八年级全册全套试卷测试卷附答案
八年级上册数学 全册全套试卷测试卷(含答案解析)
∴∠DCF＝∠GCF，
在△CFG和△CFD中，
，
∴△CFG≌△CFD（SAS），
∴DF＝GF．∠CFD＝∠CFG
由（1）∠AFC＝120°得，
∴∠CFD＝∠CFG＝∠AFE＝60°，
∴∠AFG＝60°，
又∵∠AFE＝∠CFD＝60°，
∴∠AFE＝∠AFG，
在△AFG和△AFE中，
【详解】
（1）∵∠BAD=∠CAE=90°，
∴∠BAC+∠CAD=90°，∠CAD+∠DAE=90°，
∴∠BAC=∠DAE，
在△BAC和△DAE中，
，
∴△BAC≌△DAE（SAS）；
（2）∵∠CAE=90°，AC=AE，
∴∠E=45°，
由（1）知△BAC≌△DAE，
∴∠BCA=∠E=45°，
∵AF⊥BC，
3．已知：平面直角坐标系中，点A（a，b）的坐标满足|a﹣b|+b2﹣8b+16＝0．
（1）如图1，求证：OA是第一象限的角平分线；
（2）如图2，过A作OA的垂线，交x轴正半轴于点B，点M、N分别从O、A两点同时出发，在线段OA上以相同的速度相向运动（不包括点O和点A），过A作AE⊥BM交x轴于点E，连BM、NE，猜想∠ONE与∠NEA之间有何确定的数量关系，并证明你的猜想；
∴∠CFA=90°，
∴∠CAF=45°，
∴∠FAE=∠FAC+∠CAE=45°+90°=135°；
（3）延长BF到G，使得FG=FB，
∵AF⊥BG，
∴∠AFG=∠AFB=90°，
在△AFB和△AFG中，
，
∴△AFB≌△AFG（SAS），
∴AB=AG，∠ABF=∠G，
八年级上册数学 全册全套试卷测试卷(含答案解析)
八年级上册数学全册全套试卷测试卷（含答案解析）一、八年级数学全等三角形解答题压轴题（难）1．如图，△ABC中，D是BC的中点，过D点的直线GF交AC于F，交AC的平行线BG于G点，DE⊥DF，交AB于点E，连结EG、EF．（1）求证：BG＝CF；（2）请你判断BE+CF与EF的大小关系，并说明理由．【答案】（1）详见解析；（2）BE+CF＞EF，证明详见解析【解析】【分析】（1）先利用ASA判定△BGD≅CFD，从而得出BG=CF；（2）利用全等的性质可得GD=FD，再有DE⊥GF，从而得到EG=EF，两边之和大于第三边从而得出BE+CF＞EF．【详解】解：（1）∵BG∥AC，∴∠DBG＝∠DCF．∵D为BC的中点，∴BD＝CD又∵∠BDG＝∠CDF，在△BGD与△CFD中，∵DBG DCFBD CDBDG CDF∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴△BGD≌△CFD（ASA）．∴BG＝CF．（2）BE+CF＞EF．∵△BGD≌△CFD，∴GD＝FD，BG＝CF．又∵DE⊥FG，∴EG＝EF（垂直平分线到线段端点的距离相等）．∴在△EBG中，BE+BG＞EG，即BE+CF＞EF．【点睛】本题考查了三角形全等的判定和性质，要注意判定三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、AAS、ASA、HL．2．如图，AB=12cm，AC⊥AB，BD⊥AB ，AC=BD=9cm，点P在线段AB上以3 cm/s的速度，由A向B运动，同时点Q在线段BD上由B向D运动．（1）若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，当运动时间t=1（s），△ACP与△BPQ 是否全等？说明理由，并直接判断此时线段PC和线段PQ的位置关系；（2）将“AC⊥AB，BD⊥AB”改为“∠CAB=∠DBA”，其他条件不变．若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当点Q的运动速度为多少时，能使△ACP与△BPQ全等.（3）在图2的基础上延长AC，BD交于点E，使C，D分别是AE，BE中点，若点Q以（2）中的运动速度从点B出发，点P以原来速度从点A同时出发，都逆时针沿△ABE三边运动，求出经过多长时间点P与点Q第一次相遇．【答案】（1）△ACP≌△BPQ，理由见解析；线段PC与线段PQ垂直（2）1或32（3）9s 【解析】【分析】（1）利用SAS证得△ACP≌△BPQ，得出∠ACP=∠BPQ，进一步得出∠APC+∠BPQ=∠APC+∠ACP=90°得出结论即可；（2）由△ACP≌△BPQ，分两种情况：①AC=BP，AP=BQ，②AC=BQ，AP=BP，建立方程组求得答案即可．（3）因为V Q＜V P，只能是点P追上点Q，即点P比点Q多走PB+BQ的路程，据此列出方程，解这个方程即可求得．【详解】（1）当t=1时，AP=BQ=3，BP=AC=9，又∵∠A=∠B=90°，在△ACP与△BPQ中，AP BQA BAC BP=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ACP≌△BPQ（SAS），∴∠ACP=∠BPQ，∴∠APC+∠BPQ=∠APC+∠ACP=90°，∠CPQ=90°，则线段PC 与线段PQ 垂直.（2）设点Q 的运动速度x,①若△ACP ≌△BPQ ，则AC=BP ，AP=BQ ，912t t xt =-⎧⎨=⎩， 解得31t x =⎧⎨=⎩， ②若△ACP ≌△BPQ ，则AC=BQ ，AP=BP ，912xt t t =⎧⎨=-⎩解得632t x =⎧⎪⎨=⎪⎩， 综上所述，存在31t x =⎧⎨=⎩或632t x =⎧⎪⎨=⎪⎩使得△ACP 与△BPQ 全等. （3）因为V Q ＜V P ，只能是点P 追上点Q ，即点P 比点Q 多走PB+BQ 的路程，设经过x 秒后P 与Q 第一次相遇，∵AC=BD=9cm ，C ，D 分别是AE ，BD 的中点；∴EB=EA=18cm.当V Q =1时，依题意得3x=x+2×9，解得x=9；当V Q =32时， 依题意得3x=32x+2×9， 解得x=12.故经过9秒或12秒时P 与Q 第一次相遇.【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，解题的关键是熟练的掌握一元一次方程的性质与运算.3．如图1，在ABC ∆中，ACB ∠是直角，60B ∠=︒，AD 、CE 分别是BAC ∠、BCA ∠的平分线，AD 、CE 相交于点F ．（1）求出AFC ∠的度数；（2）判断FE 与FD 之间的数量关系并说明理由．（提示：在AC 上截取CG CD =，连接FG ．）（3）如图2，在△ABC ∆中，如果ACB ∠不是直角，而（1）中的其它条件不变，试判断线段AE 、CD 与AC 之间的数量关系并说明理由．【答案】（1）∠AFC ＝120°；（2）FE 与FD 之间的数量关系为：DF ＝EF ．理由见解析；（3）AC ＝AE+CD ．理由见解析．【解析】【分析】（1）根据三角形的内角和性质只要求出∠FAC ，∠ACF 即可解决问题;（2）根据在图2的 AC 上截取CG=CD ，证得△CFG ≌△CFD (SAS),得出DF= GF ；再根据ASA 证明△AFG ≌△AFE ，得EF=FG ，故得出EF=FD ；（3）根据(2) 的证明方法，在图3的AC 上截取AG=AE ，证得△EAF ≌△GAF (SAS)得出∠EFA=∠GFA ；再根据ASA 证明△FDC ≌△FGC ，得CD=CG 即可解决问题．【详解】（1）解：∵∠ACB ＝90°，∠B ＝60°，∴∠BAC ＝90°﹣60°＝30°，∵AD 、CE 分别是∠BAC 、∠BCA 的平分线，∴∠FAC ＝15°，∠FCA ＝45°，∴∠AFC ＝180°﹣（∠FAC+∠ACF ）＝120°（2）解：FE 与FD 之间的数量关系为：DF ＝EF ．理由：如图2，在AC 上截取CG ＝CD ，∵CE 是∠BCA 的平分线，∴∠DCF ＝∠GCF ，在△CFG 和△CFD 中，CG CDDCF GCFCF CF=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△CFG≌△CFD（SAS），∴DF＝GF．∠CFD＝∠CFG由（1）∠AFC＝120°得，∴∠CFD＝∠CFG＝∠AFE＝60°，∴∠AFG＝60°，又∵∠AFE＝∠CFD＝60°，∴∠AFE＝∠AFG，在△AFG和△AFE中，AFE AFGAF AFEAF GAF∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴△AFG≌△AFE（ASA），∴EF＝GF，∴DF＝EF；（3）结论：AC＝AE+CD．理由：如图3，在AC上截取AG＝AE，同（2）可得，△EAF≌△GAF（SAS），∴∠EFA＝∠GFA，AG＝AE∵∠BAC+∠BCA=180°-∠B=180°-60°=120°∴∠AFC＝180°﹣(∠FAC+∠FCA)＝180°-12(∠BAC+∠BCA)=180°-12×120°=120°，∴∠EFA＝∠GFA＝180°﹣120°＝60°＝∠DFC，∴∠CFG＝∠CFD＝60°，同（2）可得，△FDC≌△FGC（ASA），∴CD＝CG，∴AC＝AG+CG＝AE+CD．【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质的运用，全等三角形的判定和性质是证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造全等三角形．4．已知4AB cm=，3AC BD cm==.点P在AB上以1/cm s的速度由点A向点B运动，同时点Q在BD上由点B向点D运动，它们运动的时间为()t s．（1）如图①，AC AB⊥，BD AB⊥，若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，当1t=时，ACP△与BPQ是否全等，请说明理由，并判断此时线段PC和线段PQ的位置关系；（2）如图②，将图①中的“AC AB⊥，BD AB⊥”为改“60CAB DBA∠=∠=︒”，其他条件不变．设点Q的运动速度为/xcm s，是否存在实数x，使得ACP△与BPQ 全等？若存在，求出相应的x、t的值；若不存在，请说明理由．【答案】（1）全等，PC与PQ垂直；（2）存在，11tx=⎧⎨=⎩或232tx=⎧⎪⎨=⎪⎩【解析】【分析】（1）利用SAS证得△ACP≌△BPQ，得出∠ACP=∠BPQ，进一步得出∠APC+∠BPQ=∠APC+∠ACP=90°得出结论即可；（2）由△ACP≌△BPQ，分两种情况：①AC=BP，AP=BQ，②AC=BQ，AP=BP，建立方程组求得答案即可．【详解】解：（1）当t=1时，AP=BQ=1，BP=AC=3，又∠A=∠B=90°，在△ACP和△BPQ中，AP BQA BAC BP=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ACP≌△BPQ（SAS）．∴∠ACP=∠BPQ，∴∠APC+∠BPQ=∠APC+∠ACP=90°．∴∠CPQ=90°，即线段PC与线段PQ垂直．（2）①若△ACP≌△BPQ，则AC=BP，AP=BQ，34tt xt=-⎧⎨=⎩，解得11tx=⎧⎨=⎩，②若△ACP≌△BQP，则AC=BQ，AP=BP，34xtt t=⎧⎨=-⎩，解得232tx=⎧⎪⎨=⎪⎩，综上所述，存在11tx=⎧⎨=⎩或232tx=⎧⎪⎨=⎪⎩使得△ACP与△BPQ全等．【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，在解题时注意分类讨论思想的运用．5．如图①，在ABC中，90BAC∠=︒，AB AC=，AE是过A点的一条直线，且B、C在AE的异侧，BD AE⊥于D，CE AE⊥于E.（1）求证：BD DE CE=+.（2）若将直线AE绕点A旋转到图②的位置时（BD CE<），其余条件不变，问BD与DE、CE的关系如何？请予以证明.【答案】（1）见解析；（2）BD=DE-CE，理由见解析.【解析】【分析】（1）根据已知利用AAS判定△ABD≌△CAE从而得到BD=AE，AD=CE，因为AE=AD+DE，所以BD=DE+CE；（2）根据已知利用AAS判定△ABD≌△CAE从而得到BD=AE，AD=CE，因为AD+AE=BD+CE，所以BD=DE-CE．【详解】解：（1）∵∠BAC=90°，BD ⊥AE ，CE ⊥AE ，∴∠BDA=∠AEC=90°，∵∠ABD+∠BAE=90°，∠CAE+∠BAE=90°∴∠ABD=∠CAE ，∵AB=AC ，在△ABD 和△CAE 中，BDA AEC ABD CAE AB AC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ABD ≌△CAE （AAS ），∴BD=AE ，AD=CE ，∵AE=AD+DE ，∴BD=DE+CE ；（2）BD 与DE 、CE 的数量关系是BD=DE-CE ，理由如下：∵∠BAC=90°，BD ⊥AE ，CE ⊥AE ，∴∠BDA=∠AEC=90°，∴∠ABD+∠DAB=∠DAB+∠CAE ，∴∠ABD=∠CAE ，∵AB=AC ，在△ABD 和△CAE 中，BDA AEC ABD CAE AB AC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ABD ≌△CAE （AAS ），∴BD=AE ，AD=CE ，∴AD+AE=BD+CE ，∵DE=BD+CE ，∴BD=DE-CE ．【点睛】此题主要考查全等三角形的判定和性质，常用的判定方法有SSS ，SAS ，AAS ，HL 等．这种类型的题目经常考到，要注意掌握．二、八年级数学 轴对称解答题压轴题（难）6．如图，在ABC △中，已知AD 是BC 边上的中线，E 是AD 上一点，且BE AC =，延长BE 交AC 于点F ，求证：AF EF =．【答案】证明见解析【解析】【分析】延长AD 到点G ，使得AD DG =，连接BG ，结合D 是BC 的中点，易证△ADC 和△GDB 全等，利用全等三角形性质以及等量代换，得到△AEF 中的两个角相等，再根据等角对等边证得AE=EF.【详解】如图，延长AD 到点G ，延长AD 到点G ，使得AD DG =，连接BG ．∵AD 是BC 边上的中线，∴DC DB =． 在ADC 和GDB △中，AD DG ADC GDB DC DB =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩（对顶角相等）， ∴ADC ≌GDB △（SAS ）．∴CAD G ∠=∠，BG AC =．又BE AC =，∴BE BG =．∴BED G ∠=∠．∵BED AEF ∠=∠∴AEF CAD ∠=∠，即AEF FAE ∠=∠∴AF EF =．【点睛】本题考查的是全等三角形的判定与性质，根据题意构造全等三角形是解答本题的关键.7．（1）已知△ABC中，∠A＝90°，∠B＝67.5°，请画一条直线，把这个三角形分割成两个等腰三角形．（请你选用下面给出的备用图，把所有不同的分割方法都画出来．只需画图，不必说明理由，但要在图中标出相等两角的度数）（2）已知△ABC中，∠C是其最小的内角，过顶点B的一条直线把这个三角形分割成了两个等腰三角形，请探求∠ABC与∠C之间的关系．【答案】(1)图形见解析(2) ∠ABC与∠C之间的关系是∠ABC＝135°－34∠C或∠ABC＝3∠C或∠ABC＝180°－3∠C或∠ABC＝90°，∠C是小于45°的任意锐角．【解析】试题分析：（1）已知角度，要分割成两个等腰三角形，可以运用直角三角形、等腰三角形性质结合三角形内角和定理，先计算出可能的角度，或者先从草图中确认可能的情况，及角度，然后画上．（2）在（1）的基础上，由“特殊”到“一般”，需要把直角三角形分成两个等腰三角形的各种情形列方程，可得出角与角之间的关系．试题解析：(1)如图①②(共有2种不同的分割法)．(2)设∠ABC＝y，∠C＝x，过点B的直线交边AC于点D.在△DBC中，①若∠C是顶角，如图，则∠CBD＝∠CDB＝90°－12x，∠A＝180°－x－y.故∠ADB＝180°－∠CDB＝90°＋12x＞90°，此时只能有∠A＝∠ABD，即180°－x－y＝y－1902x⎛⎫-⎪⎝⎭，∴3x＋4y＝540°，∴∠ABC＝135°－34∠C.②若∠C是底角，第一种情况：如图，当DB＝DC时，∠DB C＝x.在△ABD中，∠ADB＝2x，∠ABD＝y－x.若AB＝AD，则2x＝y－x，此时有y＝3x，∴∠ABC＝3∠C.若AB＝BD，则180°－x－y＝2x，此时有3x＋y＝180°，∴∠ABC＝180°－3∠C.若AD＝BD，则180°－x－y＝y－x，此时有y＝90°，即∠ABC＝90°，∠C为小于45°的任意锐角．第二种情况：如图，当BD＝BC时，∠BDC＝x，∠ADB＝180°－x＞90°，此时只能有AD＝BD，∴∠A＝∠ABD＝12∠BDC＝12∠C＜∠C，这与题设∠C是最小角矛盾．∴当∠C是底角时，BD＝BC不成立．综上所述，∠ABC与∠C之间的关系是∠ABC＝135°－34∠C或∠ABC＝3∠C或∠ABC＝180°－3∠C或∠ABC＝90°，∠C是小于45°的任意锐角．点睛：本题考查了等腰三角形的性质；第（1）问是计算与作图相结合的探索．本问对学生运用作图工具的能力，以及运用直角三角形、等腰三角形性质等基础知识解决问题的能力都有较高的要求．第（2）问在第（1）问的基础上，由“特殊”到“一般”，“分类讨论”把直角三角形分成两个等腰三角形的各种情形并结合“方程思想”探究角与角之间的关系．本题不仅趣味性强，创造性强，而且渗透了由“特殊”到“一般”、“分类讨论”、“方程思想”、“转化思想”等数学思想，是一道不可多得的好题．8．数学课上，同学们探究下面命题的正确性，顶角为36°的等腰三角形我们称之为黄金三角形，“黄金三角形“具有一种特性，即经过它某一顶点的一条直线可以把它分成两个小等腰三角形，为此，请你，解答问题：（1）已知如图1：黄金三角形△ABC中，∠A=36°，直线BD平分∠ABC交AC于点D，求证：△ABD和△DBC都是等腰三角形；（2）如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，请你设计三种不同的方法，将△ABC分割成三个等腰三角形，不要求写出画法，不要求证明，但是要标出所分得的每个三角形的各内角的度数．（3）已知一个三角形可以被分成两个等腰三角形，若原三角形的一个内角为36°，求原三角形的最大内角的所有可能值．【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）最大角的可能值为72°，90°，108°，126°，132°【解析】【分析】（1）通过角度转换得到∠ABD=∠BAD，和∠BDC=72°=∠C，即可判断；（2）根据等腰三角形的两底角相等及三角形内角和定理进行解答即可；（3）设原△ABD中有一个角为36°，可分成两个等腰三角形，逐个讨论：①当分割的直线过顶点B时②当分割三角形的直线过点D时情况和过点B一样的，③当分割三角形的直线过点A时，在分别求出最大角的度数即可.【详解】解：（1）证明：∵∠ABC=（180-36）÷2=72；BD平分∠ABC，∠ABD=72÷2=36°，∴∠ABD=∠BAD，∴△ABD为等腰三角形，∴∠BDC=72°=∠C，∴△BCD为等腰三角形；（2）根据等腰三角形的两底角相等及三角形内角和定理作出，如图所示：（3）设原△ABD中有一个角为36°，可分成两个等腰三角形，逐个讨论：①当分割的直线过顶点B时，【1】：第一个等腰三角形ABC以A为顶点:则第二个等腰三角形BCD只可能以C为顶点此时∠A=36°,∠D=36°，∠B=72＋36=108°，最大角的值为108°；【2】：第一个等腰三角形ABC以B为顶点：第二个等腰三角形BCD只可能以C为顶点此时：∠A=36°,∠D=18°，∠B=108+18=126°，最大角的值为126°；【3】第一个等腰三角形ABC以C为顶点：第二个等腰三角形BCD有三种情况△BCD以B为顶点：∠A=36°，∠D=72°，∴∠ABD=72°，最大角的值为72°；△BCD 以C 为顶点：∠A=36°，∠D=54°，∴∠ABD=90°，最大角的值为90°；△BCD 以D 为顶点：∠A=36°，∠D=36°∴∠ABD=108°，最大角的值为108°；②当分割三角形的直线过点D 时情况和过点B 一样的；③当分割三角形的直线过点A 时，此时∠A=36°，∠D=12°，∠B=132°，最大角的值为132°；综上所述：最大角的可能值为72°，90°，108°，126°，132°.【点睛】本题是对三角形知识的综合考查，熟练掌握等腰三角形的性质和角度转换是解决本题的关键，难度较大，分类讨论是解决本题的关键.9．如图，在ABC ∆中，CE 为三角形的角平分线，AD CE ⊥于点F 交BC 于点D （1）若9628BAC B ︒︒∠=∠=，，直接写出BAD ∠= 度（2）若2ACB B ∠=∠，①求证：2AB CF =②若 ,CF a EF b ==，直接写出BD CD= （用含 ,a b 的式子表示）【答案】（1）34；（2）①见详解；②2b a b- 【解析】【分析】 （1）由三角形内角和定理和角平分线定义即可得出答案；（2）①证明B BCE ∠=∠，得出BE=CE ，过点A 作//AH BC 交CE 与点H ，则,H BCE ACE EAH B ∠=∠=∠∠=∠，得出AH=AC ，H EAH ∠=∠，得出AE=HE ，由等腰三角形的性质可得出HF=CF ，即可得出结论；②证明AHF DCF ≅，得出AH=DC ，求出HF=CF=a ，HE=HF-EF=a-b ，CE=a+b ，由 //AH BC 得出AH AE a b BC BE a b-==+，进而得出结论． 