一轮复习《二次函数与幂函数》课件
栏目导引
(2)曲线在第一象限的凹凸性：α＞1 时曲线 下凹，0＜α＜1 时曲线上凸，α＜0 时曲线下 凹； (3)函数的奇偶性： 一般先将函数式化为正指 数幂或根式形式， 再根据函数定义域和奇偶 性定义判断其奇偶性． 【特别警示】 无论 α 取何值，幂函数的图象
必经过第一象限，且一定不经过第四象限．
第二章 函数、导数及其应用
栏目导引
【变式训练】 1.幂函数 y＝(m2－2m－2)· xm －2 ，当 x∈(0，＋∞)时为减函数，则实数 m 的值为( ) A．m＝3 B．m＝－1 1± 5 C．m＝－1 或 m＝3 D．m≠ 2 m2－2m－2＝1， 解析： 由定义可知 m－2＜0，
∴m＝－1. 答案： B
第二章 函数、导数及其应用
栏目导引
求二次函数的解析式 求二次函数解析式的方法：待定系数法．根据 所给条件的特征，可选择一般式、顶点式或两 点式中的一种来求． 利用已知条件求二次函数解析式常用的方法是 待定系数法，但可根据具体的条件选用适当形 式的解析式． (1)已知三个点的坐标时，宜用一般式； (2)已知拋物线的顶点坐标或与对称轴有关或 与最大(小)值有关时，常使用顶点式； (3)若已知拋物线与 x 轴有两个交点，且横坐标
第二章 函数、导数及其应用
栏目导引
函数 f(x)＝x －2x＋2 在闭区间[t，t＋1](t∈ R)上的最小值记为 g(t)．试写出 g(t)的函数 表达式．
2
第二章 函数、导数及其应用
栏目导引
解析： ∵f(x)＝x2－2x＋2＝(x－1)2＋1， 当 t＋1＜1，即 t＜0 时，函数在[t，t＋1]上为减 函数， g(t)＝f(t＋1)＝t2＋1； 当 0≤t＜1 时，g(t)＝f(1)＝1； 当 t≥1 时，函数在[t，t＋1]上为增函数， g(t)＝f(t)＝t2－2t＋2.
第二章 函数、导数及其应用
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4．二次函数的图象和性质 f(x)＝ax2＋bx＋c(a f(x)＝ax2＋bx＋ 解析式 ＞0) c(a＜0)
图象
第二章 函数、导数及其应用
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解 2 2 f ( x ) ＝ ax ＋bx＋c(a f(x)＝ax ＋bx＋c(a＞ 析 0) ＜0) 式 定 义 ____ ____ R R 域 2 4ac－b2 值 4 ac － b ，＋∞ －∞， _________________ _________________ 4 a 4 a 域
第二章 函数、导数及其应用
栏目导引
1 而 f(x)＝x－ 在(－∞，0)，(0，＋∞)上均为 3 减函数， 1 1 ∴(a＋1)－ ＜(3－2a)－ 等价于 a＋1＞3－ 3 3 2a＞0， 或 0＞a＋1＞3－2a 或 a＋1＜0＜3－2a. 2 3 解得 a＜－1 或 ＜a＜ . 3 2 2 3 . a | a ＜－ 1 或 ＜ a ＜ 故 a 的范围为 3 2
答案： C
第二章 函数、导数及其应用
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4．拋物线 y＝8x2－(m－1)x＋m－7 的顶点 在 x 轴上，则 m＝________.
解析： 4×8×m－7－m－12 ∵ ＝0， 4×8
∴m2－34m＋225＝0，∴m＝9 或 25.
答案： 9或25
第二章 函数、导数及其应用
栏目导引
5．若函数 f(x)＝x2＋(a＋2)x＋b(x∈[a，b]) 的图象关于直线 x ＝ 1 对称，则 f(x)max ＝ ________.
2 4 ac － b 最 4a 值 ymin＝_______
4ac－b2 4a ymax＝________
栏目导引
第二章 函数、导数及其应用
解 f(x)＝ax2＋bx＋c(a 析 ＞0) 式 b －∞，－ 2a 在 x∈ ___________ 单 上单调递减 调 b － ，＋∞ 性 在 x∈___________ 2a 上单调递增
第二章 函数、导数及其应用
栏目导引
已知幂函数 f(x)＝xm2－2m－3(m∈N*)的图 象关于 y 轴对称， 且在(0， ＋∞)上是减函数， m m 求满足：(a＋1)－ ＜(3－2a)－ 的 a 的范 3 3 围．
第二章 函数、导数及其应用
栏目导引
解析： ∵函数在(0，＋∞)上递减， ∴m2－2m－3＜0，解得－1＜m＜3. ∵m∈N*，∴m＝1,2. 又函数的图象关于 y 轴对称，∴m2－2m－3 是偶数， 2 2 而 2 －2×2－3＝－3 为奇数，1 －2×1－3＝ －4 为偶数， ∴m＝1.
