二分法训练计划
运动的强度分级
要如何有一个有效的训练呢？首先得先从运动的强度分级开始。
一般我们常听到的是：有氧训练是提高耐力，无氧训练提升爆发力，但这简单的二分法是不够的；我们今天就好好来说清楚讲明白。
当你从跨上车，开始慢慢踩踏，逐渐提高强度，开始有点喘，很喘，到喘不过气来，这之中其实历经好几个阶段：1 暖身活动这个阶段几乎感受不到腿在用力，呼吸正常。
2 耐力阶段这个阶段腿开始觉得有出力，呼吸较深较规律，可以持续打屁不受干扰，如果维持在此强度，可以连续两个钟头以上；前提是，须适时补充能量。
3 TEMPO阶段这个阶段腿出力更高，主要是要维持自己最佳的转速，会觉得有点喘，打屁会因为喘而中断，无法说较长的句子，一般在这个强度若不休息，可以持续1-2 小时4 乳酸堆积阀值( LACTATE THRESHOLD在) 这个强度，打屁就会断断续续，若持续不休息，只能维持一小时。
5 最大摄氧量(VO2Max)打屁聊天会很困难，大概只能撑10 分钟。
6 无氧呼吸期至最大心跳( Max Heart Rate) 连说话都有困难，只能撑1-2 分钟。
细分下其实运动强度在自行车有六种，且最重要的分别是在乳酸堆积阀值附近。
但是有什么方法可以较精确的知道自己在什么状况呢？一般是以心跳做为指标，较好的是用功率为指标；以心跳为指标，较方便，器材也较便宜。
不过心跳反应运动强度较慢，会延迟个30-60 秒，也就是说，当你提高运动强度时，心跳值会在30-60 秒后才升至稳定，这在一些高强度短时间的训练会较不精确；而功率则可以马上反映出训练强度。
再者，户外的训练，因风速、路面、坡度的变化很多，心跳更是无法反映出及时的变化，所以现在选手大多以功率做为训练指标。
那以心跳为指标，有哪一个数值需要先标定出来呢?以往我们都是以最大心跳的百分比为指标，因为最大心跳可以用(220- 年龄)来预测，因最大心跳对一个人来说是不会变的，但是它却无法反映初一个人的体适能状况；举例来说80%最大心跳对一个有规律运动的人而言，试很容易达到，且可以维持数十分钟；但对一个从不运动的人，可能快要了他的命；这两者之间有什么差别呢？那就是训练的效果了。
(2021年整理)心理测量学重点
心理测量学重点编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（心理测量学重点）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。
本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快业绩进步，以下为心理测量学重点的全部内容。
心理测量学第一章概论一、测量:根据一定的法则使用量尺对事物的属性进行定量描述的过程.二、测量的精确度决定于测量对象本身的性质（确定型、随机型、模糊型）和测量工具的精密性。
三、测量的基本要素 :1。
参照点(1）绝对参照点(有绝对的零点,可进行乘除运算）（2）相对参照点（以人确定的零点，只可加减）2。
单位：条件：要有确切的意义和相等的价值四、测量的量表 : 称名量表、顺序量表、等距量表（可进行加减运算)、比率量表（可进行加减乘除）五、心理与教育测量的定义：根据心理学和教育学法则给人的心理特质和教育成就指派数字，或者根据一定的心理学和教育学理论在测验上对人的心理特质和教育成就进行定量描述的过程。
六、编制一个测验应当具备下列四个基本条件:（1)行为样本.（2）标准化:指测验的编制、实施、记分以及测量分数解释的程序的一致性。
标准化条件:测验内容、施测条件、评分规则和测验常模的标准化。
（3）难度或应答率。
（4）信度和效度。
七、1918年，桑代克提出“凡客观存在的事物都有其数量”。
1939年，麦柯尔进一步提出“凡有其数量的事物都可以测量"作业补充题:1、为什么说心理与教育测验的分数本质上是顺序量表上的分数？答：从本质上讲，心理与教育测量的量表属于顺序量表。
（1)从使用的参照点来说，教育测量和心理测量领域的参照点均为相对零点；（2)从使用的单位来说，教育与心理测量的单位远没有其他测量的单位成熟完善.第二章简史一、现代心理与教育测量的起源：(1）1879年德国心理学家冯特在莱比锡大学建立了世界上第一个心理实验室.（2）高尔顿把统计方法应用到对个别差异资料的分析之中.学生皮尔逊创立了积差相关公式。
花式九球击球秘诀
台球技术：花式九球击球秘诀最好的出杆法为：当你已准备好要出杆时，先暂停1-5秒，此时如感觉一切都很好时，再出杆。
但如感觉不对劲时，则应站起，再重新作好瞄准程序。
千万不要在你已摆好站姿后才调来调去。
2、也许需做一些逆塞(内塞)练习：当学会了使用逆塞，对做球将会有莫大的助益。
试着去习惯它，即使在薄球时也不例外。
3、(适合所有撞球，9球除外) 当仅有一颗球留在顶岸库边附近时，它可能是一颗很有用的球。
别动它，一直到所有的球都已散开且可进袋为止。
(但如有一颗以上的球在顶岸库边附近时，将该数目降至一颗)4、一般中级选手最容易犯的错误是：当打球顺起来时，速度马上加快，而后失控(失误)则紧接而来。
最安全的保障是：在每次打击前，先集中精神去轻轻的、慢慢的放下巧粉，然后才抬起头来看桌面。
5、在薄球时，当子球很接近母球且没与库边贴死时，注意应瞄准较靠库边一点。