【详解】 解：（1）∵9628BAC B ︒︒∠=∠=，，∴180962856ACB ∠=︒-︒-︒=︒，∵CE 为三角形的角平分线，∴1282ACE ACB ∠=∠=︒， ∵AD CE ⊥，∴902862CAF ∠=︒-︒=︒，∴966234BAD ∠=︒-︒=︒．故答案为：34；（2）①证明：∵22ACB B BCE ∠=∠=∠∴B BCE ∠=∠∴BE CE =过点A 作//AH BC 交CE 与点H ，如图所示：则,H BCE ACE EAH B ∠=∠=∠∠=∠∴AH=AC ，H EAH ∠=∠∴AE=HE∵AD CE ⊥∴HF=CF∴AB=HC=2CF ；②在AHF △和DCF 中，H DCF HF CFAFH DFC ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴AHF DCF ≅∴AH=DC∵,CF a EF b == ∴ HF CF a ==，由①得 AE HE HF EF a b ==-=-， BE CE a b ==+∵ //AH BC ∴AH AE a b BC BE a b -==+ ∴CD a b BC a b -=+ ∴2BD b CD a b=-． 故答案为：2b a b -． 【点睛】本题考查的知识点是全等三角形的判定及其性质、等腰三角形的判定及其性质、三角形的内角和定理、三角形的角平分线定理等，掌握以上知识点是解此题的关键．10．定义：如果两条线段将一个三角形分成3个等腰三角形，我们把这两条线段．．．．叫做这个三角形的三分线.（1）图①是顶角为36︒的等腰三角形，这个三角形的三分线已经画出，请你在图②中用不同于图①的方法画出顶角为36︒的等腰三角形的三分线，并标注每个等腰三角形顶角的度数（若两种方法分得的三角形成3对全等三角形，则视为同一种）；（2）图③是顶角为45︒的等腰三角形，请你在图③中画出顶角为45︒的等腰三角形的三分线，并标注每个等腰三角形顶角的度数.（3）ABC 中，30B ∠=︒，AD 和DE 是ABC 的三分线，点D 在BC 边上，点E 在AC 边上，且AD BD =，DE CE =，设c x ∠=︒，则x 所有可能的值为_________.【答案】（1）见详解；（2）见详解；（3）20或40.【解析】【分析】(1)作底角的平分线，再作底边的平行线，即可得到三分线；(2)过底角定点作对边的高，形成一个等腰直角三角形和一个直角三角形，然后再构造一个等腰直角三角形，即可.(3)根据题意，先确定30°角然后确定一边为BA ，一边为BC ，再固定BA 的长，进而确定D 点，分别考虑AD 为等腰三角形的腰和底边，画出示意图，列出关于x 的方程，即可得到答案.【详解】（1）如图所示：（2）如图所示：（3）①当AD=AE 时，如图4，∵DE CE =，c x ∠=︒，∴∠EDB=x °，∴∠ADE=∠AED=2x °，∵AD BD =，∴∠BAD=∠B=30°，∴30+30=2x+x ，解得：x=20；②当AD=DE 时，如图5，∵DE CE =，c x ∠=︒，∴∠EDB=x °，∴∠DAE=∠AED=2x °，∵AD BD =，∴∠BAD=∠B=30°，∴30+30+2x+x=180，解得：x=40.③当AE=DE 时，则∠EAD=∠EDA=1802(90)2x x -=-， ∴∠ADC=∠EDA+∠EDC=(90-x)+x=90°又∵∠ADC=30+30=60°，∴这种情况不存在.∴x 所有可能的值为20或40.故答案是：20或40图4 图5【点睛】本题主要考查等腰三角形的判定和性质定理的综合应用，分类讨论，画出图形，是解题的关键.三、八年级数学整式的乘法与因式分解解答题压轴题（难）11．利用我们学过的知识，可以导出下面这个等式：()()()12222222a b c ab bc ac a b b c c a ⎡⎤++---=-+-+-⎣⎦． 该等式从左到右的变形，不仅保持了结构的对称性，还体现了数学的和谐、简洁美． （1）请你展开右边检验这个等式的正确性；（2）利用上面的式子计算：222201820192020201820192019202020182020++-⨯-⨯-⨯．【答案】（1）见解析；（2）3．【解析】【分析】（1）根据完全平方公式和合并同类项的方法可以将等式右边的式子进行化简，从而可以得出结论；（2）根据题目中的等式可以求得所求式子的值．【详解】解：（1）12[（a-b ）2+（b-c ）2+（c-a ）2] =12（a 2-2ab+b 2+b 2-2bc+c 2+a 2-2ac+c 2） =12×（2a 2+2b 2+2c 2-2ab-2bc-2ac ） =a 2+b 2+c 2-ab-bc-ac ，故a 2+b 2+c 2-ab-bc-ac=12[（a-b ）2+（b-c ）2+（c-a ）2]正确； （2）20182+20192+20202-2018×2019-2019×2020-2018×2020 =12×[（2018-2019）2+（2019-2020）2+（2020-2018）2] =12×（1+1+4） =12×6 =3．【点睛】本题考查因式分解的应用，解答本题的关键是明确题意，熟练掌握完全平方公式并能灵活运用．12．你会对多项式(x 2+5x+2)(x 2+5x+3)﹣12分解因式吗？对结构较复杂的多项式，若把其中某些部分看成一个整体，用新字母代替(即换元)，能使复杂的问题简单化、明朗化．从换元的个数看，有一元代换、二元代换等． 对于(x 2+5x+2)(x 2+5x+3)﹣12． 解法一：设x 2+5x ＝y ，则原式＝(y+2)(y+3)﹣12＝y 2+5y ﹣6＝(y+6)(y ﹣1) ＝(x 2+5x+6)(x 2+5x ﹣1)＝(x+2)(x+3)(x 2+5x ﹣1)． 解法二：设x 2+5x+2＝y ，则原式＝y(y+1)﹣12＝y 2+y ﹣12＝(y+4)(y ﹣3) ＝(x 2+5x+6)(x 2+5x ﹣1)＝(x+2)(x+3)(x 2+5x ﹣1)． 解法三：设x 2+2＝m ，5x ＝n ，则原式＝(m+n)(m+n+1)﹣12＝(m+n)2+(m+n)﹣12＝(m+n+4)(m+n ﹣3) ＝(x 2+5x+6)(x 2+5x ﹣1)＝(x+2)(x+3)(x 2+5x ﹣1)． 按照上面介绍的方法对下列多项式分解因式： (1)(x 2+x ﹣4)(x 2+x+3)+10； (2)(x+1)(x+2)(x+3)(x+6)+x 2； (3)(x+y ﹣2xy)(x+y ﹣2)+(xy ﹣1)2． 【答案】（1） (x+2)(x-1) (2 x x ++1) (2)(266x x ++)2 (3) (x+y-xy-1)2 【解析】 【分析】（1）令m=2x x +,原式=()()4m 310m -++因式分解即可；（2）()()()()21236x x x x x +++++=(276x x ++)(256x x ++)+2x ,令n=256x x ++，再将原式=（n+2）n+x 2进行因式分解即可； （3）令a=x+y,b=xy ，代入原式即可因式分解. 【详解】 （1）令m=2x x +, 原式=()()4m 310m -++ =m 2-m-2=(m-2)(m+1) = (2x x +-2)(2x x ++1) =(x+2)(x-1) (2x x ++1)(2)()()()()21236x x x x x +++++=(276x x ++)(256x x ++)+2x ,令n=256x x ++， 原式=（n+2）n+x 2=n 2+2n+x 2 =(n+x)2=(266x x ++)2(3) 令a=x+y,b=xy ，原式=()()()2221a b a b --+- =(a-b)2-2(a-b)+1 =(a-b-1)2 =(x+y-xy-1)2 【点睛】此题主要考查复杂的因式分解，解题的关键是读懂材料学会材料中因式分解的方法.13．阅读以下文字并解决问题：对于形如222x ax a ++这样的二次三项式，我们可以直接用公式法把它分解成()2x a +的形式，但对于二次三项式2627x x +-，就不能直接用公式法分解了。
人教版八年级上册数学 全册全套试卷测试卷附答案
人教版八年级上册数学 全册全套试卷测试卷附答案一、八年级数学三角形填空题（难）1．如图，在△ABC 中，∠C =90°，BC =8cm ，AC =6cm ，点E 是BC 的中点，动点P 从A 点出发，先以每秒2cm 的速度沿A →C 运动，然后以1cm /s 的速度沿C →B 运动．若设点P 运动的时间是t 秒，那么当t =___________________，△APE 的面积等于6．【答案】1.5或5或9【解析】【分析】分为两种情况讨论：当点P 在AC 上时：当点P 在BC 上时，根据三角形的面积公式建立方程求出其解即可．【详解】如图1，当点P 在AC 上．∵△ABC 中，∠C =90°，BC =8cm ，AC =6cm ，点E 是BC 的中点，∴CE =4，AP =2t ．∵△APE 的面积等于6，∴S △APE =12AP •CE =12AP ×4=6．∵AP =3，∴t =1.5． 如图2，当点P 在BC 上．则t ＞3∵E 是DC 的中点，∴BE =CE =4． ∵PE ()43=7-PE t t =-- ，∴S =12EP •AC =12•EP ×6=6，∴EP =2，∴t =5或t =9． 总上所述，当t =1.5或5或9时，△APE 的面积会等于6．故答案为1.5或5或9．【点睛】本题考查了直角三角形的性质的运用，三角形的面积公式的运用，解答时灵活运用三角形的面积公式求解是关键．2．如图，已知四边形ABCD 中，对角线BD 平分∠ABC ，∠BAC=64°，∠BCD+∠DCA=180°，那么∠BDC 为_________度.【答案】32【解析】【分析】过C点作∠ACE=∠CBD，根据三角形内角和为180°，以及等量关系可得∠ECD=∠BDC，根据角平分线的定义可得∠ABD=∠CBD，再根据三角形内角和为180°，以及等量关系可得∠BDC的度数．【详解】过C点作∠ACE=∠CBD，∵∠BCD+∠DCA=180°，∠BCD+∠CBD+∠BDC=180°，∴∠ECD=∠BDC，∵对角线BD平分∠ABC，∴∠ABD=∠CBD，∴∠ABD=∠ACE，∴∠BAC=∠CEB=64°，∴∠BDC=12∠CEB=32°．故答案为：32．【点睛】此题考查了三角形内角与外角，三角形内角和为180°，三角形的一个外角等于和它不相邻的两个外角的和．3．如图，有一块直角三角板XYZ放置在△ABC上，三角板XYZ的两条直角边XY、XZ改变位置，但始终满足经过B、C两点．如果△ABC中，∠A＝52°，则∠ABX＋∠ACX=_________________．【答案】38°【解析】∠A＝52°，∴∠ABC+∠ACB=128°，∠XBC+∠XCB=90°，∴∠ABX＋∠ACX=128°-90°=38°.4．一个多边形的内角和是外角和的72倍，那么这个多边形的边数为_______.【答案】9【解析】【分析】根据多边形的内角和公式（n-2）•180°与外角和定理列出方程，然后求解即可．【详解】解：设这个多边形是n边形，根据题意得，（n-2）•180°=72×360°，解得：n=9．故答案为：9．【点睛】本题考查了多边形的内角和公式与外角和定理，多边形的外角和与边数无关，任何多边形的外角和都是360°．5．已知a，b，c是△ABC的三边长，a，b满足|a﹣7|+（b﹣1）2=0，c为奇数，则c=_____．【答案】7【解析】【分析】根据非负数的性质列式求出a、b的值，再根据三角形的任意两边之和大于第三边，两边之差小于第三边求出c的取值范围，再根据c是奇数求出c的值．【详解】∵a ，b 满足|a ﹣7|+（b ﹣1）2=0，∴a ﹣7=0，b ﹣1=0，解得a=7，b=1，∵7﹣1=6，7+1=8，∴68c <<，又∵c 为奇数，∴c=7，故答案为7．【点睛】本题考查非负数的性质：偶次方，解题的关键是明确题意，明确三角形三边的关系．6．如图，五边形ABCDE 的每一个内角都相等，则外角CBF =∠__________．【答案】72︒【解析】【分析】多边形的外角和等于360度，依此列出算式计算即可求解．【详解】360°÷5=72°．故外角∠CBF 等于72°．故答案为：72︒．【点睛】此题考查了多边形内角与外角，关键是熟悉多边形的外角和等于360度的知识点．二、八年级数学三角形选择题（难）7．如图，ABC ∆中，100ABC ∠=︒，且AEF AFE ∠=∠，CFD CDF ∠=∠，则EFD ∠ 的度数为( )A ．80°B ．60°C ．40°D ．20°【答案】C【解析】【分析】 连接FB ，根据三角形内角和和外角知识，进行角度计算即可．【详解】解：如图连接FB ，∵AEF AFE ∠=∠，CFD CDF ∠=∠，∴AEF AFE EFB EBF ∠=∠=∠+∠，CFD CDF BFD FBD ∠=∠=∠+∠ ∴AFE CFD EFB EBF BFD FBD ∠+∠=∠+∠+∠+∠，即AFE CFD EFD EBD ∠+∠=∠+∠，又∵180AFE EFD DFC ∠+∠+∠=︒，∴2180EFD EBD ∠+∠=︒，∵100ABC ∠=︒， ∴180100=402EFD ︒-︒∠=︒， 故选：C ．【点睛】此题考查三角形内角和和外角定义，掌握三角形内角和为180°，三角形一个外角等于不相邻两内角之和是解题关键．8．适合下列条件的△ABC 中, 直角三角形的个数为 ①111345a b c ，，；===②6a =，∠A =45°;③∠A =32°, ∠B =58°；④72425a b c ===，，；⑤22 4.a b c ===，，⑥::3:4:5a b c =⑦::12:13:15A B C ∠∠∠=⑹5a b c === A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个【答案】C【解析】 根据勾股定理的逆定理，可分别求出各边的平方，然后计算判断：222111+345≠（）（）（），故①不能构成直角三角形；当a=6，∠A=45°时，②不足以判定该三角形是直角三角形；根据直角三角形的两锐角互余，可由∠A+∠B=90°，可知③是直角三角形；根据72=49，242=576，252=625，可知72+242=252，故④能够成直角三角形；由三角形的三边关系，2+2=4可知⑤不能构成三角形；令a=3x ，b=4x ，c=5x ，可知a 2+b 2=c 2，故⑥能够成直角三角形；根据三角形的内角和可知⑦不等构成直角三角形；由a 2=5，b 2=20，c 2=25，可知a 2+b 2=c 2，故⑧能够成直角三角形.故选：C.点睛：此题主要考查了直角三角形的判定，解题关键是根据角的关系，两锐角互余，和边的关系，即勾股定理的逆定理，可直接求解判断即可，比较简单.9．一个多边形的每个内角都相等，并且它的一个外角与一个内角的比为1:3，则这个多边形为（ ）A ．三角形B ．四边形C ．六边形D ．八边形【答案】D【解析】【分析】一个外角与一个内角的比为1 : 3，则内角和是外角和的3倍，根据多边形的外角和是360°，即可求得多边形的内角的度数，依据多边形的内角和公式即可求解．【详解】解：多边形的内角和是：360°×3=1080°．设多边形的边数是n ，则（n-2）•180=1080，解得：n=8．即这个多边形是正八边形．故选D ．【点睛】本题考查了多边形的内角和定理以及多边形的外角和定理，注意多边形的外角和不随边数的变化而变化．10．如图，将一张含有30角的三角形纸片的两个顶点叠放在矩形的两条对边上，若∠的大小为（）∠=，则1244α-A．14B．16C．90α-D．44【答案】A【解析】分析：依据平行线的性质，即可得到∠2=∠3=44°，再根据三角形外角性质，可得∠3=∠1+30°，进而得出结论．详解：如图，∵矩形的对边平行，∴∠2=∠3=44°，根据三角形外角性质，可得：∠3=∠1+30°，∴∠1=44°﹣30°=14°．故选A．点睛：本题主要考查了平行线的性质以及三角形外角性质的运用，解题时注意：两直线平行，同位角相等．11．如图，把△ABC沿EF对折，叠合后的图形如图所示．若∠A=60°，∠1=85°，则∠2的度数（）A．24°B．25°C．30°D．35°【答案】D【解析】【分析】首先根据三角形内角和定理可得∠AEF+∠AFE=120°，再根据邻补角的性质可得∠FEB+∠EFC=360°-120°=240°，再根据由折叠可得：∠B′EF+∠EFC′=∠FEB+∠EFC=240°，然后计算出∠1+∠2的度数，进而得到答案．【详解】解：∵∠A=60°，∴∠AEF+∠AFE=180°-60°=120°，∴∠FEB+∠EFC=360°-120°=240°，∵由折叠可得：∠B ′EF+∠EFC ′=∠FEB+∠EFC=240°，∴∠1+∠2=240°-120°=120°，∵∠1=85°，∴∠2=120°-85°=35°.故选：D ．【点睛】此题主要考查了翻折变换，关键是根据题意得到翻折以后，哪些角是对应相等的．12．如图，在△ABC 中，∠ABC 的平分线与∠ACB 的外角平分线相交于D 点，∠A=50°，则∠D=（ ）A ．15°B ．20°C ．25°D ．30°【答案】C【解析】根据角平分线的定义和三角形的外角的性质即可得到∠D=12∠A ． 解：∵∠ABC 的平分线与∠ACB 的外角平分线相交于D 点， ∴∠1=12∠ACE ，∠2=12∠ABC ， 又∠D=∠1﹣∠2，∠A=∠ACE ﹣∠ABC ，∴∠D=12∠A=25°． 故选C ．三、八年级数学全等三角形填空题（难）13．如图，在ABC ∆和ADE ∆中，90BAC DAE ∠=∠=︒，AB AC =，AD AE =，C ，D ，E 三点在同一条直线上，连接BD ，则下列结论正确的是___________.①ABD ACE ∆≅∆②45ACE DBC ∠+∠=︒③BD CE ⊥④180EAB DBC ∠+∠=︒【答案】①②③④【解析】【分析】根据全等三角形的判定和性质，以及等腰三角形的性质解答即可．【详解】解：∵∠BAC=∠DAE=90°，∴∠BAC+∠DAC=∠DAE+∠DAC ，即：∠BAD=∠CAE ，∵AB=AC ，AE=AD ，∴△BAD ≌△CAE （SAS ），故①正确；∵△BAD ≌△CAE ，∴∠ABD=∠ACE ，∵∠ABD+∠DBC=45°，∴∠ACE+∠DBC=45°，故②正确；∴∠DBC+∠DCB=∠DBC+∠ACE+∠ACB=90°，则BD ⊥CE ，故③正确；∵90BAC DAE ∠=∠=︒，∴∠BAE+∠DAC=180°，∵∠ADB=∠E=45°，∴DAC DBC ∠=∠，∴180EAB DBC ∠+∠=︒，故④正确；故答案为：①②③④．【点睛】此题主要考查了全等三角形的判定及性质，以及等腰三角形的性质，注意细心分析，熟练应用全等三角形的判定以及等腰三角形的性质是解决问题的关键．14．如图，AD ⊥BC 于 D ，且 DC ＝AB ＋BD ，若∠BAC ＝108°，则∠C 的度数是______度．【答案】24【解析】【分析】在DC 上取DE=DB ．连接AE ，在Rt △ABD 和Rt △AED 中，BD=ED ，AD=AD ．证明△ABD ≌△AED 即可求解．【详解】如图，在DC 上取DE=DB ，连接AE ．在Rt △ABD 和Rt △AED 中，BD ED ADB ADE AD AD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ABD ≌△AED （SAS ）．∴AB=AE ，∠B=∠AED ．又∵CD=AB+BD ，CD=DE+EC∴EC=AB∴EC=AE ，∴∠C=∠CAE∴∠B=∠AED=2∠C又∵∠B+∠C=180°-∠BAC=72°∴∠C=24°，故答案为：24．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质及三角形内角和定理，属于基础图，关键是巧妙作出辅助线．15．如图，四边形ABCD 中，AB ＝AD ，AC ＝5，∠DAB ＝∠DCB ＝90°，则四边形ABCD 的面积为_____．【答案】12.5【解析】【分析】过A 作AE ⊥AC ，交CB 的延长线于E ，判定△ACD ≌△AEB ，即可得到△ACE 是等腰直角三角形，四边形ABCD 的面积与△ACE 的面积相等，根据S △ACE =12×5×5=12.5，即可得出结论． 【详解】如图，过A 作AE ⊥AC ，交CB 的延长线于E ，∵∠DAB=∠DCB=90°，∴∠D+∠ABC=180°=∠ABE+∠ABC ，∴∠D=∠ABE ，又∵∠DAB=∠CAE=90°，∴∠CAD=∠EAB ，又∵AD=AB ，∴△ACD ≌△AEB （ASA ），∴AC=AE ，即△ACE 是等腰直角三角形，∴四边形ABCD 的面积与△ACE 的面积相等，∵S △ACE =12×5×5=12.5， ∴四边形ABCD 的面积为12.5，故答案为12.5．【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题16．