．其次，从线段的有限，到射线和直线的无限，再到直线的方向变化产生角，整个过程自然流淌，体现了教学的流变性．再次，本课的设计抓住线的变化，把前后知识建构了一个整体，体现了教学内容的整体性．参考文献：［１］边亚华．童心与儿童教育［Ｄ］．南京师范大学，２００７：７．［２］刘向辉．儿童的意义世界及其特征与价值［Ｊ］．学前教育研究，２０１７：１２．［３］杜威．民主主义与教育［Ｍ］．王承绪等译．北京：教育科学出版，２０１５：２１９．。
高中数学_平面向量教学设计学情分析教材分析课后反思
平面向量【高考考纲解读】1.平面向量是高考必考内容，每年每卷均有一个小题(选择题或填空题)，一般出现在第3～7或第13～15题的位置上，难度较低．主要考查平面向量的模、数量积的运算、线性运算等，数量积是其考查的热点．2.有时也会以平面向量为载体，与三角函数、解析几何等其他知识相交汇综合命题，难度中等.【重点、难点剖析】1、（1）平面向量共线定理向量a(a≠0)与b共线当且仅当存在唯一一个实数λ，使b＝λa.（2）平面向量基本定理如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2，其中e1，e2是一组基底.(1)向量共线的充要条件：O 为平面上一点，则A ，B ，P 三点共线的充要条件是OP → ＝λ1OA → ＋λ2OB →(其中λ1＋λ2＝1).(2)三角形中线向量公式：若P 为△OAB 的边AB 的中点，则向量OP → 与向量OA → ，OB → 的关系是OP → ＝12(OA → ＋OB →). (3)三角形重心坐标的求法：G 为△ABC 的重心⇔GA → ＋GB → ＋GC →＝0⇔G ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x A ＋x B ＋x C 3，y A ＋y B ＋y C 3.4.平面向量的三个锦囊【高考真题】2.平面向量的两个充要条件若两个非零向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则(1)a ∥b ⇔(2)a ⊥b ⇔a ＝λb ⇔x 1y 2－x 2y 1＝0.a ·b ＝0⇔x 1x 2＋y 1y 2＝0.3.平面向量的三个性质(1)若a ＝(x ，y )，则|a |＝a ·a ＝x 2＋y 2.(2)若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则|AB →|＝（x 2－x 1）2＋（y 2－y 1）2.(3)若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，θ为a 与b 的夹角， 则cos θ＝a ·b|a ||b |＝x 1x 2＋y 1y 2x 21＋y 21x 22＋y 22.[练真题·考什么]1．(2018·全国卷Ⅱ)已知向量a ，b 满足|a |＝1，a ·b ＝－1，则a ·(2a －b )＝( ) A ．4 B ．3 C ．2D ．02．(2018·全国卷Ⅰ)在△ABC 中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，则EB →＝( )A.34AB →－14AC → B ．14AB →－34AC →C.34AB →＋14AC → D ．14AB →＋34AC →4．(2016·全国卷Ⅱ)已知向量a ＝(1，m )，b ＝(3，－2)，且(a ＋b )⊥b ，则m ＝( ) A ．－8 B ．－6 C ．6D ．836．(2017·全国卷Ⅰ)已知向量a ，b 的夹角为60°，|a |＝2，|b |＝1，则|a ＋2b |＝________. 43．(2017·全国卷Ⅱ)已知△ABC 是边长为2的等边三角形，P 为平面ABC 内一点，则PA →·(PB →＋PC →)的最小值是( )A ．－2B ．－32C ．－43D ．－15解析：解法一：设BC 的中点为D，AD 的中点为E ，则有PB →＋PC →＝2PD →， 则PA →·(PB →＋PC →)＝2PA →·PD → ＝2(PE →＋EA →)·(PE →－EA →)＝2(PE →2－EA →2)．