6、执着于入射角等于出射角是一个很糟糕的方法。
较聪明的说法是：当用力时，其折射角度将较短。
(即库边橡胶向内凹，而后将球吐回。
正如罗勃门内Robert Byrne 所提醒我们的：当子球用力打向桌库时，它将滑着出来，而非滚着回来。
而这也是新球台布常常会以较小的角度弹射回来的原因。
) 这观念对打小角度灌球时很有帮助。
7、即使在打最难推的球时，你的瞄准击球点仍应在母球的中点与其最顶点的中间部位。
往上一点对你并无助益，但却可能使你滑杆。
而在拉球时则正好相反。
你应尽可能的打最低点，但应记得让杆子成水平，且降低架杆之手。
8、做球的艺术在于简化过程。
一般而言，在每次出杆时移动的球越少、越近，就越好。
同理，母球吃库越少则越好。
但这并非铁的规则。
因有时情况并不常容许你这样做。
而这也是为何撞球是那么的迷人的地方。
9、直球时如母球与子球相距一尺以上，则别指望打中杆能将母球定死在原地。
当距离越远时，你应打母球的越低点。
10、当打出母球后你应保持你的站姿多久？请由以下数种来选择你觉得最舒服的方法：a) 直到子球进洞。
黑龙江省普通高中
黑龙江省普通高中 数 学模块教学与考核要求一、 高中数学课程模块开设数学是研究空间形式和数量关系的科学，是刻画自然规律和社会规律的科学语言及有效工具。
数学的应用越来越广泛，正在不断地渗透到社会生活的方方面面，它与计算机技术的结合在许多方面直接为社会创造价值，推动着社会生产力的发展。
数学在形成人类理性思维和促进个人智力发展的过程中发挥着独特的、不可替代的作用。
数学是人类文化的重要组成部分，数学素质是公民所必须具备的一种基本素质。
高中数学课程是义务教育后普通高级中学的一门主要课程，它包含了数学中最基本的内容，是培养公民素质的基础课程。
高中数学课程对于认识数学与自然界、数学与人类社会的关系，认识数学的科学价值、文化价值，提高提出问题、分析和解决问题的能力，形成理性思维，发展智力和创新意识具有基础性的作用。
高中数学课程有助于学生认识数学的应用价值，增强应用意识，形成解决简单实际问题的能力。
高中数学课程是学习高中物理、化学、技术等课程和进一步学习的基础。
同时，它为学生的终身发展，形成科学的世界观、价值观奠定基础，对提高全民族素质具有重要意义。
高中数学课程分必修和选修。
必修课程由5个模块组成；选修课程有4个系列，其中系列1、系列2由若干个模块组成，系列3、系列4由若干专题组成；每个模块2学分（36学时），每个专题1学分（18学时），每2个专题可组成1个模块。
课程结构如图所示。
选 修系 列选修3－6 选修3－5 选修3－4 选修3－3 选修3－2 选修3－1 选修4－10 选修4－4 选修4－3 选修4－2选修4－1 …… 选修1－2 选修1－1 选修2－2选修2－1选修2－3 数学1 数学2 数学3 数学4 数学5 必修 模块注：上图中代表模块（36学时）， 代表专题（18学时）。
◆模块的逻辑顺序必修课程是选修课程中系列1，系列2课程的基础。
选修课程中系列3、系列4基本上不依赖其他系列的课程，可以与其他系列课程同时开设，这些专题的开设可以不考虑先后顺序。
《数值计算方法》教学大纲
河北联合大学第2012-2013-1学期《数值计算方法》教学大纲依据我校章程，特制定了适合我校理工科各专业本科生的《数值计算方法》教学大纲。
一、课程计划课程名称：数值计算方法Numerical Calculation Methods开课单位：理学院课程类型：专业必修课开设学期：第五学期讲授学时：共15周，每周4学时，共60学时学时安排：课堂教学44学时+实验教学16学时适用专业：信科、数学、统计理科专业本科生教学方式：讲授（多媒体为主）+上机考核方式：闭卷40% +上机实验20%+课程报告20% +平时成绩10%学分：4学分与其它课程的联系预修课程：数学分析、高等代数、常微分方程、计算机高级语言等。
后继课程：偏微分方程数值解及其它专业课程。
二、课程介绍数值计算方法也称为数值分析，是研究用计算机求解各种数学问题的数值方法及其理论的一门学科。
随着计算科学与技术的进步和发展，科学计算已经与理论研究、科学实验并列成为进行科学活动的三大基本手段，作为一门综合性的新科学，科学计算已经成为了人们进行科学活动必不可少的科学方法和工具。
数值计算方法是科学计算的核心内容，它既有纯数学高度抽象性与严密科学性的特点，又有应用的广泛性与实际实验的高度技术性的特点，是一门与计算机使用密切结合的实用性很强的数学课程。
主要介绍数值计算的误差、插值法、函数逼近与曲线拟合、线性方程组迭代解法、数值积分与数值微分、非线性方程组解法、矩阵特征值与特征向量数值计算以及常微分方程数值解，并特别加强实验环节的训练以提高学生动手能力。
通过本课程的学习，不仅能使学生初步掌握数值计算方法的基本理论知识，了解算法设计及数学建模思想，而且能使学生具备一定的科学计算能力和分析与解决问题的能力，不仅为学习后继课程打下良好的理论基础，也为将来从事科学计算、计算机应用和科学研究等工作奠定必要的数学基础。
教学与实验教学课堂教学实验教学论文报告机动课内学时课外学时学时数44 16 8 2 60 10三、重点难点课程重点：理解各种常用数值计算方法的数学原理和理论分析过程，掌握各种数值计算方法的示范性上机程序，学会设计数值算法的基本思路、一般原理和各种数值算法的程序实现。
