高三数学复习课件【二次函数与幂函数】
高三 一轮复习 二次函数与幂函数 教案
1 二次函数与幂函数
1．五种常见幂函数的图像与性质
函数
特征
性质 y＝x y＝x2 y＝x3 y＝x12 y＝x－1
图像
定义域 R R R {x|x≥0} {x|x≠0}
值域 R {y|y≥0} R {y|y≥0} {y|y≠0}
奇偶性 奇 偶 奇 非奇非偶 奇
单调性 增 (－∞，0]减，(0，＋∞)增 增 增 (－∞，0)和(0，＋∞)减
公共点 (1,1)
2.二次函数解析式的三种形式
(1)一般式：f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)；
(2)顶点式：f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)；
(3)零点式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)．
3．二次函数的图像和性质
a>0 a<0
图像
定义域 x∈R
值域 4ac－b24a，＋∞ －∞，4ac－b24a
单调性 在－∞，－b2a上递减，在－b2a，＋∞上递增 在－∞，－b2a上递增，在－b2a，＋∞上递减
奇偶性 b＝0时为偶函数，b≠0时既不是奇函数也不是偶函数
2 图像特点 ①对称轴：x＝－b2a；
②顶点：－b2a，4ac－b24a
1．研究函数f(x)＝ax2＋bx＋c的性质，易忽视a的取值情况而盲目认为f(x)为二次函数．
2．形如y＝xα(α∈R)才是幂函数，如y＝3x12不是幂函数．
[试一试]
1．(2013·南通二调)已知幂函数f(x)＝k·xα的图像过点12，22，则k＋α＝________.
2．已知函数f(x)＝ax2＋x＋5的图像在x轴上方，则a的取值范围是________．
高中数学-幂函数与二次函数测试试题
第 1 页 共 1 页 高中数学
幂函数与二次函数
【幂函数部分】
1．思维辨析
(1)函数y＝2x
12 是幂函数．( )
(2)如果幂函数的图象与坐标轴相交，则交点一定是原点．( )
(3)当n<0时，幂函数y＝xn是定义域上的减函数．( )
(4)当n>0时，幂函数y＝xn是定义域上的增函数．( )
(5)幂函数的图象都经过点(1,1)和点(0,0)．( )
2．当x∈(1，＋∞)时，下列函数中图象全在直线y＝x下方的增函数是( )
A．y＝x 12 B．y＝x2
C．y＝x3 D．y＝x－1
【二次函数部分】
1．思维辨析
(1)形如y＝ax2＋bx＋c的函数一定是二次函数．( )
(2)二次函数y＝ax2＋bx＋c，x∈R，不可能是偶函数．( )
(3)二次函数y＝ax2＋bx＋c，x∈[m，n]的最值一定是4ac－b24a.( )
(4)若函数f(x)＝(k2－1)x2＋2x－3在(－∞，2)上单调递增，则k＝±22.( )
(5)已知f(x)＝x2－4x＋5，x∈[0,3)，则f(x)max＝f(0)＝5，f(x)min＝f(3)＝2.( )
2．已知函数f(x)＝－x2＋4x＋a，x∈[0,1]．若f(x)有最小值－2，则f(x)的最大值为( )
A．－1 B．0
C．1 D．2
幂函数与二次函数
第6讲 幂函数与二次函数
【2013年高考会这样考】
1．求二次函数的解析式．
2．求二次函数的值域与最值．
3．利用幂函数的图象和性质分析解决有关问题．
【复习指导】
本讲复习时，应从“数”与“形”两个角度来把握二次函数和幂函数的图象和性质，重点解决二次函数在闭区间上的最值问题，掌握求函数最值的常用方法：配方法、判别式法、不等式法、换元法、导数法等，注重分类讨论思想与数形结合思想的综合应用．
基础梳理
1．幂函数的定义
一般地，形如y＝xα(α∈R)的函数称为幂函数，其中底数x是自变量，α为常数．
2．幂函数的图象
在同一平面直角坐标系下，幂函数y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝x12，y＝x－1的图象分别如右图．
3．幂函数的性质
y＝x y＝x2 y＝x3 y＝x12 y＝x－1 定义域 R R R [0，＋∞) {x|x∈R且x≠0}
值 域
R
[0，＋∞) R [0，＋∞) {y|y∈R且y≠0}
奇偶性 奇 偶 奇 非奇非偶 奇
单调性 增 x∈[0，＋∞)时，增
x∈(－∞，0]时，减 增 增 x∈(0，＋∞)时，减
x∈(－∞，0)时，减
定点 (0,0)，(1,1) (1,1)
4.二次函数的图象和性质
解析式 f(x)＝ax2＋bx＋c(a>0) f(x)＝ax2＋bx＋c(a<0)
图象
定义域 (－∞，＋∞) (－∞，＋∞)
值域 4ac－b24a，＋∞ －∞，4ac－b24a
单调性 在x∈－b2a，＋∞上单调递增
在x∈－∞，－b2a上单调递增 在x∈－∞，－b2a上单调递减
在x∈－b2a，＋∞上单调递减
奇偶性 当b＝0时为偶函数，b≠0时为非奇非偶函数
顶点 －b2a，4ac－b24a
对称性 图象关于直线x＝－b2a成轴对称图形
5.二次函数解析式的三种形式