而EA →2＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫322＝34， 当P 与E 重合时，PE →2有最小值0，故此时PA →·(PB →＋PC →)取最小值， 最小值为－2EA →2＝－2×34＝－32.故选B.【规律方法】求数量积的最值，一般要先利用向量的线性运算，尽可能将所求向量转化为长度和夹角已知的向量，利用向量的数量积运算建立目标函数，利用函数知识求解最值．【典型例题】解法二：以AB 所在直线为x 轴，AB 的中点为原点建立平面直角坐标系，如图，则A (－1,0)，B (1,0)，C (0，3)，设P (x ，y )，取BC 的中点D ，则D ⎝⎛⎭⎪⎪⎫12，32. PA →·(PB →＋PC →)＝2PA →·PD →＝2(－1－x ，－y )·⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12－x ，32－y ＝2(x ＋1)·x －12＋y ·y －32＝2x ＋142＋y －342－34. 因此，当x ＝－1，y ＝3时，PA →·(PB →＋PC →)取得最小值，最小值为2×⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－34＝－32，故选B.2232413()()44x y ⎡⎤⎢⎥+-⎢⎥⎢⎥⎣⎦+-【训练1】 (2017·衡阳二模)如图，正方形ABCD 中，M ，N 分别是BC ，CD 的中点，若AC → ＝λAM → ＋μBN →，则λ＋μ＝()A.2B.83C.65D.85命题角度1 平面向量的线性运算热点一解析 法一 如图以AB ，AD 为坐标轴建立平面直角坐标系，设正方形边长为1，AM → ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1，12，BN → ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，1，AC →＝(1，1).∵AC → ＝λAM → ＋μBN →＝λ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，12＋μ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫λ－μ2，λ2＋μ，∴⎩⎪⎨⎪⎧λ－12μ＝1，λ2＋μ＝1，解之得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝65，μ＝25，故λ＋μ＝85.法二：方程思想{}12,,1242=55245562558+=5AM AB AD AB AD AM AN BN AD AB AB AM BN AD AM BN AC AB AD AM BNλμ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩⎧-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩=+=+uuuur uuu r uuu r uuu r uuu r uuuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuur uuuu r uuu r uuu r uuuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuuu r uuu r 以，为基底来表示则有解得所以所以规 律 方 法1．平面向量线性运算的两个技巧(1)对于平面向量的线性运算问题，要尽可能转化到三角形或平行四边形中，灵活运用三角形法则、平行四边形法则，紧密结合图形的几何性质进行运算．(2)在证明两向量平行时，若已知两向量的坐标形式，常利用坐标运算来判断；若两向量不是以坐标形式呈现的，常利用共线向量定理(当b ≠0时，a ∥b ⇔存在唯一实数λ，使得a ＝λb )来判断.【例1】 (1)已知向量a 与b 的夹角为60°，且a ＝(－2，－6)，|b |＝10，则a ·b ＝________．