心理测量
世界上的一个智力测验量表:比内—西蒙量表。
1905年，《诊断异常儿童的新方法》一文介绍了该量表，史称1905年量表。
1908年修订后为比内—西蒙智力量表。
1911年发表了第二次修订本。
推孟于1916年修订的斯坦福—比内量表。
测量：依据一定法则使用量具对是无的特征进行定量描述的过程。
测量4种类型：物理测量、生理测量、社会测量、心理测量。
测量要素：测量的参照点和测量的单位。
误差：在测量过程中由那些与测量目的无关的变化因素所产生的一种不准确或不一致的测量效应。
既影响测量信度也影响效度的误差是（A 随机误差）误差的来源：测量工具、被测对象、施测过程。
误差的种类：随机误差、系统误差。
系统误差只影响测量的准确性，不影响稳定性。
随即误差既影响稳定性又影响准确性。
怎样控制误差：真分数是一个在理论上构想出来的概念，在实际测量中是得不到的，因为一个测量工具无论多么精确，也会有误差，我们只能通过改进量具来接近真值，而不能完全得到它。
CTT的数学模型及其假设：模型：X=T+E 观察分数（记X）与真分数（T）之间是一种线性关系，并相差一个随即误差（E）真分数：把放映被试某种心理特质真正水平的那个数值称作该特质的真分数。
真分数怎么得来的：真分数指一种测量工具在测量没有误差时得到的纯正值。
简称T分数。
公式：观察分数（X）与真分数（T）之间是一种线性关系，并只相差一个随机误差（E），即：X=T+E，这就是CTT的数学模型。
真分数的三个（特质？）假设：①真分数的特质：若一个人的某种心理特质可以用平行的测验反复测量足够多次，则其观察分数的平均值会接近于真分数。
E(X)=T, E(E)=0。
②真分数和误差分数之间的相关为零。
P(T,E)=0。
③各平行测验上的误差分数之间相关为零。
P(E1,E2)=0。
说明：在研究问题范围内，反映个体某种心理特质水平的真分数假定不变。
观察分数假定等于真分数和误差分数的和。
测量误差是完全随即的，并服从均值为0的正态分布。
ACM训练史上最详细计划
ACM训练史上最详细计划一位高手对我的建议：一般要做到50行以内的程序不用调试、100行以内的二分钟内调试成功.acm主要是考算法的，主要时间是花在思考算法上，不是花在写程序与debug上。
下面给个计划你练练：第一阶段：练经典常用算法，下面的每个算法给我打上十到二十遍，同时自己精简代码，因为太常用，所以要练到写时不用想，10-15分钟内打完，甚至关掉显示器都可以把程序打出来.1.最短路(Floyd、Dijstra,BellmanFord)2.最小生成树(先写个prim,kruscal要用并查集，不好写)3.大数（高精度）加减乘除4.二分查找. (代码可在五行以内)5.叉乘、判线段相交、然后写个凸包.6.BFS、DFS,同时熟练hash表(要熟，要灵活,代码要简)7.数学上的有：辗转相除（两行内），线段交点、多角形面积公式.8. 调用系统的qsort, 技巧很多，慢慢掌握.9. 任意进制间的转换第二阶段：练习复杂一点，但也较常用的算法。
如：1. 二分图匹配（匈牙利），最小路径覆盖2. 网络流，最小费用流。
3. 线段树.4. 并查集。
5. 熟悉动态规划的各个典型：LCS、最长递增子串、三角剖分、记忆化dp6.博弈类算法。
博弈树，二进制法等。
7.最大团，最大独立集。
8.判断点在多边形内。
9. 差分约束系统.10. 双向广度搜索、A*算法，最小耗散优先.第三阶段：前两个阶段是打基础，第三阶段是锻炼在比赛中可以快速建立模型、想新算法。
这就要平时多做做综合的题型了。
1. 把oibh上的论文看看（大概几百篇的，我只看了一点点，呵呵）。
2. 平时扫扫zoj上的难题啦，别老做那些不用想的题.(中大acm的版主经常说我挑简单的来做:-P )3. 多参加网上的比赛，感受一下比赛的气氛，评估自己的实力.4. 一道题不要过了就算，问一下人，有更好的算法也打一下。
5. 做过的题要记好 :-)（一）不可能都完全记住那么多的算法.常用算法,拿过来就可以写出来不常用的,拿起书来,看10分钟,就能理解算法(因为以前记过).对以前没有记过的算法,就不好说了,难的可能要研究好几天.这样就可以了.应该熟练掌握的常用的算法应该有:各种排序算法（插入排序、冒泡排序、选择排序，快速排序，堆排序，归并排序）线性表(一般的线性表,栈,队列)的插入和删除二叉树的遍历（前序，中序，后序）图的遍历（深度优先，广度优先）二分法查找，排序二叉树，Hash查找（处理冲突的方法）。
数学教案 人教a版必修第一册 同步备课第4章第5小节 函数练习题