如图，已知点(,0)A a 在x 轴正半轴上，点(0,)B b 在y 轴的正半轴上，ABC ∆为等腰直角三角形，D 为斜边BC 上的中点.若2OD =，则a b +=________.【答案】2【解析】【分析】根据等腰直角三角形的性质，可得AP 与BC 的关系，根据垂线的性质，可得答案【详解】如图：作CP ⊥x 轴于点P ，由余角的性质，得∠OBA=∠PAC ，在Rt △OBA 和Rt △PAC 中，OBA PAC AOB CPA BA AC ∠∠⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝，Rt △OBA ≌Rt △PAC （AAS ），∴AP=OB=b ，PC=OA=a ．由线段的和差，得OP=OA+AP=a+b ，即C 点坐标是（a+b ，a ），由B （0，b ），C （a+b ，a ），D 是BC 的中点，得D （2a b +，2a b +）， ∴OD=22a b +（） ∴22a b +（）2， ∴a+b=2.故答案为2.【点睛】本题解题主要①利用了等腰直角三角形的性质；②利用了全等三角形的判定与性质；③利用了线段中点的性质.17．如图，在△ABC中，AB=AC，点D是BC的中点，点E是△ABC内一点，若∠AEB=∠CED=90°，AE=BE，CE=DE=2，则图中阴影部分的面积等于__________．【答案】4【解析】【分析】作DG⊥BE于G，CF⊥AE于F，可证△DEG≌△CEF，可得DG=CF，则是S△BDE=S△AEC，由D 是BC中点可得S△BED=2，即可求得阴影部分面积.【详解】作DG⊥BE于G，CF⊥AE于F，∴∠DGE=∠CFE=90°，∵∠AEB=∠DEC=90°，∴∠GED+∠DEF=90°，∠DEF+∠CEF=90°，∴∠GED=∠CEF，又∵DE=EC，∴△GDE≌△FCE，∴DG=CF，∵S△BED=12BE•DG，S△BED=12AE•CF，AE=BE，∴S△BED=S△BED，∵D是BC的中点，∴S△BDE=S△EDC=1222⨯⨯=2，∴S阴影=2+2=4，故答案为4.【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，正确添加辅助线构造全等三角形是解题的关键. 18．AD、BE是△ABC的高，这两条高所在的直线相交于点O，若BO=AC，则∠ABC=______.【答案】45°或135°【解析】【分析】分别讨论△ABC为锐角三角形时、∠A、∠B、∠C分别为钝角时和∠A为直角时五种情况，利用AAS证明△BOD≌△ACD，可得BD=AD，根据等腰直角三角形的性质即可得答案.【详解】①如图，当△ABC为锐角三角形时，∵AD、BE为△ABC的两条高，∴∠CAD+∠AOE=90°，∠CBE+∠BOD=90°，∵∠BOD=∠AOE，∴∠CAD=∠OBD，又∵∠ODB=∠ADC=90°，OB=AC，∴△BOD≌△ACD，∴AD=BD，∵AD⊥BC，∴∠ABC=45°，②如图，当∠B为钝角时，∵∠C+∠CAD=90°，∠O+∠CAD=90°，∴∠C=∠O，又∵∠ADC=∠ODB=90°，OB=AC，∴△BOD≌△ACD，∴BD=AD，∵AD⊥BC，∴∠ABD=45°，∴∠ABC=180°-45°=135°.③如图，当∠A为钝角时，同理可证：△BOD≌△ACD，∴AD=BD.∴∠ABC=45°，④如图，当∠C为钝角时，同理可证：△BOD≌△ACD，∴AD=BD.∴∠ABC=45°.⑤当∠B为直角时，点O、D、B重合，OB=0，不符合题意，当∠C为直角时，点O、C、D、E重合，CD=0，不符合题意，如图，当∠A为直角时，点A、E、O重合，∵OB=AC，∠CAB=90°，∴△ABC是等腰直角三角形，∴∠ABC=45°.综上所述：∠ABC的度数为45°或135°.故答案为：45°或135°【点睛】本题主要考查全等三角形的判定与性质，全等三角形的判定方法有：SSS、AAS、ASA、SAS、HL等，注意：SAS时，角必须是两边的夹角，SSA和AAA不能判定两个三角形全等.灵活运用分类讨论的思想是解题关键.四、八年级数学全等三角形选择题（难）19．如图，已知AB＝AC，AF＝AE，∠EAF＝∠BAC，点C、D、E、F共线．则下列结论，其中正确的是（）①△AFB≌△AEC；②BF＝CE；③∠BFC＝∠EAF；④AB＝BC．A．①②③B．①②④C．①②D．①②③④【答案】A【解析】【分析】根据题意结合图形证明△AFB≌△AEC；利用四点共圆及全等三角形的性质问题即可解决．【详解】如图，∵∠EAF=∠BAC，∴∠BAF=∠CAE；在△AFB与△AEC中，AF AE BAF CAE AB AC ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝， ∴△AFB ≌△AEC （SAS ），∴BF=CE ；∠ABF=∠ACE ，∴A 、F 、B 、C 四点共圆，∴∠BFC=∠BAC=∠EAF ；故①、②、③正确，④错误．故选A.．【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定及其性质的应用问题；解题的关键是准确找出图形中隐含的全等三角形，灵活运用四点共圆等几何知识来分析、判断、推理或证明．20．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，∠BAC ＝45°，BD ⊥AC ，垂足为D 点，AE 平分∠BAC ，交BD 于点F 交BC 于点E ，点G 为AB 的中点，连接DG ，交AE 于点H ，下列结论错误的是（ ）A ．AH ＝2DFB ．HE ＝BEC ．AF ＝2CED ．DH ＝DF【答案】A【解析】【分析】 通过证明△ADF ≌△BDC ，可得AF ＝BC ＝2CE ，由等腰直角三角形的性质可得AG ＝BG ，DG ⊥AB ，由余角的性质可得∠DFA ＝∠AHG ＝∠DHF ，可得DH ＝DF ，由线段垂直平分线的性质可得AH ＝BH ，可求∠EHB ＝∠EBH ＝45°，可得HE ＝BE ，即可求解．【详解】解：∵∠BAC ＝45°，BD ⊥AC ，∴∠CAB ＝∠ABD ＝45°，∴AD ＝BD ，∵AB ＝AC ，AE 平分∠BAC ，∴CE ＝BE ＝12BC ，∠CAE ＝∠BAE ＝22.5°，AE ⊥BC ， ∴∠C +∠CAE ＝90°，且∠C +∠DBC ＝90°， ∴∠CAE ＝∠DBC ，且AD ＝BD ，∠ADF ＝∠BDC ＝90°，∴△ADF ≌△BDC （AAS ）∴AF ＝BC ＝2CE ，故选项C 不符合题意，∵点G 为AB 的中点，AD ＝BD ，∠ADB ＝90°，∠CAE ＝∠BAE ＝22.5°，∴AG ＝BG ，DG ⊥AB ，∠AFD ＝67.5°∴∠AHG ＝67.5°，∴∠DFA ＝∠AHG ＝∠DHF ，∴DH ＝DF ，故选项D 不符合题意，连接BH ，∵AG ＝BG ，DG ⊥AB ，∴AH ＝BH ，∴∠HAB ＝∠HBA ＝22.5°，∴∠EHB ＝45°，且AE ⊥BC ，∴∠EHB ＝∠EBH ＝45°，∴HE ＝BE ，故选项B 不符合题意，故选：A ．【点睛】本题考查三角形全等的性质与判定,等腰直角三角形的性质,关键在于熟练掌握基本知识点,灵活运用知识点.21．如图，在正方形ABCD 中，AC 为对角线，E 为AB 上一点，过点E 作 EF∥AD，与AC 、DC 分别交于点G ，F ，H 为CG 的中点，连结DE 、 EH 、DH 、FH ．下列结论：①EG=DF；②△EHF≌△DHC；③∠AEH+∠ADH=180°；④若23AE AB =，则313DHCEDH SS =．其中结论正确的有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】D【解析】 分析：①根据题意可知∠ACD=45°，则GF=FC ，则EG=EF-GF=CD-FC=DF ；②由SAS证明△EHF≌△DHC即可；③根据△EHF≌△DHC，得到∠HEF=∠HDC，从而∠AEH+∠ADH=∠AEF+∠HEF+∠ADF-∠HDC=180°；④若AEAB=23，则AE=2BE，可以证明△EGH≌△DFH，则∠EHG=∠DHF且EH=DH，则∠DHE=90°，△EHD为等腰直角三角形，过H点作HM垂直于CD于M点，设HM=x，则DM=5x，DH=26x，CD=6x，则S△DHC=12×HM×CD=3x2，S△EDH=12×DH2=13x2．详解：①∵四边形ABCD为正方形,EF∥AD，∴EF=AD=CD,∠ACD=45°,∠GFC=90°，∴△CFG为等腰直角三角形，∴GF=FC，∵EG=EF−GF，DF=CD−FC，∴EG=DF，故①正确；②∵△CFG为等腰直角三角形，H为CG的中点，∴FH=CH,∠GFH=12∠GFC=45°=∠HCD，在△EHF和△DHC中，EF=CD；∠EFH=∠DCH；FH=CH，∴△EHF≌△DHC(SAS)，故②正确；③∵△EHF≌△DHC(已证)，∴∠HEF=∠HDC，∴∠AEH+∠ADH=∠AEF+∠HEF+∠ADF−∠HDC=∠AEF+∠ADF=180°，故③正确；④∵AEAB=23，∴AE=2BE，∵△CFG为等腰直角三角形，H为CG的中点，∴FH=GH,∠FHG=90°，∵∠EGH=∠FHG+∠HFG=90°+∠HFG=∠HFD，在△EGH和△DFH中，EG=DF；∠EGH=∠HFD；GH=FH，∴△EGH≌△DFH(SAS)，∴∠EHG=∠DHF,EH=DH,∠DHE=∠EHG+∠DHG=∠DHF+∠DHG=∠FHG=90°,∴△EHD 为等腰直角三角形，如图，过H 点作HM ⊥CD 于M ，设HM=x,则DM=5x,DH=26x ，CD=6x ，则S △DHC =12×HM×CD=3x 2,S △EDH =12×DH 2=13x 2， ∴3S △EDH =13S △DHC ，故④正确；故选D. 点睛：本题考查了相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，正方形的性质，解题关键在于根据题意熟练的运用相关性质.22．如图，在▱ABCD 中，AD =2AB ，F 是AD 的中点，作CE ⊥AB ，垂足E 在线段AB 上，连接EF 、CF ，则下列结论中①∠DCF =123,1x x ==-∠BCD ；②EF =CF ；③S △BEC =2S △CEF ；④∠DFE =3∠AEF ．一定成立的是（ ）A ．①②B ．①③④C ．①②③D ．①②④【答案】D【解析】①∵F 是AD 的中点，∴AF=FD ， ∵在?ABCD 中，AD=2AB ，∴AF=FD=CD ，∴∠DFC=∠DCF ，∵AD ∥BC ，∴∠DFC=∠FCB ，∴∠DCF=∠BCF ，∴∠DCF=12∠BCD ，故此选项正确；延长EF ，交CD 延长线于M ，∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB ∥CD ，∴∠A=∠MDF ，∵F为AD中点，∴AF=FD，在△AEF和△DFM中，∠A＝∠FDMAF＝DF∠AFE＝∠DFM，∴△AEF≌△DMF（ASA），∴FE=MF，∠AEF=∠M，∵CE⊥AB，∴∠AEC=90°，∴∠AEC=∠ECD=90°，∵FM=EF，∴FC=FM，故②正确；③∵EF=FM，∴S△EFC=S△CFM，∵MC＞BE，∴S△BEC＜2S△EFC故S△BEC=2S△CEF错误；④设∠FEC=x，则∠FCE=x，∴∠DCF=∠DFC=90°-x，∴∠EFC=180°-2x，∴∠EFD=90°-x+180°-2x=270°-3x，∵∠AEF=90°-x，∴∠DFE=3∠AEF，故此选项正确．故正确的有：①②④．故选D.23．如图所示，把腰长为1的等腰直角三角形折叠两次后，得到的一个小三角形的周长是（）A．2B．1+22C．2D2-1【答案】B 【解析】第一次折叠后，等腰三角形的底边长为12；第一次折叠后，等腰三角形的底边长为22，腰长为12，所以周长为112212222++=+. 故答案为B.24．如图在ABC △中，P ，Q 分别是BC 、AC 上的点，作PR AB ⊥，PS AC ⊥，垂足分别是R ，S ， AQ PQ =，PR PS =，下面三个结论：①AS AR =；②PQ AB ∥；③BRP △≌CSP △．其中正确的是（ ）．A ．①②B ．②③C ．①③D ．①②③【答案】A【解析】连接AP ，由题意得，90ARP ASP ∠=∠=︒，在Rt APR 和Rt APS 中，AP APPR PS =⎧⎨=⎩，∴△APR ≌()APS HL ，∴AS AR =，故①正确．BAP SAP ∠=∠，∴2SAB BAP SAP SAP ∠=∠+∠=∠，在AQP △中，∴AQ PQ =，∴QAP APQ ∠=∠，∴22CQP QAP APQ QAP SAP ∠=∠+∠=∠=∠，∴PQ AB ∥，故②正确；在Rt BRP 和Rt CSP 中，只有PR PS =，不满足三角形全等的条件，故③错误．故选A ．点睛：本题主要考查三角形全等的判定方法以及角平分线的判定和平行线的判定，准确作出辅助线是解决本题的关键.五、八年级数学轴对称三角形填空题（难）25．如图，已知等边ABC ∆的边长为8，E 是中线AD 上一点，以CE 为一边在CE 下方作等边CEF ∆，连接BF 并延长至点,N M 为BN 上一点，且5CM CN ==，则MN 的长为_________．【答案】6【解析】【分析】作CG ⊥MN 于G ，证△ACE ≌△BCF ，求出∠CBF=∠CAE=30°，则可以得出124CG BC ==，在Rt △CMG 中，由勾股定理求出MG ，即可得到MN 的长．【详解】解：如图示：作CG ⊥MN 于G ，∵△ABC 和△CEF 是等边三角形，∴AC=BC ，CE=CF ，∠ACB=∠ECF=60°，∴∠ACB-∠BCE=∠ECF-∠BCE ，即∠ACE=∠BCF ，在△ACE 与△BCF 中AC BC ACE BCFCE CF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ACE ≌△BCF （SAS ），又∵AD 是三角形△ABC 的中线∴∠CBF=∠CAE=30°，∴124CG BC ==， 在Rt △CMG 中，2222543MG CM CG =-=-=，∴MN=2MG=6，故答案为：6．【点睛】本题考查了勾股定理，等边三角形的性质，全等三角形的性质和判定的应用，解此题的关键是推出△ACF ≌△BCF ．26．在平面直角坐标系中，点A 在x 轴的正半轴上，点B 在y 轴的正半轴上，36ABO ∠=︒，在x 轴或y 轴上取点C ，使得ABC ∆为等腰三角形，符合条件的C 点有__________个．【答案】8【解析】【分析】观察数轴，按照等腰三角形成立的条件分析可得答案．【详解】解：如下图所示，若以点A 为圆心，以AB 为半径画弧，与x 轴和y 轴各有两个交点， 但其中一个会与点B 重合，故此时符合条件的点有3个；若以点B 为圆心，以AB 为半径画弧，同样与x 轴和y 轴各有两个交点，但其中一个与点A 重合，故此时符合条件的点有3个；线段AB 的垂直平分线与x 轴和y 轴各有一个交点，此时符合条件的点有2个． ∴符合条件的点总共有：3＋3＋2=8个．故答案为：8．【点睛】本题考查了等腰三角形的判定，可以观察图形，得出答案．27．如图，已知△ABC 中，AB=AC ，∠BAC=90°，直角∠EPF 的顶点P 是BC 中点，两边PE 、PF 分别交AB 、AC 于点E 、F ，给出下列四个结论：①AE=CF ；②△EPF 是等腰直角三角形；③EF=AB ； ④12ABC AEPF S S ∆=四边形，当∠EPF 在△ABC 内绕顶点P 旋转时(点E 不与A 、B 重合)，上述结论中始终正确的有________(把你认为正确的结论的序号都填上).【答案】①②④【解析】试题分析：∵∠APE 、∠CPF 都是∠APF 的余角，∴∠APE=∠CPF ，∵AB=AC ，∠BAC=90°，P 是BC 中点，∴AP=CP ，∴∠PAE=∠PCF ，在△APE 与△CPF 中，{?PAE PCFAP CPEPA FPC ∠=∠=∠=∠，∴△APE ≌△CPF （ASA ），同理可证△APF ≌△BPE ，∴AE=CF ，△EPF 是等腰直角三角形，S 四边形AEPF =12S △ABC ，①②④正确； 而AP=12BC ，当EF 不是△ABC 的中位线时，则EF 不等于BC 的一半，EF=AP ， ∴故③不成立．故始终正确的是①②④．故选D ．考点：1．全等三角形的判定与性质；2．等腰直角三角形．28．如图，在直角坐标系中，点()8,8B -，点()2,0C -，若动点P 从坐标原点出发，沿y 轴正方向匀速运动，运动速度为1/cm s ，设点P 运动时间为t 秒，当BCP ∆是以BC 为腰的等腰三角形时，直接写出t 的所有值__________________．【答案】2秒或46秒或14秒【解析】【分析】分两种情况：PC 为腰或BP 为腰.分别作出符合条件的图形，计算出OP 的长度，即可求出t 的值．【详解】解：如图所示，过点B 作BD ⊥x 轴于点D ，作BE ⊥y 轴于点E ，分别以点B 和点C 为圆心，以BC 长为半径画弧交y 轴正半轴于点F ，点H 和点G∵点B （-8，8），点C （-2，0），∴DC=6cm ，BD=8cm ，由勾股定理得：BC=10cm∴在直角三角形COG 中，OC=2cm ，CG=BC=10cm ， ∴2210246(cm)-=，当点P 运动到点F 或点H 时，BE=8cm ，BH=BF=10cm ，∴EF=EH=6cm∴OP=OF=8-6=2（cm ）或OP=OH=8+6=14（cm ），故答案为：2秒，6秒或14秒．【点睛】本题综合考查了勾股定理和等腰三角形在平面直角坐标系中的应用，通过作图找出要求的点的位置，利用勾股定理来求解是本题的关键．29．如图，正五边形ABCDE 中，对角线AC 与BE 相交于点F ，则AFE ∠=_______度．【答案】72．【解析】【分析】根据五边形的内角和公式求出EAB ∠，根据等腰三角形的性质，三角形外角的性质计算即可．【详解】解：∵五边形ABCDE 是正五边形， (52)1801085EAB ABC ︒︒-⨯∴∠=∠==，BA BC =，36BAC BCA ︒∴∠=∠=，同理36ABE ∠︒＝，363672AFE ABF BAF ∴∠∠+∠︒+︒︒＝＝＝．故答案为：72【点睛】本题考查的是正多边形的内角与外角，掌握正多边形的内角的计算公式、等腰三角形的性质是解题的关键．30．已知，∠MON =30°，点A 1、A 2、A 3在射线ON 上，点B 1、B 2、B 3…在射线OM 上，△A 1B 1A 2、△A 2B 2A 3、△A 3B 3A 4…均为等边三角形，若OA 1=a ，则△A 7B 7A 8的边长为______．【答案】64a【解析】【分析】根据等腰三角形的性质以及平行线的性质得出A 1B 1∥A 2B 2∥A 3B 3，根据30°角所对直角边等于斜边的一半得到A 2B 2=2B 1A 2，进而得出A 3B 3=4B 1A 2=4a ，A 4B 4=8B 1A 2=8a ，A 5B 5=16B 1A 2…从而得到答案．【详解】∵△A 1B 1A 2是等边三角形，∴A 1B 1=A 2B 1，∠3=∠4=∠12=60°，∴∠2=120°． ∵∠MON =30°，∴∠1=180°﹣120°﹣30°=30°．又∵∠3=60°，∴∠5=180°﹣60°﹣30°=90°．∵∠MON =∠1=30°，∴OA 1=A 1B 1=a ，∴A 2B 1=a ．∵△A 2B 2A 3、△A 3B 3A 4是等边三角形，∴∠11=∠10=60°，∠13=60°．∵∠4=∠12=60°，∴A 1B 1∥A 2B 2∥A 3B 3，B 1A 2∥B 2A 3，∴∠1=∠6=∠7=30°，∠5=∠8=90°，∴A 2B 2=2B 1A 2，B 3A 3=2B 2A 3，∴A 3B 3=4B 1A 2=4a ，A 4B 4=8B 1A 2=8a ，A 5B 5=16B 1A 2=16a ，以此类推：A 7B 7=64B 1A 2=64a ．故答案为：64a ．【点睛】本题考查了等边三角形的性质、等腰三角形的性质以及含30°角的直角三角形的性质，根据已知得出A 3B 3=4B 1A 2，A 4B 4=8B 1A 2，A 5B 5=16B 1A 2进而发现规律是解题的关键．六、八年级数学轴对称三角形选择题（难）31．如图，AOB α∠=，点P 是AOB ∠内的一定点，点,M N 分别在OA OB 、上移动，当PMN ∆的周长最小时，MPN ∠的值为（ ）A ．90α+B ．1902α+C ．180α-D ．1802α-【答案】D【解析】【分析】过P 点作角的两边的对称点，在连接两个对称点，此时线段与角两边的交点，构成的三角形周长最小.再根据角的关系求解.【详解】解：过P 点作OB 的对称点1P ，过P 作OA 的对称点2P ,连接12PP ，交点为M,N ，则此时PMN 的周长最小，且△1P NP 和△2PMP 为等腰三角形.此时∠12P PP =180°-α；设∠NPM=x°，则180°-x°=2（∠12P PP -x°） 所以 x°=180°-2α 【点睛】求出M,N 在什么位子△PMN 周长最小是解此题的关键.32．在一个33 的正方形网格中，A ，B 是如图所示的两个格点，如果C 也是格点，且ABC 是等腰三角形，则符合条件的C 点的个数是（ ）A ．