例谈极限思想在小学数学教学中的渗透
例谈极限思想在小学数学教学中的渗透
摘要：极限思想是近代数学中一种重要的思想，是以后学习数学分析的理论基础。将结合小学数学这一特定教育阶段，以几个有代表性的特例，论述极限思想在小学数学教学中的渗透。
关键词：极限思想；小学数学；无限逼近；无限递减；化曲为直
在《义务教育数学课程标准（2022年版）》课程目标中的“总目标”明确指出：“通过义务教育阶段的数学学习，学生能获得适应社会生活和进一步发展所必需的数学的基础知识、基本技能、基本思想、基本活动经验。”从“双基”到“四基”的变化上可以看出，课程标准重视在数学教学中渗透数学的基本思想，重视数学思想对学生思维发展的作用。
纵观小学教材，极限思想蕴含在小学数学诸多知识领域中。如何在小学生的头脑中播下极限思想的“种子”，让其“生根”“发芽”，为以后成长为枝繁叶茂数学分析的“参天大树”打下坚实的基础呢？本文将立足于小学数学这一特定的教育阶段，针对“极限思想”在小学数学教学中几个特例进行初步探索，为教师的教学设计提供参考。
学生在学习了循环小数后的数学活动课上，我出示了这样一道题。
下面有两组数，请大家比较大小：
讨论交流：①减数0.99…的小数点后面有多少个9？②你认为差的小数点后面的0有多少个？③差的最后一位会出现1吗？
生1：减数0.99…的末尾有无数多个9，差的小数点后面有无数多个0，差的最后一位可能不会出现1。 生2：差的最后一位一定不会出现1，因为一直减下去，有无限多个0，永远也不会出现0。
生3：我感觉0.99…无限接近1。
通过上面的教学，改变了学生总以为在那遥远的地方一定还有一个9的思维定式吧。其实，既然是无限，哪有末尾。正如“时间无所谓始终”“宇宙无边无际”一样。学生在思考解决问题的过程中，初步体会了“无限逼近”的含义，基本上知道0.99…无限接近1，最后就真的等于1的本质。
二、“一尺之棰，日取其半，万世不竭”真的取不完吗
在北师大版义务教育教科书五年级《数学》（下）中有以下两个数学情境：
第一个情境是用图形直观地帮助学生理解分数单位乘分数单位的意义，即单位量与单位数都是分数单位，表示一个分数单位的几分之一，分数单位与分数单位的积仍然是一个分数。第二个情境主要向学生渗透极限思想。怎样帮助学生感悟出木棒所剩部分的长度会趋向于0，体会到初步的极限思想，而且受到一定的传统文化的熏陶呢？
师：同学们，你们还记得在第三单元中学的“一尺之棰，日取其半，万世不竭”的含义吗？
生：它的含义就是说“一尺长的木棍，每天截去它的一半，千秋万代也截不完”。
师：你能说一说把这根木棍截1次、2次、3次还剩这根木棍的几分之几吗？ 师：你能直接说出截4次，8次，100次还剩这根木棍的几分之几吗？
生：截4次，剩的木棍的分母应该是4个2相乘，分子应该是1……
师：如果把这根木棍截n次，还剩这根木棍的几分之几吗？
生：还剩木棍的分母应该是n个2相乘，分子应该是1。
师：你能说出把这个木棍截（n+1）次，截无数次还剩这根木棍的几分之几吗？
生1：截（n+1）次还剩木棍的分母应该是（n+1）个2相乘，分子是1。
生2：截无数次，还剩的木棍的分母应该是无数个2相乘，分子是1。
生3：我认为剩的很少很少，几乎没有了。
生4：还剩的木棍的分母很大很大，分子是1，应该离0很近很近。
师：是啊，当截得次数无限多时，分母就越来越大，分子是1，剩的就无限逼近0。
三、真的能“化圆为方”吗