栏目导引
二次函数的最值 二次函数求最值问题，首先采用配方法化为y ＝a(x－m)2＋n的形式，得顶点(m，n)和对称 轴方程x＝m，结合二次函数的图象求解，常 见有三种类型： (1)顶点固定，区间也固定； (2)顶点含参数(即顶点为动点)，区间固定， 这时要讨论顶点横坐标何时在区间之内，何 时在区间之外． (3)顶点固定，区间变动，这时要讨论区间中 的参数． 讨论的目的是确定对称轴和区间的关系，明 确函数的单调情况，从而确定函数的最值．
第二章 函数、导数及其应用
栏目导引
【变式训练】 2.已知函数 f(x)＝x2＋mx＋n 的图象过点(1,3)，且 f(－1＋x)＝f(－1－x) 对任意实数都成立，函数 y＝g(x)与 y＝f(x) 的图象关于原点对称． 求 f(x)与 g(x)的解析式．
第二章 函数、导数及其应用
栏目导引
1＋m＋n＝3， m 解析： 由题意知： － ＝－1， 2
2 y＝ x ＝x 为幂函数． 3 答案： B 3
2
第二章 函数、导数及其应用
栏目导引
2． 已知点 M
3 ，3在幂函数 f(x)的图象上， 3 则 f(x)的表达式为( ) － A．f(x)＝x2 B．f(x)＝x 2 1 1 C．f(x)＝x D．f(x)＝x－ 2 2 解析： 设幂函数的解析式为 y＝xα，则 3 3 α ＝ ，∴α＝－2， 3 －2 ∴y＝x .
第二章 函数、导数及其应用
栏目导引
【思考探究】
4ac－b2 2. 一定是函数 y＝ax2 4a
＋bx＋c(a≠0)的最值吗？ 提示： 是． b 当－ 在定义区间上时是，否则不 2a
第二章 函数、导数及其应用
栏目导引
1 1．下列函数中：①y＝ 3；②y＝3x－2；③y x 3 2 4 2 ＝x ＋x ；④y＝ x 是幂函数的个数为( ) A．1 B．2 C．3 D．4 1 －3 解析： 由幂函数定义可知， y＝ 3＝x ， x
t2＋1 t＜0 ∴g(t)＝1 0≤t＜1. 2 t －2t＋2 t≥1
第二章 函数、导数及其应用
栏目导引
【变式训练】 3.已知函数 f(x)＝－x2＋2ax＋ 1－a 在 x∈[0,1]时有最大值 2，求 a 的值．
解析： 函数 f(x)＝－x2＋2ax＋1－a＝－(x－a)2 ＋a2－a＋1 对称轴方程为 x＝a. (1)当 a＜0 时，f(x)max＝f(0)＝1－a， ∴1－a＝2，∴a＝－1. (2)当 0≤a≤1 时，f(x)max＝a2－a＋1， ∴a2－a＋1＝2，∴a2－a－1＝0， 1± 5 ∴ a＝ (舍)． 2 (3)当 a＞1 时，f(x)max＝f(1)＝a， ∴a＝2. 综上可知，a＝－1 或 a＝2.
增
x∈(－∞，0)时，减
第二章 函数、导数及其应用
栏目导引
3.二次函数的解析式 ax2＋bx＋c(a≠0) ； (1)一般式：f(x)＝_______________ (2)顶点式：若二次函数的顶点坐标为(h，k)， a(x－h)2＋k(a≠0) ； 则其解析式为：f(x)＝__________________ (3)双根式：若相应一元二次方程的两根为x1， a(x－x1)(x－x2)(a≠0) x2，则其解析式为f(x)＝_________________ ．
f(x)＝ax2＋bx＋c(a＜ 0) 在 上单调递增 b － ，＋∞ 2a 在 x∈_____________ 上单调递减
b －∞，－ 2a x∈____________
第二章 函数、导数及其应用
栏目导引
f(x)＝ax2＋bx＋ f(x)＝ax2＋bx＋c(a c(a＞0) ＜0) b≠0 时为非 当______ b＝0 时为偶函数，______ 奇非偶函数 2 4 ac － b b 顶点 ， － 2a 4a b 对称 x＝－ 图象关于直线_________ 2a 成轴对称图 性 形 解析 式 奇偶 性
幂函数的自变量在底数位置，而指数函数的 自变量在指数位置．
第二章 函数、导数及其应用
栏目导引
2．五种幂函数的性质
R
R
R
[0，＋∞)
{x|x∈R且x≠0}
R
[0，＋∞)
R
[0，＋∞)
{y|y∈R且y≠0}
奇
偶 x∈[0，＋∞)时，增 x∈(－∞，0]时，减
奇
非奇非偶
奇 x∈(0，＋∞)时，减
增
增 (1,1)
a＞0， 2 a－1 ≤0，
∴a＝1，f(x)＝x2－3x＋2.