6B ．7C ．8D ．9【答案】C【解析】【分析】 根据题意、结合图形，画出图形即可确定答案.【详解】解：根据题意，画出图形如图：共8个.故答案为C.【点睛】本题主要考查了等腰三角形的判定，根据题意、画出符合实际条件的图形是解答本题的关键.33．如图，△ABC是等边三角形，AQ＝PQ，PR⊥AB于点R，PS⊥AC于点S，PR＝PS，则下列结论：①AP⊥BC；②AS＝AR；③QP∥AR；④△BRP≌△QSP.正确的有( )A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】D【解析】【分析】根据到角的两边的距离相等的点在角的平分线上可得AP平分∠BAC，根据等腰三角形“三线合一”的性质判断出①正确；根据HL证明Rt△APR≌Rt△APS，即可判断②正确；根据等边对等角的性质可得∠APQ=∠PAQ，根据三角形外角的性质得到然后得到∠PQC=2∠PAC=60°=∠BAC，然后根据同位角相等两直线平行可得QP∥AB，从而判断出③正确，④由③易证△QPC是等边三角形，得到PQ=PC，等量代换得到BP=PQ，用HL证明Rt△BRP≌Rt△QSP，即可得到④正确．【详解】∵△ABC是等边三角形，PR⊥AB，PS⊥AC，且PR=PS，∴P在∠A的平分线上．∵AB=AC，∴AP⊥BC，故①正确；∵PA=PA，PR=PS，∴Rt△APR≌Rt△APS，∴AS=AR，故②正确；∵AQ=PQ，∴∠APQ=∠PAQ，∴∠PQC=2∠PAC=60°=∠BAC，∴PQ∥AR，故③正确；由③得：△PQC是等边三角形，∴△PQS≌△PCS，∴PQ=PC．又∵AB=AC，AP⊥BC，∴BP=PC，∴BP=PQ．∵PR=PS，∴Rt△BRP≌Rt△QSP，故④也正确．∵①②③④都正确．故选D．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质以及等边三角形的判定与性质，准确识图并熟练掌握全等三角形的判定方法与性质是解题的关键．34．如图，已知正方形ABCD，顶点A（1，3）、B（1，1）、C（3，1）．规定“把正方形ABCD先沿x轴翻折，再向左平移1个单位”为一次变换，如此这样，连续经过2014次变换后，正方形ABCD的对角线交点M的坐标变为（）A．（-2012，2）B．（-2012，-2）C．（-2013，-2）D．（-2013，2）【答案】A【解析】试题分析：首先由正方形ABCD，顶点A（1，3）、B（1，1）、C（3，1），然后根据题意求得第1次、2次、3次变换后的对角线交点M的对应点的坐标，即可得规律：第n次变换后的点M的对应点的为：当n为奇数时为（2-n，-2），当n为偶数时为（2-n，2），继而求得把正方形ABCD连续经过2014次这样的变换得到正方形ABCD的对角线交点M的坐标．试题解析：∵正方形ABCD，顶点A（1，3）、B（1，1）、C（3，1）．∴对角线交点M的坐标为（2，2），根据题意得：第1次变换后的点M的对应点的坐标为（2-1，-2），即（1，-2），第2次变换后的点M的对应点的坐标为：（2-2，2），即（0，2），第3次变换后的点M的对应点的坐标为（2-3，-2），即（-1，-2），第n次变换后的点M的对应点的为：当n为奇数时为（2-n，-2），当n为偶数时为（2-n，2），∴连续经过2014次变换后，正方形ABCD的对角线交点M的坐标变为（-2012，2）．故选A．考点：1．翻折变换（折叠问题）；2．正方形的性质；3．坐标与图形变化-平移．35．如图，C为线段AE上一动点（不与点A、E重合），在AE同侧分别作等边三角形ABC 和等边三角形CDE，AD与BE交于点O，AD与BC交于点P，BE与CD交于点Q，连接PQ．以下五个结论：①AD＝BE；②AP＝BQ；③PQ∥AE；④DE＝DP；⑤∠AOE＝120°；其中正确结论的个数为（）A．2个B．3个C．4个D．5个【答案】C【解析】【分析】①由于△ABC和△CDE是等边三角形，可知AC=BC，CD=CE，∠ACB=∠DCE=60°，从而证出△ACD≌△BCE，可推知AD=BE，故①正确；②由△ACD≌△BCE得∠CBE=∠DAC，加之∠ACB=∠DCE=60°，AC=BC，得到△ACP≌△BCQ （ASA），所以AP=BQ；故②正确；③根据②△CQB≌△CPA（ASA），再根据∠PCQ=60°推出△PCQ为等边三角形，又由∠PQC=∠DCE，根据内错角相等，两直线平行，可知③正确；④根据∠QCP=60°，∠DPC=∠BCA+∠PAC＞60°，可知PD≠CD，可知④错误；⑤利用等边三角形的性质，BC∥DE，再根据平行线的性质得到∠CBE=∠DEO，于是∠AOB=∠DAC+∠BEC=∠BEC+∠DEO=∠DEC=60°，由平角的性质可得∠AOE=120°，可知⑤正确；【详解】①∵△ABC和△CDE为等边三角形∴AC＝BC，CD＝CE，∠BCA＝∠DCB＝60°∴∠ACD＝∠BCE∴△ACD≌△BCE（SAS）∴AD＝BE，故①正确；由（1）中的全等得∠CBE＝∠DAC，且BC＝AC，∠ACB＝∠BCQ＝60°∴△CQB≌△CPA（ASA），∴AP＝BQ，故②正确；∵△CQB≌△CPA，∴PC＝PQ，且∠PCQ＝60°∴△PCQ为等边三角形，∴∠PQC＝∠DCE＝60°，∴PQ∥AE，故③正确，∵∠QCP＝60°，∠DPC＝∠BCA+∠PAC＞60°，∴PD≠CD，∴DE≠DP，故④DE＝DP错误；∵BC∥DE，∴∠CBE＝∠BED，∵∠CBE＝∠DAE，∴∠AOB＝∠OAE+∠AEO＝60°，∴∠AOE＝120°，故⑤正确，故选C．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，利用了等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，平行线的判定与性质，综合性较强，题目难度较大．36．如图，ABC △，AB AC =，56BAC ︒∠=，BAC ∠的平分线与AB 的垂直平分线交于O ，将∠C 沿EF （E 在BC 上，F 在AC 上）折叠，点C 与O 点恰好重合，则∠OEC 的度数为（ ）A ．132︒B ．130︒C ．112︒D ．110︒【答案】C【解析】【分析】 连接OB 、OC ，根据角平分线的定义求出∠BAO ，根据等腰三角形两底角相等求出∠ABC ，再根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得OA=OB ，根据等边对等角可得∠ABO=∠BAO ，再求出∠OBC ，然后判断出点O 是△ABC 的外心，根据三角形外心的性质可得OB=OC ，再根据等边对等角求出∠OCB=∠OBC ，根据翻折的性质可得OE=CE ，然后根据等边对等角求出∠COE ，再利用三角形内角和定理列式计算即可得出答案.【详解】如图，连接OB 、OC ，∵56BAC ︒∠=，AO 为BAC ∠的平分线 ∴11562822BAO BAC ︒︒∠=∠=⨯= 又∵AB AC =， ∴()()11180180566222ABC BAC ︒︒︒︒∠=-∠=-= ∵DO 是AB 的垂直平分线，∴OA OB =．∴28ABO BAO ︒∠=∠=，∴622834OBC ABC ABO ︒︒︒∠=∠-∠=-=∵DO 是AB 的垂直平分线，AO 为BAC ∠的平分线∴点О是ABC △的外心，∴OB OC =，∴34OCB OBC ︒∠=∠=，∵将C ∠沿EF （E 在BC 上，F 在AC 上）折叠，点C 与点O 恰好重合∴OE CE =，∴34COE OCB ︒∠=∠=，在OCE △中，1801803434112OEC COE OCB ︒︒︒︒︒∠=-∠-∠=--=【点睛】本题主要考查了线段垂直平分线上的点到线段两端点距离相等的性质，等腰三角形三线合一的性质，等边对等角的性质，以及翻折变换的性质，综合性较强，难度较大，做辅助线构造出等腰三角形是解决本题的关键.七、八年级数学整式的乘法与因式分解选择题压轴题（难）37．若999999a =，990119b =，则下列结论正确是（ ） A ．a ＜bB ．a b =C ．a ＞bD ．1ab =【答案】B【解析】 ()9999999909990909119991111===99999a b +⨯⨯==⨯， 故选B.【点睛】本题考查了有关幂的运算、幂的大小比较的方法，一般说来，比较几个幂的大小，或者把它们的底数变得相同，或者把它们的指数变得相同，再分别比较它们的指数或底数.38．已知a ，b ，c 是△ABC 的三边长，且满足a 2＋2b 2＋c 2－2b(a ＋c)＝0，则此三角形是( )A ．等腰三角形B ．等边三角形C ．直角三角形D ．不能确定【答案】B【解析】【分析】运用因式分解，首先将所给的代数式恒等变形；借助非负数的性质得到a =b =c ，即可解决问题．【详解】∵a 2+2b 2+c 2﹣2b （a +c ）=0，∴（a ﹣b ）2+（b ﹣c ）2=0；∵（a ﹣b ）2≥0，（b ﹣c ）2≥0，∴a ﹣b =0，b ﹣c =0，∴a =b =c ，∴△ABC 为等边三角形． 故选B ．【点睛】。
八年级全册全套试卷综合测试(Word版 含答案)
八年级全册全套试卷综合测试（Word版含答案）一、初二物理机械运动实验易错压轴题（难）1．小明在“测小车的平均速度”的实验中，设计了如图所示的实验装置：小车从带刻度（分度值为1cm）的斜面顶端由静止下滑，图中的圆圈是小车到达A、B、C三处时电子表的显示（数字分别表示“小时：分：秒”）（1）该实验是根据公式_____ 进行速度计算的．（2）实验中为了方便计时，应使斜面的坡度较_____（填“大”或“小”）．（3）请根据图中信息回答v AB＝_____ m/s； v BC＝_____m/s．（4）由实验看出，小车在下滑过程速度越来越_____，是在做_____运动．（5）实验前必须学会熟练使用电子表，如果让小车过了A点后才开始计时，则会使所测AC段的平均速度v AC偏_____ （选填“大”或“小”）．【来源】天津市南开中学2018-2019学年八年级9月月考物理试题【答案】v= 小 0.2 0.5 大变速直线大【解析】试题分析：该实验是根据公式v=s/t进行速度计算的；实验中为了方便计时，应使斜面的坡度较小，小车运行的时间较长；AB的速度是：0.4m==0.2/2ABABABsv m st s=；BC的速度是：0.5m==0.5/1BCBCBCsv m st s=；实验前必须学会熟练使用电子表，如果让小车过了A 点后才开始计时，路程不变，时间变小，所以则会使所测AC段的平均速度偏大．考点：测小车的平均速度实验点评：解决本题的关键是注意单位的统一，知道测量速度的原理：stυ=．2．如图所示，是小明同学设计的测量小车在固定斜面上运动的平均速度实验装置图。
小车从带有刻度的斜面顶端由静止自由下滑，图中的圆圈是小车到达A、B两处时，电子时钟所显示的两个不同的时刻，则：（1）由图可知，斜面上的刻度尺的最小分度值为________mm；（2）该实验原理是______________；（3）在实验中，为了方便计时，应使斜面的倾角适当________（选填“大”或“小”）一些；（4）由图可知：小车在A、B两点间运动的平均速度为________m/s（计算结果保留二位小数）。
人教版八年级上册数学 全册全套试卷测试卷 (word版,含解析)
人教版八年级上册数学全册全套试卷测试卷（word版，含解析）一、八年级数学三角形填空题（难）1．小明在用计算器计算一个多边形的内角和时，得出的结果为2005°，小芳立即判断他的结构是错误的，小明仔细地复算了一遍，果然发现自己把一个角的度数输入了两遍.你认为正确的内角和应该是________．【答案】1980【解析】【详解】解：设多边形的边数为n，多加的角度为α，则（n-2）×180°=2005°-α，当n=13时，α=25°，此时（13-2）×180°=1980°，α=25°故答案为1980．2．如图，在△ABC中，∠B和∠C的平分线交于点O，若∠A＝50°，则∠BOC＝_____．【答案】115°．【解析】【分析】根据三角形的内角和定理得出∠ABC+∠ACB=130°，然后根据角平分线的概念得出∠OBC+∠OCB，再根据三角形的内角和定理即可得出∠BOC的度数．【详解】解；∵∠A＝50°，∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣50°＝130°，∵∠B和∠C的平分线交于点O，∴∠OBC＝12∠ABC，∠OCB＝12∠ACB，∴∠OBC+∠OCB＝12×（∠ABC+∠ACB）＝12×130°＝65°，∴∠BOC＝180°﹣（∠OBC+∠OCB）＝115°，故答案为：115°．【点睛】本题考查了三角形的内角和定理和三角形的角平分线的概念，关键是求出∠OBC+∠OCB 的度数．3．已知一个多边形的内角和与外角和的差是1260°，则这个多边形边数是．【答案】12【解析】试题解析：根据题意，得（n-2）•180-360=1260，解得：n=11．那么这个多边形是十一边形．考点：多边形内角与外角．4．一个多边形的内角和与外角和的差是180°，则这个多边形的边数为_____．【答案】5【解析】【分析】根据多边形的内角和公式（n﹣2）•180°与外角和定理列式求解即可【详解】解：设这个多边形的边数是n，则（n﹣2）•180°﹣360°＝180°，解得n＝5．故答案为5．【点睛】本题考查了多边形的内角和与外角和定理，任意多边形的外角和都是360°，与边数无关．5．如图是小李绘制的某大桥断裂的现场草图，若∠1＝38°，∠2＝23°，则桥面断裂处夹角∠BCD＝__________.【答案】119°【解析】【分析】连接BD，构△BCD根据对顶角相等和三角形内角和定理即可求出∠BCD的度数.【详解】如图所示，连接BD，∵∠4=∠1=38°，∠3=∠2=23°，∴∠BCD=180°-∠4-∠3=180°-38°-23°=119°.故答案为：119°.【点睛】本题考查了对顶角的性质与三角形内角和定理. 连接BD，构△BCD是解题的关键.6．如图，直线a∥b，∠l＝60°，∠2＝40°，则∠3＝______．【答案】80°．【解析】【分析】根据平行线的性质求出∠4，再根据三角形内角和定理计算即可．【详解】∵a∥b，∴∠4=∠l=60°，∴∠3=180°-∠4-∠2=80°，故答案为80°．【点睛】本题考查了平行线的性质、三角形内角和定理，掌握两直线平行，同位角相等是解题的关键．二、八年级数学三角形选择题（难）7．如图,△ABC 中,E 是 AC 的中点,延长BC 至D,使BC ：CD=3:2,以CE,CD 为邻边做▱CDFE，连接 AF,BE,BF，若△ABC 的面积为 9，则阴影部分面积是（）A．6 B．4 C．3 D．2【答案】A【解析】【分析】根据三角形中位线性质结合三角形面积去解答.【详解】解：在ABC 中，E 是 AC 的中点,S ABC 9=, BC ：CD =3:2▱CDFE 中，CD=EF 1S BCE 4.52S ABC ∴== 设BCE 的高为1h , ABC 的高为2.h11S BCE 4.52BC h ∴=⨯⨯= 13h =12:1:2h h =26h ∴=S AEF S EFB s ∴=+阴()2111122EF h h EF h =⨯⨯-+⨯⨯ 212EF h =⨯⨯ 1262=⨯⨯ 6.=【点睛】此题重点考察学生对三角形中位线和面积的理解，熟练掌握三角形面积计算方法是解题的关键.8．已知非直角三角形ABC 中，∠A=45°，高BD 与CE 所在直线交于点H ，则∠BHC 的度数是（）A ．45°B ．45° 或135°C ．45°或125°D ．135°【答案】B【解析】【分析】①△ABC 是锐角三角形时，先根据高线的定义求出∠ADB=90°，∠BEC=90°，然后根据直角三角形两锐角互余求出∠ABD ，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式进行计算即可得解；②△ABC 是钝角三角形时，根据直角三角形两锐角互余求出∠BHC=∠A ，从而得解．【详解】①如图1，△ABC是锐角三角形时，∵BD、CE是△ABC的高线，∴∠ADB=90°，∠BEC=90°，在△ABD中，∵∠A=45°，∴∠ABD=90°-45°=45°，∴∠BHC=∠ABD+∠BEC=45°+90°=135°；②如图2，△ABC是钝角三角形时，∵BD、CE是△ABC的高线，∴∠A+∠ACE=90°，∠BHC+∠HCD=90°，∵∠ACE=∠HCD（对顶角相等），∴∠BHC=∠A=45°．综上所述，∠BHC的度数是135°或45°．故选B.【点睛】本题主要考查了三角形的内角和定理，三角形的高线，难点在于要分△ABC是锐角三角形与钝角三角形两种情况讨论，作出图形更形象直观．9．已知等边三角形的边长为3，点P为等边三角形内任意一点，则点P到三边的距离之和为( )A．B．C．D．不能确定【解析】如图，∵等边三角形的边长为3，∴高线AH=3×333 =S△ABC=1111••••2222BC AH AB PD BC PE AC PF ==+∴1111 3?3?3?3? 2222AH PD PE PF ⨯=⨯+⨯+⨯∴PD+PE+PF=AH=33 2即点P到三角形三边距离之和为33.故选B.10．已知一个正多边形的内角是140°，则这个正多边形的边数是（）A．9 B．8 C．7 D．6【答案】A【解析】分析：根据多边形的内角和公式计算即可.详解：.答:这个正多边形的边数是9.故选A.点睛：本题考查了多边形，熟练掌握多边形的内角和公式是解答本题的关键.11．一个多边形的内角和是900°，则这个多边形的边数为（）A．6 B．7 C．8 D．9【答案】B【解析】【分析】本题根据多边形的内角和定理和多边形的内角和等于900°，列出方程，解出即可．解：设这个多边形的边数为n ，则有（n-2）180°=900°，解得：n=7，∴这个多边形的边数为7．故选B ．【点睛】本题考查了多边形内角和，熟练掌握内角和公式是解题的关键.12．如图，ABC △是一块直角三角板，90,30C A ∠=︒∠=︒，现将三角板叠放在一把直尺上，AC 与直尺的两边分别交于点D ，E ，AB 与直尺的两边分别交于点F ，G ，若∠1=40°，则∠2的度数为（ ）A ．40ºB ．50ºC ．60ºD ．70º【答案】D【解析】【分析】 依据平行线的性质，即可得到∠1＝∠DFG ＝40°，再根据三角形外角性质，即可得到∠2的度数．【详解】∵DF ∥EG ，∴∠1＝∠DFG ＝40°，又∵∠A ＝30°，∴∠2＝∠A +∠DFG ＝30°+40°＝70°，故选D ．【点睛】本题主要考查了平行线的性质以及三角形外角性质的运用，解题时注意：两直线平行，内错角相等．三、八年级数学全等三角形填空题（难）13．如图，已知△ABC 和△ADE 均为等边三角形，点O 是AC 的中点，点D 在射线BO 上，连结OE ，EC ，则∠ACE ＝_____°；若AB ＝1，则OE 的最小值＝_____．【答案】301 4【解析】【分析】根据等边三角形的性质可得OC＝12AC，∠ABD＝30°，根据"SAS"可证△ABD≌△ACE，可得∠ACE＝30°＝∠ABD，当OE⊥EC时，OE的长度最小，根据直角三角形的性质可求OE 的最小值.【详解】解：∵△ABC的等边三角形，点O是AC的中点，∴OC＝12AC，∠ABD＝30°∵△ABC和△ADE均为等边三角形，∴AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝60°，∴∠BAD＝∠CAE，且AB＝AC，AD＝AE，∴△ABD≌△ACE（SAS）∴∠ACE＝30°＝∠ABD当OE⊥EC时，OE的长度最小，∵∠OEC＝90°，∠ACE＝30°∴OE最小值＝12OC＝14AB＝14故答案为：30，1 4【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，熟练运用全等三角形的判定是本题的关键.14．如图，P为等边△ABC内一点，∠APC=150°，且∠APD=30°，AP=6，CP=3，DP=7，则BD的长为______.【答案】234.【解析】【分析】将△CPA绕点C逆时针旋转60°得到△CEB，连接EP，由全等三角形的性质可得CE=CP，∠ECB=∠PCA，∠CEB=∠CPA=150°，BE=AP=6，结合等边三角形的性质可得出∠ECP=60°，进而证明△ECP为等边三角形，由等边△ECP的性质进而证明D、P、E三点共线以及∠DEB=90°，最后利用勾股定理求出BD的长度即可.【详解】将△CPA绕点C逆时针旋转60°得到△CEB，连接EP，∴CE=CP，∠ECB=∠PCA，∠CEB=∠CPA=150°，BE=AP=6，∵等边△ABC，∴∠ACP+∠PCB=60°，∴∠ECB+∠PCB=60°,即∠ECP=60°，∴△ECP为等边三角形，∴∠CPE=∠CEP=60°，PE=6，∴∠DEB=90°，∵∠APC=150°，∠APD=30°，∴∠DPC=120°，∴∠DPE=180°，即D、P、E三点共线，∴ED=3+7=10，∴BD=22=234.DE BE故答案为34【点睛】本题主要考查全等三角形的性质、勾股定理、等边三角形的判定与性质以及三点共线的判定，运用旋转构造全等三角形是解题的关键.15．已知在△ABC 中,两边AB、AC的中垂线，分别交BC于E、G．