极限思想不但在“数与代数”方面有所渗透，而且在“图形与几何”也有涉及，如，北师大六年级数学（上）圆的面积公式的推导过程就渗透了极限的数形结合思想。在这节课上，我利用几何画板软件，帮助学生直观理解把圆分的份数越多，拼成的图形越接近长方形，下面我把在本课教学中的一个片段摘录如下：
师：谁能说一下平行四边形、三角形、梯形的面积计算公式是怎样推导出的？ 生：转化成学过的图形。
师：怎样计算一个圆的面积呢？能不能把圆转化成我们学过的图形来计算呢？（学生独立思考、动手剪拼、小组讨论、汇报交流）
生1：近似的长方形。
生2：平均分成64份拼成的图形比平均分成32份拼成的图形更接近长方形。
师：请大家想象一下：如果老师继续平均分成128份、256份时，圆平均分的份数越多，每份就越小，拼组成的图形会怎样变化？
生：越来越接近长方形。
师：如果无限分下去，拼组成的图形会怎样？
生1：很像很像长方形。
生2：分成无限多份，长就变成直的了，就是一个长方形。
这个过程中从“分的份数越来越多”到“这样一直分下去”的过程就是“无限”的过程，“曲的真的变成直的了，圆形真的变成了长方形”就是收敛的结果。学生经历了从无限到极限的过程，感悟了极限思想的具大价值。
其实，在小学数学教学中，能够挖掘渗透极限思想的地方还很多，譬如：在学完小数的基本性质之后，让学生写出和0.5相等的小数；在教学“自然数”“奇数”“偶数”这些概念教学时让学生体会自然数是数不完的，奇数、偶数的个数有无限多个；在直线、射线、平行线的教学时，可让学生体会直线的两端是可以无限延长的；两条平行线无论延长多长，永远不会相交等。教师在设计教学，进行课堂教学时，要在学生感知有限的基础上，帮助学生构建知识表象，结合想象让学生体验无限。在感受无限的过程中，飞跃到感知极限，从而感悟极限思想。
总之，极限思想是人类思想宝库中的瑰宝，是对数学知识的本质反映，是学习和研究更高深的数学理论的基础。我们小学数学教师在教学中应善于挖掘教材中极限思想的素材，抓住时机，将这一思想播种在学生的头脑中，为其浇水、施肥。那么，在不久的将来，极限思想这株小苗一定会成长为数学森林中的一棵参天大树。
初探极限思想在小学数学教学中的渗透策略
初探极限思想在小学数学教学中的渗透策略
作者：***
来源：《新课程》2021年第10期
摘 要：极限思想属于推理思想中较低层次的一种数学思想。教师在教学中渗透极限思想可以加深学生对数学概念、定律、法则等的理解。据此，探讨在小学数学教学中渗透极限思想的策略。
关键词：小学数学;极限思想;渗透策略
数学思想蕴含在数学知识形成、发展和应用的过程中，是数学知识和方法在更高层次上的抽象与概括，如抽象、分类、归纳、演绎、模型等。多数专家认为数学思想是对数学知识的本质认识、理性认识。参与《义务教育数学课程标准（2011年版）》撰写及《义务教育数学课程标准（2011年版）》解读的专家学者认为，数学思想是有层次的，较高层次的基本思想有三个：抽象思想、推理思想、模型思想。极限思想是属于推理思想中较低层次的一种数学思想。在小学阶段所能渗透的数学思想方法中，极限思想是最为抽象、最难被理解与接受的一种数学思想，也容易被老师忽略。本文以“数与形”（例2）的教学为例，谈谈在小学阶段渗透极限思想的一些愚见。
一、极限思想的概念及其重要性
极限是用以描述变量在一定的变化过程中的终极的概念。极限的思想方法为建立微积分学提供了严格的理论基础，为数学的发展提供了有力的思想武器。极限可分为数列极限和函数极限。极限概念是非常抽象的，在小学数学教学中不曾涉及。作为专业的数学教师，要对其概念把控于心，细心琢磨，把这些抽象的概念转化成数学思想，循序渐进地渗透给小学生，绝不可以忽视它。