第二章 函数、导数及其应用
栏目导引
方法二：依题意可设
3 2 f(x)＝ax－2 ＋k，
1 1 由 f(1)＝ a＋k＝0，得 k＝－ a， 4 4 3 a 1 1 2 从而 f(x)＝ax－2 － ≥ － 恒成立， 4 4a 2 a 1 1 则－ ≥ － ，且 a＞0， 4 4a 2 2 a －2a＋1 1 a 1 ∴ ＋ － ≤0，∴ ≤0，且 a＞0， 4a 4 2 4a ∴a＝1. 3 1 2 从而 f(x)＝x－2 － ＝x2－3x＋2. 4
高考数学一轮复习第二章函数6幂函数与二次函数课件新人教A版2
解析
关闭
答案
-25考点1
考点2
考点3
(2)(2020福建厦门一模)已知函数f(x)的定义域为R,满足f(x)+f(-x)
=2,且当x>0时,f(x)=-x2-2x+1.若f(2m-3)≤4,则实数m的取值范围
是 [1,+∞)
.
解析:(2)设x<0,则-x>0,则f(-x)=-x2+2x+1.因为f(x)+f(-x)=2,所以
-
∴α=-2,∴f(x)= .
关闭
1
由 f(x)的图象可知,f(x)的减区间是(0,+∞).
y= 2 (0,+∞)
解析
答案
-12考点1
考点2
考点3
考点 1
幂函数的图象和性质
例1(1)若幂函数y=f(x)的图象过点(4,2),则幂函数y=f(x)的图象是
( C )
(2)已知幂函数f(x)=(n2+2n-2)·
双基自测
1
2
3
4
5
1
3.(2020福建漳州一模)当α∈ -1, ,1,3
时,幂函数y=xα的图象不可能
2
经过的象限是(
)D
A.第二象限 B.第三象限
C.第四象限 D.第二、四象限
-10知识梳理
1
双基自测
2
3
4
5
4.(2020四川成都模拟)某社团小组需要自制实验器材,要把一段
长为12 cm的细铁丝锯成两段,各自围成一个正三角形,那么这两个
思考如何求二次函数在闭区间上的最值?
-27考点1
考点2
考点3
二次函数与幂函数一轮复习课件(共21张PPT)
点拨：解决二次函数最值问题的关键是抓住“三点一轴”,其中“三点”
是指区间的两个端点和抛物线的顶点,“一轴”指的是对称轴,结合配方法,
根据函数的单调性及分类讨论思想即可解题.
点拨
【追踪训练 2】已知函数 f(x)=-x2+2ax+1-a 在[0,1]上的最大值为 2,求
实数 a 的值.
【解析】函数 f(x)=-(x-a)2+a2-a+1 的图象的对称轴为直线 x=a,且函数图象开
有助于把握数学问题的本质,发现解题思路,并且能避开复杂的推理与计算,大大简化解题过程.解决
二次函数问题时,注重“形”与“数”的有机结合.
【突破训练 2】已知函数 f(x)=x2-2x+4 在区间[0,m](m>0)上的最大值为 4,最小
值为 3,则实数 m 的取值范围是 [1,2] .
【解析】作出函数 f(x)的图象,如图所示,从图
3-2
【解析】(1)函数 f(x)图象的对称轴为直线 x=
1
3-2
2
2
∵0<m≤ ,∴
2
.
≥1,
∴g(m)=max{|f(-1)|,|f(1)|}=max{|3m-2|,|4-m|}=max{2-3m,4-m}.
又∵(4-m)-(2-3m)=2+2m>0,∴g(m)=4-m.
解析
3-2
(2)函数 f(x)图象的对称轴为直线 x=
1
3
, 3 ,则 f
1
2
=
.