若BC＝12，EG＝2，则△AEG的周长是________．【答案】16或12．【解析】【分析】根据线段垂直平分线性质得出AE=BE，CG=AG，分两种情况讨论：①DE和FG的交点在△ABC内，②DE和FG的交点在△ABC外．【详解】∵DE，FG分别是△ABC的AB，AC边的垂直平分线，∴AE=BE，CG=AG．分两种情况讨论：①当DE和FG的交点在△ABC内时，如图1．∵BC=12，GE=2，∴AE+AG=BE+CG=12+2=14，△AGE的周长是AG+AE+EG=14+2=16．②当DE和FG的交点在△ABC外时，如图2，△AGE的周长是AG+AE+EG= BE+CG+EG=BC=12．故答案为：16或12．【点睛】本题考查了线段垂直平分线性质，注意：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等．16．如图，在△ABD中，∠BAD＝80°，C为BD延长线上一点，∠BAC＝130°，△ABD的角平分线BE与AC交于点E，连接DE，则∠DEB＝_____．【答案】40°【解析】【分析】做辅助线，构建角平分线的距离，根据角平分线的性质和逆定理可得：EF=EG=EH，设∠DEG=y，∠GEB=x，根据三角形内角和定理可得：∠GEA=∠FEA=40°，∠FEB=∠HEB，列方程为2y+x=80-x,y+x=40,可得结论：∠DEB＝40°.【详解】如图，过E作EF⊥AB于F，EG⊥AD于G，EH⊥BC于H，∵BE平分∠ABD∴EH=EF∵∠BAC＝130°，∠BAD＝80°∴∠FAE=∠CAD=50°∴EF=EG∴EG=EH∴ED平分∠CDG∴∠HED=∠DEG设∠DEG=y，∠GEB=x，∵∠EFA=∠EGA=90°∴∠GEA=∠FEA=40°∵∠EFB=∠EHB=90°，∠EBH=∠EBF∴∠FEB=∠HEB∴2y+x=80-x,2y+2x=80y+x=40即∠DEB＝40°.故答案为：40°.【点睛】本题考查三角形内角和定理和角平分线的性质，正确作辅助线是解题的关键.17．如图，△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝56°，∠BAC的平分线与AB的垂直平分线交于点O，将∠C沿EF（E在BC上，F在AC上）折叠，点C与点O恰好重合，则∠OEC为_____度．【答案】112．【解析】【分析】连接OB、OC，根据角平分线的定义求出∠BAO＝28°，利用等腰三角形两底角相等求出∠ABC，根据线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等可得OA＝OB，再根据等边对等角求出∠OBA，然后求出∠OBC，再根据等腰三角形的性质可得OB＝OC，然后求出∠OCE，根据翻折变换的性质可得OE＝CE，然后利用等腰三角形两底角相等列式计算即可得解．【详解】如图，连接OB、OC，∵OA平分∠BAC，∠BAC＝56°，∴∠BAO＝12∠BAC＝12×56°＝28°，∵AB＝AC，∠BAC＝56°，∴∠ABC＝12（180°﹣∠BAC）＝12×（180°﹣56°）＝62°，∵OD垂直平分AB，∴OA＝OB，∴∠OBA＝∠BAO＝28°，∴∠OBC＝∠ABC﹣∠OBA＝62°﹣28°＝34°，由等腰三角形的性质，OB＝OC，∴∠OCE＝∠OBC＝34°，∵∠C沿EF（E在BC上，F在AC上）折叠，点C与点O恰好重合，∴OE＝CE，∴∠OEC＝180°﹣2×34°＝112°．故答案是：112．【点睛】考查了翻折变换，等腰三角形的性质，线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等的性质，三角形的内角和定理，熟记各性质并准确识图是解题的关键．18．已知：如图，BD为△ABC的角平分线，且BD=BC，E为BD延长线上的一点，BE=BA，过E作EF⊥AB，F为垂足．下列结论：①△ABD≌△EBC； ②∠BCE+∠BCD=180°；③AF2=EC2﹣EF2； ④BA+BC=2BF．其中正确的是_____．【答案】①②③④．【解析】【分析】根据已知条件易证△ABD ≌△EBC ，可判定①正确；根据等腰三角形的性质、对顶角相等、结合全等三角形的性质及平角的定义即可判定②正确；证明AD=AE=EC ，再利用勾股定理即可判定③正确；过E 作EG ⊥BC 于G 点，证明Rt △BEG ≌Rt △BEF 及Rt △CEG ≌Rt △AFE ，根据全等三角形的性质可得AF=CG ，所以BA+BC=BF+FA+BG ﹣CG=BF+BG=2BF ，即可判定④正确.【详解】①∵BD 为△ABC 的角平分线，∴∠ABD=∠CBD ，在△ABD 和△EBC 中，BD BC ABD CBD BE BA =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴△ABD ≌△EBC （SAS ），∴①正确；②∵BD 为△ABC 的角平分线，BD=BC ，BE=BA ，∴∠BCD=∠BDC=∠BAE=∠BEA ，∵△ABD ≌△EBC ，∴∠BCE=∠BDA ，∴∠BCE+∠BCD=∠BDA+∠BDC=180°，∴②正确；③∵∠BCE=∠BDA ，∠BCE=∠BCD+∠DCE ，∠BDA=∠DAE+∠BEA ，∠BCD=∠BEA ， ∴∠DCE=∠DAE ，∴△ACE 为等腰三角形，∴AE=EC ，∵△ABD ≌△EBC ，∴AD=EC ，∴AD=AE=EC ，∵EF ⊥AB ，∴AF 2=EC 2﹣EF 2；∴③正确；④如图，过E 作EG ⊥BC 于G 点，∵E 是BD 上的点，∴EF=EG ，在Rt △BEG 和Rt △BEF 中，BE BE EF EG =⎧⎨=⎩， ∴Rt △BEG ≌Rt △BEF （HL ），∴BG=BF ，在Rt △CEG 和Rt △AFE 中，EF FG AE CE =⎧⎨=⎩， ∴Rt △CEG ≌Rt △AFE （HL ），∴AF=CG ，∴BA+BC=BF+FA+BG ﹣CG=BF+BG=2BF ，∴④正确．故答案为：①②③④．【点睛】本题考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形的对应边、对应角相等的性质，本题中熟练求证三角形全等和熟练运用全等三角形对应角、对应边相等性质是解题的关键．四、八年级数学全等三角形选择题（难）19．已知：如图，在长方形ABCD 中，AB=4，AD=6．延长BC 到点E ，使CE=2，连接DE ，动点P 从点B 出发，以每秒2个单位的速度沿BC-CD-DA 向终点A 运动，设点P 的运动时间为t 秒，当t 的值为_____秒时，△ABP 和△DCE 全等．A ．1B ．1或3C ．1或7D ．3或7 【答案】C【解析】【分析】 分两种情况进行讨论，根据题意得出BP=2t=2和AP=16-2t=2即可求得．【详解】解：因为AB=CD ，若∠ABP=∠DCE=90°，BP=CE=2，根据SAS 证得△ABP ≌△DCE ，由题意得：BP=2t=2，所以t=1，因为AB=CD，若∠BAP=∠DCE=90°，AP=CE=2，根据SAS证得△BAP≌△DCE，由题意得：AP=16-2t=2，解得t=7．所以，当t的值为1或7秒时．△ABP和△DCE全等．故选C．【点睛】本题考查全等三角形的判定，判定方法有：ASA，SAS，AAS，SSS，HL．20．下列命题中的假命题是（）A．等边三角形的一个内角的平分线把这个等边三角形分成的两个三角形全等B．等腰三角形底边上的中线把这个等腰三角形分成的两个三角形全等C．等腰直角三角形底边上的高把这个等腰直角三角形分成的两个三角形全等D．直角三角形斜边上的中线把这个直角三角形分成的两个三角形全等【答案】D【解析】【分析】根据等边三角形、等腰三角形、直角三角形的性质和全等三角形的判定进行判定即可.【详解】解：A、等边三角形的一个内角的平分线把这个等边三角形分成的两个三角形全等，正确，是真命题；B、等腰三角形底边上的中线把这个等腰三角形分成的两个三角形全等，正确，是真命题；C、等腰直角三角形底边上的高把这个等腰直角三角形分成的两个三角形全等，正确，是真命题；D、直角三角形斜边上的中线把这个直角三角形分成的两个三角形全等，错误，是假命题，故答案为D．【点睛】本题考查了等边三角形、等腰三角形、直角三角形的性质和全等三角形的判定，其中灵活应用所学知识是解答本题的关键.21．已知等边△ABC中，在射线BA上有一点D，连接CD，并以CD为边向上作等边△CDE，连接BE和AE，试判断下列结论：①AE=BD；②AE与AB所夹锐夹角为60°；③当D在线段AB或BA延长线上时，总有∠BDE-∠AED=2∠BDC；④∠BCD=90°时，CE2+AD2=AC2+DE2，正确的序号有（）A．①②B．①②③C．①②④D．①②③④【答案】C【解析】【分析】由∠BCD=∠ACD+60°，∠ACE=∠ACD+60°可得∠BCD=∠ACE，利用SAS可证明△BCD≌△ACE，可得AE=BD，①正确；∠CBD=∠CAE=60°，进而可得∠EAD=60°，②正确，当∠BCD=90°时，可得∠ACD=∠ADC=30°，可得AD=AC，即可得CE2+AD2=AC2+DE2，④正确；当D点在BA延长线上时，∠BDE-∠BDC=60°，根据△BCD≌△ACE可得∠AEC=∠BDC，进而可得∠BDC+∠AED=∠AEC+∠AED=∠CED=60°，即可证明∠BDE-∠BDC=∠BDC+∠AED，即∠BDE-∠AED=2∠BDC，当点D在AB上时可证明∠BDE-∠AED=120°，③错误，综上即可得答案.【详解】∵∠BCA=∠DCE=60°，∴∠BCA+∠ACD=∠DCE+∠ACD，∴∠BCD=∠ACE，又∵AC=BC，CE=CD，∴△BCD≌△ACE，∴AE=BD，∠CBA=∠CAE=60°，∠AEC=∠BDC，①正确，∴∠BAE=120°，∴∠EAD=60°，②正确，∵∠BCD=90°，∠BCA=60°，∴∠ACD=∠ADC=30°，∴AC=AD，∵CE=DE，∴CE2+AD2=AC2+DE2，④正确，当D点在BA延长线上时，∠BDE-∠BDC=60°，∵∠AEC=∠BDC，∴∠BDC+∠AED=∠AEC+∠AED=∠CED=60°，∴∠BDE-∠BDC=∠BDC+∠AED∴∠BDE-∠AED=2∠BDC，如图，当点D在AB上时，∵△BCD≌△∠ACE，∴∠CAE=∠CBD=60°，∴∠DAE=∠BAC+∠CAE=120°，∴∠BDE-∠AED=∠DAE=120°，③错误故正确的结论有①②④，故选C.【点睛】此题主要考查等边三角形的性质和全等三角形的判定与性质等知识点的理解和掌握22．如图，点 D 是等腰直角△ABC 腰 BC 上的中点，点B 、B′ 关于 AD 对称，且BB′ 交AD 于 F，交 AC 于 E，连接 FC 、 AB′，下列说法：① ∠BAD=30°； ② ∠BFC=135°；③ AF=2B′ C；正确的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【解析】【分析】依据点D是等腰直角△ABC腰BC上的中点，可得tan∠BAD=12，即可得到∠BAD≠30°；连接B'D，即可得到∠BB'C=∠BB'D+∠DB'C=90°，进而得出△ABF≌△BCB'，判定△FCB'是等腰直角三角形，即可得到∠CFB'=45°，即∠BFC=135°；由△ABF≌△BCB'，可得AF=BB'=2BF=2B'C；依据△AEF与△CEB'不全等，即可得到S△AFE≠S△FCE．【详解】∵点D是等腰直角△ABC腰BC上的中点，∴BD=12BC=12AB，∴tan∠BAD=12，∴∠BAD≠30°，故①错误；如图，连接B'D，∵B、B′关于AD对称，∴AD垂直平分BB'，∴∠AFB=90°，BD=B'D=CD，∴∠DBB'=∠BB'D，∠DCB'=∠DB'C，∴∠BB'C=∠BB'D+∠DB'C=90°，∴∠AFB=∠BB'C，又∵∠BAF+∠ABF=90°=∠CBB'+∠ABF，∴∠BAF=∠CBB'，∴△ABF≌△BCB'，∴BF=CB'=B'F，∴△FCB'是等腰直角三角形，∴∠CFB'=45°，即∠BFC=135°，故②正确；由△ABF≌△BCB'，可得AF=BB'=2BF=2B'C，故③正确；∵AF＞BF=B'C，∴△AEF与△CEB'不全等，∴AE≠CE，∴S△AFE≠S△FCE，故④错误；故选B．【点睛】本题主要考查了轴对称的性质以及全等三角形的判定与性质的运用，如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线．23．如右图，在△ABC中，点Q，P分别是边AC，BC上的点，AQ=PQ，PR⊥AB于R，PS⊥AC于S，且PR=PS，下面四个结论：①AP平分∠BAC；②AS=AR；③BP=QP；④QP∥AB．其中一定正确的是( )A．①②③B．①③④C．①②④D．②③④【答案】C【解析】试题解析：∵PR⊥AB于点R，PS⊥AC于点S，且PR=PS，∴点P在∠BAC的平分线上，即AP平分∠BAC，故①正确；∴∠PAR=∠PAQ，∵AQ=PQ，∴∠APQ=∠PAQ，∴∠APQ=∠PAR，QP AB∴，故④正确；在△APR与△APS中,AP AP PR PS=⎧⎨=⎩，(HL)APR APS∴≌，∴AR=AS，故②正确；△BPR和△QSP只能知道PR=PS,∠BRP=∠QSP=90∘，其他条件不容易得到，所以，不一定全等.故③错误.故选C.24．下列条件中，不能判定两个直角三角形全等的是( )A．两条直角边对应相等B．有两条边对应相等C．斜边和一锐角对应相等D．一条直角边和斜边对应相等【答案】B【解析】根据全等三角形的判定SAS，可知两条直角边对应相等的两个直角三角形全等，故A不正确；根据一条直角边和斜边对应相等的两个直角三角形，符合全等三角形的判定定理HL，能判定全等；若两条直角边对应相等的两个直角三角形，符合全等三角形的判定定理SAS，也能判全等，但是有两边对应相等，没说明是什么边对应，故不能判定，故B正确．根据全等三角形的判定AAS，可知斜边和一锐角对应相等的两直角三角形全等，故C不正确；根据直角三角形的判定HL，可知一条直角边和斜边对应相等两直角三角形全等，故D不正确.故选B.点睛：此题主要考查了直角三角形全等的判定，解题时利用三角形全等的判定SSS，SAS，ASA，AAS，HL，直接判断即可.五、八年级数学轴对称三角形填空题（难）25．我们知道，经过三角形一顶点和此顶点所对边上的任意一点的直线，均能把三角形分割成两个三角形（1）如图，在ABC∆中，25,105A ABC∠=︒∠=︒，过B作一直线交AC于D，若BD 把ABC∆分割成两个等腰三角形，则BDA∠的度数是______．（2）已知在ABC∆中，AB AC=，过顶点和顶点对边上一点的直线，把ABC∆分割成两个等腰三角形，则A∠的最小度数为________．【答案】130︒1807︒⎛⎫⎪⎝⎭【解析】【分析】（1）由题意得：DA=DB，结合25A∠=︒，即可得到答案；（2）根据题意，分4种情况讨论，①当BD=AD，CD=AD，②当AD=BD，AC=CD，③AB=AC，当AD=BD=BC，④当AD=BD，CD=BC，分别求出A∠的度数，即可得到答案．【详解】（1）由题意得：当DA=BA，BD=BA时，不符合题意，当DA=DB时，则∠ABD=∠A=25°，∴∠BDA=180°-25°×2=130°．故答案为：130°；（2）①如图1，∵AB=AC，当BD=AD，CD=AD，∴∠B=∠C=∠BAD=∠CAD，∵∠BAC+∠B+∠C=180°，∴4∠B=180°，∴∠BAC=90°．②如图2，∵AB=AC，当AD=BD，AC=CD，∴∠B=∠C=∠BAD，∠CAD=∠CDA，∵∠CDA=∠B+∠BAD=2∠B，∴∠BAC=3∠B，∵∠BAC+∠B+∠C=180°，∴5∠B=180°，∴∠B=36°，∴∠BAC=108°．③如图3，∵AB=AC，当AD=BD=BC，∴∠ABC=∠C，∠BAC=∠ABD，∠BDC=∠C，∵∠BDC=∠A+∠ABD=2∠BAC，∴∠ABC=∠C=2∠BAC，∵∠BAC+∠ABC+∠C=180°，∴5∠BAC=180°，∴∠BAC=36°．④如图4，∵AB=AC，当AD=BD，CD=BC，∴∠ABC=∠C，∠BAC=∠ABD，∠CDB=∠CBD，∵∠BDC=∠BAC+∠ABD=2∠BAC，∴∠ABC=∠C=3∠BAC，∵∠BAC+∠ABC+∠C=180°，∴7∠BAC=180°，∴∠BAC=180 ()7︒．综上所述，∠A的最小度数为：180 ()7︒．故答案是：180 ()7︒．【点睛】本题主要考查等腰三角形的性质定理以及三角形内角和定理与外角的性质，根据等腰三角形的性质，分类讨论，是解题的关键．26．如图，在△ABC中，AB=10，∠B=60°，点D、E分别在AB、BC上，且BD=BE=4，将△BDE沿DE所在直线折叠得到△B′DE（点B′在四边形ADEC内），连接AB′，则AB′的长为______．【答案】2.【解析】【分析】【详解】过点D作DF⊥B′E于点F，过点B′作B′G⊥AD于点G，∵∠B=60°，BE=BD=4，∴△BDE是等边三角形，∵△B′DE≌△BDE，∴B′F=1B′E=BE=2，3,2∴GD=B′F=2，∴3∵AB=10，∴AG=10﹣6=4，∴7考点：1轴对称；2等边三角形.27．如图，在直角坐标系中，点()8,8B -，点()2,0C -，若动点P 从坐标原点出发，沿y 轴正方向匀速运动，运动速度为1/cm s ，设点P 运动时间为t 秒，当BCP ∆是以BC 为腰的等腰三角形时，直接写出t 的所有值__________________．【答案】2秒或46秒或14秒【解析】【分析】分两种情况：PC 为腰或BP 为腰.分别作出符合条件的图形，计算出OP 的长度，即可求出t 的值．【详解】解：如图所示，过点B 作BD ⊥x 轴于点D ，作BE ⊥y 轴于点E ，分别以点B 和点C 为圆心，以BC 长为半径画弧交y 轴正半轴于点F ，点H 和点G∵点B （-8，8），点C （-2，0），∴DC=6cm ，BD=8cm ，由勾股定理得：BC=10cm∴在直角三角形COG 中，OC=2cm ，CG=BC=10cm ，∴OP=OG= 2210246(cm)-=，当点P 运动到点F 或点H 时，BE=8cm ，BH=BF=10cm ，∴EF=EH=6cm∴OP=OF=8-6=2（cm ）或OP=OH=8+6=14（cm ），故答案为：2秒，46秒或14秒．【点睛】本题综合考查了勾股定理和等腰三角形在平面直角坐标系中的应用，通过作图找出要求的点的位置，利用勾股定理来求解是本题的关键．28．如图，ABC ∆中，AB AC =，点D 是ABC ∆内部一点，DB DC =，点E 是边AB 上一点，若CD 平分ACE ∠，100AEC =∠，则BDC ∠=______°【答案】80【解析】【分析】根据角平分线得到∠ACE=2∠ACD ，再根据角的和差关系得到∠ECB =∠ACB －2∠ACD ，然后利用外角定理得到∠ABC+∠ECB=100°，代换化简得出∠ACB －∠ACD=50°，即∠DCB=50°，从而求出∠BDC 即可.【详解】∵CD 平分∠ACE ，∴∠ACE=2∠ACD=2∠ECD ，∴∠ECB=∠ACB －∠ACE=∠ACB －2∠ACD ，∵∠AEC=100°，∴∠ABC+∠ECB=100°，∴∠ABC+∠ACB －2∠ACD=100°，∵AB=AC ，∴∠ABC=∠ACB,∴2∠ACB－2∠ACD=100°，∴∠ACB－∠ACD=50°，即∠DCB=50°，∵DB=DC，∴∠DBC=∠DCB，∴∠BDC=180°－2∠DCB=180°－2×50°=80°.【点睛】本题考查了角平分线，三角形内角和，外角定理，及等边对等角的性质等知识，熟练掌握基本知识，找出角与角之间的关系是解题的关键.29．如图，在△ABC中，AB=AC，D、E是△ABC内两点，AD平分∠BAC，∠EBC=∠E=60°，若BE=6cm，DE=2cm，则BC=_____cm．【答案】8cm.【解析】【详解】解：如图，延长ED交BC于M，延长AD交BC于N，作DF∥BC，∵AB=AC，AD平分∠BAC，∴AN⊥BC，BN=CN，∵∠EBC=∠E=60°，∴△BEM为等边三角形，∴△EFD为等边三角形，∵BE=6cm，DE=2cm，∴DM=4，∵△BEM为等边三角形，∴∠EMB=60°，∵AN ⊥BC ，∴∠DNM=90°，∴∠NDM=36°，∴NM=2，∴BN=4，∴BC=8．30．如图：在ABC ∆中，D ，E 为边AB 上的两个点，且BD BC =，AE AC =，若108ACB ∠=︒，则DCE ∠的大小为______.【答案】036【解析】【分析】根据三角形内角和求出∠A+∠B,再根据AC=AE,BC=BD ，用∠A 表示∠AEC,用∠B 表示∠BDC，然后根据内角和求出∠DCE 的度数.【详解】∵∠ACB=1080，∴∠A+∠B=1800-1080=720,∵AC=AE,BC=BD,∴∠ACE=∠AEC,∠BCD=∠BDC,∴01(180)2AEC A ∠=-∠01902A =-∠ 01(180)2BDCB ∠=-∠ =01902B -∠ ∵∠DCE+∠CDE+∠DEC=1800，∴0180DCE CDE CED ∠=-∠-∠= 00011180(90)(90)22A B --∠--∠ =1122A B ∠+∠ =1()2A B ∠+∠ =360【点睛】此题考察等腰三角形的性质，注意两条等边所在三角形，依此判断对应的两个底角相等.