4.5 函数的应用(二)最新课程标准：运用函数性质求方程近似解的基本方法(二分法)，再结合实例，更深入地理解用函数构建数学模型的基本过程，学习运用模型思想发现和提出问题、分析和解决问题的方法．4．5.1 函数的零点与方程的解知识点一 函数的零点 1．零点的定义对于函数y ＝f(x)，把f(x)＝0的实数x ，叫做函数y ＝f(x)的零点． 2．方程的根与函数零点的关系状元随笔 函数的零点不是一个点，而是一个实数，当自变量取该值时，其函数值等于零． 知识点二 函数零点的判定如果函数y ＝f(x)在区间[a ，b]上的图象是一条连续不断的曲线，且有f(a)f(b)＜0，那么，函数y ＝f(x)在区间(a ，b)内至少有一个零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c 也就是方程f(x)＝0的解．状元随笔 定理要求具备两条：①函数在区间[a ，b]上的图象是连续不断的一条曲线；②f(a)·f(b)＜0. [教材解难] 1．教材P 142思考能．先构造函数f(x)＝ln x ＋2x －6，再判断函数f(x)是增函数，又f(2)＜0，f(3)＞0，∴方程ln x ＋2x －6＝0的根在2,3之间．[基础自测]1．函数y ＝3x －2的图象与x 轴的交点坐标及其零点分别是( ) A.23；23 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫23，0；23 C ．－23；－23 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－23，0；－23解析：令3x －2＝0，则x ＝23，∴函数y ＝3x －2的图象与x 轴的交点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫23，0，函数零点为23. 答案：B2．函数f(x)＝ln (x ＋1)－2x 的零点所在的一个区间是( )A ．(0,1)B ．(1,2)C ．(2,3)D ．(3,4)解析：f(1)＝ln 2－2＜0，f(2)＝ln 3－1＞0， ∴f(1)·f(2)＜0，∴函数f(x)的一个零点区间为(1,2)． 答案：B3．函数f(x)＝x 3－x 的零点个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3解析：f(x)＝x(x －1)(x ＋1)，令x(x －1)(x ＋1)＝0，解得x ＝0，x ＝1，x ＝－1，即函数的零点为－1,0,1，共3个．答案：D4．若函数f(x)＝x 2－ax －b 的两个零点是2和3，则函数g(x)＝bx 2－ax －1的零点是________．解析：由⎩⎪⎨⎪⎧22－2a －b ＝0，32－3a －b ＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝5，b ＝－6∴g(x)＝－6x 2－5x －1的零点是－12，－13.答案：－12，－13题型一 函数零点的概念及求法例1 (1)下列图象表示的函数中没有零点的是( )(2)判断下列函数是否存在零点，如果存在，请求出． ①f(x)＝－x 2－4x －4. ②f(x)＝4x＋5.9 14.197 2图由表和图可知，f(2)＜0，f(3)＞0，则f(2)f(3)＜0.由函数零点存在定理可知，函数f(x)＝ln x＋2x－6在区间(2,3)内至少有一个零点．容易证明，函数f(x)＝ln x＋2x－6，x∈(0，＋∞)是增函数，所以它只有一个零点，即相应方程ln x＋2x－6＝0只有一个实数解．状元随笔可以先借助计算工具画出函数y＝ln x＋2x－6的图象或列出x，y的对应值表，为观察、判断零点所在区间提供帮助．教材反思判断函数零点个数的三种方法(1)方程法：若方程f(x)＝0的解可求或能判断解的个数，可通过方程的解来判断函数是否存在零点或判定零点的个数．(2)图象法：由f(x)＝g(x)－h(x)＝0，得g(x)＝h(x)，在同一坐标系内作出y1＝g(x)和y2＝h(x)的图象．根据两个图象交点的个数来判定函数零点的个数．(3)定理法：函数y＝f(x)的图象在区间[a，b]上是一条连续不断的曲线，由f(a)·f(b)＜0即可判断函数y＝f(x)在区间(a，b)内至少有一个零点．若函数y＝f(x)在区间(a，b)上是单调函数，则函数f(x)在区间(a，b)内只有一个零点．跟踪训练2 (1)函数f(x)＝x－x－2的零点个数为( )A．0 B．1C．2 D．3(2)判断函数f(x)＝x－3＋ln x的零点个数．解析：(1)令f(x)＝0得x－x－2＝0，设t＝x(t≥0)，则t2－t－2＝0，解得t＝2或t＝－1(舍)．故x＝2即x＝4，因此方程f(x)＝0有一个根4，所以函数f(x)有一个零点．(2)令f(x)＝x－3＋ln x＝0，则ln x＝－x＋3，在同一平面直角坐标系内画出函数y＝ln x与y＝－x＋3的图象，如图所示：由图可知函数y＝ln x，y＝－x＋3的图象只有一个交点，即函数f(x)＝x－3＋ln x只有一个零点．答案：(1)B (2)一个状元随笔思路一：解方程求零点，方程f(x)＝0的实数根的个数就是函数f(x)的零点的个数；思路二：画出函数图象，依据图象与x轴的交点的个数来判断函数的零点个数．题型三判断函数的零点所在的大致区间例3 设x0是函数f(x)＝ln x＋x－4的零点，则x0所在的区间为( )A．(0,1) B．(1,2)C．(2,3) D．(3,4)【解析】因为f(2)＝ln 2＋2－4＝ln 2－2＜0，f(3)＝ln 3－1＞ln e－1＝0，f(2)·f(3)＜0.由零点存在性定理，得x0所在的区间为(2,3)．