“数学广角”是人教版教材独有的内容。人教版教材安排“数学广角”的主要目的是向学生渗透数学思想及方法。教材根据学生的年龄特点从二年级开始每一册都安排了“数学广角”的内容。由王永春（2014）的研究可以看出，极限思想在“数学广角”中编排的例题只有一个，但不代表渗透极限思想的机会只有一次。极限思想在小学阶段渗透的机会不多，笔者梳理了人教版小学数学12册教材，发现可以渗透极限思想的内容如下表所列。 从上表可以看出，人教版教材针对数学思想方法专门编排了教学内容，但数学思想方法的渗透又不局限于“数学广角”这一类教学内容，需要教师在平时的教学中发掘与提炼。《义务教育数学课程标准（2011年版）》把数学思想方法作为数学“四基”中的“第三基”，并对数学思想方法的渗透做了明确的要求，也表明了它的重要性。
极限数学思想方法的应用
极限数学思想方法的应用
极限数学思想方法在小学数学中的应用 一、 极限思想的内涵
极限的思想方法是人们从有限中认识无限，从近似中认识精确，从量变中认识质变的一种数学思想方法，它是事物转化的重要环节。但由于小学生受年龄特点的限制，他们对具体的、数量有限的事物容易理解，对抽象的、数量无限的事物难于把握。所以要理解“极限”的内涵，我们可以从“无限”入手，让小学生首先理解小学数学中的“无限”。极限思想简单地说就是无限逼近的意思。
早在先秦诸子的著作中就已有了极限思想的萌芽，如在《庄子?天下篇》就提出过“一尺之棰，日取其半，万世不竭”。数学家刘微(约255-295)在注释《九章算术》时创立了有名的“割圆术”，则把极限思想和极限概念运用于解决实际的数学问题，他在割圆术中提出的“割之弥细，所失弥少，割之又割以至于不可割，则与园合体而无所失矣”解决了推求圆周率精确值问题，是应用极限思想的成功事例。而刘微提出的这种无限接近的思想也就是后来建立极限概念的基础。
二、极限思想的作用
极限是指用以描述变量在一定的变化过程中的终极状态的概念。而极限思想是在小学教学中是一种重要的数学思想，灵活地借助极限思想，可以将某些数学问题化为易，避免一些复杂运算，探索出解题方向或转化途径。
三、极限思想在教材中的分布点
小数和整数的数位顺序表
“自然数”“奇数”“偶数”“倍数”“质数”、“合数”的教学
循环小数的认识
直线、射线、平行线的认识
小数点的移动变化规律 圆的认识
圆的面积
圆柱的体积
角的认识及大小比较
倍数与公倍数
四、极限思想方法的渗透策略
1、从“图形”上看“无限延伸性”
小学几何概念中有许多概念是具有无限性的，如直线 、射线、角的边、平行线的长度等等它们都是可以无限延伸的，通过一点可以画无数条直线等等，如人教版四年级上册《直线、射线和角》的教学，有多个渗透极限思想的点，一是直线的两端、射线的一端(没有端点)可以无限延伸，教学时，可以借助学生的想象，先让学生画一条直线，然后延长，再延长一直到不能画为止，这时可提问，还可以延伸吗，直至想象这条直线穿出教室，学校 ， 我们所在的城市 地球的大气层 太阳系„„，师让学生闭上眼睛，自己边说直线的路径，边让学生体会直线两端的无限延伸，从中体会其中的“极限”思想;二是经过一点可以画( )条直线，这里我们可以借助现代化工具制作多媒体课件，在让学生试画之后，出示课件，经过一个点的直线，1条，3条，10条，50条，上百条„„直至变成近似于以这个点为中心的圆，而这个圆即是答案，个数是无限的，圆则是最终极限的结果。
在小学数学教学中渗透极限思想的四个“点”
龙源期刊网
在小学数学教学中渗透极限思想的四个“点”
作者：张卫星
来源：《云南教育·小学教师》2013年第06期