(2)已知正方形ABCD 的边长为1，点E 是AB 边上的动点，则DE →·CB →的值为__________；DE →·DC →的最大值为________．命题角度1 平面向量的数量积热点二(2)法一 如图，以AB ，AD 为坐标轴建立平面直角坐标系，则A (0，0)，B (1，0)，C (1，1)，D (0，1)， 设E (t ，0)，t ∈[0，1]，则DE → ＝(t ，－1)，CB →＝(0，－1)， 所以DE → ·CB → ＝(t ，－1)·(0，－1)＝1.因为DC → ＝(1，0)，所以DE → ·DC → ＝(t ，－1)·(1，0)＝t ≤1，故DE → ·DC→的最大值为1.【训练2】在平行四边形ABCD 中，M,N 分别为DC,BC 中点，若,+AC AM AN λμλμ=+u u u r u u u u r u u u r 求的值法二 如图，无论E 点在哪个位置，DE → 在CB →方向上的投影都是CB＝1，所以DE → ·CB → ＝|CB →|·1＝1，当E 运动到B 点时，DE → 在DC →方向上的投影最大，即为DC ＝1，所以(DE → ·DC → )max ＝|DC →|·1＝1.4．已知向量a ＝(1，3)，b ＝(3，m )，且b 在a 上的投影为3，则向量a 与b 的夹角为________．（3）解析：设向量a 与b 的夹角为θ.∵b 在a 上的投影为3，且|a |＝ 12＋(3)2＝2，a ·b ＝3＋3m ，∴|b |cos θ＝|b |×a ·b |a ||b |＝3＋3m 2＝3，解得m ＝ 3.∴|b |＝2 3.∴cos θ＝a ·b |a ||b |＝3＋3×32×23＝32.∵θ∈[0，π]，∴向量a 与b 的夹角θ为π6.规律总结：求两个向量的数量积有三种方法：1、利用定义；2、利用向量的坐标运算；3、利用数量积的几何意义．【课堂小结】 1、 本节课你有哪些收获 2、本节课运用了哪些思想方法【作业】平面向量对应的活页作业NO.15学情分析本节课是高三二轮专题复习课，学生已经在第一轮的学习中基本掌握了平面向量基本定理的基本概念及运算，本节课是在此基础上进一步加强对平面向量的综合运用。
弗赖登塔尔数学教育思想下的教学设想——以“平面向量基本定理”为例
高等教育课程教育研究38 学法教法研究一、弗赖登塔尔的数学教育思想我国的基础教育正逐步由应试教育向素质教育全面推进，由此带来了教育观念、教育思想等方面的转变。
荷兰数学家弗莱登塔尔认为数学教育的主要特征是：“现实、数学化、再创造”，并指出：数学教育应是现实数学的教育；数学教育的目标应是学会“数学化”；“再创造”的核心是数学过程的再现。
他的这些数学教育思想对我国数学素质教育有一定的启示。
二、基于数学教育思想对“平面向量基本定理”的认识（一）对情境的认识。
弗赖登塔尔的数学化理论告诉我们，学生数学概念的习得应架构在他们已知的周围世界里，数学教育就是要联系生活的现实，学生的现实，教师的现实，要引导学生从现实世界的问题着手。
因此，教材上的实例对于学生而言，不容易直观地体验与感受到定理的意义，基于此，在教学设计中从情景问题、与实际生活相联系的问题出发，重新优化整合，构造与学生生活密切相关的数学现实，从而发展学生的数学现实。
（二）对平面向量基本定理的认识。
教材首先引导学生作图研究同一平面内两个不共线的向量与任意向量的关系，通过向量线性运算的性质得出结论，最后呈现出平面向量基本定理的概念。
从学生来看，平面向量基本定理的学习已经超过学生关于平面向量的认知水平和接受能力，成为学生学习过程中难以理解和掌握的内容。
从教学来看，定理中的一些逻辑词汇，如“任意”“有且只有”“不唯一”等，难以传授，这就使其教学常采用定理的表述—解释—证明—应用模式，这样的讲义方式似乎与概念学习的“数学化”过程不相符，不利于学生概念的形成，还有可能会造成理解的偏离。
本节课从情景问题出发，从现实数学的视角引入新课，引导学生在力的分解与向量的分解之间建立联系，引出两个具体的问题，通过师生互动、讨论和分析得到猜想，进而通过作图分解、论证、多媒体演示等方式验证猜想中的任意性、存在性，得到定理的雏形。