【答案】 C状元随笔根据零点存在性定理，对照选项，只需验证区间端点函数值的符号，或可借助于图象分析．方法归纳判断函数零点所在区间的三个步骤(1)代入：将区间端点值代入函数求出函数的值．(2)判断：把所得的函数值相乘，并进行符号判断．(3)结论：若符号为正且函数在该区间内是单调函数，则在该区间内无零点，若符号为负且函数连续，则在该区间内至少有一个零点．跟踪训练3 函数f(x)＝2x－1＋x－5的零点所在的区间为( )A．(0,1) B．(1,2)C．(2,3) D．(3,4)解析：f(2)＝22－1＋2－5＜0，f(3)＝23－1＋3－5＞0，故f(2)·f(3)＜0，又f(x)在定义域内是增函数，则函数f(x)＝2x－1＋x－5只有一个零点，且零点所在的区间为(2,3)．答案：Cf(x)单调的条件下，利用f(a)·f(b)＜0求零点区间．解题思想方法 数形结合思想例 已知关于x 的方程|x 2－4x ＋3|－a ＝0有三个不相等的实数根，则实数a 的值是________．解析：如图，由图象知直线y ＝1与y ＝|x 2－4x ＋3|的图象有三个交点， 则方程|x 2－4x ＋3|＝1有三个不相等的实数根，因此a ＝1. 答案：1【反思与感悟】 求解这类问题可先将原式变形为f(x)＝g(x)，则方程f(x)＝g(x)的不同解的个数等于函数f(x)与g(x)图象交点的个数，分别画出两个函数的图象，利用数形结合的思想使问题得解．课时作业 25一、选择题1．下列函数不存在零点的是( ) A ．y ＝x －1xB ．y ＝2x 2－x －1C ．y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1 (x≤0)，x －1 (x ＞0) D ．y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1 (x≥0)，x －1 (x ＜0)解析：令y ＝0，得A 中函数的零点为1，－1；B 中函数的零点为－12，1；C 中函数的零点为1，－1；只有D 中函数无零点．答案：D2．若函数f(x)＝ax ＋b 有一个零点是2，那么函数g(x)＝bx 2－ax 的零点是( ) A ．0,2 B ．0，12C ．0，－12D ．2，－12解析：∵2a＋b ＝0，∴g(x)＝－2ax 2－ax ＝－ax(2x ＋1)． ∴零点为0和－12.答案：C3．函数f(x)＝πx＋log 2x 的零点所在区间为( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤14，12B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤18，14C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，18D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1 解析：因为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫14＝π4＋log 214＜0，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝π2＋log 212＞0，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫14·f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＜0，故函数f(x)＝πx＋log 2x 的零点所在区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤14，12.答案：A4．已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧e x，x≤0，ln x ，x ＞0，g(x)＝f(x)＋x ＋a.若g(x)存在2个零点，则a 的取值范围是( )A ．[－1,0)B ．[0，＋∞)C ．[－1，＋∞) D．[1，＋∞)解析：本题主要考查函数的零点及函数的图象．g(x)＝f(x)＋x ＋a 存在2个零点等价于函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧e x，x≤0，ln x ，x ＞0与h(x)＝－x －a 的图象存在2个交点，如图，当x ＝0时，h(0)＝－a ，由图可知要满足y ＝f(x)与y ＝h(x)的图象存在2个交点，需要－a≤1，即a≥－1.故选C.答案：C 二、填空题5．函数f(x)＝x 2－3x －18在区间[1,8]上________(填“存在”或“不存在”)零点． 解析：方法一 ∵f(1)＝12－3×1－18＝－20＜0， f(8)＝82－3×8－18＝22＞0，∴f(1)·f(8)＜0， 又 f(x)＝x 2－3x －18在区间[1,8]上的图象是连续的，可得⎩⎪⎨⎪⎧1＋2＝－3(m ＋1)，1×2＝n ，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－2，n ＝2.