【解析】(1)设幂函数的解析式为 f(x)=xα,∵该函数的图象经过点
1
,
3
1
2
3 ,∴3-α= 3,解得 α=- ,
高考数学一轮复习：2.4二次函数与幂函数课件(文) (共52张PPT)
高三一轮（文）
考纲展示
1.了解幂函数的概念．
1 1 2．结合函数 y＝x，y＝x ，y＝x ，y＝x ，y＝x 2 的图象，了解它
2
3
们的变化情况． 3．解理并掌握二次函数的定义、图象及性质． 4．能用二次函数、方程、不等式之间的关系解决简单问题．
考点 1
幂函数的图象与性质
典例剖析
解法二(利用顶点式)： 设 f(x)＝a(x－m) 2＋n. ∵f(2)＝f(－1)，∴抛物线的对称轴为 x＝ 1 ∴m＝2. 2＋－1 1 ＝2， 2
又根据题意，函数有最大值 8，∴n＝8，
1 2
1 1 解析：设 f(x)＝x ，则 2＝2 ，所以 α＝2，故函数 f(x)＝x 2 .
α
α
易错剖析
幂函数概念的误区：系数为 1；指数为常数．
2或－1 已知幂函数 f(x)＝(m2－m－1)xm－3，则 m 为________ ．
解析：若函数为幂函数，则 m2－m－1＝1， 解得 m＝2 或 m＝－1.
通性通法
(2)“二次函数 y＝f(x)对定义域内所有 x，都有 f(a＋x)＝f(a－x)成立”
x＝a 对称”(a 为常数)． 的充要条件是“函数 y＝f(x)的图象关于直线________
解析：由题意知，y＝f(x)的图象关于直线 x＝a 对称(a 为常数)．
典例剖析
[典题 2]
已知二次函数 f(x)满足 f(2)＝－1，f(－1)＝－1，
且 f(x)的最大值是 8，试确定此二次函数的解析式．
[解] 解法一(利用一般式)： 设 f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)．
4a＋2b＋c＝－1， a－b＋c＝－1， 由题意得 4ac－b2 4a ＝8，
高考数学一轮复习 2-4二次函数与幂函数课件 文
ppt精选
18
基础诊断
考课点堂突总破结
(2)令 f(x)＝g(x)，即 x2－2(a＋2)x＋a2＝－x2＋2(a－2)x－a2＋8， 即 x2－2ax＋a2－4＝0，解得 x＝a＋2 或 x＝a－2.f(x)与 g(x)的 图象如图．
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8
基础诊断
考课点堂突总破结
3. 3－aa＋6(－6≤a≤3)的最大值为________．
解析 因为 3－aa＋6＝ 18－3a－a2
＝ －a＋322＋841，由于－6≤a≤3，
所以当 a＝－32时， 3－aa＋6有最大值92.
答案
9 2
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9
基础诊断
考课点堂突总破结
4．已知幂函数
q}表示 p，q 中的较大值，min{p，q}表示 p，q 中的较小值)．记
H1(x)的最小值为 A，H2(x)的最大值为 B断
考课点堂突总破结
解析 (1)由①③④知，f(0)＝c＜0. ∵abc＞0，∴ab＜0，∴对称轴 x＝－2ba＞0， 知①，③错误，④符合要求． 由②知 f(0)＝c＞0，∴ab＞0，∴x＝－2ba＜0，②错误．
6
基础诊断
考课点堂突总破结
诊断自测 1．思考辨析(在括号内打“√”或“×”)
(1)幂函数的图象都经过点(1,1)和(0,0)．( × ) (2)幂函数的图象不经过第四象限．( √ ) (3)二次函数 y＝ax2＋bx＋c，x∈R，不可能是偶函数．( × ) (4) 二 次 函 数 y ＝ ax2 ＋ bx ＋ c ， x ∈ [a， b] 的 最 值 一 定 是 4ac－b2
．
• ②顶点式：f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)． • ③零点式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)．
2025年新人教版高考数学一轮复习讲义 第二章 §2.6 二次函数与幂函数