在这一过程中，可以培养学生数学逻辑推理能力。
然后从数形两个角度说明基底的不唯一性，完善定理的内容。
平面向量论文：对《平面向量》的理解
平面向量论文：对《平面向量》的理解向量是沟通代数、几何与三角函数的一种工具，有着极其丰富的实际背景。
高中数学新教材将《平面向量》作为必修内容引入，所以这部分内容的教学对于我们中学教师来说是很重要的。
向量是既有大小，又有方向的量，是具有优良运算通性的体系，但向量所关注的不是“数”的简单扩大，而是“量与运算”的扩充，这对于学生更好地建立代数与几何的关系，尽早了解现代数学思想和方法将会打下一个坚实的基础。
向量有非常直观的几何意义，是数与形的完美结合：一方面，它可以将几何问题转化为坐标的代数运算；另一方面，它可以结合图形对向量的有关问题进行分析求解。
同时，向量在物理等许多领域有非常重要的作用，因此，向量是解决数学问题和实际问题的有力工具，是中学数学的重要概念之一。
在中学数学中向量分“平面向量”和“空间向量”两章，本文就“平面向量”一章的教学重点和难点以及“平面向量”与代数、几何、三角等知识的交汇应用作一粗探。
首先通过物理背景或数学背景的介绍，使学生懂得向量是既有大小又有方向的量，而向量还可以进行加减法运算。
通过实例，使学生掌握向量与数乘的运算，并理解其几何意义，以及两个向量共线的含义及充要条件。
在教学中，我体会到平面向量的基本定理及坐标表示是全章的重要内容之一。
因为平面向量基本定理是说明同一平面内任一向量都可表示为两个不共线向量的线性组合，是向量线性运算的最高级体现。
该定理是平面向量坐标表示的理论基础。
而向量的坐标表示是平面向量的基本定理的直接应用，是一种重要的数学思想方法，即数形结合。
向量的坐标表示的引入，使向量的运算完全代数化，是数与形的完美结合。
这样很多几何问题的证明，就转化为学生熟知的代数运算。
这是向量的重要作用之一，也是学习向量的重要目的之一。
在平面向量数量积及运算律这一节，重点应使学生掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算，并能运用数量积判断两个平面向量的垂直关系，处理有关长度、角度和垂直的问题。
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△ △
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e 图1
te
说明 ：对于向量描述下的相等关系、不等关系，初一
“ 图形化”的方法，等于、不 看，简约而不简单 . 一旦利用 等的联系在三角形中竟是如此的简单明了.用化数为形 的分析直接快捷地得到正确的结论，起到事半功倍的作 用. 因此，通过上述问题可知向量教学要重视数形结合 思想.
1 1 =- t 1， 4 4 消去t 1得4m＋n＝1 ②. 则 n=t1， △△ 1 1 3 3 由①②得m＝ ，n＝ ，则OM＝ a＋ b. 7 7 7 7
a a-e
a-te
m-1＝-2n，即m＋2n＝1 ①. △△ △△ △△ △△ △△ 1 1 CM＝OM-OC＝ma＋nb- a＝ ma＋nb， CB＝ OB4 4 △△ 1 1 OC＝b- a＝- a＋b. 4 4 △△ △△ 由C、M、B三点共线，得CM与CB共线，则存在实数t 1， △△ 1 1 1 使得CM＝t1CB，即 ma＋nb＝t 1 - a+b =- t 1a+t 1b， 4 4 4
用.近年来，高考数学中对平面向量的考查以小题较难、 解答题融合向量工具性为主要考查手段.通过深刻地对 平面向量进行教学，可知自由向量是向量的精髓，坐标 向量是向量的特殊形式，其中融合的方程思想是自由向 量的考查主导，运算能力则是坐标向量的方向 . 从课程 改革方向来看，随着课程改革的不断深入，笔者觉得教 师越来越应该看重数学教学对学生能力的培养，高考应 试也强调注重对学生能力立意的考查，大量的重复训练 既费时费力又效率低下，因此以思想方法为背景的问题 教学要在课堂中积极向学生渗透 .以本文探讨的向量教 学为例，对向量教学加强思想方法的渗透，来提高数学 课堂教学的 有效性、导向性和高效性， 否则容易陷入向 量教学的盲目和低效. 的基本定 义 . 从学生的 访谈 中，可得知 如 果 仅仅 是数学 老师的口头说教或直接得出结论，是难以改变学生的直 觉的， 甚 至 会让 学生 怀疑 . 这就 是 概 率教学 与 其 他 知识 的不同之处 ，学生似乎更愿 意相信 自己的直觉，除非 是 具体的实验数据才有可能改变或修正其想法，这就是教