六、八年级数学轴对称三角形选择题（难）31．如图，ABC，分别以AB、AC为边作等边三角形ABD与等边三角形ACE，连接BE、CD，BE的延长线与CD交于点F，连接AF，有以下四个结论：①BE CD=；②FA平分EFC∠；③FE FD=；④FE FC FA+=．其中一定正确的结论有（）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【解析】【分析】根据等边三角形的性质证出△BAE≌△DAC，可得BE=CD，从而得出①正确；过A作AM⊥BF于M，过A作AN⊥DC于N，由△BAE≌△DAC得出∠BEA=∠ACD，由等角的补角相等得出∠AEM=∠CAN，由AAS可证△AME≌△ANC，得到AM=AN，由角平分线的判定定理得到FA平分∠EFC，从而得出②正确；在FA上截取FG，使FG=FE，根据全等三角形的判定与性质得出△AGE≌△CFE，可得AG=CF，即可求得AF=CF+EF，从而得出④正确；根据CF+EF=AF，CF+DF=CD，得出CD≠AF，从而得出FE≠FD，即可得出③错误．【详解】∵△ABD和△ACE是等边三角形，∴∠BAD=∠EAC=60°，AE=AC=EC．∵∠BAE+∠DAE=60°，∠CAD+∠DAE=60°，∴∠BAE=∠DAC，在△BAE和△DAC中，∵AB ADBAE DACAE AC=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△BAE≌△DAC（SAS），∴BE=CD，①正确；过A作AM⊥BF于M，过A作AN⊥DC于N，如图1．∵△BAE≌△DAC，∴∠BEA=∠ACD，∴∠AEM=∠ACN．∵AM⊥BF，AN⊥DC，∴∠AME=∠ANC．在△AME和△ANC中，∵∠AEM=∠CAN，∠AME=∠ANC，AE=AC，∴△AME≌△ANC，∴AM=AN．∵AM⊥BF，AN⊥DC，AM=AN，FA平分∠EFC，②正确；在FA上截取FG，使FG=FE，如图2．∵∠BEA=∠ACD，∠BEA+∠AEF=180°，∴∠AEF+∠ACD=180°，∴∠EAC+∠EFC=180°．∵∠EAC=60°，∴∠EFC=120°．∵FA平分∠EFC，∴∠EFA=∠CFA=60°．∵EF=FG，∠EFA=60°，∴△EFG是等边三角形，∴EF=EG．∵∠AEG+∠CEG=60°，∠CEG+∠CEF=60°，∴∠AEG=∠CEF，在△AGE和△CFE中，∵AE ACAEG CEFEG EF=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△AGE≌△CFE（SAS），∴AG=CF．∵AF=AG+FG，∴AF=CF+EF，④正确；∵CF+EF=AF，CF+DF=CD，CD≠AF，∴FE≠FD，③错误，∴正确的结论有3个．故选C．【点睛】本题考查了等边三角形的判定与性质以及全等三角形的判定与性质，正确作辅助线是解答本题的关键．32．如图，AOB α∠=，点P 是AOB ∠内的一定点，点,M N 分别在OA OB 、上移动，当PMN ∆的周长最小时，MPN ∠的值为（ ）A ．90α+B ．1902α+C ．180α-D ．1802α-【答案】D【解析】【分析】 过P 点作角的两边的对称点，在连接两个对称点，此时线段与角两边的交点，构成的三角形周长最小.再根据角的关系求解.【详解】解：过P 点作OB 的对称点1P ，过P 作OA 的对称点2P ,连接12PP ，交点为M,N ，则此时PMN 的周长最小，且△1P NP 和△2PMP 为等腰三角形.此时∠12P PP =180°-α；设∠NPM=x°，则180°-x°=2（∠12P PP -x°）所以 x°=180°-2α 【点睛】求出M,N 在什么位子△PMN 周长最小是解此题的关键.33．如图，△ABC 的周长为32，点D 、E 都在边BC 上，∠ABC 的平分线垂直于AE ，垂足为Q ，∠ACB 的平分线垂直于AD ，垂足为P ，若BC ＝12，则PQ 的长为（ ）A ．3B ．4C ．5D ．6【答案】B【解析】【分析】 首先判断△BAE 、△CAD 是等腰三角形，从而得出BA ＝BE ，CA ＝CD ，由△ABC 的周长为32以及BC ＝12，可得DE ＝8，利用中位线定理可求出PQ ．【详解】∵BQ 平分∠ABC ，BQ ⊥AE ，∴∠ABQ ＝∠EBQ ，∵∠ABQ+∠BAQ ＝90°，∠EBQ+∠BEQ ＝90°，∴∠BAQ ＝∠BEQ ， ∴AB ＝BE ，同理：CA ＝CD ，∴点Q 是AE 中点，点P 是AD 中点（三线合一），∴PQ 是△ADE 的中位线，∵BE+CD ＝AB+AC ＝32﹣BC ＝32﹣12＝20，∴DE ＝BE+CD ﹣BC ＝8，∴PQ ＝12DE ＝4． 故选：B ．【点睛】 本题考查了三角形的中位线定理和等腰三角形的性质和判定，解答本题的关键是判断出△BAE 、△CAD 是等腰三角形，利用等腰三角形的性质确定PQ 是△ADE 的中位线．34．如图，等腰ABC ∆中，AB AC =，120BAC ∠=，AD BC ⊥于点D ，点P 是BA 延长线上一点，点O 是线段AD 上一点，OP OC =.下列结论：①30APO DCO ∠+∠=；②APO DCO ∠=∠；③OPC ∆是等边三角形；④AB AO AP =+.其中正确结论的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】D【解析】【分析】 ①②连接OB ，根据垂直平分线性质即可求得OB=OC=OP ，即可解题；③根据周角等于360°和三角形内角和为180°即可求得∠POC=2∠ABD=60°，即可解题；④AB 上找到Q 点使得AQ=OA ，易证△BQO≌△PAO，可得PA=BQ ，即可解题.【详解】连接OB ，∵AB AC =，AD ⊥BC ，∴AD 是BC 垂直平分线，∴OB OC OP ==，∴APO ABO ∠=∠，DBO DCO ∠=∠，∵AB=AC ，∠BAC =120∘∴30ABC ACB ∠=∠=︒∴30ABO DBO ∠+∠=︒，∴30APO DCO ∠+∠=．故①②正确；∵OBP ∆中，180BOP OPB OBP ∠=︒-∠-∠，BOC ∆中，180BOC OBC OCB ∠=︒-∠-∠，∴360POC BOP BOC OPB OBP OBC OCB ∠=︒-∠-∠=∠+∠+∠+∠，∵OPB OBP ∠=∠，OBC OCB ∠=∠，∴260POC ABD ∠=∠=︒，∵PO OC ，∴OPC ∆是等边三角形，故③正确；在AB 上找到Q 点使得AQ=OA ，则AOQ ∆为等边三角形，则120BQO PAO ∠=∠=︒，在BQO ∆和PAO ∆中，BQO PAO QBO APO OB OP ∠∠⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝ ∴BQO PAO AAS ∆∆≌（），∴PA BQ =，∵AB BQ AQ =+，∴AB AO AP =+，故④正确.故选：D.【点睛】本题主要考查全等三角形的判定与性质、线段垂直平分线的性质，本题中求证BQO PAO ∆∆≌是解题的关键．35．如图钢架中，∠A=a ,焊上等长的钢条P 1P 2, P 2P 3, P 3P 4, P 4P 5……来加固钢架.著P 1A= P 1P 2,且恰好用了4根钢条,则α的取值范圈是( )A ．15°≤ a <18°B ．15°< a ≤18°C ．18°≤ a <22.5°D ．18° < a ≤ 22.5°【答案】C【解析】【分析】由每根钢管长度相等，可知图中都是等腰三角形，利用等腰三角形底角一定是锐角，可推出取值范围.【详解】∵AB=BC=CD=DE=EF∴∠P 1P 2A=∠A=a由三角形外角性质，可得∠P 2P 1P 3=2∠A=2a同理可得，∠P 1P 3P 2=∠P 2P 1P 3=2a ，∠P 3P 2P 4=∠P 3P 4P 2=∠A+∠P 1P 3P 2=3a ，∠P 4P 3P 5=∠P 4P 5P 3=∠A+∠P 3P 4P 2=4a ，在△P 4P 3P 5中，∠P 3P 4P 5=180°-2∠P 4P 3P 5=180°-8a当∠P 5P 4B ≥90°即∠P 5P 4A ≤90°时，不能再放钢管，∴3180890+-≤a a ，解得a ≥18°又∵等腰三角形底角只能是锐角，∴4a ＜90°，解得a ＜22.5∴1822.5οο≤<a故选C.【点睛】本题考查等腰三角形的性质，掌握等腰三角形的底角只能是锐角是关键.36．如图，已知等边△ABC 的边长为4，面积为43，点D 为AC 的中点，点E 为BC 的中点，点P 为BD 上一动点，则PE+PC 的最小值为（ ）A ．3B ．2C ．3D ．3【答案】C【解析】【分析】 由题意可知点A 、点C 关于BD 对称，连接AE 交BD 于点P ，由对称的性质可得，PA=PC ，故PE+PC=AE ，由两点之间线段最短可知，AE 即为PE+PC 的最小值．【详解】解：∵△ABC 是等边三角形，点D 为AC 的中点，点E 为BC 的中点，∴BD ⊥AC ，EC ＝2，连接AE ，线段AE 的长即为PE+PC 最小值，∵点E 是边BC 的中点，∴AE ⊥BC ，∴PE+PC 22AC E C -224223-=故选C ．【点睛】本题考查的是轴对称-最短路线问题，熟知等边三角形的性质是解答此题的关键．七、八年级数学整式的乘法与因式分解选择题压轴题（难）37．已知226a b ab +=，且a>b>0，则a b a b +-的值为( ) A 2B 2C ．2 D ．±2 【答案】A【解析】【分析】已知a 2+b 2=6ab ，变形可得（a+b ）2=8ab ，（a-b ）2=4ab ，可以得出（a+b ）和（a-b ）的值，即可得出答案．【详解】∵a 2+b 2=6ab ，∴（a+b ）2=8ab ，（a-b ）2=4ab ，∵a ＞b ＞0，∴8ab 4ab∴a b a b +-824ab ab= 故选A.【点睛】本题考查了分式的化简求值问题，观察式子可以得出应该运用完全平方式来求解，要注意a 、b 的大小关系以及本身的正负关系．38．已知a=2012x+2011，b=2012x+2012，c=2012x+2013，那么a 2+b 2+c 2—ab －bc －ca 的值等于( )A ．0B ．1C ．2D ．3【答案】D【解析】【分析】首先把a 2+b 2+c 2﹣ab ﹣bc ﹣ac 两两结合为a 2﹣ab +b 2﹣bc +c 2﹣ac ，利用提取公因式法因式分解，再把a 、b 、c 代入求值即可．【详解】a 2+b 2+c 2﹣ab ﹣bc ﹣ac＝a 2﹣ab +b 2﹣bc +c 2﹣ac＝a （a ﹣b ）+b （b ﹣c ）+c （c ﹣a ）。
八年级全册全套试卷综合测试(Word版 含答案)
八年级全册全套试卷综合测试（Word 版 含答案）一、八年级数学三角形填空题（难）1．如图，ABC ∆的面积为1，第一次操作：分别延长AB ，BC ，CA 至点111,,A B C ，使111,,A B AB B C BC C A CA ===，顺次连接111,,A B C ，得到111A B C ∆；第二次操作：分别延长111111,,A B B C C A 至点222,,A B C ，使2111A B A B =，2111B C B C =，2111C A C A =，顺次连接222,,A B C ，得到222A B C ∆，…；按此规律，要使得到的三角形的面积超过2020，最少需经过__________次操作.【答案】4【解析】【分析】连接111,,AC B A C B ，根据两个三角形等底同高可得111111111,C A B C AB A B C A BC B C A B CA ABC S S S S S S S ======从而得出第一次操作：11177A B C ABC S S ∆∆==＜2020；同理可得第二次操作22211127749A B C A B C S S ∆∆===＜2020……直至第四次操作4443334772401A B C A B C S S ∆∆===＞2020，即可得出结论．【详解】解：连接111,,AC B A C B∵111,,A B AB B C BC C A CA ===根据等底同高可得：111111111,,C A B C AB ABC A B C A BC ABC B C A B CA ABC S S S S SS S S S ====== ∴111111111,C A B C AB A B C A BC B C A B CA ABC S S S S S S S ======∴第一次操作：11177A B C ABC S S ∆∆==＜2020同理可得第二次操作22211127749A B C A B C S S ∆∆===＜2020第三次操作333222377343A B C A B C S S ∆∆===＜2020第四次操作4443334772401A B C A B C S S ∆∆===＞2020故要使得到的三角形的面积超过2020，最少需经过4次操作，故答案为：4．【点睛】此题考查的是三角形的面积关系和探索规律，掌握两个三角形等底同高时，面积相等是解决此题的关键．2．直角三角形中，两锐角的角平分线所夹的锐角是_____度．【答案】45【解析】【分析】根据题意画出符合条件的图形，然后根据直角三角形的两锐角互余和角平分线的性质，以及三角形的外角的性质求解即可.【详解】如图所示△ACB 为Rt△，AD ，BE ，分别是∠CAB 和∠ABC 的角平分线，AD ，BE 相交于一点F ． ∵∠ACB=90°，∴∠CAB+∠ABC=90°∵AD，BE ，分别是∠CAB 和∠ABC 的角平分线，∴∠FAB+∠FBA=12∠CAB+12∠ABC=45°． 故答案为45.【点睛】此题主要考查了直角三角形的两锐角互余和三角形的外角的性质，关键是根据题意画出相应的图形，利用三角形的相关性质求解.3．已知三角形的两边的长分别为2cm 和8cm ，设第三边中线的长为x cm ，则x 的取值范围是_______【答案】3＜x ＜5【解析】【分析】延长AD至M使DM=AD，连接CM，先说明△ABD≌△CDM，得到CM=AB=8，再求出2AD的范围，最后求出AD的范围.【详解】解：如图：AB=8，AC=2，延长AD至M使DM=AD，连接CM在△ABD和△CDM中，AD MDADB MDCBD CD=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ABD≌△MCD（SAS），∴CM=AB=8．在△ACM中：8-2＜2x＜8+2，解得：3＜x＜5．故答案为：3＜x＜5．【点睛】本题考查了三角形的三边关系，解答的关键在于画出图形，数形结合完成解答.4．如图，在△ABC中，∠C=46°，将△ABC沿着直线l折叠，点C落在点D的位置，则∠1﹣∠2的度数是_____．【答案】92°．【解析】【分析】由折叠的性质得到∠D=∠C，再利用外角性质即可求出所求角的度数．【详解】由折叠的性质得：∠C'=∠C=46°，根据外角性质得：∠1=∠3+∠C，∠3=∠2+∠C'，则∠1=∠2+∠C+∠C'=∠2+2∠C=∠2+92°，则∠1﹣∠2=92°．故答案为：92°．【点睛】考查翻折变换（折叠问题），三角形内角和定理，熟练掌握折叠的性质是解题的关键.5．已知等腰三角形的两边长分别为3和5，则它的周长是____________【答案】11或13【解析】【分析】题目给出等腰三角形有两条边长为3和5，而没有明确腰、底分别是多少，所以要进行讨论，还要应用三角形的三边关系验证能否组成三角形．【详解】解：有两种情况：①腰长为3，底边长为5，三边为：3，3，5可构成三角形，周长=3+3+5=11；②腰长为5，底边长为3，三边为：5，5，3可构成三角形，周长=5+5+3=13．故答案为：11或13．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要，也是解题的关键．6．如图，在△ABC中，∠A=70°，点O到AB,BC,AC的距离相等，连接BO，CO，则∠BOC=________．【答案】125°【解析】【分析】根据角平分线性质推出O为△ABC三角平分线的交点，根据三角形内角和定理求出∠ABC+∠ACB ，根据角平分线定义求出∠OBC+∠OCB ，即可求出答案．【详解】：∵点O 到AB 、BC 、AC 的距离相等，∴OB 平分∠ABC ，OC 平分∠ACB ， ∴12OBC ABC ∠=∠，12OCB ACB ∠=∠， ∵∠A=70°，∴∠ABC+∠ACB=180°-70°=110°， ∴1110552OBC OCB ∠+∠=⨯︒=︒， ∴∠BOC=180°-（∠OBC+∠OCB ）=125°；故答案为：125．【点睛】本题主要考查平分线的性质，三角形内角和定理的应用，能求出∠OBC+∠OCB 的度数是解此题的关键．二、八年级数学三角形选择题（难）7．适合下列条件的△ABC 中, 直角三角形的个数为 ①111345a b c ，，；===②6a =，∠A =45°;③∠A =32°, ∠B =58°； ④72425a b c ===，，；⑤22 4.a b c ===，，⑥::3:4:5a b c =⑦::12:13:15A B C ∠∠∠=⑹5a b c === A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个【答案】C【解析】 根据勾股定理的逆定理，可分别求出各边的平方，然后计算判断：222111+345≠（）（）（），故①不能构成直角三角形；当a=6，∠A=45°时，②不足以判定该三角形是直角三角形；根据直角三角形的两锐角互余，可由∠A+∠B=90°，可知③是直角三角形；根据72=49，242=576，252=625，可知72+242=252，故④能够成直角三角形；由三角形的三边关系，2+2=4可知⑤不能构成三角形；令a=3x ，b=4x ，c=5x ，可知a 2+b 2=c 2，故⑥能够成直角三角形；根据三角形的内角和可知⑦不等构成直角三角形；由a 2=5，b 2=20，c 2=25，可知a 2+b 2=c 2，故⑧能够成直角三角形.故选：C.点睛：此题主要考查了直角三角形的判定，解题关键是根据角的关系，两锐角互余，和边的关系，即勾股定理的逆定理，可直接求解判断即可，比较简单.8．已知△ABC 的两条高的长分别为5和20，若第三条高的长也是整数，则第三条高的长的最大值为( )A ．5B ．6C ．7D ．8【答案】B【解析】设△ABC 的面积为S ，所求的第三条高线的长为h ，则三边长分别为,,，根据三角形的三边关系为 ，解得 ，所以h 的最大整数值为6，即第三条高线的长的最大值为6．故选B ．点睛：本题主要考查了三角形的面积公式，三角形三边关系定理及不等式组的解法，有一定难度．利用三角形的面积公式，表示出△ABC 三边的长度，从而运用三角形三边关系定理，列出不等式组是解题的关键，难点是解不等式组．9．若（a ﹣3）2+|b ﹣6|＝0，则以a 、b 为边长的等腰三角形的周长为（ ）A ．12B ．15C ．12或15D ．18 【答案】B【解析】【分析】根据非负数的和为零，可得每个非负数同时为零，可得a 、b 的值，根据等腰三角形的判定，可得三角形的腰，根据三角形的周长公式，可得答案．【详解】由（a ﹣3）2+|b ﹣6|＝0，得a ﹣3＝0，b ﹣6＝0．则以a 、b 为边长的等腰三角形的腰长为6，底边长为3，周长为6+6+3＝15，故选B ．【点睛】本题考查了非负数的性质，利用非负数的和为零得出每个非负数同时为零是解题关键．10．在ΔABC 中，AB 3=，AC 5=，第三边BC 的取值范围是( )A ．10BC 13<<B ．4BC 12<< C ．3BC 8<<D ．2BC 8<<【答案】D【解析】【分析】已知两边，则第三边的长度应是大于两边的差而小于两边的和，这样就可求出第三边的边长的取值范围．【详解】∵AB=3，AC=5，∴5-3<BC<5+3，即2<BC<8，故选D.【点睛】考查了三角形三边关系，一个三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．熟练掌握三角形的三边关系是解题关键.11．一个多边形的每个内角均为108º，则这个多边形是（ ）A ．七边形B ．六边形C ．五边形D ．四边形【答案】C【解析】试题分析：因为这个多边形的每个内角都为108°，所以它的每一个外角都为72°，所以它的边数=360÷72=5（边）.考点：⒈多边形的内角和；⒉多边形的外角和.12．如图，把三角形纸片ABC 沿DE 折叠，当点A 落在四边形BCDE 外部时，则∠A 与∠1、∠2之间的数量关系是（ ）A ．212A ∠=∠-∠B ．32(12)A ∠=∠-∠C ．3212A ∠=∠-∠D ．12A ∠=∠-∠【答案】A【解析】【分析】 根据折叠的性质可得∠A′=∠A ，根据平角等于180°用∠1表示出∠ADA′，根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，用∠2与∠A′表示出∠3，然后利用三角形的内角和等于180°列式整理即可得解．【详解】如图所示：∵△A′DE 是△ADE 沿DE 折叠得到，∴∠A′=∠A ，又∵∠ADA′=180°-∠1，∠3=∠A′+∠2，∵∠A+∠ADA′+∠3=180°，即∠A+180°-∠1+∠A′+∠2=180°，整理得，2∠A=∠1-∠2．