2025年新人教版高考数学一轮复习讲义第二章§2.6 二次函数与幂函数1.通过具体实例，了解幂函数及其图象的变化规律.2.掌握二次函数的图象与性质(单调性、对称性、顶点、最值等).第一部分 落实主干知识第二部分 探究核心题型课时精练第一部分落实主干知识1.幂函数(1)幂函数的定义一般地，函数 叫做幂函数，其中x 是自变量，α是常数.(2)常见的五种幂函数的图象y ＝x α(3)幂函数的性质①幂函数在(0，＋∞)上都有定义；②当α>0时，幂函数的图象都过点 和 ，且在(0，＋∞)上单调递增；③当α<0时，幂函数的图象都过点 ，且在(0，＋∞)上单调递减；④当α为奇数时，y ＝x α为 ；当α为偶数时，y ＝x α为 .(1,1)(0,0)(1,1)奇函数偶函数2.二次函数(1)二次函数解析式的三种形式一般式：f (x )＝ .顶点式：f (x )＝a (x －m )2＋n (a ≠0)，顶点坐标为 .零点式：f (x )＝a (x －x 1)(x －x 2)(a ≠0)，x 1，x 2为f (x )的 .ax 2＋bx ＋c (a ≠0)(m ，n )零点(2)二次函数的图象和性质函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)y＝ax2＋bx＋c(a<0)图象(抛物线)函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)y＝ax2＋bx＋c(a<0)R定义域___值域______________________________对称轴x＝______顶点坐标_______________函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a >0)y ＝ax 2＋bx ＋c (a <0)奇偶性当b ＝0时是 函数，当b ≠0时是非奇非偶函数单调性偶减增增减1.判断下列结论是否正确.(请在括号中打“√”或“×”)(1)函数y ＝ 是幂函数.( )(2)若二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象恒在x 轴下方，则a <0且Δ<0.( )(3)二次函数y ＝a (x －1)2＋2的单调递增区间是[1，＋∞).( )(4)若幂函数y ＝x α是偶函数，则α为偶数.( )××√×1212x√1x23.(2023·南京模拟)已知函数f(x)＝x2－2x＋2，x∈(－2,2)，则函数f(x)的值域为A.(2,10)B.[1,2)√C.[2,10]D.[1,10)当x∈(－2,2)时，－3<x－1<1，则f(x)＝x2－2x＋2＝(x－1)2＋1∈[1,10).4.已知函数f(x)＝x2＋2(a－1)x＋2在区间(－∞，－3]上单调递减，则实数(－∞，4]a的取值范围是___________.由函数f(x)＝x2＋2(a－1)x＋2在区间(－∞，－3]上单调递减，即a≤4，故实数a的取值范围是(－∞，4].返回第二部分探究核心题型题型一 幂函数的图象与性质例1 (1)(2023·合肥模拟)如图所示，图中的曲线是幂函数y＝x n在第一象限的图象，已知n取±2，±四个值，则相对应曲线C1，C2，C3，C4的n 依次为√根据幂函数y＝x n的性质，在第一象限内的图象：(2)(2023·无锡模拟)“n＝1”是“幂函数f(x)＝(n2－3n＋3)x2n－3在(0，＋∞)上单调递减”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件√C.充要条件D.既不充分也不必要条件因为f(x)＝(n2－3n＋3)x2n－3是幂函数，所以n2－3n＋3＝1，即n2－3n＋2＝0，解得n＝1或n＝2，所以“n＝1”是“幂函数f(x)＝(n2－3n＋3)x2n－3在(0，＋∞)上单调递减”的充要条件.思维升华(1)对于幂函数图象的掌握只要抓住在第一象限内三条线分第一象限为六个区域，即x＝1，y＝1，y＝x所分区域.根据α<0,0<α<1，α＝1，α>1的取值确定位置后，其余象限部分由奇偶性决定.(2)在比较幂值的大小时，必须结合幂值的特点，选择适当的函数，借助其单调性进行比较.跟踪训练1 (1)幂函数y ＝ (0≤m ≤3，m ∈Z )的图象关于y 轴对称，且在(0，＋∞)上单调递增，则m 的值为A.0 B.2 C.3 D.2或3√22m m x+-当m＝0时，y＝x－2，由幂函数性质得，y＝x－2在(0，＋∞)上单调递减；当m＝1时，y＝x0，由幂函数性质得，y＝x0在(0，＋∞)上是常函数；当m＝2时，y＝x4，由幂函数性质得，图象关于y轴对称，y＝x4在(0，＋∞)上单调递增；当m＝3时，y＝x10，由幂函数性质得，图象关于y轴对称，在(0，＋∞)上单调递增.(2)(2023·临沂模拟)如图所示是函数y ＝ (m ，n 均为正整数且m ，n 互质)的图象，则√mn x由幂函数性质可知，y ＝与y ＝x 的图象恒过定点(1,1)，即在第一象限内的交点坐标为(1,1)，m n x mn x又y ＝ 的图象关于y 轴对称，mnx ∴y ＝ 为偶函数，mn x ()mn x mnx 又m ，n 互质，∴m 为偶数，n 为奇数.题型二 二次函数的解析式例2 已知二次函数f(x)满足f(2)＝－1，f(－1)＝－1，且f(x)的最大值是8，试确定该二次函数的解析式.方法一 (利用“一般式”解题)设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0).