极限思想是微积分的基本思想，用以描述某个无限变化过程的终极状态，是其他相关数学分支（如复变函数、实变函数）的理论基础。极限也是人们从有限中认识无限，从近似中认识精确，从量变中认识质变的一种数学思想方法，是事物转化的重要环节。因此，我们可以尝试挖掘体现极限思想的知识点，在小学数学教学中渗透极限思想。
一、关键点——大张旗鼓地渗透
所谓关键点，即极限思想是认识一些新知的基础，没有对极限思想的感悟，就不可能深刻把握新知的内涵。小学阶段这样的知识点较多，如“圆面积公式”、“循环小数”、“角的认识”等，在教学这些知识点时要及时进行渗透，让学生在认识新知的同时体验极限思想的无穷魅力。
如，教学“射线的初步认识”一课时，一位教师经历了如下教学片断：
师：请同学们在白纸上画一条3厘米长的线段，说一说它有什么特点。
生：它是直的，用直尺可以量出长度。
生：它有两个端点……
师：请同学们在白纸上画一条5厘米长的直线。
生：好了！（得意）
生：不对！直线是没有长短的……
师：为什么？
生：因为直线可以向两边无限延长。
师：无限延长是什么意思？
生：就是无限的长，没完没了的意思……
师：下面请同学们仔细观察老师的演示。 龙源期刊网
师：（用红外线光电筒照在黑板上）请同学们画出来。
师：（打开窗户，将红外线光电筒照射向天空）如果光束没有受到阻碍的话，请你画出来……（学生有很多种情况，请学生自己说出自己的理由，交流反馈）
师：这就是我们今天要学的射线，它有什么特点呢？
小学数学教学中渗透极限思想策略研究
小学数学教学中渗透极限思想策略研究
摘要：在数学课程领域，“极限”是基本数学思想之一，主要用来描述变量通过一定变化而达成极端的状态，即事物无限接近某状态的过程。在数学解题中应用极限思想，能够化繁为简、化零为整，以此反映数学的本质，促进学生从形象思维走向抽象思维。从小学数学阶段开始渗透极限思想，不仅为了锻炼解题能力，更在于启发数学思想，培养数学方法，奠定数学核心素养的发展基础。本文结合小学数学教学的具体案例，探讨渗透极限思想的几点策略。
关键词：小学数学； 核心素养； 数学思想； 极限思想
新课程改革针对义务教育阶段的数学教育活动提出了培养学生“基础知识”、“基本技能”、“基本思想”以及“基本活动经验”的总目标，实现从“双基”到“四基”的变革，更关注学生的思维能力与实践能力，强调教学过程要渗透数学思想和数学方法，体现“授人以鱼，不如授人以渔”的根本理念。从新版小学数学教材的教学要求来看，其中蕴含很多关于极限思想的内容，那么如何从小学阶段开始打好“极限思想”的应用根基，如何由浅入深激活学生的数学思维、培养核心素养？需要教师在具体教学实践中不断尝试、不断创新。
一、借助直观体验，渗透极限思想
极限思想作为较重要的数学思想之一，本身具有高度抽象特征，当然对于初学数学的小学生来说有一定的理解难度，教师不能过于苛求学生深化理解，而是先从培养数学思想着手，建立感性认知，再运用熟悉的直观体验为“跳板”，循序渐进地过渡到抽象逻辑思维，渗透极限思想意识。如基于多媒体教学策略调动小学生的多重感官，让他们在直观、形象的感知中深入思考，发现规律。以六年级《圆的面积》教学为例，借助多媒体课件直观演示，将一个圆形划分为2等分、4等分、6等分，通过观察而思考问题：“每一个等分的图形看起来像什么？”由此链接已有的知识经验，联想到圆形等分之后的小块图形接近三角形，但是有一个边是弯曲的；继续追问启发：“那怎么才能让这个弯曲的边变直，更接近一个真正的三角形呢？”经过对比与探究，很快就有学生提到如果将圆形继续细分，得到等分图形越多，那另一条边就越接近直线。在课件上按照学生的想法操作，将圆形切割成8等分、16等分、32等分、64等分……果然划分的分数越多，就越接近三角形，从圆形向三角形转化，再从三角形向长方形转化，即“化圆为方”、“以直代曲”的极限分割模式，逐层化难为易，从“观察有限分割”再到“想象无限分割”，根据学过的知识导出圆形面积。