所以函数y ＝log n (mx ＋1)的解析式为 y ＝log 2(－2x ＋1)，要求其零点，令 log 2(－2x ＋1)＝0，解得x ＝0. 所以函数y ＝log 2(－2x ＋1)的零点为0.4.5.2 用二分法求方程的近似解4.5.3 函数模型的应用知识点一用二分法求方程的近似解1．二分法对于在区间[a，b]上连续不断且f(a)·f(b)＜0的函数y＝f(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．2．给定精确度ε，用二分法求函数f(x)零点近似值的步骤第一步：确定闭区间[a，b]，验证f(a)·f(b)＜0，给定精确度ε.第二步：求区间(a，b)的中点c.第三步：计算f(c)．(1)若f(c)＝0，则c就是函数的零点；(2)若f(a)·f(c)＜0，则令b＝c(此时零点x0∈(a，c))；(3)若f(c)·f(b)＜0，则令a＝c(此时零点x0∈(c，b))．第四步：判断是否达到精确度ε，即若|a－b|＜ε，则得到零点近似值a(或b)，否则重复第二步至第四步．状元随笔二分就是将所给区间平均分成两部分，通过不断逼近的办法，找到零点附近足够小的区间，根据所要求的精确度，用此区间的某个数值近似地表示真正的零点．知识点二常见的增长模型1．线性函数模型线性函数模型y＝kx＋b(k＞0)的增长特点是直线上升，其增长速度不变．2．指数函数模型能利用指数函数(底数a＞1)表达的函数模型叫指数函数模型．指数函数模型的特点是随自变量的增大，函数值的增长速度越来越快，常形象地称为指数爆炸．3．对数函数模型能用对数函数(底数a＞1)表达的函数模型叫做对数函数模型，对数函数增长的特点是随自变量的增大，函数值增长速度越来越慢．4．幂函数模型幂函数y＝x n(n＞0)的增长速度介于指数增长和对数增长之间．状元随笔 函数模型的选取(1)当描述增长速度变化很快时，常常选用指数函数模型．(2)当要求不断增长，但又不会增长过快，也不会增长到很大时，常常选用对数函数模型． (3)幂函数模型y ＝x n(n ＞0)则可以描述增长幅度不同的变化，n 值越小(n≤1)时，增长较慢；n 值较大(n ＞1)时，增长较快． [教材解难] 教材P 149思考因为人口基数较大，人口增长过快，与我国经济发展水平产生了较大矛盾，所以我国从20世纪70年代逐步实施了计划生育政策．因此这一阶段的人口增长条件并不符合马尔萨斯人口增长模型的条件，自然就出现了依模型得到的结果与实际不符的情况． [基础自测]1．以下每个图象表示的函数都有零点，但不能用二分法求函数零点近似值的是( )解析：根据二分法的基本方法，函数f(x)在区间[a ，b]上的图象连续不断，且f(a)·f(b)＜0，即函数的零点是变号零点，才能将区间[a ，b]一分为二，逐步得到零点的近似值．对各图象分析可知，选项A 、B 、D 都符合条件，而选项C 不符合，因为图象在零点两侧函数值不异号，因此不能用二分法求函数零点的近似值．答案：C2．在用二分法求函数f(x)的一个正实数零点时，经计算，f(0.64)＜0，f(0.72)＞0，f(0.68)＜0，则函数的一个精确度为 0.1的正实数零点的近似值为( )A ．0.6B ．0.75C ．0.7D ．0.8解析：已知f(0.64)＜0，f(0.72)＞0，则函数f(x)的零点的初始区间为[0.64,0.72]． 又0.68＝0.64＋0.722，且f(0.68)＜0，所以零点在区间[0.68,0.72]上，因为|0.68－0.72|＝0.04＜0.1，因此所求函数的一个正实数零点的近似值约为0.7，故选C.答案：C3．某同学最近5年内的学习费用y(千元)与时间x(年)的关系如图所示，则可选择的模拟函数模型是( )A ．y ＝ax ＋bB ．y ＝ax 2＋bx ＋c C ．y ＝a·e x＋b D ．y ＝aln x ＋b解析：由散点图和四个函数的特征可知，可选择的模拟函数模型是y ＝ax 2＋bx ＋c. 答案：B4．已知函数y ＝f(x)在区间(2,4)上连续，验证f(2)·f(4)＜0，取区间(2,4)的中点x 1＝2＋42＝3，计算得f(2)·f(x 1)＜0，则此时零点所在的区间为________．解析：∵f(2)·f(3)＜0，∴零点在区间(2,3)内． 答案：(2,3)题型一 二分法概念的理解[经典例题]例1 (1)下列函数中，必须用二分法求其零点的是( ) A ．y ＝x ＋7 B ．y ＝5x－1C ．y ＝log 3xD ．y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x－x(2)下列函数图象与x 轴均有交点，其中不能用二分法求图中函数零点的是( )【解析】 (1)A × 解方程x ＋7＝0，得x ＝－7B × 解方程5x－1＝0，得x ＝0 C × 解方程log 3x ＝0，得x ＝1D√无法通过方程⎝ ⎛⎭⎪⎫12x－x ＝0得到零点(2)利用二分法求函数零点必须满足零点两侧函数值异号．在B 中，不满足f(a)·f(b)＜0，不能用二分法求零点，由于A 、C 、D 中零点两侧函数值异号，故可采用二分法求零点．