所以所求二次函数的解析式为f(x)＝－4x2＋4x＋7.方法二 (利用“顶点式”解题)设f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0).因为f(2)＝f(－1)，又根据题意，函数有最大值8，所以n＝8，解得a＝－4，方法三 (利用“零点式”解题)由已知得f(x)＋1＝0的两根为x1＝2，x2＝－1，故可设f(x)＋1＝a(x－2)(x＋1)(a≠0)，即f(x)＝ax2－ax－2a－1.解得a＝－4.故所求函数的解析式为f(x)＝－4x2＋4x＋7.思维升华求二次函数解析式的三个策略(1)已知三个点的坐标，宜选用一般式.(2)已知顶点坐标、对称轴、最大(小)值等，宜选用顶点式.(3)已知图象与x轴的两交点的坐标，宜选用零点式.跟踪训练2 已知二次函数f(x)的图象过点(0,3)，对称轴为直线x＝2，且f(x)＝x2－4x＋3方程f(x)＝0的两个根的平方和为10，则f(x)的解析式为________________.依题意，设函数f(x)＝a(x－2)2＋h(a≠0)，由二次函数f(x)的图象过点(0,3)，得f(0)＝3，所以4a＋h＝3，即h＝3－4a，所以f(x)＝a(x－2)2＋3－4a，令f(x)＝0，即a(x－2)2＋3－4a＝0，所以ax2－4ax＋3＝0，设方程的两根为x1，x2，所以f(x)＝x2－4x＋3.题型三 二次函数的图象与性质命题点1 二次函数的图象例3 (多选)(2023·银川模拟)已知二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c 的图象如图所示，则下列说法正确的是A.2a ＋b ＝0 B.4a ＋2b ＋c <0C.9a ＋3b ＋c <0D.abc <0√√√又因为f (0)＝c >0，所以abc <0.f (2)＝f (0)＝4a ＋2b ＋c >0，f (3)＝f (－1)＝9a ＋3b ＋c <0.命题点2 二次函数的单调性与最值例4 (2024·福州模拟)已知二次函数f(x)＝ax2－x＋2a－1.(1)若f(x)在区间[1,2]上单调递减，求a的取值范围；由题意知a≠0.所以f(x)在区间[1,2]上单调递减恒成立.(2)若a>0，设函数f(x)在区间[1,2]上的最小值为g(a)，求g(a)的表达式.f(x)在区间[1,2]上单调递增，此时g(a)＝f(1)＝3a－2.f(x)在区间[1,2]上单调递减，此时g(a)＝f(2)＝6a－3.微拓展二次函数定轴动区间和动轴定区间问题在含参的二次函数中，常常出现两种情况的讨论：(1)二次函数是确定的，但它的定义域区间是随参数而变化的，我们称这种情况是“定二次函数在动区间上的最值”.(2)二次函数随着参数的变化而变化，即其图象是运动的，但定义域区间是固定的，我们称这种情况是“动二次函数在定区间上的最值”.√所以f(x)在区间[a，b]上单调递增，(2)若函数f(x)＝x2－2bx＋3a在区间[0,1]上的最大值为M，最小值为m，则M－m的值√A.与a无关，与b有关B.与a有关，与b无关C.与a有关，且与b有关D.与a无关，且与b无关函数f(x)＝x2－2bx＋3a的图象开口向上，且对称轴为直线x＝b，①当b>1时，f(x)在[0,1]上单调递减，则M＝f(0)＝3a，m＝f(1)＝1－2b＋3a，此时M－m＝2b－1，故M－m的值与a无关，与b有关；②当b<0时，f(x)在[0,1]上单调递增，则M＝f(1)＝1－2b＋3a，m＝f(0)＝3a，此时M－m＝1－2b，故M－m的值与a无关，与b有关；③当0≤b≤1时，m＝f(b)＝3a－b2，∴M－m＝b2－2b＋1，故M－m的值与a无关，与b有关，∴M－m＝b2，故M－m的值与a无关，与b有关，综上，M－m的值与a无关，与b有关.思维升华二次函数在闭区间上的最值主要有三种类型：轴定区间定、轴动区间定、轴定区间动，不论哪种类型，解题的关键都是对称轴与区间的位置关系，当含有参数时，要依据对称轴与区间的位置关系进行分类讨论.跟踪训练3 (1)(2024·宣城模拟)已知y＝(x－m)(x－n)＋2 023(m<n)，且α，β(α<β)是方程y＝0的两根，则α，β，m，n的大小关系是A.α<m<n<βB.m<α<n<β√C.m<α<β<nD.α<m<β<n。
2025版高考数学一轮总复习第2章函数概念与基本初等函数Ⅰ第4讲幂函数与二次函数pptx课件
A．y＝x－1
1 B．y＝x－2
1 C．y＝x3
1 D．y＝x2
[解析] 选项A中函数的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，选项B中函 数的定义域为(0，＋∞)，选项C中函数的定义域为R，选项D中函数的定 义域为[0，＋∞)，故选C.