(1)一般式：f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)
高三数学复习(理)：第4讲 二次函数与幂函数
第4讲 二次函数与幂函数
[学生用书P23]
1．二次函数
(1)二次函数解析式的三种形式
①一般式：f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)．
②顶点式：f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)．
③零点式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)．
(2)二次函数的图象和性质
解析式 f(x)＝ax2＋bx＋c(a>0) f(x)＝ax2＋bx＋c(a<0)
图象
定义域 (－∞，＋∞) (－∞，＋∞)
值域 4ac－b24a，＋∞ －∞，4ac－b24a
单调性 在－∞，－b2a上单调递减；
在－b2a，＋∞上单调递增 在－∞，－b2a上单调递增；
在－b2a，＋∞上单调递减
对称性 函数的图象关于x＝－b2a对称
常用结论
一元二次不等式恒成立的条件
(1)“ax2＋bx＋c>0(a≠0)恒成立”的充要条件是“a>0且Δ<0”； (2)“ax2＋bx＋c<0(a≠0)恒成立”的充要条件是“a<0且Δ<0”．
2．幂函数
(1)定义：形如y＝xα(α∈R)的函数称为幂函数，其中底数x是自变量，α为常数．常见的五类幂函数为y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝x12，y＝x－1. (2)五种幂函数的图象
(3)性质
①幂函数在(0，＋∞)上都有定义；
②当α>0时，幂函数的图象都过点(1，1)和(0，0)，且在(0，＋∞)上单调递增；
③当α<0时，幂函数的图象都过点(1，1)，且在(0，＋∞)上单调递减．
一、思考辨析
判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)函数y＝2x12是幂函数．( )
(2)如果幂函数的图象与坐标轴相交，则交点一定是原点． ( )
(3)当n<0时，幂函数y＝xn是定义域上的减函数．( )
(4)二次函数y＝ax2＋bx＋c，x∈[a，b]的最值一定是4ac－b24a.( )
(5)二次函数y＝ax2＋bx＋c，x∈R不可能是偶函数．( )
新高考数学一轮复习考点知识归类讲义 第10讲 幂函数与二次函数
1 / 23 新高考数学一轮复习考点知识归类讲义
第10讲 幂函数与二次函数
1．幂函数
(1)定义
形如y＝xα(α∈R)的函数称为幂函数，其中底数x是自变量，α为常数．常见的五类幂函数为y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝x12，y＝x－1.
(2)性质
①幂函数在(0，＋∞)上都有定义；
②当α>0时，幂函数的图象都过点(1，1)和(0，0)，且在(0，＋∞)上单调递增；
③当α<0时，幂函数的图象都过点(1，1)，且在(0，＋∞)上单调递减．
2．二次函数
(1)二次函数解析式的三种形式 2 / 23 ①一般式：f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)；
②顶点式：f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)；
③零点式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)．
(2)二次函数的图象和性质
解析式 f(x)＝ax2＋bx
＋c(a>0) f(x)＝ax2＋bx
＋c(a<0)
图象
定义域 (－∞，＋∞) (－∞，＋∞)
值域 4ac－b24a，＋∞ －∞，4ac－b24a
单调性 在－∞，－b2a上单调递减；
在－b2a，＋∞上单调递增 在－∞，－b2a上单调递增；
在－b2a，＋∞上单调递减
奇偶性 当b＝0时为偶函数，当b≠0时为非奇非偶函数
顶点 －b2a，4ac－b24a
对称性 图象关于直线x＝－b2a成轴对称图形
3 / 23 ➢ 考点1 ******
[名师点睛]
1．对于幂函数图像的掌握，需记住在第一象限内三条线分第一象限为六个区域，即x＝1，y＝1，y＝x所分区域．根据α＜0,0＜α＜1，α＝1，α>1的取值确定位置后，其余象限部分由奇偶性决定．
2．在比较幂值的大小时，可结合幂值的特点，选择适当的函数，借助其单调性进行比较．
3．在区间(0,1)上，幂函数中指数越大，函数图像越靠近x轴(简记为“指大图低”)，在区间(1，＋∞)上，幂函数中指数越大，函数图像越远离x轴(简记为“指大图高”)．
第4讲 幂函数与二次函数
《三维课堂》2021版高考总复习
数学理科\
第4讲 幂函数与二次函数
基础知识整合
1．幂函数
(1)定义：形如□01y＝xα的函数称为幂函数，其中底数x是自变量，α为常数．常见的五类幂函数为y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝x12 ，y＝x－1.