小学数学：极限思想
极限思想
1. 极限思想的概念。
我们知道，在小学数学里有些问题不是通过初等数学的方法解决的，如圆的面积，无法直接按照求长方形面积的方法来计算。我国古代数学家刘徽为了计算圆的面积和圆周率，曾经创立了“割圆术”，具体作法是：先做圆的内接正六边形，再做内接正十二边形…随着边数的不断增加，正多边形越来越接近于圆，那么它的面积和周长也越来越接近于圆的面积和周长。刘徽在描述这种作法时说“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至不可割，则与圆周合体而无所失矣”。也就是说，随着正多边形的边数无限增加，圆内接正多边形就转化为圆，这种思想就是极限思想，即用无限逼近的方式来研究数量的变化趋势的思想。为了便于理解,我们先从数列说起，数列是按照正整数1,2,3,…,n,…编号依次排列的一列数，可写成如下形式
其中称为数列的通项。其实，数列的通项an可以看成是自变量为正整数n的特殊的函数，可写作an＝f(n)，其定义域为全体正整数。如
2，4，6，…，2n，…
1，-1，1，-1，1，-1，…
都是数列，当n无限增大时，这些数列的通项都会随之变化，有的趋向于无穷大，如第二个数列；有的无限接近于某一常数，如第一个数列无限接近于0，这时我们就说该数列以0为极限，或者说收敛到0。通俗地说，就是对于任意给定一个不管多么小的正数ε，总是存在一个正整数N，使得n>N的通项(N+1及大于它的每一项,即+1, +2+3,…)与常数a的差的绝对值总小于ε(在数轴上可以直观地理解为两个点和a的距离总小于ε)，那么就说数列的极限为a。
在上面的数列中，由无穷多个项相加的式子
叫做无穷级数，其中前n项的和可记作，称为级数的部分和，这些部分和又可以构成一个新的数列 当n趋向于无穷大时，如果数列Ｓn的极限存在，可设极限为Ｓ，这时极限Ｓ就是无穷级数的和，记作
2. 极限思想的重要意义。
小学生的思维以形象思维为主，逐步向逻辑思维过渡；此外，在小学数学中还渗透着既对立又统一的辩证思维，如加与减、乘与除是学生非常熟悉的辩证关系。在极限思想中，也渗透着有限与无限、曲与直、变与不变的辩证关系。我们知道，多边形的面积直接用公式就可以计算出来，而如果其中有的边改成曲边，就无法直接用多边形的面积公式计算，就要用定积分来求了，如曲边梯形（直角梯形的斜边是曲边）的面积计算，就是先把曲边梯形平均分成n 个小曲边梯形，在每个小曲边梯形里取一个最大的小矩形，这时n个小矩形的面积的和Ｓn近似等于n个小曲边梯形的面积的和，当n越来越大时，小矩形的面积就越来越接近于相应的曲边梯形的面积，当n趋向于无穷大时，如果Ｓn的极限存在，记作Ｓ，最后Ｓ就等于所有的小曲边梯形的面积的和了，那么就得到了曲边梯形的面积是Ｓ。这是从有限的曲边梯形的面积中找到无限个小矩形的面积，再从无限个小矩形的面积的无限变化中回归到曲边梯形的有限的面积的过程，体现了有限与无限、曲与直相互转化的辩证思想。因此，极限思想对于培养学生初步的辩证思维有所裨益。
极限思想方法在小学数学中的应用之我见
极限思想方法在小学数学中的应用之我见