11
8．(2018·上海，7)已知 α∈－2，－1，－2，2，1，2，3.若幂函数
2
[解析] ∵f(x)的图象过点2， 2 ，
21
1
1
∴2α＝ 2 ＝2－2，∴α＝－2，∴f(x)＝x－2.
由 f(x)的图象可知，f(x)的减区间是(0，＋∞)．
3．(必修1P100T5改编)已知函数f(x)＝(m2－m－1)xm2＋m－3是幂函 数，且x∈(0，＋∞)时，f(x)单调递减，则m的值为( A )
m－3＝－3<0，符合题意，故m＝－1.故选A.
4．(必修1P53T2改编)二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图所 示，确定下列各式的正负：b___>___0，ac___<___0，a－b＋c___<___0.
b [解析] ∵a<0，－2a>0，∴b>0.
c ∵a＝x1x2<0，∴ac<0，a－b＋c＝f(－1)<0.
顶点坐标 奇偶性 对称轴
___－__2_ba_，__4_a_c4_－a__b_2_ _ 当___b_＝__0__时为偶函数
b 函数的图象关于直线 x＝－2a成轴对称
归纳拓展 1．二次函数解析式的三种形式： (1)一般式：f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)； (2)顶点式：f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)； (3)零点式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)． 2．一元二次不等式恒成立的条件： (1)“ax2＋bx＋c>0(a≠0)恒成立”的充要条件是“a>0，且Δ<0”． (2)“ax2＋bx＋c<0(a≠0)恒成立”的充要条件是“a<0，且Δ<0”．
幂函数与二次函数(一轮复习课件))
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1 个必会代表 函数 y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝x12 ，y＝x－1 可做为研究和学习 幂函数图象和性质的代表．
2 种必会方法 1. 函数 y＝f(x)对称轴的判断方法 对于二次函数 y＝f(x)对定义域内所有 x，若有 f(x1)＝f(x2)， 那么函数 y＝f(x)的图象关于 x＝x1＋2 x2对称． 2. 对于二次函数 y＝f(x)对定义域内所有 x，都有 f(a＋x)＝f(a －x)成立的充要条件是函数 y＝f(x)的图象关于直线 x＝a 对 称(a 为常数)．
当x＝－2ba时，函数有最大值________
(－2ba，4ac4－a b2)
函数的图象关于x＝－2ba成轴对称
第二章 第4讲
第2页
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4ac4－a b2一定是函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的最值吗？
第二章 第4讲
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例1 [2013·苏州调研]已知函数f(x)＝(m2－m－1)xm2＋
m－3是幂函数，且x∈(0，＋∞)时，f(x)是增函数，则m的
值为( )
A．－1
B．2
C．－1或2
D．3
第二章 第4讲
解析：令f(x)＝x－
1 2
＝
1 x
，则f(x)的定义域是{x|x>0}，
且在(0，＋∞)上单调递减，则原不等式等价于
a＋1>0， 3－2a>0， a＋1>3－2a，
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考点
考纲解读
1
二次函数的性质及应用 掌握含参数的二次函数的
最值、单调性,会利用分
类讨论解决问题.
2
二次函数与方程、不等式 会用函数研究方程和不等
、函数
式,结合其他函数研究二
次函数的
高考中常以二次函数为载体,考查数形结合及等价转化、函数 与方程的思想.在高考中对基础知识的考查多以选择题、填空题为 主,对知识技能的考查多出现与函数的性质、二次方程、不等式相 结合的综合性较强的解答题,极可能出现与导数相结合的解答题.