故选A.【点睛】考查了三角形的内角和定理以及折叠的性质，根据折叠的性质，平角的定义以及三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，把∠1、∠2、∠A 转化到同一个三角形中是解题的关键．三、八年级数学全等三角形填空题（难）13．如图，△ABC 的三边AB 、BC 、CA 的长分别为30、40、15，点P 是三条角平分线的交点，将△ABC 分成三个三角形，则APB S ∆︰BPC S ∆︰CPA S ∆等于____．【答案】6：8：3【解析】【分析】由角平分线性质可知，点P 到三角形三边的距离相等，即三个三角形的AB 、BC 、CA 边上的高相等，利用面积公式即可求解.【详解】解：过点P 作PD ⊥BC 于D ，PE ⊥CA 于E ，PF ⊥AB 于F∵P 是三条角平分线的交点∴PD=PE=PF∵AB=30，BC=40，CA=15∴APB S ∆︰BPC S ∆︰CPA S ∆=30∶40∶15=6∶8∶3故答案为6∶8∶3.【点睛】本题主要考查了角平分线的性质和三角形面积的求法. 角平分线上的点到两边的距离相等.难度不大，作辅助线是关键.14．如图，P为等边△ABC内一点，∠APC=150°，且∠APD=30°，AP=6，CP=3，DP=7，则BD的长为______.【答案】234.【解析】【分析】将△CPA绕点C逆时针旋转60°得到△CEB，连接EP，由全等三角形的性质可得CE=CP，∠ECB=∠PCA，∠CEB=∠CPA=150°，BE=AP=6，结合等边三角形的性质可得出∠ECP=60°，进而证明△ECP为等边三角形，由等边△ECP的性质进而证明D、P、E三点共线以及∠DEB=90°，最后利用勾股定理求出BD的长度即可.【详解】将△CPA绕点C逆时针旋转60°得到△CEB，连接EP，∴CE=CP，∠ECB=∠PCA，∠CEB=∠CPA=150°，BE=AP=6，∵等边△ABC，∴∠ACP+∠PCB=60°，∴∠ECB+∠PCB=60°,即∠ECP=60°，∴△ECP为等边三角形，∴∠CPE=∠CEP=60°，PE=6，∴∠DEB=90°，∵∠APC=150°，∠APD=30°，∴∠DPC=120°，∴∠DPE=180°，即D、P、E三点共线，∴ED=3+7=10，∴BD=22DE BE=234.故答案为234.【点睛】本题主要考查全等三角形的性质、勾股定理、等边三角形的判定与性质以及三点共线的判定，运用旋转构造全等三角形是解题的关键.15．已知：如图，△ABC和△DEC都是等边三角形，D是BC延长线上一点，AD与BE相交于点P，AC、BE相交于点M，AD，CE相交于点N，则下列五个结论：①AD＝BE；②AP＝BM；③∠APM＝60°；④△CMN是等边三角形；⑤连接CP，则CP平分∠BPD，其中，正确的是_____．（填写序号）【答案】①③④⑤．【解析】【分析】①根据△ACD≌△BCE(SAS)即可证明AD＝BE；②根据△ACN≌△BCM(ASA)即可证明AN＝BM，从而判断AP≠BM；③根据∠CBE+∠CDA＝60°即可求出∠APM=60°；④根据△ACN≌△BCM及∠MCN＝60°可知△CMN为等边三角形；⑤根据角平分线的性质可知.【详解】①∵△ABC和△CDE都是等边三角形∴CA＝CB，CD＝CE，∠ACB＝60°，∠DCE＝60°∴∠ACE＝60°∴∠ACD＝∠BCE＝120°在△ACD和△BCE中CA CBACD BCECD CE=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ACD≌△BCE(SAS)∴AD＝BE；②∵△ACD≌△BCE∴∠CAD＝∠CBE在△ACN和△BCM中ACN BCMCA CBCAN CBM∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴△ACN≌△BCM(ASA)∴AN＝BM；③∵∠CAD+∠CDA＝60°而∠CAD＝∠CBE∴∠CBE+∠CDA＝60°∴∠BPD＝120°∴∠APM＝60°；④∵△ACN≌△BCM∴CN＝BM而∠MCN＝60°∴△CMN为等边三角形；⑤过C点作CH⊥BE于H，CQ⊥AD于Q，如图∵△ACD≌△BCE∴CQ＝CH∴CP平分∠BPD.故答案为：①③④⑤．【点睛】本题主要考查了三角形全等的判定和性质的灵活运用，角的计算及角平分线的判定，熟练掌握三角形全等的证明方法，角平分线的判定及相关辅助线的作法是解决本题的关键.16．已知：四边形ABCD中，AB=AD=CD，∠BAD=90°，三角形ABC的面积为1，则线段AC的长度是___________.【答案】2【解析】【分析】过B作BE⊥AC于E, 过D作DF⊥AC于F,构造得出BE=AF利用等腰三角形三线合一的性质得出：AF=可得BE=AF=，利用三角形ABC 的面积为1进行计算即可.【详解】过B 作BE ⊥AC 于E, 过D 作DF ⊥AC 于F,∴∠BEA=∠AFD=90°∴∠2+∠3=90°∵∠BAD=90°∴∠1+∠2=90°∴∠1=∠3 ∵AB=AD∴∴BE=AF∵AD=CD ，DF ⊥AC∴AF= ∴BE=AF=∴∴AC=2故答案为：2【点睛】本题考查了利用一线三等角构造全等三角形，以及利用三角形面积公式列方程求线段，熟练掌握辅助线做法构造全等是解题的关键.17．已知∠ABC=60°，点D 是其角平分线上一点，BD=CD=6，DE//AB 交BC 于点E.若在射线BA 上存在点F ，使DCF BDE S S ∆∆=，请写出相应的BF 的长：BF ＝_________【答案】23或43.【解析】【分析】过点D作DF1∥BE，求出四边形BEDF1是菱形，根据菱形的对边相等可得BE=DF1，然后根据等底等高的三角形的面积相等可知点F1为所求的点，过点D作DF2⊥BD，求出∠F1DF2=60°，从而得到△DF1F2是等边三角形，然后求出DF1=DF2，再求出∠CDF1=∠CDF2，利用“边角边”证明△CDF1和△CDF2全等，根据全等三角形的面积相等可得点F2也是所求的点，然后在等腰△BDE中求出BE的长，即可得解．【详解】如图，过点D作DF1∥BE，易求四边形BEDF1是菱形，所以BE=DF1，且BE、DF1上的高相等，此时S△DCF1=S△BDE；过点D作DF2⊥BD，∵∠ABC=60°，F1D∥BE，∴∠F2F1D=∠ABC=60°，∵BF1=DF1，∠F1BD=12∠ABC=30°，∠F2DB=90°，∴∠F1DF2=∠ABC=60°，∴△DF1F2是等边三角形，∴DF1=DF2，∵BD=CD，∠ABC=60°，点D是角平分线上一点，∴∠DBC=∠DCB=12×60°=30°，∴∠CDF1=180°-∠BCD=180°-30°=150°，∠CDF2=360°-150°-60°=150°，∴∠CDF1=∠CDF2，∵在△CDF1和△CDF2中，1212DF DFCDF CDFCD CD⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝，∴△CDF1≌△CDF2（SAS），∴点F2也是所求的点，∵∠ABC=60°，点D是角平分线上一点，DE∥AB，∴∠DBC=∠BDE=∠ABD=12×60°=30°，又∵BD=6，∴BE=12×6÷cos30°=3÷32=23，∴BF1=BF2=BF1+F1F2=23+23=43，故BF的长为23或43.故答案为：23或43.【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，三角形的面积，等边三角形的判定与性质，直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半的性质，熟练掌握等底等高的三角形的面积相等，以及全等三角形的面积相等是解题关键，（3）要注意符合条件的点F有两个．18．如图，在△ABC中，∠ABC=50°，∠ACB=60°，点E在BC的延长线上，∠ABC的平分线BD与∠ACE的平分线CD相交于点D，连接AD，以下结论：①∠BAC=70°；②∠DOC=90°；③∠BDC=35°；④∠DAC=55°，其中正确的是__________．（填写序号）【答案】①③④【解析】【分析】根据三角形内角和定理、角平分线的定义、三角形外角的性质、角平分线的性质解答即可．【详解】解：∵∠ABC=50°，∠ACB=60°，∴∠BAC=180°﹣50°﹣60°=70°，①正确；∵BD是∠ABC的平分线，∴∠DBC=12∠ABC=25°，∴∠DOC=25°+60°=85°，②错误；∠BDC=60°﹣25°=35°，③正确；∵∠ABC的平分线BD与∠ACE的平分线CD相交于点D，∴AD是∠BAC的外角平分线，∴∠DAC=55°，④正确．故答案为①③④．【点睛】本题考查的是角平分线的定义和性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．四、八年级数学全等三角形选择题（难）19．如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠ADC＝180°，E、F分别是边BC、CD延长线上的点，∠EAF＝12∠BAD，若DF＝1，BE＝5，则线段EF的长为（）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】B【解析】【分析】在BE上截取BG＝DF，先证△ADF≌△ABG，再证△AEG≌△AEF即可解答．【详解】在BE上截取BG＝DF，∵∠B+∠ADC＝180°，∠ADC+∠ADF＝180°，∴∠B＝∠ADF，在△ADF与△ABG中AB ADB ADFBG DF=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ADF≌△ABG（SAS），∴AG＝AF，∠FAD＝∠GAB，∵∠EAF＝12∠BAD，∴∠FAE＝∠GAE，在△AEG与△AEF中AG AFFAE GAEAE AE=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△AEG≌△AEF（SAS）∴EF＝EG＝BE﹣BG＝BE﹣DF＝4．故选：B．【点睛】考查了全等三角形的判定与性质，证明三角形全等是解决问题的关键．20．已知：如图，在长方形ABCD中，AB=4，AD=6．延长BC到点E，使CE=2，连接DE，动点P从点B出发，以每秒2个单位的速度沿BC-CD-DA向终点A运动，设点P的运动时间为t秒，当t的值为_____秒时，△ABP和△DCE全等．A．1 B．1或3 C．1或7 D．3或7【答案】C【解析】【分析】分两种情况进行讨论，根据题意得出BP=2t=2和AP=16-2t=2即可求得．【详解】解：因为AB=CD，若∠ABP=∠DCE=90°，BP=CE=2，根据SAS证得△ABP≌△DCE，由题意得：BP=2t=2，所以t=1，因为AB=CD，若∠BAP=∠DCE=90°，AP=CE=2，根据SAS证得△BAP≌△DCE，由题意得：AP=16-2t=2，解得t=7．所以，当t的值为1或7秒时．△ABP和△DCE全等．故选C．【点睛】本题考查全等三角形的判定，判定方法有：ASA，SAS，AAS，SSS，HL．21．如图，在△ABC中，∠ABC=45°， BC=4，以AC为直角边，点A为直角顶点向△ABC的外侧作等腰直角三角形ACD，连接BD，则△DBC的面积为( ) .A．8 B．10 C．42D．82【答案】A【解析】【分析】将△ABD绕着点A顺时针旋转90°得到△AEC，BD与EC交于点O，连接BE，根据旋转的性质得到AE=AB，∠BAE=∠DOC=90°，过D点作DF⊥BC，证△EBC≌BFD，可得DF=BC=4，再用三角形面积公式即可得出答案.【详解】解：如下图所示，将△ABD绕着点A顺时针旋转90°得到△AEC，BD与EC交于点O，连接BE，根据旋转的性质可知EC=BD，AE=AB，∠BAE=∠DOC=90°，∴△ABE是等腰直角三角形，∴∠ABE=45°，又∵∠ABC=45°，∴∠EBC=90°，∵∠BDF+∠DBF=90°，∠ECB+∠DBF=90°，∴∠BDF=∠ECB在△EBC和△BFD中EBC=BFD=90ECB=BDFEC=BD⎧∠∠⎪∠∠⎨⎪⎩∴△EBC≌△BFD（AAS）∴DF=BC=4∴△DBC的面积=11BC DF=44=822⋅⨯⨯故选A.【点睛】本题考查了旋转的性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定，是一道综合性较强的题，难度较大，关键是正确的作出辅助线构造全等三角形.22．如图，把ΔABC剪成三部分，边AB，BC，AC放在同一直线上，点O都落在直线MN 上，直线MN∥AB．在ΔABC中，若∠AOB=125°，则∠ACB的度数为（）A．70°B．65°C．60°D．85°【答案】A【解析】【分析】利用平行线间的距离处处相等，可知点O到BC、AC、AB的距离相等，得出O为三条角平分线的交点，根据三角形内角和定理和角平分线的定义即可得出结论．【详解】如图1，过点O作OD⊥BC于D，OE⊥AC于E，OF⊥AB于F．∵MN∥AB，∴OD=OE=OF（平行线间的距离处处相等）．如图2：过点O作OD'⊥BC于D'，作OE'⊥AC于E'，作OF'⊥AB于F'．由题意可知：OD=OD'，OE=OE'，OF=OF'，∴OD'=OE'=OF'，∴图2中的点O是三角形三个内角的平分线的交点．∵∠AOB=125°，∴∠OAB+∠OBA=180°－125°=55°，∴∠CAB+∠CBA=2×55°=110°，∴∠ACB=180°－110°=70°．故选A．【点睛】本题考查了三角形的内心，平行线间的距离处处相等，角平分线定义，解答本题的关键是判断出OD=OE=OF．23．如右图，在△ABC中，点Q，P分别是边AC，BC上的点，AQ=PQ，PR⊥AB于R，PS⊥AC于S，且PR=PS，下面四个结论：①AP平分∠BAC；②AS=AR；③BP=QP；④QP∥AB．其中一定正确的是( )A．①②③B．①③④C．①②④D．②③④【答案】C【解析】试题解析：∵PR⊥AB于点R，PS⊥AC于点S，且PR=PS，∴点P在∠BAC的平分线上，即AP平分∠BAC，故①正确；∴∠PAR=∠PAQ，∵AQ=PQ，∴∠APQ=∠PAQ，∴∠APQ=∠PAR，QP AB∴，故④正确；在△APR与△APS中,AP AP PR PS=⎧⎨=⎩，(HL)APR APS∴≌，∴AR=AS，故②正确；△BPR和△QSP只能知道PR=PS,∠BRP=∠QSP=90∘，其他条件不容易得到，所以，不一定全等.故③错误.故选C.24．下列四组条件中，能够判定△ABC和△DEF全等的是（）A．AB=DE，BC=EF，∠A=∠D B．AC=EF，∠C=∠F，∠A=∠DC．∠A=∠D，∠B=∠E，∠C=∠F D．AC=DF，BC=DE，∠C=∠D【答案】D【解析】根据三角形全等的判定定理：SSS、SAS、ASA、AAS、HL，逐一判断：A、AB=DE，BC=EF，∠A=∠D，不符合“SAS”定理，不能判断全等；B、AC=EF，∠C=∠F，∠A=∠D，不符合“ASA”定理，不能判断全等；C、∠A=∠D，∠B=∠E，∠C=∠F ，“AAA”不能判定全等；不符合“SAS”定理，不对应，不能判断全等；D、AC=DF，BC=DE，∠C=∠D，可利用“SAS”判断全等；故选：D．点评：本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．五、八年级数学轴对称三角形填空题（难）25．在直角坐标系中，O 为坐标原点，已知点 A（1，2），点 P 是 y 轴正半轴上的一点，且△AOP 为等腰三角形，则点P 的坐标为_____________．【答案】5 4),0,4⎛⎫⎪⎝⎭【解析】【分析】有三种情况：①以O为圆心，以OA为半径画弧交y轴于D，求出OA即可；②以A为圆心，以OA为半径画弧交y轴于P，求出OP即可；③作OA的垂直平分线交y轴于C，则AC＝OC，根据勾股定理求出OC即可．【详解】有三种情况：①以O为圆心，以OA为半径画弧交y轴于D，则OA＝OD＝=∴D（0）；②以A为圆心，以OA为半径画弧交y轴于P，OP＝2×y A=4，∴P（0，4）；③作OA的垂直平分线交y轴于C，则AC＝OC，由勾股定理得：OC＝AC，∴OC＝54，∴C（0，54）；故答案为：5 4),0,4⎛⎫⎪⎝⎭．【点睛】本题主要考查对线段的垂直平分线，等腰三角形的性质和判定，勾股定理，坐标与图形性质等知识点的理解和掌握，能求出符合条件的所有情况是解此题的关键．26．如图，点O是等边△ABC内一点，∠AOB=110°，∠BOC=α．以OC为一边作等边三角形OCD，连接AC、AD，当△AOD是等腰三角形时，求α的角度为______【答案】110°、125°、140°【解析】【分析】先求出∠DAO=50°，分三种情况讨论：①AO=AD，则∠AOD=∠ADO，②OA=OD，则∠OAD=∠ADO，③OD=AD，则∠OAD=∠AOD，分别求出α的角度即可.【详解】解：∵设∠CBO=∠CAD=a，∠ABO=b，∠BAO=c，∠CAO=d，则a+b=60°，b+c=180°﹣110°=70°，c+d=60°，∴b﹣d=10°，∴（60°﹣a）﹣d=10°，∴a+d=50°，即∠DAO=50°，分三种情况讨论：①AO=AD，则∠AOD=∠ADO，∴190°﹣α=α﹣60°，∴α=125°；②OA=OD，则∠OAD=∠ADO，∴α﹣60°=50°，∴α=110°；③OD=AD，则∠OAD=∠AOD，∴190°﹣α=50°，∴α=140°；所以当α为110°、125°、140°时，三角形AOD是等腰三角形，故答案为：110°、125°、140°.【点睛】本题是对等边三角形的考查，熟练掌握等边三角形的性质定理及分类讨论是解决本题的关键.27．如图，P为∠AOB内一定点，M，N分别是射线OA，OB上一点，当△PMN周长最小时，∠OPM＝50°，则∠AOB＝___________．【答案】40°【解析】【分析】作P关于OA，OB的对称点P1，P2．连接OP1，OP2．则当M，N是P1P2与OA，OB的交点时，△PMN的周长最短，根据对称的性质可以证得：∠OP1M=∠OPM=50°，OP1=OP2=OP，根据等腰三角形的性质即可求解．【详解】如图：作P关于OA，OB的对称点P1，P2．连接OP1，OP2．则当M，N是P1P2与OA、OB 的交点时，△PMN的周长最短，连接P1O、P2O，∵PP1关于OA对称，∴∠P1OP=2∠MOP，OP1=OP，P1M=PM，∠OP1M=∠OPM=50°同理，∠P2OP=2∠NOP，OP=OP2，∴∠P1OP2=∠P1OP+∠P2OP=2（∠MOP+∠NOP）=2∠AOB，OP1=OP2=OP，∴△P1OP2是等腰三角形．∴∠OP2N=∠OP1M=50°，∴∠P1OP2=180°-2×50°=80°，∴∠AOB=40°，故答案为：40°【点睛】本题考查了对称的性质，正确作出图形，证得△P1OP2是等腰三角形是解题的关键．28．如图，∠BOC=60°，点A是BO延长线上的一点，OA=10cm，动点P从点A出发沿AB 以2cm/s的速度移动，动点Q从点O出发沿OC以1cm/s的速度移动，如果点P、Q同时出发，用t(s)表示移动的时间，当t=_____s时，△POQ是等腰三角形.【答案】103或10【解析】【分析】根据△POQ是等腰三角形，分两种情况进行讨论：点P在AO上，点P在BO上，分别计算，即可得解.【详解】当PO=QO时，△POQ是等腰三角形，如图1所示当点P在AO上时，∵PO=AO-AP=10-2t，OQ=t当PO=QO时，102t t-=解得103 t=当PO=QO时，△POQ是等腰三角形，如图2所示当点P在BO上时∵PO=AP-AO=2t-10，OQ=t当PO=QO时，210t t-=解得10t=故答案为：103或10【点睛】本题考查等腰三角形的性质及动点问题，熟练掌握等腰三角形的性质以及分类讨论思想是解题关键.29．如图，正五边形ABCDE中，对角线AC与BE相交于点F，则AFE∠=_______度．【答案】72．【解析】【分析】根据五边形的内角和公式求出EAB∠，根据等腰三角形的性质，三角形外角的性质计算即可．【详解】解：∵五边形ABCDE 是正五边形，(52)1801085EAB ABC ︒︒-⨯∴∠=∠==，BA BC =，36BAC BCA ︒∴∠=∠=，同理36ABE ∠︒＝，363672AFE ABF BAF ∴∠∠+∠︒+︒︒＝＝＝．故答案为：72【点睛】本题考查的是正多边形的内角与外角，掌握正多边形的内角的计算公式、等腰三角形的性质是解题的关键．30．如图，在四边形ABCD 中，∠A=60°， ∠ADC=∠ABC=90°，在AB 、AD 上分别找一点F 、E ，连接CE 、EF 、CF ，当△CEF 的周长最小时，则∠ECF 的度数为______．【答案】60°【解析】【分析】此题需分三步：第一步是作出△CEF 的周长最小时E 、F 的位置（用对称即可）；第二步是证明此时的△CEF 的周长最小（利用两点之间线段最短）；第三步是利用对称性求此时∠ECF 的值.