概要：极限的思想方法是人们从有限中认识无限，从近似中认识精确，从量变中认识质变的一种数学思想方法，它是事物转化的重要环节，这种思想也必将能为我们的小学数学教育发挥重要的作用。
小学极限的思想方法是人们从有限中认识无限，从近似中认识精确，从量变中认识质变的一种数学思想方法，它是事物转化的重要环节，了解它有重要意义。
极限思想在小学数学中的应用和渗透，主要体现在以下几点。
（一）多看
多看即多观察。“解答应用题有助于学生理解四则运算的意义和应用”，“还可以发展学生的思维，培养学生分析问题和解决问题的能力。并使学生受到思想品德教育。”但教材在编排应用题时不急于求成，而是由易到难，循序渐进。最开始出现的是用图画表示的应用题。这时候，教师要引导学生仔细观察应用题（图画），运用数数等已有知识直接获取一些表层信息。如教学时，可向学生提问：图上画了什么？苹果分为几堆？左边和右边各有几个？此外图上还画了什么？数错，不看问题是一年级学生解应用题中常犯的毛病。如果重视学生的观察训练，效果会好得多。这样可让学生初步感知应用题由三个部分组成，为后面的学习打下伏笔。
（二）多读
多读即反复读题，审题前必先通读题中文字，理解在图画应用题中主要是通过观察获得表层息，而对于图文表格应用题及文字应用题则看不出所以然，特别是一年级学生识字不多，即使都认识，一年级孩子自制能力较差，注意力极容易无意识地分散，让学生看获取信息效果远不如读（文字）。对于理解这两类应用题，多读既可集中学生注意力，又可加深学生对结构的印象和题意的理解。
（三）多说
为让学生弄懂题意，教师应将说的机会和时间让给学生，当老师在“灌输”知识时，学生的思维多处于消极状态，因此教师应设计一些学生感兴趣的问题激活学生的思维，并且要鼓励学生多说，即使错了也不要批评学生。其实，数学就是找规律、找关系、形成表达式，这整个过程充满着探索与创造，我们应让学生大胆地去说，去猜测，去尝试。 猜测从心理学角度看是直觉思维的一个部分，它具有快速、直接跳跃的特点，是学生有方向的猜想和判断，是创造性思维的重要形式与表现。我们要想方设法让学生从不同的角度，用不同的语言去表达、理解同一道题的意思，不要担心什么无意识的思维浪费时间，往往这种思维能产生“全新”的思想，因为“这种思维活动不受任何有意识思维所必然具有的条条框框所束缚，从而就可能最为自由地去做出各种可能的组合。”
浅谈极限思想方法在小学数学中的应用-2019年文档
浅谈极限思想方法在小学数学中的应用-2019年文档
浅谈极限思想方法在小学数学中的应用
小学极限的思想方法是人们从有限中认识无限，从近似中认识精确，从量变中认识质变的一种数学思想方法，它是事物转化的重要环节，了解它有重要意义。极限思想在小学数学中的应用和渗透，主要体现在以下几点。
（一）多看
多看即多观察。“解答应用题有助于学生理解四则运算的意义和应用”，“还可以发展学生的思维，培养学生分析问题和解决问题的能力。并使学生受到思想品德教育。”但教材在编排应用题时不急于求成，而是由易到难，循序渐进。最开始出现的是用图画表示的应用题。这时候，教师要引导学生仔细观察应用题（图画），运用数数等已有知识直接获取一些表层信息。如教学时，可向学生提问：图上画了什么？苹果分为几堆？左边和右边各有几个？此外图上还画了什么？数错，不看问题是一年级学生解应用题中常犯的毛病。如果重视学生的观察训练，效果会好得多。这样可让学生初步感知应用题由三个部分组成，为后面的学习打下伏笔。
（二）多读
多读即反复读题，审题前必先通读题中文字，理解在图画应用题中主要是通过观察获得表层息，而对于图文表格应用题及文字应用题则看不出所以然，特别是一年级学生识字不多，即使都