1.二次函数 (1)二次函数解析式的三种形式: ①一般式:y=ax2+bx+c(a≠0). ②顶点式:f(x)=a(x-k)2+h(其中点(k,h)为二次函数的顶点). ③零点式:f(x)=a(x-x1)(x-x2)(其中二次函数的零点为x1与x2). 2.二次函数的图象与性质
f(x)=ax2+bx+c
a>0
a<0
图象
Δ 定义域 值域
分Δ>0,Δ=0,Δ<0三种情况 R
4ac b2
[ 4 a ,+∞)
4ac b2
(-∞, 4 a ]
写在最后
成功的基础在于好的学习习惯
The foundation of success lies in good habits
6
谢谢聆听
·学习就是为了达到一定目的而努力去干, 是为一个目标去 战胜各种困难的过程,这个过程会充满压力、痛苦和挫折
Learning Is To Achieve A Certain Goal And Work Hard, Is A Process To Overcome Various Difficulties For A Goal
高三数学一轮复习课件之2.4二次函数与幂函数
42
(3)当 a＜0 时，f(x)＝ax2－2x 的图象开口向下且对称轴 x＝1a＜0， 在 y 轴的左侧，
所以 f(x)＝ax2－2x 在[0,1]上单调递减， 所以 f(x)min＝f(1)＝a－2.
a－2，a＜1， 综上所述，f(x)min＝－1a，a≥1.
43
[拓展探究] 若将本例中的函数改为 f(x)＝x2－2ax，其他不变， 应如何求解？
奇偶性
当 b＝0 时为偶函数
对称性
函数的图象关于直线 x＝－2ba对称
答案
2．幂函数
8
(1)定义：形如_y_＝__x_α (α∈R)的函数称为幂函数，其中 x 是自变量，
α 是常数．
(2)五种常见幂函数的图象与性质
函数特征性质 y＝x y＝x2 y＝x3
1
y＝x2
y＝x－1
图象
定义域
_R__ _R__ _R__ {_x_|_x_≥_0_}__ {_x_|_x_≠_0_}___
02 课堂题型全突破
导 03 真题自主验效果 航
04 课后限时集训
4
课前 知识全 通 关
5
1．二次函数 (1)二次函数解析式的三种形式 一般式：f(x)＝__a_x_2＋__b__x＋__c____ (a≠0)； 顶点式：f(x)＝a(x－h)2＋k(a≠0)，顶点坐标为_(_h_，__k_) _； 零点式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)，x1，x2 为 f(x)的零点．
解析答案
16
4．(教材改编)如图是①y＝xa；②y＝xb；③y＝xc 在第一象限的图 象，则 a，b，c 的大小关系为( )
A．c＜b＜a B．a＜b＜c C．b②③的指数大于零且 b＞c，①的指数小于零，因 此 b＞c＞a，故选 D.]
2024届新高考一轮复习北师大版 第2章 第4节 幂函数与二次函数 课件(54张)
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2．一元二次不等式恒成立的条件
若 f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，则当aΔ><00， 时恒有 f(x)>0，当aΔ<<00， 时，
恒有 f(x)<0.
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[思考辨析] 判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1) 二 次 函 数 y ＝ ax2 ＋ bx ＋ c(a≠0) ， x ∈ [m ， n] 的 最 值 一 定 是 4ac－b2 4a .( ) (2)在 y＝ax2＋bx＋c(a≠0)中，a 决定了图象的开口方向和在同一直角 坐标系中的开口大小．( )
B．(－∞，－210 )
C．(210 ，＋∞)
D．(－210 ，0)
C 由题意知aΔ><00 即a1>－020a<0 ，解得 a>210 .故选 C.
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3．幂函数 f(x)＝xa2－10a＋23(a∈Z)为偶函数，且 f(x)在区间(0，＋∞)
上是减函数，则 a 等于( )
A．3
B．4
C．5
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(3)函数
是幂函数．( )
(4)如果幂函数的图象与坐标轴相交，则交点一定是原点．( ) (5)当 n<0 时，幂函数 y＝xn 是定义域上的减函数．( )
答案：(1)× (2)√ (3)× (4)√ (5)×
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[对点查验]
1．若幂函数的图象经过点2，14 ，则它的单调递增区间是(
)
A．(0，＋∞)
B．[0，＋∞)
C．(－∞，＋∞)
D．(－∞，0)
D 设 f(x)＝xα，则 2α＝14 ，α＝－2，即 f(x)＝x－2，它是偶函数，单
调递增区间是(－∞，0).故选 D.