【详解】分别作出C 关于AD 、AB 的对称点分别为C 1、C 2，连接C 1C 2，分别交AD ，AB 于点E 、F 再连接CE 、CF 此时△CEF 的周长最小，理由如下：在AD 、AB 上任意取E 1、F 1两点根据对称性：∴CE=C 1E ，CE 1=C 1E 1，CF=C 2F ，CF 1=C 2F 1∴△CEF 的周长= CE ＋EF ＋CF= C 1E ＋EF ＋C 2F= C 1C 2而△CE 1F 1的周长= CE 1＋E 1F 1＋CF 1= C 1E 1＋E 1F 1＋C 2F 1根据两点之间线段最短，故C 1E 1＋E 1F 1＋C 2F 1＞C 1C 2∴△CEF 的周长的最小为：C 1C 2.∵∠A=60°， ∠ADC=∠ABC=90°∴∠DCB=360°－∠A －∠ADC －∠ABC=120°∴∠C C 1C 2＋∠C C 2C 1=180°－∠DCB=60°根据对称性：∠C C 1C 2=∠E CD ，∠C C 2C 1=∠F CB∴∠E CD ＋∠F CB=∠C C 1C 2＋∠C C 2C 1=60°∴∠ECF =∠DCB －（∠E CD ＋∠F CB ）=60°故答案为：60°【点睛】此题考查的是周长最小值的作图方法（对称点），及周长最小值的证法：两点之间线段最短，掌握周长最小值的作图方法是解决此题的关键.六、八年级数学轴对称三角形选择题（难）31．如图所示，OP 平分AOB ∠，PA OA ⊥，PB OB ⊥，垂足分别为A 、B ．下列结论中不一定成立的是（ ）．A ．PA PB =B ．PO 平分APB ∠C ．OA OB =D ．AB 垂直平分OP【答案】D【解析】【分析】根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得出PA=PB ，再利用“HL ”证明△AOP 和△BOP 全等，可得出APO BPO ∠=∠，OA=OB ，即可得出答案．【详解】解：∵OP 平分AOB ∠，PA OA ⊥，PB OB ⊥∴PA PB =，选项A 正确；在△AOP 和△BOP 中，PO PO PA PB=⎧⎨=⎩， ∴AOP BOP ≅∴APO BPO ∠=∠，OA=OB ，选项B ，C 正确；由等腰三角形三线合一的性质，OP 垂直平分AB ，AB 不一定垂直平分OP ，选项D 错误． 故选：D ．【点睛】本题考查的知识点是角平分线的性质以及垂直平分线的性质，熟记性质定理是解此题的关键．32．点A 的坐标是（2，2），若点P 在x 轴或y 轴上且△APO 是等腰三角形，这样的点P 共有（ ）个A ．6B ．7C ．8D ．9【答案】C【解析】【分析】根据等腰三角形的性质，要使△AOP 是等腰三角形，可以分两种情况考虑：当OA 是底边时，作OA 的垂直平分线，和坐标轴出现2个交点；当OA 是腰时，则分别以点O 、点A 为圆心，OA 为半径画弧，和坐标轴出现6个交点，这样的点P 共8个．【详解】如图，分两种情况进行讨论：当OA 是底边时，作OA 的垂直平分线，和坐标轴的交点有2个；当OA 是腰时，以点O 为圆心，OA 为半径画弧，和坐标轴有4个交点；以点A 为圆心，OA 为半径画弧，和坐标轴出现2个交点；∴满足条件的点P 共有8个，故选：C ．【点睛】本题考查了等腰三角形的定义，坐标与图形的性质，解题的关键是根据OA 为腰或底两种情况分类讨论，运用数形结合的思想进行解决．33．如图，已知：30MON ∠=︒，点1A 、2A 、3A …在射线ON 上，点1B 、2B 、3B …在射线OM 上，112A B A △、223A B A △、334A B A △…均为等边三角形，若112OA =，则667A B A 的边长为( )A ．6B ．12C ．16D ．32【答案】C【解析】【分析】 先根据等边三角形的各边相等且各角为60°得：∠B 1A 1A 2=60°，A 1B 1=A 1A 2，再利用外角定理求∠OB 1A 1=30°，则∠MON=∠OB 1A 1，由等角对等边得：B 1A 1=OA 1=12，得出△A 1B 1A 2的边长为12，再依次同理得出：△A 2B 2A 3的边长为1，△A 3B 3A 4的边长为2，△A 4B 4A 5的边长为：22=4，△A 5B 5A 6的边长为：23=8，则△A 6B 6A 7的边长为：24=16．【详解】解：∵△A 1B 1A 2为等边三角形，∴∠B 1A 1A 2=60°，A 1B 1=A 1A 2，∵∠MON=30°，∴∠OB 1A 1=60°-30°=30°，∴∠MON=∠OB 1A 1，∴B 1A 1=OA 1=12， ∴△A 1B 1A 2的边长为12，同理得：∠OB 2A 2=30°，∴OA 2=A 2B 2=OA 1+A 1A 2=12+12=1， ∴△A 2B 2A 3的边长为1， 同理可得：△A 3B 3A 4的边长为2，△A 4B 4A 5的边长为：22=4，△A 5B 5A 6的边长为：23=8，则△A 6B 6A 7的边长为：24=16．故选：C ．【点睛】本题考查等边三角形的性质和外角定理，运用类比的思想，依次求出各等边三角形的边长，解题关键是总结规律，得出结论．34．如图，ABC ∆中，60BAC ∠=︒，BAC ∠的平分线AD 与边BC 的垂直平分线MD 相交于点D ，DE AB ⊥交AB 的延长线于点E ，DF AC ⊥于点F ，现有下列结论：①DE DF =；②DE DF AD +=；③DM 平分EDF ∠；④2AB AC AE +=，其中正确的是（ ）A ．①②B ．①②③C ．①②④D ．①②③④【答案】C【解析】【分析】 ①由角平分线的性质可知①正确；②由题意可知∠EAD=∠FAD=30°，故此可知ED=12AD ，DF=12AD ，从而可证明②正确；③若DM 平分∠EDF ，则∠EDM=90°，从而得到∠ABC 为直角三角形，条件不足，不能确定，故③错误；④连接BD 、DC ，然后证明△EBD ≌△DFC ，从而得到BE=FC ，从而可证明④．【详解】解：如图所示：连接BD 、DC ．①∵AD 平分∠BAC ，DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，∴ED=DF ．∴①正确．②∵∠EAC=60°，AD 平分∠BAC ，∴∠EAD=∠FAD=30°．∵DE ⊥AB ，∴∠AED=90°．∵∠AED=90°，∠EAD=30°， ∴ED=12AD ． 同理：DF=12AD ． ∴DE+DF=AD ．∴②正确． ③由题意可知：∠EDA=∠ADF=60°．假设MD 平分∠EDF ，则∠ADM=30°．则∠EDM=90°， 又∵∠E=∠BMD=90°，∴∠EBM=90°．∴∠ABC=90°．∵∠ABC 是否等于90°不知道，∴不能判定MD 平分∠EDF ，故③错误．④∵DM 是BC 的垂直平分线，∴DB=DC ．在Rt △BED 和Rt △CFD 中DE DF BD DC ⎧⎨⎩＝＝， ∴Rt △BED ≌Rt △CFD ．∴BE=FC ．∴AB+AC=AE-BE+AF+FC又∵AE=AF ，BE=FC ，∴AB+AC=2AE ．故④正确．综上所述，①②④正确，故选：C．【点睛】本题主要考查的是全等三角形的性质和判定、角平分线的性质、线段垂直平分线的性质，掌握本题的辅助线的作法是解题的关键．35．在平面直角坐标系中，等腰△ABC的顶点A、B的坐标分别为(1，0)、(2，3)，若顶点C 落在坐标轴上，则符合条件的点C有( )个.A．9 B．7 C．8 D．6【答案】C【解析】【分析】要使△ABC是等腰三角形，可分三种情况（①若CA=CB，②若BC=BA，③若AC=AB）讨论，通过画图就可解决问题．【详解】①若CA=CB，则点C在AB的垂直平分线上．∵A（1，0），B（2，3），∴AB的垂直平分线与坐标轴有2个交点C1，C2．②若BC=BA，则以点B为圆心，BA为半径画圆，与坐标轴有3个交点（A点除外）C3，C4，C5；③若AC=AB，则以点A为圆心，AB为半径画圆，与坐标轴有4个交点C6，C7，C8，C9．而C8（0，-3）与A、B在同一直线上，不能构成三角形，故此时满足条件的点有3个．综上所述：符合条件的点C的个数有8个．故选C．【点睛】本题考查了等腰三角形的判定、垂直平分线的性质的逆定理等知识，还考查了动手操作的能力，运用分类讨论的思想是解答本题的关键．36．如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，四边形OABC是长方形，点A、C的坐标。
八年级全册数学试卷及答案
一、选择题（每题3分，共30分）1. 若方程2x - 3 = 7的解为x，则x的值为（）A. 5B. 2C. 1D. 02. 下列数中，有理数是（）A. √2B. πC. √-1D. 0.1010010001……3. 在△ABC中，若∠A=60°，∠B=45°，则∠C的度数为（）A. 75°B. 90°C. 105°D. 120°4. 下列命题中，正确的是（）A. 若a > b，则a² > b²B. 若a² > b²，则a > bC. 若a² = b²，则a = bD. 若a² = b²，则a = b或a = -b5. 下列函数中，是二次函数的是（）A. y = 2x + 3B. y = x² - 2x + 1C. y = x³ + 2x² + xD. y = 3x - 46. 若x + y = 5，x - y = 1，则x的值为（）A. 3B. 2C. 4D. 57. 下列数中，是正比例函数的图象经过第一、二、四象限的是（）A. y = 2xB. y = -3xC. y = 0.5xD. y = -0.5x8. 下列等式中，正确的是（）A. a² - b² = (a + b)(a - b)B. a³ - b³ = (a - b)(a² + ab + b²)C. a³ + b³ = (a + b)(a² - ab + b²)D. a³ - b³ = (a + b)(a² + ab - b²)9. 若函数y = kx²在第一象限，则k的取值范围是（）A. k > 0B. k < 0C. k ≠ 0D. k ≥ 010. 下列数中，绝对值最大的是（）A. -3B. -2C. 1D. 0二、填空题（每题3分，共30分）11. 若a + b = 5，a - b = 1，则ab的值为______。
八年级全册全套试卷测试卷附答案
八年级全册全套试卷测试卷附答案一、八年级数学三角形填空题（难）1．如图，△AEF 是直角三角形，∠AEF=900，B 为AE 上一点，BG⊥AE 于点B ，GF∥BE，且AD ＝BD ＝BF ，∠BFG＝60０，则∠AFG 的度数是___________。
【答案】20°【解析】根据平行线的性质，可知∠A=∠AFG ，∠EBF=∠BFG＝60０，然后根据等腰三角形的性质，可知∠BDF=2∠A ，∠A+∠AFB=3∠A=∠EBF ，因此可得∠AFG=20°. 故答案为：20°.2．已知a ，b ，c 是△ABC 的三边长，a ，b 满足|a ﹣7|+（b ﹣1）2=0，c 为奇数，则c=_____．【答案】7【解析】【分析】根据非负数的性质列式求出a 、b 的值，再根据三角形的任意两边之和大于第三边，两边之差小于第三边求出c 的取值范围，再根据c 是奇数求出c 的值．【详解】∵a ，b 满足|a ﹣7|+（b ﹣1）2=0，∴a ﹣7=0，b ﹣1=0，解得a=7，b=1，∵7﹣1=6，7+1=8，∴68c <<，又∵c 为奇数，∴c=7，故答案为7．【点睛】本题考查非负数的性质：偶次方，解题的关键是明确题意，明确三角形三边的关系．3．两个完全相同的正五边形都有一边在直线l 上，且有一个公共顶点O ，其摆放方式如图所示，则∠AOB 等于 ______ 度．【答案】108°【解析】【分析】如图，易得△OCD为等腰三角形，根据正五边形内角度数可求出∠OCD，然后求出顶角∠COD，再用360°减去∠AOC、∠BOD、∠COD即可【详解】∵五边形是正五边形，∴每一个内角都是108°，∴∠OCD=∠ODC=180°-108°=72°，∴∠COD=36°，∴∠AOB=360°-108°-108°-36°=108°.故答案为108°【点睛】本题考查正多边形的内角计算，分析出△OCD是等腰三角形，然后求出顶角是关键.4．如图，△ABC中，∠BAC＝70°，∠ABC的平分线与∠ACB的外角平分线交于点O，则∠BOC＝_____度．【答案】35【解析】【分析】根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得∠BAC+∠ABC＝∠ACE，∠BOC+∠OBC＝∠OCE，再根据角平分线的定义可得∠OBC＝12∠ABC，∠OCE＝1 2∠ACE，然后整理可得∠BOC＝12∠BAC．【详解】解：由三角形的外角性质，∠BAC+∠ABC＝∠ACE，∠BOC+∠OBC＝∠OCE，∵∠ABC的平分线与∠ACB的外角平分线交于点O，∴∠OBC＝12∠ABC，∠OCE＝12∠ACE，∴12（∠BAC+∠ABC）＝∠BOC+12∠ABC，∴∠BOC＝12∠BAC，∵∠BAC＝70°，∴∠BOC＝35°，故答案为：35°．【点睛】本题考查了三角形的内角和定理、三角形的外角性质，掌握三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，要注意整体思想的利用．5．如图所示，在四边形ABCD中，AD⊥AB，∠C=110°，它的一个外角∠ADE=60°，则∠B 的大小是_____．【答案】40°【解析】【分析】根据外角的概念求出∠ADC的度数，再根据垂直的定义、四边形的内角和等于360°进行求解即可得.【详解】∵∠ADE=60°，∴∠ADC=120°，∵AD⊥AB，∴∠DAB=90°，∴∠B=360°﹣∠C﹣∠ADC﹣∠A=40°，故答案为40°．【点睛】本题考查了多边形的内角和外角，掌握四边形的内角和等于360°、外角的概念是解题的关键．6．如图，小新从A点出发，沿直线前进50米后向左转30°，再沿直线前进50米，又向左转30°，…照这样下去，小新第一次回到出发地A点时，一共走了__米．【答案】600【解析】【分析】【详解】解：根据题意可知：小新从A点出发，沿直线前进50米后向左转30º，再沿直线前进50米，又向左转30º，……照这样下去,小新第一次回到出发地A点时,小新走的路线围成一个正多边形,且这个多边形的外角等于30º，所以这个正多边形的边数是12，小新一共走了12×50=600米，故答案为：600．二、八年级数学三角形选择题（难）7．如图，把△ABC纸片沿DE折叠，当点A在四边形BCDE的外部时，记∠AEB为∠1，∠ADC为∠2，则∠A、∠1与∠2的数量关系，结论正确的是（）A．∠1＝∠2＋∠A B．∠1＝2∠A＋∠2C．∠1＝2∠2＋2∠A D．2∠1＝∠2＋∠A【答案】B【解析】试题分析：如图在∆ABC中，∠A+∠B+∠C=180°，折叠之后在∆ADF中，∠A+∠2+∠3=180°，∴∠B+∠C=∠2+∠3，∠3=180°-∠A-∠2，又在四边形BCFE中∠B+∠C+∠1+∠3=360°，∴∠2+∠3+∠1+∠3=360°∴∠2+∠1+2∠3=∠2+∠1+2（180°-∠A-∠2）=360°，∴∠2+∠1-2∠A-2∠2=0，∴∠1＝2∠A＋∠2.故选B点睛：本题主要考查考生对三角形内角和，四边形内角和以及三角形外角的性质：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角和的理解及掌握。
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在△DMN与△DEN中，
∵ ，
∴△DMN≌△DEN（SAS），
∴MN=NE=CE+NC=BM+NC．
（2）如图②中，结论：MN=NC﹣BM．
理由：在CA上截取CE=BM．
∵△ABC是正三角形，
∴∠ACB=∠ABC=60°，
又∵BD=CD，∠BDC=120°，
∴∠BCD=∠CBD=30°，
3．如图，在 中， ， ，点 是斜边 的中点．点 从点 出发以 的速度向点 运动，点 同时从点 出发以一定的速度沿射线 方向运动，规定当点 到终点 时停止运动．设运动的时间为 秒，连接 、 ．
（1）填空： ______ ；
（2）当 且点 运动的速度也是 时，求证： ；
∴△DEF为等边三角形．
（1）因为DE=DA+AE，故由AAS证△ADB≌△CEA，得出DA=EC，AE=BD，从而证得DE=BD+CE．
（2）成立，仍然通过证明△ADB≌△CEA，得出BD=AE，AD=CE，所以DE=DA+AE=EC+BD．
（3）由△ADB≌△CEA得BD=AE，∠DBA =∠CAE，由△ABF和△ACF均等边三角形，得∠ABF=∠CAF=600，FB=FA，所以∠DBA+∠ABF=∠CAE+∠CAF，即∠DBF=∠FAE，所以△DBF≌△EAF，所以FD=FE，∠BFD=∠AFE，再根据∠DFE=∠DFA+∠AFE=∠DFA+∠BFD=600得到△DEF是等边三角形．
∴DE="AE+AD=" BD+CE．
（2）成立．证明如下：
∵∠BDA =∠BAC= ，∴∠DBA+∠BAD=∠BAD +∠CAE=1800— ．∴∠DBA=∠CAE．
∵∠BDA=∠AEC= ，AB=AC，∴△ADB≌△CEA（AAS）．∴AE=BD，AD=CE．
∴DE=AE+AD=BD+CE．
（3）△DEF为等边三角形．理由如下：
（2）如图2，若点M、N分别是AB、CA的延长线上的一点，其它条件不变，再探究线段BM，MN，NC之间的关系，请直接写出你的猜想（不用证明）．
【答案】（1）过程见解析；（2）MN= NC﹣BM．
【解析】
【分析】
（1）延长AC至E，使得CE=BM并连接DE，根据△BDC为等腰三角形，△ABC为等边三角形，可以证得△MBD≌△ECD，可得MD=DE，∠BDM=∠CDE，再根据∠MDN =60°，∠BDC=120°，可证∠MDN =∠NDE=60°，得出△DMN≌△DEN，进而得到MN=BM+NC．
∴∠MBD=∠DCE=90°，
在△BMD和△CED中
∵ ，
∴△BMD≌△CED（SAS），
∴DM= DE，∠BDM=∠CDE
∵∠MDN =60°，∠BDC=120°，
∴∠NDE=∠BDC-（∠BDN+∠CDE）=∠BDC-（∠BDN+∠BDM）=∠BDC-∠MDN=120°Fra bibliotek60°=60°，
即：∠MDN =∠NDE=60°，
【答案】（1）见解析（2）成立（3）△DEF为等边三角形
【解析】
解：（1）证明：∵BD⊥直线m，CE⊥直线m，∴∠BDA＝∠CEA=900．
∵∠BAC＝900，∴∠BAD+∠CAE=900．
∵∠BAD+∠ABD=900，∴∠CAE=∠ABD．
又AB="AC"，∴△ADB≌△CEA（AAS）．∴AE=BD，AD=CE．
在△MDN和△EDN中
∵ ，
∴△MDN≌△EDN（SAS），
∴MN =NE=NC﹣CE=NC﹣BM．
【点睛】
此题考查了全等三角形的判定与性质、等边三角形的性质、等腰三角形的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．
2．（1）如图（1），已知：在△ABC中，∠BAC＝90°，AB=AC，直线m经过点A，BD⊥直线m, CE⊥直线m,垂足分别为点D、E.证明:DE=BD+CE.
由（2）知，△ADB≌△CEA，BD=AE，∠DBA =∠CAE，
∵△ABF和△ACF均为等边三角形，∴∠ABF=∠CAF=600．
∴∠DBA+∠ABF=∠CAE+∠CAF．∴∠DBF=∠FAE．
∵BF=AF，∴△DBF≌△EAF（AAS）．∴DF=EF，∠BFD=∠AFE．
∴∠DFE=∠DFA+∠AFE=∠DFA+∠BFD=600．
八年级全册全套试卷测试卷附答案
一、八年级数学全等三角形解答题压轴题（难）
1．如图，△ABC中，AB=AC=BC，∠BDC=120°且BD=DC，现以D为顶点作一个60°角，使角两边分别交AB，AC边所在直线于M，N两点，连接MN，探究线段BM、MN、NC之间的关系，并加以证明．
（1）如图1，若∠MDN的两边分别交AB，AC边于M，N两点．猜想：BM+NC=MN．延长AC到点E，使CE=BM，连接DE，再证明两次三角形全等可证．请你按照该思路写出完整的证明过程；
又BD=DC，且∠BDC=120°，
∴∠DBC=∠DCB=30°
∴∠ABC+∠DBC=∠ACB+∠DCB=60°+30°=90°，
∴∠MBD=∠ECD=90°，
在△MBD与△ECD中，
∵ ，
∴△MBD≌△ECD（SAS），
∴MD=DE，∠BDM=∠CDE
∵∠MDN =60°，∠BDC=120°，
∴∠CDE+∠NDC =∠BDM+∠NDC=120°-60°=60°，
（2）如图（2），将（1）中的条件改为：在△ABC中，AB=AC，D、A、E三点都在直线m上,并且有∠BDA=∠AEC=∠BAC= ,其中 为任意锐角或钝角.请问结论DE=BD+CE是否成立?如成立,请你给出证明;若不成立,请说明理由.
（3）拓展与应用：如图（3），D、E是D、A、E三点所在直线m上的两动点（D、A、E三点互不重合）,点F为∠BAC平分线上的一点,且△ABF和△ACF均为等边三角形，连接BD、CE,若∠BDA=∠AEC=∠BAC，试判断△DEF的形状.
（2）在CA上截取CE=BM，利用（1）中的证明方法，先证△BMD≌△CED（SAS），再证△MDN≌△EDN（SAS），即可得出结论．
【详解】
解：（1）如图示，延长AC至E，使得CE=BM，并连接DE．
∵△BDC为等腰三角形，△ABC为等边三角形，
∴BD=CD，∠DBC=∠DCB，∠MBC=∠ACB=60°，