认识，一年级孩子自制能力较差，注意力极容易无意识地分散，让学生看获取信息效果远不如读（文字）。对于理解这两类应用题，多读既可集中学生注意力，又可加深学生对结构的印象和题意的理解。
（三）多说
为让学生弄懂题意，教师应将说的机会和时间让给学生，当老师在“灌输”知识时，学生的思维多处于消极状态，因此教师应设计一些学生感兴趣的问题激活学生的思维，并且要鼓励学生多说，即使错了也不要批评学生。其实，数学就是找规律、找关系、形成表达式，这整个过程充满着探索与创造，我们应让学生大胆地去说，去猜测，去尝试。
猜测从心理学角度看是直觉思维的一个部分，它具有快速、直接跳跃的特点，是学生有方向的猜想和判断，是创造性思维的重要形式与表现。我们要想方设法让学生从不同的角度，用不同的语言去表达、理解同一道题的意思，不要担心什么无意识的思维浪费时间，往往这种思维能产生“全新”的思想，因为“这种思维活动不受任何有意识思维所必然具有的条条框框所束缚，从而就可能最为自由地去做出各种可能的组合。”
应渗透极限思想数学教学
ｌｌ＇ｌ一｜
３２ 滗凌 茗 ｓＨｕｘｕＥ１ＩＡｏＹｕ
摘要：教师在中
小学数学教学中，有
意识地渗透极限思
想，有助于培养学生
学习数学的兴趣、思
维方法，使学生学会
学习，学会思考，从
而提高学生的数学
素质。
关键词：数学
教学 渗透 极 限思想
极限是无限运
算，它是在有限预
算的基础上进行无
限运算的数学思想、数学语言
和数学方法。因此，极限对数学
的研究和发展有着重要的作
用。它能使人们的思维从有限 中解脱出来，投入到无限认识
之中，从近似中认识精确。
在数学教学中，有些数学
概念的形成、共识的推导学生
很难理解，由于学生的年龄和
认识结构所限，教材又不能对
过深的要求加以叙述，故而学
生对这部分的内容难以理解。
这就要求我们教师要有较高的
数学素养，在教学中适当地渗
透极限思想，运用这种思想来
解释中学数学教学印的某些概
念、理解共识的推导过程、解决
某些实际问题。这样不仅使学
生加深对数学知识的理解与掌
握，而且有助于培养学生的创
新意识，提高其分析问题和解
决问题的能力。
一、对概念的理解
在中学数学中，有许多地方
都接触到了有关“无限”的概念。
例如，几何中的直线、平行线、射
线、平面、圆内接正多边形等。
代数中的无限小数、无理
１ 数、反比例函数ｙ＝ 的图像
等，特别是在讲到数列～章
时，我们要研究数列趋向。求
有规律数字的和等，在进行这 些概念的教学
时，教师恰到好
处地渗透极限思
想，有助于对这 些概念的理解。
二、对公式
的理解
１．圆面积公
式的推导。
圆面积公式
是学生必须掌握
的重要内容之
，公式的推导
也是不可缺少的
重要内容。
２．对循环小数化分数的理
解。
（１）化混循环小数为分数：
从第二个循环节前面数中减去
不循环数，将所得的差作分子，
照循环节的位数写相同个数的
９，后面找不循环节的位数写相
同个数的０，将这个数作为分
母。如，０．２３５３５…・ 。
从“无限”走向“极限”———浅谈小学教学中“极限”思想的渗透之路
JiaoxueceLue教学策略
极限是指用以描述变量在
一定的变化过程中的终极状态
的概念。在小学数学的实际教
学中，有些教师对极限思想方
法的理解及应用还有所忽视，
那么极限的思想方法其思想内
涵又是什么，与“无限”有着怎
样的联系，又如何渗透于小学
数学教学之中，学生才能感悟
其中的极限思想？本文将针对
以上问题提出自己的观点。