△△ 1 △△ △△ 1 OC＝ OA，OD＝ OB，AD 与BC 4 2 D M △△ △△ 相交于点 M， 设 OA ＝a， OB ＝b. 试 △△ A O 用a和b表示向量OM. C 图2 分析： （ 1）学 会 用基底来 表 示平面中的任意向量是自由向量问题解决的核心，指导
姨 3 -2y）. 由 （ a-c） · （ b-2c）=0，得 x△ △ △ △ △ △ △ △ △ △ △ △ △ △ △
参考文献 ：
1. 李俊. 中小学概率的教与学 ［M ］. 上海 ： 华东师范大
学出版社 ，2003. —— 概 念 教 2. 林生 . 新概念获得的方 式 及 教 学 策 略 — 学 ［J ］. 中学数学 （ 上 ），2011 （1 ）. WG
高中版
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教材 教法
案例点评
2014 年 7 月
一 、数学结合思想的渗透
△ m-1=-t， △ △ 1 △ 1 （ m-1）a＋nb＝t -a+ b ＝-ta＋ tb， 则 △ 消去t得 t △ △ n= ， 2 2 △ △ 2
te|≥|）. B.a⊥ （ a-e） D（ . a+e）⊥ （ a-e）
△
△
分析 ：2005年的浙江高考向量题使人第一次深深感
摇
摇
题属于下 位学习，这样的学习更具 稳 定性，有利于 旧知 识的巩固和新知识的学习，能够顺利将新知纳入到自身 知识体系中去，数学思想方法正是体现了这么一种核心. 另一方面，我们的数学课堂教学应该要有精准的点 “ 思想 拨，适时的启 发，有时还 要大 胆 地 放手 ，但必须将 方法” 渗透 到 底 . 而 “ 思想方法”的 渗透 要求对每一 次 的 教学内容进行精心地组织，特别是在例题的选取上一定 要具有代表性和典型性，在知识的讲解上不仅要有横向 的 深入 ，更要有 纵 向的 联 想 、组 合 、 类比，实现 知识 由 “ 厚”到 “ 薄”，由 “ 散乱 ”到 “ 有序 ”的转化，提高知识 的系 统性、关联性和网络性.笔者也有两点想法. （ 1）向量教学不能 抛弃 “ 作 图”策略 . 众 所 周知 ， “ 图 形化”是向量问题解决的基本方法， 如 平面向量基本定 理的引入为我们解决平面几何问题带来了巨大的帮助， 把原来的烦琐证明 “ 机械化”为 “ 图形 语言 ”，教学中，经 常有教师动辄 以巧 法 取胜、沾沾 自喜 ，而不多想 几 个为 什么、多想一些途 径，殊不 知 在这种 “ 惊喜”的 背 后往往 是对学生解决向量问题多策略培养的忽视和缺失. （ 2）向量教学需 “ 双管齐下、不偏不倚”，领略不同策 略的魅力.数学教学是对数学美的一种领略和传承.向量 教学中，图形建构无法实 施 时， “ 代数化”策略向大家 展 示了运算力量的魅力，如 文中的坐标法， 引用哥伦 比 亚 大学华裔 数学家 张寿武 教授 所说： “ 我觉得 数学 最妙 的 地方是：正确是基于简单的理由，而不是复杂的理由.数 学与科 学和文学一样， 能 够留 下来的 东西 都是最简单 的.我不喜欢追求技巧的东西 ，那是微不足道的，解决数 学问题我追求的是运算的力量 .”因 此 ，在教学中，我们 应取长补短， 合理地运用方程思想和数形结合思想，教 会学生在向量问题面前 “ 两条腿走路”，以备不时之需. 总 之， 近 年来，对高中数学思想方法的 考查越 来 越 受到各地高考的重视，教师在教学中也要对思想方法从 教学开始就进行全面渗透，提升学生通过问题看本质的 能力，使其在 掌握扎 实的 “ 双 基”的 同 时，将知识点 进 行 有机的整合， 最终上升到思想方法的高度进行提炼，久 而 久 之的 磨练 可以提 升优秀 学生的数学能力和数学 素养. 本文从 典型 问题的角度阐 述了平面向量教学中 应 该注重的一些数学思想方法教学的渗透，并从思想方法 的高度回顾了平面向量教学应该注重的方面.高中数学 的很多章节都体现着思想方法教学的重要性，我们不仅 要解决基本知识，也要站在思想方法的系统高度帮助学 生高效地学习数学、掌握数学、理解数学.用澳洲华裔数 学家陶哲轩的话说： “ 数学思想方法是一种结晶，值得研 究和深化.” WG 高中版