(2)常见的5种幂函数的图象
(3)性质
①幂函数在(0，＋∞)上都有定义．
②当α>0时，幂函数的图象都过点(1,1)和(0,0)，且在(0，＋∞)上单调递增．
③当α<0时，幂函数的图象都过点(1,1)，且在(0，＋∞)上单调递减．
2．二次函数的图象和性质
解析式 f(x)＝ax2＋bx＋c(a>0) f(x)＝ax2＋bx＋c(a<0)
图象
定义域 (－∞，＋∞) (－∞，＋∞)
值域 □024ac－b24a，＋∞ □03－∞，4ac－b24a
单调性 在x∈－∞，－b2a上单调递减； 在x∈□05－∞，－b2a
上单调递增； 《三维课堂》2021版高考总复习
数学理科\
在x∈□04－b2a，＋∞上单调递增 在x∈－b2a，＋∞上单调递减
对称性 函数的图象关于x＝－b2a对称
1．幂函数图象特征
(1)在(0,1)上，幂函数中指数越大，函数图象越接近x轴(简记为“指大图低”)；
(2)在(1，＋∞)上，幂函数中指数越大，函数图象越远离x轴．
2．二次函数解析式的三种形式
(1)一般式：f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)．
(2)顶点式：f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)．
(3)两根式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)．
3．一元二次不等式恒成立的条件
(1)“ax2＋bx＋c>0(a≠0)恒成立”的充要条件是“a>0且Δ<0”．
(2)“ax2＋bx＋c<0(a≠0)恒成立”的充要条件是“a<0且Δ<0”．
4．二次函数的对称轴
二次函数y＝f(x)对定义域内的所有x，都有f(a＋x)＝f(a－x)成立的充要条件是函数y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称(a为常数)．
2023届高考数学一轮复习讲义：第10讲 幂函数与二次函数
第10讲 幂函数与二次函数
1．幂函数
(1)定义
形如
的函数称为幂函数，其中底数x是自变量，α为常数．常见的五类幂函数为y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝x12，y＝x－1.
(2)性质
①幂函数在(0，＋∞)上都有定义；
②当α>0时，幂函数的图象都过点(1，1)和(0，0)，且在(0，＋∞)上单调递增；
③当α<0时，幂函数的图象都过点(1，1)，且在(0，＋∞)上单调递减．
2．二次函数
(1)二次函数解析式的三种形式
①一般式：f(x)＝ ；
②顶点式：f(x)＝ ；
③零点式：f(x)＝ ．
(2)二次函数的图象和性质
解析式 f(x)＝ax2＋bx
＋c(a>0) f(x)＝ax2＋bx
＋c(a<0)
图象
定义域 (－∞，＋∞) (－∞，＋∞)
值域 4ac－b24a，＋∞ －∞，4ac－b24a 单调性
在
上单调递减；
在
上单调递增 在 上单调递增；
在 上单调递减
奇偶性 当 时为偶函数，当b≠0时为非奇非偶函数
顶点
对称性 图象关于直线x＝－b2a成轴对称图形
➢ 考点1 ******
[名师点睛]
1．对于幂函数图像的掌握，需记住在第一象限内三条线分第一象限为六个区域，即x＝1，y＝1，y＝x所分区域．根据α＜0,0＜α＜1，α＝1，α>1的取值确定位置后，其余象限部分由奇偶性决定．
2．在比较幂值的大小时，可结合幂值的特点，选择适当的函数，借助其单调性进行比较．
3．在区间(0,1)上，幂函数中指数越大，函数图像越靠近x轴(简记为“指大图低”)，在区间(1，＋∞)上，幂函数中指数越大，函数图像越远离x轴(简记为“指大图高”)．
[典例]
1．（2022·全国·高三专题练习）若幂函数()mnfxx (m，n∈N*，m，n互质)的图像如图所示，则（ ）
2025届新高考数学一轮复习精讲精练：幂函数与二次函数(知识+真题+15类高频考点) ( 精讲)
幂函数与二次函数
目录
第一部分：基础知识.................................................2
第二部分：高考真题回顾.............................................3
第三部分：高频考点一遍过...........................................3
高频考点一：幂函数的定义........................................3
角度1：求幂函数的值..........................................3
角度2：求幂函数的解析式......................................4
角度3：由幂函数求参数........................................4
高频考点二：幂函数的值域........................................6
高频考点三：幂函数图象..........................................8
角度1：判断幂函数图象........................................8