一、从“无限”走向“极限”，
培养学生无限观念
由于小学生受年龄特点的
限制，他们对具体的、数量有限
的事物容易理解，对抽象的、数
量无限的事物难于把握。所以
要理解“极限”的内涵，可以从
“无限”入手，让小学生首先理
解小学数学中的“无限”。1.图形无限延伸。
小学几何概念中有许多概
念是具有无限性的，如直线、射
线、角的边、平行线的长度等
等，它们都是可以无限延伸的，
但是这些概念在现实生活中并
不是真实存在的（现实生活中
找不到一条能无限延伸的线），
它们只是存在于人脑的想象之
中，是人脑抽象的结果，而这种
想象又是进一步学习数学的必
不可少的基础能力。2.数量无限多。
现行人教版小学教材中有
许多知识点会涉及到数量无限
多的情况。在“自然数”、“奇
数”、“偶数”、“小数”这些概念
教学时，教师可让学生体会自
然数是数不完的；奇数、偶数的
个数有无限多个；小数没有最
小的数；通过一点可以画无数
条直线等等。
比如四年级下册求0.5和
0.6之间有几个小数，答案是无
数个，写不完也数不完，让学生
体会这样的小数是无穷无尽
的。在五年级上册循环小数这
一部分内容中，1÷6=0.1666……
商是一个循环小数，它的小数
点后面的数字是写不完的。通
过这些方面让学生初步体会
“无限”思想。
以上两点是从不同方面体
现了“无限”的观念，虽然并不
是真正意义上的“极限”，但是，
培养学生的无限观念是初步形
成极限思想的基础，是学生必
经的一个阶段。
二、从“逼近”走向“极限”，
积累极限感性认识
由于小学生的生活经验、
数学知识还比较贫乏，他们只
能通过一些具体的事例，逐渐
感悟到什么是“无限地逼近”，为将来学习“收敛”这个数学中
杨小红小学数学教学中渗透极限思想的探索
.(杨小红)小学数学教学中渗透极限思想的探索
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小学数学教学中渗透极限思想的探索
章贡区红旗二校 杨晓虹
日本著名数学教育家米山国藏指出：“学生所学的数学知识，在进入社会后几乎没有什么机会应用，因而这种作为知识的数学，通常在走出校门后不到一两年就忘掉了。然而不管他们从事什么工作，惟有深深铭刻于头脑中的数学思想和方法等随时地发生作用，使他们受益终身。”极限的思想方法为建立微积分学提供了严格的理论基础，极限的思想方法为数学的发展提供了有力的思想武器。当今数学教学非常重视数学思想方法在教学中的渗透。然而在小学数学的实际教学中，部分教师对极限思想方法的理解及应用还存在着一定的忽视，
那么，在小学数学教学中如何去挖掘并适时地加以渗透呢？以下根据自身的数学教学实践谈谈自己的粗浅见解。
一、无限≠极限
层次一：帮助学生理解无限。
1．数量无限多。
现行小学教材中有许多知识点会涉及到数量无限多的情况。 在“自然数”、“奇数”、“偶数”这些概念教学时，教师可让学生体会自然数是数不完的，奇数、偶数的个数有无限多个。在循环小数内容中，1 ÷ 3 = 0.333…是一循环小数，它的小数点后面的数字是写不完的。通过这些方面让学生初步体会“无限”思想。
2．图形无限延伸。
小学几何概念中有许多概念是具有无限性的，如直线 、射线、角的边、平行线的长度等等它们都是可以无限延伸的。这些概念在现实生活中并不是真实存在的（现实生活中你找不要一条能无限延伸的线），它们只是存在于人脑的想象之中，是人脑抽象的结果。而这种想象又是进一步学习数学的必不可少的基础能力。因此，在图形教学中培养学生空间想象力，培养学生的无限观念是非常重要的。