【答案】 (1)D (2)B图1下面通过计算确认上述判断．先计算哪个模型的资金总数不超过5万元．对于模型y＝0.25x，它在区间[10,1 000]上单调递增，而且当x＝20时，y＝5，因此，当x＞20时，y＞5，所以该模型不符合要求；对于模型y＝1.002x，由函数图象，并利用信息技术，可知在区间(805,806)内有一个点x0满足1.002x0＝5，由于它在区间[10,1 000]上单调递增，因此当x＞x0时，y＞5，所以该模型也不符合要求；对于模型y＝log7x＋1，它在区间[10, 1 000]上单调递增，而且当x＝1 000时，y＝log71 000＋1≈4.55＜5，所以它符合奖金总数不超过5万元的要求．再计算按模型y＝log7x＋1奖励时，奖金是否不超过利润的25%，即当x∈[10,1 000]时，是否有y≤0.25x，即log7x＋1≤0.25x成立．令f(x)＝log7x＋1－0.25x，x∈[10,1 000]，利用信息技术画出它的图象(图2)．图2由图象可知函数f(x)在区间[10,1 000]上单调递减，因此f(x)≤f(10)≈－0.316 7＜0，即log7x＋1＜0.25x.所以，当x∈[10,1 000]时，y≤0.25x，说明按模型y＝log7x＋1奖励，奖金不会超过利润25%.综上所述，模型y＝log7x＋1确实能符合公司要求．状元随笔本例提供了三个不同增长方式的奖励模型，按要求选择其中一个函数作为刻画奖金总数与销售利润的关系．由于公司总的利润目标为1 000万元，所以销售人员的销售利润一般不会超过公司总的利润．于是，只需在区间[10,1 000]上，寻找并验证所选函数是否满足两条要求：第一，奖金总数不超过5万元，即最大值不大于5；第二，奖金不超过利润的25%，即y≤0.25x.不妨先画出函数图象，通过观察函数图象，得到初步的结论，再通过具体计算，确认结果.1.35.比较上述三个模拟函数的优劣，既要考虑到误差最小，又要考虑生产的实际，如：增产的趋势和可能性．经过筛选，以指数函数模拟为最佳，一是误差小，二是由于厂房新建，随着工人技术和管理效益逐渐提高，一段时间内产量会明显上升，但经过一段时间之后，如果不更新设备，产量必然趋于稳定，而该指数函数模型恰好反映了这种趋势．因此选用指数函数y＝－0.8×0.5x＋1.4模拟比较接近客观实际．通过数据验证，确定系数，然后分析确定函数变化情况，最终找出与实际最接近的函数模型．题型四三类函数图象综合运用例4 判断方程2x＝x2有几个实根．【解析】设y1＝x2，y2＝2x，作出这两个函数的图象，由图象知，方程一定有一个负根，当x＞0时，开始y1＝x2在y2＝2x图象的下方，但此时由于y1＝x2比y2＝2x增长的速度快，所以存在x0当x＞x0时，y1＝x2的图象就会在y2＝2x的上方，故此时产生一个实根x0，但最终还是y2＝2x比y1＝x2增长得快，故存在x1，当x＞x1时，y2＝2x的图象又在y1＝x2的上方，故又产生一个实根x1，以后就永远是y2＝2x比y1＝x2增长得快了，故再没有实根了，故此方程有三个实根．状元随笔(1)根据指数函数与幂函数增减得快慢以及图象的上下位置判断出是否有实根．(2)对于较复杂的方程根的个数问题，利用数形结合法较为方便，其解题步骤为：①先设出两个可画图象的函数；②画出两个函数的图象；③由图象观察，其交点横坐标的个数即为方程实数解的个数.方法归纳由图象判断指数函数、对数函数和幂函数的方法根据图象判断增长型的指数函数、对数函数和幂函数时，通常是观察函数图象上升得快慢，即随着自变量的增长，图象最“陡”的函数是指数函数，图象趋于平缓的函数是对数函数．跟踪训练4 函数f(x)＝lg x，g(x)＝0.3x－1的图象如图所示．(1)指出曲线C 1，C 2分别对应哪一个函数；(2)比较两函数的增长差异(以两图象交点为分界点，对f(x)，g(x)的大小进行比较)． 解析：(1)由题图知，C 1对应的函数为g(x)＝0.3x －1，C 2对应的函数为f(x)＝lg x. (2)当x∈(0，x 1)时，g(x)＞f(x)； 当x∈(x 1，x 2)时，g(x)＜f(x)； 当x∈(x 2，＋∞)时，g(x)＞f(x)． f(x)＝lgx 图象是曲线． g(x)＝0.3x －1图象是直线．课时作业 26一、选择题1．用二分法求如图所示函数f(x)的零点时，不可能求出的零点是( )A ．x 1B ．x 2C ．x 3D ．x 4解析：观察图象可知：零点x 3的附近两边的函数值都为负值，所以零点x 3不能用二分法求出． 答案：C2．已知图象连续不断的函数y ＝f(x)在区间(0,0.1)上有唯一零点，如果用“二分法”求这个零点(精确度0.01)的近似值，则应将区间(0,0.1)等分的次数至少为( )A ．3B ．4C ．5D ．6解析：由0.12n ＜0.01，得2n＞10，所以n 的最小值为4.故选B. 答案：B3．若函数f(x)＝x 3＋x 2－2x －2的一个正数零点附近的函数值用二分法逐次计算，参考数据如表：f(1)＝－2f(1.5)＝0.625f(1.25)＝－0.984 f(1.375)＝－0.260f(1.438)＝0.165 f(1.406 5)＝－0.052那么方程x3＋x2－2x－2＝0的一个近似根(精确到0.1)为( )A．