2014 年 7 月
案例点评
教材 教法
例谈平面向量教学中的数学思想方法
筅 江苏省南通市海安立发中学
许海林
思想方法是高中数学教学最高层次的知识教学，其 以一维双基知识和二维知识链接为基准进行螺旋式上 升的最终必然结果体现.将数学思想方法渗透进数学教 学中， 是知识能力达到一定程度后进行整合的体现，是 教学凝聚的一种力量. 从知识板块来看，平面向量引入高中数学年代并不 久远，其很多的基本知识远未被教师和学生研究到滚瓜 烂熟的境地，加之平面向量考题紧密地以考查思维和运 算相结合，题型变化多端、技巧层出不穷，向量的核心知 识往往被条件掩盖，导致学生在学习平面向量稍难问题 时往往难以跨越 . 从知识层面来说，平面向量是中学数 学中具备工具性作用的章节知识.平面向量自新教材改 革引入至今，一直在高中数学教学中起着承上启下的作 通过访谈已经了解到，问题的背景形式的改变对学 生还是产生了较大影响. 而通过课堂的动手实验活动， 男生的理解力更好于女生，这与女生更相信自己的心理 直觉有关. 2. 教学启示 正如前述 ，概 率研究的是随机 现 象 ，而藏 在随 机现 象背后的规律却是很少有人能发现和 理解的.要让学生 接受可以用大数次 观察 到的 频率作为一次试验概 率的 估计值这 一 观念 是很难的 . 而 通过课堂 授 课的对 比实 验，可得出 “ 随机事件的概率”一课的教学启示. （ 1）必须要让每个学生在课堂上进行抛硬币试验. 由两个班的对比实验分析和访谈可得出：要严格按 照教材上安排的实验步骤让每个学生参与，才能最大限 度地改正学生心中已有 的概率认识. 所以对于该节课， 在课堂上要让学生 “ 抛”还是 “ 不抛”已 不需 要再多做讨 论： “ 抛”比 “ 不抛”更好，更利于理解，故要 “ 抛”. （ 2）采用多媒体模拟演示也是必不可少的. 从对照班的实验情况来看，虽然少了学生动手实验 这一环节，但由于仍有计算机模拟演示和出示历史上数 学家们的实验数据，还是有不少学生能接受和理解概率
3 +△ y- 姨 △5 △ 4 4
摇 2 摇
△
2
=
3 . 4
x=
由三角代换，令
5 姨3 + cosθ， 4 2
摇 摇
3 3 y= 姨 + 姨 sinθ. 4 2
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2014 年 7 月
2 |b-c|2= （ 1-x）2+ （ 姨 3 -y） = 摇 摇 摇
案例点评
教材 教法
10 姨21 cos （ + θ +φ），所 4 2
受到向量试题的独特魅力.几何背景隐蔽，难度也较大， 平面向量题中第一次引入参数， 激活了更多的思想方 法.仅仅一个参数t，便给向量问题带来了动感.
解 析 ： 将问题图形化，如图
1，三角形及其一边上的高，将本 问题利用图形化转化，答案已经 跃然纸上，其本质是点到直线距 离的概念的内涵的几何属性，最 小值借助于向量语言描述.
△ △ △ △ △ △ △ △ △
m-
说明 ： （ 1）本题考查了向量的线性运算，知识要点清
（ 2）易错点是 找 不 楚，但解题过程复杂，有一定的难度； 到问题的 切 入 口 ， 亦即 想不到利用 待定 系数法 求 解 ； （ 3）方程思想是解决本题的关键，要注意体会. 2. 在坐标向量中的渗透
案 例 3 ： 已知向量 a、b 满足 |a |=|b |=a· b =2， 且 （ a -c） ·
解析 ：设OM＝ma＋nb，则AM＝OM-OA＝ma＋nb-a＝ （ m-
△△
△△ △△ △△
△△ △△ △△ 1 △△ △△ 1 1）a＋nb，AD＝OD-OA＝ OB-OA＝-a＋ b.由A、M、D三点 2 2 △△ △△ △△ △△ 共 线，得 AM 与 AD 共 线，则 存 在 实 数 t，使得 AM ＝tAD ， 即