角度2：幂函数图象过定点问题.................................10
高频考点四：幂函数单调性.......................................13
角度1：判断幂函数的单调性...................................13
角度2：由幂函数单调性求参数.................................14
角度3：由幂函数单调性解不等式...............................15
高频考点五：幂函数的奇偶性.....................................18
2023年高考数学一轮复习(新高考1) 第2章 §2.5 二次函数与幂函数
§2.5 二次函数与幂函数 考试要求 1.通过具体实例，了解幂函数及其图象的变化规律.2.掌握二次函数的图象与性质(单调性、对称性、顶点、最值等)． 知识梳理
1．幂函数
(1)幂函数的定义
一般地，函数y＝xα叫做幂函数，其中x是自变量，α为常数． (2)常见的五种幂函数的图象
(3)幂函数的性质
①幂函数在(0，＋∞)上都有定义；
②当α>0时，幂函数的图象都过点(1,1)和(0,0)，且在(0，＋∞)上单调递增；
③当α<0时，幂函数的图象都过点(1,1)，且在(0，＋∞)上单调递减；
④当α为奇数时，y＝xα为奇函数；当α为偶数时，y＝xα为偶函数．
2．二次函数
(1)二次函数解析式的三种形式
一般式：f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)．
顶点式：f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)，顶点坐标为(m，n)．
零点式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)，x1，x2为f(x)的零点．
(2)二次函数的图象和性质
函数 y＝ax2＋bx＋c
(a>0) y＝ax2＋bx＋c
(a<0)
图象
(抛物线)
定义域
R
值域 4ac－b24a，＋∞ －∞，4ac－b24a
对称轴 x＝－b2a
顶点
坐标 －b2a，4ac－b24a
奇偶性 当b＝0时是偶函数，当b≠0时是非奇非偶函数
单调性 在－∞，－b2a上单调递减；
在－b2a，＋∞上单调递增 在－∞，－b2a上单调递增；
在－b2a，＋∞上单调递减
思考辨析
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)函数y＝1212x是幂函数．( × )
(2)若幂函数y＝xα是偶函数，则α为偶数．( × )
(3)二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象恒在x轴下方，则a<0且Δ<0.( √ )
(4)若二次函数y＝ax2＋bx＋c的两个零点确定，则二次函数的解析式确定．( × )
2020年高考数学专题复习二次函数与幂函数
1 二次函数与幂函数
1．幂函数
(1)定义：形如y＝xα(α∈R)的函数称为幂函数，其中底数x是自变量，α为常数．常见的五类幂函数为y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝x12，y＝x－1.
(2)图象
(3)性质
①幂函数在(0，＋∞)上都有定义；
②当α>0时，幂函数的图象都过点(1，1)和(0，0)，且在(0，＋∞)上单调递增；
③当α<0时，幂函数的图象都过点(1，1)，且在(0，＋∞)上单调递减．
2．二次函数
(1)二次函数解析式的三种形式
①一般式：f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)．
②顶点式：f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)．
③零点式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)．
(2)二次函数的图象和性质
解析式 f(x)＝ax2＋bx＋c(a>0) f(x)＝ax2＋bx＋c(a<0)
图象
定义域 (－∞，＋∞) (－∞，＋∞)
值域 4ac－b24a，＋∞ －∞，4ac－b24a
单调性 在－∞，－b2a上单调递减；
在－b2a，＋∞上单调递增 在－∞，－b2a上单调递增；
在－b2a，＋∞上单调递减 2 对称性
函数的图象关于x＝－b2a对称
判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)函数y＝2x12是幂函数．( )
(2)如果幂函数的图象与坐标轴相交，则交点一定是原点．( )
(3)当n<0时，幂函数y＝xn是定义域上的减函数．(
)
(4)二次函数y＝ax2＋bx＋c，x∈[a，b]的最值一定是4ac－b24a.( )
(5)二次函数y＝ax2＋bx＋c，x∈R不可能是偶函数．( )
(6)在y＝ax2＋bx＋c(a≠0)中，a决定了图象的开口方向和在同一直角坐标系中的开口大小．( )
答案：(1)× (2)√ (3)× (4)× (5)× (6)√
(教材习题改编)如图是①y＝xa；②y＝xb；③y＝xc在第一象限的图象，则a，b，c的大小关系为( )