1.2 B．1.3C．1.4 D．1.5解析：由表知f(1.438)＞0，f(1.406 5)＜0且在[1.406 5，1.438]内每一个数若精确到0.1都是1.4，则方程的近似根为1.4.答案：C4．如图所示给出了红豆生长时间t(月)与枝数y(枝)的散点图，那么最能拟合诗句“红豆生南国，春来发几枝”所提到的红豆生长时间与枝数的关系的函数模型是( )A．指数函数：y＝2t B．对数函数：y＝log2tC．幂函数：y＝t3 D．二次函数：y＝2t2解析：由散点图可知，与指数函数拟合最贴切，故选A.答案：A二、填空题5．用二分法求函数f(x)在区间[0,2]上零点的近似解，若f(0)·f(2)＜0，取区间中点x1＝1，计算得f(0)·f(x1)＜0，则此时可以判定零点x0∈________(填区间)．解析：由二分法的定义，根据f(0)f(2)＜0，f(0)·f(x1)＜0，故零点所在区间可以为(0，x1)．答案：(0，x1)6．据报道，青海湖水在最近50年内减少了10%，如果按此规律，设2013年的湖水量为m，从2013年起，过x年后湖水量y与x的函数关系是________．解析：设湖水量每年为上年的q%，则(q%)50＝0.9，所以q%＝0.9150，所以x年后湖水量y＝m·(q%)x＝m·0.950x.答案：y＝0.950x·m7．已知二次函数f(x)＝x 2－x －6在区间[1,4]上的图象是一条连续的曲线，且f(1)＝－6＜0，f(4)＝6＞0，由函数零点的性质可知函数在[1,4]内有零点，用二分法求解时，取(1,4)的中点a ，则f(a)＝________.解析：显然(1,4)的中点为2.5，则f(a)＝f(2.5)＝2.52－2.5－6＝－2.25. 答案：－2.25 三、解答题8．用二分法求方程x 2－5＝0的一个近似正解．(精确度为0.1) 解析：令f(x)＝x 2－5，因为f(2.2)＝－0.16＜0，f(2.4)＝0.76＞0， 所以f(2.2)·f(2.4)＜0，即这个函数在区间(2.2,2.4)内有零点x 0， 取区间(2.2,2.4)的中点x 1＝2.3，f(2.3)＝0.29，因为f(2.2)·f(2.3)＜0，所以x 0∈(2.2,2.3)，再取区间(2.2,2.3)的中点x 2＝2.25，f(2.25)＝0.062 5，因为f(2.2)·f(2.25)＜0，所以x 0∈(2.2,2.25)，由于|2.25－2.2|＝0.05＜0.1，所以原方程的近似正解可取2.25.9．某学校开展研究性学习活动，一组同学获得了下面的一组试验数据.x 1.99 3 4 5.1 8 y0.991.582.012.353.00现有如下5个模拟函数：①y＝0.58x －0.16；②y＝2x －3.02；③y＝x 2－5.5x ＋8；④y＝log 2x ；⑤y＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋1.74.请从中选择一个模拟函数，使它比较近似地反映这些数据的规律． 解析：画出散点图如图所示．由图可知，上述点大体在函数y ＝log 2x 上(对于y ＝0.58x －0.16，可代入已知点验证不符合)，故选择y ＝log 2x 可以比较近似地反映这些数据的规律． [尖子生题库]10．用二分法求方程ln x ＝1x 在[1,2]上的近似解，取中点c ＝1.5，求下一个有根区间．解析：令f(x)＝ln x －1x，f(1)＝－1＜0，f(2)＝ln 2－12＝ln 2e＞ln 1＝0，第21 页共21 页。
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二分法训练计划
我这里讲的二分法训练不是将人体一分为二，而是在一天之内同样的训练
做两次，用来增加你的训练量。
举个例子，比如你今天健身课程是胸肌训练，但是只做一节课程感觉没效果，想增加训练量又没有体力。
那这种情况你就可以早上一节课程做完，晚上
再重复做一节，这就是二分法。
减脂训练也是一样，早上十五分钟TABATA累趴了，等晚上体力恢复之后再做一次，这样一天的总消耗就增加了，减肥效率也就上去了。
多余的训练量会更深更多的撕裂刺激肌肉纤维，增加的肌肉比训练中溶解
的肌肉要多的多，这笔生意怎么算都是很合算的。
至于休息时间，跟原来的一模一样就好了，没必要再多余休息，那样又把
长出来的肉歇没了。
如果真害怕训练会掉肌肉，那你可以买一罐支链氨基酸锁住肌肉流失。
一般用在体力消耗较大的复合型训练上，减脂训练九成九是复合型训练，
所以减肥平台期绝对适用二分法训练方式。
复合型训练就是指多肌群参与的训练，对体力消耗较大，比如俯卧撑，胸、肩、核心都在参与。
深蹲，臀、腿。
囚徒健身六艺十式全是复合型训练，全都
适用二分法训练方式。
与复合型训练相对应的就是分化训练，不是说分化训练不能用二分法，而
是你不见得能坚持。
因为分化训练对肌肉撕裂效果很好，到了晚上时，你可能
会因为肌肉的延迟性疼痛而动弹不得。
比如你早上刚做了哑铃二头肌弯举，到晚上你不见得能拿得起哑铃。
总之，只要你感觉体力枯槁但训练效果还不理想，你都可以尝试二分法训练方式来增加训练量。